Vida y= f(x), x APIE N, Kur N– daug natūraliuosius skaičius(arba natūralių argumentų funkcija), žymimas y=f(n) arba y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Vertybės y 1 ,y 2 ,y 3 ,… vadinami atitinkamai pirmuoju, antruoju, trečiuoju, ... sekos nariais.

Pavyzdžiui, dėl funkcijos y= n 2 galima parašyti:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Sekų nustatymo metodai. Galima nurodyti sekas įvairiais būdais, tarp kurių ypač svarbūs trys: analitinis, aprašomasis ir pasikartojantis.

1. Seka pateikiama analitiškai, jei pateikta jos formulė n narys:

y n=f(n).

Pavyzdys. y n= 2n – 1 – nelyginių skaičių seka: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Aprašomasis Skaitmeninę seką galima nurodyti paaiškinti, iš kurių elementų seka sudaryta.

1 pavyzdys. „Visi sekos nariai yra lygūs 1“. Tai reiškia, mes kalbame apie apie stacionarią seką 1, 1, 1, …, 1, ….

2 pavyzdys: „Seką sudaro visi pirminiai skaičiai didėjančia tvarka“. Taigi, pateikta seka yra 2, 3, 5, 7, 11, .... Šiame pavyzdyje naudojant tokį sekos nurodymo metodą, sunku atsakyti, kam lygus, tarkime, 1000-asis sekos elementas.

3. Pasikartojantis sekos nurodymo metodas – tai taisyklės, leidžiančios apskaičiuoti, nurodymas n-asis sekos narys, jei žinomi ankstesni jos nariai. Pasikartojančio metodo pavadinimas kilęs iš lotyniško žodžio pasikartojantis- grįžk. Dažniausiai tokiais atvejais nurodoma formulė, leidžianti išreikšti n eilės narį per ankstesnius ir nurodykite 1–2 pradinius sekos narius.

1 pavyzdys. y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 jei n = 2, 3, 4,….

Čia y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Matote, kad šiame pavyzdyje gautą seką taip pat galima nurodyti analitiškai: y n= 4n – 1.

2 pavyzdys. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n– 1 jei n = 3, 4,….

Čia: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Šiame pavyzdyje pateikta seka ypač tiriama matematikoje, nes ji turi daug įdomių savybių ir pritaikymų. Ji vadinama Fibonačio seka, pavadinta XIII amžiaus italų matematiko vardu. Labai lengva nustatyti Fibonačio seką pakartotinai, bet labai sunku analitiškai. n Fibonačio skaičius išreiškiamas jo serijos numeriu pagal šią formulę.

Iš pirmo žvilgsnio formulė n Fibonačio skaičius atrodo neįtikėtinas, nes formulėje, nurodančioje natūraliųjų skaičių seką, yra kvadratinės šaknys, tačiau pirmuosius keletą kartų galite patikrinti šios formulės galiojimą „rankiniu būdu“. n.

Skaičių sekų savybės.

Skaičių seka – ypatingas atvejis skaitinė funkcija, todėl sekoms taip pat atsižvelgiama į daugybę funkcijų savybių.

Apibrėžimas . Pasekmė ( y n} vadinamas didėjančiu, jei kiekvienas jo narys (išskyrus pirmąjį) yra didesnis už ankstesnį:

y 1 m. 2 m 3 m. n n +1

Apibrėžimas.Seka ( y n} vadinamas mažėjančiu, jei kiekvienas jo narys (išskyrus pirmąjį) yra mažesnis už ankstesnį:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

Didėjančios ir mažėjančios sekos jungiamos pagal bendrą terminą – monotoninės sekos.

1 pavyzdys. y 1 = 1; y n= n 2 – didėjanti seka.

Taigi teisinga sekanti teorema (būdinga aritmetinės progresijos savybė). Skaičių seka yra aritmetinė tada ir tik tada, kai kiekvienas jos narys, išskyrus pirmąjį (ir baigtinės sekos atveju paskutinį), yra lygus ankstesnių ir paskesnių narių aritmetiniam vidurkiui.

