Daugiavardžių išplėtimas norint gauti produktą kartais gali atrodyti painu. Bet tai nėra taip sunku, jei suprantate procesą žingsnis po žingsnio. Straipsnyje išsamiai aprašoma, kaip apskaičiuoti kvadratinį trinarį.

Daugelis žmonių nesupranta, kaip apskaičiuoti kvadratinį trinarį ir kodėl tai daroma. Iš pradžių tai gali atrodyti kaip bergždžias pratimas. Tačiau matematikoje niekas nedaroma už dyką. Transformacija būtina norint supaprastinti išraišką ir palengvinti skaičiavimą.

Formos polinomas – ax²+bx+c, vadinamas kvadratiniu trinamiu. Terminas „a“ turi būti neigiamas arba teigiamas. Praktikoje ši išraiška vadinama kvadratine lygtimi. Todėl kartais sako kitaip: kaip suskaidyti kvadratinė lygtis.

Įdomu! Dauginamas vadinamas kvadratu dėl jo didžiausio laipsnio – kvadrato. Ir trinaris – dėl 3 komponentų.

Kai kurie kiti daugianarių tipai:

• tiesinis dvinaris (6x+8);
• kubinis kvadrinimas (x³+4x²-2x+9).

Kvadratinio trinalio koeficientas

Pirma, išraiška lygi nuliui, tada reikia rasti šaknų x1 ir x2 reikšmes. Šaknų gali nebūti, gali būti viena ar dvi šaknys. Šaknų buvimą lemia diskriminantas. Jūs turite žinoti jo formulę mintinai: D=b²-4ac.

Jei rezultatas D yra neigiamas, šaknų nėra. Jei teigiama, yra dvi šaknys. Jei rezultatas lygus nuliui, šaknis yra viena. Šaknys taip pat apskaičiuojamos pagal formulę.

Jei skaičiuojant diskriminantą rezultatas yra nulis, galite naudoti bet kurią formulę. Praktiškai formulė tiesiog sutrumpinama: -b / 2a.

Formulės, skirtos skirtingos reikšmės diskriminantai skiriasi.

Jei D teigiamas:

Jei D yra nulis:

Internetiniai skaičiuotuvai

Internete yra internetinis skaičiuotuvas. Jis gali būti naudojamas faktorizavimui atlikti. Kai kurie ištekliai suteikia galimybę žingsnis po žingsnio peržiūrėti sprendimą. Tokios paslaugos padeda geriau suprasti temą, tačiau reikia stengtis ją gerai suprasti.

Naudingas vaizdo įrašas: kvadratinio trinalio faktorius

Pavyzdžiai

Kviečiame apžiūrėti paprasti pavyzdžiai, kaip apskaičiuoti kvadratinę lygtį.

1 pavyzdys

Tai aiškiai parodo, kad rezultatas yra du x, nes D yra teigiamas. Jie turi būti pakeisti į formulę. Jei šaknys pasirodo neigiamos, ženklas formulėje pasikeičia į priešingą.

Žinome kvadratinio trinalio faktoriaus formulę: a(x-x1)(x-x2). Vertes dedame skliausteliuose: (x+3)(x+2/3). Laipsnyje nėra skaičiaus prieš terminą. Tai reiškia, kad ten yra vienas, jis nusileidžia.

2 pavyzdys

Šis pavyzdys aiškiai parodo, kaip išspręsti lygtį, kuri turi vieną šaknį.

Pakeičiame gautą vertę:

3 pavyzdys

Duota: 5x²+3x+7

Pirmiausia, kaip ir ankstesniais atvejais, apskaičiuokime diskriminantą.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminantas yra neigiamas, o tai reiškia, kad nėra šaknų.

Gavę rezultatą, turėtumėte atidaryti skliaustus ir patikrinti rezultatą. Turėtų pasirodyti pradinis trinaris.

Alternatyvus sprendimas

Kai kurie žmonės niekada negalėjo susidraugauti su diskriminatoriumi. Yra dar vienas kvadratinio trinalio faktorinavimo būdas. Patogumui metodas parodytas su pavyzdžiu.

Duota: x²+3x-10

Žinome, kad turėtume gauti 2 skliaustus: (_)(_). Kai išraiška atrodo taip: x²+bx+c, kiekvieno skliausto pradžioje dedame x: (x_)(x_). Likę du skaičiai yra sandauga, suteikianti „c“, t. y. šiuo atveju -10. Vienintelis būdas sužinoti, kokie tai yra skaičiai, yra pasirinkti. Pakeisti skaičiai turi atitikti likusį terminą.

