Antros eilės tiesinės vienalytės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais. Tiesinės vienalytės diferencialinės lygtys Ypatingas 2 eilės lode sprendimas

Teorema. Jei ir yra tiesinis nepriklausomi sprendimai(2.3) lygtį, tada jų tiesinis derinys , kur ir yra savavališkos konstantos, bus bendras šios lygties sprendimas.

Įrodymas. Tai, kad yra (2.3) lygties sprendinys, išplaukia iš sprendinių savybių teoremos iki 2 eilės Lodo. Tiesiog turime parodyti, kad sprendimas bus bendras, t.y. būtina parodyti, kad bet kurioms pradinėms sąlygoms galima pasirinkti savavališkas konstantas taip, kad šios sąlygos būtų tenkinamos. Pradines sąlygas parašykime tokia forma:

Konstantos ir iš šios tiesinių algebrinių lygčių sistemos nustatomos vienareikšmiškai, nes šios sistemos determinantas yra tiesiškai nepriklausomų Lodu sprendinių Vronskio determinanto reikšmė: ,

ir toks determinantas, kaip matėme ankstesnėje pastraipoje, yra nulis. Teorema įrodyta.

Statyba bendras sprendimas II užsakymo LOD su pastovūs koeficientai tuo atveju

13. charakteristikos lygties paprastosios šaknys (atvejis D>0) (su dokumentacija).

14. daugybinės charakteristikos lygties šaknys (atvejis D=0) (su dokumentu).

15. būdingos lygties kompleksinės konjuguotos šaknys (D atvejis<0) (c док-вом).

Duota 2 eilės lode su pastoviais koeficientais (5.1), kur , . Pagal ankstesnę pastraipą, bendrasis 2-osios eilės lodės sprendinys yra lengvai nustatomas, jei žinomi du tiesiškai nepriklausomi šios lygties daliniai sprendiniai. Paprastą būdą lygties su pastoviais koeficientais daliniams sprendimams rasti pasiūlė L. Euleris. Šis metodas, vadinamas Eilerio metodu, susideda iš to, kad dalinių sprendimų ieškoma formoje.

Pakeitę šią funkciją į (5.1) lygtį, sumažinę , gauname algebrinę lygtį, kuri vadinama charakteristika: (5.2)

Funkcija bus (5.1) lygties sprendimas tik toms k reikšmėms, kurios yra būdingos lygties (5.2) šaknys. Priklausomai nuo diskriminanto vertės, galimi trys atvejai.

1. . Tada charakteringosios lygties šaknys yra skirtingos: . Sprendimai bus tiesiškai nepriklausomi, nes o bendrąjį sprendinį (5.1) galima parašyti kaip .

2. . Šiuo atveju ir. Kaip antrą tiesiškai nepriklausomą sprendimą galime paimti funkciją . Patikrinkime, ar ši funkcija tenkina (5.1) lygtį. Tikrai, ,. Pakeitę šias išraiškas į (5.1) lygtį, gauname

Arba, nes Ir .

Konkretūs sprendimai yra tiesiškai nepriklausomi, nes . Todėl bendras sprendimas (5.1) turi tokią formą:

3. . Šiuo atveju charakteringos lygties šaknys yra sudėtingas konjugatas: , kur , . Galima patikrinti, kad tiesiškai nepriklausomi (5.1) lygties sprendiniai bus funkcijos ir . Įsitikinkite, kad (5.1) lygtį tenkina, pavyzdžiui, funkcija y 1 . Tikrai,,. Pakeitę šias išraiškas į (5.1) lygtį, gauname

Abu skliaustai kairėje šios lygybės pusėje yra identiški nuliui. Tikrai,,

Taigi funkcija tenkina (5.1) lygtį. Panašiai nesunku patikrinti, ar yra (5.1) lygties sprendimas. Kadangi , tada bendras sprendimas atrodys taip: .

16. Antros eilės LNDDE bendrojo sprendinio struktūros teorema (su įrodymu).

1 teorema. Antrosios eilės lndu f(x) (6.1) bendrasis sprendinys pavaizduotas kaip atitinkamos vienalytės lygties (6.2) ir bet kurio konkretaus lndu (6.1) sprendinio suma.