Pavyzdys. Kokia verte x skaičiai 3 x + 2, 5x– 4 ir 11 x+ 12 sudaro baigtinę aritmetinę progresiją?

Pagal būdingą savybę pateiktos išraiškos turi tenkinti santykį

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Išsprendus šią lygtį gaunama x= –5,5. Šia verte x pateiktos išraiškos 3 x + 2, 5x– 4 ir 11 x+ 12 atitinkamai paimkite reikšmes –14,5, –31,5, –48,5. tai - aritmetinė progresija, jo skirtumas yra –17.

Geometrinė progresija.

Skaičių seka, kurios visi nariai yra ne nuliai ir kurių kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, gaunamas iš ankstesnio nario, padauginus iš to paties skaičiaus q, paskambino geometrinė progresija, ir numerį q- geometrinės progresijos vardiklis.

Taigi geometrinė progresija yra skaičių seka ( b n), rekursyviai apibrėžtas ryšiais

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b Ir q – duotus skaičius, b ≠ 0, q ≠ 0).

1 pavyzdys. 2, 6, 18, 54, ... – didėjanti geometrinė progresija b = 2, q = 3.

2 pavyzdys. 2, –2, 2, –2,… – geometrinė progresija b= 2,q= –1.

3 pavyzdys. 8, 8, 8, 8, … – geometrinė progresija b= 8, q= 1.

Geometrinė progresija yra didėjanti seka, jei b 1 > 0, q> 1 ir mažėja, jei b 1 > 0, 0 q

Vienas iš akivaizdžios savybės geometrinė progresija yra tai, kad jei seka yra geometrinė progresija, tai kvadratų seka, t.y.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,... yra geometrinė progresija, kurios pirmasis narys yra lygus b 1 2 , o vardiklis yra q 2 .

Formulė n- geometrinės progresijos narys turi formą

b n= b 1 qn – 1 .

Galite gauti baigtinės geometrinės progresijos terminų sumos formulę.

Tegu pateikta baigtinė geometrinė progresija

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

tegul S n – jos narių suma, t.y.

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

Tai priimta q Nr 1. Nustatyti S n naudojama dirbtinė technika: atliekamos kai kurios geometrinės išraiškos transformacijos S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

Taigi, S n q= S n +b n q – b 1 ir todėl

Tai yra formulė su umma n geometrinės progresijos narių tuo atveju, kai q≠ 1.

At q= 1 formulės nereikia išvesti atskirai, akivaizdu, kad šiuo atveju S n= a 1 n.

Progresija vadinama geometrine, nes kiekvienas joje esantis narys, išskyrus pirmąjį, yra lygus ankstesnių ir vėlesnių terminų geometriniam vidurkiui. Tiesa, nuo

bn=bn- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

vadinasi, b n 2=bn– 1 mlrd + 1 ir ši teorema yra teisinga (būdinga geometrinės progresijos savybė):

skaičių seka yra geometrinė progresija tada ir tik tada, kai kiekvieno jos nario kvadratas, išskyrus pirmąjį (ir paskutinį, jei yra baigtinė seka), yra lygus ankstesnių ir vėlesnių narių sandaugai.

Konsistencijos riba.

Tegul būna seka ( c n} = {1/n}. Ši seka vadinama harmonine, nes kiekvienas jos narys, pradedant nuo antrojo, yra harmoninis vidurkis tarp ankstesnių ir paskesnių terminų. Vidutinis geometriniai skaičiai a Ir b yra numeris

Kitu atveju seka vadinama divergentine.

