Tema: Dešimtainės trupmenos. Dešimtainių skaičių pridėjimas ir atėmimas

Pamoka: trupmeninių skaičių dešimtainis žymėjimas

Trupmenos vardiklis gali būti išreikštas bet kokiu natūraliu skaičiumi. Trupmeniniai skaičiai, kurių vardiklis išreiškiamas 10; 100; 1000;…, kur n, sutarėme rašyti be vardiklio. Bet koks trupmeninis skaičius, kurio vardiklis yra 10; 100; 1000 ir kt. (tai yra, vienetas su keliais nuliais) gali būti pavaizduotas dešimtainiu būdu (kaip dešimtainis). Pirmiausia parašykite visą dalį, tada trupmeninės dalies skaitiklį ir visa dalis atskiriama nuo trupmenos kableliu.

Pavyzdžiui,

Jeigu trūksta visos dalies, t.y. Jei trupmena yra tinkama, tada visa dalis rašoma kaip 0.

Norint teisingai parašyti dešimtainį skaičių, trupmenos skaitiklyje turi būti tiek skaitmenų, kiek trupmenoje yra nulių.

1. Rašykite dešimtainiu tikslumu.

2. Pateikite dešimtainį trupmeną arba mišrų skaičių.

3. Skaitykite po kablelio.

12,4 - 12 taškas 4;

0,3 - 0 taškas 3;

1,14 - 1 taškas 14 šimtųjų dalių;

2,07 - 2 taškai 7 šimtosios dalys;

0,06 - 0 balo 6 šimtosios dalys;

0,25 - 0 taškai 25;

1,234 - 1 taškas 234 tūkstantosios dalys;

1,230 - 1 taškas 230 tūkstantųjų dalių;

1,034 - 1 taškas 34 tūkstantosios dalys;

1,004 - 1 taškas 4 tūkstantosios dalys;

1,030 - 1 taškas 30 tūkstantųjų dalių;

0,010101 - 0 taškų 10101 milijoninė dalis.

4. Perkelkite kablelį kiekviename skaitmenyje 1 vieta į kairę ir perskaitykite skaičius.

34,1; 310,2; 11,01; 10,507; 2,7; 3,41; 31,02; 1,101; 1,0507; 0,27.

5. Perkelkite kiekvieno skaičiaus kablelį 1 vieta į dešinę ir perskaitykite gautą skaičių.

1,37; 0,1401; 3,017; 1,7; 350,4; 13,7; 1,401; 30,17; 17; 3504.

6. Išreikškite metrais ir centimetrais.

3,28 m = 3 m + .

7. Išreikšti tonomis ir kilogramais.

24,030 t = 24 t.

8. Parašykite dalinį kaip dešimtainę trupmeną.

1710: 100 = ;

64: 10000 =

803: 100 =

407: 10 =

9. Išreikšti dm.

5 dm 6 cm = 5 dm + ;

9 mm =

Šią medžiagą skirsime tokiai svarbiai temai kaip dešimtainės trupmenos. Pirmiausia apibrėžkime pagrindinius apibrėžimus, pateikime pavyzdžių ir apsistokime ties dešimtainio žymėjimo taisyklėmis, taip pat kokie yra dešimtainių trupmenų skaitmenys. Toliau išryškiname pagrindinius tipus: baigtines ir begalines, periodines ir neperiodines trupmenas. Paskutinėje dalyje parodysime, kaip koordinačių ašyje yra trupmeninius skaičius atitinkantys taškai.

Kas yra trupmeninių skaičių dešimtainis žymėjimas

Taip vadinamas trupmeninių skaičių dešimtainis žymėjimas gali būti naudojamas tiek natūraliems, tiek trupmeniniams skaičiams. Tai atrodo kaip dviejų ar daugiau skaičių rinkinys su kableliu tarp jų.

Dešimtainis kablelis reikalingas norint atskirti visą dalį nuo trupmeninės dalies. Paprastai paskutinis dešimtainės trupmenos skaitmuo nėra nulis, nebent kablelis pasirodo iškart po pirmojo nulio.

Kokie yra trupmeninių skaičių dešimtainio žymėjimo pavyzdžiai? Tai gali būti 34, 21, 0, 35035044, 0, 0001, 11,231,552, 9 ir kt.

Kai kuriuose vadovėliuose vietoj kablelio galima rasti taško (5. 67, 6789. 1011 ir kt.) Ši parinktis laikoma lygiaverte, tačiau ji labiau būdinga šaltiniams anglų kalba.

Dešimtainių skaičių apibrėžimas

Remdamiesi aukščiau pateikta dešimtainio žymėjimo koncepcija, galime suformuluoti tokį dešimtainių trupmenų apibrėžimą:

1 apibrėžimas

Dešimtainiai skaičiai reiškia trupmeninius skaičius dešimtainiu žymėjimu.

Kodėl šia forma reikia rašyti trupmenas? Tai suteikia mums tam tikrų pranašumų prieš įprastus, pavyzdžiui, kompaktiškesnį žymėjimą, ypač tais atvejais, kai vardiklyje yra 1000, 100, 10 ir tt arba mišrus skaičius. Pavyzdžiui, vietoj 6 10 galime nurodyti 0,6, vietoj 25 10000 - 0,0023, vietoj 512 3 100 - 512,03.

Apie tai, kaip teisingai pateikti dešimtainis paprastosios trupmenos, kurių vardiklyje yra dešimtys, šimtai, tūkstančiai, bus aptartos atskiroje medžiagoje.

