Silogizmai Vieną dieną tyrėjas turėjo vienu metu apklausti tris liudininkus: Klodą, Žaką ir Diką. Jų parodymai prieštaravo vienas kitam, ir kiekvienas

35 problema

Vienas žmogus gavo darbą su 1000 USD per metus atlyginimu. Aptariant priėmimo sąlygas jam buvo pažadėta, kad jei gerai pasirodys, atlyginimas bus padidintas. Be to, padidinimo dydį galite pasirinkti iš dviejų variantų savo nuožiūra: vienu atveju kas pusmetį, pradedant nuo antrosios pusės, buvo siūlomas 50 USD didinimas, kitu – 200 USD kasmet, pradedant nuo antrojo. Suteikdami pasirinkimo laisvę, darbdaviai norėjo ne tik sutaupyti iš darbo užmokesčio, bet ir išbandyti, kaip greitai mąsto naujas darbuotojas. Minutę pagalvojęs jis užtikrintai įvardijo padidinimo sąlygas.

Kuris variantas buvo pageidaujamas?

36 problema

Vieną dieną tyrėjas turėjo vienu metu apklausti tris liudininkus: Klodą, Žaką ir Diką. Jų parodymai prieštaravo vienas kitam, ir kiekvienas iš jų apkaltino ką nors meluojant. Claude'as tvirtino, kad Jacques'as meluoja. Jacques'as apkaltino Diką meluojant, o Dikas bandė įtikinti tyrėją netikėti nei Klodu, nei Žaku. Tačiau tyrėjas greitai išvedė juos į viešumą, nepaklausęs nė vieno klausimo.

Kuris liudytojas sakė tiesą?

37 problema

Baisi nelaimė, inspektoriau, sakė muziejaus darbuotoja. - Tu neįsivaizduoji, kaip aš jaudinausi. Aš tau pasakysiu viską iš eilės. Šiandien likau muziejuje dirbti ir susitvarkyti mūsų finansinius reikalus. Tiesiog sėdėjau prie šio stalo ir žiūrėjau sąskaitas, kai staiga dešinėje pusėje pamačiau šešėlį. Langas buvo atidarytas.

O tu negirdėjai ošimo? – paklausė inspektorius.

Visiškai jokios. Radijas grojo muziką, be to, aš buvau per daug aistringas tam, ką darau. Nuleidęs akis nuo karščio pamačiau pro langą iššokantį vyrą. Iš karto įjungiau viršutinę šviesą ir aptikau, kad dingo dvi dėžutės su vertinga monetų kolekcija, kurią atsinešiau į biurą darbo reikalais. Ji siaubingos būklės: juk ši kolekcija įvertinta 10 tūkstančių markių.

Tu tiki, kad aš tikrai; Ar patikėsiu tavo prasimanymais?

Inspektorius irzliai pastebėjo. „Niekam nepavyko manęs suklaidinti, ir tu nebūsi pirmas“.

Kaip inspektorius suprato, kad jį bandoma apgauti?

38 problema

Dingusiojo kūnas rastas suvyniotas į paklodę, ant kurios buvo skalbinių etiketė. Nustatyta šeima, kuri naudojo tokias žymas, tačiau patikrinimo metu paaiškėjo, kad šios šeimos nariai vieni kitų nepažįsta ir su velioniu bei jo artimaisiais nepalaiko. Jokių kitų įrodymų, patvirtinančių jų dalyvavimą žmogžudystėje, nenustatyta.

Ar tikrinimo proceso metu buvo gautos informacijos išsamumo ir teisingumo klaidų?

39 problema

Potapovas, Ščedrinas ir Semenovas tarnauja aviacijos padalinyje. Konovalovas ir Samoilovas. Jų specialybės: pilotas, navigatorius, skrydžio mechanikas, radistas ir orų prognozuotojas.

Nustatykite, kokią specialybę turi kiekvienas iš jų, jei žinomi šie faktai.

Ščedrinas ir Konovalovas nėra susipažinę su orlaivio valdikliais;

Potapovas ir Konovalovas ruošiasi tapti šturmanais; Ščedrino ir Samoilovo butai yra šalia radijo operatoriaus buto;

Semjonas, būdamas poilsio namuose, susitiko su Ščedrinu ir sinoptiko seserimi: Potapovas ir Ščedrinas laisvu nuo darbo laiku žaidžia šachmatais su skrydžio mechaniku ir pilotu; Konovalovas, Semenovas ir sinoptikas mėgsta boksą; Radistas nemėgsta bokso.

40 problema

Neslėpdama nekantrumo suskubo pasitikti sūnėno inspektoriaus besilaukianti teta.

Kažkokia moteris ką tik; ji pagrobė mano piniginę su pinigais ir iškart dingo.

Greičiausiai ji dingo taupyklėje, kurioje buvote jūs“, – pažymėjo inspektorė. - Pabandykime ją surasti.

Ir iš tikrųjų teta iškart pamatė savo krepšį, kuris stovėjo ant suoliuko tarp dviejų moterų. Buvo atskleista. Inspektoriui įdėmiai apžiūrėjus krepšį, abi moterys tai pastebėjusios atsistojo ir nuėjo į kitą kambario galą. Piniginė liko ant suolo.

Bet aš nežinau, kuris pavogė mano krepšį. „Yana neturėjo laiko su ja susitikti“, - sakė jos teta.

- Na, tai nieko, - atsakė sūnėnas. - Tardysime juos abu, bet manau, kad tas, kuris pavogė tavo krepšį, buvo iš...

Kuris?

41 problema

Gavęs pranešimą, kad pilkas „Chevrolet“, kurio valstybiniai numeriai prasideda šešiais, partrenkė moterį ir pabėgo, inspektorius su padėjėja nuvyko į pono, kurio automobilis, panašu, atitiko aprašymą, vilą. Praėjo mažiau nei pusvalandis, kol jie buvo ten.

Priešais namą stovėjo pilkas „Chevrolet“. Pamatęs policiją, savininkas nusileido prie jų su pižama.

„Šiandien niekur nevažiavau“, – pasakė jis, išklausęs inspektorių. - Taip, ir aš negalėjau: vakar pamečiau užvedimo raktelį, o naujas bus paruoštas tik penktadienį.

