Kiekvienas kampas, priklausomai nuo jo dydžio, turi savo pavadinimą:

Kampo tipas	Dydis laipsniais	Pavyzdys
Aštrus	Mažiau nei 90°
Tiesioginis	Lygus 90°. Brėžinyje stačiakampis paprastai žymimas simboliu, nubrėžtu iš vienos kampo pusės į kitą.
Bukas	Daugiau nei 90°, bet mažiau nei 180°
Išplėstas	Lygus 180° Tiesus kampas yra lygus dviejų stačiųjų kampų sumai, o stačiasis kampas yra pusė tiesiojo kampo.
Išgaubtas	Daugiau nei 180°, bet mažiau nei 360°
Pilnas	Lygus 360°

Du kampai vadinami gretimas, jei jų viena pusė yra bendra, o kitos dvi pusės sudaro tiesią liniją:

Kampai MOP Ir PON gretimas, nes sija OP- bendroji pusė ir kitos dvi pusės - OM Ir ĮJUNGTA sudaryti tiesią liniją.

Bendroji gretimų kampų pusė vadinama pasviręs į tiesus, ant kurio guli kitos dvi kraštinės, tik tuo atveju, kai gretimi kampai nelygūs vienas kitam. Jei gretimi kampai yra lygūs, tada jų bendroji pusė bus statmenai.

Gretimų kampų suma yra 180°.

Du kampai vadinami vertikaliai, jei vieno kampo kraštinės papildo kito kampo kraštines tiesiomis linijomis:

1 ir 3 kampai, taip pat 2 ir 4 kampai yra vertikalūs.

Vertikalūs kampai yra lygūs.

Įrodykime, kad vertikalūs kampai yra lygūs:

∠1 ir ∠2 suma yra tiesus kampas. O ∠3 ir ∠2 suma yra tiesus kampas. Taigi šios dvi sumos yra lygios:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

Šioje lygybėje kairėje ir dešinėje yra identiškas terminas – ∠2. Lygybė nebus pažeista, jei šis terminas kairėje ir dešinėje bus praleistas. Tada mes tai gauname.

Du kampai vadinami gretimais, jei jų viena pusė yra bendra, o kitos šių kampų pusės yra vienas kitą papildantys spinduliai. 20 paveiksle kampai AOB ir BOC yra gretimi.

Gretimų kampų suma yra 180°

1 teorema. Gretimų kampų suma lygi 180°.

Įrodymas. Sija OB (žr. 1 pav.) eina tarp išskleisto kampo kraštinių. Štai kodėl ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

Iš 1 teoremos išplaukia, kad jei du kampai yra lygūs, tai jų gretimi kampai yra lygūs.

Vertikalūs kampai yra lygūs

Du kampai vadinami vertikaliais, jei vieno kampo kraštinės yra kito kraštinių vienas kitą papildantys spinduliai. Dviejų tiesių sankirtoje susidarę kampai AOB ir COD, BOD ir AOC yra vertikalūs (2 pav.).

2 teorema. Vertikalūs kampai lygūs.

Įrodymas. Panagrinėkime vertikalius kampus AOB ir COD (žr. 2 pav.). Kampas BOD yra greta kiekvieno kampo AOB ir COD. Pagal 1 teoremą ∠ AOB + ∠ BDS = 180°, ∠ COD + ∠ BDS = 180°.

Iš to darome išvadą, kad ∠ AOB = ∠ COD.

Išvada 1. Kampas, esantis greta stačiojo kampo, yra stačiu kampu.

Apsvarstykite dvi susikertančias tieses AC ir BD (3 pav.). Jie sudaro keturis kampus. Jei vienas iš jų yra tiesus (3 pav. 1 kampas), tai likę kampai taip pat yra statūs (kampai 1 ir 2, 1 ir 4 yra gretimi, 1 ir 3 kampai vertikalūs). Šiuo atveju jie sako, kad šios linijos susikerta stačiu kampu ir vadinamos statmenomis (arba viena kitai statmenomis). Tiesių AC ir BD statmena žymima taip: AC ⊥ BD.

Statmena atkarpai yra tiesė, statmena šiai atkarpai ir einanti per jos vidurio tašką.

