Bezouto teorema, nepaisant akivaizdaus paprastumo ir akivaizdumo, yra viena iš pagrindinių daugianario teorijos teoremų. Šioje teoremoje polinomų algebrinės charakteristikos (jie leidžia dirbti su daugianariais kaip sveikaisiais skaičiais) yra susietos su jų funkcinėmis charakteristikomis (kurios leidžia laikyti daugianario funkcijomis).
Bezouto teorema teigia, kad liekana dalijant daugianarį iš daugianario yra .
Polinomo koeficientai yra kokiame nors komutuojančiame žiede su vienetu (pavyzdžiui, realiųjų arba kompleksinių skaičių lauke).
Bezout teorema – įrodymas.
Padalinkite daugianarį su likusia dalimi P(x)į daugianarį (x-a):
Remiantis tuo, kad laipsnis R(x)< deg (x-a) = 1
- daugianario laipsnis ne didesnis už nulį. Mes pakeičiame, nes gauname 
.
Tačiau svarbiausia ne teorema, o Bezouto teoremos pasekmė:
1. Skaičius yra daugianario šaknis P(x) tada ir tik tada P(x) dalijasi iš dvinario be liekanos x-a.
Remiantis tuo, daugianario šaknų aibė P(x) yra identiškas atitinkamos lygties šaknų rinkiniui x-a.
2. Laisvasis daugianario narys dalijamas iš bet kurios sveikosios daugianario šaknies su sveikaisiais koeficientais (kai pirmaujantis koeficientas lygus vienetui, visos racionalios šaknys yra sveikieji skaičiai).
3. Tarkime, kad tai yra redukuoto daugianario sveikoji šaknis P(x) su sveikaisiais koeficientais. Tai reiškia, kad bet kurio sveikojo skaičiaus skaičius dalijasi iš .
Bezout teorema leidžia, radus vieną daugianario šaknį, toliau ieškoti daugianario, kurio laipsnis jau 1 mažesnis, šaknų: jei , tai šis daugianario P(x) atrodys taip:
Bezout teoremos pavyzdžiai:
Raskite likutį dalijant daugianarį iš dvejetainio.
Bezout teoremos sprendimų pavyzdžiai:
Remiantis Bezout teorema, reikiama liekana atitinka daugianario reikšmę taške . Tada rasime , tam mes pakeisime reikšmę į daugianario išraišką, o ne . Mes gauname:
Atsakymas: Likutis = 5.
Hornerio schema.
Hornerio schema yra daugianarių dalijimo (dalijimo pagal Hornerio schemą) algoritmas, parašytas ypatingam atvejui, jei koeficientas lygus dvinariui.
Sukurkime šį algoritmą:
Tarkime, kad tai yra dividendas
koeficientas (jo laipsnis tikriausiai bus vienu mažesnis), r- liekana (nes dalyba atliekama daugianariu 1-oji laipsnio, tada liekanos laipsnis bus vienu mažesnis, t.y. nulis, taigi liekana yra konstanta).
Pagal padalijimo su liekanomis apibrėžimą P(x) = Q(x) (x-a) + r. Pakeitę daugianario išraiškas gauname:
Atidarome skliaustus ir sulyginame koeficientus tais pačiais laipsniais, po to dalinio koeficientus išreiškiame per dividendo ir daliklio koeficientus:
Patogu apibendrinti skaičiavimus šioje lentelėje:
Jame paryškinami tie langeliai, kurių turinys yra įtrauktas į skaičiavimus kitame žingsnyje.
Hornerio schemos pavyzdžiai:
Tarkime, kad turime padalyti daugianarį iš dvejetainio x-2.
Sudarome lentelę su dviem eilėmis. 1 eilutėje išrašome savo daugianario koeficientus. Antroje eilutėje gausime nepilnojo dalinio koeficientus pagal tokią schemą: visų pirma perrašome šio daugianario pirminį koeficientą, tada, norėdami gauti kitą koeficientą, padauginame paskutinį rastą iš a=2 ir pridėti su atitinkamu daugianario koeficientu F(x). Naujausias koeficientas bus likusioji dalis, o visi ankstesni – nepilnojo koeficiento koeficientai.
mokslinis darbas
Teoremos taikymas
Apsigyvensiu ties keletu Bezouto teoremos taikymo praktinių problemų sprendimui pavyzdžių.
Reikėtų pažymėti, kad sprendžiant lygtis naudojant Bezout teoremą, būtina:
· rasti visus laisvojo termino sveikuosius daliklius;
· iš šių daliklių raskite bent vieną (a) lygties šaknį;
· kairę lygties pusę padalinti iš (x-a);
· užrašykite daliklio sandaugą ir dalinį kairėje lygties pusėje;
· išspręskite gautą lygtį.
Raskite daugianario x 3 liekaną -3x 2 +6x-5
pagal dvinarį x-2.
Pagal Bezouto teoremą:
R=f(2)=2 3 -3*2 2 +6*2-5=3.
Atsakymas: R=3.
Esant kokiai a reikšmei, daugianaris x 4 +ax 3 +3x 2 -4x-4 dalijasi iš dvejetainio x-2 be liekanos?
Pagal Bezout teoremą: R=f(2)=16+8a+12-8- 4=8a+16.
Bet pagal sąlygą R=0, o tai reiškia 8a+16=0, taigi a=-2.
Atsakymas: a=-2.
Esant kokioms a ir b reikšmėms, daugianario ax 3 +bx 2 -73x+102 dalijasi iš trinario x 2 -5x+6 be liekanos?