Padėjėjas, tuo tarpu spėjęs apžiūrėti automobilį, tarstelėjo inspektoriui:

Matyt, jis sako tiesą. Ant automobilio susidūrimo žymių nėra.

Inspektorius, pasirėmęs į automobilio kapotą, atsakė:

Tai nieko nereiškia, smūgis nebuvo stiprus, nes auka gyva. Ir jūsų alibi, pone, man atrodo labai įtartinas. Kodėl tu bandai nuo manęs nuslėpti, kad ką tik atvykai čia būtent šiuo automobiliu?

Kas inspektoriui davė pagrindą įtarti džentelmeną melavimu?

42 problema

Bendrovės prezidentas tyrėjui praneša apie jo namuose įvykdytą vagystę.

Atvykęs į darbą prisiminiau, kad namuose pamiršau reikalingus dokumentus. Namų seifo raktą atidaviau savo padėjėjui ir nusiunčiau pasiimti dokumentų aplanko. Jau seniai dirbame kartu, ilgai juo pasitikėjau, dažnai siųsdavau namo ko nors paimti iš seifo. Tąkart, netrukus išėjus, jis man paskambino telefonu ir pasakė, kad įėjęs į kambarį pamatė, kad sieninio seifo durys atidarytos, o po kabinetą išmėtyti popieriai. Grįžau namo ir sužinojau, kad iš seifo, be išmėtytų dokumentų, dingo papuošalai ir pinigai.

Padėjėjos parodymai: „Kai atvykau, liokajus mane įleido ir aš užlipau į antrą buto aukštą. Įėjęs į kabinetą radau ant grindų išmėtytus popierius ir atidarytas seifo duris. Iš karto paskambinau savo viršininkui ir pranešiau, ką mačiau. Po to iššokau į aikštę ir paskambinau liokajui. Atsakydama į mano verksmą, iš apatiniame aukšte esančios svetainės pasirodė kambarinė ir paklausė, kas atsitiko. Pasakiau jai, ką mačiau. Jai paskambinus, iš kiemo atbėgo liokajus. Kai paklausiau, pasakė, kad išėjus savininkui į butą niekas neatėjo ir jokio triukšmo namuose negirdėjo.“

Liokajaus paaiškino: „Ryte šeimininkui išėjus, pirmame aukšte dirbau įprastą darbą ir nieko nemačiau ir nieko neįprasto negirdėjau. Tarnaitė neišėjo iš virtuvės priešais mane. Kai atvažiavo seniai mane pažinojęs mūsų savininko darbuotojas, jis nuėjo į laiptus į antrą aukštą ir išėjo į kiemą. Po kelių minučių man paskambino virėja ir aš įėjau į namą, kur padėjėja papasakojo apie vagystę iš savininko biuro.

Tarnaitė pasakojo, kad po pusryčių buvo virtuvėje, niekur neėjo, o tik išgirdusi padėjėjos klyksmą išėjo į svetainę. Padėjėjas pranešė apie vagystę name ir paprašė pažinti liokajus.

Paklaustas tyrėjos padėjėjas atsakė, kad kabinete nieko nelietė, išskyrus telefoną, jo nepertvarkė. Liokajaus ir tarnaitė pasakė, kad į kabinetą visai neėjo.

Tyrėja, apžiūrėjusi kabinetą, pirštų pėdsakų ant kabineto durų, seifo durų, daiktų ar telefono ant stalo neaptiko. Apžiūrėjęs seifo durų spyną, specialistas ant jos dalių nerado nei daikto pėdsakų, nei svetimo rakto.

Galime išskirti tokią loginių uždavinių sprendimo veiksmų seką.

1. Iš uždavinio teiginio pasirinkite elementarius (paprastus) teiginius ir pažymėkite juos raidėmis.

2. Užrašykite uždavinio sąlygą loginės algebros kalba, loginėmis operacijomis sujunkite paprastus teiginius į sudėtingus.

3. Sukurkite vieną loginę išraišką užduoties reikalavimams.

4. Naudodamiesi loginės algebros dėsniais, pabandykite supaprastinti gautą išraišką ir apskaičiuoti visas jos reikšmes arba sudaryti nagrinėjamos išraiškos tiesos lentelę.

5. Pasirinkite sprendimą – vertybių rinkinys paprasti teiginiai, kuriuose sukonstruota loginė išraiška yra teisinga.

6. Patikrinkite, ar gautas sprendimas atitinka problemos sąlygas.

Pavyzdys:

1 užduotis:„Bandydami prisiminti praėjusių metų turnyro nugalėtojus, penki buvę turnyro žiūrovai teigė, kad:

1. Antras liko Antonas, penktas – Borisas.

2. Antras liko Viktoras, trečias – Denisas.

3. Gregory buvo pirmas, o Borisas buvo trečias.

4. Antonas buvo trečias, o Jevgenijus – šeštas.

5. Viktoras buvo trečias, o Jevgenijus – ketvirtas.

Vėliau paaiškėjo, kad kiekvienas žiūrovas klydo viename iš dviejų savo teiginių. Koks buvo tikrasis vietų pasiskirstymas turnyre?

1) Pirmąja turnyro dalyvio vardo raide pažymėkime a, jo turimos vietos numerį, t.y. mes turime.

2) 1. ; 3. ; 5. .

3) Viena loginė išraiška visiems užduoties reikalavimams: .

4) formulėje L Atlikime lygiavertes transformacijas, gauname: .

5) Iš 4 punkto seka: , , , , .

6) Vietų pasiskirstymas turnyre: trečias Antonas, penktas Borisas, antras Viktoras, pirmas Grigorijus, ketvirtas Jevgenijus.

2 užduotis:„Ivanovas, Petrovas, Sidorovas stojo prieš teismą dėl kaltinimų plėšimu. Tyrimo metu nustatyta:

1. jei nekaltas Ivanovas arba kaltas Petrovas, tai kaltas Sidorovas;

2. jei Ivanovas nekaltas, tai ir Sidorovas nekaltas.

Ar Ivanovas kaltas?

1) Apsvarstykite šiuos teiginius:

A: „Ivanovas kaltas“, IN: "Petrovas kaltas" SU: „Sidorovas kaltas“.

2) Tyrimo metu nustatyti faktai: , .

