Matematika turi savo grožį, kaip ir tapyba ir poezija.

Rusų mokslininkas, mechanikas N.E. Žukovskis

Labai dažnos užduotys stojamieji egzaminai matematikoje yra problemos, susijusios su sąvoka aritmetinė progresija. Norėdami sėkmingai išspręsti tokias problemas, turite gerai išmanyti aritmetinės progresijos ypatybes ir turėti tam tikrų jų taikymo įgūdžių.

Pirmiausia prisiminkime pagrindines aritmetinės progresijos savybes ir pateiksime svarbiausias formules, susijusi su šia sąvoka.

Apibrėžimas. Skaičių seka, kurioje kiekvienas paskesnis terminas nuo ankstesnio skiriasi tuo pačiu skaičiumi, vadinama aritmetine progresija. Šiuo atveju skaičiusvadinamas progresijos skirtumu.

Aritmetinei progresijai galioja šios formulės:

, (1)

Kur. Formulė (1) vadinama aritmetinės progresijos bendrojo nario formule, o formulė (2) atspindi pagrindinę aritmetinės progresijos savybę: kiekvienas progresijos narys sutampa su gretimų narių aritmetiniu vidurkiu ir .

Atkreipkite dėmesį, kad būtent dėl ​​šios savybės nagrinėjama progresija vadinama „aritmetine“.

Pirmiau pateiktos (1) ir (2) formulės apibendrinamos taip:

(3)

Norėdami apskaičiuoti sumą pirma aritmetinės progresijos terminaidažniausiai naudojama formulė

(5) kur ir .

Jei atsižvelgsime į formulę (1), tada iš (5) formulės išplaukia

Jei pažymime , tada

Kur. Kadangi , (7) ir (8) formulės yra atitinkamų (5) ir (6) formulių apibendrinimas.

Visų pirma, iš (5) formulės išplaukia, Ką

Daugumai studentų mažai žinoma aritmetinės progresijos savybė, suformuluota pagal šią teoremą.

Teorema. Jei, tada

Įrodymas. Jei, tada

Teorema įrodyta.

Pavyzdžiui, naudojant teoremą, galima tai parodyti

Pereikime prie tipiškų problemų sprendimo pavyzdžių tema „Aritmetinė progresija“.

1 pavyzdys. Tebūnie. Rasti.

Sprendimas. Taikydami formulę (6), gauname . Nuo ir , tada arba .

2 pavyzdys. Tegul jis yra tris kartus didesnis, o padalijus iš koeficiento, rezultatas yra 2, o likusioji dalis yra 8. Nustatykite ir .

Sprendimas. Iš pavyzdžio sąlygų seka lygčių sistema

Kadangi , , ir , tada iš lygčių sistemos (10) gauname

Šios lygčių sistemos sprendimas yra ir .

3 pavyzdys. Raskite, ar ir .

Sprendimas. Pagal (5) formulę turime arba . Tačiau naudojant savybę (9), gauname .

Nuo ir , tada iš lygybės toliau pateikiama lygtis arba .

4 pavyzdys. Rasti, jei.

Sprendimas.Pagal (5) formulę turime

Tačiau naudodamiesi teorema galime rašyti

Iš čia ir iš (11) formulės gauname .

5 pavyzdys. Duota:. Rasti.

Sprendimas. Nuo tada. Tačiau todėl.

6 pavyzdys. Leiskite , ir . Rasti.

Sprendimas. Naudodami formulę (9), gauname . Todėl, jei , tada arba .

Nuo ir tada čia turime lygčių sistemą

Išspręsdami kurią, gauname ir .

Natūrali lygties šaknis yra .

7 pavyzdys. Raskite, ar ir .

Sprendimas. Kadangi pagal (3) formulę turime, kad , tai lygčių sistema išplaukia iš uždavinio sąlygų

Jei pakeisime išraiškąį antrąją sistemos lygtį, tada gauname arba .

Kvadratinės lygties šaknys yra Ir .

Panagrinėkime du atvejus.

1. Leiskite , tada . Nuo ir tada .

Šiuo atveju pagal (6) formulę turime

2. Jei , tada , ir

Atsakymas: ir.

8 pavyzdys. Yra žinoma, kad ir. Rasti.

Sprendimas. Atsižvelgdami į (5) formulę ir pavyzdžio sąlygą, rašome ir .

Tai reiškia lygčių sistemą

Jei padauginsime pirmąją sistemos lygtį iš 2 ir pridėsime ją prie antrosios lygties, gausime

Pagal (9) formulę turime. Šiuo atžvilgiu darytina išvada, kad (12) arba .

Nuo ir tada .

Atsakymas:.

9 pavyzdys. Raskite, ar ir .

Sprendimas. Nuo , ir pagal sąlygą , tada arba .

Iš (5) formulės žinoma, Ką. Nuo tada.

Vadinasi, čia turime tiesinių lygčių sistemą

Iš čia gauname ir . Atsižvelgdami į (8) formulę, rašome .

10 pavyzdys. Išspręskite lygtį.

Sprendimas. Iš duota lygtis iš to išplaukia. Tarkime, kad , , ir . Tokiu atveju.

Pagal (1) formulę galime rašyti arba .

Kadangi , tada (13) lygtis turi vienintelę tinkamą šaknį .

11 pavyzdys. Raskite didžiausią reikšmę, jei ir .

Sprendimas. Nuo tada nagrinėjama aritmetinė progresija mažėja. Šiuo atžvilgiu išraiška įgyja didžiausią reikšmę, kai tai yra minimalaus teigiamo progreso nario skaičius.

Naudokime formulę (1) ir faktą, kad ir . Tada gauname tai arba .

Nuo tada arba . Tačiau šioje nelygybėjedidžiausias natūralusis skaičius, Štai kodėl.

Jei ir reikšmės yra pakeistos į (6) formulę, gauname .

Atsakymas:.

12 pavyzdys. Nustatykite visų dviženklių natūraliųjų skaičių sumą, kurią padalijus iš skaičiaus 6, lieka 5.

Sprendimas. Pažymime visų dviženklių natūraliųjų skaičių aibe, t.y. . Toliau sudarysime poaibį, susidedantį iš tų aibės elementų (skaičių), kuriuos padalijus iš skaičiaus 6, gaunama 5 liekana.

Lengva montuoti, Ką. Aišku, kad aibės elementaisudaryti aritmetinę progresiją, kuriame ir .

Norėdami nustatyti aibės kardinalumą (elementų skaičių), darome prielaidą, kad . Kadangi ir , tai išplaukia iš formulės (1) arba . Atsižvelgdami į (5) formulę, gauname .

Aukščiau pateikti problemų sprendimo pavyzdžiai jokiu būdu negali teigti, kad jie yra išsamūs. Šis straipsnis parašytas remiantis analize šiuolaikiniai metodai tipinių uždavinių sprendimas tam tikra tema. Norint nuodugniau ištirti su aritmetine progresija susijusių problemų sprendimo būdus, patartina remtis rekomenduojamos literatūros sąrašu.

1. Matematikos uždavinių rinkinys stojantiesiems į kolegijas / Red. M.I. Scanavi. – M.: Taika ir švietimas, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Matematika gimnazistams: papildomi skyriai mokyklos mokymo programa. – M.: Lenandas / URSS, 2014. – 216 p.

3. Medynsky M.M. Pilnas kursas elementarioji matematika užduotyse ir pratybose. 2 knyga: skaičių sekos ir progresas. – M.: Editus, 2015. – 208 p.

Vis dar turite klausimų?

Norėdami gauti pagalbos iš dėstytojo, užsiregistruokite.

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

Taigi, atsisėskime ir pradėkime rašyti keletą skaičių. Pavyzdžiui:
Galite rašyti bet kokius skaičius, o jų gali būti tiek, kiek norite (mūsų atveju jų yra). Kad ir kiek skaičių berašytume, visada galime pasakyti, kuris pirmas, kuris antras ir taip iki paskutinio, tai yra, galime juos sunumeruoti. Tai yra pavyzdys skaičių seka:

Skaičių seka
Pavyzdžiui, mūsų seka:

Priskirtas numeris būdingas tik vienam sekos numeriui. Kitaip tariant, sekoje nėra trijų sekundžių skaičių. Antrasis skaičius (kaip ir antrasis) visada yra tas pats.
Skaičius su skaičiumi vadinamas sekos nariu.