Remiantis šiuo apibrėžimu, galima, pavyzdžiui, įrodyti, kad egzistuoja riba A=0 harmoninei sekai ( c n} = {1/n). Tegul ε yra savavališkai mažas teigiamas skaičius. Atsižvelgiama į skirtumą

Ar toks dalykas egzistuoja? N tai visiems n ≥ N galioja 1 nelygybė /N? Jei priimsime kaip N bet koks natūralusis skaičius, didesnis už 1/ε , tada visiems n ≥ N galioja 1 nelygybė /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

Kartais gali būti labai sunku įrodyti tam tikros sekos ribos buvimą. Dažniausiai pasitaikančios sekos yra gerai ištirtos ir išvardytos žinynuose. Yra svarbių teoremų, leidžiančių daryti išvadą, kad tam tikra seka turi ribą (ir netgi ją apskaičiuoti), remiantis jau ištirtomis sekomis.

1 teorema. Jei seka turi ribą, tai ji yra ribojama.

2 teorema. Jeigu seka monotoniška ir ribojama, tai ji turi ribą.

3 teorema. Jei seka ( a n} turi limitą A, tada sekos ( ca n}, {a n+ c) ir (| a n|} turi ribas cA, A +c, |A| atitinkamai (čia c– savavališkas skaičius).

4 teorema. Jei sekos ( a n} Ir ( b n) turi lygias ribas A Ir B pa n + qbn) turi ribą pA+ qB.

5 teorema. Jei sekos ( a n) Ir ( b n) turi ribas, lygias A Ir B atitinkamai, seka ( a n b n) turi ribą AB.

6 teorema. Jei sekos ( a n} Ir ( b n) turi lygias ribas A Ir B atitinkamai ir, be to, b n ≠ 0 ir B≠ 0, tada seka ( a n / b n) turi ribą A/B.

Anna Chugainova

Pasekmė

Pasekmė- Tai rinkinys kai kurių rinkinių elementai:

• kiekvienam natūraliam skaičiui galite nurodyti tam tikros aibės elementą;
• šis skaičius yra elemento numeris ir nurodo šio elemento vietą sekoje;
• Bet kuriam sekos elementui (nariui) galite nurodyti kitą sekos elementą.

Taigi seka pasirodo kaip rezultatas nuoseklus tam tikro rinkinio elementų pasirinkimas. Ir jei bet kuris elementų rinkinys yra baigtinis, o mes kalbame apie baigtinio tūrio pavyzdį, seka pasirodo kaip begalinio tūrio pavyzdys.

Seka pagal savo pobūdį yra atvaizdavimas, todėl jos nereikėtų painioti su rinkiniu, kuris „eina per“ seką.

Matematikoje atsižvelgiama į daugybę skirtingų sekų:

• skaitinės ir neskaitinės laiko eilutės;
• metrinės erdvės elementų sekos
• funkcinių erdvės elementų sekos
• valdymo sistemų ir mašinų būsenų sekos.

Visų galimų sekų tyrimo tikslas yra ieškoti šablonų, numatyti būsimas būsenas ir generuoti sekas.

Apibrėžimas

Tegul pateikiamas tam tikras savavališko pobūdžio elementų rinkinys. | Iškviečiamas bet koks natūraliųjų skaičių aibės susiejimas su tam tikra aibe seka(rinkinio elementai).

Natūralaus skaičiaus, būtent elemento, vaizdas vadinamas - th narys arba sekos elementas, o sekos nario eilės skaičius yra jos indeksas.

Susiję apibrėžimai

• Jeigu imsime didėjančią natūraliųjų skaičių seką, tai ją galima laikyti kokios nors sekos indeksų seka: jei imsime pradinės sekos elementus su atitinkamais indeksais (paimtais iš didėjančios natūraliųjų skaičių sekos), tai mes vėl gali gauti seką, vadinamą seka duota seka.

Komentarai

• Matematinės analizės metu svarbi sąvoka yra skaičių sekos riba.

Pavadinimai

Formos sekos

Įprasta rašyti kompaktiškai naudojant skliaustus:

arba

Kartais naudojami garbanoti breketai:

Suteikdami tam tikrą žodžio laisvę, galime svarstyti ir baigtines formos sekas

,

kurie vaizduoja natūraliųjų skaičių sekos pradinio segmento vaizdą.

