Prieš pateikiant vektorinės sandaugos sąvoką, pereikime prie sutvarkyto vektorių trigubo a →, b →, c → orientacijos trimatėje erdvėje klausimo.

Pirmiausia atidėkime vektorius a → , b → , c → iš vieno taško. Trigubo a → , b → , c → orientacija gali būti dešinė arba kairė, priklausomai nuo paties vektoriaus c → krypties. Trigubo tipas a → , b → , c → bus nustatomas pagal kryptį, kuria trumpiausias posūkis iš vektoriaus a → į b → nuo vektoriaus c → pabaigos.

Jei trumpiausias posūkis atliekamas prieš laikrodžio rodyklę, vektorių trigubas a → , b → , c → vadinamas teisingai, jei pagal laikrodžio rodyklę – paliko.

Tada paimkite du nekolinearinius vektorius a → ir b →. Tada pavaizduokime vektorius A B → = a → ir A C → = b → iš taško A. Sukonstruokime vektorių A D → = c →, kuris vienu metu yra statmenas ir A B →, ir A C →. Taigi, konstruodami patį vektorių A D → = c →, galime tai padaryti dviem būdais, suteikdami jam arba vieną kryptį, arba priešingą (žr. iliustraciją).

Sutvarkytas vektorių trigubas a → , b → , c → gali būti, kaip išsiaiškinome, dešinėje arba kairėje, priklausomai nuo vektoriaus krypties.

Iš to, kas išdėstyta aukščiau, galime pateikti vektorinės sandaugos apibrėžimą. Šis apibrėžimas yra pateikta dviem vektoriams, apibrėžtiems stačiakampė sistema koordinates trimatė erdvė.

1 apibrėžimas

Dviejų vektorių a → ir b → vektorinė sandauga tokį vektorių, apibrėžtą trimatės erdvės stačiakampėje koordinačių sistemoje, vadinsime taip, kad:

• jei vektoriai a → ir b → yra kolinearūs, tai bus lygus nuliui;
• jis bus statmenas ir vektoriui a → ​​​​ ir vektoriui b → t.y. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• jo ilgis nustatomas pagal formulę: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• vektorių trigubas a → , b → , c → turi tokią pačią orientaciją kaip ir duotoji koordinačių sistema.

Vektorinis meno kūrinys vektoriai a → ir b → turi tokį žymėjimą: a → × b → .

Vektorinės sandaugos koordinatės

Kadangi bet kuris vektorius koordinačių sistemoje turi tam tikras koordinates, galime įvesti antrą vektorinės sandaugos apibrėžimą, kuris leis mums rasti jo koordinates naudojant nurodytas vektorių koordinates.

2 apibrėžimas

Trimatės erdvės stačiakampėje koordinačių sistemoje dviejų vektorių a → = (a x ; a y ; a z) ir b → = (b x ; b y ; b z) vektorinė sandauga vadinamas vektoriumi c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , kur i → , j → , k → yra koordinačių vektoriai.

Kryžminis sandauga gali būti pavaizduota kaip determinantas kvadratinė matrica trečioji eilė, kur pirmoje eilutėje yra vektoriaus i → , j → , k → vektoriai, antroje eilutėje yra vektoriaus a → koordinatės, o trečioje eilutėje yra vektoriaus b → koordinatės duotame stačiakampyje koordinačių sistema, šis matricos determinantas atrodo taip: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Išplėtę šį determinantą į pirmosios eilutės elementus, gauname lygybę: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a = a · y b x b → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Kryžminio produkto savybės

Yra žinoma, kad vektorinė sandauga koordinatėse vaizduojama kaip matricos c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z determinantas, tada remiantis matricos determinanto savybės rodomi šie vektoriaus produkto savybės:

1. antikomutatyvumas a → × b → = - b → × a → ;
2. pasiskirstymas a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → arba a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. asociatyvumas λ a → × b → = λ a → × b → arba a → × (λ b →) = λ a → × b →, kur λ yra savavališkas realusis skaičius.

Šios savybės turi paprastus įrodymus.

Kaip pavyzdį galime įrodyti vektorinės sandaugos antikomutacinę savybę.

Antikomutatyvumo įrodymas

Pagal apibrėžimą a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ir b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . O jei dvi matricos eilutės yra sukeistos, tai matricos determinanto reikšmė turėtų pasikeisti į priešingą, todėl a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , kuri ir įrodo, kad vektorinė sandauga yra antikomutacinė.

Vektorinis produktas – pavyzdžiai ir sprendimai

Daugeliu atvejų yra trijų tipų problemos.