Paprastai visą seką vadiname kokia nors raide (pvz.,), ir kiekvienas šios sekos narys yra ta pati raidė, kurios indeksas yra lygus šio nario skaičiui: .

Mūsų atveju:

Tarkime, kad turime skaičių seką, kurioje skirtumas tarp gretimų skaičių yra vienodas ir lygus.
Pavyzdžiui:

ir tt
Ši skaičių seka vadinama aritmetine progresija.
Terminą „progresacija“ dar VI amžiuje įvedė romėnų autorius Boethius ir jis buvo suprantamas platesne prasme kaip begalinė skaitinė seka. Pavadinimas „aritmetika“ buvo perkeltas iš ištisinių proporcijų teorijos, kurią tyrinėjo senovės graikai.

Tai skaičių seka, kurios kiekvienas narys yra lygus ankstesniam, pridėtam prie to paties skaičiaus. Šis skaičius vadinamas aritmetinės progresijos skirtumu ir yra žymimas.

Pabandykite nustatyti, kurios skaičių sekos yra aritmetinė progresija, o kurios ne:

a)
b)
c)
d)

Supratai? Palyginkime savo atsakymus:
Is aritmetinė progresija - b, c.
Ar ne aritmetinė progresija - a, d.

Grįžkime prie duotosios progresijos () ir pabandykime rasti jos nario reikšmę. Egzistuoja du būdas jį rasti.

1. Metodas

Progresijos skaičių galime pridėti prie ankstesnės reikšmės, kol pasieksime tąjį progresijos narį. Gerai, kad neturime daug ką apibendrinti – tik trys vertybės:

Taigi aprašytos aritmetinės progresijos narys yra lygus.

2. Metodas

Ką daryti, jei mums reikėtų rasti progresijos tosios nario vertę? Sumavimas užtruktų ne vieną valandą, ir tai nėra faktas, kad nesuklystume sudėdami skaičius.
Žinoma, matematikai sugalvojo būdą, kaip nebūtina pridėti aritmetinės progresijos skirtumo prie ankstesnės reikšmės. Atidžiau pažvelkite į nupieštą paveikslėlį... Tikrai jau pastebėjote tam tikrą raštą, būtent:

Pavyzdžiui, pažiūrėkime, iš ko susideda šios aritmetinės progresijos n-ojo nario reikšmė:


Kitaip tariant:

Pabandykite tokiu būdu patys rasti tam tikros aritmetinės progresijos nario vertę.

Ar paskaičiavai? Palyginkite savo užrašus su atsakymu:

Atkreipkite dėmesį, kad gavote lygiai tokį patį skaičių kaip ir ankstesniame metode, kai prie ankstesnės reikšmės nuosekliai pridėjome aritmetinės progresijos terminus.
Pabandykime „nuasmeninti“ šią formulę – įtraukime ją į ją bendras vaizdas ir gauname:

Aritmetinės progresijos lygtis.

Aritmetinė progresija gali didėti arba mažėti.

Didėja- progresija, kurioje kiekviena paskesnė terminų reikšmė yra didesnė už ankstesnę.
Pavyzdžiui:

Mažėjantis- progresija, kurioje kiekviena paskesnė terminų reikšmė yra mažesnė už ankstesnę.
Pavyzdžiui:

Išvestinė formulė naudojama skaičiuojant terminus tiek didėjančiais, tiek mažėjančiais aritmetinės progresijos nariais.
Patikrinkime tai praktiškai.
Pateikiame aritmetinę progresiją, kurią sudaro šie skaičiai: Patikrinkime, koks bus šios aritmetinės progresijos skaičius, jei jį apskaičiuoti naudosime savo formule:

Nuo tada:

Taigi, esame įsitikinę, kad formulė veikia tiek mažėjant, tiek didėjant aritmetinei progresijai.
Pabandykite patys rasti šios aritmetinės progresijos angą ir angą.

Palyginkime rezultatus:

Aritmetinės progresijos savybė

Sudėtingukime uždavinį – išvesime aritmetinės progresijos savybę.
Tarkime, kad mums suteikiama tokia sąlyga:
- aritmetinė progresija, raskite reikšmę.
Lengva, sakai ir pradedi skaičiuoti pagal jau žinomą formulę:

Tegu tada:

Visiškai tiesa. Pasirodo, pirmiausia randame, tada pridedame prie pirmojo skaičiaus ir gauname tai, ko ieškome. Jei progresija vaizduojama mažomis reikšmėmis, tame nėra nieko sudėtingo, bet kas, jei sąlygoje mums pateikiami skaičiai? Sutikite, yra galimybė padaryti klaidą skaičiavimuose.
Dabar pagalvokite, ar įmanoma išspręsti šią problemą vienu žingsniu naudojant bet kokią formulę? Žinoma, taip, ir tai dabar pabandysime atskleisti.

Reikalingą aritmetinės progresijos narį pažymėkime taip, kaip mums žinoma jo radimo formulė – tai ta pati formulė, kurią išvedėme pradžioje:
, Tada:

• ankstesnis progresavimo terminas yra:
• kitas progresavimo terminas yra:

Apibendrinkime ankstesnes ir paskesnes progresavimo sąlygas:

Pasirodo, kad ankstesnių ir paskesnių progresijos narių suma yra dviguba tarp jų esančio progresijos nario reikšmė. Kitaip tariant, norėdami rasti progresijos nario vertę su žinomomis ankstesnėmis ir nuosekliomis reikšmėmis, turite jas pridėti ir padalyti iš.

Teisingai, mes gavome tą patį numerį. Apsaugokime medžiagą. Apskaičiuokite progreso vertę patys, tai visai nėra sunku.

Gerai padaryta! Jūs žinote beveik viską apie progresą! Belieka išsiaiškinti tik vieną formulę, kurią, pasak legendos, nesunkiai išvedė vienas didžiausių visų laikų matematikų, „matematikų karalius“ – Karlas Gaussas...

Kai Carlui Gausui buvo 9 metai, mokytojas, užsiėmęs kitų klasių mokinių darbų tikrinimu, klasėje uždavė tokią užduotį: „Apskaičiuokite visų natūraliųjų skaičių sumą nuo iki (pagal kitus šaltinius iki) imtinai“. Įsivaizduokite mokytojo nuostabą, kai vienas jo mokinys (tai buvo Karlas Gaussas) po minutės teisingai atsakė į užduotį, o dauguma drąsuolio klasės draugų po ilgų skaičiavimų gavo neteisingą rezultatą...

Jaunasis Carlas Gaussas pastebėjo tam tikrą modelį, kurį taip pat galite lengvai pastebėti.
Tarkime, kad turime aritmetinę progresiją, susidedančią iš -ųjų narių: Turime rasti šių aritmetinės progresijos narių sumą. Žinoma, galime rankiniu būdu susumuoti visas reikšmes, bet kas, jei užduočiai reikia rasti jos terminų sumą, kaip ieškojo Gaussas?

Pavaizduokime mums duotą progresą. Atidžiai apžiūrėkite paryškintus skaičius ir pabandykite su jais atlikti įvairius matematinius veiksmus.


Ar bandėte? Ką pastebėjai? Teisingai! Jų sumos yra lygios

Dabar pasakykite man, kiek tokių porų iš viso yra mums pateiktoje progresijoje? Žinoma, lygiai pusė visų skaičių, tai yra.
Remiantis tuo, kad dviejų aritmetinės progresijos narių suma yra lygi ir panaši lygios poros, gauname, kad bendra suma yra:
.
Taigi bet kurios aritmetinės progresijos pirmųjų narių sumos formulė bus tokia:

Kai kuriose problemose mes nežinome termino, bet žinome progresijos skirtumą. Pabandykite pakeisti th nario formulę į sumos formulę.
ką gavai?

Gerai padaryta! Dabar grįžkime prie problemos, kurios buvo užduotas Carlui Gaussui: apskaičiuokite patys, kuriai yra lygi skaičių, prasidedančių nuo -tosios, ir skaičių, prasidedančių nuo -ojo, suma.

Kiek gavai?
Gaussas nustatė, kad terminų suma yra lygi, o terminų suma. Ar taip nusprendėte?

