Sisteminės tiesinės lygtys. Lygčių sistema

Kaip aišku iš Cramerio teorema, sprendžiant tiesinių lygčių sistemą, gali įvykti trys atvejai:

Pirmasis atvejis: tiesinių lygčių sistema turi unikalų sprendimą

(sistema yra nuosekli ir apibrėžta)

Antrasis atvejis: tiesinių lygčių sistema turi begalinį sprendinių skaičių

(sistema yra nuosekli ir neapibrėžta)

** ,

tie. nežinomųjų ir laisvųjų dėmenų koeficientai yra proporcingi.

Trečias atvejis: tiesinių lygčių sistema neturi sprendinių

(sistema nenuosekli)

Taigi sistema m tiesines lygtis su n vadinami kintamaisiais ne sąnarių, jei ji neturi vieno sprendimo, ir jungtis, jei jame yra bent vienas sprendimas. Vadinama vienalaikė lygčių sistema, turinti tik vieną sprendinį tam tikras ir daugiau nei vienas – neapibrėžtas.

Tiesinių lygčių sistemų sprendimo Cramerio metodu pavyzdžiai

Tegul sistema duota

Remiantis Cramerio teorema

………….
,

Kur
-

sistemos determinantas. Likusius determinantus gauname pakeisdami stulpelį atitinkamo kintamojo (nežinomo) koeficientais laisvaisiais terminais:

2 pavyzdys.

Todėl sistema yra apibrėžta. Norėdami rasti jos sprendimą, apskaičiuojame determinantus

Naudodami Cramerio formules randame:

Taigi, (1; 0; -1) yra vienintelis sistemos sprendimas.

Norėdami patikrinti lygčių 3 X 3 ir 4 X 4 sistemų sprendimus, galite naudoti internetinį skaičiuotuvą, naudodami Cramerio sprendimo metodą.

Jei tiesinių lygčių sistemoje vienoje ar keliose lygtyse kintamųjų nėra, tai determinante atitinkami elementai lygūs nuliui! Tai yra kitas pavyzdys.

3 pavyzdys. Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Cramerio metodu:

Sprendimas. Mes randame sistemos determinantą:

Atidžiai pažiūrėkite į lygčių sistemą ir į sistemos determinantą ir pakartokite atsakymą į klausimą, kokiais atvejais vienas ar keli determinanto elementai yra lygūs nuliui. Taigi determinantas nėra lygus nuliui, todėl sistema yra apibrėžta. Norėdami rasti sprendimą, apskaičiuojame nežinomųjų determinantus

Naudodami Cramerio formules randame:

Taigi, sistemos sprendimas yra (2; -1; 1).

6. Bendroji tiesinių algebrinių lygčių sistema. Gauso metodas.

Kaip prisimename, Cramerio taisyklė ir matricos metodas netinka tais atvejais, kai sistema turi be galo daug sprendinių arba yra nenuosekli. Gauso metodas – galingiausias ir universaliausias įrankis ieškant sprendimų bet kuriai tiesinių lygčių sistemai, kuris kiekvienu atveju nuves mus prie atsakymo! Pats metodo algoritmas visais trimis atvejais veikia vienodai. Jei Cramerio ir matricos metodai reikalauja determinantų išmanymo, tai Gauso metodui taikyti reikia tik aritmetinių operacijų žinių, todėl jis yra prieinamas net pradinių klasių mokiniams.

Pirma, susisteminkime šiek tiek žinių apie tiesinių lygčių sistemas. Tiesinių lygčių sistema gali:

1) Turėkite unikalų sprendimą.
2) Turėkite be galo daug sprendimų.
3) Neturi sprendimų (būti ne sąnarių).

Gauso metodas yra galingiausias ir universaliausias sprendimas ieškant sprendimo bet koks tiesinių lygčių sistemos. Kaip prisimename, Cramerio taisyklė ir matricos metodas yra netinkami tais atvejais, kai sistema turi be galo daug sprendimų arba yra nenuosekli. Ir nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodas Šiaip ar taip nuves mus prie atsakymo! Šioje pamokoje dar kartą apsvarstysime Gauso metodą atvejui Nr. 1 (vienintelis sistemos sprendimas), straipsnis skirtas punktų Nr. 2-3 situacijoms. Atkreipiu dėmesį, kad pats metodo algoritmas visais trimis atvejais veikia vienodai.

Iš pamokos grįžkime prie paprasčiausios sistemos Kaip išspręsti tiesinių lygčių sistemą?
ir išspręskite jį Gauso metodu.

Pirmas žingsnis – užsirašyti išplėstinė sistemos matrica:
. Manau, kiekvienas mato, kokiu principu rašomi koeficientai. Vertikali linija matricos viduje neturi jokios matematinės reikšmės – tai tiesiog perbraukta, kad būtų lengviau kurti.

Nuoroda:Rekomenduoju prisiminti terminai tiesinė algebra. Sistemos matrica yra matrica, sudaryta tik iš nežinomųjų koeficientų, šiame pavyzdyje sistemos matrica: . Išplėstinė sistemos matrica– tai ta pati sistemos matrica ir laisvųjų terminų stulpelis, šiuo atveju: . Trumpumui bet kurią matricą galima tiesiog pavadinti matrica.

Parašius išplėstinę sistemos matricą, su ja reikia atlikti kai kuriuos veiksmus, kurie taip pat vadinami elementarios transformacijos.

Egzistuoja šios elementarios transformacijos:

1) Stygos matricos galima pertvarkyti kai kuriose vietose. Pavyzdžiui, nagrinėjamoje matricoje galite neskausmingai pertvarkyti pirmąją ir antrąją eilutes:

2) Jei matricoje yra (arba atsirado) proporcingų (ypatingu atveju - identiškų) eilučių, turėtumėte ištrinti iš matricos visos šios eilutės, išskyrus vieną. Apsvarstykite, pavyzdžiui, matricą . Šioje matricoje paskutinės trys eilutės yra proporcingos, todėl pakanka palikti tik vieną iš jų: .

3) Jei transformacijų metu matricoje atsiranda nulinė eilutė, tai taip pat turėtų būti ištrinti. Aš, žinoma, nebraižysiu, nulinė linija yra ta linija, kurioje visi nuliai.