Pirmojo tipo uždaviniuose paprastai nurodomi dviejų vektorių ilgiai ir kampas tarp jų, ir reikia rasti vektorinės sandaugos ilgį. Šiuo atveju naudokite šią formulę c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

1 pavyzdys

Raskite vektorių a → ir b → vektorinės sandaugos ilgį, jei žinote a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Sprendimas

Nustatę vektorių a → ir b → vektorinės sandaugos ilgį sprendžiame duotomis užduotimis: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Atsakymas: 15 2 2 .

Antrojo tipo problemos turi ryšį su vektorių koordinatėmis, jose vektorine sandauga, jos ilgiu ir kt. ieškoma pagal žinomas nurodytų vektorių koordinates a → = (a x; a y; a z) Ir b → = (b x ; b y ; b z) .

Dėl tokio tipo problemų galite išspręsti daugybę užduočių parinkčių. Pavyzdžiui, galima nurodyti ne vektorių a → ir b → koordinates, o jų išplėtimus į formos koordinačių vektorius. b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → ir c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → arba vektoriai a → ir b → gali būti nurodyti jų pradžios koordinatėmis ir pabaigos taškai.

Apsvarstykite šiuos pavyzdžius.

2 pavyzdys

Stačiakampėje koordinačių sistemoje pateikti du vektoriai: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Raskite jų kryžminį produktą.

Sprendimas

Pagal antrąjį apibrėžimą randame dviejų vektorių vektorinę sandaugą nurodytomis koordinatėmis: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2) · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Jei vektorinį sandaugą rašome per matricos determinantą, tai šio pavyzdžio sprendimas atrodo taip: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Atsakymas: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

3 pavyzdys

Raskite vektorių i → - j → ir i → + j → + k → vektorinės sandaugos ilgį, kur i →, j →, k → yra stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos vienetiniai vektoriai.

Sprendimas

Pirmiausia suraskime duotos vektorinės sandaugos i → - j → × i → + j → + k → koordinates duotoje stačiakampėje koordinačių sistemoje.

Yra žinoma, kad vektoriai i → - j → ir i → + j → + k → turi atitinkamai koordinates (1; - 1; 0) ir (1; 1; 1). Raskime vektorinės sandaugos ilgį naudodami matricos determinantą, tada turime i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Todėl vektorinė sandauga i → - j → × i → + j → + k → turi koordinates (- 1 ; - 1 ; 2) duota sistema koordinates

Vektorinės sandaugos ilgį randame naudodami formulę (žr. skyrių apie vektoriaus ilgio radimą): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Atsakymas: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

4 pavyzdys

Stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje pateiktos trijų taškų A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) koordinatės. Raskite kokį nors vektorių, statmeną A B → ir A C → vienu metu.

Sprendimas

Vektoriai A B → ir A C → turi šias koordinates (- 1 ; 2 ; 2) ir (0 ; 4 ; 1). Radus vektorių A B → ir A C → vektorinę sandaugą, akivaizdu, kad tai pagal apibrėžimą statmenas vektorius ir A B →, ir A C →, tai yra, tai yra mūsų problemos sprendimas. Raskime A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Atsakymas: - 6 i → + j → - 4 k → . - vienas iš statmenų vektorių.

Trečiojo tipo problemos yra orientuotos į vektorių vektorinės sandaugos savybių panaudojimą. Taikę tai, gausime pateiktos problemos sprendimą.

5 pavyzdys

Vektoriai a → ir b → yra statmeni, o jų ilgiai yra atitinkamai 3 ir 4. Raskite vektorinės sandaugos ilgį 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Sprendimas

Pagal vektorinės sandaugos skirstomąją savybę galime parašyti 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Pagal asociatyvumo savybę skaitinius koeficientus išimame iš vektorinių sandaugų ženklo paskutinėje išraiškoje: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorinės sandaugos a → × a → ir b → × b → lygios 0, nes a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 ir b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, tada 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Iš vektorinės sandaugos antikomutatyvumo išplaukia - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Naudodamiesi vektorinės sandaugos savybėmis, gauname lygybę 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Pagal sąlygą vektoriai a → ir b → yra statmeni, tai yra kampas tarp jų lygus π 2. Dabar belieka rastąsias reikšmes pakeisti atitinkamomis formulėmis: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Atsakymas: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Vektorių vektorinės sandaugos ilgis pagal apibrėžimą lygus a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Kadangi jau žinoma (nuo mokyklos kursas), kad trikampio plotas yra lygus pusei jo dviejų kraštinių ilgių sandaugos, padaugintos iš kampo tarp šių kraštinių sinuso. Vadinasi, vektorinės sandaugos ilgis yra lygus lygiagretainio plotui – padvigubinto trikampio, būtent kraštinių sandaugai vektorių a → ir b → pavidalu, išdėstytų iš vieno taško sinusu kampas tarp jų sin ∠ a →, b →.