Tiesą sakant, aritmetinės progresijos terminų sumos formulę dar III amžiuje įrodė senovės graikų mokslininkas Diofantas, ir per tą laiką sąmojingi žmonės visapusiškai pasinaudojo aritmetinės progresijos savybėmis.
Pavyzdžiui, įsivaizduokite Senovės Egiptas ir didžiausias to meto statybos projektas - piramidės statyba... Paveiksle pavaizduota viena jos pusė.

Sakysite, kur čia progresas? Atidžiai pažiūrėkite ir suraskite smėlio blokų skaičių kiekvienoje piramidės sienos eilutėje.


Kodėl gi ne aritmetinė progresija? Apskaičiuokite, kiek blokų reikia vienai sienai pastatyti, jei prie pagrindo dedamos blokinės plytos. Tikiuosi, neskaičiuosite judindami pirštu per monitorių, pamenate paskutinę formulę ir viską, ką sakėme apie aritmetinę progresiją?

Šiuo atveju progresas atrodo taip: .
Aritmetinės progresijos skirtumas.
Aritmetinės progresijos narių skaičius.
Pakeiskime savo duomenis į paskutines formules (blokų skaičių apskaičiuokite 2 būdais).

1 būdas.

2 metodas.

O dabar galite apskaičiuoti monitoriuje: palyginkite gautas vertes su mūsų piramidėje esančių blokų skaičiumi. Supratai? Puiku, jūs įvaldėte aritmetinės progresijos n-ųjų narių sumą.
Žinoma, jūs negalite statyti piramidės iš blokų prie pagrindo, bet iš? Pabandykite apskaičiuoti, kiek smėlio plytų reikia norint pastatyti sieną su tokia sąlyga.
Ar susitvarkei?
Teisingas atsakymas yra blokai:

Treniruotės

Užduotys:

1. Maša įgauna formą vasarai. Kiekvieną dieną ji padidina pritūpimų skaičių. Kiek kartų Maša darys pritūpimus per savaitę, jei pritūpimus padarė per pirmąją treniruotę?
2. Kokia yra visų nelyginių skaičių suma.
3. Saugodami rąstus, kirtėjai juos sukrauna taip, kad kiekviename viršutiniame sluoksnyje būtų vienu rąstu mažiau nei ankstesniame. Kiek rąstų yra viename mūre, jei mūro pamatas yra rąstai?

Atsakymai:

1. Apibrėžkime aritmetinės progresijos parametrus. Šiuo atveju
   (savaitės = dienos).

   Atsakymas: Per dvi savaites Maša turėtų daryti pritūpimus kartą per dieną.

2. Pirmas nelyginis skaičius, paskutinis skaičius.
   Aritmetinės progresijos skirtumas.
   Nelyginių skaičių skaičius yra pusė, tačiau patikrinkime šį faktą naudodami formulę, skirtą aritmetinės progresijos daliai rasti:

   Skaičiuose yra nelyginių skaičių.
   Pakeiskime turimus duomenis į formulę:

   Atsakymas: Visų nelyginių skaičių suma yra lygi.

3. Prisiminkime problemą dėl piramidžių. Mūsų atveju a , nes kiekvienas viršutinis sluoksnis sumažinamas vienu rąstu, tada iš viso yra krūva sluoksnių, tai yra.
   Pakeiskime duomenis į formulę:

   Atsakymas: Mūre yra rąstų.

Apibendrinkime

1. - skaičių seka, kurioje gretimų skaičių skirtumas yra vienodas ir lygus. Jis gali didėti arba mažėti.
2. Formulės radimas Trečiasis aritmetinės progresijos narys rašomas formule - , kur yra skaičių skaičius progresijoje.
3. Aritmetinės progresijos narių savybė- - kur yra einančių skaičių skaičius.
4. Aritmetinės progresijos narių suma galima rasti dviem būdais:
   
   , kur yra reikšmių skaičius.

ARITMETINĖ PROGRESIJA. VIDURIO LYGIS

Skaičių seka

Susėskime ir pradėkime rašyti keletą skaičių. Pavyzdžiui:

Galite rašyti bet kokius skaičius ir jų gali būti tiek, kiek norite. Bet visada galime pasakyti, kuris pirmas, kuris antras ir t.t., tai yra, galime juos sunumeruoti. Tai yra skaičių sekos pavyzdys.

Skaičių seka yra skaičių rinkinys, kiekvienam iš kurių galima priskirti unikalų numerį.

Kitaip tariant, kiekvienas skaičius gali būti susietas su tam tikru natūraliu skaičiumi ir unikaliu. Ir mes nepriskirsime šio numerio jokiam kitam numeriui iš šio rinkinio.

Skaičius su skaičiumi vadinamas sekos nariu.

Paprastai visą seką vadiname kokia nors raide (pvz.,), ir kiekvienas šios sekos narys yra ta pati raidė, kurios indeksas yra lygus šio nario skaičiui: .

Labai patogu, jei sekos d-asis narys gali būti nurodytas kokia nors formule. Pavyzdžiui, formulė

nustato seką:

Ir formulė yra tokia seka:

Pavyzdžiui, aritmetinė progresija yra seka (pirmasis narys čia yra lygus, o skirtumas yra). Arba (, skirtumas).

n-ojo termino formulė

Formulę vadiname pasikartojančia, kurioje, norint sužinoti terminą, reikia žinoti ankstesnį ar kelis ankstesnius:

Norėdami, pavyzdžiui, pagal šią formulę rasti progresijos t-ąjį narį, turėsime apskaičiuoti ankstesnius devynis. Pavyzdžiui, leiskite. Tada:

Na, ar dabar aišku, kokia yra formulė?

Kiekvienoje eilutėje pridedame, padauginus iš tam tikro skaičiaus. Kurią? Labai paprasta: tai yra dabartinio nario skaičius, atėmus:

Dabar daug patogiau, tiesa? Mes tikriname:

Spręskite patys:

Aritmetinėje progresijoje raskite n-ojo nario formulę ir suraskite šimtąjį narį.

Sprendimas:

Pirmasis terminas yra lygus. Koks skirtumas? Štai kas:

(Štai kodėl jis vadinamas skirtumu, nes lygus nuoseklių progresijos narių skirtumui).

Taigi, formulė:

Tada šimtasis narys yra lygus:

Kokia yra visų natūraliųjų skaičių suma nuo iki?

Pasak legendos, puikus matematikas Karlas Gaussas, būdamas 9 metų berniukas, šią sumą apskaičiavo per kelias minutes. Jis pastebėjo, kad pirmojo ir paskutinio skaičių suma yra lygi, antrojo ir priešpaskutinio – vienodos, trečio ir 3-iojo nuo galo suma yra vienoda ir t.t. Kiek tokių porų iš viso yra? Teisingai, lygiai pusė visų skaičių, tai yra. Taigi,

Bendra bet kurios aritmetinės progresijos pirmųjų narių sumos formulė bus tokia:

Pavyzdys:
Raskite visų sumą dviženklius skaičius, kartotiniai.

Sprendimas:

Pirmasis toks skaičius yra šis. Kiekvienas paskesnis skaičius gaunamas pridedant prie ankstesnio skaičiaus. Taigi mus dominantys skaičiai sudaro aritmetinę progresiją su pirmuoju nariu ir skirtumu.

Šios progresijos termino formulė:

Kiek terminų yra progresijoje, jei jie visi turi būti dviženkliai?

Labai lengva:.

Paskutinis progresavimo terminas bus lygus. Tada suma:

Atsakymas:.

Dabar spręskite patys:

1. Kiekvieną dieną sportininkas nubėga daugiau metrų nei praėjusią dieną. Kiek iš viso kilometrų jis nubėgs per savaitę, jei pirmą dieną nubėgo km m?
2. Dviratininkas kasdien nuvažiuoja daugiau kilometrų nei praėjusią dieną. Pirmą dieną nukeliavo km. Kiek dienų jam reikia važiuoti, kad įveiktų kilometrą? Kiek kilometrų jis nuvažiuos per paskutinę kelionės dieną?
3. Kasmet tiek pat mažėja šaldytuvo kaina parduotuvėje. Nustatykite, kiek kasmet sumažėjo šaldytuvo kaina, jei parduotas už rublius, o po šešerių metų jis buvo parduotas už rublius.