4) Matricos eilutė gali būti padauginti (padalyti)į bet kurį skaičių ne nulis. Apsvarstykite, pavyzdžiui, matricą. Čia patartina pirmąją eilutę padalyti iš –3, o antrąją eilutę padauginti iš 2: . Šis veiksmas labai naudingas, nes supaprastina tolimesnes matricos transformacijas.

5) Ši transformacija sukelia daugiausiai sunkumų, tačiau iš tikrųjų nėra ir nieko sudėtingo. Į matricos eilutę galite pridėkite kitą eilutę, padaugintą iš skaičiaus, skiriasi nuo nulio. Pažvelkime į mūsų matricą iš praktinio pavyzdžio: . Pirmiausia labai išsamiai aprašysiu transformaciją. Padauginkite pirmąją eilutę iš –2: , Ir prie antros eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš –2: . Dabar pirmąją eilutę galima padalyti „atgal“ iš –2: . Kaip matote, eilutė, kuri yra PRIDĖTA LI – nepasikeitė. Visada pasikeičia eilutė, PRIE KURIOS PRIDĖTA UT.

Praktiškai, žinoma, jie to nerašo taip išsamiai, bet parašo trumpai:

Dar kartą: į antrą eilutę pridėjo pirmąją eilutę, padaugintą iš –2. Paprastai eilutė padauginama žodžiu arba juodraštyje, o protinio skaičiavimo procesas vyksta maždaug taip:

„Perrašau matricą ir perrašau pirmą eilutę: »

„Pirmoji kolona. Apačioje man reikia gauti nulį. Todėl viršuje esantį padauginu iš –2: , o pirmąjį pridedu prie antros eilutės: 2 + (–2) = 0. Rezultatą rašau antroje eilutėje: »

„Dabar antra kolona. Viršuje padauginu -1 iš -2: . Pirmąją pridedu prie antros eilutės: 1 + 2 = 3. Rezultatą rašau antroje eilutėje: »

„Ir trečia kolona. Viršuje padauginu -5 iš -2: . Pirmąją pridedu prie antros eilutės: –7 + 10 = 3. Rezultatą rašau antroje eilutėje: »

Prašome atidžiai suprasti šį pavyzdį ir suprasti nuoseklaus skaičiavimo algoritmą, jei tai suprantate, tada Gauso metodas yra praktiškai jūsų kišenėje. Bet, žinoma, mes vis tiek dirbsime ties šia pertvarka.

Elementariosios transformacijos nekeičia lygčių sistemos sprendinio

! DĖMESIO: apgalvotos manipuliacijos negalima naudoti, jei jums bus pasiūlyta užduotis, kai matricos pateikiamos „pačios“. Pavyzdžiui, su „klasika“ operacijos su matricomis Jokiu būdu neturėtumėte nieko pertvarkyti matricų viduje!

Grįžkime prie mūsų sistemos. Jis praktiškai suardomas į gabalus.

Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas sumažinkime ją iki laiptuotas vaizdas:

(1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš –2. Ir dar: kodėl pirmąją eilutę dauginame iš –2? Norint gauti nulį apačioje, o tai reiškia, kad reikia atsikratyti vieno kintamojo antroje eilutėje.

(2) Padalinkite antrąją eilutę iš 3.

Elementariųjų transformacijų paskirtis – sumažinti matricą į laipsnišką formą: . Kurdami užduotį, jie tiesiog pažymi "laiptus" paprastu pieštuku, taip pat apibraukite skaičius, esančius ant "laiptų". Pats terminas „pakopinis vaizdas“ nėra visiškai teorinis mokslinėje ir mokomojoje literatūroje trapecinis vaizdas arba trikampis vaizdas.

Dėl elementarių transformacijų mes gavome lygiavertis originali lygčių sistema:

Dabar sistemą reikia „išvynioti“ priešinga kryptimi - iš apačios į viršų, šis procesas vadinamas atvirkštinis Gauso metodas.

Apatinėje lygtyje jau turime paruoštą rezultatą: .

Panagrinėkime pirmąją sistemos lygtį ir pakeiskime ja jau žinomą „y“ reikšmę:

Panagrinėkime dažniausiai pasitaikančią situaciją, kai Gauso metodu reikia išspręsti trijų tiesinių lygčių su trimis nežinomaisiais sistemą.

1 pavyzdys

Gauso metodu išspręskite lygčių sistemą:

Parašykime išplėstinę sistemos matricą:

Dabar iš karto nubraižysiu rezultatą, kurį pasieksime sprendimo metu:

Ir kartoju, mūsų tikslas yra suvesti matricą į laipsnišką formą naudojant elementarias transformacijas. Nuo ko pradėti?

Pirmiausia pažiūrėkite į viršutinį kairįjį skaičių:

Čia turėtų būti beveik visada vienetas. Paprastai tariant, tiks –1 (o kartais ir kiti skaičiai), bet kažkaip tradiciškai susiklostė taip, kad ten dažniausiai dedamas vienas. Kaip organizuoti padalinį? Mes žiūrime į pirmąjį stulpelį - turime baigtą įrenginį! Pirma transformacija: sukeiskite pirmą ir trečią eilutes:

Dabar pirmoji eilutė išliks nepakitusi iki sprendimo pabaigos. Jau lengviau.

Viršutiniame kairiajame kampe esantis padalinys yra sutvarkytas. Dabar šiose vietose reikia gauti nulius:

Mes gauname nulius naudodami „sudėtingą“ transformaciją. Pirmiausia susiduriame su antrąja eilute (2, –1, 3, 13). Ką reikia padaryti, kad pirmoje pozicijoje būtų nulis? Reikia prie antrosios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš –2. Protiškai arba juodraštyje pirmąją eilutę padauginkite iš –2: (–2, –4, 2, –18). Ir mes nuosekliai atliekame (vėl mintyse arba pagal juodraštį) papildymą, prie antros eilutės pridedame pirmąją eilutę, jau padaugintą iš –2:

Rezultatą rašome antroje eilutėje:

Su trečiąja eilute elgiamės taip pat (3, 2, –5, –1). Norėdami gauti nulį pirmoje pozicijoje, jums reikia prie trečios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš –3. Protiškai arba juodraštyje pirmąją eilutę padauginkite iš –3: (–3, –6, 3, –27). IR prie trečios eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš –3:

Rezultatą rašome trečioje eilutėje:

Praktikoje šie veiksmai dažniausiai atliekami žodžiu ir užrašomi vienu žingsniu:

Nereikia visko skaičiuoti iš karto ir tuo pačiu metu. Skaičiavimų ir rezultatų „įrašymo“ tvarka nuoseklus ir dažniausiai būna taip: iš pradžių perrašome pirmąją eilutę ir pamažu pučiame ant savęs - nuosekliai ir DĖMESINGAI:

O pačių skaičiavimų protinį procesą aš jau aptariau aukščiau.