Štai viskas geometrine prasme vektorinis produktas.

Fizinė vektorinės sandaugos reikšmė

Mechanikoje, vienoje iš fizikos šakų, vektorinio produkto dėka galite nustatyti jėgos momentą erdvės taško atžvilgiu.

3 apibrėžimas

Pagal jėgos F → momentą, taikomą taškui B, taško A atžvilgiu, suprasime tokią vektorinę sandaugą A B → × F →.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Duota internetinis skaičiuotuvas apskaičiuoja vektorių kryžminę sandaugą. Pateikiamas išsamus sprendimas. Norėdami apskaičiuoti vektorių kryžminę sandaugą, langeliuose įveskite vektorių koordinates ir spustelėkite mygtuką „Apskaičiuoti“.

×

Įspėjimas

Išvalyti visas ląsteles?

Uždaryti Išvalyti

Duomenų įvedimo instrukcijos. Skaičiai įvedami kaip sveikieji skaičiai (pavyzdžiai: 487, 5, -7623 ir tt), dešimtainiai (pvz., 67., 102,54 ir kt.) arba trupmenos. Trupmena turi būti įvedama a/b forma, kur a ir b (b>0) yra sveikieji arba dešimtainiai skaičiai. Pavyzdžiai 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 ir kt.

Vektorinė vektorių sandauga

Prieš pereidami prie vektorių vektorinės sandaugos apibrėžimo, panagrinėkime sąvokas užsakytas vektoriaus tripletas, kairysis vektoriaus tripletas, dešinysis vektoriaus tripletas.

Apibrėžimas 1. Vadinami trys vektoriai užsakė trigubą(arba trigubas), jei nurodyta, kuris iš šių vektorių yra pirmasis, kuris antras, o kuris trečias.

Įrašas cba- reiškia - pirmasis yra vektorius c, antrasis yra vektorius b o trečiasis yra vektorius a.

2 apibrėžimas. Nevienaplanių vektorių trigubas abc vadinamas dešiniuoju (kairiuoju) if, kai sumažinamas iki bendra pradžia, šie vektoriai išsidėstę taip pat, kaip yra atitinkamai dideli, nesulenkti dešinės (kairės) rankos rodomieji ir viduriniai pirštai.

2 apibrėžimas gali būti suformuluotas skirtingai.

Apibrėžimas 2". Nevienaplanių vektorių trigubas abc vadinamas dešiniuoju (kairiuoju), jei, sumažinus iki bendros kilmės, vektorius c yra kitoje vektorių apibrėžtos plokštumos pusėje a Ir b, iš kur trumpiausias posūkis aĮ b atliekamas prieš laikrodžio rodyklę (pagal laikrodžio rodyklę).

Vektorių trejetas abc, parodyta pav. 1 yra teisingas, o trys abc parodyta pav. 2 yra kairysis.

Jei du vektorių tripletai yra dešinėje arba kairėje, tada sakoma, kad jie yra tos pačios orientacijos. Priešingu atveju sakoma, kad jie yra priešingos orientacijos.

Apibrėžimas 3. Dekartinė arba gimininga koordinačių sistema vadinama dešiniąja (kairiąja), jei trys baziniai vektoriai sudaro dešinįjį (kairįjį) trigubą.

Tikslumui toliau nagrinėsime tik dešiniarankes koordinačių sistemas.

4 apibrėžimas. Vektorinis meno kūrinys vektorius aį vektorių b vadinamas vektoriumi Su, žymimas simboliu c=[ab] (arba c=[a, b] arba c=a×b) ir atitinkantys šiuos tris reikalavimus:

• vektoriaus ilgis Su lygus vektorių ilgių sandaugai a Ir b pagal kampo sinusą φ tarp jų:

|c|=|[ab]|=|a||b|sinφ;

(1)

• vektorius Su statmena kiekvienam vektoriui a Ir b;
• vektorius c nukreiptas taip, kad trys abc yra teisus.

Kryžminė vektorių sandauga turi šias savybes:

• [ab]=−[ba] (antipermutamumas veiksniai);
• [(λa)b]=λ [ab] (derinys skaitinio koeficiento atžvilgiu);
• [(a+b)c]=[ac]+[bc] (paskirstymas vektorių sumos atžvilgiu);
• [aa]=0 bet kuriam vektoriui a.

