Leiskite l- tam tikra tiesi erdvės linija. Kaip ir planimetrijoje, bet koks vektorius
A =/= 0, kolinearinė linija l, paskambino kreipiamasis vektoriusši tiesi linija.
Tiesės padėtis erdvėje visiškai nustatoma nurodant krypties vektorių ir tiesei priklausantį tašką.
Tegul būna tiesiai l su kreipiamuoju vektoriumi A eina per tašką M 0, o M yra savavališkas erdvės taškas. Akivaizdu, kad taškas M (197 pav.) priklauso tiesei l tada ir tik tada, kai vektorius \(\overrightarrow(M_0 M)\) yra kolinerinis su vektoriumi A , t.y.
\(\rodyklė virš dešinės (M_0 M)\) = t a , t\(\in\) R. (1)
Jeigu taškai M ir M 0 nurodyti jų spindulio vektoriais r Ir r 0 (198 pav.), palyginti su tam tikru erdvės tašku O, tada \(\overright arrow(M_0 M)\) = r - r 0 , o (1) lygtis įgauna formą
r = r 0 + t a , t\(\in\) R. (2)
(1) ir (2) lygtys vadinamos vektorinės-parametrinės tiesės lygtys. Kintamasis t vektoriaus-parametrinėse lygtyse vadinama tiesė parametras.
Tegul taškas M 0 yra tiesi linija l ir krypties vektorius a pateikiami jų koordinatėmis:
M 0 ( X 0 ; adresu 0 , z 0), A = (A 1 ; A 2 ; A 3).
Tada jei ( X; y; z) - savavališko tiesės taško M koordinatės l, Tai
\(\rodyklė virš dešinės (M_0 M) \) = ( x - x 0 ; y - y 0 ; z - z 0)
ir vektoriaus lygtis (1) yra lygiavertėms šioms trims lygtims:
x - x 0 = tа 1 , y - y 0 = tа 2 , z - z 0 = tа 3
$$ \begin(atvejai) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\in R\end(atvejai) (3)$$
Lygtys (3) vadinamos tiesės parametrinės lygtys erdvėje.
1 užduotis. Parašykite tiesės, einančios per tašką, parametrines lygtis
M 0 (-3; 2; 4) ir turintis krypties vektorių A = (2; -5; 3).
Šiuo atveju X 0 = -3, adresu 0 = 2, z 0 = 4; A 1 = 2; A 2 = -5; A 3 = 3. Pakeitę šias reikšmes į (3) formules, gauname šios eilutės parametrines lygtis
$$ \begin(atvejai) x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, \;\;t\in R\end(atvejai) $$
Išskirkime parametrą t iš (3) lygčių. Tai galima padaryti, nes A =/= 0, taigi ir viena iš vektoriaus koordinačių A akivaizdžiai skiriasi nuo nulio.
Tegul pirmiausia visos koordinatės skiriasi nuo nulio. Tada
$$ t=\frac(x-x_0)(a_1),\;\;t=\frac(y-y_0)(a_2),\;\;t=\frac(z-z_0)(a_3) $$
ir todėl
$$ \frac(x-x_0)(a_1)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3) \;\; (4) $$
Šios lygtys vadinamos tiesės kanoninės lygtys .
Atkreipkite dėmesį, kad (4) lygtys sudaro dviejų lygčių su trimis kintamaisiais sistemą x, y Ir z.
Jei (3) lygtyse viena iš vektoriaus koordinačių A , Pavyzdžiui A 1 yra lygus nuliui, tada pašalinus parametrą t, vėl gauname dviejų lygčių su trimis kintamaisiais sistemą x, y Ir z:
\(x=x_0, \;\; \frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)
Šios lygtys taip pat vadinamos kanoninėmis tiesių lygtimis. Siekiant vienodumo, jie taip pat paprastai rašomi forma (4)
\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)
darant prielaidą, kad jei vardiklis lygus nuliui, tai atitinkamas skaitiklis taip pat lygus nuliui. Šios lygtys yra tiesės, einančios per tašką M 0 ( X 0 ; adresu 0 , z 0) lygiagrečiai koordinačių plokštuma yOz, kadangi jo krypties vektorius (0; A 2 ; A 3).
Galiausiai, jei (3) lygtyse yra dvi vektorių koordinatės A , Pavyzdžiui A 1 ir A 2 yra lygūs nuliui, tada šios lygtys įgauna formą
X = X 0 , y = adresu 0 , z = z 0 + t a 3 , t\(\in\) R.
Tai yra tiesės, einančios per tašką M 0 ( X 0 ; adresu 0 ; z 0) lygiagrečiai ašiai Ozas. Dėl tokios tiesios linijos X = X 0 , y = adresu 0, a z- bet koks skaičius. Ir šiuo atveju, siekiant vienodumo, tiesės lygtis gali būti parašyta (su ta pačia išlyga) forma (4)
\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(0)=\frac(z-z_0)(a_3)\)
Taigi bet kuriai erdvės linijai galima parašyti kanonines lygtis (4) ir, atvirkščiai, bet kurią (4) formos lygtį, jei bent vienas iš koeficientų A 1 , A 2 , A 3 nėra lygus nuliui, apibrėžia kokią nors tiesę erdvėje.
2 užduotis. Parašykite kanonines lygtis tiesės, einančios per tašką M 0 (- 1; 1, 7), lygiagrečiai vektoriui A = (1; 2; 3).
Lygtys (4) šiuo atveju parašytos taip:
\(\frac(x+1)(1)=\frac(y-1)(2)=\frac(z-7)(3)\)
Išveskime tiesės, einančios per du duotus taškus M 1 ( X 1 ; adresu 1 ; z 1) ir
M2( X 2 ; adresu 2 ; z 2). Akivaizdu, kad galime paimti vektorių a = (X 2 - X 1 ; adresu 2 - adresu 1 ; z 2 - z 1), o už taško M 0, per kurį eina tiesė, pavyzdžiui, taškas M 1. Tada (4) lygtys bus parašytos taip:
\(\frac(x-x_1)(x_2 - x_1)=\frac(y-y_1)(y_2 - y_1)=\frac(z-z_1)(z_2 - z_1)\) (5)
Tai yra tiesės, einančios per du taškus M 1 ( X 1 ; adresu 1 ; z 1) ir
M2( X 2 ; adresu 2 ;z 2).
3 užduotis. Parašykite tiesės, einančios per taškus M 1 (-4; 1; -3) ir M 2 (-5; 0; 3), lygtis.