3) Viena loginė išraiška: . Tai tiesa.

Sukurkime tam tiesos lentelę.

A	IN	SU	L

Išspręsti problemą reiškia nurodyti, kokiomis A reikšmėmis gautas kompleksinis teiginys L yra teisingas. Jei , a , tai tyrimas neturi pakankamai faktų, kad Ivanovas būtų apkaltintas nusikaltimu. Lentelės analizė rodo ir, t.y. Ivanovas kaltas dėl apiplėšimo.

Klausimai ir užduotys.

1. Sudarykite RKS formulėms:

2. Supaprastinkite RKS:

3. Naudodami šią perjungimo grandinę sukonstruokite atitinkamą loginę formulę.

4. Patikrinkite RKS lygiavertiškumą:

5. Sukonstruoti trijų jungiklių ir lemputės grandinę taip, kad lemputė užsidegtų tik tada, kai lygiai du jungikliai yra „įjungta“ padėtyje.

6. Naudodamiesi šia laidumo lentele, sukonstruokite funkcinių elementų grandinę su trimis įėjimais ir vienu išėjimu, įgyvendindami formulę.

x	y	z	F

7. Išanalizuokite paveikslėlyje parodytą diagramą ir užrašykite funkcijos formulę F.

8. Problema: „Kartą tyrėjas turėjo vienu metu apklausti tris liudytojus: Klodą, Žaką, Diką. Jų parodymai prieštaravo vienas kitam, ir kiekvienas iš jų apkaltino ką nors meluojant.

1) Claude'as teigė, kad Žakas meluoja.

2) Žakas apkaltino Diką melu.

3) Dikas bandė įtikinti tyrėją netikėti nei Klodu, nei Žaku.

Tačiau tyrėjas greitai juos iškėlė į dienos šviesą, neuždavęs nė vieno klausimo. Kuris liudytojas sakė tiesą?

9. Nustatykite, kuris iš keturių mokinių išlaikė egzaminą, jei žinoma, kad:

1) Jei praeina pirmasis, tada praeina antrasis.

2) Jei praėjo antrasis, tai trečias praėjo arba pirmasis neišlaikė.

3) Jei ketvirtas neišlaikė, tai pirmasis išlaikė, o trečias neišlaikė.

4) Jei praeina ketvirtas, tada praeina pirmasis.

10. Į klausimą, kuris iš trijų studentų studijavo logiką, gautas atsakymas: jei studijavo pirmą, tai studijavo trečią, bet netiesa, kad jei studijavo antrą, tai studijavo trečią. Kas studijavo logiką?

. 18 metų.

Sprendimas

Pirmas būdas . Remdamiesi problemos sąlygomis, galite sudaryti lygtį. Tegul Dimos amžius yra x metų, tada sesers amžius yra x/3, o brolio - x/2; (x + x/3 + x/2): 3 = 11. Išsprendę šią lygtį nustatome, kad x=18. Dimai sukako 18 metų. Bus naudinga pateikti šiek tiek kitokį sprendimą „dalimis“.

Antras būdas . Jei Dimo, jo brolio ir sesers amžius vaizduojamas segmentais, tai „Dimo segmentas“ susideda iš dviejų „brolio segmentų“ arba trijų „seserės segmentų“. Tada, jei Dimos amžius yra padalintas į 6 dalis, tai sesers amžius yra dvi tokios dalys, o brolio - trys tokios dalys. Tada jų amžiaus suma yra 11 tokių dalių. Kita vertus, jei vidutinio amžiaus yra 11 metų, tada amžių suma yra 33 metai. Iš to išplaukia, kad vienoje dalyje yra treji metai. Tai reiškia, kad Dima yra 18 metų.

Tikrinimo kriterijai .

Visiškai teisingas sprendimas - 7 taškų.

Lygtis sudaryta teisingai, tačiau sprendime buvo padaryta klaidų - 3 taškų .

Pateikiamas teisingas atsakymas ir atliktas patikrinimas - 2 taškų .

0 taškų .

Atsakymas . Samas Grėjus.

Sprendimas .

Iš problemos sąlygų matyti, kad kiekvieno iš liudytojų parodymai yra dėl kitų dviejų liudytojų parodymų. Apsvarstykite Bobo Blacko pareiškimą. Jei tai, ką jis sako, yra tiesa, tada Samas Grėjus ir Džonas Vaitas meluoja. Tačiau tai, kad Džonas Vaitas meluoja, reiškia, kad ne visi Samo Grėjaus parodymai yra visiškas melas. Ir tai prieštarauja Bobo Blacko, kuriuo mes pasirenkame tikėti ir kuris tvirtina, kad Samas Grėjus meluoja, žodžiams. Taigi tai, ką pasakė Bobas Blackas, negali būti tiesa. Tai reiškia, kad jis melavo, ir mes turime priimti Samo Grėjaus žodžius kaip tikrus, taigi ir Johno White'o teiginius kaip melą. Atsakymas: Samas Grėjus nemelavo.

Tikrinimo kriterijai .

Pateikiama visa teisinga probleminės situacijos analizė ir pateikiamas teisingas atsakymas - 7 taškų .

Pateikiama pilna teisinga situacijos analizė, tačiau dėl tam tikrų priežasčių pateikiamas neteisingas atsakymas (pavyzdžiui, vietoj to, kas NEMEELĖ, atsakyme nurodomi tie, kurie melavo) - 6 taškų .

Pateikiama teisinga situacijos analizė, bet kažkodėl nepateikiamas teisingas atsakymas (pavyzdžiui, įrodyta, kad Bobas Blackas melavo, bet daugiau išvadų nedaroma) – 4 taškų .

Pateikiamas teisingas atsakymas ir parodoma, kad jis atitinka problemos sąlygas (atlikta patikra), tačiau neįrodyta, kad atsakymas yra vienintelis - 3 taškų .

1 tašką .

0 taškų .

Atsakymas . Vienas skaičius 175.