Išskaidykime daliklį faktoriais: x 2 -5x+6=(x-2)(x-3).
Kadangi dvejetainiai x-2 ir x-3 yra pirminiai, šis daugianomas dalijasi iš x-2 ir x-3, o tai reiškia, kad pagal Bezouto teoremą:
R 1 =f(2)=8a+4b-146+102=8a+4b-44=0
R 2 =f(3)=27a+9b-219+102=27a+9b-117=0
Išspręsiu lygčių sistemą:
8a+4b-44=0 2a+b=11
27a+9b-117=0 3a+b=13
Iš čia gauname: a=2, b=7.
Atsakymas: a=2, b=7.
Kokioms a ir b reikšmėms yra daugianomas x 4 +ax 3 -9x 2 +11x+b
dalijasi be liekanos iš trinalio x 2 -2x+1?
Įsivaizduokime daliklį taip: x 2 - 2x + 1 = (x - 1) 2
Šis daugianomas dalijasi iš x-1 be liekanos, jei pagal Bezouto teoremą:
R1 =f(1)=1+a-9+11+b=a+b+3=0.
Raskime šio daugianario dalijimosi iš x-1 koeficientą:
X 4 +ax 3 -9x 2 +11x-a-3 x-1
x 4 -x 3 x 3 +(a+1)x 2 +(a-8)x+(a+3)
(a+1)x3-(a +1)x2
(a-8)x 2-(a-8)x
Dalinys x 3 +(a+1)x 2 +(a-8)x+(a+3) dalijamas iš (x-1) be liekanos, iš kur
R2 =f(1)=1+(a+1)*1+(a-8)*1+a+3=3a-3=0.
Išspręsiu lygčių sistemą:
a + b + 3 = 0 a + b =-3
3a - 3 = 0 a = 1
Iš sistemos: a=1, b=-4
Atsakymas: a=1, b=-4.
Dauginamą koeficientą f(x)=x 4 +4x 2 -5.
Tarp laisvojo nario daliklių skaičius 1 yra duotojo daugianario f(x) šaknis, o tai reiškia, kad pagal Bezout teoremos 2 išvadą f(x) dalijasi iš (x-1) be liekanos:
f(x)/(x-1)=x 3 +x 2 +5x+5, o tai reiškia, f(x)=(x-1)(x 3 +x 2 +5x+5).
Tarp daugianario x 3 +x 2 +5x+5 x=-1 laisvojo nario daliklių yra jo šaknis, o tai reiškia, kad pagal Bezout teoremos 2 išvadą x 3 +x 2 +5x+5 dalijasi iš (x +1) be balanso:
X 4 +4x 2 -5 x-1 _x 3 +x 2 +5x+5 x+1
x 4 -x 3 x 3 +x 2 +5x+5 x 3 +x 2 x 2 +5
X 3 +4x 2 _5x+5
(x 3 +x 2 +5x+5)/(x+1)=x 2 +5, vadinasi, x 3 +x 2 +5x+5=(x+1)(x 2 +5).
Taigi f(x)=(x-1)(x+1)(x 2 +5).
Pagal išvadą 7 (x 2 +5) negalima koeficientuoti, nes neturi realių šaknų, todėl f(x) negali būti toliau faktorinuojamas.
Atsakymas: x 4 +4x 2 -5=(x-1)(x+1)(x 2 +5).
Dauginamo koeficientas f(x)=x 4 +324.
f(x) neturi šaknų, nes x 4 negali būti lygus -324, o tai reiškia, kad pagal 7 išvadą f(x) negali būti koeficientas.
Atsakymas: daugianario negalima koeficientuoti.
Sukurkite kubinį daugianarį, kurio šaknis 4 iš kartotinių 2 ir šaknis -2.
Pagal 3 išvadą, jei daugianario f(x) šaknis iš kartotinių 2 ir šaknis iš -2, tada jis dalijasi be liekanos iš (x-4) 2 (x+2), o tai reiškia:
f(x)/(x-4) 2 (x+2)=q(x), t.y.
f(x)=(x-4) 2 (x+2)q(x),
f(x)=(x2 -8x+16)(x+2)q(x),
f(x)=(x 3 – 8 x 2 +16 x + 2 x 2 – 16 x + 32) q(x),
f(x)=(x 3 -6x 2 +32)q(x).
(x 3 -6x 2 +32) yra kubinis daugianomas, bet pagal sąlygą f(x) taip pat yra kubinis daugianomas, todėl Q(x) yra tikrasis skaičius. Tegul Q(x)=1, tada f(x)=x 3 -6x 2 +32.
Atsakymas: x 3 -6x 2 +32.
Išspręskite lygtį x 4 +3x 3 -13x 2 -9x+30=0.
301; 2, 3, 5, 6, 10.
(x-2)(x 3 +5x 2 -3x-15)=0
(x-2) (x+5) (x 2 -3) = 0
X 4 +3x 3 -13x 2 -9x+30 x-2
x 4 -2x 3 x 3 +5x 2 -3x-15
Atsakymas: x 1 =2, x 2 =-5, x 3,4 =.
Išspręskite lygtį x 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12=0.
Žvelgdami į lygtį, iš karto galime pasakyti, kad pagal 4 išvadą ji turi ne daugiau kaip 6 lygties šaknis.
12 1; 2; 3; 4; 6; 12.