Pavyzdžiui, padauginus šiuos skaičius gaunamas -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1) (x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nr.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nr.
3. (x-5) (x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nr.
4. (x-2) (x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Tinka.

Tai reiškia, kad išraiškos x2+3x-10 transformacija atrodo taip: (x-2)(x+5).

Svarbu! Turėtumėte būti atsargūs, kad nesupainiotumėte ženklų.

Sudėtingo trinalio išplėtimas

Jei „a“ yra didesnis nei vienas, prasideda sunkumai. Tačiau viskas nėra taip sunku, kaip atrodo.

Norėdami apskaičiuoti faktorių, pirmiausia turite išsiaiškinti, ar ką nors galima išskirti.

Pavyzdžiui, atsižvelgiant į išraišką: 3x²+9x-30. Čia skaičius 3 išimamas iš skliaustų:

3 (x²+3x-10). Rezultatas – jau gerai žinomas trinaris. Atsakymas atrodo taip: 3(x-2)(x+5)

Kaip išskaidyti, jei kvadrate esantis terminas yra neigiamas? Šiuo atveju skaičius -1 išimamas iš skliaustų. Pavyzdžiui: -x²-10x-8. Tada išraiška atrodys taip:

Schema mažai skiriasi nuo ankstesnės. Yra tik keli nauji dalykai. Tarkime, pateikta išraiška: 2x²+7x+3. Atsakymas taip pat rašomas 2 skliausteliuose, kuriuos reikia užpildyti (_)(_). 2 skliausteliuose rašoma x, o 1-ame kas liko. Tai atrodo taip: (2x_) (x_). Priešingu atveju pakartojama ankstesnė schema.

Skaičius 3 pateikiamas skaičiais:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Išsprendžiame lygtis pakeisdami šiuos skaičius. Paskutinis variantas tinka. Tai reiškia, kad išraiškos 2x²+7x+3 transformacija atrodo taip: (2x+1)(x+3).

Kiti atvejai

Ne visada įmanoma konvertuoti išraišką. Taikant antrąjį metodą, lygties spręsti nereikia. Tačiau galimybė terminus paversti produktu tikrinama tik per diskriminantą.

Verta praktikuotis sprendžiant kvadratines lygtis, kad naudojant formules nekiltų sunkumų.

Naudingas vaizdo įrašas: trinario faktorius

Išvada

Galite jį naudoti bet kokiu būdu. Bet geriau praktikuoti abu, kol jie taps automatiniai. Taip pat išmokti gerai spręsti kvadratines lygtis ir faktorių polinomus būtina tiems, kurie planuoja savo gyvenimą sieti su matematika. Visos šios matematinės temos yra pagrįstos tuo.

Pateikti 8 faktoringo daugianario pavyzdžiai. Juose pateikiami pavyzdžiai sprendžiant kvadratinius ir bikvadratinės lygtys, pavyzdžiai su pasikartojančiais daugianariais ir pavyzdžiai su trečiojo ir ketvirto laipsnio daugianarių sveikųjų šaknų radimu.

Turinys

Taip pat žiūrėkite: Polinomų faktoringo metodai
Kvadratinės lygties šaknys
Kubinių lygčių sprendimas

1. Kvadratinės lygties sprendimo pavyzdžiai

1.1 pavyzdys

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Išimame x 2 skliausteliuose:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Lygties šaknys:
, .

.

1.2 pavyzdys

Trečiojo laipsnio daugianario koeficientas:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Išimkime x iš skliaustų:
.
Kvadratinės lygties x sprendimas 2 + 6 x + 9 = 0:
Jo diskriminantas: .
Kadangi diskriminantas lygus nuliui, lygties šaknys yra kartotinės: ;
.

Iš čia gauname daugianario faktorizaciją:
.

1.3 pavyzdys

Penktojo laipsnio daugianario koeficientas:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Išimame x 3 skliausteliuose:
.
Kvadratinės lygties x sprendimas 2–2 x + 10 = 0.
Jo diskriminantas: .
Kadangi diskriminantas yra mažesnis už nulį, lygties šaknys yra sudėtingos: ;
, .

Polinomo faktorizavimas turi tokią formą:
.

Jei mus domina faktorizacija su realiais koeficientais, tada:
.

Faktoringo daugianario pavyzdžiai naudojant formules

Pavyzdžiai su bikvadratiniais daugianariais

2.1 pavyzdys

Bikvadratinio daugianario koeficientas:
x 4 + x 2 - 20.

Taikykime formules:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 – b 2 = (a – b) (a + b).

;
.