Taip pat žr

Wikimedia fondas.

2010 m.:

Sinonimai

Pažiūrėkite, kas yra „seka“ kituose žodynuose:

TOLESNĖ. I. V. Kirejevskio straipsnyje „Devynioliktasis amžius“ (1830 m.) skaitome: „Nuo pat Romos imperijos žlugimo iki mūsų laikų Europos nušvitimas pasirodo laipsniškai ir nuolatos“ (t. 1, p. ... ... Žodžių istorija SEQUENCE, sekos, daugiskaita. ne, moteris (knyga). išsiblaškęs daiktavardis į nuoseklų. Įvykių seka. Kintančių potvynių nuoseklumas. Samprotavimo nuoseklumas.Žodynas Ušakova......

Ušakovo aiškinamasis žodynas Pastovumas, tęstinumas, logika; serija, progresas, išvada, serija, styga, posūkis, grandinė, grandinė, kaskados, estafetės; patvarumas, galiojimas, rinkinys, metodiškumas, išdėstymas, harmonija, atkaklumas, seka, ryšys, eilė,... ...

Sinonimų žodynas SEKA, skaičiai ar elementai, išdėstyti organizuotai. Sekos gali būti baigtinės (turinčios ribotą elementų skaičių) arba begalinės, pavyzdžiui, visa natūraliųjų skaičių 1, 2, 3, 4 seka .......

Mokslinis ir techninis enciklopedinis žodynas SEQUENCE, skaičių rinkinys ( matematines išraiškas ir kt.; jie sako: bet kokios prigimties elementai), sunumeruoti natūraliaisiais skaičiais. Seka rašoma x1, x2,..., xn,... arba trumpai (xi) ...

Šiuolaikinė enciklopedija Viena iš pagrindinių matematikos sąvokų. Seka sudaroma iš bet kokios prigimties elementų, sunumeruotų natūraliaisiais skaičiais 1, 2, ..., n, ... ir užrašoma kaip x1, x2, ..., xn, ... arba trumpai (xn) . ..

Pasekmė Didysis enciklopedinis žodynas - SEKA, skaičių rinkinys (matematinės išraiškos ir kt.; sakoma: bet kokios prigimties elementai), sunumeruoti natūraliaisiais skaičiais. Seka rašoma x1, x2, ..., xn, ... arba trumpai (xi). ...

Iliustruotas enciklopedinis žodynas SEKA, ir, moteriška. 1. Žr. iš eilės. 2. Matematikoje: begalinė sutvarkyta skaičių aibė. Ožegovo aiškinamąjį žodyną. S.I. Ožegovas, N. Yu. Švedova. 1949 1992…

Ožegovo aiškinamasis žodynas anglų kalba seka / seka; vokiečių kalba Konsequenz. 1. Eiliškumas vienas po kito. 2. Viena iš pagrindinių matematikos sąvokų. 3. Kokybė yra tinkama loginis mąstymas Sociologijos enciklopedija

Pasekmė- „funkcija, apibrėžta natūraliųjų skaičių aibėje, kurios reikšmių rinkinį gali sudaryti bet kokio pobūdžio elementai: skaičiai, taškai, funkcijos, vektoriai, aibės, atsitiktiniai dydžiai ir tt, sunumeruoti natūraliaisiais skaičiais... Ekonominis-matematinis žodynas

Knygos

• Mes sukuriame seką. Kačiukai. 2-3 metai. Žaidimas „Kačiukai“. Mes sukuriame seką. 1 lygis. serija" Ikimokyklinis ugdymas". Linksmi kačiukai nusprendė degintis paplūdimyje! Bet jie tiesiog negali padalinti erdvės. Padėkite jiems tai išsiaiškinti!…

Jei funkcija apibrėžta natūraliųjų skaičių aibėje N, tai tokia funkcija vadinama begaline skaičių seka. Paprastai skaičių seka žymima kaip (Xn), kur n priklauso natūraliųjų skaičių N aibei.