Sprendimas . Pirmas būdas . Skaičiams rašyti naudojami skaitmenys neturi skaičiaus 0, kitaip užduoties sąlyga negali būti įvykdyta. Duota trijų skaitmenų skaičius gaunamas jos skaitmenų sandaugą padauginus iš 5, todėl dalijasi iš 5. Tai reiškia, kad jo žymėjimas baigiasi skaičiumi 5. Gauname, kad skaitmenų sandauga, padauginta iš 5, turi dalytis iš 25. Atkreipkite dėmesį, kad negali būti skaičių žymėjime turi būti lyginiai skaitmenys, kitaip skaitmenų sandauga būtų lygi nuliui. Taigi triženklis skaičius turi dalytis iš 25 ir jame neturi būti lyginių skaitmenų. Tokių skaičių yra tik penki: 175, 375, 575, 775 ir 975. Norimo skaičiaus skaitmenų sandauga turi būti mažesnė nei 200, kitu atveju, padauginus iš 5, bus gautas keturženklis skaičius. Todėl skaičiai 775 ir 975 akivaizdžiai netinka. Iš likusių trijų skaičių tik 175 atitinka problemos sąlygas. Antras būdas. Atkreipkite dėmesį (panašiai kaip pirmojo sprendimo būdu), kad paskutinis norimo skaičiaus skaitmuo yra 5. Tegua , b , 5 – norimo skaičiaus skaitmenys iš eilės. Pagal problemos sąlygas turime: 100a + 10 b + 5 = a · b ·5·5. Abi lygties puses padalijus iš 5, gauname: 20a + 2 b + 1 = 5 ab . Iš abiejų lygties pusių atėmę 20a ir išėmę bendrą koeficientą dešinėje, gauname: 2b + 1 = 5 a (b – 4 a) (1 ). Atsižvelgiant į tai a Ir b gali paimti gamtines vertes nuo 1 iki 9, tai ir gauname galimas vertes a – tik 1 arba 2. Bet a=2 netenkina lygybės (1 ), kurio kairėje pusėje yra nelyginis skaičius, o dešinėje, pakeitus a=2, gaunamas lyginis skaičius. Taigi vienintelė galimybė yra a=1. Šios reikšmės pakeitimas į (1 ), gauname: 2 b + 1 = 5 b– 20, iš kur b =7. Atsakymas: vienintelis reikalingas skaičius yra 175.

Tikrinimo kriterijai .

Visiškai teisingas sprendimas - 7 taškų .

Gaunamas teisingas atsakymas ir yra argumentų, kurie gerokai sumažina variantų paiešką, tačiau pilnas sprendimas ne - 4 taškų .

Teisingai sudaryta lygtis ir pateikiamos transformacijos bei samprotavimai uždaviniui išspręsti, tačiau sprendimas nebaigtas - 4 taškų .

Variantų sąrašas yra sumažintas, tačiau nėra paaiškinimo, kodėl, ir nurodomas teisingas atsakymas - 3 taškų .

Lygtis teisinga, bet problema neišspręsta - 2 taškų .

Sprendime yra samprotavimų, leidžiančių neįtraukti į svarstymą bet kokius skaičius arba atsižvelgti į skaičius su tam tikromis savybėmis (pavyzdžiui, besibaigiančius skaičiumi 5), tačiau sprendime nėra jokios tolesnės pažangos - 1 tašką .

Pateikiamas tik teisingas atsakymas arba patikrintas atsakymas - 1 tašką .

Atsakymas . 75° .

Sprendimas . Apsvarstykite trikampį AOC, kur O yra apskritimo centras. Šis trikampis yra lygiašonis, nes OC ir OA yra spinduliai. Taigi, pagal turtą lygiašonis trikampis, kampai A ir C yra lygūs. Nubrėžkime statmeną CM į kraštinę AO ir apsvarstykime stačiakampis trikampis Privalomasis sveikatos draudimas. Pagal problemos sąlygas kojos CM yra pusė hipotenuzės OS. Tai reiškia, kad kampas COM yra 30°. Tada pagal trikampio kampų sumos teoremą nustatome, kad kampas CAO (arba CAB) yra lygus 75°.

Tikrinimo kriterijai .

Teisingas, pagrįstas problemos sprendimas – 7 taškų.

Pateikiamas teisingas samprotavimas, kuris yra problemos sprendimas, tačiau dėl tam tikrų priežasčių pateikiamas neteisingas atsakymas (pavyzdžiui, vietoj kampo CAO nurodomas kampas COA) - 6 taškų.

Paprastai pateikiami teisingi motyvai, kuriuose buvo padarytos klaidos, kurios nėra esminės sprendimo esmei, ir pateikiamas teisingas atsakymas - 5 taškų.

Teisingas problemos sprendimas pateikiamas nesant pagrindimo: nurodomos visos tarpinės išvados, nenurodant sąsajų tarp jų (nuorodos į teoremas ar apibrėžimus) – 4 taškų.

Brėžinyje buvo padarytos papildomos konstrukcijos ir užrašai, iš kurių aiški sprendimo eiga, pateiktas teisingas atsakymas, tačiau nepateiktas pats samprotavimas - 3 taškų.

Pateikiamas teisingas atsakymas už neteisingą samprotavimą - 0 taškų.

Pateikiamas tik teisingas atsakymas - 0 taškų.

Atsakymas . Žiūrėti paveikslėlį.

Sprendimas . Transformuokime šią lygtį pasirinkdami visą kvadratą po šaknies ženklu: . Dešinėje pusėje esanti išraiška turi prasmę tik tada, kai x = 9. Pakeitę šią reikšmę į lygtį, gauname: 9 2 – y 4 = 0. Išskaidykime kairę pusę: (3 –y)(3 + y)(9 + y 2 ) = 0. Kur y= 3 arba y = –3. Tai reiškia, kad tik dviejų taškų (9; 3) arba (9; –3) koordinatės tenkina šią lygtį. Lygties grafikas parodytas paveiksle.

Patikrinimo kriterijai.

Atliktos teisingos transformacijos ir samprotavimai, o grafikas buvo teisingai sudarytas - 7 taškų.

Buvo atlikti teisingi konvertavimai, tačiau prasmė prarasta y = –3; vienas taškas nurodomas kaip grafikas -3 taškų.

Galimai yra nurodytas vienas ar du tinkami taškai su patikrinimu, bet be kitų paaiškinimų arba po neteisingų pakeitimų -1 tašką.