Šiame pavyzdyje tai padaryti lengva, antrą eilutę padalijame iš –5 (nes visi ten esantys skaičiai dalijasi iš 5 be liekanos). Tuo pačiu metu trečią eilutę dalijame iš –2, nes kuo mažesni skaičiai, tuo paprastesnis sprendimas:

Paskutiniame elementarių transformacijų etape čia reikia gauti dar vieną nulį:

Už tai prie trečios eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš –2:

Pabandykite patys išsiaiškinti šį veiksmą – mintyse padauginkite antrą eilutę iš –2 ir atlikite sudėjimą.

Paskutinis atliktas veiksmas yra rezultato šukuosena, trečią eilutę padalinkite iš 3.

Dėl elementariųjų transformacijų buvo gauta lygiavertė tiesinių lygčių sistema:

Kietas.

Dabar pradedamas naudoti atvirkštinis Gauso metodas. Lygtys „atsipalaiduoja“ iš apačios į viršų.

Trečioje lygtyje jau turime paruoštą rezultatą:

Pažvelkime į antrąją lygtį: . Žodžio „zet“ reikšmė jau žinoma, taigi:

Ir galiausiai pirmoji lygtis: . „Igrek“ ir „zet“ yra žinomi, tai tik smulkmenos:

Atsakymas:

Kaip jau ne kartą buvo pažymėta, bet kuriai lygčių sistemai galima ir būtina patikrinti rastą sprendimą, laimei, tai lengva ir greita.

2 pavyzdys

Tai yra savarankiško sprendimo pavyzdys, galutinio dizaino pavyzdys ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Reikėtų pažymėti, kad jūsų sprendimo eiga gali nesutapti su mano sprendimo procesu, ir tai yra Gauso metodo bruožas. Bet atsakymai turi būti tie patys!

3 pavyzdys

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu

Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas perkelkime ją į laipsnišką formą:

Mes žiūrime į viršutinį kairįjį „žingsnį“. Ten turėtume turėti vieną. Bėda ta, kad pirmajame stulpelyje iš viso nėra vienetų, todėl eilučių pertvarkymas nieko neišspręs. Tokiais atvejais padalinys turi būti organizuojamas naudojant elementarią transformaciją. Paprastai tai galima padaryti keliais būdais. Aš padariau tai:
(1) Prie pirmosios eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš –1. Tai yra, mes mintyse padauginome antrą eilutę iš –1 ir pridėjome pirmą ir antrą eilutes, o antroji eilutė nepasikeitė.

Dabar viršuje kairėje yra „minusas vienas“, kuris mums visai tinka. Visi norintys gauti +1 gali atlikti papildomą judesį: pirmąją eilutę padauginkite iš –1 (pakeiskite jos ženklą).

(2) Pirmoji eilutė, padauginta iš 5, buvo pridėta prie antrosios eilutės.

(3) Pirmoji eilutė buvo padauginta iš –1, iš esmės tai yra dėl grožio. Trečiosios linijos ženklas taip pat buvo pakeistas ir ji perkelta į antrą vietą, kad antrame „žingsnyje“ būtų reikalingas vienetas.

(4) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš 2.

(5) Trečioji eilutė buvo padalinta iš 3.

Blogas ženklas, rodantis skaičiavimų klaidą (rečiau rašybos klaidą), yra „bloga“ išvada. Tai yra, jei gautume kažką panašaus į , žemiau ir atitinkamai , tada su didele tikimybe galime teigti, kad elementariųjų transformacijų metu buvo padaryta klaida.

Mes apmokestiname atvirkščiai, kurdami pavyzdžius jie dažnai neperrašo pačios sistemos, o lygtys yra „paimtos tiesiai iš pateiktos matricos“. Atvirkštinis potėpis, primenu, veikia iš apačios į viršų. Taip, čia yra dovana:

Atsakymas: .

4 pavyzdys

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys, jis yra šiek tiek sudėtingesnis. Gerai, jei kas nors susipainios. Visas sprendimas ir dizaino pavyzdys pamokos pabaigoje. Jūsų sprendimas gali skirtis nuo mano sprendimo.

Paskutinėje dalyje apžvelgsime kai kurias Gauso algoritmo ypatybes.
Pirmoji ypatybė yra ta, kad kartais sistemos lygtyse trūksta kai kurių kintamųjų, pavyzdžiui:

Kaip teisingai parašyti išplėstinę sistemos matricą? Apie tai jau kalbėjau klasėje. Cramerio taisyklė. Matricos metodas. Išplėstoje sistemos matricoje vietoj trūkstamų kintamųjų dedame nulius:

Beje, tai gana lengvas pavyzdys, nes pirmame stulpelyje jau yra vienas nulis, o elementarių transformacijų reikia atlikti mažiau.

Antroji savybė yra tokia. Visuose nagrinėjamuose pavyzdžiuose ant „žingsnių“ įdėjome arba –1, arba +1. Ar ten gali būti kitų skaičių? Kai kuriais atvejais jie gali. Apsvarstykite sistemą: .

Viršutiniame kairiajame „žingsnyje“ turime du. Bet mes pastebime faktą, kad visi skaičiai pirmajame stulpelyje dalijasi iš 2 be liekanos - o kitas yra du ir šeši. Ir du viršuje kairėje mums tiks! Pirmame žingsnyje reikia atlikti tokias transformacijas: į antrą eilutę pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš –1; prie trečios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš –3. Taip pirmajame stulpelyje gausime reikiamus nulius.