Skaičių seką galima nurodyti pagal formulę. Pavyzdžiui, Xn=1/(2*n). Taigi kiekvieną natūralųjį skaičių n susiejame su tam tikru sekos elementu (Xn).

Jei dabar paeiliui imsime n lygų 1,2,3, …., gausime seką (Xn): ½, ¼, 1/6, …, 1/(2*n), …

Sekos rūšys

Seka gali būti ribota arba neribota, didėjanti arba mažėjanti.

Seka (Xn) iškviečia ribotas, jei yra du skaičiai m ir M, kad bet kuriai n, priklausančiai natūraliųjų skaičių aibei, galios lygybė m<=Xn

seka (Xn), neapsiriboti, vadinama neribota seka.

didėja, jei visoms natūraliosioms n galioja ši lygybė X(n+1) > Xn. Kitaip tariant, kiekvienas sekos narys, pradedant nuo antrojo, turi būti didesnis nei ankstesnis narys.

Seka (Xn) vadinama mažėja, jei visoms natūraliosioms n galioja ši lygybė X(n+1).< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.

Sekos pavyzdys

Patikrinkime, ar sekos 1/n ir (n-1)/n mažėja.

Jei seka mažėja, tada X(n+1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0.

X(n+1) – Xn = 1/(n+1) – 1/n = –1/(n*(n+1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая.

(n-1)/n:

X(n+1) – Xn =n/(n+1) – (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. Tai reiškia seką (n-1)/n didėja.

Leiskite X (\displaystyle X) yra realiųjų skaičių rinkinys R (\displaystyle \mathbb (R) ), arba rinkinį kompleksiniai skaičiai C (\displaystyle \mathbb (C) ). Tada seka ( x n ) n = 1 ∞ (\displaystyle \(x_(n)\)_(n=1)^(\infty )) rinkinio elementai X (\displaystyle X) paskambino skaitinė seka.

Pavyzdžiai

Operacijos su sekomis

Pasekmės

Pasekmė sekos (x n) (\displaystyle (x_(n)))– tai seka (x n k) (\displaystyle (x_(n_(k)))), Kur (n k) (\displaystyle (n_(k)))- didėjanti natūraliųjų skaičių aibės elementų seka.

Kitaip tariant, poseka gaunama iš sekos pašalinus baigtinį arba suskaičiuojamą elementų skaičių.

Pavyzdžiai

• Pirminių skaičių seka yra natūraliųjų skaičių sekos poseka.
• Natūraliųjų skaičių seka, kartotiniai , yra lyginių natūraliųjų skaičių sekos poseka.

Savybės

Sekos ribinis taškas yra taškas bet kurioje kaimynystėje, kurio yra be galo daug šios sekos elementų. Konvergencinėms skaičių sekoms ribinis taškas sutampa su riba.

Sekos riba

Sekos riba - tai objektas, prie kurio, skaičiui didėjant, artėja sekos nariai. Taigi savavališkoje topologinėje erdvėje sekos riba yra elementas, kurio bet kurioje kaimynystėje yra visi sekos nariai, pradedant nuo tam tikro taško. Visų pirma, skaičių sekoms riba yra skaičius, esantis bet kurioje kaimynystėje, kurio visi sekos nariai, prasidedantys nuo tam tikro taško, yra.

Pagrindinės sekos

Fundamentali seka (konvergentinė seka , Cauchy seka ) yra metrinės erdvės elementų seka, kurioje bet kuriam tam tikram atstumui iš anksto yra elementas, kurio atstumas iki bet kurio iš toliau nurodytų elementų neviršija nurodyto. Skaičių sekoms pagrindinės ir konvergentinės sekos sąvokos yra lygiavertės, tačiau apskritai taip nėra.