X 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12 x-1
x 6 -x 5 x 5 +2x 4 -5x 3 -10x 2 +6x+12
10x3 +16x2_x5 +2x4 -5x3 -10x2 +6x+12x+2
10x3 -10x2x5 +2x4x4-5x2 +6
6x 2 +6x _ -5x 3 -10x 2
6x 2 -6x -5x 3 -10x 2
x 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12=(x-1)(x 5 +2x 4 -5x 3 -10x 2 +6x+12)=0
x 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12=(x-1)(x+2)(x 4 -5x 2 +6)=0
x 4 -5x 2 +6 = 0 - bi kvadratinė lygtis, x 1,2 =, x 3,4 =.
Atsakymas: x 1,2 =, x 3,4 =, x 5 =1, x 6 =-2.
Išspręskite lygtį x 3 -5x 2 +8x-6=0.
X 3 -5x 2 +8x-6 x-3
x 3 -3x 2 x 2 -2x+2
x 3 -5x 2 +8x-6=(x 2 -2x+2) (x-3) = 0
x 2 -2x+2=0 yra kvadratinė lygtis, ji neturi šaknų, nes D<0.
Atsakymas: x=3.
Išspręskite lygtį 6x 3 +11x 2 -3x-2=0.
6x 3 +11x 2 -3x-2 x+2
6x 3 +12x 2 6x 2 -x-1
6x3 +11x2 -3x-2=(6x2 -x-1)(x+2)=0
6x 2 -x-1=0 - kvadratinė lygtis, x 1 =S, x 2 =-?.
Atsakymas: x 1 =S, x 2 =-?, x 3 =-2.
A. N. Kolmogorovo biografija ir darbai
Kolmogorovo teoremos: 1. Teorema apie normuotas erdves (1934); 2. Didžiųjų skaičių dėsnio pritaikymo teorema (1928); 3. Teorema apie stipriojo dėsnio didelio skaičiaus pritaikomumą (1930, 1933). 2,8...
Dvipakopės grupės
Tarkime, kad teorema yra klaidinga, o grupė yra minimalios tvarkos kontrapavyzdys. Tegul --- yra ciklinis Sylow pogrupis, o kur --- Sylow 2 pogrupis, --- jo nekintamas papildinys. Remiantis lema, teoremos sąlyga yra įvykdyta...
Mokymasis Bezouto teoremos lygtims spręsti n-asis laipsnis n>2
Korinio ryšio erdvės
Išvada 1. Tegul X yra korinio erdvė, o A jos korinio poerdvė. Jei A savaime sutraukiamas į tašką, tai X/A ~ X. Įrodymas. Pažymėkime projekcija X X/A. Kadangi A yra sutraukiamas, yra homotopija ft: AA, tokia...
Maksimalios simlektinių grupių faktorizacijos
Teorema Bet kuriam lyginiam skaičiui ir bet kuriam laukui grupė yra paprasta, išskyrus grupę, kuri nėra paprasta. Įrodymas. 1) Išskirtinis grupės elgesys išplaukia iš. Todėl manysime, kad bendru atveju ir...
Mokslo pasiekimai Pitagoras
1 uždavinys Sprendimas: D ABC yra stačiakampis su hipotenuze AB, pagal Pitagoro teoremą: AB2 = AC2 + BC2, AB2 = 82 + 62, AB2 = 64 + 36, AB2 = 100, AB = 10. Atsakymas: AB = 10 Uždavinys Nr.2 Sprendimas: D DCE - stačiakampis su hipotenuze DE, pagal Pitagoro teoremą: DE2 = DC2 + CE2,DC2 = DE2 - CE2,DC2 = 52 - 32...
Išvestinės taikymas sprendžiant kai kuriuos uždavinius
1 pavyzdys. Įrodykite teoremą: jei (1) lygtis turi teigiamą šaknį, tai (2) lygtis taip pat turi teigiamą šaknį, be to, mažesnę...
Sistemos, lygiavertės sistemoms su žinomo tipo poilsio taškais
Mes sužinome, kur yra bet kokia nelyginė nuolatinė funkcija. Kartu su diferencialinė sistema(1) apsvarstykite sutrikusią sistemą (2), kur yra bet kuri ištisinė nelyginė funkcija. Žinomas...
Spektro grafikas
Remiantis tam tikromis matricos teorijos teoremomis, galima nustatyti daugybę pagrindinių grafų spektrų (arba, apskritai, multidigrafų) savybių. Šiame skyriuje pateikiamos tik svarbiausios matricos teoremos...
Sylow teorema
Tegul G yra grupė, o P – kita grupė. Tegul kiekvienas elementas aG yra susietas su kokiu nors elementu iš S, tai yra, atsižvelgiant į G ir S atvaizdavimą. Atvaizdavimas μ vadinamas homomorfiniu arba G homomorfizmu į S...
Elipsinių integralų ir elipsinių funkcijų teorija
1 teorema. Elipsinės funkcijos išvestinė yra ir elipsinė funkcija. Tiesą sakant, diferencijuojant ryšį (1), kuris galioja bet kuriam z, gauname. Taigi išvestinė f(z) turi tuos pačius periodus 2 ir 2 kaip ir pradinė funkcija...
Lygtys ir nelygybės su moduliu įjungta centralizuotas testavimas
Suformuluokime teoremą, patogią sprendžiant nelygybes dėl modulių skirtumo sandaugų arba koeficientų: Teorema Dviejų išraiškų modulių skirtumo ženklas sutampa su šių reiškinių kvadratų skirtumo ženklu...
Apribotų paskirstymo gardelių funkcinės vaizdinės
Lemma1. Kongruences sudaro atvirą šeimą. Įrodymas. Būtina parodyti, kad bet kuriems elementams rinkinys yra atidarytas. Tegul tai būna kai kuriems. Jei yra savavališkas pagrindinis idealas, tada ir todėl...