Šiuo atveju X 1 = -4, adresu 1 = 1, z 1 = -3, X 2 = -5, adresu 2 = 0, z 2 = 3. Pakeitę šias reikšmes į (5) formules, gauname
\(\frac(x+4)(-1)=\frac(y-1)(-1)=\frac(z+3)(6)\)
4 užduotis. Parašykite tiesės, einančios per taškus M 1 (3; -2; 1) lygtis ir
M2 (5; -2; 1/2).
Pakeitę taškų M 1 ir M 2 koordinates į (5) lygtis, gauname
\(\frac(x-3)(2)=\frac(y+2)(0)=\frac(z-1)(-\frac(1)(2))\)
Lygtis, kurioje, be nežinomo dydžio, taip pat yra dar vienas papildomas dydis, kuris tam tikrame regione gali įgyti skirtingas reikšmes, vadinama parametrinis. Šis papildomas lygties dydis vadinamas parametras. Tiesą sakant, su kiekviena parametrine lygtimi galima parašyti daug lygčių. Pažiūrėsime į parametrinių lygčių modulį ir sprendžiame paprastas parametrines lygtis.
1 problema Išspręskite lygtis, susijusias su $x$
A) $x + a = 7 $
B) $2x + 8a = 4$
C) $x + a = 2a – x$
D) $ kirvis = 5 $
E) $a – x = x + b$
F) $ax = 3a$
Sprendimas:
A) $x + a = 7 \Rodyklė į kairę x = 7 – a$, tai yra, rastas šios lygties sprendimas.
Skirtingoms parametrų reikšmėms sprendimas yra $x = 7 – a$
B) $2x + 8a = 4 \Rodyklė į kairę 2x = 4 - 8a \Rodyklė į kairę x = 2 - 4a$
C) $x + a = 2a – x \Rodyklė į kairę x + x = 2a – a \Rodyklė į kairę 2x = a \Rodyklė į kairę x = \frac(a)(2)$
D) $ax = 5$, kai a skiriasi nuo 0, galime padalyti abi puses iš a ir gauname $x = 5$
Jei $a = 0$, gauname tokią lygtį kaip $0.x = 5$, kuri neturi sprendimo;
E) $a – x = x + b \Rodyklė į kairę a – b = x + x \Rodyklė į kairę 2x = a – b \Rodyklė į kairę x = \frac(a-b)(2)$
F) Kai a = 0, lygtis ax = 3a yra 0.x = 0
Todėl bet koks x yra sprendimas. Jei a skiriasi nuo 0, tada
$ax = 3a \Rodyklė į kairę x = \frac(3a)(a) \Rodyklė į kairę x = 3$
2 problema Jei a yra parametras, išspręskite lygtį:
A) $(a + 1)x = 2a + 3 $
B) $2a + x = ax + 4$
C) $a^2x – x = a$
D) $a^2x + x = a$
Sprendimas:
A) Jei $a + 1$ skiriasi nuo 0, tai yra.. $a \neq -1$,
tada $x = \frac(2a+3)(a+1)$;
jei $a + 1 = 0$, t.y. $a = - 1$
lygtis tampa $0\cdot x = (2)\cdot(-1) + 3 \Leftrightarrow$
$0\cdot x = 1$, kuris neturi sprendimo;
B) $2a + x = ax + 4 \Rodyklė į kairę $
$x – kirvis = 4 - 2a \Rodyklė į dešinę$
$(1 – a)\cdot x = 2(2 – a)$
Jei $(1 – a) \neq 0$, tai a $\neq 1$; sprendimas bus
$x = \frac(2(2 - a))((1 - a))$;
Jei $a = 1$, lygtis tampa $0\cdot x = 2(2 - 1) \Leftright$
$0\cdot x = 2$, kuri neturi sprendimo
C) $a^2x – x = a \Rodyklė į dešinę$
$x(a^2 -1) = a\Rodyklė į kairę$
$(a - 1)(a + 1)x = a$
Jei $a - 1 \neq 0$ ir $a + 1 \neq 0 $, tai yra $a \neq 1, -1 $,
sprendimas yra $x = \frac(a)((a - 1)(a + 1))$
Jei $a = 1$ arba $a = -1$, lygtis tampa $0\cdot x = \pm 1$, kuri neturi sprendimo
D) $a^2x + x = a\Rodyklė į kairę$
$(a^2 + 1)x = a$
Šiuo atveju $a^2 + 1 \neq 0$ bet kuriam $a$, nes tai yra teigiamo skaičiaus (1) ir vieno neigiamo skaičiaus suma
$(a^2 \geq 0)$ todėl $x = \frac(a)(a^2 + 1)$
3 problema Jei a ir b yra parametrai, išspręskite lygtis:
A) $ax + b = 0$
B) $ax + 2b = x$
C) $(b - 1)y = 1 - a$
D) $(b^2 + 1)y = a + 2$
Sprendimas:
A) $ax + b = 0 \Rodyklė kairėn į dešinę ax = -b$
Jei $a \neq 0$, tada sprendimas yra $x = -\frac(b)(a)$.
Jei $a = 0, b\neq 0$, lygtis yra $0\cdot x = -b$ ir neturi sprendimo.
Jei $a = 0$ ir $b = 0$, lygtis tampa $0\cdot x = 0$ ir bet koks $x$ yra sprendimas;
B) $ax + 2b = x \Rodyklė kairėn dešinėn ax – x = -2b \Rodyklė į kairę (a - 1)x = -2b$
Jei $a - 1 \neq 0$, t.y. $a \neq 1$, sprendimas yra $x = -\frac(2b)(a-1)$
Jei $a - 1 = 0$, tai yra $a = 1$ ir $b \neq 0$, lygtis yra $0\cdot x = - 2b$ ir neturi sprendimo
C) Jei $b - 1 \neq 0 $, tai yra $ b \neq 1 $,
sprendimas yra $y = \frac(1-a)(b-1)$
Jei $b – 1 = 0$, tai yra, $b = 1$, bet $1 – a \neq 0$,
tai yra $a \neq 1$, lygtis yra $0\cdot y = 1 – a$ ir neturi sprendimo.
Jei $b = 1$ ir $a = 1$, lygtis yra $0\cdot y = 0$ ir bet koks $y$ yra sprendimas
D) $b^2 + 1 \neq 0$ už bet kurį $b$ (kodėl?), taigi
$y = \frac(a+2)(b^2)$ yra lygties sprendimas.