Vektorių vektorinės sandaugos geometrinės savybės

1 teorema. Kad du vektoriai būtų kolinearūs, būtina ir pakanka, kad jų vektorinė sandauga būtų lygi nuliui.

Įrodymas. Būtinybė. Tegul vektoriai a Ir b kolinearinis. Tada kampas tarp jų yra 0 arba 180° ir sinφ=nuodėmė180=nuodėmė 0=0. Todėl, atsižvelgiant į išraišką (1), vektoriaus ilgį c lygus nuliui. Tada c nulinis vektorius.

Tinkamumas. Tegul vektorių sandauga a Ir b aišku nulis: [ ab]=0. Įrodykime, kad vektoriai a Ir b kolinearinis. Jei bent vienas iš vektorių a Ir b nulis, tada šie vektoriai yra kolineariniai (kadangi nulinis vektorius turi neapibrėžtą kryptį ir gali būti laikomas kolineariniu bet kuriam vektoriui).

Jei abu vektoriai a Ir b ne nulis, tada | a|>0, |b|>0. Tada iš [ ab]=0 ir iš (1) išplaukia, kad sinφ=0. Todėl vektoriai a Ir b kolinearinis.

Teorema įrodyta.

2 teorema. Vektorinės sandaugos ilgis (modulis) [ ab] lygus plotui S lygiagretainis, sudarytas iš vektorių, sumažintų iki bendros pradžios a Ir b.

Įrodymas. Kaip žinote, lygiagretainio plotas yra lygus gretimų šio lygiagretainio kraštinių ir kampo tarp jų sinuso sandaugai. Taigi:

Tada šių vektorių vektorinė sandauga turi tokią formą:

Išplėsdami determinantą virš pirmosios eilutės elementų, gauname vektoriaus skaidymą a × b pagal pagrindą i, j, k, kuri atitinka (3) formulę.

3 teoremos įrodymas. Sukurkime visas įmanomas bazinių vektorių poras i, j, k ir apskaičiuokite jų vektorinę sandaugą. Reikėtų atsižvelgti į tai, kad baziniai vektoriai yra vienas kitą stačiakampiai, sudaro dešiniarankį trigubą ir turi vienetinį ilgį (kitaip tariant, galime daryti prielaidą, kad i={1, 0, 0}, j={0, 1, 0}, k=(0, 0, 1)). Tada mes turime:

Iš paskutinės lygybės ir santykių (4) gauname:

Sukurkime 3x3 matricą, kurios pirmoji eilutė yra baziniai vektoriai aš, j, k, o likusios linijos užpildytos vektoriniais elementais a Ir b:

Taigi vektorių sandaugos rezultatas a Ir b bus vektorius:

.

2 pavyzdys. Raskite vektorių sandaugą [ ab], kur yra vektorius a atstovaujama dviem taškais. Atspirties taškas vektorius a: , vektoriaus pabaigos taškas a: , vektorius b atrodo kaip .

Sprendimas: perkelkite pirmąjį vektorių į pradinę vietą. Norėdami tai padaryti, atimkite pradžios taško koordinates iš atitinkamų pabaigos taško koordinačių:

Apskaičiuokime šios matricos determinantą, išplėsdami ją pirmoje eilutėje. Šių skaičiavimų rezultatas yra vektorių sandauga a Ir b.

7.1. Kryžminio produkto apibrėžimas

Trys ne lygiaplaniai vektoriai a, b ir c, paimti nurodyta tvarka, sudaro dešiniarankį tripletą, jei nuo trečiojo vektoriaus c pabaigos trumpiausias posūkis nuo pirmojo vektoriaus a iki antrojo vektoriaus b. būti prieš laikrodžio rodyklę, o kairiarankis tripletas, jei pagal laikrodžio rodyklę (žr. .16 pav.).

Vektoriaus a ir vektoriaus b sandauga vadinama vektoriumi c, kuris:

1. Statmenai vektoriams a ir b, ty c ^ a ir c ^ b ;

2. Jo ilgis skaitiniu požiūriu lygus lygiagretainio plotui, sudarytam iš vektorių a irb kaip ir šonuose (žr. 17 pav.), t.y.

3. Vektoriai a, b ir c sudaro dešiniarankį trigubą.

Kryžminė sandauga žymima a x b arba [a,b]. Šie vienetinių vektorių i ryšiai tiesiogiai išplaukia iš vektorinės sandaugos apibrėžimo, j Ir k

(žr. 18 pav.):
i x j = k, j x k = i, k x i = j. Pavyzdžiui, įrodykime tai

i xj =k. ^ 1) k ^ i, k

j; 2) |k |=1, bet | i x j

| = |i | Ir|J | sin(90°)=1;

3) vektoriai i, j ir

suformuoti dešinįjį trigubą (žr. 16 pav.).