Įrodymas. Pirmiausia įrodykime, koks bus (6.1) lygties sprendimas. Norėdami tai padaryti, pakeiskime f(x) į (6.1) lygtį. Ši lygybė yra tapatybė, nes ir f(x). Vadinasi, yra (6.1) lygties sprendimas.

Dabar įrodykime, kad šis sprendimas yra bendras, t.y. į jį įtrauktas savavališkas konstantas galite pasirinkti taip, kad būtų įvykdytos bet kurios pradinės formos: , (6.3) sąlygos. Pagal tiesinės vienarūšės diferencialinės lygties (Lod) bendrojo sprendinio struktūros teoremą (6.2) lygties bendrasis sprendinys gali būti pavaizduotas forma , kur ir yra tiesiškai nepriklausomi šios lygties sprendiniai. Taigi: ir todėl pradinės sąlygos (6.3) gali būti parašytos kaip: arba (6.4)

Savavališkos konstantos ir yra nustatomos iš šios tiesinių algebrinių lygčių sistemos vienareikšmiškai bet kuriai dešiniajai pusei, nes šios sistemos determinantas = yra Vronskio determinanto reikšmė tiesiškai nepriklausomiems (6.2) lygties sprendiniams, kai , ir toks determinantas, kaip matėme aukščiau, yra nulis. Nustačius konstantas ir iš lygčių sistemos (6.4) ir pakeitus jas į išraišką, gauname tam tikrą (6.1) lygties sprendimą, kuris tenkina nurodytas pradines sąlygas. Teorema įrodyta.

17. Konkretaus antros eilės LNDDE sprendimo konstravimas dešinėje formos pusėje

Tegu (6.1) lygties koeficientai yra pastovūs, t.y. lygtis turi tokią formą: f(x) (7.1) kur .

Panagrinėkime metodą, kaip rasti konkretų (7.1) lygties sprendimą tuo atveju, kai dešinėje pusėje f(x) specialus tipas. Šis metodas vadinamas neapibrėžtųjų koeficientų metodu ir susideda iš konkretaus sprendimo parinkimo, atsižvelgiant į dešinės pusės f(x) tipą. Apsvarstykite šios formos dešiniąsias puses:

1. f(x) , kur yra laipsnio polinomas, o kai kurie koeficientai, išskyrus , gali būti lygūs nuliui. Nurodykime, kokia forma šiuo atveju turi būti priimtas konkretus sprendimas.

a) Jei skaičius nėra (5.1) lygties charakteristikos lygties šaknis, tai konkretų sprendimą rašome forma: , kur yra neapibrėžti koeficientai, kurie turi būti nustatyti neapibrėžtųjų koeficientų metodu.

b) Jei yra atitinkamos charakteristikos lygties dauginio šaknis, tada ieškome konkretaus sprendinio formoje: , kur yra neapibrėžti koeficientai.

18. f(x) , kur ir yra laipsnio ir daugianariai, o vienas iš šių daugianarių gali būti lygus nuliui. Šiuo bendru atveju nurodykime konkretaus sprendimo tipą.

A) Jei skaičius nėra (5.1) lygties būdingosios lygties šaknis, konkretaus sprendinio forma bus tokia: , (7.2) kur yra neapibrėžti koeficientai ir .

B) Jei skaičius yra daugybinės (5.1) lygties būdingosios lygties šaknis, tai konkretus lndu sprendinys turės formą: , (7.3) t.y. tam tikras (7.2) formos sprendinys turi būti padaugintas iš . Išraiškoje (7.3) - daugianariai su neapibrėžtais koeficientais ir jų laipsnis .

19. Variacinis metodas sprendžiant antros eilės LDDE (Lagranžo metodas).

Labai sunku tiesiogiai rasti konkretų lygties sprendimą, išskyrus lygtį su pastoviais koeficientais ir specialiomis laisvosiomis sąlygomis. Todėl norint rasti bendrą lygties sprendimą, dažniausiai naudojamas savavališkų konstantų kitimo metodas, kuris visada leidžia rasti bendrą lygties sprendimą kvadratais, jei yra žinoma pagrindinė atitinkamos vienalytės lygties sprendinių sistema. . Šis metodas yra toks.

