Šioje vaizdo pamokoje išsamiai išanalizavau gana rimtą problemą 15 iš Vieningo valstybinio matematikos egzamino, kuriame yra ir logaritminės, ir trupmeninės-racionalinės nelygybės. Ypatingas dėmesys skiriamas Bezout teoremai (polinomo šaknims rasti), taip pat daugianario padalijimo kampu būdui (faktoringui).

Šioje pamokoje analizuosime dviejų nelygybių sistemą iš Vieningo valstybinio matematikos egzamino:

⎧⎩⎨⎪⎪ žurnalas7-2x(x+6) ≤0x− x−3x+6−x2 +27x+90x2 +8x+12≤−1 \left\( \begin (lygiuoti)& ((\log )_(7-2x))\left(x+6 \right)\le 0 \\& x-\frac(x-3)(x+6 )-\frac(((x)^(2))+27x+90)(((x)^(2))+8x+12)\le -1 \\\end(lygiuoti) \dešinė.

Nelygybių sistemos sprendimas

Kaip matote, sistema susideda iš logaritminės nelygybės, taip pat iš klasikinės trupmeninės-racionalinės nelygybės, tačiau spręsdami atrasime, kad ši nelygybė nėra tokia paprasta, kaip gali pasirodyti iš pirmo žvilgsnio. Pradėkime nuo logaritminio. Norėdami tai padaryti, mes jį išrašysime atskirai:

žurnalas7-2x(x+6) ≤ 0

((\log )_(7-2x))\left(x+6 \right)\le \text( )0

Kaip ir bet kuri logaritminė nelygybė, ši konstrukcija sumažinama iki kanoninė forma, t.y. kairėje paliekame viską nepakeistą, bet dešinėje rašome taip:

žurnalas7-2x(x+6) ≤ žurnalas7-2x 1

((\log )_(7-2x))\left(x+6 \right)\le ((\log )_(7-2x))1

Kaip naudoti racionalizavimo metodą

Dabar naudokime racionalizavimo metodą. Leiskite jums priminti, kad jei turime formos nelygybę

žurnalask (x) f(x)⋃ žurnalask (x) g(x) ,

((\log )_(k\left(x \right)))f\left(x \right)\bigcup ((\log )_(k\left(x \right)))g\left(x \ teisingai),

tada galime pereiti prie šios konstrukcijos:

(f (x) −g(x) )(k (x)–1)⋃0

\left(f\left(x \right)-g\left(x \right) \right)\left(k\left(x \right)-1 \right)\bigcup 0

Žinoma, ši nelygybė neatsižvelgia į logaritmo apibrėžimo sritį:

f (x) >0

f\left(x\right)>0

g (x) >0

g\left(x\right)>0

1≠k (x) >0

1\ne k\left(x\right)>0

Taigi, vaidmenyje f (x) f\left(x\right) veikia tiesinė funkcija x+6 x+6, ir vaidmenyje g (x) g\left(x\right) yra tiesiog 1. Todėl savo logaritminę sistemos nelygybę perrašome taip:

(x+6-1) (7-2x-1)

\left(x+6-1 \right)\left(7-2x-1 \right)

Paskutinis 1 yra vienas x−1 x-1, kuris yra antrame skliaustelyje. Visi jie yra mažesni arba lygūs 0. Nelygybės ženklas įvykdžius šios transformacijos yra išsaugotas. Kiekviename skliaustelyje yra panašių:

(x+5) (6–2x) ≤0

\left(x+5 \right)\left(6-2x \right)\le 0

Intervalinio metodo taikymas

Akivaizdu, kad turime paprastą nelygybę, kurią galima lengvai išspręsti intervalo metodu. Kiekvieną skliaustą prilyginkime 0:

(+5) =0→= −5

\left(+5 \right)=0\iki =-5

6−2=0→2=6

x=3

Visus šiuos taškus (tokie taškai yra du) pažymėkime koordinačių tiesėje. Atkreipkite dėmesį, kad jie yra užtamsinti:

Atkreipkite dėmesį į ženklus. Norėdami tai padaryti, paimkite bet kurį skaičių, didesnį nei 3. Pirmasis bus „minusas“. Tada ženklai visur kaitaliojasi, nes nėra net daugybinių šaknų. Mus domina mažesni už arba lygybės ženklas, t. y. minuso ženklas. Dažykite reikiamas vietas. Leiskite jums priminti, kad spręsdami nelygybes intervalų metodu, 1 milijardą pakeičiame paskutine išraiška, kurią gavome prieš pereidami prie lygčių.

Taigi mes radome rinkinius. Bet, kaip suprantate, tai dar nėra nelygybės sprendimas. Dabar turime rasti logaritmo apibrėžimo sritį. Norėdami tai padaryti, rašome šias funkcijas:

Klaidingas lygčių struktūrų įdėjimas

\left[ \begin(lygiuoti)& x+6>0 \\& 7-2x>0 \\& 7-2x\ne 1 \\\end(lygiuoti) \right.=>\left[ \begin(lygiuoti) )& x>-6 \\& 7>2x \\& 6\ne 2x \\\end(lygiuoti) \right.=>\left[ \begin(lygiuoti)& \\& x<\text{ }3,5 \\& x\ne \text{ }3 \\\end{align} \right.

Taigi, mes gavome tris vienu metu keliamus reikalavimus, t. y. visos šios nelygybės turi būti tenkinamos vienu metu. Nubrėžkime liniją, lygiagrečią mūsų kandidato atsakymui:

Gavome galutinį atsakymą dėl pirmojo sistemos elemento:

(−6;−5] ⋃(3;3,5)

\left(-6,-5 \right]\bigcup \left(3,3,5 \right). Šiuo metu daugeliui mokinių kyla klausimas. Žiūrėk, 3 – viena vertus, jis išraižytas, bet Kita vertus, tai taškas yra spalvotas. Taigi, kaip tai pažymėti, kad galėtumėte teisingai ir visiems laikams išspręsti šią problemą, prisiminkite vieną paprastą taisyklę.

Ką reiškia aibių sankirta? Tai rinkinys, kuris vienu metu įtraukiamas ir į pirmąjį, ir į antrąjį. Kitaip tariant, pildydami žemiau nupieštą paveikslėlį, ieškome taškų, kurie vienu metu priklauso ir pirmai, ir antrai eilutei. Vadinasi, jei kuris nors taškas nepriklauso bent vienai iš šių eilučių, tai kad ir kaip jis atrodytų antroje eilutėje, jis mums netinka. O ypač su 3 nutinka būtent tokia istorija: viena vertus, kandidatams į atsakymą 3 punktas mums tinka, nes yra užtamsintas, bet kita vertus, 3 pašalinamas dėl domeno logaritmo apibrėžimas, todėl galutiniame rinkinyje šis taškas turi būti išbrauktas. Tai štai, atsakymas į pirmąją logaritminę sistemos nelygybę yra visiškai pagrįstas. Kad būtų saugu, pakartosiu jį dar kartą:

(−6;−5] ⋃(3;3,5)

\left(-6,-5 \right]\big cup \left(3,3.5 \right)

Dalinės racionaliosios nelygybės sprendimas

x− x−3x+6−x2 +27x+90x2 +8x+12≤−1 x-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)((x)^(2))+8x+12)\le - 1

Dabar perkelkite -1 į kairę:

x+1− x−3x+6−x2 +27x+90(x+6) (x+2)≤0 x+1-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)(\left(x+6 \right)\left(x+2) \dešinė))\le 0

x+1 1 −x−3x+6−x2 +27x+90(x+6) (x+2)≤0 \frac(x+1)(1)-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)(\left(x+6 \right) )\left(x+2 \right))\le 0

Sujungiame visą struktūrą į bendrą vardiklį:

(x+1) (x+6) (x+2) −(x−3) (x+2) − (x2 +27x+90)(x+6) (x+2)≤0 \frac(\left(x+1 \right)\left(x+6 \right)\left(x+2 \right)-\left(x-3 \right)\left(x+2 \right)- \left(((x)^(2))+27x+90 \right))(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right))\le 0

Išplėskime skliaustus:

(x+2) ( (x+1) (x+6) −(x−3) )−x2 −27x−90(x+6) (x+2)≤0 \frac(\left(x+2 \right)\left(\left(x+1 \right)\left(x+6 \right)-\left(x-3 \right) \right)-((x) )^(2))-27x-90)(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right))\le 0

x3 +6x2 +9x+2 x2 +12x+18− x2 −27x−90(x+6) (x+2)≤0 \frac(((x)^(3))+6((x)^(2))+9x+2(x)^(2))+12x+18-((x)^(2)) -27x-90)(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right))\le 0

x3 +7x2 −6x−72(x+6) (x+2)≤0 \frac(((x)^(3))+7((x)^(2))-6x-72)(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right))\le 0

Ką galite pasakyti apie susidariusią nelygybę? Pirma, jis yra trupmeninis-racionalus, o vardiklis jau suskaidytas. Todėl geriausias variantas būtų išspręsti šią nelygybę naudojant intervalų metodą. Tačiau norint ją išspręsti naudojant intervalų metodą, būtina skaitiklį suskaidyti faktoriais. Tai yra pagrindinis sunkumas, nes skaitiklis yra trečiojo laipsnio daugianario. Kas prisimena trečiojo laipsnio šaknų formulę? Asmeniškai aš neprisimenu. Bet mums šito nereikia.

Viskas, ko mums reikia, yra Bezout teorema, tiksliau, ne pati teorema, o vienas iš svarbiausių jos padarinių, teigiančių: jei daugianomas su sveikųjų skaičių koeficientais turi šaknį x1 ((x)_(1)), ir tai yra sveikasis skaičius, tada laisvasis koeficientas (mūsų atveju 72) būtinai bus padalintas iš x1 ((x)_(1)). Kitaip tariant, jei norime rasti šios kubinės lygties šaknis, tereikia tik įsigilinti į veiksnius, į kuriuos atsižvelgiama 72.

Išskaidykime skaičių 72 į pirminius veiksnius:

72=8⋅9=2⋅2⋅2⋅3⋅3

72=8\cdot 9=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3

Taigi, turime pereiti visus dvejetų ir trijų derinius, kad gautume bent vieną kubinės išraiškos šaknį. Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad tai kombinatorinė problema, tačiau iš tikrųjų viskas nėra taip baisu. Pradėkime nuo minimalaus skaičiaus:

x=2

Patikrinkime, ar 2 yra atsakymas. Norėdami tai padaryti, prisiminkime, kas yra šaknis. Tai yra skaičius, kuris, pakeitus daugianarį, paverčia jį 0. Pakeiskime:

(2) =8+28−12−72<0

\left(2 \right)=8+28-12-72<0

Mes tai gauname x−2 x-2 netinka. Eikime toliau. Paimkime 4:

(4) =64+112−24−72>0

\left(4 \right)=64+112-24-72>0

x=4 x=4 taip pat nėra mūsų konstrukcijos šaknis.

Eikime toliau. Kuris kitas? x x išardysime? Norėdami atsakyti į šį klausimą, atkreipkime dėmesį į įdomų faktą: kada x−2 x-2 mūsų daugianario buvo neigiamas, ir ties x=4 x=4 pasirodė teigiamas. Tai reiškia, kad kažkur tarp taškų 2 ir 4 mūsų daugianomas kerta ašį x x. Kitaip tariant, kažkur šiame segmente mūsiškis virsta 0. Tai reiškia, kad šis taškas bus norimas skaičius. Pagalvokime, koks sveikasis skaičius yra tarp 4 ir 2. Akivaizdu, kad plėtinyje yra tik 3 ir 3, todėl tai tikrai gali būti mūsų išraiškos šaknis. Apsvarstykite šią parinktį:

x=3

(3) =27+63−18−72=90−90=0

\left(3 \right)=27+63-18-72=90-90=0

Puiku, mūsų hipotezė pasitvirtino. tikrai, x=3 x=3 yra mūsų konstrukcijos šaknis. Bet kaip tai padeda mums įvertinti šį daugianarį? Labai paprasta. Iš tos pačios Bezout teoremos išplaukia, kad jei x1 ((x)_(1)) yra daugianario šaknis p (x) p\left(x\right), tai reiškia, kad galime parašyti taip:

x1 :p(x) =Q(x) (x− x1 )