Arba kitas įprastas pavyzdys: . Čia mums tinka ir trys antrojo „žingsnio“, nes 12 (vieta, kur reikia gauti nulį) dalijasi iš 3 be liekanos. Būtina atlikti tokią transformaciją: prie trečios eilutės pridėkite antrą eilutę, padaugintą iš –4, dėl to bus gautas mums reikalingas nulis.

Gauso metodas yra universalus, tačiau yra vienas ypatumas. Galite drąsiai išmokti spręsti sistemas naudodami kitus metodus (Cramerio metodas, matricos metodas) tiesiogine prasme pirmą kartą - jie turi labai griežtą algoritmą. Tačiau norint pasitikėti Gauso metodu, reikia gerai jį išmokti ir išspręsti bent 5-10 sistemų. Todėl iš pradžių skaičiavimuose gali kilti painiavos ir klaidų, ir tame nėra nieko neįprasto ar tragiško.

Už lango lietingas rudeniškas oras.... Todėl visiems, kas nori sudėtingesnio pavyzdžio patiems išspręsti:

5 pavyzdys

Gauso metodu išspręskite keturių tiesinių lygčių su keturiais nežinomaisiais sistemą.

Tokia užduotis praktikoje nėra tokia reta. Manau, net arbatinukas, gerai išstudijavęs šį puslapį, intuityviai supras tokios sistemos sprendimo algoritmą. Iš esmės viskas yra taip pat – tik veiksmų yra daugiau.

Pamokoje aptariami atvejai, kai sistema neturi sprendinių (nenuosekli) arba turi be galo daug sprendimų Nesuderinamos sistemos ir sistemos su bendru sprendimu. Čia galite pataisyti svarstomą Gauso metodo algoritmą.

Linkiu sėkmės!

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys: Sprendimas: Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas perkelkime ją į laipsnišką formą.

Atliktos elementarios transformacijos:
(1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš –2. Pirmoji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš –1. Dėmesio!Čia gali kilti pagunda atimti pirmą iš trečios eilutės. Labai rekomenduoju jos neatimti – klaidos rizika labai padidėja. Tiesiog sulenkite!
(2) Pakeistas antrosios eilutės ženklas (padaugintas iš –1). Antroji ir trečioji eilutės buvo pakeistos. Atkreipkite dėmesį, kad ant „laiptelių“ pasitenkiname ne tik vienu, bet ir –1, o tai dar patogiau.
(3) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš 5.
(4) Pakeistas antrosios eilutės ženklas (padaugintas iš –1). Trečioji eilutė buvo padalinta iš 14.

Atvirkščiai:

Atsakymas: .

4 pavyzdys: Sprendimas: Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas perkelkime į laipsnišką formą:

Atliktos konversijos:
(1) Prie pirmosios eilutės buvo pridėta antra eilutė. Taigi, norimas vienetas yra organizuojamas viršutiniame kairiajame „žingsnyje“.
(2) Pirmoji eilutė, padauginta iš 7, buvo pridėta prie antrosios eilutės.

Su antruoju "žingsniu" viskas blogėja, „kandidatai“ yra skaičiai 17 ir 23, o mums reikia arba vieno, arba –1. Transformacijomis (3) ir (4) bus siekiama gauti norimą vienetą

(3) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš –1.
(4) Trečia eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš –3.
Antrame žingsnyje reikalinga prekė gauta. .
(5) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš 6.

Kaip pamokų dalis Gauso metodas Ir Nesuderinamos sistemos/sistemos su bendru sprendimu svarstėme nehomogeninės tiesinių lygčių sistemos, Kur nemokamas narys(kuri dažniausiai yra dešinėje) bent vienas iš lygčių skyrėsi nuo nulio.
Ir dabar, po gero apšilimo su matricos rangas, toliau šlifuosime techniką elementarios transformacijosįjungta vienalytė tiesinių lygčių sistema.
Remiantis pirmomis pastraipomis, medžiaga gali atrodyti nuobodi ir vidutiniška, tačiau toks įspūdis yra apgaulingas. Be tolesnio metodų tobulinimo, bus daug naujos informacijos, todėl stenkitės nepamiršti šiame straipsnyje pateiktų pavyzdžių.

Matricos metodas SLAU sprendimai taikomas sprendžiant lygčių sistemas, kuriose lygčių skaičius atitinka nežinomųjų skaičių. Metodas geriausiai tinka sprendžiant žemos eilės sistemas. Tiesinių lygčių sistemų sprendimo matricinis metodas pagrįstas matricos daugybos savybių taikymu.

Šis metodas, kitaip tariant atvirkštinės matricos metodas, taip vadinama, nes sprendimas redukuojasi į įprastą matricos lygtį, kuriai išspręsti reikia rasti atvirkštinę matricą.

Matricinio sprendimo metodas SLAE, kurio determinantas yra didesnis arba mažesnis už nulį, yra toks:

Tarkime, kad yra SLE (tiesinių lygčių sistema) su n nežinomas (virš savavališko lauko):

Tai reiškia, kad jį galima lengvai konvertuoti į matricos formą:

AX = B, Kur A— pagrindinė sistemos matrica, B Ir X— atitinkamai sistemos laisvųjų terminų ir sprendimų stulpeliai:

Padauginkime šią matricos lygtį iš kairės iš A−1— atvirkštinė matrica į matricą A: A -1 (AX) = A -1 B.

Nes A −1 A=E, Reiškia, X=A–1 B. Dešinėje lygties pusėje pateikiamas pradinės sistemos sprendimo stulpelis. Matricos metodo taikymo sąlyga yra matricos neišsigimimas A. Tam būtina ir pakankama sąlyga yra ta, kad matricos determinantas nėra lygus nuliui A:

detA≠0.

Už vienalytė tiesinių lygčių sistema, t.y. jei vektorius B=0, galioja priešinga taisyklė: sistema AX=0 yra netrivialus (t. y. nelygus nuliui) sprendimas tik tada, kai detA=0. Šis ryšys tarp vienarūšių ir nehomogeninių tiesinių lygčių sistemų sprendinių vadinamas Fredholmo alternatyva.