Problema $4$ Kokioms $x$ reikšmėms šios išraiškos turi vienodas reikšmes:
A) $5x + a $ ir $ 3ax + 4 $
B) $2x – 2$ ir $4x + 5a$
Sprendimas:
Norėdami gauti tas pačias reikšmes, turime rasti lygčių sprendimus
$5x + a = 3ax + 4$ ir $2x - 2 = 4x + 5a $
A) $5x + a = 3ax + 4 \Rodyklė į kairę $
$ 5x - 3ax = 4 - a \Leftright rodyklė $
$(5 - 3a)x = 4 - a$
Jei $5 - 3a \neq 0$, t.y. $a \neq \frac(5)(3)$, sprendimai yra $x = \frac(4-a)(5-3a)$
Jei $5 - 3a = 0$, t.y. $a = \frac(5)(3)$, lygtis tampa $0\cdot x = 4 – \frac(5)(3) \Leftrightarrow$
$0\cdot x = \frac(7)(3)$, kuri neturi sprendimo
B) $2x - 2 = 4x + 5a \Rodyklė į kairę$
$-2 - 5a = 4x - 2x \Leftright rodyklė $
$2x = - 2 - 5a \Rodyklė į kairę$
$x = -\frac(2+5a)(2)$
5 problema
A) $|kirvis + 2| = 4 USD
B) $|2x + 1| = 3a $
C) $|kirvis + 2a| = 3 USD
Sprendimas:
A) $|kirvis + 2| = 4 \Rodyklė kairėn dešinėn ax + 2 = 4$ arba $ax + 2 = -4 \Rodyklė į kairę$
$kirvis = 2$ arba $kirvis = -6$
Jei $a \neq 0$, lygtys yra $x = \frac(2)(a)$ arba $x = -\frac(6)(a)$
Jei $a = 0$, lygtis neturi sprendimo
B) Jei $a Jei $a > 0 $, tai atitinka $2x + 1 = 3a$
arba $2x + 1 = -3a \Rodyklė į kairę 2x = 3a - 1 \Rodyklė į kairę x = \frac(3a-1)(2)$ arba
$2x = -3a - 1 \Rodyklė į kairę x = \frac(3a-1)(2) = -\frac(3a-1)(2)$
C) $|kirvis + 2a| = 3 \Kairysis dešinysis rodyklės kirvis + 2a = 3 $ arba $ax + 2a = - 3 $,
ir randame $ax = 3 - 2a$ arba $ax = -3 - 2a$
Jei a = 0, tada sprendinių nėra, jei $a \neq 0$
sprendimai yra: $x = \frac(3-2a)(a)$ ir $x = -\frac(3+2a)(a)$
6 problema Išspręskite lygtį $2 – x = 2b – 2ax$, kur a ir b yra realieji parametrai. Raskite, kokios lygties reikšmės turi sprendimą natūralusis skaičius, jei $b = 7$
Sprendimas:
Pateikime šią lygtį tokia forma: $(2a - 1)x = 2(b - 1)$
Galimos šios parinktys:
Jei $2a - 1 \neq 0$, t.y. $a \neq \frac(1)(2)$, lygtis turi unikalų sprendimą
$x = \frac(2(b-1))(2a-1)$
Jei $a = \frac(1)(2)$ ir $b = 1$, lygtis tampa $0\cdot x = 0$ ir bet koks $x$ yra sprendimas
Jei $a = \frac(1)(2)$ ir $b \neq 1$, gauname $0\cdot x = 2(b - 1)$, kur $2(b - 1) \neq 0$
Šiuo atveju lygtis neturi sprendimo.
Jei $b = 7$ ir $a \neq \frac(1)(2)$ yra vienintelis sprendimas
$x = \frac(2(7-1))(2a-1) = \frac(12)(2a-1)$
Jei a yra sveikas skaičius, tai $2a - 1$ taip pat yra sveikasis skaičius, o sprendimas yra toks
$x = \frac(12)(2a-1)$ yra natūralusis skaičius, kai
$2a – 1$ yra teigiamas skaičiaus $12$ daliklis.
Kad a būtų sveikasis skaičius, $12$ daliklis turi būti nelyginis. Tačiau tik 1 USD ir 3 USD yra teigiami nelyginiai skaičiai, kurie dalijasi iš 12
Todėl $2a - 1 = 3 \Rodyklė į kairę a = 2$ arba $2a - 1 = 1 \Rodyklė į kairę$
$a = 1 a = 2$ arba $2a - 1 = 1 \Rodyklė į kairę a = 1$
7 problema Išspręskite lygtį $|ax - 2 – a| = 4$, kur a yra parametras. Raskite, kurių a reikšmės lygties šaknys yra neigiami sveikieji skaičiai.
Sprendimas:
Iš modulio apibrėžimo gauname
$|kirvis - 2 – x| = 4 \kairėn dešinėn ax - 2 - x = 4$ arba $ax - 2 - x = - 4$
Iš pirmosios lygybės gauname $x(a - 1) - 2 = 4 \Leftright$
$(a - 1)x = 4 + 2 \rodyklė į kairę į dešinę (a - 1)x = 6 $
Iš antrosios lygybės gauname $(a - 1)x = -2$
Jei $a - 1 = 0$, t.y. $a = 1$, paskutinė lygtis neturi sprendimo.
Jei $a \neq 1$ pamatysime, kad $x = \frac(6)(a-1)$ arba $x = -\frac(2)(a-1)$
Kad šios šaknys būtų nepažeistos neigiami skaičiai, reikia atlikti šiuos veiksmus:
Pirmajam lygybė $a - 1$ turi būti neigiamas 6 daliklis, o antrajai - teigiamas daliklis 2
Tada $a - 1 = -1; -2; -3; - 6$ arba $a - 1 = 1; 2 USD
Gauname $a - 1 = -1 \Rodyklė į kairę a = 0; a - 1 = -2 \Rodyklė į dešinę$
$a = -1; a - 1 = -3 \Rodyklė į kairę į dešinę a = -2; a - 1 = -6 \Rodyklė į kairę į dešinę a = -5 $
arba $a - 1 = 1 \Rodyklė į kairę a = 2; a - 1 = 2 \Rodyklė į kairę į dešinę a = 3 $
Tada $a = -5; -2; -1; 0; 2; 3 USD yra problemos sprendimai.
8 problema Išspręskite lygtį:
A) $3ax – a = 1 – x$, kur a yra parametras;
B) $2ax + b = 2 + x$, kur a ir b yra parametrai
Sprendimas:
A) $3ax + x = 1 + a \Rodyklė į kairę (3a + 1)x = 1 + a$.