Remiantis tuo, kas išdėstyta aukščiau, bendras tiesinės vienalytės lygties sprendimas yra:

kur yra tiesiškai nepriklausomi Lodu sprendiniai tam tikrame intervale X ir yra savavališkos konstantos. Mes ieškosime konkretaus lnd sprendimo formoje (8.1), darydami prielaidą, kad jos nėra pastovios, o kai kurios, dar nežinomos, funkcijos: . (8.2) Išskirkime lygybę (8.2): . (8.3)

Parinkime funkcijas taip, kad lygybė galiotų: . Tada vietoj (8.3) turėsime:

Dar kartą išskirkime šią išraišką atsižvelgiant į . Rezultate gauname:. (8.5) Pakeiskime (8.2), (8.4), (8.5) 2 eilės lnd f(x):

Arba f(x). (8.6)

Kadangi - Lod sprendiniai, paskutinė lygybė (8.6) yra tokia: f(x).

Taigi funkcija (8.2) bus lndu sprendimas, jei funkcijos ir tenkins lygčių sistemą:

(8.7)

Kadangi šios sistemos determinantas yra Vronskio determinantas dviem sprendiniams, atitinkantiems tiesiškai nepriklausomą nuo X, jis neišnyksta jokiame intervalo X taške. Todėl sprendžiant sistemą (8.7), randame ir : ir . Integruodami gausite , , kur yra prod. greitai.

Grįžę prie lygybės (8.2), gauname bendrą nehomogeninės lygties sprendinį: .

Eilutės

1. Skaičių serija. Konvergentinių eilučių pagrindinės sąvokos, savybės. Būtinas konvergencijos ženklas (su įrodymu).

Pagrindiniai apibrėžimai. Duokime begalinę skaičių seką . Skaičių serija vadinamas įrašas, sudarytas iš šios sekos narių. Arba .Skaičiai paskambino serialo nariai;, vadinamas bendruoju serijos terminu. Apskaičiavus šios funkcijos reikšmes n =1, n =2,n =3, ... reikia gauti serijos sąlygas.

Tegu pateikiama serija (18.1.1). Surinkime iš jo narių baigtines sumas, vadinamas dalinės serijos sumos:

Apibrėžimas. Jei yra baigtinė riba S eilučių (18.1.1) dalinių sumų sekos , tada sakoma, kad eilutė susilieja; numerį S vadinama serijos suma ir parašyta arba .

Jei neegzistuoja (įskaitant begalinę), serija vadinama skiriasi.

Konvergentinių eilučių savybės. Būtinas serijos konvergencijos ženklas. Bendras konvergentinės eilutės terminas linkęs į nulį kaip : Įrodymas. Jei , tada ir , bet , todėl .

Turime pradėti spręsti bet kokią problemą, kad tirtume eilučių konvergenciją, patikrindami sąlygos įvykdymą: jei ši sąlyga neįvykdyta, tada eilutė akivaizdžiai skiriasi. Ši sąlyga yra būtina, bet nepakankama eilučių konvergencijai: harmoninių eilučių bendrasis terminas yra (18.1.2), tačiau ši eilutė skiriasi.

Apibrėžimas. Likusi eilutė po n asis terminas vadinamas serija .

2 eilės tiesinė diferencialinė lygtis (LDE) turi tokią formą:

kur , , ir yra pateiktos funkcijos, kurios yra nuolatinės intervale, kuriame ieškoma sprendimo. Darydami prielaidą, kad a 0 (x) ≠ 0, padalijame (2.1) iš ir, įvedę naujus koeficientų žymėjimus, rašome lygtį tokia forma:

Priimkime be įrodymų, kad (2.2) turi unikalų sprendinį tam tikram intervalui, kuris tenkina bet kokias pradines sąlygas , , jei nagrinėjamame intervale funkcijos , ir yra tolydžios. Jei , tai lygtis (2.2) vadinama vienalyte, o (2.2) – nehomogeniška kitaip.