AN – statmena tiesei

Panagrinėkime tiesę a ir tašką A, kuris nėra joje (4 pav.). Sujungkime tašką A su atkarpa su tašku H tiese a. Atkarpa AN vadinama statmenu, nubrėžtu iš taško A į tiesę a, jei tiesės AN ir a yra statmenos. Taškas H vadinamas statmens pagrindu.

Kvadrato piešimas

Ši teorema yra teisinga.

3 teorema. Iš bet kurio taško, esančio ne ant tiesės, galima nubrėžti statmeną šiai tiesei, o be to, tik vieną.

Norėdami nubrėžti statmeną nuo taško iki tiesės brėžinyje, naudokite piešimo kvadratą (5 pav.).

komentuoti. Teoremos formuluotė paprastai susideda iš dviejų dalių. Viena dalis kalba apie tai, kas duota. Ši dalis vadinama teoremos sąlyga. Kitoje dalyje kalbama apie tai, ką reikia įrodyti. Ši dalis vadinama teoremos išvada. Pavyzdžiui, 2 teoremos sąlyga yra ta, kad kampai yra vertikalūs; išvada – šie kampai lygūs.

Bet kurią teoremą galima detaliai išreikšti žodžiais, kad jos sąlyga prasidėtų žodžiu „jei“, o pabaiga – žodžiu „tada“. Pavyzdžiui, 2 teorema gali būti išsamiai išdėstyta taip: „Jei du kampai yra vertikalūs, jie yra lygūs“.

1 pavyzdys. Vienas iš gretimų kampų yra 44°. Kam tas kitas lygus?

Sprendimas. Kito kampo laipsnio matą pažymėkime x, tada pagal 1 teoremą.
44° + x = 180°.
Išspręsdami gautą lygtį, nustatome, kad x = 136°. Todėl kitas kampas yra 136°.

2 pavyzdys. Tegul kampas COD 21 paveiksle yra 45°. Kokie yra kampai AOB ir AOC?

Sprendimas. Kampai COD ir AOB yra vertikalūs, todėl pagal 1.2 teoremą yra lygūs, t.y. ∠ AOB = 45°. Kampas AOC yra greta kampo COD, o tai reiškia pagal 1 teoremą.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

3 pavyzdys. Raskite gretimus kampus, jei vienas iš jų yra 3 kartus didesnis už kitą.

Sprendimas. Mažesniojo kampo laipsnio matą pažymėkime x. Tada didesnio kampo laipsnio matas bus 3x. Kadangi gretimų kampų suma lygi 180° (1 teorema), tai x + 3x = 180°, iš kur x = 45°.
Tai reiškia, kad gretimi kampai yra 45° ir 135°.

4 pavyzdys. Dviejų vertikalių kampų suma yra 100°. Raskite kiekvieno iš keturių kampų dydį.

Sprendimas. Tegul 2 paveikslas atitinka uždavinio sąlygas. Vertikalūs kampai COD į AOB yra lygūs (2 teorema), o tai reiškia, kad jų laipsnio matai. Todėl ∠ COD = ∠ AOB = 50° (jų suma pagal sąlygą yra 100°). Kampas BOD (taip pat kampas AOC) yra greta kampo COD, todėl pagal 1 teoremą
∠ BDS = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Nurodykite teisingų teiginių skaičius.

1) Bet kurios trys linijos turi daugiausia vieną bendrą tašką.

2) Jei kampas yra 120°, tai gretimas yra 120°.

3) Jei atstumas nuo taško iki tiesės yra didesnis nei 3, tai bet kurios pasvirosios linijos, nubrėžtos nuo nurodyto taško iki tiesės, ilgis yra didesnis nei 3.

Jei yra keli teiginiai, užrašykite jų skaičius didėjančia tvarka.

Sprendimas.

Mes patikriname kiekvieną iš teiginių.

1) „Bet kurios trys linijos turi daugiausia vieną bendrą tašką“ - teisingai. Jei tiesės turi du ar daugiau bendrų taškų, tada jie sutampa. (Žr. com-men-ta-rii to za-da-che.)

2) „Jei kampas yra 120 °, tada gretimas yra 120 °“ - negerai. Gretimų kampų suma yra 180°.