Cilindrinės funkcijos
Naudojant Cauchy teoremą apie kompleksinio kintamojo funkcijų integralus, iš Puasono integralo galima gauti dar vieną vientisas vaizdavimas, labai svarbus Besselio funkcijų teorijai...
Ekstremali problema indeksuojant klases
Šiuo atveju teoremos teiginys yra akivaizdus. Tegul būna. Lema 3. Bet kuriam DF ir bet kuriam taškui yra toks DF, kad v(t)(t) (v(t)(t)) tam tikroje taško kaimynystėje. Įrodymas. Jei i nėra, 0in+2, kad n-1 būtų lyginis, o Yi(0)...
Raskime polinomo dalinio likutį P(x) į tiesinį dvinarį formos ( x ‑ a), kur a– tam tikras skaičius. Kadangi daliklio daugianario pirmasis laipsnis, likusi dalis turi būti nulinio laipsnio, tai yra, ji turi būti tam tikras skaičius r. Tada jei K(x) yra daugianario koeficientas, tada galioja lygybė: P(x) = K(x)·( x ‑ a) + r. Vietoj to pakeičiant gautą lygybę x numerį a, gauname: P(a) = K(a)·( a ‑ a) + r = K(a)·0 + r = r. Taigi paaiškėja, kad polinomo padalijimo liekana P(x) pagal dvinarį ( x ‑ a) galima rasti neatlikus padalijimo, pakeičiant į dividendų daugianarį a vietoj x. Įrodytas teiginys, kuris buvo sėkmingai panaudotas daugeliui išspręsti nestandartinės užduotys, yra Bezout teoremos esmė (Etienne Bezout, 1730 - 1783, prancūzų matematikas, Paryžiaus mokslų akademijos narys).
Bezout teorema: Likutis r iš daugianario padalijimo P(x) pagal dvinarį ( x ‑ a) yra lygus šio daugianario reikšmei taške a, t.y. r = P(a).
1 pastaba: Polinomas paskambino duota, jei jo pirmaujantis koeficientas (t. y. aukščiausio laipsnio nario koeficientas) yra lygus 1. Pavyzdžiui, daugianariai , redukuojami, bet , nėra.
2 pastaba: Padalijus daugianarį su sveikųjų skaičių koeficientais iš redukuoto daugianario su sveikųjų skaičių koeficientais, visi dalinio polinomo ir likusio polinomo koeficientai taip pat pasirodo sveikaisiais skaičiais (tai nesunku suprasti prisiminus, kaip daugianomas dalijamas iš „kampinio“ daugianario ). Visų pirma, dalijant daugianarį su sveikųjų skaičių koeficientais iš dvejetainio ( x ‑ a), kur a– sveikasis skaičius, visi dalinio daugianario koeficientai yra sveikieji skaičiai.
Skaičius a paskambino daugianario šaknis P(x), jei P(a) = 0 (kitaip tariant, jei skaičius a– lygties šaknis P(x) = 0). Pavyzdžiui, skaičiai 1 ir -1 yra daugianario šaknys, skaičiai -2 ir 5 yra daugianario šaknys, o daugianario šaknų nėra, nes lygybė neįmanoma. Iš Bezout teoremos išplaukia, kad jei skaičius a yra daugianario šaknis P(x), tada polinomo dalybos liekana P(x) pagal dvinarį ( x ‑ a) yra lygus P(a) = 0, tai yra daugianario P(x) yra padalintas iš ( x ‑ a) be likučio. Kitaip tariant, jei a– daugianario šaknis P(x), tai P(x) bus pateikta tokia forma: P(x) = (x ‑ a)· K(x). Šis teiginys yra Bezouto teoremos išvados esmė.
Bezouto teoremos išvada: Skaičius a yra daugianario šaknis P(x) tada ir tik tada P(x) yra padalintas iš ( x ‑ a) be likučio.
Užduotys:
1. Padalindami daugianarį iš , raskite likutį.
2. Raskite trečiojo laipsnio daugianarį, kurį padalijus iš x suteikia likutį 1, on x- 2 – liekana 3 ir dalijasi iš be liekanos.
3. Įrodykite, kad daugianomas dalijasi iš .
4. Kokiomis vertybėmis a Ir b daugianario 
dalijasi be liekanos į šiuos daugianario:
5. Dauginamą dalijant iš x- 1 palieka 2 likutį, o padalijus iš x- 2 - 1. Kokia lieka dalis, kai šis daugianomas padalintas iš ?
6. Dalindami daugianarį iš , raskite likutį.
7. Yra žinoma, kad liekana dalijant daugianarį iš yra lygi 2 x+ 1. Raskite likutį dalijant šį daugianarį iš:
A) x – 1;
b) 3 x + 2;
8. Raskite sumažintą ketvirtojo laipsnio daugianarį, jei žinoma, kad jis dalijasi iš , o padalijus iš jo lieka likutis.
9. Kokie gali būti polinomo dalybos likučiai? P(x) įjungta x– 1, ir daugianario K(x) – įjungta x+ 1, jei dalijant iš x 2 – 1 daugianario liekana –6?
10. Įrodykite, kad skaičius dalijasi iš 7.
11. Įrodykite, kad skaičių 100.000 ir 1.000.000.000 dalybos iš 11 liekanos yra lygios.
12. Padalinę skaičių iš 26, raskite likutį.
13. Viena iš lygties šaknų 
yra lygus 3. Raskite parametro reikšmę a ir išspręskite lygtį.