Buvo atliktos teisingos transformacijos, tačiau buvo paskelbta, kad išraiška po šaknimi (arba dešinėje pusėje po kvadratūros) yra neigiama, o grafikas yra tuščias taškų rinkinys - 1 tašką.

Buvo atliktas samprotavimas, dėl kurio buvo nurodyti du taškai, tačiau šie taškai yra tam tikru būdu sujungti (pavyzdžiui, atkarpa) - 1 tašką.

Nurodomi du taškai be paaiškinimo, kurie kažkaip susiję - 0 taškų.

Kitais atvejais - 0 taškų.

Antrojo olimpiados etapo užduočių atsakymai

Atsakymas . Jie gali.

Sprendimas . Jei a = , b = - , tai a = b+1 ir a 2 = b 2

Taip pat galite išspręsti lygčių sistemą:

Patikrinimo kriterijai.

Teisingas atsakymas su skaičiais a Ir b – 7 taškų .

Buvo sudaryta lygčių sistema, tačiau ją sprendžiant buvo padaryta aritmetinė klaida - 3 taškų .

Vienintelis atsakymas yra 1 tašką .

Atsakymas . Per 12 sekundžių .

Sprendimas . Tarp pirmo ir ketvirto aukštų yra 3 skrydžiai, o tarp penkto ir pirmo aukštų – 4. Pagal būklę Petya skrenda 4 skrydžiais 2 sekundėmis ilgiau nei jo mama keliauja liftu, o trys skrydžiai yra 2 sekundėmis greičiau nei jo mama. Tai reiškia, kad Petya vieną skrydį įvykdo per 4 sekundes. Tada Petya iš ketvirto aukšto į pirmąjį (t.y. 3 skrydžiai) nubėga per 4*3=12 sekundžių.

Patikrinimo kriterijai.

Teisingas atsakymas su visu sprendimu - 7 taškų .

Paaiškinta, kad vienam skrydžiui reikia 4 sekundžių, atsakymas nurodo 4 sekundes - 5 taškų .

Teisingas pagrindimas grindžiamas prielaida, kad kelias iš penkto aukšto į pirmąjį yra 1,25 karto ilgesnis nei kelias iš ketvirto aukšto į pirmąjį, o atsakymas yra 16 sekundžių. 3 taškų .

Vienintelis atsakymas yra 0 taškų .

Atsakymas . Žiūrėti paveikslėlį.

Sprendimas . Nes X 2 =| X | 2 , tada =| X |, ir x≠ 0.

Be to, naudojant modulio apibrėžimą, galima gauti tai (x = 0 funkcija neapibrėžta).

Patikrinimo kriterijai.

Teisingas grafikas su paaiškinimu - 7 taškų .

Tikras grafikas be jokio paaiškinimo - 5 taškų .

Funkcijos grafikas =|x| be pradurto taško -3 taškų .

Atsakymas . Taip .

Sprendimas . Pasiskirstykime duota aikštė 5 tiesių linijų kraštinė, lygiagreti jo kraštams, į 25 kvadratus, kurių kraštinė yra 1 (žr. pav.). Jei kiekviename tokiame kvadrate būtų ne daugiau kaip 4 pažymėti taškai, tai iš viso būtų pažymėta ne daugiau kaip 25 * 4 = 100 taškų, o tai prieštarauja sąlygai. Todėl bent viename iš gautų kvadratų turi būti 5 pažymėti taškai.

Patikrinimo kriterijai.

Teisingas sprendimas yra 7 taškų .

Vienintelis atsakymas yra 0 taškų .

Atsakymas . Aštuoni būdai.

Sprendimas . Iš punkto a) seka, kad visų taškų, turinčių sveikųjų skaičių koordinates, spalvą vienareikšmiškai lemia taškų, atitinkančių skaičius 0, 1, 2, 3, 4, 5 ir 6, spalva. Taškas 0=14-2*7 turėtų būti nuspalvinta taip pat kaip 14, tie. raudona. Panašiai taškas 1=71-107 turi būti nudažytas mėlynai, taškas 3=143-20*7 – mėlynai, o 6=20-2*7 – raudonai. Todėl belieka suskaičiuoti, kiek įvairiais būdais galite nuspalvinti taškus atitinkančius skaičius 2, 4 ir 5. Kadangi kiekvienas taškas gali būti nudažytas dviem būdais – raudona arba mėlyna – iš viso yra 2*2*2=8 būdai. Pastaba. Skaičiuodami 2, 4 ir 5 taškų spalvinimo būdų skaičių, galite tiesiog išvardyti visus būdus, pavyzdžiui, lentelės pavidalu:

Tikrinimo kriterijai .

Teisingas atsakymas su teisingu pagrindimu - 7 taškų .

Problema buvo sumažinta iki 3 taškų spalvinimo būdų skaičiavimo, tačiau atsakymas buvo 6 arba 7 - 4 taškų .

Užduotis sumažinama iki 3 taškų nuspalvinimo būdų skaičiavimo, tačiau būdų skaičius neskaičiuojamas arba gautas atsakymas skiriasi nuo anksčiau nurodytų - 3 taškų .

Atsakymas (įskaitant teisingą) be pagrindimo - 0 taškų .

Atsakymas . 4 kartus.

Sprendimas .

Nubrėžkime atkarpas MK ir AC . Keturkampis MVKE susideda iš

trikampiai MVK ir MKE , ir keturkampis AESD – iš trikampių

1 būdu . Trikampiai MVK ir ACD – stačiakampio formos, o pirmosios kojos yra 2 kartus mažesnės nei antrosios, todėl jos yra panašios, o trikampio plotas yra ACD 4 kartus daugiau ploto trikampis MVK. Nes M ir K – atitinkamai AB ir BC viduriai, tada MK– , todėl MK || AS ir MK = 0,5 AC . Iš tiesių MK ir AC lygiagretumo išplaukia panašumas

trikampiai MKE ir AEC, ir todėl panašumo koeficientas yra 0,5, tada trikampio AEC plotas yra 4 kartus didesnis už trikampio MKE plotą. Dabar: S AES D =SAEC+SACD= 4 SMKE+ 4 SMBK = 4 (SMKE+SMBK)= 4 SMBKE.