3) "Jei atstumas nuo taško iki tiesės yra didesnis nei 3, tada bet kurios nuožulnios linijos, nubrėžtos nuo nurodyto taško iki tiesės, ilgis yra didesnis nei 3." teisingai. Kadangi atstumas yra trumpiausias nuo pjūvio iki tiesios linijos, o visi įstrižai yra ilgesni.

Atsakymas: 13.

Atsakymas: 13

· Užduoties prototipas ·

Svečias 19.02.2015 12:42

Atanasyan L.S ir kt. mokyklinio vadovėlio „Geometrija 7--9“, „Apšvietimas“, 2014 m., 1 skyriaus 1 pastraipa.

1) Planimetrijos aksioma: per bet kuriuos du taškus galite nubrėžti tiesią liniją ir, be to, tik vieną.

2) Mokyklos kurse priimta pozicija: sakydami „du taškai“, „trys taškai“, „dvi eilutės“ ir pan., manysime, kad šie taškai ir linijos skiriasi.

Išvada, kad mokinys turi išmokti: dvi eilutes arba turėti tik vieną bendras taškas, arba neturi bendrų taškų.

Todėl atsakymas į 1 klausimą turėtų būti „teisingas“. Jei visos trys eilutės sutampa, tai yra viena eilutė, o ne trys.

Petras Murzinas

Būtų teisinga sąlygoje įrašyti „bet kokie trys įvairių tiesios linijos turi daugiausia vieną bendrą tašką“, bet tai netiesa.

Svečias 10.04.2015 16:38

Gerbiamas redaktore!

Sutinku su Svečio 2015-02-19 pastaba dėl šios problemos 1 pastraipos teiginio pagrįstumo: minėtame Vadovėlyje „Geometrija 7-9“ (1 dalies 1 punktas, pastaba 1) sakoma: „ toliau, sakydami „du taškai“, „trys taškai“, „dvi linijos“ ir pan., manysime, kad šie taškai ir linijos skiriasi.

Atsižvelgiant į tai, kas išdėstyta pirmiau, svetainėje pateikti argumentai sprendžiant šią problemą (1 punkto dalyje) yra klaidingi, nes „trijų eilučių“ problemos formuluotė reiškia, kad šios trys eilutės yra skirtingos (ty negali sutapti!) . Trys linijos (skirtingos, o tai yra numatytasis!): arba turi vieną bendrą tašką (kuris priklauso kiekvienai iš šių trijų tiesių) – tuo atveju, kai viename taške susikerta trys tiesės; arba neturi bendrų taškų.

Tokią išvadą patvirtina ir minėto vadovėlio 1 dalies 1 pastraipos išvada: „dvi tiesės arba turi tik vieną bendrą tašką, arba neturi bendrų taškų“. Įrodymas pagal prieštaravimą: tarkime, kad trys linijos turi daugiau nei vieną bendrą tašką; todėl dvi iš šių eilučių turi bent vieną bendrą tašką (kadangi šių dviejų tiesių bendri taškai bus tie, kurie yra bendri visoms trims linijoms); tačiau tai prieštarauja minėtai vadovėlio išvadai, kad dvi eilutės arba turi tik vieną bendrą tašką, arba neturi bendrų taškų.

Pagarbiai, svečias.

Pagalbos tarnyba

1. Gretimi kampai.

Jei bet kurio kampo kraštinę pratęsime už jo viršūnės, gausime du kampus (72 pav.): ∠ABC ir ∠CBD, kurių viena kraštinė BC yra bendra, o kitos dvi – AB ir BD – sudaro tiesią liniją.

Du kampai, kurių viena pusė yra bendra, o kiti du sudaro tiesią liniją, vadinami gretimais kampais.

Gretimus kampus galima gauti ir tokiu būdu: nubrėžę spindulį iš kurio nors tiesės taško (negulinčio ant duotosios tiesės), gausime gretimus kampus.

Pavyzdžiui, ∠ADF ir ∠FDB yra gretimi kampai (73 pav.).

Gretimi kampai gali turėti įvairiausių padėčių (74 pav.).

