Tegu funkcija y=f(x) pateikiama atkarpoje, kuri padalinta į n vienodų atkarpų (vienodo atstumo argumentų reikšmių atvejis). x=h=konst. Kiekvieno mazgo x 0, x 1 =x 0 +h,..., x n =x 0 +n h funkcijos reikšmės apibrėžiamos tokia forma: f(x 0)=y 0, f(x 1)= y 1,... ., f(x n)=y n.
Pirmos eilės baigtiniai skirtumai y 0 = y 1 – y 0 y 1 = y 2 – y y n-1 = y n – y n-1. Antrosios eilės baigtiniai skirtumai 2 y 0 = y 1 – y 0 2 y 1 = y 2 – y y n-2 = y n-1 – y n-2 Baigtiniai aukštesnių laipsnių skirtumai apibrėžiami panašiai: k y 0 = k- 1 y 1 – k-1 y 0 k y 1 = k-1 y 2 – k-1 y k y i = k-1 y i+1 – k-1 y i, i = 0,1,...,n-k.
Tegul funkcijai y = f(x) suteikiamos reikšmės y i = f(x i) vienodoms nepriklausomų kintamųjų reikšmėms: x n = x 0 +nh, kur h yra interpoliacijos žingsnis. Reikia rasti daugianarį P n (x), kurio laipsnis ne didesnis kaip n, taškuose (mazguose) x i imant tokias reikšmes: P n (x i) = y i, i=0,...,n. Interpoliuojantį daugianarį parašykime tokia forma:
Polinomo konstravimo uždavinys yra nustatyti koeficientus a i iš sąlygų: P n (x 0)=y 0 P n (x 1)=y P n (x n)=y n
Panašiai galima rasti ir kitus koeficientus. Bendra formulė yra tokia: Pakeitę šias išraiškas į daugianario formulę, gauname: kur x i,y i – interpoliacijos mazgai; x – srovės kintamasis; h – skirtumas tarp dviejų interpoliacijos mazgų h – pastovi reikšmė, t.y. interpoliacijos mazgai yra vienodu atstumu vienas nuo kito.
Interpoliacijos ypatumas buvo tas, kad interpoliavimo funkcija griežtai eina per lentelės mazginius taškus, t.y. apskaičiuotos reikšmės sutapo su lentelėmis: y i =f(x i). Ši savybė atsirado dėl to, kad koeficientų skaičius interpoliavimo funkcijoje (m) buvo lygus lentelės reikšmių skaičiui (n)
4. Neįmanoma apibūdinti lentelės duomenų, kuriuose yra keli taškai su ta pačia argumento reikšme, naudojant interpoliavimo funkciją. Tokia situacija įmanoma, jei tas pats eksperimentas atliekamas kelis kartus su tais pačiais pradiniais duomenimis. Tačiau tai nėra aproksimacijos naudojimo apribojimas, kai funkcijos grafiko, einančio per kiekvieną tašką, sąlyga nenustatyta.
Sveiki visi. Visai neseniai susidūriau su problema naujajame telefone, kurią išspręsti reikėjo gauti kai kuriuos APK failus iš programinės aparatinės įrangos. Internete paieškojęs būdų, kaip išspręsti šią problemą, aptikau įdomią priemonę, kuri man padėjo išspręsti šią problemą.
Darbui mums reikės:
ext4_unpacker_exe.zipext2explore-2.2.71.zip
Išardome „Android“ programinę-aparatinę įrangą *.zip archyvą su programine įranga paleidžiame į bet kurį aplanką. ext4_unpacker.exe ir pasirinkite failą sistema.img.
Atidarę failą, spustelėkite mygtuką Išsaugoti kaip.
Rašome failo pavadinimą su plėtiniu .ext4(Pavyzdžiui sistema.ext4).
Baigę išpakuoti, paleiskite paslaugų programą ext2explore.exe administratoriaus vardu ( svarbu!).Skirtuko lape Failas pasirinkti...