Panagrinėkime 2 eilės lodės sprendinių savybes.

Apibrėžimas. Tiesinis funkcijų derinys yra išraiška , kur yra savavališki skaičiai.

Teorema. Jei ir – sprendimas

tada jų tiesinis derinys taip pat bus šios lygties sprendimas.

Įrodymas.

Įdėkime išraišką į (2.3) ir parodykime, kad rezultatas yra tapatybė:

Pertvarkykime terminus:

Kadangi funkcijos yra (2.3) lygties sprendiniai, tai kiekvienas paskutinės lygties skliaustelis yra identiškai lygus nuliui, ką ir reikėjo įrodyti.

1 išvada. Iš įrodytos teoremos išplaukia, kad jei yra (2.3) lygties sprendimas, tai yra ir šios lygties sprendimas.

2 išvada. Darant prielaidą, matome, kad dviejų Lodo sprendinių suma taip pat yra šios lygties sprendimas.

komentuoti. Teoremoje įrodyta sprendinių savybė galioja bet kokios eilės uždaviniams.

§3. Vronskio determinantas.

Apibrėžimas. Sakoma, kad funkcijų sistema tam tikru intervalu yra tiesiškai nepriklausoma, jei nė viena iš šių funkcijų negali būti pavaizduota kaip visų kitų tiesinė kombinacija.

Dviejų funkcijų atveju tai reiškia, kad , t.y. . Paskutinę sąlygą galima perrašyti į formą arba . Šios išraiškos skaitiklio determinantas yra vadinamas Vronskio determinantu funkcijoms ir . Taigi dviejų tiesiškai nepriklausomų funkcijų Wronskio determinantas negali būti identiškai lygus nuliui.

Leiskite yra tiesiškai nepriklausomų sprendinių ir (2.3) lygties Vronskio determinantas. Pakeitimu įsitikinkime, kad funkcija tenkina lygtį. (3.1)

Tikrai,. Kadangi funkcijos ir tenkina (2.3) lygtį, tai, t.y. – (3.1) lygties sprendinys. Raskime šį sprendimą: ; . , , .

. kur,

(3.2)

Dešinėje šios formulės pusėje turite paimti pliuso ženklą, nes tik tokiu atveju gaunama tapatybė. Taigi,

Ši formulė vadinama Liouville formule. Aukščiau buvo parodyta, kad tiesiškai nepriklausomų funkcijų Wronskio determinantas negali būti identiškai lygus nuliui. Vadinasi, yra taškas, kuriame tiesiškai nepriklausomų (2.3) lygties sprendinių determinantas skiriasi nuo nulio. Tada iš Liouville'io formulės išplaukia, kad funkcija bus ne nulis visoms nagrinėjamo intervalo reikšmėms, nes bet kuriai vertei abu faktoriai dešinėje (3.2) formulės pusėje yra nuliniai.

Teorema.§4. 2 eilės lodės bendrojo sprendinio sandara. Jei ir yra tiesiškai nepriklausomi (2.3) lygties sprendiniai, tai jų tiesinė kombinacija

Įrodymas.

, kur ir yra savavališkos konstantos, bus bendras šios lygties sprendimas. Ką yra (2.3) lygties sprendimas, išplaukia iš sprendinių savybių teoremos iki 2 eilės Lodo. Mums tereikia parodyti tą sprendimą bendras, t.y. būtina parodyti, kad bet kurioms pradinėms sąlygoms galima pasirinkti savavališkas konstantas taip, kad šios sąlygos būtų tenkinamos. Pradines sąlygas parašykime tokia forma:

ir toks determinantas, kaip matėme ankstesnėje pastraipoje, yra nulis. Teorema įrodyta.

Pavyzdys.Įrodykite, kad funkcija , kur ir yra savavališkos konstantos, yra bendras Lod sprendimas.

Sprendimas.

Pakeitimu nesunku patikrinti, ar funkcijos veikia ir tenkina šią lygtį. Šios funkcijos yra tiesiškai nepriklausomos, nes . Todėl pagal bendrojo sprendinio sandaros teoremą 2 eilės lode yra bendras šios lygties sprendimas.