Gretimi kampai sudaro tiesų kampą, taigi dviejų gretimų kampų suma lygi 180°

Vadinasi, stačiasis kampas gali būti apibrėžtas kaip kampas, lygus jo gretimam kampui.

Žinodami vieno iš gretimų kampų dydį, galime rasti kito greta esančio kampo dydį.

Pavyzdžiui, jei vienas iš gretimų kampų yra 54°, tada antrasis kampas bus lygus:

180° - 54° = l26°.

2. Vertikalūs kampai.

Jei išplečiame kampo kraštines už jo viršūnės, gausime vertikalius kampus. 75 paveiksle kampai EOF ir AOC yra vertikalūs; kampai AOE ir COF taip pat vertikalūs.

Du kampai vadinami vertikaliais, jei vieno kampo kraštinės yra kito kampo kraštinių tęsinys.

Tegul ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° (76 pav.). ∠2 šalia jo bus lygus 180° – \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, t.y. 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

Tuo pačiu būdu galite apskaičiuoti, kam yra lygūs ∠3 ir ∠4.

∠3 = 180° – 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (77 pav.).

Matome, kad ∠1 = ∠3 ir ∠2 = ∠4.

Galite išspręsti dar keletą tų pačių problemų ir kiekvieną kartą gausite tą patį rezultatą: vertikalūs kampai yra lygūs vienas kitam.

Tačiau norint įsitikinti, kad vertikalūs kampai visada yra lygūs vienas kitam, nepakanka atsižvelgti į individualius skaitiniai pavyzdžiai, nes išvados, padarytos remiantis konkrečiais pavyzdžiais, kartais gali būti klaidingos.

Vertikalių kampų savybių pagrįstumą būtina patikrinti įrodymu.

Įrodymas gali būti atliktas taip (78 pav.):

∠a+∠c= 180°;

∠b+∠c= 180°;

(nes gretimų kampų suma yra 180°).

∠a+∠c = ∠b+∠c

(kadangi kairioji šios lygybės pusė lygi 180°, o dešinioji taip pat lygi 180°).

Ši lygybė apima tą patį kampą Su.

Jei iš vienodų kiekių atimsime lygias sumas, tada išliks vienodos sumos. Rezultatas bus: ∠a = ∠b, ty vertikalūs kampai yra lygūs vienas kitam.

3. Kampų, turinčių bendrą viršūnę, suma.

79 brėžinyje ∠1, ∠2, ∠3 ir ∠4 yra vienoje linijos pusėje ir turi bendrą viršūnę šioje tiesėje. Sumuojant šie kampai sudaro tiesų kampą, t.y.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

80 paveiksle ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 ir ∠5 turi bendrą viršūnę. Šie kampai sudaro visą kampą, t. y. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Kitos medžiagos

Kaip rasti gretimą kampą?

Matematika yra seniausias tikslusis mokslas, kuris privalomai mokomas mokyklose, kolegijose, institutuose ir universitetuose. Tačiau pagrindinės žinios visada įdedamos mokykloje. Kartais vaiko paklausiama pakankamai sunkių užduočių, o tėvai padėti negali, nes tiesiog pamiršo kai kuriuos dalykus iš matematikos. Pavyzdžiui, kaip rasti gretimą kampą pagal pagrindinio kampo dydį ir pan. Problema paprasta, bet gali sukelti sunkumų sprendžiant dėl ​​nežinojimo, kurie kampai vadinami gretimi ir kaip juos rasti.

Pažvelkime atidžiau į gretimų kampų apibrėžimą ir savybes, taip pat kaip juos apskaičiuoti pagal uždavinyje pateiktus duomenis.

Gretimų kampų apibrėžimas ir savybės

Du spinduliai, sklindantys iš vieno taško, sudaro figūrą, vadinamą „plokštumos kampu“. Šiuo atveju šis taškas vadinamas kampo viršūne, o spinduliai yra jo kraštinės. Jei vieną iš spindulių tęsime toliau pradžios taškas tiesia linija, tada susidaro kitas kampas, kuris vadinamas gretimu. Kiekvienas kampas šiuo atveju turi du gretimus kampus, nes kampo kraštinės yra lygiavertės. Tai yra, visada yra gretimas 180 laipsnių kampas.