Taigi, SLAE sprendimas matricos metodu atliekamas pagal formulę . Arba SLAE sprendimas randamas naudojant atvirkštinė matrica A−1.

Yra žinoma, kad kvadratinei matricai A tvarka nįjungta n yra atvirkštinė matrica A−1 tik tuo atveju, jei jo determinantas nėra lygus nuliui. Taigi, sistema n tiesines algebrines lygtis su n Nežinomuosius matricos metodu sprendžiame tik tada, kai pagrindinės sistemos matricos determinantas nėra lygus nuliui.

Nepaisant to, kad tokio metodo pritaikymui yra apribojimų ir didelių koeficientų verčių bei aukšto laipsnio sistemų skaičiavimo sunkumų, metodą galima nesunkiai pritaikyti kompiuteryje.

Nehomogeninio SLAE sprendimo pavyzdys.

Pirmiausia patikrinkime, ar nežinomų SLAE koeficientų matricos determinantas nėra lygus nuliui.

Dabar randame sąjungos matrica, perkelkite jį ir pakeiskite jį į formulę, kad nustatytumėte atvirkštinę matricą.

Pakeiskite kintamuosius į formulę:

Dabar nežinomuosius randame padauginę atvirkštinę matricą ir laisvųjų terminų stulpelį.

Taigi, x=2; y = 1; z=4.

Pereidami nuo įprastos SLAE formos prie matricos formos, būkite atsargūs su nežinomų kintamųjų tvarka sistemos lygtyse. Pavyzdžiui:

NEGALI būti parašytas taip:

Pirmiausia reikia surikiuoti nežinomus kintamuosius kiekvienoje sistemos lygtyje ir tik po to pereiti prie matricos žymėjimo:

Be to, vietoj to turite būti atsargūs su nežinomų kintamųjų žymėjimu x 1, x 2, …, x n gali būti ir kitų raidžių. Pavyzdžiui:

matricos pavidalu rašome taip:

Matricos metodas geriau tinka sprendžiant tiesinių lygčių sistemas, kuriose lygčių skaičius sutampa su nežinomų kintamųjų skaičiumi, o sistemos pagrindinės matricos determinantas nėra lygus nuliui. Kai sistemoje yra daugiau nei 3 lygtys, atvirkštinės matricos radimas pareikalaus daugiau skaičiavimo pastangų, todėl tokiu atveju sprendimams patartina naudoti Gauso metodą.

Tiesinių lygčių sistemos. 6 paskaita.

Tiesinių lygčių sistemos.

Pagrindinės sąvokos.

Žiūrėti sistemą

paskambino sistema – tiesinės lygtys su nežinomaisiais.

Skaičiai , , vadinami sistemos koeficientai.

Skaičiai skambinami nemokami sistemos nariai, – sistemos kintamieji. Matrica

paskambino pagrindinė sistemos matrica, ir matrica

– išplėstinė matricinė sistema. Matricos – stulpeliai

Ir – atitinkamai sistemos laisvųjų terminų ir nežinomųjų matricos. Tada matricos formoje lygčių sistemą galima parašyti kaip . Sisteminis sprendimas vadinama kintamųjų reikšmėmis, kurias pakeitus visos sistemos lygtys virsta teisingomis skaitinėmis lygybėmis. Bet koks sistemos sprendimas gali būti pavaizduotas kaip matricos stulpelis. Tada matricos lygybė yra teisinga.

Lygčių sistema vadinama jungtis jei jis turi bent vieną sprendimą ir ne sąnarių jei nėra sprendimo.

Išspręsti tiesinių lygčių sistemą reiškia išsiaiškinti, ar ji yra nuosekli, ir, jei taip, rasti bendrą jos sprendimą.

Sistema vadinama vienalytis jei visi jo laisvieji nariai lygūs nuliui. Vienalytė sistema visada yra nuosekli, nes ji turi sprendimą

Kronecker-Copelli teorema.

Atsakymas į klausimą apie tiesinių sistemų sprendimų egzistavimą ir jų unikalumą leidžia gauti tokį rezultatą, kurį galima suformuluoti kaip šiuos teiginius apie tiesinių lygčių su nežinomaisiais sistemą

(1)

2 teorema. Tiesinių lygčių sistema (1) yra nuosekli tada ir tik tada, kai pagrindinės matricos rangas yra lygus išplėstinės matricos rangui (.

3 teorema. Jei vienalaikės tiesinių lygčių sistemos pagrindinės matricos rangas yra lygus nežinomųjų skaičiui, tai sistema turi unikalų sprendimą.

4 teorema. Jei jungtinės sistemos pagrindinės matricos rangas yra mažesnis už nežinomųjų skaičių, tai sistema turi begalinį sprendinių skaičių.

Sistemų sprendimo taisyklės.

3. Raskite pagrindinių kintamųjų išraišką laisvaisiais ir gaukite bendrą sistemos sprendimą.

4. Laisviesiems kintamiesiems suteikus savavališkas reikšmes, gaunamos visos pagrindinių kintamųjų reikšmės.

Tiesinių lygčių sistemų sprendimo metodai.

Atvirkštinės matricos metodas.

ir , ty sistema turi unikalų sprendimą. Parašykime sistemą matricine forma

Kur , , .

Padauginkime abi kairėje esančios matricos lygties puses iš matricos

Kadangi Gauname , Iš kurio gauname lygybę nežinomiesiems rasti

27 pavyzdys. Išspręskite tiesinių lygčių sistemą atvirkštinės matricos metodu

Sprendimas. Pažymėkime pagrindine sistemos matrica

Leiskite, tada rasime sprendimą naudodami formulę.

Paskaičiuokime.

Nuo tada sistema turi unikalų sprendimą. Raskime visus algebrinius papildinius

, ,

Taigi

Patikrinkim

Atvirkštinė matrica buvo rasta teisingai. Iš čia, naudodami formulę, randame kintamųjų matricą.

Palyginę matricų reikšmes, gauname atsakymą: .

Cramerio metodas.

Pateikiame tiesinių lygčių su nežinomaisiais sistemą

ir , ty sistema turi unikalų sprendimą. Parašykime sistemos sprendimą matricine forma arba

Pažymėkime

. . . . . . . . . . . . . . ,

Taigi gauname nežinomųjų reikšmių radimo formules, kurios vadinamos Cramerio formulės.