Gal.: 111 psl. Nr.9.10 (b).
14. Nedalydami, dalydami daugianarį iš, raskite liekaną x + 2.
Miesto atvira mokslinė ir praktinė konferencija
moksleiviai ir studentai
Tema: „LYGČIŲ SPRENDIMO BEZOUT TEOREMOS TYRIMASnTH laipsnis, ATn>2"
Užbaigta:
Mokslinis vadovas:
Įvadas
Etjenas Bezoutas
Bezouto teorema
6 teoremos įrodymas
Išvados iš teoremos:
1 išvada
2 išvada
3 išvada
4 išvada
5 išvada
6 išvada
7 išvada
Teoremos taikymas
Išvada
Šaltiniai
Įvadas
Sunku išspręsti trečiojo ir aukštesnio laipsnio lygtis. Kairiosios lygties pusės faktorinavimas, kai dešinioji lygi nuliui, yra labiausiai paplitęs būdas išspręsti įvairias lygtis. Čia nėra bendrų receptų. Daug kas priklauso nuo įgūdžių, intelekto, stebėjimo ir patirties.
Tačiau tokias lygtis ne visada galima koeficientuoti. Vienas iš metodų, padėjęs man išspręsti aukšto lygio lygtis, yra Bezouto teorema.
Mano darbo tikslas: ištirti Bezouto teoremą.
Šiam tikslui pasiekti buvo numatyta atlikti šias užduotis:
· skaityti Etjeno Bezouto biografiją;
· išanalizuoti teoremos apibrėžimą ir įrodymą;
· nustatyti ir įrodyti Bezouto teoremos pasekmes;
· parodyti konkrečius teoremos taikymo pavyzdžius.
Etjenas Bezoutas
Etjenas Bezoutas – prancūzų matematikas, Paryžiaus mokslų akademijos narys (nuo 1758 m.).
Nuo 1763 m. Bezu dėstė matematiką tarplaivių mokykloje, o nuo 1768 m. – Karališkajame artilerijos korpuse.
Pagrindiniai Etienne'o Bezouto darbai susiję su aukštesne algebra, jie skirti sprendimų teorijos kūrimui algebrines lygtis. Sistemų sprendimo teorijoje tiesines lygtis jis prisidėjo prie determinantų teorijos atsiradimo, sukūrė nežinomųjų pašalinimo iš lygčių sistemų teoriją aukštesni laipsniai, įrodė teoremą (pirmą kartą suformulavo K. Maclaurinas), kad dvi m ir n eilės kreivės susikerta daugiausia mn taškų.
Prancūzijoje ir užsienyje iki 1848 m. buvo labai populiarus jo šešių tomų „Matematikos kursas“, kurį Bezou rašė penkerius metus nuo 1764 iki 1769 m. Sukūrė ir neapibrėžtųjų daugiklių metodą: elementariojoje algebroje jo vardu pavadintas šiuo metodu pagrįstas lygčių sistemų sprendimo metodas. Dalis Bezouto darbų skirta išorinei balistikai.
Viena iš pagrindinių algebros teoremų, kuri bus aptarta toliau, pavadinta mokslininko vardu.
Bezouto teorema
Dalijant n-ojo laipsnio daugianarį x atžvilgiu iš dvejetainio x-a likutis lygi dividendo vertei, kai x=a. (Raidė a gali reikšti bet kokį tikrą arba įsivaizduojamas skaičius, t.y. bet koks kompleksinis skaičius.)
Prieš įrodinėdamas teoremą, pateiksiu du patikslinimus.
1. Žinome, kad yra algebrinių posakių, kurie praranda reikšmę tam tikroms atskiroms į jį įtrauktų raidžių reikšmėms. Pavyzdžiui, 1/x praranda reikšmę, kai x=0; išraiška 1/(x 2 -25) praranda reikšmę, kai x=5 ir x=-5.
Atkreipkite dėmesį, kad bet kurio teigiamo sveikojo skaičiaus daugianario niekada nepraranda savo reikšmės. Bet kuriai kintamojo vertei ji įgyja tam tikrą reikšmę.
2. Dviejų veiksnių sandauga, iš kurių vienas tampa nuliu, o kitas įgyja tam tikrą reikšmę, visada lygi nuliui. Jei vienas veiksnys tampa lygus nuliui, o kitas praranda prasmę, tai toks sandaugas negali būti lygus nuliui. Apie tokį kūrinį nieko aiškaus pasakyti negalima. Kiekvienu konkrečiu atveju reikalingas specialus tyrimas.
Apsvarstysiu prekę (1-x) *
. Kai x = 1, pirmasis veiksnys tampa nuliu, o antrasis tampa beprasmis. Negalima sakyti, kad šis sandauga yra lygus nuliui, kai x=1. ] = Lim = 1/2.Taigi, jei x = 1, pats produktas (1-x) *
neturi prasmės. Tačiau jo riba yra prasminga, būtent ji yra lygi ½, o ne nuliui, kaip galima klaidingai manyti.Bezouto teoremos įrodymas
Tegul f(x) žymi savavališką n-asis daugianario laipsniais kintamojo x atžvilgiu ir tegul, kai jis yra padalintas iš binomo (x-a), rezultatas yra q(x) dalinyje, o R liekanoje. 1)-asis laipsnis x, o likusioji R bus pastovi reikšmė, t.y. nepriklausomas nuo x.
Jei likusioji dalis R būtų bent pirmojo laipsnio daugianario x atžvilgiu, tai reikštų, kad padalijimas nepavyko. Taigi R nepriklauso nuo x.