2 būdu . Tegul stačiakampio ABC plotasD lygus S. Tada trikampio AC plotasD lygus ( stačiakampio įstrižainė padalija jį į dvi dalis lygus trikampis), o trikampio MVK plotas lygus MV×VK=T.k. M ir K – atkarpų AB ir BC vidurio taškai, tada AK ir SM – trikampio ABC mediana, todėl E – trikampio ABC medianų susikirtimo taškas, tie. atstumas nuo E iki AC yrah, Kur h – trikampio ABC aukštis, nubrėžtas iš viršūnės B. Tada trikampio AEC plotas yra. Tada keturkampio AES plotuiD, lygi trikampių AEC ir AC plotų sumaiD, gauname: Kitas, nes MK– trikampio ABC vidurio linija, tada trikampio MKE plotas lygus* h -* h ) = h )=(AC * h )== S . Todėl keturkampio MVKE plotui, lygi trikampių MVK ir MKE plotų sumai, gauname:. Taigi keturkampių plotų santykis AESD ir MVKE lygi.

Patikrinimo kriterijai.

Teisingas sprendimas ir teisingas atsakymas -7 taškų .

Teisingas sprendimas, bet atsakymas neteisingas dėl aritmetinės klaidos -5 taškų .

5. REZULTATŲ SUVESTINIMAS IR NUGALĖTOJŲ APDOVANOJIMAS

Galutinius atliktų konkursinių užduočių rodiklius nustato vertinimo komisijapagal parengtus vertinimo kriterijus;

Olimpiados nugalėtojams, nustatytiems pagal didžiausią taškų skaičių,įsteigti trys prizai;

Varžybų rezultatai dokumentuojami olimpiados organizatoriaus ataskaitoje.

Nugalėtojai apdovanojami diplomais ir vertingomis dovanomis.

Nesutikdamas su komisijos pateiktu vertinimu, dalyvis gali pateiktiraštu pateikti apeliaciją per valandą nuo rezultatų paskelbimo.

Konkurso viešumas užtikrinamas – remiantis konkurso rezultatais,nugalėtojai.

Galime išskirti tokią loginių uždavinių sprendimo veiksmų seką.

1. Iš uždavinio teiginio pasirinkite elementarius (paprastus) teiginius ir pažymėkite juos raidėmis.

2. Užrašykite uždavinio sąlygą loginės algebros kalba, loginėmis operacijomis sujunkite paprastus teiginius į sudėtingus.

3. Sukurkite vieną loginę išraišką užduoties reikalavimams.

4. Naudodamiesi loginės algebros dėsniais, pabandykite supaprastinti gautą išraišką ir apskaičiuoti visas jos reikšmes arba sudaryti nagrinėjamos išraiškos tiesos lentelę.

5. Pasirinkite sprendimą – vertybių rinkinys paprasti teiginiai, kuriuose sukonstruota loginė išraiška yra teisinga.

6. Patikrinkite, ar gautas sprendimas atitinka problemos sąlygas.

Pavyzdys:

1 užduotis:„Bandydami prisiminti praėjusių metų turnyro nugalėtojus, penki buvę turnyro žiūrovai teigė, kad:

1. Antras liko Antonas, penktas – Borisas.

2. Antras liko Viktoras, trečias – Denisas.

3. Gregory buvo pirmas, o Borisas buvo trečias.

4. Antonas buvo trečias, o Jevgenijus – šeštas.

5. Viktoras buvo trečias, o Jevgenijus – ketvirtas.

Vėliau paaiškėjo, kad kiekvienas žiūrovas klydo viename iš dviejų savo teiginių. Koks buvo tikrasis vietų pasiskirstymas turnyre?

1) Pirmąja turnyro dalyvio vardo raide pažymėkime a, jo turimos vietos numerį, t.y. mes turime.

2) 1. ; 3. ; 5. .

3) Viena loginė išraiška visiems užduoties reikalavimams: .

4) formulėje L Atlikime lygiavertes transformacijas, gauname: .

5) Iš 4 punkto išplaukia: , .

6) Vietų pasiskirstymas turnyre: trečias Antonas, penktas Borisas, antras Viktoras, pirmas Grigorijus, ketvirtas Jevgenijus.

2 užduotis:„Ivanovas, Petrovas, Sidorovas stojo prieš teismą dėl kaltinimų plėšimu. Tyrimo metu nustatyta:

1. jei nekaltas Ivanovas arba kaltas Petrovas, tai kaltas Sidorovas;

2. jei Ivanovas nekaltas, tai ir Sidorovas nekaltas.

Ar Ivanovas kaltas?

1) Apsvarstykite šiuos teiginius:

A: „Ivanovas kaltas“, IN: "Petrovas kaltas" SU: „Sidorovas kaltas“.

2) Tyrimo metu nustatyti faktai: , .

3) Viena loginė išraiška: . Tai tiesa.

Sukurkime tam tiesos lentelę.

A	IN	SU	L

Išspręsti problemą reiškia nurodyti, kokiomis A reikšmėmis gautas kompleksinis teiginys L yra teisingas. Jei taip, tai tyrimas neturi pakankamai faktų, kad Ivanovas būtų apkaltintas nusikaltimu. Lentelės analizė rodo ir, t.y. Ivanovas kaltas dėl apiplėšimo.

Klausimai ir užduotys.

1. Sudarykite RKS formulėms:

2. Supaprastinkite RKS:

3. Naudodami šią perjungimo grandinę sukonstruokite atitinkamą loginę formulę.

4. Patikrinkite RKS lygiavertiškumą:

5. Sukonstruoti trijų jungiklių ir lemputės grandinę taip, kad lemputė užsidegtų tik tada, kai lygiai du jungikliai yra „įjungta“ padėtyje.

6. Naudodamiesi šia laidumo lentele, sukonstruokite funkcinių elementų grandinę su trimis įėjimais ir vienu išėjimu, kuris įgyvendina formulę.

x	y	z	F

7. Išanalizuokite paveikslėlyje parodytą diagramą ir užrašykite funkcijos formulę F.

8. Problema: „Kartą tyrėjas turėjo vienu metu apklausti tris liudytojus: Klodą, Žaką, Diką. Jų parodymai prieštaravo vienas kitam, ir kiekvienas iš jų apkaltino ką nors meluojant.

1) Claude'as teigė, kad Žakas meluoja.