2.2 pavyzdys

Padalinkite daugianarį, kuris redukuojasi į bikvadratinį:
x 8 + x 4 + 1.

Taikykime formules:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 – b 2 = (a – b) (a + b):

;

;
.

2.3 pavyzdys su pasikartojančiu daugianario

Apskaičiuokite abipusį daugianarį:
.

Abipusis daugianario laipsnis yra nelyginis. Todėl jis turi šaknį x = - 1 . Padalinkite daugianarį iš x -(-1) = x + 1
.
.
, ;
;


;
.

Rezultate gauname:

3.1 pavyzdys

Dauginamo koeficientas:
.

Tarkime, kad lygtis

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 · (-6) 2 + 11 · (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 · (-3) 2 + 11 · (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 · (-2) 2 + 11 · (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 · (-1) 2 + 11 · (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Taigi, mes radome tris šaknis:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Kadangi pradinis daugianario yra trečiojo laipsnio, jis turi ne daugiau kaip tris šaknis. Kadangi radome tris šaknis, jos paprastos. Tada
.

3.2 pavyzdys

Dauginamo koeficientas:
.

Tarkime, kad lygtis

turi bent vieną visą šaknį. Tada tai yra skaičiaus daliklis 2 (narys be x). Tai yra, visa šaknis gali būti vienas iš skaičių:
-2, -1, 1, 2 .
Šias reikšmes pakeičiame po vieną:
(-2) 4 + 2 · (-2) 3 + 3 · (-2) 3 + 4 · (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 · (-1) 3 + 3 · (-1) 3 + 4 · (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.

Taigi, mes radome vieną šaknį:
x 1 = -1 .
Padalinkite daugianarį iš x - x 1 = x - (-1) = x + 1:


Tada
.

Dabar turime išspręsti trečiojo laipsnio lygtį:
.
Jei darysime prielaidą, kad ši lygtis turi sveikąją šaknį, tada ji yra skaičiaus daliklis 2 (narys be x). Tai yra, visa šaknis gali būti vienas iš skaičių:
1, 2, -1, -2 .
Pakeiskime x = -1 :
.

Taigi, mes radome kitą šaknį x 2 = -1 .
.

Galima būtų, kaip ir ankstesniu atveju, padalyti daugianarį iš , tačiau terminus sugrupuosime:

Norint faktorizuoti, reikia supaprastinti išraiškas. Tai būtina, kad jį būtų galima dar labiau sumažinti. Polinomo plėtimas yra prasmingas, kai jo laipsnis yra ne mažesnis kaip du. Dauginamas su pirmuoju laipsniu vadinamas tiesiniu. Straipsnyje bus aptariamos visos skilimo sąvokos, teoriniai pagrindai

ir daugianario faktorinavimo metodai.

teorija

1 teorema

Kai bet kuris n laipsnio daugianomas, turintis formą P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, pateikiami kaip sandauga su pastoviu koeficientu su didžiausiu a n laipsniu ir n tiesiniais koeficientais (x - x i), i = 1, 2, ..., n, tada P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , kur x i, i = 1, 2, …, n yra daugianario šaknys.

Teorema skirta kompleksinio tipo x i, i = 1, 2, …, n šaknims ir kompleksiniams koeficientams a k, k = 0, 1, 2, …, n. Tai yra bet kokio skilimo pagrindas. Kai a k ​​formos koeficientai k = 0, 1, 2, …, n yra realūs skaičiai , Tada, kurios atsiras konjuguotomis poromis. Pavyzdžiui, šaknys x 1 ir x 2, susijusios su P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + formos daugianario. . . + a 1 x + a 0 laikomi kompleksiniais konjugatais, tada kitos šaknys yra tikrosios, iš kurių gauname, kad daugianario forma yra P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, kur x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

komentuoti

Polinomo šaknys gali kartotis. Panagrinėkime algebros teoremos įrodymą, Bezouto teoremos pasekmę.

Pagrindinė algebros teorema

2 teorema

Bet kuris n laipsnio daugianomas turi bent vieną šaknį.

Bezouto teorema

Padalijus P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + formos daugianarį. . . + a 1 x + a 0 ant (x - s), tada gauname likutį, kuri yra lygi polinomui taške s, tada gauname

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , kur Q n - 1 (x) yra daugianaris, kurio laipsnis n - 1.

Bezouto teoremos išvada

Kai daugianario P n (x) šaknis laikoma s, tai P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Šios išvados pakanka, kai ji naudojama sprendimui apibūdinti.