Pagal padalijimo apibrėžimą (dividendas lygus daliklio ir dalinio sandaugai plius likutis) gaunu tapatybę
f(x) =(x-a)q(x)+R.
Ši lygybė galioja bet kuriai x reikšmei, o tai reiškia, kad ji galioja ir x=a.
Pakeitus skaičių a kairėje ir dešinėje lygybės pusėse vietoj kintamojo x, gaunu:
f(a)=(a-a)q(a)+R. (1)
Čia simbolis f(a) nebežymi f(x), t.y. ne x daugianario, o šio daugianario reikšmė, kai x=a. q(a) reiškia q(x) reikšmę, kai x=a.
Likusi R dalis išlieka tokia pati, kaip ir anksčiau, nes R nepriklauso nuo x.
Produktas (a-a)q(a) yra lygus nuliui, nes koeficientas (a-a) lygus nuliui, o koeficientas q(a) yra tam tikras skaičius. (Dauginomas q(x) nepraranda savo reikšmės jokiai konkrečiai x reikšmei.)
Todėl iš lygybės (1) gauname:
Q.E.D.
Išvados iš teoremos
1 išvada.
Polinomo f(x) padalijimo iš dvejetainio (ax+b) likusioji dalis yra lygi reikšmei
šio daugianario ties x=-b/a, t.y. R=f(-b/a).
Įrodymas:
Pagal daugianario padalijimo taisyklę:
f(x)= (ax+b)*q(x)+R.
f(-b/a)=(a(-b/a)+b)q(-b/a)+R=R. Taigi, R = f(-b/a),
Q.E.D.
2 išvada:
Jei skaičius a yra daugianario f(x) šaknis, tai šis daugianomas dalijasi iš (x-a) be liekanos.
Įrodymas:
Pagal Bezout teoremą, polinomo f(x) padalijimo iš (x-a) liekana yra lygi f(a), o pagal sąlygą a yra f(x) šaknis, o tai reiškia, kad f(a) = 0, tai ką reikėjo įrodyti.
Iš šios Bezouto teoremos pasekmės aišku, kad lygties f(x)=0 sprendimo uždavinys yra lygiavertis daugianario f, turinčių pirmąjį laipsnį (tiesinių daliklių) identifikavimo uždaviniui.
3 išvada:
Jei daugianario f(x) šaknys poromis skiriasi a 1 , a 2 ,… ,a n , tai jis dalijamas į sandaugą (x-a 1)…(x-a n) be liekanos.
Įrodymas:
Įrodykime naudodami matematinę šaknų skaičiaus indukciją. Jei n=1, teiginys įrodytas 2 išvadoje. Tegu tai jau įrodyta tuo atveju, kai šaknų skaičius lygus k, tai reiškia, kad f(x) dalijasi be liekanos iš
(x-a 1)(x-a 2)…(x-a k), kur a 1, a 2,…, a k yra jo šaknys.
Tegul f(x) turi (k+1) poromis skirtingas šaknis. Pagal indukcijos hipotezę a 1, a 2, a k,…, (a k +1) yra daugianario šaknys, o tai reiškia, kad daugianomas dalijamas iš sandaugos (x-a 1)…(x-a k), o tai reiškia, kad
f(x)=(x-a 1)…(x-a k)q(x).
Šiuo atveju (a k +1) yra daugianario f(x) šaknis, t.y.
Tai reiškia, kad pakeitę (a k +1) x, gauname teisingą lygybę:
f(a k+1)=(a k+1 -a 1)…(a k+1 -a k)q(a k+1)=0.
Bet (a k +1) skiriasi nuo skaičių a 1,..., a k, todėl nė vienas skaičius (a k +1 -a 1),..., (a k +1 -a k) nėra lygus 0 Todėl q( a k +1), t.y. (a k +1) yra daugianario q(x) šaknis. O iš 2 išvados paaiškėja, kad q(x) dalijasi iš (x-a k + 1) be liekanos.
q(x)=(x-a k +1)q 1 (x), todėl
f(x)=(x-a 1)...(x-a k)q(x)=(x-a 1)...(x-a k)(x-a k+1)q 1 (x).
Tai reiškia, kad f(x) yra padalintas iš (x-a 1)…(x-a k +1) be liekanos.
Taigi, įrodyta, kad teorema teisinga esant k=1, o iš jos galiojimo n=k išplaukia, kad teisinga ir esant n=k+1. Taigi, teorema yra teisinga bet kokiam šaknų skaičiui, ką ir reikėjo įrodyti.
4 išvada:
N laipsnio daugianomas turi daugiausia n skirtingų šaknų.
Įrodymas:
Naudokime metodą prieštaringai: jei n laipsnio polinomas f(x) turėjo daugiau nei n šaknų - n+k (a 1 , a 2 ,..., a n+k yra jo šaknys), tai pagal anksčiau įrodytas rezultatas 3 jis būtų padalintas į sandaugą (x-a 1)...(x-a n+k), kuri turi laipsnį (n+k), o tai neįmanoma.
Mes pasiekėme prieštaravimą, o tai reiškia, kad mūsų prielaida yra neteisinga, o n laipsnio daugianario negali turėti daugiau nei n šaknų, ką mums reikėjo įrodyti.
5 išvada:
Bet kurio daugianario f(x) ir skaičiaus a skirtumas (f(x)-f(a)) be likučio dalijamas iš dvejetainio (x-a).
Įrodymas:
Tegul f(x) yra duotasis n laipsnio polinomas, a yra bet koks skaičius.