((x)_(1)):p\left(x \right)=Q\left(x \right)\left(x-((x)_(1)) \right)

Kitaip tariant, žinant x1 ((x)_(1)) galime teigti, kad skaidant mūsų išraišką į veiksnius būtinai atsiras veiksnys x1 ((x)_(1)). Mūsų atveju galime rašyti, kad mūsų daugianaris būtinai turi savo plėtimosi veiksnį (x–3)\left(x-3 \right), nes 3 yra jo šaknis.

x3 +7x2 −6x−72x−3=x2 +10x+24\frac(((x)^(3))+7((x)^(2))-6x-72)(x-3)=((x)^(2))+10x+24

Kitaip tariant, savo nelygybę iš sistemos galime perrašyti taip:

(x+3) (x2 +10x+24)(x+6) (x+2)≤0 \frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))+10x+24 \right))(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right) ))\le 0

Atkreipkite dėmesį, kad antrajame skaitiklio skliaustelyje yra kvadratinis trinaris, kurį taip pat galima koeficientuoti labai paprastai, gauname:

(x+3) (x+6) (x+4)(x+6) (x+2)≤0 \frac(\left(x+3 \right)\left(x+6 \right)\left(x+4 \right))(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right) )\le 0

Tai viskas, belieka tik išrašyti šaknis:

x=3

≠−6(2k)

\ne -6\left(2k \right)

=−4

≠−2

Pažymėkime visus šiuos taškus, kurie galėtų būti sistemos sprendimas koordinačių tiesėje x x:

Norėdami nustatyti ženklus, paimame bet kurį skaičių, didesnį nei 3, pakeičiame jį į kiekvieną iš šių skliaustų ir gauname penkis teigiamus skaičius, tai yra, dešinėje nuo 3 yra pliuso ženklas. Tada ženklai visur keičiasi, bet -6 niekas nesikeičia, nes -6 yra antrojo dauginio šaknis. Mus domina tos sritys, kuriose funkcijos ženklas yra neigiamas, todėl užtemdome „minusus“.

Iš viso galime užrašyti savo pradinės nelygybės sprendimą – jis bus toks:

(−∞;−6) ⋃(−6;−4] ⋃(−2;3]

\left(-\infty ;-6 \right)\bigcup \left(-6;-4 \right]\bigcup \left(-2;3 \right]

Paskutiniai žingsniai

Išsprendėme antrąją mūsų sistemos nelygybę, o dabar belieka išspręsti pačią sistemą, tai yra susikirsti gautas aibes. Norėdami tai padaryti, siūlau sukurti kitą liniją, lygiagrečią mūsų dviem senoms linijoms, atsakingoms už logaritminę nelygybę iš sistemos:

Galime užrašyti galutinį antrojo nelygybių sistemos elemento atsakymą: (−6;−5] \left(-6;-5 \right]. Dabar galime grįžti į savo sistemą ir užsirašyti galutinį rinkinį:

x∈ (−6; −5]

x\in \left(-6;\text( )-5 \right]

Pagrindiniai taškai

Šioje užduotyje yra keletas pagrindinių punktų:

1. Jūs turite mokėti išspręsti logaritmines nelygybes naudodami perėjimą prie kanoninės formos.
2. Turite mokėti dirbti su trupmeninėmis racionaliomis nelygybėmis. Paprastai tai yra 8–9 klasių medžiaga, taigi, jei dirbate su logaritmais, suprasite trupmenines racionalias nelygybes.
3. Bezouto teorema. Svarbiausia šios teoremos pasekmė yra ta, kad daugianario su sveikaisiais koeficientais šaknys yra jo laisvojo nario dalikliai.