Kvadratinio trinalio koeficientas

Formos a x 2 + b x + c kvadratinis trinaris gali būti padalytas į tiesinius koeficientus. tada gauname, kad a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , kur x 1 ir x 2 yra šaknys (sudėtingos arba tikrosios).

Tai rodo, kad pats plėtimasis vėliau redukuojasi iki kvadratinės lygties sprendimo.

1 pavyzdys

Kvadratinio trinalio koeficientas.

Sprendimas

Būtina rasti lygties 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 šaknis. Norėdami tai padaryti, naudodami formulę turite rasti diskriminanto reikšmę, tada gausime D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Iš čia mes tai turime

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Iš to gauname, kad 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

Norėdami atlikti patikrinimą, turite atidaryti skliaustus. Tada gauname formos išraišką:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Patikrinę pasiekiame pradinę išraišką. Tai yra, galime daryti išvadą, kad skaidymas buvo atliktas teisingai.

2 pavyzdys

Padalinkite kvadratinį trinarį formos 3 x 2 - 7 x - 11 .

Sprendimas

Mes nustatome, kad reikia apskaičiuoti gautą kvadratinę lygtį, kurios forma yra 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

Norėdami rasti šaknis, turite nustatyti diskriminanto reikšmę. Mes tai gauname

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6

Iš to gauname, kad 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.

3 pavyzdys

Padalinkite daugianario koeficientą 2 x 2 + 1.

Sprendimas

Dabar turime išspręsti kvadratinę lygtį 2 x 2 + 1 = 0 ir rasti jos šaknis. Mes tai gauname

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Šios šaknys vadinamos kompleksiniu konjugatu, o tai reiškia, kad pats išsiplėtimas gali būti pavaizduotas kaip 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

4 pavyzdys

Išskaidykite kvadratinį trinarį x 2 + 1 3 x + 1 .

Sprendimas

Pirmiausia reikia išspręsti x 2 + 1 3 x + 1 = 0 formos kvadratinę lygtį ir rasti jos šaknis.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i

Gavę šaknis, rašome

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

komentuoti

Jei diskriminanto reikšmė yra neigiama, daugianariai liks antros eilės daugianariais. Iš to išplaukia, kad į tiesinius veiksnius jų neišplėsime.

Didesnio nei du laipsnio daugianario faktorinavimo metodai

Skaidant daroma prielaida, kad yra universalus metodas. Dauguma atvejų yra pagrįsti Bezouto teoremos išvadomis. Norėdami tai padaryti, turite pasirinkti šaknies x 1 reikšmę ir sumažinti jos laipsnį, padalydami iš daugianario iš 1, padalydami iš (x - x 1). Gautame daugianaryje reikia rasti šaknį x 2, o paieškos procesas vyksta cikliškai, kol gauname visišką išplėtimą.

Jei šaknis nerasta, tada naudojami kiti faktorizavimo būdai: grupavimas, papildomi terminai. Ši tema pateikia lygčių su sprendinį aukštesni laipsniai ir sveikųjų skaičių koeficientai.

Bendrojo faktoriaus išėmimas iš skliaustų

Panagrinėkime atvejį, kai laisvasis narys lygus nuliui, tada daugianario forma tampa P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + 1 x .

Matyti, kad tokio daugianario šaknis bus lygi x 1 = 0, tada daugianarį galima pavaizduoti kaip išraišką P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

Laikoma, kad šis metodas išima bendrą veiksnį iš skliaustų.

5 pavyzdys

Trečiojo laipsnio daugianario koeficientas 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Sprendimas

Matome, kad x 1 = 0 yra duoto daugianario šaknis, tada galime pašalinti x iš visos išraiškos skliaustų. Mes gauname:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Pereikime prie kvadratinio trinalio 4 x 2 + 8 x - 1 šaknų paieškos. Raskime diskriminantą ir šaknis:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Tada iš to seka

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Pirmiausia atsižvelkime į skaidymo metodą, kuriame yra sveikųjų skaičių P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + formos koeficientai. . . + a 1 x + a 0, kur aukščiausio laipsnio koeficientas yra 1.

Kai daugianario šaknys yra sveikosios, tada jos laikomos laisvojo termino dalikliais.

6 pavyzdys

Išplėskite išraišką f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Sprendimas

Pasvarstykime, ar yra pilnos šaknys. Būtina užrašyti skaičiaus daliklius - 18. Gauname, kad ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Iš to išplaukia, kad šis daugianomas turi sveikųjų skaičių šaknis. Galite patikrinti naudodami Hornerio schemą. Tai labai patogu ir leidžia greitai gauti daugianario plėtimosi koeficientus:

Iš to išplaukia, kad x = 2 ir x = - 3 yra pradinio daugianario šaknys, kurias galima pavaizduoti kaip formos sandaugą:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Mes tęsiame kvadratinio trinario, kurio forma yra x 2 + 2 x + 3, plėtimą.