Polinomas f(x) gali būti pavaizduotas taip: f(x)=(x-a)q(x)+R, kur q(x) yra daugianario koeficientas, kai f(x) dalijamas iš (x-a), R yra liekana padalos f(x) į (x-a).
Be to, pagal Bezouto teoremą:
f(x)=(x-a)q(x)+f(a).
f(x)-f(a)=(x-a)q(x),
ir tai reiškia dalijimąsi be liekanos (f(x)-f(a))
ant (x-a), ką ir reikėjo įrodyti.
6 išvada:
Skaičius a yra polinomo f(x), kurio laipsnis yra bent pirmas, šaknis tik tada, kai f(x) dalijasi iš (x-a) be liekanos.
Įrodymas:
Norint įrodyti šią teoremą, būtina atsižvelgti į suformuluotos sąlygos būtinumą ir pakankamumą.
1. Būtinumas.
Tegu a yra daugianario f(x) šaknis, tada iš 2 išvados f(x) dalijasi iš (x-a) be liekanos.
Taigi f(x) dalijimasis iš (x-a) yra būtina sąlyga kad a būtų f(x) šaknis, kadangi yra to pasekmė.
2. Pakankamumas.
Tegul polinomas f(x) be liekanos yra padalintas iš (x-a),
tada R=0, kur R yra f(x) dalijimo iš (x-a) liekana, bet pagal Bezouto teoremą R=f(a), o tai reiškia, kad f(a)=0, o tai reiškia, kad a yra šaknis f (x).
Etjenas Bezoutas–
Prancūzų matematikas, Paryžiaus mokslų akademijos narys (nuo 1758 m.), gimęs Nemurse 1730 03 31 ir mirė 1783 m. rugsėjo 27 d.
Nuo 1763 m. Bezu dėstė matematiką tarplaivių mokykloje, o nuo 1768 m. – Karališkajame artilerijos korpuse.
Pagrindiniai Etienne'o Bezout darbai susiję su aukštesne algebra, jie skirti algebrinių lygčių sprendimo teorijos kūrimui. Tiesinių lygčių sistemų sprendimo teorijoje jis prisidėjo prie determinantų teorijos atsiradimo, sukūrė nežinomųjų pašalinimo iš aukštesnio laipsnio lygčių sistemų teoriją ir įrodė teoremą (pirmą kartą suformulavo K. Maclaurin), kad dvi kreivės. m ir n eilės kerta daugiausia mn taškų. Prancūzijoje ir užsienyje iki 1848 m. buvo labai populiarus jo šešių tomų „Matematikos kursas“, kurį jis parašė 1764–1769 m. Bezou sukūrė neapibrėžtų daugiklių metodą elementariojoje algebroje, jo vardu pavadintas šiuo metodu pagrįstas lygčių sistemų sprendimo metodas. Dalis Bezouto darbų skirta išorinei balistikai. Viena iš pagrindinių algebros teoremų pavadinta mokslininko vardu.
Bezouto teorema.
Polinomo dalybos likutis P n ( x )
pagal dvinarį ( x - a ) yra lygi vertei
šis daugianomas at x = a .
Pn(x) – duotas laipsnio daugianario n ,
dvinario (x- a) - jo daliklis,
Kn-1 (x) – padalijimo koeficientas Pn(x) įjungta x- a(n-1 laipsnio polinomas) ,
R– skyriaus likutis ( R nėra kintamojo x kaip pirmojo laipsnio daliklis atžvilgiu x).
Įrodymas:
Pagal polinomų padalijimo su liekana taisyklę galime rašyti:
Pn(x) = (x-a)Qn-1(x)+R .
Vadinasi, at x = a :
Pn(a) = (a-a)Qn-1(a) + R = 0*Qn-1(a)+R=
=0+ R= R .
Reiškia, R = Pn(a) , t.y. liekana dalijant daugianarį iš (x- a) lygus šio vertei
daugianario at x= a, ką ir reikėjo įrodyti.
Išvados iš teoremos .
SU pasekmė 1 :
Polinomo dalybos likutis P n ( x )
pagal dvinarį kirvis + b lygi vertei
šis daugianomas at x = - b / a ,
T . e . R = P n (-b/a) .
Įrodymas:
Pagal daugianario padalijimo taisyklę:
Pn(x) = (ax + b)* Kn-1(x)+R.
Pn (-b/a) = (a(-b/a) + b)Qn-1(-b/a) + R = R. Tai reiškia, kad R = Pn (-b/a) , ko reikia būti įrodyta.
2 išvada :
Jei numeris a yra šaknis
daugianario P ( x ), Tai tai
daugianaris dalijasi iš ( x - a ) be
likutis.
Įrodymas:
Remiantis Bezouto teorema, daugianario liekana yra P (x) įjungta x- a lygus P (a) , ir pagal sąlygą a yra šaknis P (x) , o tai reiškia P (a) = 0 , ką ir reikėjo įrodyti .
Iš šios Bezouto teoremos pasekmės aišku, kad lygties sprendimo problema P (x) = 0 yra lygiavertis daugianario daliklių identifikavimo problemai P turintys pirmąjį laipsnį (tiesiniai dalikliai).
3 išvada :
Jei daugianario P ( x ) turi
poromis skirtingos šaknys
a 1 , a 2 , … , a n , tada jis dalijamas iš
dirbti ( x - a 1 ) … ( x - a n )
be pėdsakų .