Jei $3a + 1 \neq 0$, t.y. $a \neq -11 /3 /3$ , yra sprendimas
$x = \frac(1+a)(3a+1)$
Jei $a = -\frac(1)(3)$, lygtis yra $0\cdot x = \frac(1.1)(3)$, kuri neturi sprendimo.
B) $2ax – x = 2 – b \rodyklė į kairę dešinę (2a – 1)x = 2 – b$
Jei $2a - 1 \neq 0$, t.y. $a \neq \frac(1)(2), x = \frac(2-b)(2a-1)$ yra sprendimas.
Jei $a = \frac(1)(2)$, lygtis tampa $0.x = 2 – b$
Tada, jei $b = 2$, bet kuris x yra sprendimas, jei $b \neq 2$, lygtis neturi sprendinio.
9 problema Pateikta lygtis $6(kx - 6) + 24 = 5kx$ , kur k yra sveikas skaičius. Raskite, kokioms k reikšmėms lygtis:
A) šaknis $-\frac(4)(3)$
B) neturi sprendimo;
C) šaknis yra natūralusis skaičius.
Sprendimas:
Perrašykime lygtį į formą $6kx - 36 + 24 = 5kx \Leftright rodyklė kx = 12$
A) Jei $x = -\frac(4)(3)$, k gausime lygtį $-\frac(4)(3k) = 12 \Rotiklis į kairę k = - 9$
B) Lygtis $kx = 12$ neturi sprendimo, kai $k = 0$
C) Kai $k \neq 0$ yra $x = \frac(12)(k)$ šaknis ir tai yra natūralusis skaičius, jei k yra teigiamas sveikasis skaičius, dalijamas iš 12, t.y. $k = 1, 2, 3, 4, 6, 12 $
10 problema Išspręskite lygtį:
A) $2ax + 1 = x + a$, kur a yra parametras;
B) $2ax + 1 = x + b$, kur a ir b yra parametrai.
Sprendimas:
A) $2ax + 1 = x + a \Rodyklė į kairę 2ax – x = a - 1 \Rodyklė į kairę$
$(2a - 1)x = a - 1$
Jei $2a - 1 \neq 0$, t.y. $a \neq \frac(1)(2)$, vienintelis lygties sprendimas yra
$x = \frac(a-1)(2a-1)$
Jei $2a - 1 = 0$, t.y. $a = \frac(1)(2)$, lygtis įgauna formą
$0.x = \frac(1)(2)- 1 \Leftright rodyklė 0.x = -\frac(1)(2)$, kuri neturi sprendimo
B) $2ax + 1 = x + b \Rodyklė į kairę$
$2ax – x = b – 1 \Rodyklė į kairę$
$(2a - 1)x = b - 1$
Jei $2a - 1 \neq 0$, t.y. $a \neq \frac(1)(2)$, sprendimas yra
$x = \frac(b-1)(2a-1)$
Jei $a = \frac(1)(2)$, lygtys yra lygiavertės $0.x = b - 1$
Jei b = 1 bet koks x yra sprendimas, jei $b \neq 1$, tada sprendimo nėra.
11 problema Pateikta lygtis $3(ax - 4) + 4 = 2ax$, kur parametras yra sveikasis skaičius. Raskite, kokios lygties reikšmės turi šaknis:
A) $\left(-\frac(2)(3)\right)$
B) sveikasis skaičius
C) natūralusis skaičius
Sprendimas:
A) Jei $x = -\frac(2)(3)$ yra lygties sprendimas, tada ji turi būti teisinga
$3\left + 4 = 2a\left(-\frac(2)(3)\right) \Leftrightarrow$
$-2a - 12 + 4 = -\frac(4a)(3) \Leftright$
$\frac(4a)(3) - 2a = 8 \Rodyklė į kairę \frac(4a-6a)(3) = 8 \Leftright$
$-\frac(2a)(3) = 8 \Rodyklė į kairę a = -12$
B) 3 USD (kirvis - 4) + 4 = 2ax \Rodyklė į kairę 3ax - 2ax = 12 - 4 \Kairįjį dešinįjį kirvis = 8$
Jei $a \neq 0$ sprendimas yra $x = \frac(8)(a)$, tai yra sveikasis skaičius, jei a yra $8$ daliklis.
Štai kodėl; $±2; ±4; ± 8 USD
Jei $a=0$, lygtis neturi sprendimo
C) Norint gauti natūralų (teigiamą sveikąjį) skaičių šiam sprendimui $x=\frac(8)(a)$, skaičius turi būti lygus: $a=1, 2, 4, 8$
12 problema Pateikta lygtis $2 – x = 2b – 2ax$, kur $a$ ir $b$ yra parametrai. Raskite, kokioms lygties reikšmėms yra sprendiniai natūraliojo skaičiaus pavidalu, jei $b = 7$
Sprendimas:
Lygtyje pakeičiame $b = 7$ ir gauname $2 – x = 2,7 - 2ax \Leftrightarrow$
2ax – x = 14 – 2 \rodyklė į kairę dešinę (2a – 1)x = 12$
Jei $2a -1 \neq 0$, t.y. $a \neq \frac(1)(2)$, lygtis įgauna formą
$x = \frac(12)(2a-1)$ ir tai bus natūralusis skaičius, jei vardiklis $2a - 1$ yra teigiamas $12$ dividendas ir, be to, kad jis būtų sveikasis skaičius būtina, kad $2a - 1$ būtų nelyginis skaičius.
Taigi 2a–1 USD gali būti 1 USD arba 3 USD
Nuo $2a - 1 = 1 \Rodyklė į kairę 2a = 2 \Rodyklė į kairę a = 1 $ ir $2a - 1 = 3 $
$\Rodyklė į kairę 2a = 4 \Rodyklė į kairę a = 2$
13 problema Duota funkcija $f(x) = (3a - 1)x - 2a + 1$, kur a yra parametras. Raskite, kurioms funkcijos grafiko reikšmėms:
A) kerta x ašį;
B) kerta x ašį
Sprendimas:
Kad funkcijos grafikas kirstų x ašį, būtina, kad
$(3a - 1)\cdot x -2a + 1 = 0$ turėjo sprendinius ir neturėjo x ašies nesusikirtimo sprendinio.
Iš lygties gauname $(3a - 1)x = 2a - 1$
Jei $3a - 1 \neq 0$, t.y. $a \neq \frac(1)(3)$, lygtis turi sprendinius
$x = \frac(2a-1)(3a-1)$, taigi funkcijos grafikas kerta x ašį.