Kadangi diskriminantas yra neigiamas, tai reiškia, kad nėra tikrų šaknų.

Atsakymas: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

komentuoti

Vietoj Hornerio schemos leidžiama naudoti šaknies pasirinkimą ir daugianario padalijimą iš daugianario. Pereikime prie daugianario, turinčio sveikųjų skaičių P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + formos, išplėtimo. . . + a 1 x + a 0 , iš kurių didžiausias lygus vienetui.

Šis atvejis pasitaiko racionaliosioms trupmenoms.

7 pavyzdys

Faktorizuoti f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Sprendimas

Būtina pakeisti kintamąjį y = 2 x, turėtumėte pereiti prie daugianario, kurio koeficientai yra lygūs 1 aukščiausiu laipsniu. Pradėti reikia padauginus išraišką iš 4. Mes tai gauname

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Kai gautos formos g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 funkcija turi sveikųjų skaičių šaknis, tada jų vieta yra tarp laisvojo nario daliklių. Įrašas atrodys taip:

±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

Pereikime prie funkcijos g (y) skaičiavimo šiuose taškuose, kad gautume nulį. Mes tai gauname

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Pastebime, kad y = - 5 yra y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 formos lygties šaknis, o tai reiškia, kad x = y 2 = - 5 2 yra pradinės funkcijos šaknis.

8 pavyzdys

Būtina padalyti stulpeliu 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 iš x + 5 2.

Sprendimas

Užsirašykime ir gaukime:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Daliklių tikrinimas užtruks daug laiko, todėl gautą kvadratinį trinarį, kurio forma yra x 2 + 7 x + 3, naudingiau koeficientuoti. Prilyginę nuliui, randame diskriminantą.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Iš to išplaukia

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Dirbtiniai daugianario faktorinavimo būdai

Racionalios šaknys būdingos ne visiems daugianariams. Norėdami tai padaryti, turite naudoti specialius metodus, kad surastumėte veiksnius. Tačiau ne visi daugianariai gali būti išplėsti arba pavaizduoti kaip produktas.

Grupavimo metodas

Yra atvejų, kai galite sugrupuoti daugianario sąlygas, kad surastumėte bendrą veiksnį ir išdėliotumėte jį skliaustuose.

9 pavyzdys

Padalinkite daugianario koeficientą x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Sprendimas

Kadangi koeficientai yra sveikieji skaičiai, tada šaknys taip pat gali būti sveikieji skaičiai. Norėdami patikrinti, paimkite reikšmes 1, - 1, 2 ir - 2, kad apskaičiuotumėte daugianario reikšmę šiuose taškuose. Mes tai gauname

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Tai rodo, kad nėra šaknų, būtina naudoti kitą išplėtimo ir sprendimo būdą.

Būtina sugrupuoti:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Sugrupavę pradinį daugianarį, turite jį pavaizduoti kaip dviejų kvadratinių trinarių sandaugą. Norėdami tai padaryti, turime atlikti faktorių. mes tai gauname

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

komentuoti

Grupavimo paprastumas nereiškia, kad pasirinkti terminus yra pakankamai lengva. Specifinio sprendimo būdo nėra, todėl būtina naudoti specialias teoremas ir taisykles.

10 pavyzdys

Padalinkite daugianario koeficientą x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .

Sprendimas

Pateiktas daugianomas neturi sveikųjų skaičių šaknų. Terminai turėtų būti sugrupuoti. Mes tai gauname

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Po faktorizavimo mes tai gauname

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2-5 2

Sutrumpintų daugybos formulių ir Niutono dvinario naudojimas daugianario koeficientui

Išvaizda dažnai ne visada aiškiai parodo, koks metodas turėtų būti naudojamas skaidant. Atlikę transformacijas, galite sukurti liniją, sudarytą iš Paskalio trikampio, kitaip jie vadinami Niutono dvinariais.

11 pavyzdys

Padalinkite daugianario koeficientą x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Sprendimas

Būtina išraišką konvertuoti į formą

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Sumos koeficientų seka skliausteliuose nurodoma išraiška x + 1 4 .

Tai reiškia, kad turime x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.