2) Žakas apkaltino Diką melu.

3) Dikas bandė įtikinti tyrėją netikėti nei Klodu, nei Žaku.

Tačiau tyrėjas greitai juos iškėlė į dienos šviesą, neuždavęs nė vieno klausimo. Kuris liudytojas sakė tiesą?

9. Nustatykite, kuris iš keturių mokinių išlaikė egzaminą, jei žinoma, kad:

1) Jei praeina pirmasis, tada praeina antrasis.

2) Jei praėjo antrasis, tai trečias praėjo arba pirmasis neišlaikė.

3) Jei ketvirtas neišlaikė, tai pirmasis išlaikė, o trečias neišlaikė.

4) Jei praeina ketvirtas, tada praeina pirmasis.

1. a) ( disjunkcijos komutatyvumas );

b)

(jungtuko komutatyvumas );

2. a) ( disjunkcijos asociatyvumas );

b) ( jungtukas asociatyvumas );

3. a) ( disjunkcijos pasiskirstymas konjunkcijos atžvilgiu );

b) ( konjunkcijos pasiskirstymas disjunkcijos atžvilgiu );

4.

Ir

–de Morgano dėsniai .

5.

;

;

;

6.

(arba

) (išskiriamo vidurio dėsnis );

(arba

(prieštaravimo dėsnis );

7.

(arba

);

(arba

);

(arba

);

(arba

).

Pateiktos savybės dažniausiai naudojamos loginėms formulėms transformuoti ir supaprastinti. Čia pateikiamos tik trijų loginių operacijų savybės (disjunkcija, konjunkcija ir neigimas), bet toliau bus parodyta, kad jomis galima išreikšti visas kitas operacijas.

Loginių jungčių pagalba galite sudaryti logines lygtis ir spręsti logines užduotis taip pat, kaip aritmetinės problemos sprendžiamos naudojant įprastų lygčių sistemas.

Pavyzdys. Vieną dieną tyrėjas turėjo vienu metu apklausti tris liudininkus: Klodą, Žaką ir Diką. Jų parodymai prieštaravo vienas kitam, ir kiekvienas iš jų apkaltino ką nors meluojant. Claude'as tvirtino, kad Žakas meluoja, Jacques'as apkaltino Diką melavimu, o Dikas įtikino tyrėją netikėti nei Klodu, nei Žaku. Tačiau tyrėjas greitai juos iškėlė į dienos šviesą, neuždavęs nė vieno klausimo. Kuris liudytojas sakė tiesą?

Sprendimas. Pažvelkime į teiginius:

(Klodas sako tiesą);

(Žakas sako tiesą);

(Dikas sako tiesą).

Mes nežinome, kurie iš jų yra teisingi, bet žinome šiuos dalykus:

1) arba Klodas pasakė tiesą, o tada Žakas melavo, arba Klodas melavo, o tada Žakas pasakė tiesą;

2) arba Žakas pasakė tiesą, o paskui Dikas melavo, arba Žakas melavo, o paskui Dikas pasakė tiesą;

3) arba Dikas pasakė tiesą, o tada Klodas ir Žakas melavo, arba Dikas melavo, ir tada netiesa, kad abu kiti liudininkai melavo (t. y. bent vienas iš šių liudininkų pasakė tiesą).

Išreikškime šiuos teiginius lygčių sistemos forma:

Uždavinio sąlyga bus įvykdyta, jei šie trys teiginiai vienu metu yra teisingi, o tai reiškia, kad jų konjunkcija yra teisinga. Padauginkime šias lygybes (ty paimkime jų jungtį)

Bet

jei ir tik tada

, A

. Todėl Žakas sako tiesą, o Klodas ir Dikas meluoja.

Bet koks -nario operacija, žymima, pavyzdžiui,

, bus visiškai nustatyta, jei bus nustatyta, kokiomis teiginių reikšmėmis

rezultatas bus teisingas arba klaidingas. Vienas iš būdų nurodyti tokią operaciją yra užpildyti verčių lentelę:

Teiginio reikšmių lentelėje, suformuotoje iš paprasti posakiai

, prieinama linijos. Vertės stulpelyje taip pat yra pozicijų. Todėl yra

skirtingos jo užpildymo galimybės ir atitinkamai visų skaičius -nario operacijos yra lygios

. At

vienkartinių operacijų skaičius yra 4, su

dvinarių skaičius yra 16, su

trijų kadencijų skaičius – 256 ir kt.

Pažvelkime į keletą specialių formulių tipų.

Formulė vadinama elementarioji jungtis , jei tai kintamųjų ir kintamųjų neigimo konjunkcija. Pavyzdžiui, formulės ,

,

,

– elementarieji jungtukai.

Formulė, vaizduojanti elementariųjų jungtukų disjunkciją (galbūt vienanarė) vadinama disjunkcinė normalioji forma (D.N.F.). Pavyzdžiui, formulės ,

,

.

1 teorema(apie sumažinimą iki D.N.F.). Bet kuriai formulei , kuris yra mokslų daktaras. f. .

Ši teorema ir sekanti 2 teorema bus įrodyta kitame skyriuje. Taikant šias teoremas, galima standartizuoti loginių formulių formą.

Formulė vadinama elementari disjunkcija , jei tai kintamųjų disjunkcija ir kintamųjų neigimas. Pavyzdžiui, formulės

,

,

ir tt

Formulė, kuri yra elementariųjų disjunkcijų konjunkcija (galbūt vienanarė), vadinama jungtinė normalioji forma (PhD). Pavyzdžiui, formulės

,

.

2 teorema(apie sumažinimą iki daktaro laipsnio). Bet kuriai formulei galima rasti lygiavertę formulę , kuris yra mokslų daktaras. f.

Vieną dieną tyrėjas turėjo vienu metu apklausti tris liudininkus: Klodą, Žaką ir Diką. Jų parodymai prieštaravo vienas kitam, ir kiekvienas iš jų apkaltino ką nors meluojant. Claude'as tvirtino, kad Žakas meluoja, Jacques'as apkaltino Diką melavimu, o Dikas įtikino tyrėją netikėti nei Klodu, nei Žaku. Tačiau tyrėjas greitai juos iškėlė į dienos šviesą, neuždavęs nė vieno klausimo. Kuris iš liudininkų sakė tiesą?

