T.D. Ivanova

IRACIONALIŲJŲ NETOLYGUMŲ SPRENDIMO METODAI

CDO ir NIT SRPTL

UDC 511 (O75.3)

BBK 22. 1Y72

Sudarė T.D.Ivanova

Recenzentas: Baisheva M.I.- Pedagogikos mokslų kandidatas, katedros docentas

Matematikos fakulteto matematinė analizė

Jakutsko matematikos ir informatikos institutas

valstybinis universitetas

Iracionaliųjų nelygybių sprendimo metodai: Metodinis vadovas

M 34 9-11 klasių mokiniams / komp. Ivanova T.D. iš Suntar Suntarsky ulus

RS (Y): CDO NIT SRPTL, 2007, – 56 p.

Vadovas skirtas vidurinių mokyklų aukštųjų mokyklų studentams, taip pat stojantiems į universitetus kaip metodinis vadovas sprendžiant neracionalias nelygybes. Vadove išsamiai nagrinėjami pagrindiniai neracionalių nelygybių sprendimo būdai, pateikiami neracionalių nelygybių sprendimo su parametrais pavyzdžiai, taip pat pateikiami pavyzdžiai, kaip pačiam jas išspręsti. Mokytojai gali naudoti vadovą kaip didaktinė medžiaga savarankiškam darbui atlikti, temos „Iracionalios nelygybės“ apžvalga.

Vadove atsispindi mokytojo patirtis nagrinėjant temą „Iracionalioji nelygybė“ su mokiniais.

Problemos paimtos iš medžiagų stojamieji egzaminai, metodinius laikraščius ir žurnalus, mokymo priemones, kurių sąrašas pateikiamas vadovo pabaigoje

UDC 511 (O75.3)

BBK 22. 1Y72

 T.D. Ivanova, komp., 2006 m.

 CDO NIT SRPTL, 2007 m.

5 pratarmė

6 įvadas

I skyrius. Paprasčiausių iracionaliųjų nelygybių sprendimo pavyzdžiai 7

II skirsnis Formos nelygybės
>g(x), g(x), g(x) 9

III skyrius. Formos nelygybės
;
;

;
13

IV skyrius. Nelygybės, turinčios kelias lyginio laipsnio šaknis 16

V skirsnis. Pakeitimo metodas (naujo kintamojo įvedimas) 20

VI skyrius. Formos f(x) nelygybės
0;

f(x)0;
25

VII skyrius. Formos nelygybės

VIII skyrius. Naudojant radikalias išraiškos transformacijas

neracionaliose nelygybėse 26

IX skyrius. Grafinis iracionaliųjų nelygybių sprendimas 27

X skyrius. Mišrios nelygybės 31

XI skyrius. Naudojant funkcijos monotoniškumo savybę 41

XII skyrius. 43 funkcijos pakeitimo būdas

XIII skyrius. Tiesioginio nelygybių sprendimo pavyzdžiai

intervalo metodas 45

XIV skyrius. Iracionaliųjų nelygybių su 46 parametrais sprendimo pavyzdžiai

Literatūra 56

Ši mokymo priemonė skirta 10-11 klasių mokiniams. Kaip rodo praktika, moksleiviai ir stojantieji patiria ypatingų sunkumų spręsdami neracionalias nelygybes. Taip yra dėl to, kad mokyklinėje matematikoje ši dalis nėra pakankamai apsvarstyta įvairiais tokių nelygybių sprendimo būdais. Taip pat mokyklų mokytojai jaučia metodinės literatūros trūkumą, kuris pasireiškia ribotu probleminės medžiagos kiekiu, nurodant įvairius požiūrius ir sprendimo būdus.

Vadove aptariami neracionalių nelygybių sprendimo būdai. Ivanova T.D. kiekvieno skyriaus pradžioje supažindina studentus su pagrindine metodo idėja, tada parodo pavyzdžius su paaiškinimais, taip pat siūlo savarankiško sprendimo problemas.

Kompiliatorius naudoja pačius „įspūdingiausius“ metodus sprendžiant neracionalias nelygybes, atsirandančias stojant į aukštąsias mokyklas. švietimo įstaigos su padidėjusiais reikalavimais studentų žinioms.

Mokiniai, perskaitę šį vadovą, gali įgyti neįkainojamos patirties ir įgūdžių sprendžiant sudėtingas neracionalias nelygybes. Tikiu, kad šis vadovas bus naudingas ir matematikos mokytojams, dirbantiems specializuotose klasėse, taip pat pasirenkamųjų kursų rengėjams.