Programa suskirstyta į dvi gijas, kurių viename atliekamas rūšiavimas, o kitoje perbraižyta grafinė sąsaja. Paspaudus mygtuką „Rūšiuoti“, programa iškviečia „RunSorting“ metodą, kuriame apibrėžiamas rūšiavimo algoritmas ir sukuriama nauja gija, kurioje vyksta rūšiavimo procesas.
privati tuštuma RunSo…
Šiandien noriu parodyti savo Kacherį, ką dariau anksčiau žiemos šventės. Neapibūdinsiu viso gamybos proceso, nes internete yra daug straipsnių. Aš parašysiu tik apie pagrindinius jo parametrus.
Žemiau pateikiamos kelios nuotraukos, padarytos surenkant įrenginį.
Ritė apvyniojama maždaug 2000 vijų 0,08 mm vielos ant 50 mm skersmens ir 200 mm aukščio PVC vamzdžio.
Kaip terminalas buvo naudojama plokštė iš seno kietojo disko. Visa kita buvo surinkta pagal schemą, esančią pačioje puslapio apačioje.
Pirmasis variantas buvo maitinamas iš seno kompiuterio maitinimo šaltinio, kurio įtampa buvo 12 V. Tada buvo pagamintas atskiras maitinimo šaltinis, kurio įtampa 30 V ir su įmontuotu aušinimu.
Įrenginio schema:
Kelių domenų išteklių bendrinimas (CORS) yra W3C specifikacija, leidžianti naršyklėje bendrauti tarp domenų. Kuriant XMLHttpRequest objektą, CORS leidžia kūrėjams dirbti su tomis pačiomis idiomomis kaip ir užklausos su tuo pačiu domenu. CORS naudojimo atvejis yra paprastas. Įsivaizduokite, kad alice.com turi tam tikrų duomenų, kuriuos nori gauti bob.com. Tokio tipo užklausos tradiciškai neleidžiamos pagal tą pačią naršyklės kilmės politiką. Tačiau palaikydama CORS užklausas, alice.com gali pridėti keletą specialių atsakymų antraščių, leidžiančių bob.com pasiekti duomenis. Kaip matote iš šio pavyzdžio, CORS palaikymui reikalingas serverio ir kliento koordinavimas. Laimei, jei esate kliento kūrėjas, esate apsaugoti nuo daugumos šių detalių. Likusioje šio straipsnio dalyje parodyta, kaip klientai gali pateikti įvairių šaltinių užklausas ir kaip serveriai gali sukonfigūruoti save, kad palaikytų CORS. Tęsinys…
Gaudami Niutono interpoliacijos formules, kurios naudojamos tiems patiems tikslams kaip ir Lagranžo formulė, darome papildomą prielaidą, kad atsižvelgiama į vienodo atstumo argumento reikšmes. Taigi tegul funkcijos reikšmės y = f(x) nurodytos vienodo atstumo reikšmėms x 0, x 1 = x 0 + h, …, x n = x 0 + nh. Šios argumentų reikšmės atitiks funkcijos reikšmes: y 0 =f(x 0),y 1 =f(x 1), …, y n = f(x n).
Parašykime reikiamą daugianarį formoje
F( x) = a 0 + a 1 (x- x 0) + a 2 (x- x 0)(x- x 1) + a 3 (x- x 0)(x- x 1)(x- x 2) + …
…+ a n ( x- x 0)(x- x 1)…(x- x n -1) (3.9)
Koeficientams nustatyti a 0, a 1,..., a n įdėti (3.9) x = x 0 . Tada adresu 0 = F(x 0)=a 0 . Be to, darant prielaidą x=x 1 , gauname adresu 1 =F(x 1) = a 0 + a 1 h , kur
a 1 =
Tęsdami koeficientų skaičiavimą, įdėkime X =x 2. Tada
y 2 = y 0 + 2h + a 2 2hh, y 2 – 2Δ y 0 = a 2 2h 2 ;
y 2 – 2y 1 + 2y 0 – y 0 = y 2 – 2y 1 + y 0 = a 2 2h 2 .
Remdamiesi (3.8), gauname y 2 – 2y 1 + y 0 = Δ 2 y 0.