Homogeniška linijinė diferencialines lygtis antrosios eilės su pastoviais koeficientais turi formą

kur p ir q realūs skaičiai. Pažiūrėkime į pavyzdžius, kaip sprendžiamos vienalytės antros eilės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais.

Antros eilės tiesinės vienalytės diferencialinės lygties sprendimas priklauso nuo charakteristikų lygties šaknų. Būdinga lygtis yra lygtis k²+pk+q=0.

1) Jei charakteringos lygties šaknys yra skirtingi realieji skaičiai:

tada antros eilės tiesinės vienalytės diferencialinės lygties su pastoviais koeficientais bendras sprendinys turi formą

2) Jei charakteringos lygties šaknys yra lygūs realieji skaičiai

(pavyzdžiui, kai diskriminantas lygus nuliui), tada homogeninės antros eilės diferencialinės lygties bendras sprendimas yra

3) Jei charakteringos lygties šaknys yra kompleksiniai skaičiai

(pavyzdžiui, kai diskriminantas lygus neigiamam skaičiui), tada homogeninės antros eilės diferencialinės lygties bendras sprendinys rašomas forma

Tiesinių vienalyčių antros eilės diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais sprendimo pavyzdžiai

Raskite homogeninių antros eilės diferencialinių lygčių bendruosius sprendinius:

Sudarome charakteristikų lygtį: k²-7k+12=0. Jo diskriminantas yra D=b²-4ac=1>0, todėl šaknys yra skirtingi realieji skaičiai.

Vadinasi, šios vienalytės 2 eilės DE bendras sprendimas yra

Sudarykime ir išspręskime charakteristikų lygtį:

Šaknys yra tikros ir skirtingos. Taigi turime bendrą šios homogeninės diferencialinės lygties sprendimą:

Šiuo atveju charakteristikos lygtis

Šaknys skirtingos ir galiojančios. Todėl čia yra bendras 2-osios eilės homogeninės diferencialinės lygties sprendimas

Charakteristinė lygtis

Kadangi šaknys yra tikrosios ir lygios, šios diferencialinės lygties bendrąjį sprendimą rašome kaip

Būdinga lygtis yra čia

Kadangi diskriminantas yra neigiamas skaičius, charakteringos lygties šaknys yra kompleksiniai skaičiai.

Šios vienalytės antrosios eilės diferencialinės lygties bendras sprendimas turi formą

Charakteristinė lygtis

Iš čia randame bendrą šio skirtumo sprendimą. lygtys:

Savikontrolės pavyzdžiai.

Šiame straipsnyje išnagrinėsime tiesinių vienalyčių antros eilės diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais, kur p ir q yra savavališki realieji skaičiai, sprendimo principus. Pirmiausia susitelkime ties teorija, tada gautus rezultatus pritaikykime spręsdami pavyzdžius ir uždavinius.

Jei susiduriate su nepažįstamais terminais, skaitykite skyrių apie diferencialinių lygčių teorijos apibrėžimus ir sąvokas.

Suformuluokime teoremą, nurodančią, kokia forma rasti bendrą LOD sprendinį.

Teorema.

Bendrasis tiesinės vienalytės diferencialinės lygties su koeficientais, nuolatiniais integravimo intervale X, sprendimas nustatomas tiesine kombinacija , Kur yra tiesiškai nepriklausomi daliniai LDE sprendiniai X ir yra savavališkos konstantos.

Taigi tiesinės vienalytės antros eilės diferencialinės lygties su pastoviais koeficientais bendras sprendinys turi formą y 0 =C 1 ⋅y 1 +C 2 ⋅y 2, kur y 1 ir y 2 yra daliniai tiesiškai nepriklausomi sprendiniai, o C 1 ir C 2 yra savavališkos konstantos. Belieka išmokti rasti dalinius y 1 ir y 2 sprendimus.

Euleris pasiūlė ieškoti konkrečių sprendimų formoje.

Jei imtume antros eilės LODE dalinį sprendinį su pastoviais koeficientais, tai pakeisdami šį sprendinį į lygtį, turėtume gauti tapatybę:

Taigi gavome vadinamąjį charakteristikos lygtis tiesinė homogeninė antros eilės diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais. Šios charakteristikos lygties sprendiniai k 1 ir k 2 nustato mūsų antros eilės LODE dalinius sprendinius su pastoviais koeficientais.