Pedagogikos mokslų kandidatas, Jakuto valstybinio universiteto Matematikos ir informatikos instituto Matematikos fakulteto Matematinės analizės katedros docentas

Baisheva M.I.

PRATARMĖ

Vadovas skirtas vidurinių mokyklų aukštųjų mokyklų studentams, taip pat stojantiems į universitetus kaip metodinis vadovas sprendžiant neracionalias nelygybes. Vadove išsamiai nagrinėjami pagrindiniai neracionalių nelygybių sprendimo būdai, pateikiami apytiksliai neracionaliųjų nelygybių sprendimo pavyzdžiai, pateikiami neracionalių nelygybių sprendimo pavyzdžiai su parametrais, taip pat pateikiami pavyzdžiai, kaip kai kuriems iš jų išspręsti pačiam, trumpi atsakymai ir instrukcijos yra duoti.

Savarankiškai analizuojant pavyzdžius ir sprendžiant nelygybes, daroma prielaida, kad studentas moka spręsti tiesines, kvadratines ir kitas nelygybes, žino įvairius nelygybių sprendimo būdus, ypač intervalų metodą. Nelygybę siūloma spręsti keliais būdais.

Mokytojai gali naudoti vadovą kaip didaktinę medžiagą savarankiškam darbui apžvelgdami temą „Iracionalioji nelygybė“.

Vadove atsispindi mokytojo patirtis nagrinėjant temą „Iracionalioji nelygybė“ su mokiniais.

Uždaviniai buvo atrinkti iš stojamųjų egzaminų į aukštąsias mokyklas medžiagos, matematikos metodinių laikraščių ir žurnalų „Rugsėjo pirmoji“, „Matematika mokykloje“, „Kvantas“, vadovėlių, kurių sąrašas pateiktas vadovo pabaigoje. .

ĮVADAS

Iracionaliosios nelygybės yra tos, kuriose kintamieji arba kintamojo funkcija patenka po šaknies ženklu.

Pagrindinis standartinis neracionalių nelygybių sprendimo būdas yra paeiliui pakelti abi nelygybės puses į laipsnį, kad būtų pašalinta šaknis. Bet ši operacija dažnai lemia pašalinių šaknų atsiradimą ar net šaknų praradimą, t.y. veda prie nelygybės, kuri yra nelygi pradinei. Todėl turime labai atidžiai stebėti transformacijų lygiavertiškumą ir atsižvelgti tik į tas kintamojo reikšmes, kurioms nelygybė yra prasminga:

jei šaknis yra lyginis laipsnis, tai radikalioji išraiška turi būti neneigiama, o šaknies reikšmė taip pat turi būti neneigiamas skaičius.

jei laipsnio šaknis yra nelyginis skaičius, tai radikalioji išraiška gali būti bet koks realusis skaičius, o šaknies ženklas sutampa su radikalios išraiškos ženklu.

abi nelygybės puses galima pakelti iki lygiosios galios tik prieš tai įsitikinus, kad jos yra neneigiamos;

Abiejų nelygybės pusių pakėlimas į tą pačią nelyginę galią visada yra lygiavertė transformacija.

skyriusaš. Paprastų neracionalių nelygybių sprendimo pavyzdžiai

1 pavyzdžiai - 6:

Sprendimas:

1. a)
.

b)
.

2. a)

b)

3. a)
.

b)
.

4. a)

b)

5. a)
.

b)

6. a)
.

b)
.

7.

8. a)
.

b)

9. a)
.

b)

11.

12. Raskite mažiausią teigiamą sveikąjį x reikšmę, kuri tenkina nelygybę

13. a) Raskite nelygybės sprendinių intervalo vidurio tašką

b) Raskite visų x sveikųjų skaičių, kurių nelygybė turi sprendinį 4, aritmetinį vidurkį

14. Raskite mažiausią neigiamą nelygybės sprendimą

15. a)
;

b)

II skyrius. Formos >g(x), g(x) nelygybės,g(x)

Lygiai taip pat, kaip spręsdami 1-4 pavyzdžius, samprotaujame spręsdami nurodyto tipo nelygybes.

7 pavyzdys : Išspręskite nelygybę
> X + 1

Sprendimas: DZ nelygybė: X-3.