7.2. Kryžminio produkto savybės = -(1. Pertvarkant veiksnius vektorinė sandauga keičia ženklą, t.y.).

ir xb =(b xa) (žr. 19 pav.).

Tegul l >0. Vektorius l (a xb) yra statmenas vektoriams a ir b. Vektorius ( l a)x b taip pat yra statmenas vektoriams a ir b(vektoriai a, l bet guli toje pačioje plokštumoje). Tai reiškia, kad vektoriai l(a xb) ir ( l a)x b kolinearinis. Akivaizdu, kad jų kryptys sutampa. Jie yra vienodo ilgio:

Štai kodėl l(a xb)= l a xb. Tai įrodoma panašiu būdu l<0.

3. Du nuliniai vektoriai a ir b yra kolineariniai tada ir tik tada, kai jų vektorinė sandauga yra lygi nuliniam vektoriui, t. y. a ||b<=>ir xb =0.

Visų pirma, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Vektorinė sandauga turi pasiskirstymo savybę:

(a+b) xc = a xc + b xs.

Priimsime be įrodymų.

7.3. Kryžminės sandaugos išreiškimas koordinatėmis

Naudosime vektorių i sandaugų lentelę, Šie vienetinių vektorių i ryšiai tiesiogiai išplaukia iš vektorinės sandaugos apibrėžimo, ir k:

jei trumpiausio kelio kryptis nuo pirmojo vektoriaus iki antrojo sutampa su rodyklės kryptimi, tai sandauga lygi trečiajam vektoriui, jei nesutampa, trečiasis vektorius imamas su minuso ženklu.

Tegu pateikti du vektoriai a =a x i +a y Šie vienetinių vektorių i ryšiai tiesiogiai išplaukia iš vektorinės sandaugos apibrėžimo,+a z Ir ir b =b x i+b y Šie vienetinių vektorių i ryšiai tiesiogiai išplaukia iš vektorinės sandaugos apibrėžimo,+b z Ir. Raskime šių vektorių vektorinę sandaugą, padaugindami juos iš daugianario (pagal vektorinės sandaugos savybes):

Gautą formulę galima parašyti dar trumpiau:

kadangi lygybės (7.1) dešinioji pusė atitinka trečiosios eilės determinanto plėtinį pagal pirmosios eilės elementus. Lygybę (7.2) lengva prisiminti.

7.4. Kai kurios kryžminio produkto taikymo sritys

Vektorių kolineariškumo nustatymas

Lygiagretainio ir trikampio ploto radimas

Pagal vektorių vektorinės sandaugos apibrėžimą A ir b |a xb | =|a | * |b |sin g, t.y. S poros = |a x b |. Ir todėl D S =1/2|a x b |.

Jėgos momento apie tašką nustatymas

Tegu taške A veikia jėga F = AB ir tegul APIE- tam tikras erdvės taškas (žr. 20 pav.).

Iš fizikos žinoma, kad jėgos momentas F taško atžvilgiu APIE vadinamas vektoriumi M, kuri eina per tašką APIE Ir:

1) statmenai plokštumai, einančiai per taškus O, A, B;

2) skaičiais lygus jėgos sandaugai, tenkančiai rankai

3) sudaro dešinįjį trigubą su vektoriais OA ir A B.

Todėl M = OA x F.

Linijinio sukimosi greičio nustatymas

Greitis v kampiniu greičiu besisukančio standaus kūno taškas M w aplink fiksuotą ašį, nustatomas pagal Eilerio formulę v =w xr, kur r =OM, kur O yra koks nors fiksuotas ašies taškas (žr. 21 pav.).

MIŠRUS TRIJŲ VEKTORIŲ PRODUKTAS IR JO SAVYBĖS

Mišrus darbas trys vektoriai vadinami skaičiumi, lygiu . Paskirta . Čia pirmieji du vektoriai dauginami vektoriniu būdu, o tada gautas vektorius skaliariškai dauginamas iš trečiojo vektoriaus. Akivaizdu, kad toks produktas yra tam tikras skaičius.

Panagrinėkime mišraus produkto savybes.

1. Geometrinė reikšmė mišrus darbas. 3 vektorių mišri sandauga, iki ženklo, lygi gretasienio, pastatyto ant šių vektorių, tūriui, kaip ant briaunų, t.y. .

   Taigi, ir .

   

   Įrodymas. Atidėkime vektorius iš bendros pradžios ir pastatykime ant jų gretasienį. Pažymėkime ir atkreipkite dėmesį į tai. Pagal skaliarinės sandaugos apibrėžimą

   Darant prielaidą, kad ir žymint pagal h raskite gretasienio aukštį.