Priešingu atveju tai yra paprastas, nors ir gana didelis, lygčių sistemos sprendimo uždavinys. Tam tikrų sunkumų sprendžiant sistemą gali kilti ir visų aibių, ypač susijusių su tašku 3, sankirtoje. Čia viskas labai paprasta: tereikia atminti, kad sankirta reiškia reikalavimą vienu metu įvykdyti visas nelygybes, t.y. turi būti reikalingas taškas. užtamsintas ant visų trijų ašių. Jei bent vienoje ašyje jis nėra nudažytas ar pradurtas, toks taškas negali būti atsakymo dalis.

Vieningas valstybinis egzaminas 2018. Matematika. Profilio lygis. Lygčių ir nelygybių sprendimas. Sadovnichy Yu.V.

M.: 2018. - 96 p.

Ši knyga skirta uždaviniams, panašiems į Vieningojo valstybinio matematikos egzamino (lygčių ir nelygybių sprendimas) 15 uždavinį. Svarstomi įvairūs tokių problemų sprendimo būdai, įskaitant originalius. Knyga bus naudinga gimnazistams, matematikos mokytojams, dėstytojams.

Formatas: pdf

Dydis: 860 KB

Žiūrėti, parsisiųsti:drive.google

TURINYS
ĮVADAS 4
1 SKYRIUS. INTERVALINIS NETINGUMŲ SPRENDIMO METODAS 6
Savarankiško sprendimo uždaviniai 10
2 SKYRIUS. MODULIŲ ATSKLEIDIMAS LYGTYBĖSE IR NELYGYBĖSE 13
Savarankiško sprendimo uždaviniai 23
3 SKYRIUS. IRACIONALIOS LYGTYBĖS IR NELYGYBĖS 25
Savarankiško sprendimo uždaviniai 33
4 SKYRIUS. EKSPONENTINĖS IR LOGARITMINĖS LYGTYBĖS IR NELYGYBĖS 35
4.1. Pagrindinės formulės ir paprastų lygčių bei nelygybių sprendiniai 35
4.2. Logaritmų sumos ir skirtumo konvertavimas 36
Savarankiško sprendimo uždaviniai 41
4.3. Kintamojo pakeitimo metodas 42
Savarankiško sprendimo uždaviniai 47
4.4. Nelygybių padalijimas 49
Savarankiško sprendimo uždaviniai 55
4.5. Perėjimas prie naujo pagrindo 56
Savarankiško sprendimo uždaviniai 60
5 SKYRIUS. MIŠRAUS TIPO LYGTYBĖS IR NELYGYBĖS 61
Savarankiško sprendimo uždaviniai 68
6 SKYRIUS. LOGARITMINIO INTERVALO METODAS 70
Savarankiško sprendimo uždaviniai 75
7 SKYRIUS. ALGEBRINIŲ LYGČIŲ IR NELYGTYBIŲ SISTEMOS 76
Savarankiško sprendimo uždaviniai 84
ATSAKYMAI Į NEPRIKLAUSOMO SPRENDIMO PROBLEMUS 88

Ši knyga skirta problemoms, panašioms į profilio Vieningas valstybinis matematikos egzaminas (lygtys ir nelygybės) 15 uždavinį. Knyga suskirstyta į skyrius pagal temas, medžiaga kiekviename skyriuje pateikiama „nuo paprastos iki sudėtingos“.
Ne paslaptis, kad 16-19 uždaviniai (planimetrija, tekstinis uždavinys, parametrų uždavinys, sveikųjų skaičių uždavinys) yra sunkūs didžiajai daugumai abiturientų. Tą patį galima pasakyti apie 14 uždavinį (stereometriją). Todėl išspręstas 15 uždavinys (kartu su 13 uždaviniu) yra galimybė padidinti vieningo valstybinio egzamino balą iki gero lygio.
Pirmieji trys skyriai yra parengiamieji ir apima nelygybių sprendimą intervalų metodu, lygtis ir nelygybes su moduliu, neracionalias lygtis ir nelygybes.
Ketvirtasis skyrius yra pagrindinis šioje knygoje, nes jame pateiktos problemos yra arčiausiai tikrosios 15 profilio vieningo valstybinio matematikos egzamino problemos. Šis skyrius suskirstytas į keletą pastraipų, kurių kiekvienoje nagrinėjamas tokios problemos sprendimo būdas.