Dešinėje pusėje galimi du atvejai: X A) X + 1

+ 10 (dešinė pusė nėra neigiama) arba b) X Apsvarstykite a) Jei X+10, t.y. X + 3 >- 1, tada abi nelygybės pusės yra neneigiamos.+ 2X Kvadratiname abi puses: X X+ X – 2 + 1. Gauname kvadratinė nelygybė

x X x - 1, gauname -1

Apsvarstykite b) Jei X+1 x x -3 X
.

A) -1 ir b) atvejo sprendinių derinimas

-3, užsirašykime atsakymą:
.

Sprendžiant 7 pavyzdį visus argumentus patogu surašyti taip:

Pradinė nelygybė yra lygiavertė nelygybių sistemų rinkiniui .

Formos nelygybių sprendimo samprotavimas

1.> g(+ 1. Gauname); 2. g(+ 1. Gauname); 3. g(+ 1. Gauname); 4. g(+ 1. Gauname) gali būti trumpai parašytas šių diagramų pavidalu:

aš. > g(+ 1. Gauname)

2. g(+ 1. Gauname)

3. g(+ 1. Gauname)

4. g(+ 1. Gauname)
.

8 pavyzdys :
X.

Sprendimas: Pradinė nelygybė yra lygiavertė sistemai

x>0

Pradinė nelygybė yra lygiavertė nelygybių sistemų rinkiniui X
.

Savarankiško sprendimo užduotys:

b)

b)
.

b)

b)

20. a)
x

b)

21. a)

Tikslai:

1. Bendrasis ugdymas: sisteminti, apibendrinti, plėsti mokinių žinias ir įgūdžius, susijusius su nelygybių sprendimo metodų taikymu.
2. Lavinamieji: ugdykite studentų gebėjimą klausytis paskaitos užrašydami ją į sąsiuvinį.
3. Ugdomasis: formuoti pažintinę motyvaciją mokytis matematikos.

Pamokos eiga

I. Įžanginis pokalbis:

Baigėme temą „Iracionaliųjų lygčių sprendimas“ ir šiandien pradedame mokytis spręsti neracionalias nelygybes.

Pirma, prisiminkime, kokių tipų nelygybes galite išspręsti ir kokiais metodais?

Atsakymas: tiesinis, kvadratinis, racionalus, trigonometrinis. Tiesinius sprendžiame remdamiesi nelygybių savybėmis, trigonometrines redukuojame iki paprasčiausių trigonometrinių, išspręstų naudojant trigonometrinį apskritimą, o likusias daugiausia – intervalų metodu.

Klausimas: Kokiu teiginiu grindžiamas intervalo metodas?

Atsakymas: Teoremoje, teigiančioje, kad nuolatinė funkcija, kuris tam tikru intervalu neišnyksta, šiame intervale išlaiko savo ženklą.

II. Pažvelkime į neracionalią nelygybę, pvz., >

Klausimas: Ar galima tai išspręsti naudojant intervalų metodą?

Atsakymas: Taip, nuo funkcijos y=– tęstinis už D(y).

Šios nelygybės sprendimas intervalo metodas .

Išvada: mes gana lengvai išsprendėme šią neracionalią nelygybę naudodami intervalų metodą, faktiškai sumažindami ją iki neracionalios lygties sprendimo.

Pabandykime šiuo metodu išspręsti kitą nelygybę.

3)f(x) nuolatinis D(f)

4) Funkcijos nuliai:

• Ilgai reikia ieškoti D(f).
• Sunku apskaičiuoti kontrolinius taškus.

Kyla klausimas: „Ar yra kitų būdų, kaip išspręsti šią nelygybę?

Akivaizdu, kad yra, ir dabar mes su jais susipažinsime.

III. Taigi, tema šiandien pamoka: „Iracionalių nelygybių sprendimo metodai“.

Pamoka vyks paskaitos forma, nes vadovėlyje nėra išsamios visų metodų analizės. Todėl mūsų svarbi užduotis: Padarykite išsamią šios paskaitos santrauką.

IV. Jau kalbėjome apie pirmąjį iracionaliųjų nelygybių sprendimo būdą.

tai - intervalo metodas , universalus metodas visų tipų nelygybėms spręsti. Tačiau tai ne visada veda į tikslą trumpai ir paprastai.

V. Sprendžiant iracionaliąsias nelygybes galima pasitelkti tas pačias idėjas, kaip ir sprendžiant neracionalias lygtis, tačiau kadangi paprastas sprendinių patikrinimas neįmanomas (juk nelygybių sprendiniai dažniausiai yra ištisi skaitiniai intervalai), reikia naudoti ekvivalentiškumą.