Atsakymai:

1. Čia svarbiausia atpažinti aritmetinę progresiją ir nustatyti jos parametrus. Šiuo atveju (savaitės = dienos). Turite nustatyti pirmųjų šios progresijos sąlygų sumą:
   .
   Atsakymas:
2. Čia pateikiama: , reikia rasti.
   Akivaizdu, kad turite naudoti tą pačią sumos formulę kaip ir ankstesnėje užduotyje:
   .
   Pakeiskite reikšmes:

   Šaknis akivaizdžiai netelpa, tad atsakymas toks.
   Apskaičiuokime nueitą kelią per paskutinę dieną, naudodami antrojo termino formulę:
   (km).
   Atsakymas:

3. Duota:. Rasti:.
   Tai negali būti paprasčiau:
   (trinti).
   Atsakymas:

ARITMETINĖ PROGRESIJA. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Tai skaičių seka, kurioje skirtumas tarp gretimų skaičių yra vienodas ir lygus.

Aritmetinė progresija gali būti didėjanti () ir mažėjanti ().

Pavyzdžiui:

Aritmetinės progresijos n-ojo nario radimo formulė

parašytas pagal formulę, kur yra einančių skaičių skaičius.

Aritmetinės progresijos narių savybė

Tai leidžia lengvai rasti progresijos narį, jei žinomi jo kaimyniniai nariai – kur yra skaičių skaičius progresijoje.

Aritmetinės progresijos narių suma

Yra du būdai sužinoti sumą:

Kur yra reikšmių skaičius.

Kur yra reikšmių skaičius.

LIKUSIEJI 2/3 STRAIPSNIŲ PRIEINAMI TIK YOUCLEVER STUDENTIAMS!

Tapk YouClever studentu,

Pasiruoškite vieningam valstybiniam arba vieningam matematikos valstybiniam egzaminui už „puodelį kavos per mėnesį“,

Taip pat gaukite neribotą prieigą prie vadovėlio „YouClever“, pasirengimo programos (darbo knygos) „100gia“, neribotą teisminis vieningas valstybinis egzaminas ir OGE, 6000 problemų su sprendimų analize ir kitomis paslaugomis YouClever ir 100gia.

Taip, taip: aritmetinė progresija tau ne žaislas :)

Na, draugai, jei jūs skaitote šį tekstą, tai vidinis gaubtas-įrodymas man sako, kad jūs dar nežinote, kas yra aritmetinė progresija, bet tikrai (ne, taip: TAIP!) norite žinoti. Todėl nekankinsiu jūsų ilgomis įžangomis ir eisiu tiesiai prie reikalo.

Pirma, pora pavyzdžių. Pažvelkime į keletą skaičių rinkinių:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Ką bendro turi visi šie rinkiniai? Iš pirmo žvilgsnio nieko. Bet iš tikrųjų kažkas yra. Būtent: kiekvienas kitas elementas nuo ankstesnio skiriasi tuo pačiu skaičiumi.

Spręskite patys. Pirmasis rinkinys yra tiesiog iš eilės einantys skaičiai, kurių kiekvienas yra vienu daugiau nei ankstesnis. Antruoju atveju skirtumas tarp gretimų skaičių jau yra penki, tačiau šis skirtumas vis tiek yra pastovus. Trečiuoju atveju iš viso yra šaknų. Tačiau $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ir $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, t.y. ir šiuo atveju kiekvienas kitas elementas tiesiog padidėja $\sqrt(2)$ (ir nebijokite, kad šis skaičius yra neracionalus).

Taigi: visos tokios sekos vadinamos aritmetine progresija. Pateikime griežtą apibrėžimą:

Apibrėžimas. Skaičių seka, kurioje kiekvienas kitas lygiai tiek pat skiriasi nuo ankstesnio, vadinama aritmetine progresija. Pati suma, kuria skiriasi skaičiai, vadinama progresijos skirtumu ir dažniausiai žymima raide $d$.

Žymėjimas: $\left(((a)_(n)) \right)$ yra pati progresija, $d$ yra jos skirtumas.

Ir tik pora svarbių pastabų. Pirma, atsižvelgiama tik į progresą užsakyta skaičių seka: juos leidžiama skaityti griežtai ta tvarka, kuria jie parašyti – ir nieko daugiau. Skaičių negalima pertvarkyti ar sukeisti.

Antra, pati seka gali būti baigtinė arba begalinė. Pavyzdžiui, aibė (1; 2; 3) akivaizdžiai yra baigtinė aritmetinė progresija. Bet jei ką nors rašai dvasia (1; 2; 3; 4; ...) – tai jau begalinis progresas. Elipsė po keturių tarsi sufleruoja, kad laukia dar nemažai skaičių. Pavyzdžiui, be galo daug :)

Taip pat norėčiau pažymėti, kad progresas gali didėti arba mažėti. Jau matėme didėjančius – tą patį rinkinį (1; 2; 3; 4; ...). Štai mažėjančio progresavimo pavyzdžiai:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Gerai, gerai: paskutinis pavyzdys gali atrodyti pernelyg sudėtingas. Bet visa kita, manau, jūs suprantate. Todėl pateikiame naujus apibrėžimus:

Apibrėžimas. Aritmetinė progresija vadinama:

1. didėja, jei kiekvienas kitas elementas yra didesnis už ankstesnį;
2. mažėja, jei, priešingai, kiekvienas paskesnis elementas yra mažesnis nei ankstesnis.

Be to, yra vadinamųjų „stacionarių“ sekų - jas sudaro tas pats pasikartojantis skaičius. Pavyzdžiui, (3; 3; 3; ...).

Lieka tik vienas klausimas: kaip atskirti didėjančią progresą nuo mažėjančios? Laimei, čia viskas priklauso tik nuo skaičiaus $d$ ženklo, t.y. progresavimo skirtumai:

1. Jei $d \gt 0$, tai progresija didėja;
2. Jei $d \lt 0$, tai progresija akivaizdžiai mažėja;
3. Galiausiai yra atvejis $d=0$ – tokiu atveju visa progresija redukuojama į stacionarią identiškų skaičių seką: (1; 1; 1; 1; ...) ir t.t.

Pabandykime apskaičiuoti skirtumą $d$ trims pirmiau pateiktoms mažėjančioms pakopoms. Norėdami tai padaryti, pakanka paimti bet kuriuos du gretimus elementus (pavyzdžiui, pirmąjį ir antrąjį) ir atimti skaičių kairėje iš skaičiaus dešinėje. Tai atrodys taip:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Kaip matome, visais trimis atvejais skirtumas iš tikrųjų buvo neigiamas. Ir dabar, kai daugiau ar mažiau išsiaiškinome apibrėžimus, laikas išsiaiškinti, kaip aprašomos progresijos ir kokios jos savybės.

Progresavimo terminai ir pasikartojimo formulė

Kadangi mūsų sekų elementai negali būti sukeisti, jie gali būti sunumeruoti:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \teisingai\)\]

Atskiri šios aibės elementai vadinami progresijos nariais. Jie žymimi skaičiumi: pirmasis narys, antrasis narys ir kt.

Be to, kaip jau žinome, gretimi progresijos terminai yra susieti pagal formulę:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rodyklė dešinėn ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Trumpai tariant, norėdami rasti progresijos $n$-ąjį narį, turite žinoti $n-1$-ąjį narį ir skirtumą $d$. Ši formulė vadinama pasikartojančia, nes jos pagalba bet kurį skaičių galite rasti tik žinodami ankstesnį (o iš tikrųjų – visus ankstesnius). Tai labai nepatogu, todėl yra gudresnė formulė, kuri sumažina visus skaičiavimus iki pirmojo termino ir skirtumo:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Tikriausiai jau esate susidūrę su šia formule. Jie mėgsta tai pateikti visokiose žinynuose ir sprendimų knygose. Ir bet kuriame protingame matematikos vadovėlyje jis yra vienas iš pirmųjų.

Tačiau siūlau šiek tiek pasitreniruoti.

Užduotis Nr.1. Užrašykite pirmuosius tris aritmetinės progresijos $\left(((a)_(n)) \right)$ narius, jei $((a)_(1))=8,d=-5$.