Lygiai taip pat gauname
Panašūs tolesni skaičiavimai leidžia mums rašyti bendroji formulė bet kokiam koeficientui A k:
Rastas koeficientų išraiškas pakeitę į (3.9) formulę, gauname
Gauta formulė vadinama pirmąja Niutono interpoliacijos formule.
Už praktinis naudojimas Niutono formulė (3.10) dažniausiai rašoma transformuota forma. Norėdami tai padaryti, pristatome užrašą
iš čia x = x 0 + ht.
Išreikškime tai per t faktoriai, įtraukti į (3.10) formulę:
………………………..
Pakeisdami gautas išraiškas į formulę (3.10), galiausiai gauname
Išraiška (3.11) parodo galutinę Niutono pirmosios interpoliacijos formulės formą.
Pavyzdys. Žengdamas žingsnį h = 0,05, sukonstruokite Niutono interpoliacijos polinomą funkcijai atkarpoje y = e x , nurodyta lentelėje. 3.3.
3.3 lentelė
Atkreipkite dėmesį, kad skirtumų stulpeliuose, vadovaujantis įprasta praktika, kableliais neatskiriame po kablelio, o tai aišku iš funkcijos reikšmės stulpelio.
Kadangi trečiosios eilės skirtumai yra praktiškai pastovūs, į (3.11) formulę įtraukiame n = 3. Priėmęs X 0 = 3,50 Ir adresu 0 = 33,115, turėsime:
Pirmoji Niutono interpoliavimo formulė yra nepatogi norint interpoliuoti funkciją lentelės pabaigoje, kai skirtumo reikšmių skaičius yra mažas. Šiuo atveju taikoma antroji Niutono interpoliacijos formulė, kurią dabar apsvarstysime.
Parašykime reikiamą interpoliacijos daugianarį formoje
Kaip ir anksčiau, koeficientai A 0 , A 1 ,… An nustatomi iš būklės F(x i) = y i.Įdėkime (3.12) X = X n. Tada a 0 = y n.
Lygiai taip pat, darant prielaidą x = x n -1, gauname y n -1 = y n+ a 1 (x n -1 - x n),
ir nuo tada x n -1 - x n = - h, Tai
Paskutinės išraiškos skaitiklis gali būti pavaizduotas taip:
yn –yn -1 – (yn -1 -yn -2)= Δ yn -1 -Δ yn -2 =Δ 2 yn -2 .
Tęsdami panašius skaičiavimus, gauname bendrą koeficientų formulę
Pakeitus visas koeficiento reikšmes į (3.12), ši formulė įgauna formą
Tai yra antroji Niutono interpoliacijos formulė. Kad būtų lengviau naudoti, jis, kaip ir pirmasis, transformuojamas įvedant žymėjimą
= t arba x= xn+th.
Dabar išreikšime tai t koeficientai formulėje (3.13):
……………………………………………..
Atlikę šį pakeitimą, pagaliau gauname:
Pavyzdys. Pagal lentelę 3,5 septynių skaitmenų logaritmų reikšmės skaičiams nuo 1000, žingsniais po 10, raskite log 1044.
3.5 lentelė
| x | y | Δ y | Δ2 y | Δ3 y |
| 3,0000000 3,0043214 3,0086002 3,0128372 3,0170333 3,0211893 | -426 -418 -409 -401 |
Priimkime xn= 1050,yn= 3,0211893;Δ yn-1 = 0,0041560;
Δ2 yn -2 = - 0,0000401;Δ 3 y n -3 = 0,0000008. Tada už x= 1044 gauname
Ir pirmoji, ir antroji Niutono interpoliacijos formulės gali būti naudojamos funkcijoms ekstrapoliuoti, tai yra, norint rasti funkcijų reikšmes argumentų reikšmėms. X , guli už stalo. Jei vertė x< x 0 ir prasmė x arti x 0 , tada pravartu naudoti pirmąją Niutono interpoliacijos formulę ir
Jeigu x > x 0 Ir x arti X n , tada patogiau naudoti antrąją Niutono interpoliacijos formulę ir
Taigi, pirmoji Niutono interpoliacijos formulė paprastai naudojama interpoliacijai į priekį ir atgal, o Niutono antroji interpoliacijos formulė, atvirkščiai, naudojama atgalinei interpoliacijai ir ekstrapoliacijai į priekį.