   Taigi, kada

   Jei, tai taip. Vadinasi,.

   Sujungę abu šiuos atvejus, gauname arba .

   Visų pirma iš šios savybės įrodymo matyti, kad jei vektorių trigubas yra dešiniarankis, tada mišrusis produktas yra , o jei jis yra kairiarankis, tada .

2. Bet kokiems vektoriams , lygybė yra teisinga

   Šios savybės įrodymas išplaukia iš 1 ypatybės. Iš tiesų, lengva parodyti, kad ir . Be to, ženklai „+“ ir „–“ imami vienu metu, nes kampai tarp vektorių ir ir ir yra smailieji ir bukieji.

3. Pertvarkius bet kuriuos du veiksnius, mišrus produktas pakeičia ženklą.

   Iš tiesų, jei laikysime mišrų produktą, tada, pavyzdžiui, arba

4. Mišrus sandauga tada ir tik tada, kai vienas iš veiksnių yra lygus nuliui arba vektoriai yra vienodi.

   Įrodymas.

   Taigi būtina ir pakankama 3 vektorių koplanarumo sąlyga yra ta, kad jų mišrus sandauga yra lygus nuliui. Be to, iš to išplaukia, kad trys vektoriai sudaro pagrindą erdvėje, jei .

   Jei vektoriai pateikiami koordinačių forma, tada galima parodyti, kad jų mišrus produktas randamas pagal formulę:

   .

   Taigi, mišrus sandauga yra lygus trečios eilės determinantui, kurio pirmojoje eilutėje yra pirmojo vektoriaus koordinatės, antroje eilutėje - antrojo vektoriaus koordinatės, o trečioje eilutėje - trečiojo vektoriaus koordinatės.

   Pavyzdžiai.

ANALITINĖ GEOMETRIJOS ERDVĖJE

Lygtis F(x, y, z)= 0 apibrėžia erdvėje Oxyz tam tikras paviršius, t.y. geometrinis taškų, kurių koordinatės, lokusas x, y, z patenkinti šią lygtį. Ši lygtis vadinama paviršiaus lygtimi ir x, y, z– dabartinės koordinatės.

Tačiau dažnai paviršius nurodomas ne lygtimi, o kaip erdvės taškų rinkinys, turintis vienokią ar kitokią savybę. Tokiu atveju reikia rasti paviršiaus lygtį pagal jo geometrines savybes.

LĖKTUVA.

NORMALUS PLOKTUMAS VEKTORIAUS.

PLOKŠTUMOS PER DUOTINĄ TAŠKĄ LYGTYBĖ

Panagrinėkime savavališką plokštumą σ erdvėje. Jo padėtis nustatoma nurodant šiai plokštumai statmeną vektorių ir kokį nors fiksuotą tašką M0(x 0, y 0, z 0), esantis σ plokštumoje.

Vektorius, statmenas plokštumai σ, vadinamas normalusšios plokštumos vektorius. Tegul vektorius turi koordinates.

Išveskime per šį tašką einančios plokštumos σ lygtį M0 ir turintys normalų vektorių. Norėdami tai padaryti, paimkite savavališką tašką plokštumoje σ M(x, y, z) ir apsvarstykite vektorių .

Dėl bet kurio taško MО σ yra vektorius, todėl jų skaliarinė sandauga yra lygi nuliui. Ši lygybė yra sąlyga, kad taškas MО σ. Jis galioja visuose šios plokštumos taškuose ir pažeidžiamas iškart po taško M bus už σ plokštumos.

Jeigu taškus žymėsime spindulio vektoriumi M, – taško spindulio vektorius M0, tada lygtį galima parašyti forma

Ši lygtis vadinama vektorius plokštumos lygtis. Parašykime tai koordinačių forma. Nuo tada

Taigi, mes gavome plokštumos, einančios per šį tašką, lygtį. Taigi, norint sukurti plokštumos lygtį, reikia žinoti normalaus vektoriaus koordinates ir kokio nors plokštumoje esančio taško koordinates.

Atkreipkite dėmesį, kad plokštumos lygtis yra 1-ojo laipsnio lygtis dabartinių koordinačių atžvilgiu x, y Ir z.

Pavyzdžiai.

BENDROJI PLOKŠTUMOS LYGTIS

Galima parodyti, kad bet kuri pirmojo laipsnio lygtis Dekarto koordinačių atžvilgiu x, y, z reiškia tam tikros plokštumos lygtį. Ši lygtis parašyta taip:

Ax+By+Cz+D=0

ir yra vadinamas bendroji lygtis plokštuma ir koordinates A, B, Cčia yra plokštumos normaliojo vektoriaus koordinatės.