Pritaikę kvadratų skirtumą, gauname

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Apsvarstykite išraišką, esančią antrajame skliaustelyje. Aišku, kad riterių ten nėra, tad vėl reikėtų taikyti kvadratų skirtumo formulę. Gauname formos išraišką

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

12 pavyzdys

Faktorizuoti x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Sprendimas

Pradėkime transformuoti išraišką. Mes tai gauname

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Būtina taikyti sutrumpinto kubelių skirtumo dauginimo formulę. Mes gauname:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Metodas kintamajam pakeičiant daugianarį

Keičiant kintamąjį, laipsnis sumažinamas, o daugianomas koeficientas.

13 pavyzdys

Pakartokite formos daugianarį x 6 + 5 x 3 + 6 .

Sprendimas

Pagal sąlygą aišku, kad reikia pakeisti y = x 3. Mes gauname:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Gautos kvadratinės lygties šaknys yra y = - 2 ir y = - 3, tada

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Būtina taikyti sutrumpinto kubelių sumos dauginimo formulę. Gauname formos išraiškas:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Tai yra, mes gavome norimą skaidymą.

Aukščiau aptarti atvejai padės įvairiais būdais apsvarstyti ir apskaičiuoti daugianarį.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Planas - pamokų užrašai (MBOU „Černomorskaja vidurinę mokyklą Nr. 2"

Mokytojo vardas

Ponomarenko Vladislavas Vadimovičius

Prekė

Algebra

Pamokos data

19.09.2018

№ pamoka

Klasė

9B

Pamokos tema

(pagal KTP)

"Skilimas kvadratinis trinaris pagal daugiklius"

Tikslo nustatymas

- edukacinis: mokyti studentus, kaip faktorinuoti kvadratinį trinarį, išmokyti naudoti kvadratinio trinalio faktorinavimo algoritmą sprendžiant pavyzdžius, apsvarstyti užduotis GIA duomenų bazėje, kuriose naudojamas kvadratinio trinalio faktorinavimo algoritmas

- vystosi: ugdyti moksleivių gebėjimą formuluoti problemas, siūlyti jų sprendimo būdus, skatinti mokinių gebėjimo išryškinti pagrindinį dalyką pažintiniame objekte ugdymą.

- edukacinis: padėti mokiniams suvokti bendros veiklos vertę, skatinti vaikų savitvardos, savigarbos ir ugdomosios veiklos savikorekcijos ugdymą.

Pamokos tipas

naujų žinių studijavimas ir pirminis įtvirtinimas.

Įranga:

multimedijos projektorius, ekranas, kompiuteris, didaktinė medžiaga, vadovėliai, sąsiuviniai, pristatymasuž pamoką

Pamokos eiga

1. Organizacinis taškas: Mokytojas pasisveikina su mokiniais ir patikrina jų pasirengimą pamokai.

Motyvuoja mokinius:

Šiandien mūsų pamokoje bendroje veikloje patvirtinsime Polios žodžius (1 skaidrė „Jūsų išspręsta problema gali būti labai kukli, bet jei ji kelia iššūkį jūsų smalsumui, o jei išspręsite patys, tada). galite patirti vedimą, kad atvertumėte proto įtampą ir mėgaukitės pergalės džiaugsmu.

Pranešimas apie Poya (2 skaidrė)

Noriu mesti iššūkį tavo smalsumui. Apsvarstykime užduotį iš Valstybinės inspekcijos. Nubraižykite funkciją .

Ar galime mėgautis pergalės džiaugsmu ir atlikti šią užduotį? (probleminė situacija).

Kaip išspręsti šią problemą?

- Pateikite veiksmų planą, kaip išspręsti šią problemą.

Taiso pamokos planą, komentuoja savarankiško darbo principą.

Savarankiškas darbas(klasei išdalinti lankstinukus su savarankiško darbo tekstu) (1 priedas)

Savarankiškas darbas

Išskirkite:

x 2 – 3x;

x 2 – 9;

x 2 – 8x + 16;

2a 2 – 2b 2 –a + b;

2x 2 – 7x – 4.

Sumažinti dalį:

SkaidrėSu atsakymais į savęs patikrinimą.

Klausimas klasei:

Kokius daugianario faktoriaus metodus naudojote?

Ar sugebėjote apskaičiuoti visus daugianorius?

Ar pavyko sumažinti visas trupmenas?

2 problema:Skaidrė

Kaip koeficientuoti daugianarį

2 x 2 – 7 x – 4?

Kaip sumažinti dalį?

Priekinė apklausa:

Kas yra daugianariai

2 x 2 – 7 x– 4 irx 2 – 5 x +6?

Pateikite kvadratinio trinalio apibrėžimą.

Ką mes žinome apie kvadratinį trinarį?