28 pavyzdys. Kramerio metodu išspręskite šią tiesinių lygčių sistemą .

Sprendimas. Raskime pagrindinės sistemos matricos determinantą

Nuo tada sistema turi unikalų sprendimą.

Raskime likusius Kramerio formulių determinantus

Naudodami Cramerio formules randame kintamųjų reikšmes

Gauso metodas.

Metodas susideda iš nuoseklaus kintamųjų pašalinimo.

Pateikiame tiesinių lygčių su nežinomaisiais sistemą.

Gauso sprendimo procesas susideda iš dviejų etapų:

Pirmajame etape išplėstinė sistemos matrica, naudojant elementarias transformacijas, redukuojama į laipsnišką formą

kur , kurią atitinka sistema

Po to kintamieji yra laikomi laisvaisiais ir kiekvienoje lygtyje perkeliami į dešinę.

Antrame etape kintamasis išreiškiamas iš paskutinės lygties, o gauta reikšmė pakeičiama į lygtį. Iš šios lygties

kintamasis išreiškiamas. Šis procesas tęsiasi iki pirmosios lygties. Rezultatas yra pagrindinių kintamųjų išraiška per laisvuosius kintamuosius .

29 pavyzdys. Gauso metodu išspręskite šią sistemą

Sprendimas. Išrašykime išplėstinę sistemos matricą ir pateiksime ją į laipsnišką formą

Nes didesnis už nežinomųjų skaičių, tada sistema yra nuosekli ir turi begalinį sprendinių skaičių. Parašykime žingsnių matricos sistemą

Šios sistemos išplėstinės matricos, sudarytos iš pirmųjų trijų stulpelių, determinantas nėra lygus nuliui, todėl mes jį laikome pagrindine. Kintamieji

Jie bus pagrindiniai, o kintamasis bus nemokamas. Visose lygtyse perkelkime jį į kairę pusę

Iš paskutinės lygties išreiškiame

Pakeitę šią reikšmę į priešpaskutinę antrąją lygtį, gauname

kur . Pakeitę kintamųjų reikšmes į pirmąją lygtį, randame . Atsakymą parašykime tokia forma

Tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimas yra viena iš pagrindinių tiesinės algebros problemų. Ši problema turi svarbią taikomąją reikšmę sprendžiant mokslines ir technines problemas, be to, ji yra pagalbinė įgyvendinant daugelį skaičiavimo matematikos, matematinės fizikos algoritmų, apdorojant eksperimentinių tyrimų rezultatus.

Tiesinių algebrinių lygčių sistema vadinama lygčių sistema, kurios forma: (1)

Kur – nežinomas; - nemokami nariai.

Lygčių sistemos sprendimas(1) iškviesti bet kurią skaičių rinkinį, kuris, patalpintas į sistemą (1), vietoj nežinomųjų paverčia visas sistemos lygtis teisingomis skaitinėmis lygybėmis.

Lygčių sistema vadinama jungtis, jei jis turi bent vieną sprendimą ir ne sąnarių, jei jis neturi sprendimų.

Vienalaikė lygčių sistema vadinama tam tikras, jei jis turi vieną unikalų sprendimą ir neapibrėžtas, jei turi bent du skirtingus sprendimus.

Dvi lygčių sistemos vadinamos lygiavertis arba lygiavertis, jei jie turi tą patį sprendimų rinkinį.

Sistema (1) vadinama vienalytis, jei nemokami terminai lygūs nuliui:

Vienalytė sistema visada yra nuosekli – ji turi sprendimą (galbūt ne vienintelį).

Jei sistemoje (1), tada mes turime sistemą n tiesines lygtis su n nežinoma: kur – nežinomas; – nežinomųjų koeficientai, - nemokami nariai.

Tiesinė sistema gali turėti vieną sprendinį, be galo daug sprendinių arba visai neturėti sprendimo.

Apsvarstykite dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą

Jei tada sistema turi unikalų sprendimą;

jei tada sistema neturi sprendimų;

jei tada sistema turi begalinį sprendinių skaičių.

Pavyzdys. Sistema turi unikalų skaičių poros sprendimą

Sistema turi begalinį sprendimų skaičių. Pavyzdžiui, tam tikros sistemos sprendiniai yra skaičių poros ir pan.

Sistema neturi sprendimų, nes dviejų skaičių skirtumas negali turėti dviejų skirtingų reikšmių.

Apibrėžimas. Antros eilės determinantas vadinama formos išraiška:

Determinantas žymimas simboliu D.

Skaičiai A 11, …, A 22 vadinami determinanto elementais.

Elementų suformuota įstrižainė A 11 ; A 22 skambina pagrindinis elementų suformuota įstrižainė A 12 ; A 21 − pusėje

Taigi antros eilės determinantas lygus pagrindinės ir antrinės įstrižainių elementų sandaugų skirtumui.

Atkreipkite dėmesį, kad atsakymas yra skaičius.

Pavyzdys. Apskaičiuokime determinantus:

Apsvarstykite dviejų tiesinių lygčių sistemą su dviem nežinomaisiais: kur X 1, X 2 – nežinomas; A 11 , …, A 22 – nežinomųjų koeficientai, b 1 ,b 2 – laisvieji nariai.

Jei dviejų lygčių sistema su dviem nežinomaisiais turi unikalų sprendimą, tada jį galima rasti naudojant antros eilės determinantus.

Apibrėžimas. Determinantas, sudarytas iš nežinomųjų koeficientų, vadinamas sistemos determinantas: D = .

Determinanto D stulpeliuose yra atitinkamai koeficientai už X 1 ir val , X 2. Pristatykime du papildomas kvalifikatorius, kurios gaunamos iš sistemos determinanto vieną iš stulpelių pakeitus laisvųjų terminų stulpeliu: D 1 = D 2 = .

14 teorema(Krameris, atveju n = 2). Jei sistemos determinantas D skiriasi nuo nulio (D¹0), tada sistema turi unikalų sprendimą, kuris randamas naudojant formules:

Šios formulės vadinamos Cramerio formulės.