Pateikiame pagrindinių neracionalių nelygybių tipų sprendimo schemas lygiaverčių perėjimų metodas iš vienos nelygybės į nelygybių sistemą.

2. Panašiai įrodyta, kad

Užrašykime šias diagramas ant atramos lentos. Pagalvokite apie 3 ir 4 tipų įrodymus namuose, juos aptarsime kitoje pamokoje.

VI. Išspręskime nelygybę nauju būdu.

Pradinė nelygybė prilygsta sistemų rinkiniui.

VII. Ir yra trečias metodas, kuris dažnai padeda išspręsti sudėtingas neracionalias nelygybes. Apie tai jau kalbėjome apie nelygybes su moduliu. Tai funkcijų pakeitimo būdas (pakeičiantys veiksniai). Leiskite jums priminti, kad pakeitimo metodo esmė yra ta, kad monotoninių funkcijų reikšmių skirtumą galima pakeisti jų argumentų verčių skirtumais.

Apsvarstykite neracionalią formos nelygybę<,

tai yra -< 0.

Pagal teoremą, jei p(x) didėja tam tikru intervalu, kuriam jie priklauso a Ir b, ir a>b, tada nelygybės p(a) – p(b) > 0 ir a–b> 0 yra lygiaverčiai D(p), tai yra

VIII. Išspręskime nelygybę pakeisdami veiksnius.

Tai reiškia, kad ši nelygybė yra lygiavertė sistemai

Taigi matėme, kad naudojant faktorių pakeitimo metodą, siekiant sumažinti nelygybės sprendimą į intervalų metodą, žymiai sumažėja darbo kiekis.

IX. Dabar, kai apžvelgėme tris pagrindinius lygčių sprendimo būdus, padarykime savarankiškas darbas su savęs patikrinimu.

Būtina užpildyti šiuos skaičius (pagal A. M. Mordkovičiaus vadovėlį): 1790 (a) - išspręsti lygiaverčių perėjimų metodu, 1791 (a) - išspręsti faktorių pakeitimo metodu Norėdami išspręsti neracionalias nelygybes, tai sprendžiant neracionalias lygtis siūloma naudoti anksčiau aptartus metodus:

• kintamųjų pakeitimas;
• ODZ naudojimas;
• naudojant funkcijų monotoniškumo savybes.

Temos studijos užbaigimas yra testas.

Analizė bandomasis darbas rodo:

• tipinės silpnų mokinių klaidos, be aritmetikos ir algebros, yra neteisingi ekvivalentiniai perėjimai į nelygybių sistemą;
• Veiksnių pakeitimo metodą sėkmingai naudoja tik stiprūs studentai.

IN šią pamoką svarstysime iracionaliųjų nelygybių sprendimą, duosime įvairių pavyzdžių.

Tema: Lygtys ir nelygybės. Lygčių ir nelygybių sistemos

Pamoka:Neracionalios nelygybės

Sprendžiant neracionalias nelygybes, gana dažnai reikia tam tikru laipsniu pakelti abi nelygybės puses, tai gana atsakinga operacija. Prisiminkime savybes.

Abi nelygybės pusės gali būti pakeltos kvadratu, jei abi jos yra neneigiamos, tik tada gauname tikrą nelygybę iš tikrosios nelygybės.

Abi nelygybės puses bet kuriuo atveju gali būti kubuojamos, jei pradinė nelygybė buvo teisinga, tada kubu gausime tikrąją nelygybę.

Apsvarstykite formos nelygybę:

Radikali išraiška turi būti neneigiama. Funkcija gali turėti bet kokias reikšmes, reikia atsižvelgti į du atvejus.

Pirmuoju atveju abi nelygybės pusės yra neneigiamos, mes turime teisę ją paversti kvadratu. Antruoju atveju dešinė pusė yra neigiama, ir mes neturime teisės jos kvadratuoti. Šiuo atveju reikia pažvelgti į nelygybės reikšmę: čia yra teigiama išraiška ( kvadratinė šaknis) yra didesnis nei neigiama išraiška, o tai reiškia, kad nelygybė visada tenkinama.

Taigi, turime tokią sprendimo schemą:

Pirmojoje sistemoje radikaliosios išraiškos atskirai neapsaugome, nes tenkinus antrąją sistemos nelygybę, radikalioji išraiška automatiškai turi būti teigiama.