Kaip rasti jo šaknis?

Kas lemia šaknų skaičių?

Palyginkite šias žinias su tuo, ko mums reikia išmokti, ir suformuluokite pamokos temą. (Po to ekrane pasirodo pamokos tema)Skaidrė

Išsikelkime pamokos tiksląSkaidrė

Apibūdinkime galutinį rezultatąSkaidrė

Klausimas klasei:Kaip išspręsti šią problemą?

Klasė dirba grupėmis.

Grupės užduotis:

Naudodami turinį suraskite reikiamą puslapį, perskaitykite 4 pastraipą su pieštuku rankose, paryškinkite pagrindinę idėją, sukurkite algoritmą, pagal kurį bet kurį kvadratinį trinarį galima koeficientuoti.

Klasės užduoties atlikimo patikrinimas (priekinis darbas):

Kas yra pagrindinė idėja 4 punktas?Skaidrė(ekrane yra kvadratinio trinalio faktoriaus formulė).

Algoritmas ekrane.Skaidrė

1. Kvadratinį trinarį prilyginkite nuliui.

2. Raskite diskriminantą.

3. Raskite kvadratinio trinalio šaknis.

4.Rastas šaknis pakeiskite į formulę.

5.Jei reikia, skliausteliuose įveskite pirminį koeficientą.

Dar vienasmaža problema : jei D=0, tai ar galima kvadratinį trinarį koeficientuoti ir jei taip, kaip?

(Tiriamasis darbas grupėse).

Skaidrė(ekrane:

Jei D = 0, tada
.

Jei kvadratinis trinaris neturi šaknų,

tada jis negali būti koeficientas.)

Grįžkime prie savarankiško darbo užduoties. Ar dabar galime įskaičiuoti kvadratinius trinalius?2 x 2 – 7 x– 4 irx 2 – 5 x +6?

Klasė dirba savarankiškai, faktorizuoja, individualiai dirbu su silpnais mokiniais.

Skaidrė(su tirpalu)Tarpusavio peržiūra

Ar galime sumažinti trupmeną?

Norėdamas sumažinti trupmeną, prie lentos kviečiu stiprų mokinį.

Grįžkime prie užduotiesiš GIA. Ar dabar galime nubraižyti funkciją?

Koks yra šios funkcijos grafikas?

Užrašų knygelėje nubraižykite funkcijos grafiką.

Testas (Susavarankiškas darbas)2 priedas

Savęs patikrinimas ir įsivertinimasMokiniams buvo duoti popieriaus lapai (3 priedas), kuriuose jie turėjo surašyti atsakymus. Juose pateikiami vertinimo kriterijai.

Vertinimo kriterijai:

3 užduotys - įvertinimas"4"

4 užduotys – balas „5“

Atspindys:(skaidr.)

1.Šiandien klasėje sužinojau...

2.Šiandien klasėje kartojau...

3. Užtikrinau...

4.Man patiko...

5. Paskyriau sau pažymį už savo veiklą klasėje...

6.Kokie darbai sukėlė sunkumų ir reikalauja kartojimo...

7. Ar pasiekėme numatytą rezultatą?

Skaidrė: Ačiū už pamoką!

1 priedas

Savarankiškas darbas

Išskirkite:

x 2 – 3x;

x 2 – 9;

x 2 – 8x + 16;

x 2 + x - 2;

2a 2 – 2b 2 –a + b;

2 x 2 – 7 x – 4.

Sumažinti dalį:

2 priedas

Testas

1 variantas

padauginti?

x 2 – 8x+ 7;

x 2 – 8x+ 16 ;

x 2 – 8x+ 9;

x 2 – 8x+ 1 7.

2 x 2 – 9 x – 5 = 2( x – 5)(…)?

Atsakymas:_________ .

Sumažinkite trupmeną:

x – 3;

x + 3;

x – 4;

kitas atsakymas.

Testas

2 variantas

Kuris kvadratinis trinaris negali būti ppadauginti?

5 x 2 + x+ 1;

⅓ x 2 – 8x+ 2;

0,1 x 2 + 3 x - 5;

x 2 + 4 x+ 5.

Kokį daugianarį reikėtų pakeisti elipsę, kad būtų lygybė:2 x 2 + 5 x – 3 = 2( x + 3)(…)?

Atsakymas:_________ .

Sumažinkite trupmeną:

3 x 2 – 6 x – 15;

0,25(3 x - 1);

0,25( x - 1);

kitas atsakymas.

3 priedas

Užsirašykite savo atsakymus.