Pagrindinės gretimų kampų savybės apima

• Gretimi kampai turi bendrą viršūnę ir vieną kraštinę;
• Gretutinių kampų suma visada lygi 180 laipsnių arba skaičiui Pi, jei skaičiuojama radianais;
• Gretimų kampų sinusai visada lygūs;
• Gretimų kampų kosinusai ir liestinės yra lygūs, bet turi priešingus ženklus.

Kaip rasti gretimus kampus

Paprastai pateikiami trys uždavinių variantai, norint rasti gretimų kampų dydį

• Pateikiama pagrindinio kampo reikšmė;
• Pateikiamas pagrindinio ir gretimo kampo santykis;
• Pateikiama vertikalaus kampo reikšmė.

Kiekviena problemos versija turi savo sprendimą. Pažiūrėkime į juos.

Pateikiama pagrindinio kampo reikšmė

Jei problema nurodo pagrindinio kampo reikšmę, tada gretimo kampo radimas yra labai paprastas. Norėdami tai padaryti, tiesiog atimkite pagrindinio kampo vertę iš 180 laipsnių ir gausite gretimo kampo vertę. Šis sprendimas kyla iš gretimo kampo savybės – gretimų kampų suma visada lygi 180 laipsnių.

Jei pagrindinio kampo reikšmė pateikiama radianais ir norint išspręsti problemą reikia rasti gretimą kampą radianais, tada iš skaičiaus Pi reikia atimti pagrindinio kampo reikšmę, nes viso atlenkto kampo vertė yra 180 laipsnių yra lygus skaičiui Pi.

Pateikiamas pagrindinio ir gretimo kampo santykis

Problema gali nurodyti pagrindinio ir gretimų kampų santykį, o ne pagrindinio kampo laipsnius ir radianus. Šiuo atveju sprendimas atrodys kaip proporcijų lygtis:

1. Pagrindinio kampo proporciją žymime kaip kintamąjį „Y“.
2. Su gretimu kampu susijusi trupmena žymima kintamuoju „X“.
3. Kiekvienos proporcijos laipsnių skaičius bus pažymėtas, pavyzdžiui, „a“.
4. Bendroji formulė atrodys taip – ​​a*X+a*Y=180 arba a*(X+Y)=180.
5. Bendrąjį lygties „a“ koeficientą randame naudodami formulę a=180/(X+Y).
6. Tada gautą bendro koeficiento „a“ reikšmę padauginame iš kampo, kurį reikia nustatyti, dalies.

Tokiu būdu galime rasti gretimo kampo reikšmę laipsniais. Tačiau, jei jums reikia rasti reikšmę radianais, jums tiesiog reikia konvertuoti laipsnius į radianus. Norėdami tai padaryti, padauginkite kampą laipsniais iš Pi ir padalykite viską iš 180 laipsnių. Gauta vertė bus išreikšta radianais.

Pateikiama vertikalaus kampo reikšmė

Jei uždavinyje pateikiama ne pagrindinio kampo reikšmė, o pateikta vertikalaus kampo reikšmė, tai gretimąjį kampą galima apskaičiuoti pagal tą pačią formulę kaip ir pirmoje pastraipoje, kur pateikiama pagrindinio kampo reikšmė.

Vertikalus kampas yra kampas, kuris kyla iš to paties taško kaip ir pagrindinis, bet yra nukreiptas tiksliai priešinga kryptimi. Taip paaiškėja veidrodinis vaizdas. Tai reiškia, kad vertikalus kampas yra lygus pagrindiniam kampui. Savo ruožtu gretimas vertikalaus kampo kampas yra lygus gretimo pagrindinio kampo kampui. Dėl to galima apskaičiuoti gretimą pagrindinio kampo kampą. Norėdami tai padaryti, tiesiog atimkite vertikalią vertę iš 180 laipsnių ir gaukite gretimo pagrindinio kampo kampo vertę laipsniais.

Jei reikšmė pateikiama radianais, tada iš skaičiaus Pi reikia atimti vertikalaus kampo vertę, nes viso 180 laipsnių kampo vertė yra lygi skaičiui Pi.

Taip pat galite perskaityti mūsų naudingus straipsnius ir.