Sprendimas. Taigi, mes žinome pirmąjį terminą $((a)_(1))=8$ ir progresijos skirtumą $d=-5$. Naudokime ką tik pateiktą formulę ir pakeiskime $n=1$, $n=2$ ir $n=3$:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(lygiuoti)\]

Atsakymas: (8; 3; -2)

tai viskas! Atkreipkite dėmesį: mūsų progresas mažėja.

Žinoma, $n=1$ pakeisti negalima – pirmasis terminas mums jau žinomas. Tačiau, pakeitę vienybę, buvome įsitikinę, kad net pirmą kadenciją mūsų formulė veikia. Kitais atvejais viskas susivedė į banalią aritmetiką.

2 užduotis. Užrašykite pirmuosius tris aritmetinės progresijos narius, jei jos septintasis narys yra lygus –40, o septynioliktasis – –50.

Sprendimas. Parašykime problemos sąlygą pažįstamais terminais:

\[((a)_(7)) = -40;\quad ((a)_(17)) = -50.\]

\[\left\( \begin(lygiuoti) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(lygiuoti) \right.\]

\[\left\( \begin(lygiuoti) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(lygiuoti) \teisingai.\]

Įdėjau sistemos ženklą, nes šie reikalavimai turi būti įvykdyti vienu metu. Dabar atkreipkime dėmesį, kad jei iš antrosios lygties atimame pirmąjį (turime teisę tai padaryti, nes turime sistemą), gausime:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(lygiuoti)\]

Štai kaip lengva rasti progresavimo skirtumą! Belieka rastą skaičių pakeisti bet kuria sistemos lygtimi. Pavyzdžiui, pirmajame:

\[\begin(matrica) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1)) = -40 + 6 = -34. \\ \end(matrica)\]

Dabar, žinant pirmąjį terminą ir skirtumą, belieka rasti antrą ir trečią terminus:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(lygiuoti)\]

Pasiruošę! Problema išspręsta.

Atsakymas: (-34; -35; -36)

Atkreipkite dėmesį į įdomią progresavimo savybę, kurią mes atradome: jei paimsime $n$-ąją ir $m$-ąją dalį ir atimsime juos vieną iš kitos, gausime progresijos skirtumą, padaugintą iš $n-m$ skaičiaus:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Paprasta, bet labai naudinga savybė, kurią būtinai turite žinoti – jos pagalba galite žymiai pagreitinti daugelio progresavimo problemų sprendimą. Štai aiškus pavyzdys:

Užduotis Nr.3. Penktasis aritmetinės progresijos narys yra 8,4, o dešimtasis – 14,4. Raskite penkioliktą šios progresijos narį.

Sprendimas. Kadangi $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ ir turime rasti $((a)_(15))$, atkreipiame dėmesį į šiuos dalykus:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(lygiuoti)\]

Bet pagal sąlygą $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, taigi $5d=6$, iš kurios turime:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(lygiuoti)\]

Atsakymas: 20.4

tai viskas! Nereikėjo kurti jokių lygčių sistemų ir skaičiuoti pirmojo nario bei skirtumo – viskas buvo išspręsta vos per kelias eilutes.

Dabar pažvelkime į kitą problemos tipą – neigiamų ir teigiamų progreso terminų paiešką. Ne paslaptis, kad jei progresija didėja, o pirmasis jos terminas yra neigiamas, anksčiau ar vėliau joje atsiras teigiami terminai. Ir atvirkščiai: mažėjančios progresijos sąlygos anksčiau ar vėliau taps neigiamos.

Tuo pačiu metu ne visada įmanoma rasti šį momentą „priešais“ nuosekliai pereinant elementus. Dažnai uždaviniai rašomi taip, kad nežinant formulių skaičiavimai užtruktų kelis popieriaus lapus – tiesiog užmigtume, kol rastume atsakymą. Todėl pabandykime šias problemas išspręsti greičiau.

4 užduotis. Kiek neigiamų narių yra aritmetinėje progresijoje −38,5; −35,8; ...?

Sprendimas. Taigi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, iš kur iškart randame skirtumą:

Atkreipkite dėmesį, kad skirtumas yra teigiamas, todėl progresija didėja. Pirmasis narys yra neigiamas, todėl iš tikrųjų tam tikru momentu mes suklupsime ant teigiamų skaičių. Tik klausimas, kada tai įvyks.

Pabandykime išsiaiškinti: iki kada (t. y. iki ko natūralusis skaičius$n$) terminų neigiamumas išsaugomas:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n)) \lt 0\Rodyklė dešinėn ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rodyklė dešinėn ((n)_(\max ))=15. \\ \end(lygiuoti)\]

Paskutinė eilutė reikalauja šiek tiek paaiškinimo. Taigi žinome, kad $n \lt 15\frac(7)(27)$. Kita vertus, mus tenkina tik sveikosios skaičiaus reikšmės (be to: $n\in \mathbb(N)$), todėl didžiausias leistinas skaičius yra būtent $n=15$ ir jokiu būdu ne 16 .

Užduotis Nr.5. Aritmetine progresija $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Raskite pirmojo teigiamo šios progresijos nario skaičių.

Tai būtų lygiai tokia pati problema kaip ir ankstesnė, bet mes nežinome $((a)_(1))$. Tačiau kaimyniniai terminai yra žinomi: $((a)_(5))$ ir $((a)_(6))$, todėl galime lengvai rasti progresijos skirtumą:

Be to, pabandykime išreikšti penktą terminą per pirmąjį ir skirtumą naudodami standartinę formulę:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1)) = -150-12 = -162. \\ \end(lygiuoti)\]

Dabar tęsiame pagal analogiją su ankstesne užduotimi. Sužinokime, kuriame mūsų sekos taške atsiras teigiami skaičiai:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rodyklė dešinėn ((n)_(\min ))=56. \\ \end(lygiuoti)\]

Mažiausias sveikasis šios nelygybės sprendimas yra skaičius 56.

Atkreipkite dėmesį: paskutinėje užduotyje viskas susivedė į griežtą nelygybę, todėl variantas $n=55$ mums netiks.

Dabar, kai išmokome spręsti paprastas problemas, pereikime prie sudėtingesnių. Bet pirmiausia išstudijuokime dar vieną labai naudingą aritmetinių progresijų savybę, kuri ateityje sutaupys daug laiko ir nevienodų langelių :)

Aritmetinis vidurkis ir lygios įtraukos

Panagrinėkime kelis iš eilės didėjančios aritmetinės progresijos $\left(((a)_(n)) \right)$ narius. Pabandykime pažymėti juos skaičių eilutėje:

Skaičių tiesės aritmetinės progresijos sąlygos

Aš konkrečiai pažymėjau savavališkus terminus $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, o ne kokius nors $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ ir kt. Kadangi taisyklė, apie kurią dabar papasakosiu, galioja bet kokiems „segmentams“.

O taisyklė labai paprasta. Prisiminkime pasikartojančią formulę ir parašykime ją visiems pažymėtiems terminams:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(lygiuoti)\]

Tačiau šias lygybes galima perrašyti skirtingai:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(lygiuoti)\]

Taigi ką? Ir tai, kad terminai $((a)_(n-1))$ ir $((a)_(n+1))$ yra tokiu pat atstumu nuo $((a)_(n)) $ . Ir šis atstumas lygus $d$. Tą patį galima pasakyti apie terminus $((a)_(n-2))$ ir $((a)_(n+2))$ – jie taip pat pašalinami iš $((a)_(n) )$ tuo pačiu atstumu, lygiu $2d$. Galime tęsti iki begalybės, bet prasmę puikiai iliustruoja paveikslėlis

Progresavimo sąlygos yra tokiu pat atstumu nuo centro

Ką tai reiškia mums? Tai reiškia, kad $((a)_(n))$ galima rasti, jei žinomi gretimi skaičiai:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Išvedėme puikų teiginį: kiekvienas aritmetinės progresijos narys yra lygus gretimų narių aritmetiniam vidurkiui! Be to: galime atsitraukti nuo savo $((a)_(n))$ į kairę ir į dešinę ne vienu žingsniu, o $k$ žingsniais – ir formulė vis tiek bus teisinga:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Tie. nesunkiai galime rasti $((a)_(150))$, jei žinome $((a)_(100))$ ir $((a)_(200))$, nes $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad šis faktas mums nieko naudingo neduoda. Tačiau praktiškai daugelis uždavinių yra specialiai pritaikyti naudoti aritmetinį vidurkį. Pažiūrėkite:

6 užduotis. Raskite visas $x$ reikšmes, kurių skaičiai $-6((x)^(2))$, $x+1$ ir $14+4((x)^(2))$ yra nuoseklūs aritmetinė progresija (nurodyta tvarka).