Įrodymas:
Įrodykime naudodami matematinę šaknų skaičiaus indukciją. At n=1 teiginys įrodytas 2 išvadoje. Tarkime, kad tai jau buvo įrodyta tuo atveju, kai šaknų skaičius yra lygus k, tai reiškia, kad P(x) dalijasi be liekanos iš (x- a1 )(x- a2 ) … (x- ak) , Kur
a1 , a2 , … , ak– jos šaknys.
Leiskite P(x) turi k+1 poromis skirtingos šaknys Pagal indukcijos hipotezę a1 , a2 , ak , … , ak+1 yra daugianario šaknys, o tai reiškia, kad daugianomas dalijasi iš sandaugos (x- a1 ) … (x- ak) , iš kur tai
P(x) = (x-a1 ) … (x-ak)Q(x).
Tuo pačiu metu ak+1 – daugianario šaknis P(x) , t.y. . P(ak+1 ) = 0 .
Taigi, vietoj to pakeiskite xak+1 , gauname teisingą lygybę:
P(ak+1) = (ak+1-a1 ) ... (ak+1-ak)K(ak+1) =
Bet ak+1 skiriasi nuo skaičių a1 , … , ak, taigi ir nė vieno iš skaičių ak+1 - a1 , … , ak+1 - ak nelygu 0. Todėl nulis yra lygus K(ak+1 ) , t.y. ak+1 – daugianario šaknis K(x) . Ir iš 2 išvados paaiškėja, kad K(x) padalintas iš x- ak+ 1 be likučio.
K(x) = (x- ak+1 ) K1 (x) , ir todėl
P(x) = (x-a1) … (x-ak) Q(x) =
=(x- a1 ) … (x- ak)(x- ak+1 ) K1 (x) .
Tai reiškia, kad P(x) padalintas iš (x- a1 ) … (x- ak+1 ) be pėdsakų.
Taigi, buvo įrodyta, kad teorema yra teisinga k =1 , o nuo jo galiojimo n = k iš to išplaukia, kad teisinga ir tada, kai n = k+1 . Taigi teorema yra teisinga bet kokiam šaknų skaičiui, kas irreikėjo įrodyti .
4 išvada :
Laipsnio polinomas n daugiau neturi
n skirtingos šaknys.
Įrodymas:
Pasinaudokime prieštaravimo metodu: jei daugianario Pn(x) laipsnių n turėtų daugiau nšaknys - n+ k (a1 , a2 , … , an+ k- jo šaknys), tada, remiantis anksčiau įrodytu 3 išvadu, tai
būtų padalintas iš produkto (x- a1 ) … (x- an+ k) turintis laipsnį n+ k, kas neįmanoma.
Priėjome prieštaravimą, o tai reiškia, kad mūsų prielaida yra neteisinga ir n laipsnio daugianario negali būti daugiau nei nšaknys, Q.E.D.
5 išvada :
Bet kuriam daugianariui P ( x )
ir skaičiai a skirtumas
( P ( x )- P ( a )) yra padalintas be
liekana pagal dvinarį ( x - a ) .
Įrodymas:
Leiskite P(x) – duotas laipsnio daugianario n , a- bet koks skaičius.
Polinomas Pn(x) gali būti pavaizduotas kaip: Pn(x)=(x- a) Kn-1 (x)+ R ,
Kur Kn-1 (x) – daugianaris, dalinys dalijant Pn(x) įjungta (x- a) ,
R– padalijimo likutis Pn(x) įjungta (x- a) .
Be to, pagal Bezouto teoremą:
R = Pna), t.y.
Pn(x)=(x-a)Qn-1(x)+Pna) .
Pn(x) – Pn(a) = (x-a)Qn-1(x) ,
o tai reiškia dalijimąsi be liekanos (Pn(x) – Pn(a))
įjungta (x- a) , ką ir reikėjo įrodyti .
6 išvada :
Skaičius a yra šaknis
daugianario P ( x ) laipsnių
ne žemesnė už pirmąjį tada ir
tik kai
P ( x ) yra padalintas iš ( x - a )
be pėdsakų .
Įrodymas:
Norint įrodyti šią teoremą, būtina atsižvelgti į suformuluotos sąlygos būtinumą ir pakankamumą.
1. Būtinybė .
Leiskite a– daugianario šaknis P(x) , tada pagal 2 išvadą P(x) padalintas iš (x- a) be pėdsakų.
Taigi dalijamumas P(x) įjungta (x- a) yra būtina sąlyga a buvo šaknis P(x) , nes yra to pasekmė.
2. Tinkamumas .
Tegul daugianario P(x) dalijasi be liekanos iš (x- a) ,
Tada R = 0 , Kur R– padalijimo likutis P(x) įjungta (x- a) , bet pagal Bezouto teoremą R = P(a) , iš kur tai P(a) = 0 , o tai reiškia a yra šaknis P(x) .
Taigi dalijamumas P(x) įjungta (x- a) taip pat yra pakankama sąlyga a buvo šaknis P(x) .
Dalijamumas P(x) įjungta (x- a) yra būtinas ir pakankamas sąlyga a buvo šaknis P(x) , Q.E.D.
Polinomas, kuris neturi tikrovės
kietos šaknys, irstant
tiesinių veiksnių veiksniams
nėra.
Įrodymas:
Panaudokime prieštaravimo metodą: tarkime, kad daugianario be šaknų P(x) kai koeficientas, turi tiesinį koeficientą (x – a) :
P(x) = (x – a)Q(x),
tada jis būtų padalintas iš (x – a) , bet pagal 6 išvadą a būtų šaknis P(x) , bet pagal sąlygą jame nėra šaknų. Priėjome prieštaravimą, o tai reiškia, kad mūsų prielaida yra neteisinga ir daugianario