Jei $a = \frac(1)(3)$, gauname $0.x = \frac(2)(3) - 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac(1)(3)$, o tai ne turi sprendimus.
Todėl, jei $a = \frac(1)(3)$, funkcijų grafikas nesikerta su x ašimi.
14 problema Išspręskite parametrinę lygtį:
A) $|x -2| =a$
B) $|kirvis -1| = 3 USD
C) $|kirvis - 1| = a - 2 USD
Sprendimas:
A) Jei $a 0$ gausime:
$|x - 2| = a \Rodyklė į kairę į dešinę x - 2 = a$ arba $x - 2 = -a$
Nuo $x - 2 = a \Rightrow x = a + 2$, ir nuo
$x - 2 = -a \Rodyklė dešinėn x = 2 - a$
Jei $a = 0$, tai $x - 2 = 0$ arba $x = 2$
B) $|kirvis - 1| = 3 \kairėn dešinėn ax - 1 = 3$ arba $ax - 1 = -3$
iš kur $ax = 4$ arba $ax = -2$
Jei $a \neq 0$ sprendimai: $x = \frac(4)(a)$ arba $x = -\frac(2)(a)$
Jei $a = 0$, čia nėra sprendimo
C) Jei $a - 2 Jei $a - 2 > 0$, t.y. $a > 2$ gauname
$|kirvis - 1| = a - 2 \Kairysis dešinysis rodyklės kirvis - 1 = a - 2$ arba $ax - 1 = 2 - a$
Taigi gauname $ax = a - 1$ arba $ax = 3 - a$
Kadangi $a > 2, a\neq 0$, todėl
$x = \frac(a-1)(a)$ arba $x = \frac(3-a)(a)$.
Jei $a = 2$, lygtys yra lygiavertės
$2x – 1 = 0 \Rodyklė į kairę 2x = 1 \Rodyklė į kairę x = \frac(1)(2)$
15 problema Raskite, kurioms parametro m (a) reikšmėms dvi lygtys yra lygiavertės:
A) $\frac(x+m)(2) = 1 – m$ ir $(-x – 1) ^2 – 1 = x^2$
B) $\frac(x+m)(2) = 1 – m$ ir $\frac(x-m)(3) = 1 – 2m$
C) $|3 – x| + x^2 -5x + 3 = 0$ ir $ax + 2a = 1 + x$, jei $x > 3$
Sprendimas:
A) Išspręskime antrąją lygtį. Parašykime tai tokia forma:
$(-x - 1)^2 - 1 = x^2 \Rodyklė į kairę$
$[(-1)(x + 1) ]^2 - 1 = x^2 \Rodyklė į dešinę$
$x^2 + 2x + 1 - 1 = x^2 \Rodyklė į kairę$
$2x = 0 \Rodyklė į kairę x = 0$
Už pirmąjį gauname
$\frac(x+m)(2) = 1 – m \Rodyklė į kairę x + m = 2 – 2m \Rodyklė į kairę x = 2 – 3m$
Šios dvi lygtys yra lygiavertės, jei turi tas pačias šaknis, t.y.
$2–3m = 0 \Rodyklė į kairę$ $m = \frac(2)(3)$
B) Pirmosios lygties sprendimas yra $x = 2 - 3m$, o antroji gauname
$x – m = 3 – 6 m \rodyklė kairėn į dešinę$ $x = 3 – 5 m$
Jie turi tas pačias šaknis, kai
2–3 m = 3–5 m \Rodyklė į kairę 5 m - 3 m = 3 - 2 \Rodyklė į kairę 2 m = 1 \Rodyklė į kairę m = \frac(1)(2)$
C) Kadangi $x > 3, 3 – x $|3 – x| = -(3 – x) = x – 3 $
Pirmoji lygtis atrodys taip: $x - 3 + x^2 - 5x + 3 = 0 \Leftright arrow$
$x^2 - 4x - 0 \Rodyklė į kairę x(x - 4) = 0 \Rodyklė į kairę$
$x = 0 $ arba $ x = 4 $
Su sąlyga, kad $x > 3$, todėl sprendimas yra tik $x = 4$. Dėl antrosios lygties gauname
$ax – x = 1 – 2a \rodyklė kairėn dešinėn (a – 1)x = 1 – 2a$
Jei $a - 1 = 0$, sprendimo nėra (Kodėl?), jei $a - 1 \neq 0$, t.y. $a \neq 1$, sprendimas yra
$x = \frac(1-2a)(a-1)$ Šios dvi lygtys bus lygios, jei $4 = \frac(1-2a)(a-1) \rodyklė į kairę$ $4(a - 1) = 1 - 2a \Rodyklė į kairę 4a + 2a = 1 + 4 \Rodyklė į kairę 6a = 5 \Rodyklė į dešinę a = \frac(5)(6)$
Šiame straipsnyje apžvelgsime parametrinę tiesės plokštumoje lygtį. Pateiksime parametrinės tiesės lygties sudarymo pavyzdžius, jei žinomi du šios tiesės taškai arba vienas taškas ir šios tiesės krypties vektorius. Pateiksime metodus, kaip lygtį parametrine forma transformuoti į kanonines ir bendrąsias formas.
Parametrinė tiesės lygtis L plokštumoje pavaizduota tokia formule:
| (1) |
Kur x 1 , y 1 tam tikro taško koordinatės M 1 tiesiojoje L. Vektorius q={m, p) yra tiesės krypties vektorius L, t− tam tikras parametras.
Atkreipkite dėmesį, kad rašant tiesės lygtį parametrine forma, tiesės krypties vektorius neturi būti nulinis vektorius, t.y. bent viena nukreipimo vektoriaus koordinatė q turi skirtis nuo nulio.
Nustatyti tiesę Dekarto plokštumoje stačiakampė sistema koordinates, pateiktas parametrine lygtimi (1), pakanka nustatyti parametrą t du skirtingos reikšmės, skaičiuok x Ir y ir nubrėžkite tiesią liniją per šiuos taškus. At t=0 turime tašką M 1 (x 1 , y 1) val t=1, gauname tašką M 2 (x 1 +m, y 1 +p).