Sprendimas. Kadangi šie skaičiai yra progresijos nariai, jiems tenkinama aritmetinio vidurkio sąlyga: centrinis elementas $x+1$ gali būti išreikštas gretimais elementais:

\[\begin(lygiuoti) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(lygiuoti)\]

Tai pasirodė klasika kvadratinė lygtis. Jo šaknys: $x=2$ ir $x=-3$ yra atsakymai.

Atsakymas: −3; 2.

Užduotis Nr.7. Raskite $$ reikšmes, kurioms skaičiai $-1;4-3;(()^(2))+1$ sudaro aritmetinę progresiją (ta tvarka).

Sprendimas. Vidurinį terminą vėl išreikškime gretimų terminų aritmetiniu vidurkiu:

\[\begin(lygiuoti) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(lygiuoti)\]

Vėl kvadratinė lygtis. Ir vėl yra dvi šaknys: $x=6$ ir $x=1$.

Atsakymas: 1; 6.

Jei spręsdami problemą sugalvojate žiaurius skaičius arba nesate visiškai tikri dėl rastų atsakymų teisingumo, tuomet yra nuostabi technika, leidžianti patikrinti: ar teisingai išsprendėme problemą?

Tarkime, užduotyje Nr. 6 gavome atsakymus −3 ir 2. Kaip galime patikrinti, ar šie atsakymai teisingi? Tiesiog prijunkite juos prie pradinės būklės ir pažiūrėkime, kas atsitiks. Priminsiu, kad turime tris skaičius ($-6(()^(2))$, $+1$ ir $14+4(()^(2))$), kurie turi sudaryti aritmetinę progresiją. Pakeiskime $x=-3$:

\[\begin(lygiuoti) & x=-3\Rodyklė dešinėn \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(lygiuoti)\]

Gavome skaičius −54; −2; 50, kurie skiriasi 52, neabejotinai yra aritmetinė progresija. Tas pats atsitinka su $x=2$:

\[\begin(lygiuoti) & x=2\Rodyklė dešinėn \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(lygiuoti)\]

Vėl progresija, bet su 27 skirtumu. Taigi, problema buvo išspręsta teisingai. Antrą problemą norintys gali pasitikrinti patys, bet iš karto pasakysiu: ten irgi viskas teisinga.

Apskritai spręsdami paskutines problemas susidūrėme su kita įdomus faktas, kurį taip pat reikia atsiminti:

Jei trys skaičiai yra tokie, kad antrasis yra vidurinis pirmiausia aritmetika ir galiausiai, šie skaičiai sudaro aritmetinę progresiją.

Ateityje šio teiginio supratimas leis mums tiesiogine to žodžio prasme „sukonstruoti“ reikiamas pažangas pagal problemos sąlygas. Tačiau prieš įsitraukdami į tokią „statybą“, turėtume atkreipti dėmesį į dar vieną faktą, kuris tiesiogiai išplaukia iš to, kas jau buvo aptarta.

Elementų grupavimas ir sumavimas

Vėl grįžkime prie skaičių ašies. Pažymėkime keletą progreso narių, tarp kurių galbūt. yra vertas daugelio kitų narių:

Skaičių eilutėje pažymėti 6 elementai

Pabandykime išreikšti „kairę uodegą“ per $((a)_(n))$ ir $d$, o „dešinę uodegą“ – per $((a)_(k))$ ir $d$. Tai labai paprasta:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(lygiuoti)\]

Dabar atkreipkite dėmesį, kad šios sumos yra lygios:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(lygiuoti)\]

Paprasčiau tariant, jei pradėsime du progreso elementus, kurie iš viso yra lygūs tam tikram skaičiui $S$, ir tada pradedame pereiti nuo šių elementų į priešingos pusės(vienas kito link arba atvirkščiai, kad pasitrauktumėte), tada elementų sumos, į kurias atsidursime, taip pat bus lygios$S$. Aiškiausiai tai galima pavaizduoti grafiškai:

Vienodos įtraukos suteikia vienodas sumas

Šio fakto supratimas leis mums išspręsti problemas iš esmės daugiau aukšto lygio sunkumų, nei minėjome aukščiau. Pavyzdžiui, šie:

8 užduotis. Nustatykite aritmetinės progresijos skirtumą, kai pirmasis narys yra 66, o antrojo ir dvyliktojo narių sandauga yra mažiausia įmanoma.

Sprendimas. Užsirašykime viską, ką žinome:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(lygiuoti)\]

Taigi progresijos skirtumo $d$ nežinome. Tiesą sakant, visas sprendimas bus sukurtas atsižvelgiant į skirtumą, nes produktas $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ gali būti perrašytas taip:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(lygiuoti)\]

Tiems, kurie yra bake: iš antrojo skliausto paėmiau bendrą daugiklį 11. Taigi, reikalinga sandauga yra kvadratinė funkcija kintamojo $d$ atžvilgiu. Todėl apsvarstykite funkciją $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ – jos grafikas bus parabolė su šakomis į viršų, nes jei išplėsime skliaustus, gausime:

\[\begin(lygiuoti) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end (lygiuoti)\]

Kaip matote, aukščiausio termino koeficientas yra 11 - tai yra teigiamas skaičius, taigi mes iš tikrųjų susiduriame su parabole su šakomis į viršų:

tvarkaraštį kvadratinė funkcija- parabolė

Atkreipkite dėmesį: ši parabolė turi mažiausią vertę savo viršūnėje su abscise $((d)_(0))$. Žinoma, šią abscisę galime apskaičiuoti naudodami standartinę schemą (yra formulė $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), bet daug protingiau būtų pastebėti kad norima viršūnė yra ant parabolės ašies simetrijos, todėl taškas $((d)_(0))$ yra vienodu atstumu nuo lygties $f\left(d \right)=0$ šaknų:

\[\begin(lygiuoti) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(lygiuoti)\]

Štai kodėl aš neskubėjau atidaryti skliaustų: originalios formos šaknis buvo labai labai lengva rasti. Todėl abscisė yra lygi skaičių −66 ir −6 aritmetiniam vidurkiui:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Ką mums suteikia atrastas skaičius? Su juo paima reikiamą produktą mažiausia vertė(beje, mes niekada neskaičiavome $((y)_(\min ))$ – to iš mūsų nereikalaujama). Kartu šis skaičius yra pradinės progresijos skirtumas, t.y. radome atsakymą :)

Atsakymas: −36

Užduotis Nr.9. Tarp skaičių $-\frac(1)(2)$ ir $-\frac(1)(6)$ įterpkite tris skaičius, kad kartu su šiais skaičiais sudarytų aritmetinę progresiją.

Sprendimas. Iš esmės turime sudaryti penkių skaičių seką, kurių pirmasis ir paskutinis skaičiai jau žinomi. Trūkstamus skaičius pažymėkime kintamaisiais $x$, $y$ ir $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Atkreipkite dėmesį, kad skaičius $y$ yra mūsų sekos „viduris“ – jis yra vienodu atstumu nuo skaičių $x$ ir $z$ bei nuo skaičių $-\frac(1)(2)$ ir $-\frac. (1) (6) $. Ir jei šiuo metu negalime gauti $y$ iš skaičių $x$ ir $z$, tada situacija kitokia su progresijos galais. Prisiminkime aritmetinį vidurkį:

Dabar, žinodami $y$, rasime likusius skaičius. Atkreipkite dėmesį, kad $x$ yra tarp skaičių $-\frac(1)(2)$ ir $y=-\frac(1)(3)$, kurį ką tik radome. Štai kodėl

Remdamiesi panašiais samprotavimais, randame likusį skaičių:

Pasiruošę! Mes radome visus tris skaičius. Parašykime juos atsakyme tokia tvarka, kokia jie turėtų būti įterpti tarp pradinių skaičių.