Ilja Muromets, Dobrynya Nikitich ir Alyosha Popovich už ištikimą tarnybą gavo 6 monetas: 3 aukso ir 3 sidabro. Kiekvienas gavo po dvi monetas. Ilja Murometsas nežino, kurios monetos atiteko Dobrynyai, o kurios Aliošai, tačiau žino, kokias monetas gavo. Sugalvokite klausimą, į kurį Ilja Muromets atsakys „taip“, „ne“ arba „nežinau“, o į kurį atsakydami galite suprasti, kokias monetas jis gavo

Silogizmų taisyklės 1. Silogizmą turi sudaryti tik trys teiginiai ir tik trys terminai. ZhG Visi ekskursantai pabėgo į skirtingos pusės, Petrovas yra ekskursantas, vadinasi, pabėgo į skirtingas puses. 3. Jeigu abi prielaidos yra privatūs teiginiai, tai išvados daryti negalima. 2. Jei viena iš prielaidų yra privatus pareiškimas, tada išvada turi būti privati. 4. Jei viena iš prielaidų yra neigiamas teiginys, tai išvada yra neigiamas teiginys. 5. Jei abi prielaidos yra neigiami teiginiai, tada išvados daryti negalima. 6. Vidurinis terminas turi būti paskirstytas bent vienoje iš premisų. 7. Terminas negali būti išskirstytas išvadoje, jei jis nepaskirstytas prielaidoje.

Visos katės turi keturias kojas. Visi šunys turi keturias kojas. Visi šunys yra katės. Visi žmonės yra mirtingi. Visi šunys nėra žmonės. Šunys yra nemirtingi (ne mirtingi). Ukraina užima didžiulę teritoriją. Krymas yra Ukrainos dalis. Krymas užima didžiulę teritoriją

35 problema

Kuris variantas buvo pageidaujamas?

36 problema

Kuris liudytojas sakė tiesą?

37 problema

O tu negirdėjai ošimo? – paklausė inspektorius.

Tu tiki, kad aš tikrai; Ar patikėsiu tavo prasimanymais?

Inspektorius irzliai pastebėjo. „Niekam nepavyko manęs suklaidinti, ir tu nebūsi pirmas“.

Kaip inspektorius suprato, kad jį bandoma apgauti?

38 problema

Ar tikrinimo proceso metu buvo gautos informacijos išsamumo ir teisingumo klaidų?

39 problema

Potapovas, Ščedrinas ir Semenovas tarnauja aviacijos padalinyje. Konovalovas ir Samoilovas. Jų specialybės: pilotas, navigatorius, skrydžio mechanikas, radistas ir orų prognozuotojas.

Nustatykite, kokią specialybę turi kiekvienas iš jų, jei žinomi šie faktai.

Ščedrinas ir Konovalovas nėra susipažinę su orlaivio valdikliais;

Potapovas ir Konovalovas ruošiasi tapti šturmanais; Ščedrino ir Samoilovo butai yra šalia radijo operatoriaus buto;

40 problema

Neslėpdama nekantrumo suskubo pasitikti sūnėno inspektoriaus besilaukianti teta.

Kažkokia moteris ką tik; ji pagrobė mano piniginę su pinigais ir iškart dingo.

Greičiausiai ji dingo taupyklėje, kurioje buvote jūs“, – pažymėjo inspektorė. - Pabandykime ją surasti.

Bet aš nežinau, kuris pavogė mano krepšį. „Yana neturėjo laiko su ja susitikti“, - sakė jos teta.

- Na, tai nieko, - atsakė sūnėnas. - Tardysime juos abu, bet manau, kad tas, kuris pavogė tavo krepšį, buvo iš...

Kuris?

41 problema

Priešais namą stovėjo pilkas „Chevrolet“. Pamatęs policiją, savininkas nusileido prie jų su pižama.

„Šiandien niekur nevažiavau“, – pasakė jis, išklausęs inspektorių. - Taip, ir aš negalėjau: vakar pamečiau užvedimo raktelį, o naujas bus paruoštas tik penktadienį.

Padėjėjas, tuo tarpu spėjęs apžiūrėti automobilį, tarstelėjo inspektoriui:

Matyt, jis sako tiesą. Ant automobilio susidūrimo žymių nėra.

Inspektorius, pasirėmęs į automobilio kapotą, atsakė:

Kas inspektoriui davė pagrindą įtarti džentelmeną melavimu?

42 problema

Bendrovės prezidentas tyrėjui praneša apie jo namuose įvykdytą vagystę.

Paklaustas tyrėjos padėjėjas atsakė, kad kabinete nieko nelietė, išskyrus telefoną, jo nepertvarkė. Liokajaus ir tarnaitė pasakė, kad į kabinetą visai neėjo.

Vieną dieną tyrėjas turėjo vienu metu apklausti tris liudininkus: Klodą, Žaką ir Diką. Jų parodymai prieštaravo vienas kitam, ir kiekvienas iš jų apkaltino ką nors meluojant. Claude'as tvirtino, kad Žakas meluoja, Jacques'as apkaltino Diką melavimu, o Dikas įtikino tyrėją netikėti nei Klodu, nei Žaku. Tačiau tyrėjas greitai juos iškėlė į dienos šviesą, neuždavęs nė vieno klausimo. Kuris iš liudininkų sakė tiesą?

Silogizmų taisyklės 1. Silogizmą turi sudaryti tik trys teiginiai ir tik trys terminai. ZhG Visi ekskursantai pabėgo į skirtingas puses, Petrovas yra ekskursantas, vadinasi, pabėgo į skirtingas puses. 3. Jeigu abi prielaidos yra privatūs teiginiai, tai išvados daryti negalima. 2. Jei viena iš prielaidų yra privatus pareiškimas, tada išvada turi būti privati. 4. Jei viena iš prielaidų yra neigiamas teiginys, tai išvada yra neigiamas teiginys. 5. Jei abi prielaidos yra neigiami teiginiai, tada išvados daryti negalima. 6. Vidurinis terminas turi būti paskirstytas bent vienoje iš premisų. 7. Terminas negali būti paskirstytas išvadoje, jei jis nepaskirstytas prielaidoje.