Pavyzdys. Išspręskime sistemą naudodami Cramerio taisyklę:

Sprendimas. Raskime skaičius

Atsakymas.

Apibrėžimas. Trečiosios eilės determinantas vadinama formos išraiška:

Elementai A 11; A 22 ; A 33 – sudaro pagrindinę įstrižainę.

Skaičiai A 13; A 22 ; A 31 – suformuoti šoninę įstrižainę.

Įrašą su pliusu sudaro: pagrindinės įstrižainės elementų sandauga, likusieji du terminai yra trikampių, kurių pagrindai lygiagrečiai pagrindinei įstrižai, viršūnėse esančių elementų sandauga. Minuso terminai sudaromi pagal tą pačią schemą antrinės įstrižainės atžvilgiu.

Pavyzdys. Apskaičiuokime determinantus:

Apsvarstykite trijų tiesinių lygčių sistemą su trimis nežinomaisiais: kur – nežinomas; – nežinomųjų koeficientai, - nemokami nariai.

Unikalaus sprendimo atveju, naudojant 3 eilės determinantus, galima išspręsti 3 tiesinių lygčių su trimis nežinomaisiais sistemą.

Sistemos D determinantas turi tokią formą:

Pateikiame tris papildomus determinantus:

15 teorema(Krameris, atveju n=3). Jei sistemos determinantas D skiriasi nuo nulio, tada sistema turi unikalų sprendimą, kuris randamas naudojant Cramerio formules:

Pavyzdys. Išspręskime sistemą naudodami Cramerio taisyklę.

Sprendimas. Raskime skaičius

Naudokime Cramerio formules ir raskime pradinės sistemos sprendimą:

Atsakymas.

Atkreipkite dėmesį, kad Cramerio teorema taikytina, kai lygčių skaičius yra lygus nežinomųjų skaičiui ir kai sistemos D determinantas nėra lygus nuliui.

Jeigu sistemos determinantas lygus nuliui, tai tokiu atveju sistema gali arba neturėti sprendinių, arba turėti begalinį sprendinių skaičių. Šie atvejai nagrinėjami atskirai.

Pažymėkime tik vieną atvejį. Jeigu sistemos determinantas lygus nuliui (D=0), o bent vienas iš papildomų determinantų skiriasi nuo nulio, tai sistema sprendinių neturi, tai yra nenuosekli.

Kramerio teoremą galima apibendrinti sistemai n tiesines lygtis su n nežinoma: kur – nežinomas; – nežinomųjų koeficientai, - nemokami nariai.

Jei tiesinių lygčių sistemos su nežinomaisiais determinantas, tai vienintelis sistemos sprendimas randamas naudojant Cramerio formules:

Papildomas determinantas gaunamas iš determinanto D, jei jame yra nežinomojo koeficientų stulpelis x i pakeisti laisvų narių stulpeliu.

Atkreipkite dėmesį, kad determinantai D, D 1 , … , D n turėti tvarką n.

Gauso metodas tiesinių lygčių sistemoms spręsti

Vienas iš labiausiai paplitusių tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimo būdų yra nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodas. − Gauso metodas. Šis metodas yra pakeitimo metodo apibendrinimas ir susideda iš nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo, kol lieka viena lygtis su vienu nežinomu.

Metodas pagrįstas kai kuriomis tiesinių lygčių sistemos transformacijomis, dėl kurių gaunama sistema, lygiavertė pradinei sistemai. Metodo algoritmas susideda iš dviejų etapų.

Pirmasis etapas vadinamas tiesiai į priekį Gauso metodas. Jį sudaro nuoseklus nežinomųjų pašalinimas iš lygčių. Norėdami tai padaryti, pirmiausia padalykite pirmąją sistemos lygtį iš (kitaip pertvarkykite sistemos lygtis). Jie žymi gautos sumažintos lygties koeficientus, padaugina jį iš koeficiento ir atima iš antrosios sistemos lygties, tokiu būdu pašalindami iš antrosios lygties (koeficientas nulinis).

Tą patį padarykite su likusiomis lygtimis ir gaukite naują sistemą, kurios visose lygtyse, pradedant nuo antrosios, koeficientuose , yra tik nuliai. Akivaizdu, kad sukurta nauja sistema bus lygiavertė pradinei sistemai.

Jei nauji koeficientai, skirti , ne visi lygūs nuliui, juos galima tokiu pat būdu pašalinti iš trečiosios ir paskesnių lygčių. Tęsiant šią operaciją dėl šių nežinomųjų, sistema įvedama į vadinamąją trikampę formą:

Čia simboliai nurodo skaitinius koeficientus ir laisvuosius terminus, kurie pasikeitė dėl transformacijų.

Iš paskutinės sistemos lygties likę nežinomieji nustatomi unikaliu būdu, o vėliau nuosekliai keičiant.

komentuoti. Kartais dėl transformacijų bet kurioje lygtyje visi koeficientai ir dešinė pavirsta į nulį, tai yra lygtis virsta tapatybe 0=0. Pašalinus tokią lygtį iš sistemos, lygčių skaičius sumažėja lyginant su nežinomųjų skaičiumi. Tokia sistema negali turėti vieno sprendimo.

Jei taikant Gauso metodą bet kuri lygtis virsta lygybe, kurios formos yra 0=1 (nežinomųjų koeficientai virsta 0, o dešinė įgauna ne nulį), tada pradinė sistema neturi sprendimo, nes tokia lygybė yra klaidinga bet kokioms nežinomoms vertybėms.

Apsvarstykite trijų tiesinių lygčių sistemą su trimis nežinomaisiais:

Kur – nežinomas; – nežinomųjų koeficientai, - nemokami nariai. , pakeičiant tuo, kas buvo rasta

Sprendimas.Šiai sistemai pritaikę Gauso metodą, gauname

Kur sugenda paskutinė lygybė bet kurioms nežinomųjų vertybėms, todėl sistema neturi sprendimo.

Atsakymas. Sistema neturi sprendimų.

Atkreipkite dėmesį, kad anksčiau aptartu Cramerio metodu galima spręsti tik tas sistemas, kuriose lygčių skaičius sutampa su nežinomųjų skaičiumi, o sistemos determinantas turi būti ne nulis. Gauso metodas yra universalesnis ir tinka sistemoms su bet kokiu lygčių skaičiumi.