Kaip teisingai skaityti dešimtaines

Yra keletas dešimtainių ženklų skaitymo taisyklių. Taigi tos dešimtainės trupmenos, kurias atitinka jų įprasti įprastiniai atitikmenys, skaitomos beveik vienodai, bet pradžioje pridedant žodžius „nulis dešimtųjų“. Taigi įrašas 0, 14, atitinkantis 14 100, skaitomas kaip „nulis keturiolika šimtųjų dalių“.

Jei dešimtainė trupmena gali būti susieta su mišriu skaičiumi, ji skaitoma taip pat, kaip ir šis skaičius. Taigi, jei turime trupmeną 56 002, kuri atitinka 56 2 1000, šį įrašą skaitome kaip „penkiasdešimt šešių taškų dvi tūkstantąsias dalis“.

Skaičiaus reikšmė dešimtainėje trupmenoje priklauso nuo to, kur jis yra (taip pat, kaip ir natūraliųjų skaičių atveju). Taigi dešimtainėje trupmenoje 0,7 septyni yra dešimtosios, 0,0007 - dešimt tūkstantosios dalys, o trupmenoje 70 000,345 reiškia septynias dešimtis tūkstančių sveikų vienetų. Taigi dešimtainėse trupmenose yra ir vietos vertės sąvoka.

Skaičių, esančių prieš dešimtainį tašką, pavadinimai yra panašūs į tuos, kurie egzistuoja natūraliuosiuose skaičiuose. Po to esančių asmenų pavadinimai aiškiai pateikti lentelėje:

Pažiūrėkime į pavyzdį.

1 pavyzdys

Mes turime dešimtainę trupmeną 43 098. Ji turi ketvertą dešimtuko vietoje, trejetą vienetų vietoje, nulį dešimtojoje, 9 šimtinėje ir 8 tūkstantinėje.

Įprasta dešimtainių trupmenų eiles skirti pagal pirmumą. Jei eisime per skaičius iš kairės į dešinę, tada nuo reikšmingiausių skaitmenų pereisime prie mažiausių. Pasirodo, šimtai yra vyresni nei dešimtys, o milijoninės dalys yra jaunesnės nei šimtosios. Jei imsime galutinę dešimtainę trupmeną, kurią paminėjome kaip pavyzdį aukščiau, tada aukščiausia arba aukščiausia vieta joje bus šimto vieta, o žemiausia arba žemiausia vieta bus 10-tūkstantoji.

Bet kurią dešimtainę trupmeną galima išplėsti į atskirus skaitmenis, ty pateikti kaip sumą. Šis veiksmas atliekamas taip pat, kaip ir natūraliuosius skaičius.

2 pavyzdys

Pabandykime trupmeną 56, 0455 išplėsti į skaitmenis.

Mes gausime:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Jei prisiminsime sudėjimo ypatybes, šią trupmeną galime pavaizduoti kitomis formomis, pavyzdžiui, suma 56 + 0, 0455 arba 56, 0055 + 0, 4 ir kt.

Kas yra po kablelio?

Visos trupmenos, apie kurias kalbėjome aukščiau, yra baigtinės po kablelio. Tai reiškia, kad skaitmenų skaičius po kablelio yra baigtinis. Išveskime apibrėžimą:

1 apibrėžimas

Užpakalinės dešimtainės trupmenos yra dešimtainės trupmenos tipas, turintis baigtinį skaitmenų skaičių po kablelio.

Tokių trupmenų pavyzdžiai gali būti 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231 032, 49 ir ​​kt.

Bet kurią iš šių trupmenų galima konvertuoti į mišrų skaičių (jei jų trupmeninės dalies reikšmė skiriasi nuo nulio) arba į paprastąją trupmeną (jei sveikoji dalis lygi nuliui). Mes skyrėme tam, kaip tai daroma atskira medžiaga. Čia mes tik nurodysime keletą pavyzdžių: pavyzdžiui, galime sumažinti galutinę dešimtainę trupmeną 5, 63 iki formos 5 63 100, o 0, 2 atitinka 2 10 (arba bet kurią kitą jai lygią trupmeną, pavyzdžiui, 4 20 arba 1 5.)

Tačiau atvirkštinis procesas, t.y. ne visada gali būti įmanoma parašyti bendrąją trupmeną dešimtaine forma. Taigi 5 13 negalima pakeisti lygia trupmena, kurios vardiklis yra 100, 10 ir pan., o tai reiškia, kad iš jo negalima gauti galutinės dešimtainės trupmenos.

Pagrindiniai begalinių dešimtainių trupmenų tipai: periodinės ir neperiodinės trupmenos

Aukščiau nurodėme, kad baigtinės trupmenos taip vadinamos, nes jos turi baigtinį skaitmenų skaičių po kablelio. Tačiau jis gali būti begalinis, tokiu atveju pačios trupmenos taip pat bus vadinamos begalinėmis.

2 apibrėžimas

Begalinės dešimtainės trupmenos yra tos, kurios turi begalinį skaitmenų skaičių po kablelio.

Akivaizdu, kad tokių skaičių tiesiog neįmanoma užrašyti iki galo, todėl nurodome tik dalį jų ir pridedame elipsę. Šis ženklas rodo begalinį dešimtainių skaičių sekos tęsinį. Begalinių dešimtainių trupmenų pavyzdžiai yra 0, 143346732…, ​​3, 1415989032…, 153, 0245005…, 2, 66666666666…, 69, 748768152…. ir tt

Tokios trupmenos „uodegoje“ gali būti ne tik iš pažiūros atsitiktinės skaičių sekos, bet ir nuolatinis to paties simbolio ar simbolių grupės kartojimas. Trupmenos su kintamaisiais skaičiais po kablelio vadinamos periodinėmis.

3 apibrėžimas

Periodinės dešimtainės trupmenos – tai begalinės dešimtainės trupmenos, kuriose po kablelio kartojasi vienas skaitmuo arba kelių skaitmenų grupė. Pasikartojanti dalis vadinama trupmenos periodu.

Pavyzdžiui, 3 trupmenai 444444…. laikotarpis bus skaičius 4, o 76 numeriui 134134134134... - 134 grupė.

Kas a minimalus kiekis Ar leidžiama periodinės trupmenos žymėjime palikti ženklus? Periodinėms trupmenoms užteks vieną kartą skliausteliuose parašyti visą laikotarpį. Taigi, 3 dalis, 444444…. Teisinga būtų rašyti kaip 3, (4), ir 76, 134134134134... – kaip 76, (134).

Apskritai įrašai su keliais taškais skliausteliuose turės lygiai tą pačią reikšmę: pavyzdžiui, periodinė trupmena 0,677777 yra tokia pati kaip 0,6 (7) ir 0,6 (77) ir kt. Taip pat priimtini 0, 67777 (7), 0, 67 (7777) ir kt. formos įrašai.

Kad išvengtume klaidų, įvedame žymėjimo vienodumą. Sutarkime, kad užrašytume tik vieną tašką (trumpesnę įmanomą skaičių seką), kuris yra arčiausiai kablelio, ir dėsime jį skliausteliuose.

Tai yra, pirmiau nurodytos trupmenos pagrindinį įrašą laikysime 0, 6 (7), o, pavyzdžiui, trupmenos 8, 9134343434 atveju, rašysime 8, 91 (34).

Jei įprastos trupmenos vardiklyje yra pirminiai koeficientai, kurie nėra lygūs 5 ir 2, tada konvertavus į dešimtainį žymėjimą, bus begalinės trupmenos.

Iš esmės bet kurią baigtinę trupmeną galime užrašyti kaip periodinę. Norėdami tai padaryti, mes tiesiog turime pridėti begalinį skaičių nulių dešinėje. Kaip tai atrodo įraše? Tarkime, kad turime galutinę trupmeną 45, 32. Periodinėje formoje jis atrodys kaip 45, 32 (0). Šis veiksmas įmanomas, nes pridėjus nulius dešinėje nuo bet kurios dešimtainės trupmenos gauname jai lygią trupmeną.

Ypatingas dėmesys turėtų būti skiriamas periodinėms trupmenoms, kurių taškas yra 9, pavyzdžiui, 4, 89 (9), 31, 6 (9). Jie yra alternatyvus žymėjimas panašioms trupmenoms, kurių taškas yra 0, todėl rašant dažnai pakeičiamos trupmenomis, kurių taškas yra nulis. Šiuo atveju prie kito skaitmens vertės pridedamas vienas, o skliausteliuose nurodoma (0). Gautų skaičių lygybę galima lengvai patikrinti pateikus juos paprastosiomis trupmenomis.

Pavyzdžiui, trupmeną 8, 31 (9) galima pakeisti atitinkama frakcija 8, 32 (0). Arba 4, (9) = 5, (0) = 5.

Begalinės dešimtainės periodinės trupmenos nurodo racionalūs skaičiai. Kitaip tariant, bet kurią periodinę trupmeną galima pavaizduoti kaip paprastąją trupmeną ir atvirkščiai.

Taip pat yra trupmenų, kurios neturi be galo pasikartojančios sekos po kablelio. Šiuo atveju jos vadinamos neperiodinėmis trupmenomis.

4 apibrėžimas

Neperiodinėms dešimtainėms trupmenoms priskiriamos tos begalinės dešimtainės trupmenos, kuriose po kablelio nėra taško, t.y. pasikartojančių skaičių grupė.

Kartais neperiodinės trupmenos atrodo labai panašios į periodines. Pavyzdžiui, 9, 03003000300003 ... iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad jame yra taškas, tačiau išsamią analizę dešimtainiai ženklai patvirtina, kad tai vis dar yra neperiodinė trupmena. Su tokiais skaičiais reikia būti labai atsargiems.

Neperiodinės trupmenos priskiriamos neracionaliesiems skaičiams. Jie nėra paverčiami paprastosiomis trupmenomis.

Pagrindinės operacijos su dešimtaine

Su dešimtainėmis trupmenomis galima atlikti šias operacijas: palyginimą, atimtį, sudėtį, dalybą ir daugybą. Pažvelkime į kiekvieną iš jų atskirai.

Lyginant dešimtainius skaičius gali būti sumažintas iki trupmenų, atitinkančių pradinį dešimtainį skaičių, palyginimas. Tačiau begalinių neperiodinių trupmenų negalima redukuoti iki šios formos, o dešimtainių trupmenų pavertimas paprastosiomis trupmenomis dažnai yra daug darbo reikalaujanti užduotis. Kaip galime greitai atlikti palyginimo veiksmą, jei tai reikia padaryti sprendžiant problemą? Dešimtaines trupmenas pagal skaitmenis patogu lyginti taip pat, kaip ir natūraliuosius skaičius. Šiam metodui skirsime atskirą straipsnį.

Norint sudėti kai kurias dešimtaines trupmenas su kitomis, patogu naudoti stulpelių sudėjimo metodą, kaip ir natūraliųjų skaičių atveju. Norėdami pridėti periodines dešimtaines trupmenas, pirmiausia turite jas pakeisti įprastomis ir skaičiuoti pagal standartinę schemą. Jei pagal uždavinio sąlygas turime pridėti begalinių neperiodinių trupmenų, tada pirmiausia turime jas suapvalinti iki tam tikro skaitmens, o tada pridėti. Kuo mažesnis skaitmuo, iki kurio apvalinsime, tuo didesnis skaičiavimo tikslumas. Begalinėms trupmenoms atimti, dauginti ir dalyti taip pat būtinas išankstinis apvalinimas.

Skirtumo tarp dešimtainių trupmenų nustatymas yra atvirkštinis sudėjimas. Iš esmės, naudodami atimtį, galime rasti skaičių, kurio suma su trupmena, kurią atimame, suteiks mums trupmeną, kurią sumažiname. Išsamiau apie tai kalbėsime atskirame straipsnyje.

Dešimtainės trupmenos dauginamos taip pat, kaip ir natūraliųjų skaičių. Tam tinka ir stulpelio skaičiavimo metodas. Šį veiksmą su periodinėmis trupmenomis vėl sumažiname iki paprastųjų trupmenų dauginimo pagal jau ištirtas taisykles. Begalinės trupmenos, kaip prisimename, prieš skaičiavimus turi būti suapvalintos.

Dešimtainių skaičių dalijimo procesas yra atvirkštinis daugybos procesas. Spręsdami uždavinius naudojame ir stulpelių skaičiavimus.

Galite nustatyti tikslią galutinės dešimtainės trupmenos ir taško koordinačių ašyje atitiktį. Išsiaiškinkime, kaip pažymėti ašies tašką, kuris tiksliai atitiks reikiamą dešimtainę trupmeną.

Jau ištyrėme, kaip sudaryti taškus, atitinkančius paprastąsias trupmenas, tačiau dešimtaines trupmenas galima sumažinti iki šios formos. Pavyzdžiui, bendroji trupmena 14 10 yra tokia pati kaip 1, 4, todėl atitinkamas taškas bus pašalintas iš pradžios taške teigiama kryptimi lygiai toks pat atstumas:

Galite nekeisti dešimtainės trupmenos įprasta, o kaip pagrindą naudokite išplėtimo skaitmenimis metodą. Taigi, jei mums reikia pažymėti tašką, kurio koordinatė bus lygi 15, 4008, tada pirmiausia pateiksime šį skaičių kaip sumą 15 + 0, 4 +, 0008. Pirmiausia atidėkime 15 viso vieneto segmentų teigiama kryptimi nuo atgalinio skaičiavimo pradžios, tada 4 dešimtąsias vieno segmento ir 8 dešimtąsias vieno segmento dalis. Dėl to gauname koordinačių tašką, atitinkantį trupmeną 15, 4008.

Jei norite gauti begalinę dešimtainę trupmeną, geriau naudoti šį metodą, nes jis leidžia jums kiek norite priartėti prie norimo taško. Kai kuriais atvejais galima sukonstruoti tikslią koordinačių ašies begalinės trupmenos atitiktį: pavyzdžiui, 2 = 1, 41421. . . , ir ši trupmena gali būti susieta su tašku koordinačių spindulys, pašalintas iš 0 kvadrato įstrižainės ilgiu, kurio kraštinė bus lygi vienam vienetiniam segmentui.

Jeigu ašyje randame ne tašką, o jį atitinkančią dešimtainę trupmeną, tai šis veiksmas vadinamas atkarpos dešimtainiu matavimu. Pažiūrėkime, kaip tai padaryti teisingai.

Tarkime, kad turime patekti nuo nulio iki nurodyto koordinačių ašies taško (arba priartėti kuo arčiau begalinės trupmenos atveju). Norėdami tai padaryti, palaipsniui atidedame vienetų segmentus nuo koordinačių pradžios, kol pasieksime norimą tašką. Po ištisų atkarpų, jei reikia, matuojame dešimtines, šimtąsias ir mažesnes trupmenas, kad atitikimas būtų kuo tikslesnis. Dėl to gavome dešimtainę trupmeną, kuri atitinka duotas taškas koordinačių ašyje.

Viršuje parodėme piešinį su tašku M. Pažvelkite į tai dar kartą: norėdami pasiekti šį tašką, turite išmatuoti nuo nulio vieno vieneto segmento ir keturių jo dešimtųjų, nes šis taškas atitinka dešimtainę trupmeną 1, 4.

Jei mes negalime pasiekti taško dešimtainio matavimo procese, tai reiškia, kad jis atitinka begalinę dešimtainę trupmeną.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Instrukcijos

Išmokite paversti dešimtaines trupmenas į paprastąsias trupmenas. Suskaičiuokite, kiek simbolių yra atskirti kableliu. Vienas skaitmuo, esantis dešinėje nuo kablelio, reiškia, kad vardiklis yra 10, du – 100, trys – 1000 ir pan. Pavyzdžiui, dešimtainė trupmena 6,8 yra kaip „šeši taškai aštuoni“. Konvertuodami pirmiausia parašykite sveikų vienetų skaičių - 6. Vardiklyje parašykite 10. Pasirodo, kad 6,8 ​​= 6 8/10. Prisiminkite santrumpos taisykles. Jei skaitiklis ir vardiklis dalijasi iš to paties skaičiaus, tada trupmeną galima sumažinti bendruoju dalikliu. Šiuo atveju skaičius yra 2. 6 8/10 = 6 2/5.