Atsakymas: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

10 užduotis. Tarp skaičių 2 ir 42 įterpkite kelis skaičius, kurie kartu su šiais skaičiais sudaro aritmetinę progresiją, jei žinote, kad pirmojo, antrojo ir paskutinio įterptų skaičių suma yra 56.

Sprendimas. Dar daugiau sunki užduotis, kuris vis dėlto sprendžiamas pagal tą pačią schemą kaip ir ankstesnės – per aritmetinį vidurkį. Problema ta, kad mes tiksliai nežinome, kiek skaičių reikia įterpti. Todėl aiškumo dėlei darykime prielaidą, kad viską įdėjus bus lygiai $n$ skaičiai, iš kurių pirmasis yra 2, o paskutinis – 42. Tokiu atveju reikiamą aritmetinę progresiją galima pavaizduoti forma:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;(a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+(a)_(3))+(a)_(n-1)) = 56\]

Tačiau atkreipkite dėmesį, kad skaičiai $((a)_(2))$ ir $((a)_(n-1))$ gaunami iš skaičių 2 ir 42 kraštuose vienu žingsniu vienas kito link, t.y. į sekos centrą. Ir tai reiškia, kad

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Bet tada aukščiau parašyta išraiška gali būti perrašyta taip:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+(a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(lygiuoti)\]

Žinodami $((a)_(3))$ ir $((a)_(1))$, galime lengvai rasti progresijos skirtumą:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rodyklė dešinėn d=5. \\ \end(lygiuoti)\]

Belieka rasti likusius terminus:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(lygiuoti)\]

Taigi, jau 9 žingsnyje pateksime į kairįjį sekos galą – skaičių 42. Iš viso reikėjo įterpti tik 7 skaičius: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Atsakymas: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Žodinės problemos su progresais

Baigdamas norėčiau apsvarstyti keletą gana paprastų problemų. Na, taip paprasta: daugumai mokinių, kurie mokykloje mokosi matematikos ir neskaitė to, kas parašyta aukščiau, šios problemos gali atrodyti sunkios. Nepaisant to, tokios problemos atsiranda OGE ir vieningame valstybiniame matematikos egzamine, todėl rekomenduoju su jomis susipažinti.

11 užduotis. Sausio mėnesį komanda pagamino 62 dalis, o kiekvieną kitą mėnesį pagamino 14 dalių daugiau nei praėjusį mėnesį. Kiek dalių komanda pagamino lapkritį?

Sprendimas. Akivaizdu, kad dalių skaičius, išvardytas pagal mėnesį, parodys didėjančią aritmetinę progresiją. Be to:

\[\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(lygiuoti)\]

Lapkritis yra 11 metų mėnuo, todėl turime rasti $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Todėl lapkritį bus pagamintos 202 dalys.

12 užduotis. Įrišimo cechas sausio mėnesį įrišo 216 knygų, o kiekvieną kitą mėnesį įrišo 4 knygomis daugiau nei praėjusį. Kiek knygų seminaras įrišo gruodžio mėnesį?

Sprendimas. Viskas tas pats:

$\begin(lygiuoti) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(lygiuoti)$

Gruodis yra paskutinis, 12 metų mėnuo, todėl ieškome $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Tai yra atsakymas – gruodžio mėnesį bus įrišta 260 knygų.

Na, o jei perskaitėte iki šiol, skubu jus pasveikinti: sėkmingai baigėte „jaunojo kovotojo kursą“ aritmetinėje progresijoje. Galite saugiai pereiti prie kitos pamokos, kurioje išnagrinėsime progreso sumos formulę, taip pat svarbias ir labai naudingas jos pasekmes.

Skaičių sekos sąvoka reiškia, kad kiekvienas natūralusis skaičius atitinka tam tikrą realią reikšmę. Tokia skaičių serija gali būti arba savavališka, arba turėti tam tikras savybes – progresiją. Pastaruoju atveju kiekvienas paskesnis sekos elementas (narys) gali būti apskaičiuojamas naudojant ankstesnįjį.

Aritmetinė progresija yra skaitinių reikšmių seka, kurioje jos gretimi nariai skiriasi vienas nuo kito tuo pačiu skaičiumi (visi serijos elementai, pradedant nuo 2-osios, turi panašią savybę). Šis skaičius– skirtumas tarp ankstesnių ir paskesnių terminų yra pastovus ir vadinamas progresijos skirtumu.

Progresavimo skirtumas: apibrėžimas

Apsvarstykite seką, susidedančią iš j reikšmių A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j priklauso natūraliųjų skaičių aibei N. Aritmetika progresija pagal jos apibrėžimą yra seka , kurioje a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Reikšmė d yra norimas šios progresijos skirtumas.

d = a(j) – a(j-1).

Paryškinkite:

• Didėjanti progresija, tokiu atveju d > 0. Pavyzdys: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Mažėjanti progresija, tada d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Skirtumų progresija ir savavališki jo elementai

Jei žinomi 2 savavališki progresijos nariai (i-oji, k-oji), tada skirtumas tam tikrai sekai gali būti nustatytas remiantis ryšiu:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, o tai reiškia d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Progresavimo skirtumas ir pirmasis jo terminas

Ši išraiška padės nustatyti nežinomą reikšmę tik tais atvejais, kai žinomas sekos elemento numeris.

Progresijos skirtumas ir jo suma

Progresijos suma yra jos sąlygų suma. Norėdami apskaičiuoti bendrą pirmųjų j elementų vertę, naudokite atitinkamą formulę:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, bet kadangi a(j) = a(1) + d(j – 1), tada S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(–1))/2)*j.

Jei kiekvienam natūraliajam skaičiui n rungtynės realus skaičius a n , tada jie sako, kad duota skaičių seka :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Taigi skaičių seka yra natūralaus argumento funkcija.

Skaičius a 1 paskambino pirmasis sekos terminas , numeris a 2 — antrasis sekos terminas , numeris a 3 — trečia ir taip toliau. Skaičius a n paskambino n-asis terminas sekos , ir natūralusis skaičius n — jo numeris .

Iš dviejų gretimų narių a n Ir a n +1 sekos narys a n +1 paskambino vėliau (palyginti su a n ), A a n — ankstesnis (palyginti su a n +1 ).

Norėdami apibrėžti seką, turite nurodyti metodą, leidžiantį rasti sekos narį su bet kokiu skaičiumi.

Dažnai seka nurodoma naudojant n-ojo termino formulės , tai yra formulė, leidžianti nustatyti sekos narį pagal jo skaičių.

Pavyzdžiui,

teigiamų nelyginių skaičių seka gali būti pateikta formule

a n= 2n- 1,

ir kaitaliojimosi seka 1 Ir -1 - formulė

b n = (-1)n +1 . ◄

Seka gali būti nustatyta pasikartojanti formulė, tai yra formulė, išreiškianti bet kurį sekos narį, pradedant kai kuriais, per ankstesnius (vieną ar kelis) narius.

Pavyzdžiui,

Jeigu a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jeigu a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tada pirmieji septyni skaitinės sekos nariai nustatomi taip:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekos gali būti galutinis Ir begalinis .

Seka vadinama galutinis , jei jis turi ribotą narių skaičių. Seka vadinama begalinis , jei ji turi be galo daug narių.

Pavyzdžiui,

dviženklių natūraliųjų skaičių seka:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

galutinis.

Pirminių skaičių seka:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

begalinis. ◄

Seka vadinama didėja , jei kiekvienas jo narys, pradedant nuo antrojo, yra didesnis už ankstesnįjį.

Seka vadinama mažėja , jei kiekvienas jo narys, pradedant nuo antrojo, yra mažesnis už ankstesnįjį.

Pavyzdžiui,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — didėjanti seka;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - mažėjimo seka. ◄

Vadinama seka, kurios elementai skaičiui didėjant nemažėja arba, atvirkščiai, nedidėja monotoniška seka .

Visų pirma monotoninės sekos yra didėjančios ir mažėjančios sekos.

Aritmetinė progresija

Aritmetinė progresija yra seka, kurioje kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam, prie kurio pridedamas tas pats skaičius.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

yra bet kurio natūraliojo skaičiaus aritmetinė progresija n sąlyga įvykdyta:

a n +1 = a n + d,

Kur d - tam tikras skaičius.