Vertinimo kriterijai:

Teisingai atlikta: 2 užduotis – balas „3“

3 užduotys - įvertinimas"4"

4 užduotys – balas „5“

Užduotis Nr.1

2 užduotis

Užduotis Nr.3

1 variantas

2 variantas

Kvadratinių trinalių faktorinavimas reiškia mokyklos užduotys su kuriais anksčiau ar vėliau visi susiduria. Kaip tai padaryti? Kokia kvadratinio trinalio faktorinavimo formulė? Išsiaiškinkime tai žingsnis po žingsnio naudodami pavyzdžius.

Bendroji formulė

Kvadratiniai trinadžiai faktorinuojami sprendžiant kvadratinę lygtį. Tai paprastas uždavinys, kurį galima išspręsti keliais būdais – surandant diskriminantą naudojant Vietos teoremą, yra ir grafinis sprendimas. Pirmieji du metodai mokomi vidurinėje mokykloje.

Bendra formulė atrodo taip:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Užduoties atlikimo algoritmas

Norint skaičiuoti kvadratinius trinalius, reikia žinoti Vitos teoremą, turėti po ranka sprendimų programą, mokėti grafiškai rasti sprendimą arba ieškoti antrojo laipsnio lygties šaknų, naudojant diskriminanto formulę. Jei pateikiamas kvadratinis trinaris ir jį reikia padalyti faktoriais, algoritmas yra toks:

1) Prilyginkite pradinę išraišką nuliui, kad gautumėte lygtį.

2) Pateikite panašius terminus (jei reikia).

3) Raskite šaknis naudodami bet kurį žinomą metodą. Grafinį metodą geriausia naudoti, jei iš anksto žinoma, kad šaknys yra sveikieji ir maži skaičiai. Reikia atsiminti, kad šaknų skaičius yra lygus didžiausiam lygties laipsniui, tai yra, kvadratinė lygtis turi dvi šaknis.

4) Pakeiskite reikšmę Xį išraišką (1).

5) Užrašykite kvadratinių trinadžių faktorizaciją.

Pavyzdžiai

Praktika leidžia pagaliau suprasti, kaip ši užduotis atliekama. Šie pavyzdžiai iliustruoja kvadratinio trinalio faktorių sudarymą:

būtina išplėsti išraišką:

Pasinaudokime savo algoritmu:

1) x 2 -17x+32=0

2) panašūs terminai mažinami

3) naudojant Vietos formulę, sunku rasti šio pavyzdžio šaknis, todėl geriau naudoti diskriminanto išraišką:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Rastas šaknis pakeiskime pagrindine skaidymo formule:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Tada atsakymas bus toks:

x 2 -17x+32=(x-2,155)(x-14,845)

Patikrinkime, ar diskriminanto rasti sprendiniai atitinka Vietos formules:

14,845 . 2,155=32

Šioms šaknims taikoma Vietos teorema, jos buvo rastos teisingai, vadinasi, mūsų gauta faktorizacija taip pat teisinga.

Panašiai išplėskime 12x 2 + 7x-6.

x 1 = -7 + (337) 1/2

x 2 = -7-(337)1/2

Ankstesniu atveju sprendiniai buvo ne sveikieji, o tikrieji skaičiai, kuriuos nesunku rasti, jei priešais save turi skaičiuotuvą. Dabar pažiūrėkime daugiau sudėtingas pavyzdys, kuriame šaknys bus sudėtingos: koeficientas x 2 + 4x + 9. Naudojant Vietos formulę, šaknų negalima rasti, o diskriminantas yra neigiamas. Šaknys bus sudėtingoje plokštumoje.

D=-20

Remdamiesi tuo, gauname mus dominančias šaknis -4+2i*5 1/2 ir -4-2i * 5 1/2 nuo (-20) 1/2 = 2i*5 1/2.

Norimą skaidymą gauname pakeitę šaknis į bendrą formulę.

Kitas pavyzdys: reikia apskaičiuoti išraišką 23x 2 -14x+7.

Mes turime lygtį 23x2 -14x+7 =0

D=-448

Tai reiškia, kad šaknys yra 14+21.166i ir 14-21.166i. Atsakymas bus toks:

23x2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21,166i ).

Pateiksime pavyzdį, kurį galima išspręsti be diskriminanto pagalbos.

Tarkime, kad reikia išplėsti kvadratinę lygtį x 2 -32x+255. Akivaizdu, kad ją galima išspręsti ir naudojant diskriminantą, tačiau tokiu atveju greičiau rasti šaknis.

x 1 = 15

x 2 = 17

Reiškia x 2 -32x+255 =(x-15)(x-17).