M tiesinių lygčių sistema su n nežinomųjų vadinama formos sistema

Kur a ij Ir b i (i=1,…,m; b=1,…,n) yra kai kurie žinomi skaičiai ir x 1,…,x n– nežinomas. Koeficientų žymėjime a ij pirmasis indeksas ižymi lygties numerį, o antrasis j– nežinomojo skaičius, kuriame yra šis koeficientas.

Nežinomųjų koeficientus parašysime matricos pavidalu , kurį paskambinsime sistemos matrica.

Dešinėje lygčių pusėje esantys skaičiai yra b 1 ,…, b m yra vadinami nemokami nariai.

Visumą n numeriai c 1,…,c n paskambino sprendimą tam tikros sistemos, jei kiekviena sistemos lygtis į ją pakeitus skaičius tampa lygybe c 1,…,c n vietoj atitinkamų nežinomųjų x 1,…,x n.

Mūsų užduotis bus rasti sistemos sprendimus. Tokiu atveju gali susidaryti trys situacijos:

Vadinama tiesinių lygčių sistema, turinti bent vieną sprendinį jungtis. Priešingu atveju, t.y. jei sistema neturi sprendimų, tada ji vadinama ne sąnarių.

Panagrinėkime būdus, kaip rasti sistemos sprendimus.

TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMŲ SPRENDIMO MATRIKSNIS METODAS

Matricos leidžia trumpai užrašyti tiesinių lygčių sistemą. Pateikiame 3 lygčių su trimis nežinomaisiais sistemą:

Apsvarstykite sistemos matricą ir nežinomų ir laisvųjų terminų matricų stulpelius

Susiraskime darbą

tie. dėl sandaugos gauname šios sistemos lygčių kairiąsias puses. Tada, naudojant matricos lygybės apibrėžimą, šią sistemą galima parašyti forma

arba trumpesnis A∙X = B.

Čia yra matricos A Ir B yra žinomi, ir matrica X nežinomas. Jį surasti būtina, nes... jos elementai yra šios sistemos sprendimas. Ši lygtis vadinama matricos lygtis.

Tegul matricos determinantas skiriasi nuo nulio | A| ≠ 0. Tada matricos lygtis sprendžiama taip. Abi kairėje esančios lygties puses padauginkite iš matricos A-1, atvirkštinė matrica A: . Nes A -1 A = E Ir E∙X = X, tada gauname matricos lygties sprendimą formoje X = A -1 B .

Atkreipkite dėmesį, kad kadangi atvirkštinę matricą galima rasti tik kvadratinėms matricoms, matricos metodas gali išspręsti tik tas sistemas, kuriose lygčių skaičius sutampa su nežinomųjų skaičiumi. Tačiau sistemos matricinis įrašymas galimas ir tuo atveju, kai lygčių skaičius nėra lygus nežinomųjų skaičiui, tada matrica A nebus kvadratinis ir todėl neįmanoma rasti sistemos sprendimo formoje X = A -1 B.

Pavyzdžiai. Išspręskite lygčių sistemas.

CRAMERIO TAISYKLĖ

Apsvarstykite 3 tiesinių lygčių sistemą su trimis nežinomaisiais:

Trečios eilės determinantas, atitinkantis sistemos matricą, t.y. sudarytas iš nežinomųjų koeficientų,

paskambino sistemos determinantas.

Dar tris determinantus sudarykime taip: 1, 2 ir 3 determinanto D stulpelius paeiliui pakeiskite laisvųjų terminų stulpeliu.

Tada galime įrodyti tokį rezultatą.

Teorema (Cramerio taisyklė). Jei sistemos determinantas Δ ≠ 0, tai nagrinėjama sistema turi vieną ir tik vieną sprendinį, ir

Įrodymas. Taigi, panagrinėkime 3 lygčių sistemą su trimis nežinomaisiais. 1-ąją sistemos lygtį padauginkime iš algebrinio papildinio A 11 elementas a 11, 2 lygtis – įjungta A 21 o 3 – įjungta A 31:

Pridėkime šias lygtis:

Pažvelkime į kiekvieną skliaustą ir dešinę šios lygties pusę. Pagal teoremą apie determinanto išplėtimą 1 stulpelio elementuose

Panašiai galima parodyti, kad ir .

Galiausiai tai nesunku pastebėti

Taigi gauname lygybę: .

Vadinasi,.

Lygybės ir yra išvestos panašiai, iš kurios išplaukia teoremos teiginys.

Taigi, pastebime, kad jei sistemos determinantas Δ ≠ 0, tai sistema turi unikalų sprendimą ir atvirkščiai. Jeigu sistemos determinantas lygus nuliui, tai sistema arba turi begalinį sprendinių skaičių, arba neturi sprendinių, t.y. nesuderinamas.

Pavyzdžiai. Išspręskite lygčių sistemą

GAUSS METODAS

Anksčiau aptartais metodais galima spręsti tik tas sistemas, kuriose lygčių skaičius sutampa su nežinomųjų skaičiumi, o sistemos determinantas turi skirtis nuo nulio. Gauso metodas yra universalesnis ir tinka sistemoms su bet kokiu lygčių skaičiumi. Jį sudaro nuoseklus nežinomųjų pašalinimas iš sistemos lygčių.

Dar kartą apsvarstykite trijų lygčių sistemą su trimis nežinomaisiais:

Pirmąją lygtį paliksime nepakeistą, o iš 2 ir 3 išimsime terminus, kuriuose yra x 1. Norėdami tai padaryti, padalykite antrąją lygtį iš A 21 ir padauginkite iš – A 11, tada pridėkite jį prie 1-osios lygties. Panašiai mes padalijame trečiąją lygtį iš A 31 ir padauginkite iš – A 11, tada pridėkite jį prie pirmojo. Dėl to pradinė sistema bus tokia:

Dabar iš paskutinės lygties pašaliname terminą, kuriame yra x 2. Norėdami tai padaryti, padalykite trečiąją lygtį iš, padauginkite iš ir pridėkite prie antrosios. Tada turėsime lygčių sistemą: