Pilnas diferencialas. Geometrinė visuminio diferencialo reikšmė

Geometrinis pojūtis pilnas diferencialas dviejų kintamųjų funkcija f(x, y) taške (x 0, y 0) yra liestinės plokštumos pritaikymo (z koordinačių) prie paviršiaus padidėjimas judant iš taško (x 0, y 0) į taškas (x 0 + Dx, y 0 + Dу).

Aukštesnių eilių daliniai išvestiniai produktai. : Jei funkcija f(x, y) yra apibrėžta kurioje nors srityje D, tai jos dalinės išvestinės taip pat bus apibrėžtos toje pačioje srityje arba jos dalyje. Šiuos išvestinius vadinsime pirmos eilės dalinėmis išvestinėmis.

Šių funkcijų išvestinės bus antros eilės dalinės išvestinės.

Toliau diferencijuodami gautas lygybes, gauname aukštesnių laipsnių dalines išvestines. Apibrėžimas. Formos daliniai vediniai ir tt vadinami mišriais dariniais. Schwartzo teorema:

Jei aukštesnių eilių daliniai išvestiniai f.m.p. yra tęstiniai, tada mišrūs tos pačios eilės vediniai skiriasi tik diferenciacijos tvarka = vienas nuo kito.

Čia n yra simbolinė išvestinės galia, kuri pakėlus į ją skliaustuose esančią išraišką, pakeičiama realiąja galia.

14. Tangentinės plokštumos ir paviršiaus normaliojo lygtis!

Tegul N ir N 0 yra šio paviršiaus taškai. Nubrėžkime tiesę NN 0. Plokštuma, kuri eina per tašką N 0, vadinama liestinės plokštumaį paviršių, jei kampas tarp sekanto NN 0 ir šios plokštumos linkęs į nulį, kai atstumas NN 0 linkęs į nulį.

Apibrėžimas. Normalusį paviršių taške N 0 yra tiesė, einanti per tašką N 0, statmena šio paviršiaus liestinės plokštumai.

Bet kuriame taške paviršius turi arba tik vieną liestinės plokštumą, arba jos visai neturi.

Jei paviršius pateikiamas lygtimi z = f(x, y), kur f(x, y) yra taške M 0 (x 0, y 0) diferencijuojama funkcija, liestinės plokštuma taške N 0 (x 0 ,y 0, (x 0 ,y 0)) egzistuoja ir turi lygtį:

Paviršiaus normaliosios lygtis šiame taške:

Geometrinis pojūtis bendras dviejų kintamųjų funkcijos skirtumas f(x, y) taške (x 0, y 0) yra liestinės plokštumos pritaikymo (z koordinačių) prie paviršiaus prieaugis judant iš taško (x 0) , y 0) iki taško (x 0 + Dx, y 0 +Dу).

Kaip matyti, dviejų kintamųjų funkcijos bendro diferencialo geometrinė reikšmė yra erdvinis analogas geometrine prasme vieno kintamojo funkcijos diferencialas.

16. Skaliarinis laukas ir jo charakteristikos Lygio linijos, krypties išvestinės, skaliarinio lauko gradientas.

Jei kiekvienas erdvės taškas yra susietas su skaliariniu dydžiu, tada atsiranda skaliarinis laukas (pavyzdžiui, temperatūros laukas, laukas elektrinis potencialas). Jei įvesta Dekarto koordinatės, tada taip pat žymime arba Laukas gali būti lygus, jei jis yra centre (sferinis) jei cilindrinis jei

Lygiai paviršiai ir linijos: skaliarinių laukų savybes galima vizualiai ištirti naudojant lygius paviršius. Tai yra erdvės paviršiai, ant kurių jis įgauna pastovią vertę. Jų lygtis yra tokia: . Plokščiame skaliariniame lauke lygio linijos yra kreivės, kuriose lauko reikšmė yra pastovi: Kai kuriais atvejais lygios linijos gali išsigimti į taškus, o lygūs paviršiai – į taškus ir kreives.

Skaliarinio lauko kryptinė išvestinė ir gradientas:

Tegul vieneto vektorius su koordinatėmis yra skaliarinis laukas. Krypties išvestinė apibūdina lauko pokytį tam tikra kryptimi ir apskaičiuojama pagal formulę Krypties išvestinė yra taškinis produktas vektorius ir vektorius su koordinatėmis , kuris vadinamas funkcijos gradientu ir žymimas nuo , kur kampas tarp ir , tada vektorius nurodo sparčiausio lauko didėjimo kryptį ir jo modulis lygus šios krypties išvestinei. Kadangi gradiento komponentai yra daliniai dariniai, nesunku gauti šias gradiento savybes:

17. F.m.p. ekstremumas Vietinis f.m.p. ekstremumas, būtinos ir pakankamos jo egzistavimo sąlygos. Didžiausias ir mažiausia vertė f.m.p. ribotai uždara zona.

Tegul funkcija z = ƒ(x;y) yra apibrėžta kurioje nors srityje D, taške N(x0;y0)

Taškas (x0;y0) vadinamas maksimaliu funkcijos z=ƒ(x;y) tašku, jei taško (x0;y0) kaimynystė yra tokia, kad kiekviename taške (x;y) skiriasi nuo (xo;yo), iš šios apylinkės galioja nelygybė ƒ(x;y).<ƒ(хо;уо). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (хо;уо) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(x0;y0). Funkcijos reikšmė maksimumo (minimumo) taške vadinama funkcijos maksimumu (minimumu). Funkcijos maksimumas ir minimumas vadinami jos ekstremumais. Atkreipkite dėmesį, kad pagal apibrėžimą funkcijos ekstremumo taškas yra funkcijos apibrėžimo srityje; maksimalus ir minimumas turi vietinį (vietinį) pobūdį: funkcijos reikšmė taške (x0; y0) lyginama su jos reikšmėmis taškuose, esančiuose pakankamai arti (x0; y0). D regione funkcija gali turėti kelis kraštutinumus arba jų nebūti.

Būtinos (1) ir pakankamos (2) egzistavimo sąlygos:

(1) Jei taške N(x0;y0) diferencijuojama funkcija z=ƒ(x;y) turi ekstremumą, tai jos dalinės išvestinės šiame taške lygios nuliui: ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" y(x0;y0 )=0. komentuoti. Funkcija gali turėti ekstremumą taškuose, kuriuose bent viena iš dalinių išvestinių neegzistuoja. Taškas, kuriame funkcijos z ≈ ƒ(x; y) pirmos eilės dalinės išvestinės yra lygios nuliui, t.y. f"x=0, f"y=0, vadinamas stacionariuoju funkcijos z tašku.

Stacionarūs taškai ir taškai, kuriuose neegzistuoja bent viena dalinė išvestinė, vadinami kritiniais taškais

(2) Tegul funkcija ƒ(x;y) stacionariame taške (xo; y) ir kai kuriose jo apylinkėse turi ištisines dalines išvestines iki antros eilės imtinai. Apskaičiuokime taške (x0;y0) reikšmes A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . Pažymėkime Tada:

1. jei Δ > 0, tai funkcija ƒ(x;y) taške (x0;y0) turi ekstremumą: maksimalus, jei A< 0; минимум, если А > 0;

2. jei Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

3. Esant Δ = 0, taške (x0;y0) ekstremumas gali būti arba nebūti. Reikia daugiau tyrimų.

Vieno kintamojo funkcijai y = f(x) taške x 0 geometrinė diferencialo reikšmė reiškia funkcijos grafiko liestinės ordinatės prieaugį taške su abscise x 0 judant į tašką x 0 +  x. Ir dviejų kintamųjų funkcijos skirtumas šiuo atžvilgiu yra prieaugis pirštai liestinė lėktuvas nubrėžtas į lygties pateiktą paviršių z = f(x, y) , taške M 0 (x 0 , y 0 ) judant į tašką M(x 0 +  x, y 0 +  y). Apibrėžkime tam tikro paviršiaus liestinės plokštumą:

Df . Lėktuvas, einantis per tašką R 0 paviršiai S, paskambino liestinės plokštuma tam tikrame taške, jei kampas tarp šios plokštumos ir per du taškus einančios sekanto R 0 Ir R(bet kuris paviršiaus taškas S) , linkęs į nulį, kai taškas R išilgai šio paviršiaus linksta į tašką R 0 .

Leiskite paviršiui S pateikta lygtimi z = f(x, y). Tada galima parodyti, kad šis paviršius turi tašką P 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) liestinės plokštuma tada ir tik tada, kai funkcija z = f(x, y) šiuo metu skiriasi. Šiuo atveju liestinės plokštuma pateikiama pagal lygtį:

z – z 0 = +
(6).

§5. Kryptinė išvestinė, funkcijos gradientas.

Dalinės išvestinės funkcijos y= f(x 1 , x 2 .. x n ) pagal kintamuosius x 1 , x 2 . . . x n išreikškite funkcijos kitimo greitį koordinačių ašių kryptimi. Pavyzdžiui, yra funkcijos kitimo greitis pagal X 1 – tai yra daroma prielaida, kad funkcijos apibrėžimo sričiai priklausantis taškas juda tik lygiagrečiai ašiai Oi 1 , o visos kitos koordinatės lieka nepakitusios. Tačiau galima daryti prielaidą, kad funkcija gali keistis ir kita kryptimi, kuri nesutampa su nė vienos ašies kryptimi.

Apsvarstykite trijų kintamųjų funkciją: u= f(x, y, z).

Pataisykime esmę M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) ir tam tikra tiesi linija (ašis) l, einantis per šį tašką. Leiskite M(x, y, z) - savavališkas šios tiesės taškas ir M 0 M- atstumas nuo M 0 į M.

u = f (x, y, z) – f(x 0 , y 0 , z 0 ) – funkcijos padidėjimas taške M 0 .

Raskime funkcijos prieaugio santykį su vektoriaus ilgiu
:

Df . Funkcijos išvestinė u = f (x, y, z) kryptimi l taške M 0 vadinama funkcijos prieaugio ir vektoriaus ilgio santykio riba M 0 M nes pastarasis linkęs į 0 (arba, kas yra tas pats, kaip MĮ M 0 ):

(1)

Ši išvestinė apibūdina funkcijos kitimo taške greitį M 0 kryptimi l.

Tegul ašis l (vektorius M 0 M) formos su ašimis JAUTIS, OY, OZ kampai
atitinkamai.

Pažymėkime x-x 0 =
;

y - y 0 =
;

z - z 0 =
.

Tada vektorius M 0 M = (x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 )=
ir jo krypties kosinusai:

;

(4).

(4) – krypties išvestinės skaičiavimo formulė.

Apsvarstykite vektorių, kurio koordinatės yra funkcijos dalinės išvestinės u= f(x, y, z) taške M 0 :

grad u - funkcijos gradientas u= f(x, y, z) taške M(x, y, z)

Gradiento savybės:

Išvada: funkcijos gradiento ilgis u= f(x, y, z) – yra didžiausia įmanoma vertybė šiuo metu M(x, y, z) , ir vektoriaus kryptis grad u sutampa su tašką paliekančio vektoriaus kryptimi M, pagal kurią funkcija keičiasi greičiausiai. Tai yra funkcijos gradiento kryptis grad u - yra sparčiausio funkcijos padidėjimo kryptis.

Tangentinė plokštuma ir normali paviršiui.

liestinės plokštuma

Apibrėžimas. Normalusį paviršių taške N 0 yra tiesė, einanti per tašką N 0, statmena šio paviršiaus liestinės plokštumai.

Bet kuriame taške paviršius turi arba tik vieną liestinės plokštumą, arba jos visai neturi.

Jei paviršius pateikiamas lygtimi z = f(x, y), kur f(x, y) yra taške M 0 (x 0, y 0) diferencijuojama funkcija, liestinės plokštuma taške N 0 ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) egzistuoja ir turi lygtį:

Paviršiaus normaliosios lygtis šiuo metu yra tokia:

Kaip matote, dviejų kintamųjų funkcijos bendro diferencialo geometrinė reikšmė yra vieno kintamojo funkcijos diferencialo geometrinės reikšmės erdvinis analogas.

Pavyzdys. Raskite paviršiaus liestinės plokštumos ir normaliosios lygtis

taške M(1, 1, 1).

Tangentinės plokštumos lygtis:

Normali lygtis:

20.4. Apytiksliai skaičiavimai naudojant suminius skirtumus.

Tegul funkcija f(x, y) yra diferencijuojama taške (x, y). Raskime bendrą šios funkcijos prieaugį:

Jei išraišką pakeisime šia formule

tada gauname apytikslę formulę:

Pavyzdys. Apskaičiuokite apytikslę reikšmę pagal funkcijos reikšmę, kai x = 1, y = 2, z = 1.

Iš pateiktos išraiškos nustatome x = 1,04 – 1 = 0,04, y = 1,99 – 2 = -0,01,

z = 1,02 – 1 = 0,02.

Raskime funkcijos u(x, y, z) = reikšmę

Dalinių išvestinių radimas:

Bendras funkcijos u skirtumas yra lygus:

Tiksli šios išraiškos reikšmė yra: 1.049275225687319176.

20.5. Aukštesnių eilių daliniai išvestiniai produktai.

Jei funkcija f(x, y) yra apibrėžta kurioje nors srityje D, tai jos dalinės išvestinės taip pat bus apibrėžtos toje pačioje srityje arba jos dalyje.

Tai vadinsime dariniais pirmos eilės daliniai išvestiniai.

Šių funkcijų išvestiniai bus antros eilės daliniai išvestiniai.

Toliau diferencijuodami gautas lygybes, gauname aukštesnių laipsnių dalines išvestines.

Apibrėžimas. Formos daliniai vediniai ir tt yra vadinami mišrūs dariniai.

Teorema. Jei funkcija f(x, y) ir jos dalinės išvestinės yra apibrėžtos ir tolydžios taške M(x, y) ir jo apylinkėse, tai teisingas toks ryšys:

Tie. aukštesnių laipsnių dalinės išvestinės nepriklauso nuo diferenciacijos eilės.

Aukštesnės eilės skirtumai apibrėžiami panašiai.

…………………

Čia n yra simbolinė išvestinės galia, kuri pakėlus į ją skliaustuose esančią išraišką, pakeičiama realiąja galia.

Apibrėžimas Funkcijos f(x, y) išraiška vadinama Dz = f(x + Dx, y + Dy) – f(x, y) pilnas prieaugis .

Jei funkcija f(x, y) turi ištisines dalines išvestines, tai

Tada gauname, naudodamiesi Lagranžo teorema

Nes dalinės išvestinės yra tolydžios, tada galime parašyti lygybes:

Apibrėžimas. Išraiška vadinama pilnas prieaugis funkcijos f(x, y) tam tikrame taške (x, y), kur a 1 ir a 2 yra be galo mažos funkcijos atitinkamai Dх ® 0 ir Dу ® 0.

Apibrėžimas: Pilnas diferencialas funkcija z = f(x, y) vadinama pagrindine tiesine funkcijos Dz prieaugio Dх ir Dу atžvilgiu taške (x, y).

Savavališko skaičiaus kintamųjų funkcijai:

Pavyzdys. Raskite visą funkcijos skirtumą.

Pavyzdys. Raskite visą funkcijos skirtumą

Geometrinė visuminio diferencialo reikšmė.

Tangentinė plokštuma ir normali paviršiui.

normalus

liestinės plokštuma

Tegul N ir N 0 yra šio paviršiaus taškai. Nubrėžkime tiesę NN 0. Plokštuma, kuri eina per tašką N 0, vadinama liestinės plokštumaį paviršių, jei kampas tarp sekanto NN 0 ir šios plokštumos linkęs į nulį, kai atstumas NN 0 linkęs į nulį.

Apibrėžimas. Normalusį paviršių taške N 0 yra tiesė, einanti per tašką N 0, statmena šio paviršiaus liestinės plokštumai.

Bet kuriame taške paviršius turi arba tik vieną liestinės plokštumą, arba jos visai neturi.

Jei paviršius pateikiamas lygtimi z = f(x, y), kur f(x, y) yra taške M 0 (x 0, y 0) diferencijuojama funkcija, liestinės plokštuma taške N 0 ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) egzistuoja ir turi lygtį:

Paviršiaus normaliosios lygtis šiuo metu yra tokia:

Kaip matote, dviejų kintamųjų funkcijos bendro diferencialo geometrinė reikšmė yra vieno kintamojo funkcijos diferencialo geometrinės reikšmės erdvinis analogas.

Pavyzdys Raskite paviršiaus liestinės plokštumos ir normaliosios lygtis

Taške M(1, 1, 1).

Tangentinės plokštumos lygtis:

Normali lygtis:

Aukštesnių eilių daliniai išvestiniai produktai.

Tegul erdvėje yra aibė X. Kiekvienas šios aibės taškas yra apibrėžtas skaičių rinkiniu, kuris yra to taško koordinatės. Sakysime, kad aibėje X duota n kintamųjų funkcija, jei kiekvienas taškas pagal tam tikrą įstatymą yra suderintas vienaskaita z, t.y. .

Pavyzdys: tegul x 1, x 2, x 3 yra baseino ilgis, plotis ir gylis. Tada randame baseino paviršiaus plotą.

N-kintamųjų funkcija vadinamas tęstiniu taške , jei funkcijos riba šiame taške yra lygi funkcijos reikšmei ribiniame taške, t.y. .

Apibrėžimas: dalinė išvestinė funkcija kintamojo atžvilgiu yra funkcijos z išvestinė kintamojo atžvilgiu, apskaičiuojama su sąlyga, kad visi kiti kintamieji išlieka pastovūs.

Dalinė išvestinė.

Pavyzdys

Dviejų kintamųjų funkcijai galime įvesti keturias antros eilės dalines išvestines

1., rašoma: du z du kartus.

Teorema mišrios išvestinės priemonės, kai jos yra tęstinės, nepriklauso nuo išvestinių išvestinių skaičiavimo tvarkos. Tai galioja bet kokios eilės mišrioms išvestinėms ir bet kokio kintamųjų skaičiaus funkcijai.

Jei funkcija f(x, y) yra apibrėžta kurioje nors srityje D, tai jos dalinės išvestinės taip pat bus apibrėžtos toje pačioje srityje arba jos dalyje.

Tai vadinsime dariniais pirmos eilės daliniai išvestiniai.

Šių funkcijų išvestiniai bus antros eilės daliniai išvestiniai.

Toliau diferencijuodami gautas lygybes, gauname aukštesnių laipsnių dalines išvestines.

Apibrėžimas Formos daliniai vediniai ir tt yra vadinami mišrūs dariniai.

Teorema Jei funkcija f(x, y) ir jos dalinės išvestinės yra apibrėžtos ir tolydžios taške M(x, y) ir jo apylinkėse, tai teisingas toks ryšys: .

tada vadinamas tašku M 0 minimalus taškas.

Teorema (būtinos ekstremumo sąlygos) Jei funkcija f(x,y) taške (x 0, y 0) turi ekstremumą, tai šiame taške arba abi jos pirmos eilės dalinės išvestinės yra lygios nuliui, arba bent viena iš jų neegzistuoja .

Šį tašką vadinsime (x 0, y 0) kritinis taškas.

Teorema (pakankamos sąlygos ekstremumui) Tegul šalia kritinio taško (x 0, y 0) funkcija f(x, y) turi ištisines dalines išvestines iki antros eilės imtinai. Apsvarstykite išraišką:

1) Jei D(x 0 , y 0) > 0, tai taške (x 0 , y 0) funkcija f(x, y) turi ekstremumą, jei

2) - 0, tada taške (x 0, y 0) funkcija f(x, y) neturi ekstremumo

Jei D = 0, negalima daryti išvados apie ekstremumo buvimą.

$E \pogrupis \mathbb(R)^(n)$. Sako, $f$ turi vietinis maksimumas taške $x_(0) \in E$, jei yra taško $x_(0)$ kaimynystė $U$ tokia, kad visiems $x \in U$ nelygybė $f\left(x\right ) \leqslant f yra patenkintas \left(x_(0)\right)$.

Vietinis maksimumas vadinamas griežtas , jei kaimynystę $U$ galima pasirinkti taip, kad visiems $x \in U$, kurie skiriasi nuo $x_(0)$, būtų $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Apibrėžimas
Tegul $f$ yra reali funkcija atviroje aibėje $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Sako, $f$ turi vietinis minimumas taške $x_(0) \in E$, jei yra taško $x_(0)$ kaimynystė $U$ tokia, kad visiems $x \in U$ nelygybė $f\left(x\right ) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

Vietinis minimumas vadinamas griežtu, jei kaimynystę $U$ galima pasirinkti taip, kad visiems $x \in U$, kurie skiriasi nuo $x_(0)$, būtų $f\left(x\right) > f\left(x_ (0)\dešinėn)$.

Vietinis ekstremumas jungia vietinio minimumo ir vietinio maksimumo sąvokas.

teorema ( būtina sąlyga diferencijuojamos funkcijos ekstremumas)
Tegul $f$ yra reali funkcija atviroje aibėje $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Jei taške $x_(0) \in E$ funkcija $f$ turi vietinį ekstremumą, tai $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Lygus nuliui diferencialas yra tolygus tam, kad visi lygūs nuliui, t.y. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

Vienmačiu atveju tai yra – . Pažymime $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, kur $h$ yra savavališkas vektorius. Funkcija $\phi$ yra apibrėžta $t$ reikšmėms, kurių absoliuti reikšmė yra pakankamai maža. Be to, atsižvelgiant į , jis yra diferencijuojamas ir $(\phi)' \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Tegul $f$ turi vietinį maksimumą taške x $0$. Tai reiškia, kad funkcija $\phi$, kai $t = 0$, turi vietinį maksimumą ir, pagal Ferma teoremą, $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Taigi, gavome, kad $df \left(x_(0)\right) = 0$, t.y. funkcija $f$ taške $x_(0)$ yra lygi nuliui bet kuriame vektoriuje $h$.

Apibrėžimas
Taškai, kuriuose skirtumas lygus nuliui, t.y. tos, kuriose visos dalinės išvestinės lygios nuliui, vadinamos stacionariais. Kritiniai taškai funkcijos $f$ yra tie taškai, kuriuose $f$ nesiskiria arba yra lygus nuliui. Jei taškas yra nejudantis, tai iš to nereiškia, kad funkcija šiame taške turi ekstremumą.

1 pavyzdys.
Tegu $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Tada $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, taigi $\left(0,0\right)$ yra stacionarus taškas, tačiau funkcija šiame taške neturi ekstremumo. Iš tiesų, $f \left(0,0\right) = 0$, tačiau nesunku pastebėti, kad bet kurioje taško $\left(0,0\right)$ kaimynystėje funkcija įgauna ir teigiamas, ir neigiamas reikšmes.

2 pavyzdys.
Funkcija $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ turi stacionarų tašką savo ištakoje, tačiau aišku, kad šiame taške nėra ekstremumo.

teorema ( pakankama būklė ekstremumas).
Tegul funkcija $f$ yra du kartus tolydžio diferencijuojama atvirojoje aibėje $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Tegu $x_(0) \in E$ yra stacionarus taškas, o $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Tada

jei $Q_(x_(0))$ – , tai funkcija $f$ taške $x_(0)$ turi lokalinį ekstremumą, ty minimumą, jei forma yra teigiama apibrėžtoji, ir maksimumą, jei forma yra neigiamas apibrėžtasis;
Jeigu kvadratine forma$Q_(x_(0))$ yra neapibrėžtas, tada funkcija $f$ taške $x_(0)$ neturi ekstremumo.

Panaudokime išplėtimą pagal Teiloro formulę (12.7 p. 292). Atsižvelgiant į tai, kad pirmosios eilės dalinės išvestinės taške $x_(0)$ yra lygios nuliui, gauname $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ dešinėje) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ kur $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ ir $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$, jei $h \rightarrow 0$, tada dešinė pusė bus teigiama bet kuriam pakankamai mažo ilgio vektoriui $h$.
Taigi, padarėme išvadą, kad tam tikroje taško $x_(0)$ kaimynystėje galioja nelygybė $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$, jei tik $ x \neq x_ (0)$ (įdedame $x=x_(0)+h$\right). Tai reiškia, kad taške $x_(0)$ funkcija turi griežtą lokalinį minimumą, todėl įrodoma pirmoji mūsų teoremos dalis.
Tarkime, kad $Q_(x_(0))$ – neapibrėžta forma. Tada yra vektoriai $h_(1)$, $h_(2)$, kad $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 USD. Tada gauname $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Jei yra pakankamai mažas $t>0$, dešinė ranka pusė yra teigiama. Tai reiškia, kad bet kurioje taško $x_(0)$ kaimynystėje funkcija $f$ įgyja reikšmes $f \left(x\right)$, didesnes nei $f \left(x_(0)\right)$.
Panašiai mes nustatome, kad bet kurioje taško $x_(0)$ kaimynystėje funkcija $f$ įgyja reikšmes, mažesnes nei $f \left(x_(0)\right)$. Tai kartu su ankstesniu reiškia, kad taške $x_(0)$ funkcija $f$ neturi ekstremumo.

Pasvarstykime ypatingas atvejisšios teoremos funkcijai $f \left(x,y\right)$ dviejų kintamųjų, apibrėžtų tam tikroje taško $\left(x_(0),y_(0)\right)$ kaimynystėje ir turinčiai ištisinę dalinę pirmųjų šioje kaimynystėje ir antrosios eilės vediniai. Tarkime, kad $\left(x_(0),y_(0)\right)$ yra stacionarus taškas ir žymi $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) ), y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ) .$$ Tada ankstesnė teorema įgauna tokią formą.

Teorema
Tegu $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Tada:

jei $\Delta>0$, tai funkcija $f$ turi vietinį ekstremumą taške $\left(x_(0),y_(0)\right)$, ty minimumą, jei $a_(11)> 0$ , o didžiausia, jei $a_(11)<0$;
jei $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Problemų sprendimo pavyzdžiai

Daugelio kintamųjų funkcijos ekstremumo radimo algoritmas:

Stacionarių taškų radimas;
Raskite 2 eilės skirtumą visuose stacionariuose taškuose
Naudodami pakankamą daugelio kintamųjų funkcijos ekstremumo sąlygą, atsižvelgiame į 2 eilės skirtumą kiekviename stacionariame taške

Ištirkite ekstremumo $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$ funkciją.
Sprendimas
Raskime pirmos eilės dalinius išvestinius: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) - 6 \cdot x.$$ Sudarykime ir išspręskime sistemą: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(atvejai) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(cases)$$ Iš 2-osios lygties išreiškiame $x=4 \cdot y^(2)$ - pakeiskite ją 1-ąja lygtimi: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Dėl to gaunami 2 stacionarūs taškai:
1) $y=0 \Rodyklė dešinėn x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
Patikrinkime, ar tenkinama pakankama ekstremumo sąlyga:
$$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
1) Taškui $M_(1)= \left(0,0\right)$:
$$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
$A_(1) \cdot B_(1) – C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) $M_(2)$ taškui:
$$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
$A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, tai reiškia, kad taške $M_(2)$ yra ekstremumas, o nuo $A_(2)> 0 $, tada tai yra minimumas.
Atsakymas: Taškas $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ yra mažiausias funkcijos $f$ taškas.
Ištirkite ekstremumo $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$ funkciją.
Sprendimas
Raskime stacionarius taškus: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
Sudarykime ir išspręskime sistemą: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases ) \ Rodyklė dešinėn \begin(atvejai)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(atvejai) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\pabaiga(atvejai) \Rightrow x = -1$$
$M_(0) \left(-1, 2\right)$ yra stacionarus taškas.
Patikrinkime, ar tenkinama pakankama ekstremumo sąlyga: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
$A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
Atsakymas: nėra kraštutinumų.