Pabandykite pridėti dešimtainių skaičių. Jei tai darote stulpelyje, būkite atsargūs. Visų skaičių skaitmenys turi būti griežtai vienas po kito – po kableliu. Papildymo taisyklės yra lygiai tokios pačios kaip ir dirbant su . Prie to paties skaičiaus 6,8 pridėkite kitą dešimtainę trupmeną – pavyzdžiui, 7,3. Parašykite trejetą po aštuonetu, kablelį po kableliu, o septynis – po šešiais. Pradėkite pridėti nuo paskutinio skaitmens. 3+8=11, tai yra, užsirašyk 1, prisimink 1. Toliau pridėkite 6+7, gausite 13. Pridėkite tai, kas liko mintyse, ir užrašykite rezultatą – 14,1.

Atimtis vyksta tuo pačiu principu. Parašykite skaitmenis vieną po kito, o kablelį po kableliu. Visada naudokite jį kaip orientyrą, ypač jei skaitmenų skaičius po jo minuendėje yra mažesnis nei pogrupyje. Iš nurodyto skaičiaus atimkite, pavyzdžiui, 2,139. Du parašykite po šešiais, vieną po aštuoniais, o likusius du skaitmenis po kitais skaitmenimis, kurie gali būti pažymėti nuliais. Pasirodo, minuend yra ne 6,8, o 6,800. Atlikę šį veiksmą iš viso gausite 4.661.

Veiksmai su neigiamomis dešimtainėmis dalimis atliekami taip pat, kaip ir su sveikais skaičiais. Pridedant minusas dedamas už skliaustų, o pateikti skaičiai rašomi skliaustuose, o tarp jų dedamas pliusas. Galų gale paaiškėja neigiamas skaičius. Tai yra, kai pridėsite -6,8 ir -7,3, gausite tą patį rezultatą 14,1, tačiau priešais jį bus ženklas „-“. Jei mažmeninė dalis yra didesnė už minusą, tada minusas taip pat išimamas iš skliaustos, o mažesnis skaičius atimamas iš didesnio skaičiaus. Iš 6,8 atimkite -7,3. Transformuokite išraišką taip. 6,8 - 7,3 = -(7,3 - 6,8) = -0,5.

Norėdami padauginti po kablelio skaičių, trumpam pamirškite dešimtainį tašką. Padauginkite juos taip, lyg žiūrėtumėte į sveikus skaičius. Po to suskaičiuokite skaitmenų skaičių dešinėje po kablelio abiejuose veiksniuose. Darbe atskirkite tiek pat simbolių. Padauginus iš 6,8 ir 7,3, iš viso gauname 49,64. Tai yra, dešimtainio kablelio dešinėje turėsite 2 ženklus, o daugiklyje ir daugiklyje buvo po vieną.

Duotą trupmeną padalinkite iš kokio nors sveikojo skaičiaus. Šis veiksmas atliekamas lygiai taip pat, kaip ir su sveikaisiais skaičiais. Svarbiausia nepamiršti kablelio ir pradžioje įdėti 0, jei sveikų vienetų skaičius nesidalija iš daliklio. Pavyzdžiui, pabandykite tą patį 6,8 padalinti iš 26. Įdėkite 0 pradžioje, nes 6 yra mažesnis nei 26. Atskirkite kableliu, tada bus dešimtosios ir šimtinės. Rezultatas bus maždaug 0,26. Tiesą sakant, šiuo atveju gaunama begalinė neperiodinė trupmena, kurią galima suapvalinti iki pageidaujamo tikslumo laipsnio.

Dalindami dvi dešimtaines trupmenas, naudokite savybę, kad padauginus dividendą ir daliklį iš to paties skaičiaus, koeficientas nesikeičia. Tai yra, paverskite abi trupmenas į sveikuosius skaičius, atsižvelgiant į tai, kiek skaičių po kablelio yra. Jei norite padalyti 6,8 iš 7,3, tiesiog padauginkite abu skaičius iš 10. Pasirodo, jums reikia padalyti 68 iš 73. Jei vienas iš skaičių turi daugiau skaitmenų po kablelio, pirmiausia konvertuokite jį į sveikąjį skaičių, o tada į antrąjį skaičių. Padauginkite jį iš to paties skaičiaus. Tai yra, dalindami 6,8 iš 4,136, padidinkite dividendą ir daliklį ne 10, o 1000 kartų. Padalinkite 6800 iš 1436, kad gautumėte 4,735.

Dešimtainės trupmenos yra tokios pačios kaip paprastosios trupmenos, tačiau vadinamosios dešimtainės trupmenos. Dešimtainis žymėjimas naudojamas trupmenoms, kurių vardikliai yra 10, 100, 1000 ir kt. Vietoj trupmenų 1/10; 1/100; 1/1000; ... rašyti 0,1; 0,01; 0,001;... .

Pavyzdžiui, 0,7 ( nulis taškas septyni) yra trupmena 7/10; 5.43 ( penki taškai keturiasdešimt trys) yra mišri trupmena 5 43/100 (arba, kuri yra ta pati, netinkama trupmena 543/100).

Gali atsitikti taip, kad iškart po kablelio yra vienas ar daugiau nulių: 1,03 yra trupmena 1 3/100; 17,0087 yra trupmena 17 87/10 000. Bendra taisyklė ar tai: bendrosios trupmenos vardiklyje turi būti tiek nulių, kiek yra skaitmenų po kablelio dešimtainėje trupmenoje.

Dešimtainė trupmena gali baigtis vienu ar daugiau nulių. Pasirodo, šie nuliai yra „papildomi“ - juos galima tiesiog pašalinti: 1,30 = 1,3; 5,4600 = 5,46; 3000 = 3. Išsiaiškinkite, kodėl taip yra?