Priklausomai nuo koeficientų p ir q, charakteristikų lygties šaknys gali būti:

Pirmuoju atveju pradinės diferencialinės lygties tiesiškai nepriklausomi daliniai sprendiniai yra ir , antros eilės LODE su pastoviais koeficientais bendras sprendinys yra .

Funkcijos ir iš tikrųjų yra tiesiškai nepriklausomos, nes Vronskio determinantas nėra lygus nuliui bet kuriam realiam x.

Antruoju atveju vienas konkretus sprendimas yra funkcija . Kaip antrą konkretų sprendimą mes priimame . Parodykime, kas iš tikrųjų yra konkretus antros eilės LODE su pastoviais koeficientais sprendimas ir įrodykime linijinė nepriklausomybė y 1 ir y 2.

Kadangi k 1 = k 0 ir k 2 = k 0 yra tos pačios charakteringosios lygties šaknys, ji turi formą . Todėl yra pradinė tiesinė vienalytė diferencialinė lygtis. Pakeiskime ją į ją ir įsitikinkime, kad lygtis tampa tapatybe:

Taigi tai yra dalinis pradinės lygties sprendinys.

Parodykime funkcijų ir tiesinę nepriklausomybę. Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame Wronskio determinantą ir įsitikiname, kad jis skiriasi nuo nulio.

Išvada: tiesiškai nepriklausomi antros eilės LODE daliniai sprendiniai su pastoviais koeficientais yra ir , o bendras sprendinys egzistuoja .

Trečiuoju atveju turime porą sudėtingų dalinių LDE ir . Bendras sprendimas bus parašytas kaip . Šiuos konkrečius sprendimus galima pakeisti dviem tikromis funkcijomis ir , atitinkantis tikrąjį ir įsivaizduojamos dalys. Tai galima aiškiai matyti, jei pakeisime bendrą sprendimą , naudojant formules iš kompleksinio kintamojo funkcijos teorija tipas:

kur C 3 ir C 4 yra savavališkos konstantos.

Taigi, apibendrinkime teoriją.

Antros eilės tiesinės vienalytės diferencialinės lygties su pastoviais koeficientais bendro sprendimo paieškos algoritmas.

Pažvelkime į kiekvieno atvejo pavyzdžius.

Pavyzdys.

Raskite antros eilės tiesinės vienalytės diferencialinės lygties su pastoviais koeficientais bendrą sprendimą .

2 eilės diferencialinės lygtys

§1. Lygties eilės mažinimo metodai.

2 eilės diferencialinė lygtis turi tokią formą:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( arba Diferencialinė" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">2-osios eilės diferencialinė lygtis). 2-os eilės diferencialinės lygties Cauchy problema (1..gif" width="85" height= "25 src =">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.

Tegul 2 eilės diferencialinė lygtis turi tokią formą: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.

Taigi, 2 eilės lygtis https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. Jį išspręsdami gauname bendrąjį pradinės diferencialinės lygties integralą, priklausomai nuo dviejų savavališkų konstantų: DIV_ADBLOCK219">

1 pavyzdys. Išspręskite diferencialinę lygtį https://pandia.ru/text/78/516/images/image021_18.gif" width="70" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.gif " width="39" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src=">.gif" width="112" height="25 src=">.

Tai diferencialinė lygtis su atskiriamais kintamaisiais: https://pandia.ru/text/78/516/images/image026_19.gif" width="99" height="41 src=">, i.e.gif" width= " 96" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="48" height="38 src=">..gif" width=" 99 " height="38 src=">..gif" width="95" height="25 src=">.

2..gif" width="117" height="25 src=">, ty..gif" width="102" height="25 src=">..gif" width="117" height= "25 src =">.gif" width="106" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="117" height="25 src=" >.gif" width="111" height="27 src=">

Sprendimas.