Sudaryti plokštumos tiesės parametrinę lygtį L pakanka turėti tašką tiesioje linijoje L ir tiesės arba dviejų tiesei priklausančių taškų krypties vektorius L. Pirmuoju atveju, norint sudaryti parametrinę tiesės lygtį, į (1) lygtį reikia įterpti taško koordinates ir krypties vektorių. Antruoju atveju pirmiausia reikia rasti linijos nukreipimo vektorių q={m, p), apskaičiuojant skirtumus tarp atitinkamų taškų koordinačių M 1 ir M 2: m=x 2 −x 1 , p=y 2 −y 1 (1 pav.). Tada, panašiai kaip pirmuoju atveju, pakeiskite vieno iš taškų koordinates (nesvarbu, kurio) ir krypties vektorių q tiesi linija (1).
1 pavyzdys. Tiesė eina per tašką M=(3,−1) ir turi krypties vektorių q=(−3, 5). Sukurkite parametrinę tiesės lygtį.
Sprendimas. Norėdami sudaryti parametrinę tiesės lygtį, taško koordinates ir krypties vektorių pakeičiame lygtimi (1):
Supaprastinkime gautą lygtį:
Iš reiškinių (3) galime užrašyti kanoninę tiesės lygtį plokštumoje:
Pateikite šią tiesią lygtį į kanoninę formą.
Sprendimas: išreikškite parametrą t per kintamuosius x Ir y:
 | (5) |
Iš išraiškų (5) galime rašyti:
Vienas iš temos „Tiesės lygtis plokštumoje“ poskyrių yra parametrinių lygčių tiesės plokštumoje sudarymas stačiakampėje koordinačių sistemoje. Toliau pateiktame straipsnyje aptariamas tokių lygčių sudarymo principas, atsižvelgiant į tam tikrus žinomus duomenis. Parodysime, kaip pereiti nuo parametrinių lygčių prie kitokio tipo lygčių; Pažvelkime į tipinių problemų sprendimą.
Konkrečią tiesę galima apibrėžti nurodant šiai linijai priklausantį tašką ir linijos krypties vektorių.
Tarkime, mums duota stačiakampė koordinačių sistema O x y. Taip pat duota tiesė a, nurodanti ant jos esantį tašką M 1 (x 1, y 1) ir nurodytos tiesės krypties vektorių a → = (a x , a y) . Pateikiame tiesės a aprašymą naudodami lygtis.
Naudojame savavališką tašką M (x, y) ir gauname vektorių M 1 M → ; Apskaičiuokime jo koordinates iš pradžios ir pabaigos taškų koordinačių: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1). Apibūdinkime tai, ką gavome: tiesė yra apibrėžta taškų aibe M (x, y), eina per tašką M 1 (x 1, y 1) ir turi krypties vektorių a → = (a x , a y) . Ši aibė apibrėžia tiesę tik tada, kai vektoriai M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) ir a → = (a x, a y) yra kolinearūs.
Yra būtinas ir pakankama būklė vektorių kolineariškumas, kuris šiuo atveju vektoriams M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) ir a → = (a x, a y) gali būti parašytas lygtimi:
M 1 M → = λ · a → , kur λ yra tikrasis skaičius.
1 apibrėžimas
Lygtis M 1 M → = λ · a → vadinama tiesės vektorine-parametrine lygtimi.
Koordinačių pavidalu tai atrodo taip:
M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ
Gautos sistemos x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ lygtys vadinamos stačiakampės koordinačių sistemos plokštumos tiesės parametrinėmis lygtimis. Pavadinimo esmė tokia: visų tiesės taškų koordinates galima nustatyti parametrinėmis lygtimis x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ formos plokštumoje, išvardijant visus realiuosius parametro λ reikšmės
Pagal tai, kas išdėstyta aukščiau, parametrinės lygtys tiesės plokštumoje x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ apibrėžia tiesę, kuri apibrėžta stačiakampėje koordinačių sistemoje, eina per tašką M. 1 (x 1, y 1) ir turi kreipiamąjį vektorių a → = (a x , a y) . Vadinasi, jei nurodytos tam tikro tiesės taško koordinatės ir jo krypties vektoriaus koordinatės, tai galima iš karto užrašyti duotosios tiesės parametrines lygtis.
1 pavyzdys
Stačiakampės koordinačių sistemos plokštumos tiesės parametrines lygtis būtina sudaryti, jei pateiktas jai priklausantis taškas M 1 (2, 3) ir jo krypties vektorius. a → = (3 , 1) .
Sprendimas
Remdamiesi pradiniais duomenimis, gauname: x 1 = 2, y 1 = 3, a x = 3, a y = 1. Parametrinės lygtys atrodys taip:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + 1 · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ
Leiskite mums aiškiai iliustruoti:
Atsakymas: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ
Reikėtų pažymėti: jei vektorius a → = (a x , a y) tarnauja kaip tiesės a krypties vektorius, o taškai M 1 (x 1, y 1) ir M 2 (x 2, y 2) priklauso šiai linijai, tada ją galima nustatyti nurodant formos parametrines lygtis: x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , taip pat ši parinktis: x = x 2 + a x · λ y = y 2 + a y · λ .
Pavyzdžiui, mums duotas tiesės krypties vektorius a → = (2, - 1), taip pat šiai tiesei priklausantys taškai M 1 (1, - 2) ir M 2 (3, - 3). Tada tiesė nustatoma pagal parametrines lygtis: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ arba x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ.
Taip pat turėtumėte atkreipti dėmesį į tokį faktą: jei a → = (a x , a y) yra tiesės a krypties vektorius, tada bet kuris iš vektorių bus jos krypties vektorius μ · a → = (μ · a x , μ · a y) , kur μ ϵ R , μ ≠ 0 .
Taigi, tiesė a plokštumoje stačiakampėje koordinačių sistemoje gali būti nustatyta parametrinėmis lygtimis: x = x 1 + μ · a x · λ y = y 1 + μ · a y · λ bet kuriai μ reikšmei, išskyrus nulį.
Tarkime, tiesė a nurodyta parametrinėmis lygtimis x = 3 + 2 · λ y = - 2 - 5 · λ. Tada a → = (2, -5) - šios tiesės krypties vektorius. Taip pat bet kuris iš vektorių μ · a → = (μ · 2, μ · - 5) = 2 μ, - 5 μ, μ ∈ R, μ ≠ 0 taps nukreipiamuoju vektoriumi duotai linijai. Aiškumo dėlei apsvarstykite konkretų vektorių - 2 · a → = (- 4, 10), jis atitinka reikšmę μ = - 2. Šiuo atveju duotąją tiesę galima nustatyti ir parametrinėmis lygtimis x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ.