Dešimtainės skaitmenys natūraliai atsiranda dalijant iš „apvalių“ skaičių - 10, 100, 1000, ... Būtinai supraskite šiuos pavyzdžius:

27:10 = 27/10 = 2 7/10 = 2,7;

579:100 = 579/100 = 5 79/100 = 5,79;

33791:1000 = 33791/1000 = 33 791/1000 = 33,791;

34,9:10 = 349/10:10 = 349/100 = 3,49;

6,35:100 = 635/100:100 = 635/10000 = 0,0635.

Ar pastebite čia modelį? Pabandykite tai suformuluoti. Kas atsitiks, jei dešimtainę trupmeną padauginsite iš 10, 100, 1000?

Norėdami paversti paprastąją trupmeną į dešimtainę, turite ją sumažinti iki „apvalaus“ vardiklio:

2/5 = 4/10 = 0,4; 11/20 = 55/100 = 0,55; 9/2 = 45/10 = 4,5 ir kt.

Pridėti dešimtainių skaičių yra daug lengviau nei pridėti trupmenas. Sudėjimas atliekamas taip pat, kaip ir su paprastais skaičiais – pagal atitinkamus skaitmenis. Pridedant stulpelyje, terminai turi būti parašyti taip, kad jų kableliai būtų toje pačioje vertikalioje padėtyje. Sumos kablelis taip pat bus toje pačioje vertikalioje padėtyje. Dešimtainių trupmenų atėmimas atliekamas lygiai taip pat.

Jei pridedant ar atimant vienoje iš trupmenų skaitmenų skaičius po kablelio yra mažesnis nei kitoje, tada šios trupmenos pabaigoje turėtumėte pridėti teisingas numeris nuliai. Negalite pridėti šių nulių, o tiesiog įsivaizduokite juos mintyse.

Dauginant dešimtaines trupmenas, jas vėl reikia dauginti kaip paprastus skaičius (po kablelio kablelio rašyti nebereikia). Gautame rezultate kableliu turite atskirti skaitmenų skaičių, lygų bendram skaitmenų po kablelio skaičiui abiejuose veiksniuose.

Dalindami po kablelio trupmenas, vienu metu galite perkelti kablelio ir daliklio kablelį į dešinę tiek pat vietų: tai nepakeis koeficiento:

2,8:1,4 = 2,8/1,4 = 28/14 = 2;

4,2:0,7 = 4,2/0,7 = 42/7 = 6;

6:1,2 = 6,0/1,2 = 60/12 = 5.

Paaiškinkite, kodėl taip yra?

1. Nubrėžkite 10x10 kvadratą. Uždažykite kai kurią jo dalį, lygią: a) 0,02; b) 0,7; c) 0,57; d) 0,91; e) 0,135 viso kvadrato ploto.
2. Kas yra 2,43 kvadratas? Nupieškite jį paveikslėlyje.
3. Padalinkite skaičių 37 iš 10; 795; 4; 2,3; 65,27; 0,48 ir rezultatą parašykite dešimtaine trupmena. Padalinkite tuos pačius skaičius iš 100 ir 1000.
4. Skaičius 4,6 padauginkite iš 10; 6,52; 23.095; 0,01999. Padauginkite tuos pačius skaičius iš 100 ir 1000.
5. Pateikite dešimtainę trupmeną ir sumažinkite:
   a) 0,5; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8;
   b) 0,25; 0,75; 0,05; 0,35; 0,025;
   c) 0,125; 0,375; 0,625; 0,875;
   d) 0,44; 0,26; 0,92; 0,78; 0,666; 0,848.
6. Mišri frakcija: 1,5; 3,2; 6,6; 2,25; 10,75; 4,125; 23.005; 7.0125.
7. Išreikškite trupmeną po kablelio:
   a) 1/2; 3/2; 7/2; 15/2; 1/5; 3/5; 4/5; 18/5;
   b) 1/4; 3/4; 5/4; 19/4; 1/20; 7/20; 49/20; 1/25; 13/25; 77/25; 1/50; 17/50; 137/50;
   c) 1/8; 3/8; 5/8; 7/8; 11/8; 125/8; 1/16; 5/16; 9/16; 23/16;
   d) 1/500; 3/250; 71/200; 9/125; 27/2500; 1999/2000 m.
8. Raskite sumą: a) 7,3+12,8; b) 65,14+49,76; c) 3,762+12,85; d) 85,4+129,756; e) 1,44+2,56.
9. Pagalvokite apie vieną kaip dviejų skaičių po kablelio sumą. Raskite dar dvidešimt būdų, kaip tai pateikti tokiu būdu.
10. Raskite skirtumą: a) 13,4–8,7; b) 74,52–27,04; c) 49,736–43,45; d) 127,24–93,883; e) 67–52,07; e) 35,24–34,9975.
11. Raskite sandaugą: a) 7,6·3,8; b) 4,8·12,5; c) 2,39 · 7,4; d) 3,74·9,65.

Iš daugelio aritmetikoje randamų trupmenų ypatingo dėmesio nusipelno tos, kurių vardiklis turi 10, 100, 1000 – apskritai bet kokia dešimties galia. Šios trupmenos turi specialų pavadinimą ir žymėjimą.

Dešimtainė yra bet kokia skaičiaus trupmena, kurios vardiklis yra dešimties laipsnis.