Šioje antrosios eilės lygtyje aiškiai nėra norimos funkcijos https://pandia.ru/text/78/516/images/image043_16.gif" width="98" height="25 src=">.gif" width= " 33" height="25 src=">.gif" width="105" height="36 src=">, kuri yra tiesinė lygtis..gif" width="109" height="36 src=">. gif" width="144" height="36 src=">.gif" height="25 src="> iš kai kurių funkcijų..gif" width="25" height="25 src=">.gif ". width="127" height="25 src=">.gif" width="60" height="25 src="> – lygties tvarka sumažinama.

§2. 2 eilės tiesinė diferencialinė lygtis.

2 eilės tiesinė diferencialinė lygtis (LDE) turi tokią formą:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image059_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. gif" width="42" height="25 src="> ir, įvedę naujus koeficientų žymėjimus, rašome lygtį tokia forma:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image064_12.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">. gif" width="30" height="25 src="> tęstinis..gif" width="165" height="25 src=">.gif" width="95" height="25 src="> – savavališki skaičiai.

Teorema. Jei https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> - sprendimas yra

https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> taip pat bus šios lygties sprendimas.

Įrodymas.

Įdėkime išraišką https://pandia.ru/text/78/516/images/image077_11.gif" width="420" height="25 src=">.

Pertvarkykime terminus:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image073_10.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="54" height="25 src=">. gif" width="94" height="25 src="> taip pat yra šios lygties sprendimas.

2 išvada. Darant prielaidą, kad https://pandia.ru/text/78/516/images/image083_11.gif" width="58" height="25 src="> taip pat yra šios lygties sprendimas.

komentuoti. Teoremoje įrodyta sprendinių savybė galioja bet kokios eilės uždaviniams.

§3. Vronskio determinantas.

Apibrėžimas. Funkcijų sistema https://pandia.ru/text/78/516/images/image084_10.gif" width="61" height="25 src=">.gif" width="110" height="47 src= " >..gif" width="106" height="42 src=">..gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="181" height="47 src= " >.gif" width="42" height="25 src="> lygtys (2.3)..gif" width="182" height="25 src="> (3.1)

Iš tiesų, ..gif" width="18" height="25 src="> atitinka lygtį (2..gif" width="42" height="25 src="> yra (3.1) lygties sprendimas. .gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width="162" height="42 src="> .gif" width="51" height="25 src="> tapatybė gaunama.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, kuriame yra tiesiškai nepriklausomų lygties sprendinių determinantas (2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> abu faktoriai dešinėje formulės (3.2) pusėje yra ne nulis.

Ši formulė vadinama Liouville formule. Aukščiau buvo parodyta, kad tiesiškai nepriklausomų funkcijų Wronskio determinantas negali būti identiškai lygus nuliui. Vadinasi, yra taškas, kuriame tiesiškai nepriklausomų (2.3) lygties sprendinių determinantas skiriasi nuo nulio. Tada iš Liouville'io formulės išplaukia, kad funkcija bus ne nulis visoms nagrinėjamo intervalo reikšmėms, nes bet kuriai vertei abu faktoriai dešinėje (3.2) formulės pusėje yra nuliniai.

Teorema. Jei https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> yra tiesiškai nepriklausomi lygties sprendiniai (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">yra lygties (2.3) sprendimas, išplaukia iš sprendinių savybių teoremos iki 2 eilės lode. gif" width="85 " height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">

Konstantos https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> iš šios tiesinių algebrinių lygčių sistemos yra nustatomos vienareikšmiškai, nes determinantas ši sistema yra https://pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. Pagal ankstesnę pastraipą, bendrasis 2-osios eilės Lod sprendinys yra lengvai nustatomas, jei žinomi du tiesiškai nepriklausomi daliniai šios lygties sprendiniai. Paprastas metodas L. Eulerio pasiūlytos lygties su pastoviais koeficientais daliniams sprendimams rasti gauname algebrinę lygtį, kuri vadinama charakteristika:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> bus (5.1) lygties sprendimas tik toms k reikšmėms kurios yra būdingos lygties (5.2) šaknys..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src ="> ir bendras sprendimas (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">. Patikrinkime, ar ši funkcija atitinka lygtį (5.1)..gif" width="190" height="26 src=">. Pakeičiant šias išraiškas į lygtį (5.1), gauname

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, nes..gif" width="137" height="26 src= ">.