1 pavyzdys – išspręskite nelygybę:

Pagal diagramą pereiname prie lygiavertės dviejų nelygybių sistemų rinkinio:

Iliustruojame:

Ryžiai. 1 – 1 pavyzdžio sprendimo iliustracija

Kaip matome, atsikratę iracionalumo, pavyzdžiui, kvadratuodami, gauname sistemų aibę. Kartais šis sudėtingas dizainas gali būti supaprastintas. Gautame rinkinyje turime teisę supaprastinti pirmąją sistemą ir gauti lygiavertį rinkinį:

Kaip savarankiškas pratimas, būtina įrodyti šių rinkinių lygiavertiškumą.

Apsvarstykite formos nelygybę:

Panašiai kaip ir ankstesnėje nelygybėje, nagrinėjame du atvejus:

Pirmuoju atveju abi nelygybės pusės yra neneigiamos, mes turime teisę ją paversti kvadratu. Antruoju atveju dešinė pusė yra neigiama, ir mes neturime teisės jos kvadratuoti. Šiuo atveju reikia pažvelgti į nelygybės reikšmę: čia teigiama išraiška (kvadratinė šaknis) yra mažesnė nei neigiama išraiška, o tai reiškia, kad nelygybė yra prieštaringa. Nereikia galvoti apie antrąją sistemą.

Mes turime lygiavertę sistemą:

Kartais neracionalias nelygybes galima išspręsti grafiškai. Šis metodas taikytina, kai galima gana nesunkiai sudaryti atitinkamus grafikus ir rasti jų susikirtimo taškus.

2 pavyzdys – išspręskite nelygybes grafiškai:

Dešinėje pusėje galimi du atvejai:

b)

Pirmąją nelygybę jau išsprendėme ir žinome atsakymą.

Norint grafiškai išspręsti nelygybes, reikia sukonstruoti funkcijos grafiką kairėje ir funkcijos grafiką dešinėje.

Ryžiai. 2. Funkcijų grafikai ir

Norint nubraižyti funkcijos grafiką, reikia paversti parabolę į parabolę (veidrodiuoti ją y ašies atžvilgiu), o gautą kreivę perkelti 7 vienetais į dešinę. Grafikas patvirtina, kad ši funkcija monotoniškai mažėja savo apibrėžimo srityje.

Funkcijos grafikas yra tiesi linija ir ją lengva sudaryti. Susikirtimo taškas su y ašimi yra (0;-1).

Pirmoji funkcija monotoniškai mažėja, antroji monotoniškai didėja. Jei lygtis turi šaknį, tai ji yra vienintelė, kurią lengva atspėti iš grafiko: .

Kai argumento reikšmė mažesnė už šaknį, parabolė yra virš tiesės. Kai argumento reikšmė yra nuo trijų iki septynių, tiesė eina virš parabolės.

Turime atsakymą:

Efektyvus metodas Iracionalioms nelygybėms spręsti naudojamas intervalų metodas.

3 pavyzdys – išspręskite nelygybes intervalų metodu:

Dešinėje pusėje galimi du atvejai:

b)

Pagal intervalų metodą reikia laikinai nutolti nuo nelygybės. Norėdami tai padaryti, perkelkite viską nurodytoje nelygybėje į kairę pusę (dešinėje gaukite nulį) ir įveskite funkciją, lygią kairei pusei:

Dabar turime ištirti gautą funkciją.

ODZ:

Šią lygtį jau išsprendėme grafiškai, todėl neapsiribojame šaknies nustatymu.

Dabar reikia pasirinkti pastovaus ženklo intervalus ir kiekvienam intervalui nustatyti funkcijos ženklą:

Ryžiai. 3. Ženklo pastovumo intervalai pvz 3

Prisiminkime, kad norint nustatyti intervalo ženklus, reikia paimti bandomąjį tašką ir pakeisti jį į funkciją, gautą ženklą funkcija išsaugos per visą intervalą.

Patikrinkime vertę ribiniame taške:

Atsakymas akivaizdus:

Apsvarstykite šiuos nelygybės tipus:

Pirmiausia užsirašykime ODZ:

Šaknys egzistuoja, jos neneigiamos, galime kvadratuoti abi puses. Mes gauname:

Gavome lygiavertę sistemą:

Gautą sistemą galima supaprastinti. Patenkinus antrąją ir trečiąją nelygybes, pirmoji yra teisinga automatiškai. Turime::

4 pavyzdys – išspręskite nelygybę:

Veikiame pagal schemą – gauname lygiavertę sistemą.

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninė informacija bet kada susisiekus su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą paštu ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.