Dešimtainių trupmenų pavyzdžiai:

Kodėl apskritai reikėjo išskirti tokias trupmenas? Kodėl jiems reikia savo įrašymo formos? Tam yra bent trys priežastys:

1. Dešimtaines daug lengviau palyginti. Atminkite: norėdami palyginti paprastas trupmenas, turite jas atimti vieną iš kitos ir ypač sumažinti trupmenas iki bendras vardiklis. Dešimtainėmis skaitmenimis nieko panašaus nereikia;
2. Sumažinti skaičiavimą. Dešimtainės dalys pridedamos ir dauginamos pagal savo taisykles, o šiek tiek pasipraktikuodami galėsite dirbti su jais daug greičiau nei su įprastomis trupmenomis;
3. Įrašymo paprastumas. Skirtingai nuo įprastų trupmenų, dešimtainės dalys rašomos vienoje eilutėje neprarandant aiškumo.

Dauguma skaičiuotuvų taip pat pateikia atsakymus po kablelio. Kai kuriais atvejais dėl kitokio įrašymo formato gali kilti problemų. Pavyzdžiui, ką daryti, jei parduotuvėje paprašysite keitimo 2/3 rublio :)

Dešimtainių trupmenų rašymo taisyklės

Pagrindinis dešimtainių trupmenų pranašumas yra patogus ir vaizdinis žymėjimas. Būtent:

Dešimtainis žymėjimas yra dešimtainių trupmenų rašymo forma, kai sveikoji dalis nuo trupmeninės dalies atskiriama įprastu tašku arba kableliu. Šiuo atveju pats skyriklis (taškas arba kablelis) vadinamas kableliu.

Pavyzdžiui, 0,3 (skaitykite: „nulis rodyklės, 3 dešimtosios“); 7,25 (7 sveikos, 25 šimtinės); 3,049 (3 sveikos, 49 tūkst. dalys). Visi pavyzdžiai paimti iš ankstesnio apibrėžimo.

Rašant kablelis dažniausiai naudojamas kaip kablelis. Čia ir toliau visoje svetainėje taip pat bus naudojamas kablelis.

Norėdami parašyti savavališką dešimtainę trupmeną šioje formoje, turite atlikti tris paprastus veiksmus:

1. Atskirai išrašykite skaitiklį;
2. Perkelkite dešimtainį tašką į kairę tiek vietų, kiek vardiklyje yra nulių. Tarkime, kad iš pradžių dešimtainis kablelis yra visų skaitmenų dešinėje;
3. Jei kablelis pasislinko, o po jo įrašo pabaigoje yra nuliai, jie turi būti perbraukti.

Taip atsitinka, kad antrajame žingsnyje skaitiklis neturi pakankamai skaitmenų, kad užbaigtų pamainą. Šiuo atveju trūkstamos pozicijos užpildomos nuliais. Ir apskritai, bet kurio skaičiaus kairėje galite priskirti bet kokį skaičių nulių, nepakenkiant jūsų sveikatai. Tai negražu, bet kartais naudinga.

Iš pirmo žvilgsnio šis algoritmas gali atrodyti gana sudėtingas. Tiesą sakant, viskas labai labai paprasta – tereikia šiek tiek pasitreniruoti. Pažvelkite į pavyzdžius:

Užduotis. Kiekvienai trupmenai nurodykite jos dešimtainį žymėjimą:

Pirmosios trupmenos skaitiklis: 73. Dešimtainę perkeliame vienu ženklu (kadangi vardiklis yra 10) - gauname 7,3.

Antrosios trupmenos skaitiklis: 9. Po kablelio po kablelio perkeliame dvi vietas (kadangi vardiklis yra 100) - gauname 0,09. Turėjau pridėti vieną nulį po kablelio ir dar vieną prieš jį, kad neliktų keisto įrašo, pavyzdžiui, „.09“.

Trečiosios trupmenos skaitiklis: 10029. Dešimtainį perkeliame trimis vietomis (kadangi vardiklis yra 1000) - gauname 10,029.

Paskutinės trupmenos skaitiklis: 10500. Vėlgi perkeliame tašką trimis skaitmenimis – gauname 10 500. Skaičiaus pabaigoje yra papildomų nulių. Nubraukite juos ir gausime 10,5.

Atkreipkite dėmesį į du paskutinius pavyzdžius: skaičius 10,029 ir 10,5. Pagal taisykles, nuliai dešinėje turi būti perbraukti, kaip buvo padaryta paskutiniame pavyzdyje. Tačiau niekada neturėtumėte to daryti su nuliais skaičiaus viduje (kurie yra apsupti kitų skaičių). Štai kodėl mes gavome 10,029 ir 10,5, o ne 1,29 ir 1,5.

Taigi, mes išsiaiškinome dešimtainių trupmenų rašymo apibrėžimą ir formą. Dabar išsiaiškinkime, kaip paprastas trupmenas konvertuoti į dešimtaines ir atvirkščiai.

Konvertavimas iš trupmenų į dešimtaines

Panagrinėkime paprastą skaitinę a /b formos trupmeną. Galite naudoti pagrindinę trupmenos savybę ir skaitiklį bei vardiklį padauginti iš tokio skaičiaus, kad apačioje būtų dešimties laipsnis. Tačiau prieš tai darydami perskaitykite toliau pateiktą informaciją:

Yra vardiklių, kurių negalima sumažinti iki dešimties laipsnių. Išmokite atpažinti tokias trupmenas, nes su jomis negalima dirbti naudojant toliau aprašytą algoritmą.

Taip ir yra. Na, kaip suprasti, ar vardiklis sumažintas iki dešimties, ar ne?