Konkretūs sprendimai https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> yra tiesiškai nepriklausomi, nes..gif" width="166" aukštis ="26 src=">.gif" plotis="45" aukštis="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" plotis="134" aukštis = "25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.

Abu skliaustai kairėje šios lygybės pusėje yra identiški nuliui..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> yra (5.1) lygties sprendimas ..gif" width="129" height="25 src="> atrodys taip:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)

pateikiama kaip bendro sprendimo suma https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)

ir bet koks konkretus sprendimas https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> bus (6.1) lygties sprendimas..gif" plotis=" 272" aukštis="25 src="> f(x). Ši lygybė yra tapatybė, nes..gif" width="128" height="25 src="> f(x). Todėl.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width ="138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> yra tiesiškai nepriklausomi šios lygties sprendiniai. Taigi:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src=">, ir toks determinantas, kaip matėme aukščiau, yra ne nulis..gif" width="19" height="25 src="> iš sistemos lygčių (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> bus sprendžiant lygtį

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> į (6.5) lygtį, gauname

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)

kur https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> lygtis (7.1) tuo atveju, kai dešinioji pusė f(x) ) turi specialią formą. Šis metodas vadinamas neapibrėžtų koeficientų metodu ir susideda iš konkretaus sprendimo pasirinkimo, atsižvelgiant į dešiniosios pusės f(x) tipą.

1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">, gali būti nulis. Nurodykime, kokia forma šiuo atveju turi būti priimtas konkretus sprendimas.

a) Jei numeris https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src =>>.

Sprendimas.

Dėl lygties https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src" = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= “ >.

Abi dalis sumažiname iki https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> kairėje ir dešinėje lygybės pusėse

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">

Iš gautos lygčių sistemos randame: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src="> ir bendrą sprendimą duota lygtis Yra:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,

kur https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.

Sprendimas.

Atitinkama charakteristikų lygtis turi tokią formą:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. Galutinis turime tokią bendro sprendimo išraišką:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> puiku nuo nulio. Šiuo atveju nurodykime konkretaus sprendimo tipą.

a) Jei numeris https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,

kur https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> yra būdingos lygties (5..gif" lygties šaknis plotis = "229 " aukštis = "25 src=">,

kur https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.

Sprendimas.

Lygties charakteristikos lygties šaknys https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" height ="25 src=">.

3 pavyzdyje pateiktos lygties dešinioji pusė turi specialią formą: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.

Norėdami nustatyti https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > ir pakeiskite jį į pateiktą lygtį:

Cituojant panašius terminus, prilyginant koeficientus adresu https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height = "25 src=">.

Galutinis bendrasis pateiktos lygties sprendimas yra: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47" " height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src=">, o vienas iš šių polinomų gali būti lygus nuliui. Šiuo bendruoju atveju nurodykime konkretaus sprendimo tipą .

a) Jei numeris https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)

kur https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.

b) Jei skaičius https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src=">, konkretus sprendimas lndu atrodys taip:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. Išraiškoje (7..gif" width="121" height= " 25 src=">.

4 pavyzdys. Nurodykite konkretaus lygties sprendimo tipą

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . Bendras „Lodu“ sprendimas turi tokią formą:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.

Kiti koeficientai https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > yra konkretus lygties sprendimas su dešine puse f1(x) ir savavališkų konstantų variacijos" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">variacija (Lagranžo metodas).

Remiantis tuo, kas išdėstyta aukščiau, bendras tiesinės vienalytės lygties sprendimas yra:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – ne konstantos, o kai kurios, dar nežinomos, f(x) funkcijos. . turi būti paimtas iš intervalo. Tiesą sakant, šiuo atveju Wronskio determinantas yra ne nulis visuose intervalo taškuose, t. y. visoje erdvėje - kompleksinė charakteristikos lygties šaknis..gif" width="20" height="25 src="> tiesiškai nepriklausomi formų daliniai sprendiniai :

Bendrojoje sprendimo formulėje ši šaknis atitinka formos išraišką.