Taigi skirtumas tarp paskesnių ir ankstesnių tam tikros aritmetinės progresijos narių visada yra pastovus:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Skaičius d paskambino aritmetinės progresijos skirtumas.

Norint apibrėžti aritmetinę progresiją, pakanka nurodyti pirmąjį jos narį ir skirtumą.

Pavyzdžiui,

Jeigu a 1 = 3, d = 4 , tada pirmuosius penkis sekos narius randame taip:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Aritmetinei progresijai su pirmuoju nariu a 1 ir skirtumas d ją n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Pavyzdžiui,

raskite trisdešimtąjį aritmetinės progresijos narį

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

tada aišku

a n=	a n-1 + a n+1
	2

Kiekvienas aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrosios, yra lygus ankstesnių ir paskesnių narių aritmetiniam vidurkiui.

skaičiai a, b ir c yra nuoseklūs tam tikros aritmetinės progresijos nariai tada ir tik tada, kai vienas iš jų yra lygus kitų dviejų aritmetiniam vidurkiui.

Pavyzdžiui,

a n = 2n- 7 , yra aritmetinė progresija.

Panaudokime aukščiau pateiktą teiginį. Turime:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Vadinasi,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Atkreipkite dėmesį, kad n Trečiasis aritmetinės progresijos narys gali būti rastas ne tik per a 1 , bet ir visus ankstesnius a k

a n = a k + (n- k)d.

Pavyzdžiui,

Už a 5 galima užsirašyti

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

tada aišku

a n=	a n-k + a n+k
	2

bet kuris aritmetinės progresijos narys, pradedant nuo antrosios, yra lygus pusei šios aritmetinės progresijos narių sumos, vienodu atstumu nuo jos.

Be to, bet kuriai aritmetinei progresijai galioja ši lygybė:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Pavyzdžiui,

aritmetinėje progresijoje

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, nes

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

pirma n aritmetinės progresijos nariai yra lygūs pusės kraštutinių narių sumos ir terminų skaičiaus sandaugai:

Iš čia visų pirma išplaukia, kad jei reikia susumuoti terminus

a k, a k +1 , . . . , a n,

tada ankstesnė formulė išlaiko savo struktūrą:

Pavyzdžiui,

aritmetinėje progresijoje 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jei pateikiama aritmetinė progresija, tada dydžiai a 1 , a n, d, n IrS n sujungtos dviem formulėmis:

Todėl, jei pateikiamos trijų iš šių dydžių reikšmės, tada iš šių formulių nustatomos atitinkamos kitų dviejų dydžių reikšmės, sujungiamos į dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą.

Aritmetinė progresija yra monotoniška seka. Šiuo atveju:

• Jeigu d > 0 , tada jis didėja;
• Jeigu d < 0 , tada jis mažėja;
• Jeigu d = 0 , tada seka bus stacionari.

Geometrinė progresija

Geometrinė progresija yra seka, kurioje kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, padaugintam iš to paties skaičiaus.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

yra bet kurio natūraliojo skaičiaus geometrinė progresija n sąlyga įvykdyta:

b n +1 = b n · q,

Kur q ≠ 0 - tam tikras skaičius.

Taigi tam tikros geometrinės progresijos tolesnio nario santykis su ankstesniu yra pastovus skaičius:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Skaičius q paskambino geometrinės progresijos vardiklis.

Norint apibrėžti geometrinę progresiją, pakanka nurodyti pirmąjį jos narį ir vardiklį.

Pavyzdžiui,

Jeigu b 1 = 1, q = -3 , tada pirmuosius penkis sekos narius randame taip:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 ir vardiklis q ją n Terminą galima rasti naudojant formulę:

b n = b 1 · qn -1 .

Pavyzdžiui,

raskite septintą geometrinės progresijos narį 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

tada aišku

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

kiekvienas geometrinės progresijos narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesnių ir paskesnių elementų geometriniam vidurkiui (proporciniam).

Kadangi teisinga ir atvirkščiai, galioja toks teiginys:

skaičiai a, b ir c yra nuoseklūs tam tikros geometrinės progresijos nariai tada ir tik tada, kai vieno iš jų kvadratas yra lygus kitų dviejų sandaugai, tai yra, vienas iš skaičių yra kitų dviejų geometrinis vidurkis.

Pavyzdžiui,

Įrodykime, kad formulės pateikta seka b n= -3 2 n , yra geometrinė progresija. Panaudokime aukščiau pateiktą teiginį. Turime:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Vadinasi,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

kuris įrodo norimą teiginį. ◄

Atkreipkite dėmesį, kad n Geometrinės progresijos d-ąjį narį galima rasti ne tik per b 1 , bet ir bet kuris ankstesnis narys b k , kuriam pakanka naudoti formulę

b n = b k · qn - k.

Pavyzdžiui,

Už b 5 galima užsirašyti

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

tada aišku

b n 2 = b n - k· b n + k

bet kurio geometrinės progresijos nario kvadratas, pradedant nuo antrosios, yra lygus šios progresijos vienodai išdėstytų narių sandaugai.

Be to, bet kuriai geometrinei progresijai galioja lygybė:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Pavyzdžiui,

geometrine progresija

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , nes

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

pirma n geometrinės progresijos nariai su vardikliu q ≠ 0 apskaičiuojamas pagal formulę:

Ir kada q = 1 - pagal formulę

S n= nb 1

Atkreipkite dėmesį, kad jei reikia susumuoti terminus

b k, b k +1 , . . . , b n,

tada naudojama formulė:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

Pavyzdžiui,

geometrine progresija 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jei duota geometrinė progresija, tada kiekius b 1 , b n, q, n Ir S n sujungtos dviem formulėmis:

Todėl, jei pateikiamos bet kurių trijų iš šių dydžių reikšmės, tada iš šių formulių nustatomos atitinkamos kitų dviejų dydžių reikšmės, sujungiamos į dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą.

Geometrinei progresijai su pirmuoju nariu b 1 ir vardiklis q vyksta šie dalykai monotoniškumo savybės :

• progresavimas didėja, jei įvykdoma viena iš šių sąlygų:

b 1 > 0 Ir q> 1;

b 1 < 0 Ir 0 < q< 1;

• Progresas mažėja, jei įvykdoma viena iš šių sąlygų:

b 1 > 0 Ir 0 < q< 1;

b 1 < 0 Ir q> 1.

Jeigu q< 0 , tada geometrinė progresija yra kintamoji: jos terminai su nelyginiais skaičiais turi tą patį ženklą kaip ir pirmasis narys, o terminai su lyginiais skaičiais turi priešingą ženklą. Akivaizdu, kad kintamoji geometrinė progresija nėra monotoniška.

Pirmojo gaminys n Geometrinės progresijos terminai gali būti apskaičiuojami naudojant formulę:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Pavyzdžiui,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Be galo mažėjanti geometrinė progresija

Be galo mažėjanti geometrinė progresija vadinama begaline geometrine progresija, kurios vardiklio modulis yra mažesnis 1 , tai yra

|q| < 1 .

Atminkite, kad be galo mažėjanti geometrinė progresija gali būti ne mažėjanti seka. Tai tinka progai

1 < q< 0 .

Su tokiu vardikliu seka yra kintamoji. Pavyzdžiui,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma įvardykite skaičių, prie kurio be apribojimų artėja pirmųjų suma n progresijos nariai su neribotu skaičiaus padidėjimu n . Šis skaičius visada yra baigtinis ir išreiškiamas formule

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Pavyzdžiui,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmetinės ir geometrinės progresijos ryšys

Aritmetinė ir geometrinė progresijos yra glaudžiai susijusios. Pažvelkime tik į du pavyzdžius.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Tai

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Pavyzdžiui,

1, 3, 5, . . . - aritmetinė progresija su skirtumu 2 Ir

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrinė progresija su vardikliu 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrinė progresija su vardikliu q , Tai

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - aritmetinė progresija su skirtumu žurnalas aq .

Pavyzdžiui,

2, 12, 72, . . . - geometrinė progresija su vardikliu 6 Ir

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetinė progresija su skirtumu lg 6 . ◄