Atsakymas paprastas: sudėti vardiklį į pirminius veiksnius. Jei plėtinyje yra tik faktoriai 2 ir 5, šį skaičių galima sumažinti iki dešimties. Jei yra kitų skaičių (3, 7, 11 - bet kokie), galite pamiršti dešimties galią.

Užduotis. Patikrinkite, ar nurodytos trupmenos gali būti pavaizduotos dešimtainiais skaičiais:

Išrašykime ir suskaičiuokime šių trupmenų vardiklius:

20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 – yra tik skaičiai 2 ir 5, todėl trupmeną galima pavaizduoti kaip dešimtainį skaičių.

12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 – yra „uždraustas“ koeficientas 3. Trupmena negali būti vaizduojama kaip dešimtainė.

640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. Viskas tvarkoje: nėra nieko, išskyrus skaičius 2 ir 5. Trupmeną galima pavaizduoti kaip dešimtainį skaičių.

48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. Koeficientas 3 vėl „išryškėjo“ Jo negalima pavaizduoti kaip dešimtainę trupmeną.

Taigi, mes sutvarkėme vardiklį – dabar pažvelkime į visą perėjimo prie dešimtainių trupmenų algoritmą:

1. Paskaičiuokite pradinės trupmenos vardiklį ir įsitikinkite, kad jis paprastai pateikiamas kaip dešimtainis skaičius. Tie. patikrinkite, ar išplėtime yra tik faktoriai 2 ir 5. Priešingu atveju algoritmas neveikia.
2. Suskaičiuokite, kiek dvejetų ir penketukų yra plėtinyje (kitų skaičių ten nebus, pamenate?). Pasirinkite papildomą koeficientą, kad dviejų ir penkių skaičius būtų lygus.
3. Tiesą sakant, pradinės trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš šio koeficiento – gauname norimą atvaizdą, t.y. vardiklis bus dešimties laipsnis.

Žinoma, papildomas koeficientas taip pat bus išskaidytas tik į du ir penkis. Tuo pačiu, kad neapsunkintumėte savo gyvenimo, turėtumėte pasirinkti mažiausią daugiklį iš visų galimų.

Ir dar vienas dalykas: jei pradinėje trupmenoje yra sveikoji dalis, būtinai konvertuokite šią trupmeną į netinkamą trupmeną ir tik tada pritaikykite aprašytą algoritmą.

Užduotis. Konvertuokite šias skaitines trupmenas į dešimtaines:

Išskaidykime pirmosios trupmenos vardiklį: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Todėl trupmeną galima pavaizduoti kaip dešimtainį skaičių. Išplėtime yra du dvejetai, o ne vienas penketukas, todėl papildomas koeficientas yra 5 2 = 25. Su juo dviukų ir penketukų skaičius bus lygus. Turime:

Dabar pažvelkime į antrąją trupmeną. Norėdami tai padaryti, atkreipkite dėmesį, kad 24 = 3 · 8 = 3 · 2 3 - plėtinyje yra trigubas, todėl trupmenos negalima pavaizduoti dešimtainiu skaičiumi.

Paskutinės dvi trupmenos turi atitinkamai vardiklius 5 (pirminis skaičius) ir 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 – visur yra tik dvejetai ir penketukai. Be to, pirmuoju atveju „visiškai laimei“ nepakanka 2 koeficiento, o antruoju - 5. Gauname:

Konvertavimas iš dešimtainių į bendrąsias trupmenas

Atvirkštinis konvertavimas iš dešimtainio į įprastą žymėjimą yra daug paprastesnis. Čia nėra jokių apribojimų ar specialių patikrinimų, todėl jūs visada galite konvertuoti dešimtainę trupmeną į klasikinę „dviejų aukštų“ trupmeną.

Vertimo algoritmas yra toks:

1. Nubraukite visus nulius kairėje dešimtainio skaičiaus pusėje, taip pat dešimtainį tašką. Tai bus norimos trupmenos skaitiklis. Svarbiausia nepersistengti ir nenubraukti vidinių nulių, apsuptų kitais skaičiais;
2. Suskaičiuokite, kiek skaičių po kablelio yra po kablelio. Paimkite skaičių 1 ir dešinėje pridėkite tiek nulių, kiek suskaičiuosite simbolių. Tai bus vardiklis;
3. Tiesą sakant, užrašykite trupmeną, kurios skaitiklį ir vardiklį ką tik radome. Jei įmanoma, sumažinkite. Jei pradinėje trupmenoje buvo sveikoji dalis, dabar gausime netinkamą trupmeną, o tai labai patogu atliekant tolesnius skaičiavimus.

Užduotis. Paversti dešimtaines trupmenas į paprastąsias trupmenas: 0,008; 3,107; 2,25; 7, 2008 m.

Nubraukite kairėje esančius nulius ir kablelius – gauname tokius skaičius (tai bus skaitikliai): 8; 3107; 225; 72008.

Pirmoje ir antroje trupmenoje yra 3 skaitmenys po kablelio, antroje - 2, o trečioje - net 4 skaitmenys po kablelio. Gauname vardiklius: 1000; 1000; 100; 10 000.

Galiausiai sujungkime skaitiklius ir vardiklius į paprastas trupmenas:

Kaip matyti iš pavyzdžių, gautą trupmeną labai dažnai galima sumažinti. Leiskite dar kartą pažymėti, kad bet kuri dešimtainė trupmena gali būti pavaizduota kaip įprasta trupmena. Atvirkštinis konvertavimas ne visada įmanomas.