Panagrinėkime specialius bendrosios lygties atvejus. Išsiaiškinkime, kaip plokštuma yra koordinačių sistemos atžvilgiu, jei vienas ar keli lygties koeficientai tampa lygūs nuliui.

A yra atkarpos ilgis, nupjautas plokštumos ašyje Jautis. Panašiai galima parodyti, kad b Ir c– nagrinėjamos plokštumos nupjautų segmentų ilgiai ant ašių Oy Ir Oz.

Plokštumoms sudaryti patogu naudoti plokštumos lygtį segmentuose.

Naudosime vektorių i, j ir k kryžminės sandaugos lentelę:

jei trumpiausio kelio kryptis nuo pirmojo vektoriaus iki antrojo sutampa su rodyklės kryptimi, tai sandauga lygi trečiajam vektoriui, jei nesutampa, trečiasis vektorius imamas su minuso ženklu.

Tegu pateikiami du vektoriai a=axi +ayj +azk ir b =bxi +byj +bzk. Raskime šių vektorių vektorinę sandaugą, padaugindami juos iš daugianario (pagal vektorinės sandaugos savybes):
Gautą formulę galima parašyti dar trumpiau: kadangi lygybės (7.1) dešinioji pusė atitinka trečiosios eilės determinanto plėtinį pagal pirmosios eilės elementus. Lygybę (7.2) lengva prisiminti.

7.4. Kai kurios kryžminio produkto taikymo sritys

Vektorių kolineariškumo nustatymas.
Lygiagretainio ir trikampio ploto radimas

Pagal vektorių a ir b vektorinės sandaugos apibrėžimą |a xb | = |a| * |b |dainuoti, t.y. S poros = |a x b |. Ir todėl DS =1/2|a x b |.

Jėgos momento apie tašką nustatymas

Tegul taške A veikia jėga F =AB, o O yra tam tikras erdvės taškas Iš fizikos žinoma, kad jėgos F momentas taško O atžvilgiu yra vektorius M, einantis per tašką O ir:

1) statmena plokštumai, einančiai per taškus O, A, B;

2) yra skaitine prasme lygi peties jėgos sandaugai 3) sudaro dešiniąją trigubą su vektoriais OA ir A B.

Todėl M = OA x F. Linijinio sukimosi greičio nustatymas

Standžio kūno, besisukančio kampiniu greičiu w aplink fiksuotą ašį, taško M greitis v nustatomas pagal Eilerio formulę v =w xr, kur r =OM, kur O yra koks nors fiksuotas ašies taškas (žr. 21).

Kampas tarp vektorių

Iš dviejų vektorių skaliarinės sandaugos apibrėžimo išplaukia, kad jei vektoriai ir yra nurodyti koordinatėmis ir , tada formulė (1.6.3.1) bus parašyta taip:

Lygiagretainio, pastatyto ant vektorių, plotas

Atkarpų ilgių, atstumų tarp taškų, paviršiaus plotų ir kūnų tūrių matavimo problemos priklauso svarbiai problemų klasei, kuri paprastai vadinama metrine. Ankstesniame skyriuje sužinojome, kaip naudoti vektorinę algebrą linijos atkarpų ilgiams ir atstumams tarp taškų apskaičiuoti. Dabar ieškosime būdų, kaip apskaičiuoti plotus ir tūrius. Vektorinė algebra leidžia kelti ir išspręsti tokias problemas tik gana paprastais atvejais. Norint apskaičiuoti savavališkų paviršių plotus ir savavališkų kūnų tūrius, reikalingi analizės metodai. Tačiau analizės metodai, savo ruožtu, labai priklauso nuo vektorinės algebros duodamų rezultatų.

Norėdami išspręsti problemą, pasirinkome gana ilgą ir sunkų kelią, kurį pasiūlė Hilbertas Strangas, susietą su daugybe geometrinių transformacijų ir kruopščių algebrinių skaičiavimų. Pasirinkome šį kelią nepaisant to, kad yra ir kitų požiūrių, kurie greičiau atveda į tikslą, nes mums tai atrodė tiesmuka ir natūralu. Tiesus kelias moksle ne visada yra lengviausias. Patyrę žmonės apie tai žino ir renkasi žiedinius kelius, tačiau jei nesistengiate važiuoti tiesiai, galite likti nežinoję kai kurių teorijos subtilybių.