Perėjimas nuo parametrinių lygčių tiesės plokštumoje į kitas duotosios tiesės lygtis ir atgal
Sprendžiant kai kuriuos uždavinius, parametrinių lygčių naudojimas nėra pats optimaliausias variantas, tuomet reikia paversti parametrines tiesės lygtis į kitokio tipo tiesės lygtis. Pažiūrėkime, kaip tai padaryti.
X = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ formos tiesės parametrinės lygtys atitiks kanoninę tiesės lygtį plokštumoje x - x 1 a x = y - y 1 a y.
Išspręskime kiekvieną parametrinę lygtį parametro λ atžvilgiu, sulyginkime gautų lygčių dešiniąsias puses ir gaukime kanoninę duotosios tiesės lygtį:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y
Šiuo atveju neturėtų būti painu, jei x arba a y yra lygūs nuliui.
2 pavyzdys
Iš tiesės x = 3 y = - 2 - 4 · λ parametrinių lygčių reikia pereiti prie kanoninės lygties.
Sprendimas
Duotas parametrines lygtis parašykime tokia forma: x = 3 + 0 · λ y = - 2 - 4 · λ
Išreikškime parametrą λ kiekvienoje iš lygčių: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4
Sulyginkime dešiniąsias lygčių sistemos puses ir gaukime reikiamą kanoninę tiesės plokštumoje lygtį:
x - 3 0 = y + 2 - 4
Atsakymas: x - 3 0 = y + 2 - 4
Tuo atveju, kai reikia parašyti A x + B y + C = 0 formos tiesės lygtį ir pateikiamos parametrinės linijos plokštumoje lygtys, pirmiausia reikia pereiti prie kanoninės lygtį, o tada į bendrąją linijos lygtį. Užsirašykime visą veiksmų seką:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0
3 pavyzdys
Turi būti užrašytas bendroji lygtis tiesė, jei pateiktos ją apibrėžiančios parametrinės lygtys: x = - 1 + 2 · λ y = - 3 · λ
Sprendimas
Pirmiausia pereikime prie kanoninės lygties:
x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3
Gauta proporcija yra identiška lygybei - 3 · (x + 1) = 2 · y. Atidarykime skliaustus ir gaukime bendrąją linijos lygtį: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0.
Atsakymas: 3 x + 2 y + 3 = 0
Vadovaujantis aukščiau pateikta veiksmų logika, norint gauti tiesės lygtį su kampo koeficientu, linijos lygtį atkarpomis arba normalioji lygtis tiesia linija, reikia gauti bendrąją tiesės lygtį ir iš jos atlikti tolesnį perėjimą.
Dabar apsvarstykite atvirkštinį veiksmą: eilutės parametrinių lygčių rašymas su skirtinga šios linijos lygčių forma.
Paprasčiausias perėjimas: nuo kanoninės lygties prie parametrinių. Tegu pateikta kanoninė lygtis, kurios formos: x - x 1 a x = y - y 1 a y. Laikykime, kad kiekvienas šios lygybės ryšys yra lygus parametrui λ:
x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y
Išspręskime gautas kintamųjų x ir y lygtis:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ
4 pavyzdys
Būtina užrašyti tiesės parametrines lygtis, jei žinoma tiesės plokštumoje kanoninė lygtis: x - 2 5 = y - 2 2
Sprendimas
Žinomos lygties dalis prilyginkime parametrui λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ. Iš gautos lygybės gauname tiesės parametrines lygtis: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ
Atsakymas: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ
Kai reikia pereiti prie parametrinių lygčių iš duotosios bendrosios tiesės lygties, tiesės su kampiniu koeficientu lygties arba tiesės lygties atkarpomis, pirminę lygtį reikia perkelti į kanoninę lygtį. vieną, o tada pereikite prie parametrinių lygčių.
5 pavyzdys
Būtina užrašyti tiesės su žinoma bendra šios tiesės lygtimi parametrines lygtis: 4 x - 3 y - 3 = 0.
Sprendimas
Pateiktą bendrąją lygtį paverskime kanoninės formos lygtimi:
4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4
Abi lygybės puses prilyginkime parametrui λ ir gaukime reikiamas tiesės parametrines lygtis:
x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ
Atsakymas: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ
Plokštumos tiesės parametrinių lygčių pavyzdžiai ir uždaviniai
Panagrinėkime dažniausiai pasitaikančius uždavinių tipus, naudojant stačiakampės koordinačių sistemos plokštumos tiesės parametrines lygtis.
- Pirmojo tipo uždaviniuose pateikiamos taškų koordinatės, nepriklausomai nuo to, ar jie priklauso parametrinėmis lygtimis aprašytai tiesei, ar ne.
Tokių uždavinių sprendimas grindžiamas šiuo faktu: skaičiai (x, y), nustatyti iš parametrinių lygčių x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ kai kuriai realiajai reikšmei λ yra koordinatės. taško, priklausančio tiesei, kuri apibūdina šias parametrines lygtis.
6 pavyzdys
Būtina nustatyti taško, esančio tiesėje, nurodytoje parametrinėmis lygtimis x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ, koordinates, kai λ = 3.
Sprendimas
Pakeiskime žinomą reikšmę λ = 3 į pateiktas parametrines lygtis ir apskaičiuokime reikiamas koordinates: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5
Atsakymas: 1 1 2 , 5
Taip pat galima atlikti tokią užduotį: stačiakampės koordinačių sistemos plokštumoje duotas koks nors taškas M 0 (x 0 , y 0) ir reikia nustatyti, ar šis taškas priklauso tiesei, aprašytai parametrinėmis lygtimis x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ .
Norint išspręsti tokią problemą, reikia duoto taško koordinates pakeisti žinomas tiesės parametrines lygtis. Jeigu nustatoma, kad galima parametro reikšmė λ = λ 0, kuriai teisingos abi parametrinės lygtys, tai duotasis taškas priklauso duotai tiesei.
7 pavyzdys
Duoti taškai M 0 (4, - 2) ir N 0 (- 2, 1). Būtina nustatyti, ar jie priklauso tiesei, apibrėžtai parametrinėmis lygtimis x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ .
Sprendimas
Pakeiskime taško M 0 (4, - 2) koordinates į pateiktas parametrines lygtis:
4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2
Darome išvadą, kad taškas M 0 priklauso duotai tiesei, nes atitinka reikšmę λ = 2.
2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4
Akivaizdu, kad nėra tokio parametro λ, kurį atitiktų taškas N 0. Kitaip tariant, duotoji tiesė nekerta taško N 0 (- 2, 1).
Atsakymas: taškas M 0 priklauso duotai tiesei; taškas N 0 nepriklauso nurodytai tiesei.