Pavyzdys. Turėdamas stalą 3.6 reikšmės ir skirtumai,y = nuodėmė X: pradedant nuo X= 15° į X = 55° žingsniais h= 5° , rasti nuodėmę 14 ° ir nuodėmė 56 ° .
3.6 lentelė
| x(0 C) | y | Δ y | Δ2 y | Δ3 y |
| 0,2588 0,3420 0,4226 0,5000 0,5736 0,6428 0,7071 0,7660 0,8192 | 832 532 | -26 -32 -38 -44 -49 -54 -57 | -6 -6 -6 -5 -5 -3 |
Sprendimas. Norėdami apskaičiuoti nuodėmę14 0 priimkime x 0 = 15 0 Ir x= 14 0 , iš čia t = (14–15)/5 = – 0,2.
Čia turime ekstrapoliuoti atgal, todėl taikome pirmąją Niutono interpoliacijos formulę ir baigtinius skirtumus, pabrauktus viena eilute:
nuodėmė 14 0 = 0,2588 + (– 0,2)0,0832+ (– 0,0026) +
+ (–0,0006) = 0,242.
Norėdami rasti nuodėmę56 0 priimkime xn= 55 0 Ir x= 56 0 , iš čia t= .
Taikydami antrąją Niutono interpoliacijos formulę (3.14) ir naudodami du kartus pabrauktus skirtumus, turėsime:
nuodėmė56 0 = 0,8192+ 0,2·0,0532 + (- 0,0057)+ (- 0,0003)= 0,83.
Pirmoji Niutono interpoliavimo formulė yra praktiškai nepatogi interpoliuojant funkciją šalia lentelės mazgų. Šiuo atveju jis dažniausiai naudojamas .
Užduoties aprašymas . Turėkime funkcijų reikšmių seką
vienodo atstumo argumentų reikšmėms, kur yra interpoliacijos žingsnis. Sukurkime tokios formos daugianarį:
arba, naudojant apibendrintą galią, gauname:
Tada, jei galioja lygybė, gauname
Pakeiskime šias reikšmes į (1) formulę. Tada, pagaliau, Antroji Niutono interpoliacijos formulė turi formą:
Pateiksime patogesnį (2) formulės žymėjimą. Tebūnie tada
Pakeitę šias reikšmes į (2) formulę, gauname:
Tai įprastas vaizdas Antroji Niutono interpoliacijos formulė. Norėdami apytiksliai apskaičiuoti funkcijos reikšmes, tarkime:
Ir pirmoji, ir antroji Niutono interpoliacijos formulės gali būti naudojamos funkcijai ekstrapoliuoti, tai yra, norint rasti argumentų reikšmių, esančių už lentelės ribų, funkcijų reikšmes.
Jei jis artimas, tada pravartu taikyti pirmąją Niutono interpoliacijos formulę ir tada. Jei jis artimas, tada patogiau naudoti antrąją Niutono interpoliacijos formulę.
Taigi paprastai naudojama pirmoji Niutono interpoliacijos formulė į priekį interpoliacija Ir ekstrapoliuojant atgal, o antroji Niutono interpoliacijos formulė, priešingai, už interpoliuojant atgal Ir išankstinė ekstrapoliacija.
Atkreipkite dėmesį, kad ekstrapoliacijos operacija, paprastai kalbant, yra mažiau tiksli nei interpoliacijos operacija siaurąja to žodžio prasme.
Pavyzdys. Atlikdami šį žingsnį, sukonstruokite lentelėje pateiktos funkcijos Niutono interpoliacijos polinomą
 |
|||||||
Sprendimas. Sudarome skirtumų lentelę (1 lentelė). Kadangi trečiosios eilės skirtumai yra praktiškai pastovūs, darome prielaidą (3) formulėje. Priėmę turėsime:
Tai yra norimas Niutono interpoliacijos polinomas.
1 lentelė
 |
|
|
|
|