Mūsų pasirinktame kelyje natūraliai atsiranda tokios sąvokos kaip erdvinė orientacija, determinantas, vektorius ir mišrūs produktai. Itin aiškiai tarsi po mikroskopu atsiskleidžia geometrinė determinanto reikšmė ir jo savybės. Tradiciškai determinanto sąvoka įvedama tiesinių lygčių sistemų teorijoje, tačiau būtent tokioms sistemoms spręsti determinantas beveik nenaudingas. Geometrinė determinanto reikšmė yra būtina vektorinei ir tenzorinei algebrai.

Dabar būkime kantrūs ir pradėkime nuo paprasčiausių ir suprantamiausių atvejų.

1. Vektoriai orientuoti išilgai Dekarto koordinačių sistemos koordinačių ašių.

Tegul vektorius a yra nukreiptas išilgai x ašies, o vektorius b - išilgai y ašies. Fig. 21 paveiksle pavaizduoti keturi skirtingi vektorių išdėstymo koordinačių ašių atžvilgiu variantai.

Vektoriai a ir b koordinačių pavidalu: kur a ir b žymi atitinkamo vektoriaus dydį, o a yra vektoriaus koordinatės ženklas.

Kadangi vektoriai yra stačiakampiai, ant jų sudarytos lygiagretainės yra stačiakampiai. Jų plotai yra tiesiog jų pusių produktas. Išreikškime šias sandaugas vektorių koordinatėmis visais keturiais atvejais.

Visos keturios ploto skaičiavimo formulės yra vienodos, išskyrus ženklą. Galėtum tiesiog užmerkti akis ir užsirašyti, kad visais atvejais. Tačiau produktyvesnė pasirodo kita galimybė: suteikti ženklui tam tikrą prasmę. Atidžiai pažiūrėkime į pav. 21. Tais atvejais, kai vektoriaus sukimas į vektorių atliekamas pagal laikrodžio rodyklę. Tais atvejais, kai formulėje esame priversti naudoti minuso ženklą, vektoriaus pasukimas į vektorių atliekamas prieš laikrodžio rodyklę. Šis stebėjimas leidžia susieti ženklą ploto išraiškose su plokštumos orientacija.

Stačiakampio, pastatyto ant vektorių a ir b su pliuso arba minuso ženklu, plotas bus laikomas orientuotu plotu, o ženklas bus susietas su vektorių nurodyta orientacija. Orientuotai sričiai galime parašyti vieną formulę visiems keturiems nagrinėjamiems atvejams: . Virš raidės S įvedamas „vektoriaus“ juostos ženklas, siekiant atskirti įprastą plotą, kuris visada yra teigiamas, nuo orientuoto.

Be to, akivaizdu, kad tie patys vektoriai, paimti skirtinga tvarka, lemia priešingą orientaciją, todėl . Mes tiesiog toliau žymime sritį raide S ir todėl .

Dabar, kai atrodytų, kad ploto sampratos išplėtimo kaina gavome bendrą išsireiškimą, dėmesingas skaitytojas sakys, kad neapsvarstėme visų galimybių. Iš tiesų, be keturių vektorių vietos parinkčių, pateiktų Fig. 21, yra dar keturi (22 pav.) Vėl parašykime vektorius koordinačių forma: Išreikškime plotus vektorių koordinatėmis. 4. . Ženklai naujose išraiškose nepasikeitė, bet, deja, pasikeitė orientacija, palyginti su ankstesniais keturiais atvejais. Todėl orientuotai sričiai esame priversti rašyti: . Nors viltis dėl išradingo paprastumo nepasiteisino, vis dėlto galime užrašyti bendrą posakį visiems keturiems atvejams.

Tai yra, stačiakampio, pastatyto ant vektorių, kaip ir iš šonų, orientuotas plotas yra lygus determinantui, sudarytam iš vektorių koordinačių, kaip ir ant stulpelių.

Manome, kad skaitytojas yra susipažinęs su determinantų teorija, todėl plačiau prie šios sąvokos nekalbame. Tačiau mes pateikiame atitinkamus apibrėžimus, kad pakeistume akcentą ir parodytume, kad šią sąvoką galima pasiekti remiantis grynai geometriniais sumetimais. , , yra skirtingos tos pačios sąvokos žymėjimo formos – determinantas, sudarytas iš vektorių koordinačių, pavyzdžiui, stulpelių. Lygybė gali būti laikomas jo apibrėžimu dvimačiam atvejui.

2. Vektorius b nėra lygiagretus x ašiai; vektorius a/ yra savavališkas vektorius.

Siekdami sumažinti šį atvejį iki jau žinomų, panagrinėkime kai kurias geometrines lygiagretainio transformacijas, pastatytas ant vektorių ir (pav. mišri vektorių sandauga ir jo savybės