- Antrojo tipo uždaviniuose reikia sudaryti parametrines tiesės lygtis plokštumoje stačiakampėje koordinačių sistemoje. Paprasčiausias tokios problemos pavyzdys (su žinomomis tiesės taško koordinatėmis ir krypties vektoriumi) buvo nagrinėtas aukščiau. Dabar pažiūrėkime į pavyzdžius, kuriuose pirmiausia reikia rasti orientacinio vektoriaus koordinates ir tada užrašyti parametrines lygtis.
Duotas taškas M 1 1 2 , 2 3 . Būtina sudaryti parametrines lygtis tiesės, einančios per šį tašką ir lygiagrečios tiesei x 2 = y - 3 - 1.
Sprendimas
Pagal uždavinio sąlygas tiesė, kurios lygtį turime aplenkti, yra lygiagreti tiesei x 2 = y - 3 - 1. Tada kaip tiesės, einančios pro šalį, krypties vektorius duotas taškas, galima panaudoti tiesės x 2 = y - 3 - 1 nukreipiamąjį vektorių, kurį rašome forma: a → = (2, - 1) . Dabar mes žinome visus reikalingus duomenis, kad sudarytume reikiamas parametrines lygtis:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 1 2 + 2 · λ y = 2 3 + (- 1) · λ ⇔ x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ
Atsakymas: x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ .
9 pavyzdys
Duotas taškas M 1 (0, - 7). Būtina užrašyti tiesės, einančios per šį tašką statmenai tiesei 3 x – 2 y – 5 = 0, parametrines lygtis.
Sprendimas
Kaip tiesės, kurios lygtis turi būti sudaryta, krypties vektorių galima paimti normalųjį tiesės vektorių 3 x – 2 y – 5 = 0. Jo koordinatės yra (3, - 2). Užrašykime reikiamas tiesės parametrines lygtis:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 0 + 3 · λ y = - 7 + (- 2) · λ ⇔ x = 3 · λ y = - 7 - 2 · λ
Atsakymas: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ
- Trečiojo tipo uždaviniuose būtina pereiti nuo tam tikros tiesės parametrinių lygčių prie kitų ją lemiančių lygčių tipų. Aukščiau aptarėme panašių pavyzdžių sprendimą.
Duota tiesė plokštumoje stačiakampėje koordinačių sistemoje, apibrėžta parametrinėmis lygtimis x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ. Būtina rasti bet kurio normalaus šios tiesės vektoriaus koordinates.
Sprendimas
Norėdami nustatyti reikiamas normalaus vektoriaus koordinates, pereisime nuo parametrinių lygčių prie bendrosios lygties:
x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0
Kintamųjų x ir y koeficientai suteikia mums reikiamas normaliojo vektoriaus koordinates. Taigi tiesės x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ normalusis vektorius turi koordinates 1, 3 4.
Atsakymas: 1 , 3 4 .
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Būtinai perskaitykite šią pastraipą! Parametrinės lygtys, žinoma, nėra erdvinės geometrijos alfa ir omega, o daugelio problemų darbinė skruzdė. Be to, tokio tipo lygtys dažnai naudojamos netikėtai ir, sakyčiau, elegantiškai.
Jei tiesei priklausantis taškas ir šios tiesės krypties vektorius yra žinomi, tai šios tiesės parametrines lygtis pateikia sistema:
Aš kalbėjau apie pačią parametrinių lygčių sąvoką klasėje Tiesės lygtis plokštumoje Ir Parametriškai apibrėžtos funkcijos išvestinė.
Viskas yra paprasčiau nei garuose virtos ropės, todėl turėsite paįvairinti problemą:
7 pavyzdys
Sprendimas: tiesės pateikiamos kanoninėmis lygtimis ir pirmajame etape turėtumėte rasti tašką, priklausantį tiesei ir jos krypties vektorių.
a) Iš lygčių pašaliname tašką ir krypties vektorių: . Galite pasirinkti kitą tašką (kaip tai padaryti, aprašyta aukščiau), tačiau geriau pasirinkti patį akivaizdžiausią. Beje, norėdami išvengti klaidų, visada pakeiskite jo koordinates į lygtis.
Sukurkime šios eilutės parametrines lygtis:
Parametrinių lygčių patogumas yra tas, kad dėl jų labai lengva rasti kitus linijos taškus. Pavyzdžiui, suraskime tašką, kurio koordinatės, tarkime, atitinka parametro reikšmę:
Taigi:
b) Apsvarstykite kanonines lygtis. Pasirinkti tašką čia nėra sunku, bet klastinga: (atsargiai, kad nesupainiotumėte koordinačių!!!). Kaip pašalinti kreipiamąjį vektorių? Galite spėlioti, kam ši linija yra lygiagreti, arba galite naudoti paprastą formalią techniką: „Y“ ir „Z“ yra proporcingai, taigi užrašykite krypties vektorių , o likusioje erdvėje padėkite nulį: .
Sudarykime parametrines tiesės lygtis:
c) Perrašykime lygtis į formą , tai yra, „zet“ gali būti bet kas. Ir jei kas, tai tegul, pavyzdžiui, . Taigi taškas priklauso šiai linijai. Norėdami rasti krypties vektorių, naudojame tokią formalią techniką: pradinėse lygtyse yra „x“ ir „y“, o krypties vektorių šiose vietose rašome nuliai: . Į likusią vietą dedame vienetas: . Vietoj vieno tiks bet koks skaičius, išskyrus nulį.
Užrašykime tiesės parametrines lygtis:
Treniruotėms:
8 pavyzdys
Sudarykite parametrines lygtis šioms tiesioms linijoms:
Sprendimai ir atsakymai pamokos pabaigoje. Gauti atsakymai gali šiek tiek skirtis nuo mano atsakymų, esmė ta parametrines lygtis galima užrašyti daugiau nei vienu būdu. Svarbu, kad jūsų ir mano krypties vektoriai būtų kolinearūs, o jūsų taškas „tiktų“ mano lygtims (na, arba atvirkščiai, mano taškas atitinka jūsų lygtis).
Kaip kitaip galite apibrėžti tiesią liniją erdvėje? Norėčiau ką nors sugalvoti su normaliu vektoriumi. Tačiau skaičius neveiks; normalūs erdvinės linijos vektoriai gali atrodyti visiškai skirtingomis kryptimis.
Kitas būdas jau buvo paminėtas pamokoje. Plokštumos lygtis ir šio straipsnio pradžioje.
