Diferencialinės lygtys gali būti tiesinamos naudojant šiuos metodus:
1. Netiesinė darbo srities funkcija išplečiama į Taylor seriją.
2. Grafų pavidalu nurodytos netiesinės funkcijos apdirbimo plokštumoje tiesinamos tiesėmis.
3. Užuot tiesiogiai nustatę dalines išvestines, į originalą įvedami kintamieji netiesines lygtis.
,
.
(33)
4. Šis metodas yra pagrįstas koeficientų nustatymu taikant mažiausių kvadratų metodą.
,
(34)
Kur 
- pneumatinės pavaros laiko konstanta;
- pneumatinės pavaros perdavimo koeficientas;
- pneumatinės pavaros slopinimo koeficientas.
Vidinė ACS elementų struktūra paprasčiausiai nustatoma naudojant grafikų struktūrines diagramas. Skirtingai nuo gerai žinomų struktūrinių diagramų grafikuose, kintamieji nurodomi laiko forma, o lankai nurodo tipinių nuorodų parametrus arba perdavimo funkcijas. Tarp jų yra tolygus santykis.
mm netiesiniai elementai
Pirmajame skyriuje aptarti tiesiškumo metodai yra taikomi, kai į LSA objektą įtrauktas netiesiškumas yra bent kartą diferencijuojamas arba aproksimuojamas liestine su maža paklaida kai kurios kaimynystės, esančios arti veikimo taško. Yra visa klasė netiesiškumo, kuriai netenkinamos abi sąlygos. Paprastai tai yra reikšmingi netiesiškumas. Tai apima: žingsnines, pakopines tiesines ir daugiareikšmes funkcijas su pirmojo tipo nepertraukiamumo taškais, taip pat galios ir transtendencines funkcijas. Naudojant kompiuterius, užtikrinančius loginių-algebrinių operacijų vykdymą sistemose, atsirado naujų tipų tiesiškumo, kurie vaizduojami ištisiniais kintamaisiais naudojant specialią logiką.
Norint matematiškai apibūdinti tokius netiesiškumus, naudojamos lygiavertės perdavimo funkcijos, priklausomai nuo tiesiškumo koeficientų, kurie gaunami sumažinus vidutinę kvadratinę paklaidą atkuriant tam tikrą įvesties signalą. Į netiesiškumo įvestį gaunamų įvesties signalų forma gali būti savavališka. Praktikoje labiausiai paplitę harmoniniai ir atsitiktiniai įvesties signalų tipai bei jų laiko deriniai. Atitinkamai linearizacijos metodai vadinami harmoniniais ir statiniais.
Bendrasis lygiaverčių perdavimo funkcijų aprašymo metodas
Visa reikšmingų netiesiškumo klasė suskirstyta į dvi grupes. Pirmoji grupė apima vienareikšmiškus netiesiškumus, kuriuose ryšys tarp įvesties 
ir savaitgaliais 
vektoriniai signalai priklauso tik nuo statinės netiesiškumo charakteristikos formos 
.
.
Šiuo atveju su tam tikra įvesties signalų forma:
.
Naudojant linearizacijos matricą 
galite rasti apytikslę išėjimo signalų vertę:
.
Iš (42) išplaukia, kad vienareikšmių netiesiškumo linearizacijos koeficientų matrica yra realūs dydžiai ir jų ekvivalentinės perdavimo funkcijos:
.
Antroji grupė apima dvireikšmes (daugiareikšmes) netiesiškumą, kuriame ryšys tarp įvesties ir išėjimo signalų priklauso ne tik nuo statinės charakteristikos formos, bet yra nulemtas ir įvesties signalo istorijos. Šiuo atveju išraiška (42) bus parašyta taip:
.
Norėdami atsižvelgti į įvesties periodinio signalo istorijos įtaką, atsižvelgsime ne tik į patį signalą 
, bet ir jo kitimo greitis, skirtumas 
.
Įvesties signalams:
apytikslė įvesties signalo vertė bus:
Kur 
Ir 
- šansai harmoninė linearizacija dviejų reikšmių netiesiškumas;
- svyravimo periodas išilgai dešinės harmonikos;
- harmoninė funkcija.
Lygiavertė perdavimo funkcija:
Netiesiškumo yra daugiau bendras vaizdas:
,
,
Kur 
Ir 
- harmoniniai tiesiškumo koeficientai;
- harmoninis skaičius.
Periodinių tiesiškumo koeficientų matricos su periodu 
. Turint tai omenyje, dviejų dviejų reikšmių netiesiškumo perdavimo funkcija gali būti pavaizduota pagal analogiją su perdavimo funkcija
Tai naudodamiesi apibrėžsime apibendrintą formulę, skirtą vienareikšmių ir dvireikšmių netiesiškumo perkėlimo funkcijai apskaičiuoti.
Esant vienareikšmiškam netiesiškumui, tiesiškumo koeficientų matrica 
, priklausomai nuo vektoriaus parametrų 
, pasirenkame taip, kad būtų tiesinė kvadrato skirtumo vidutinė reikšmė tarp tiksliųjų 
ir uždaryti 
įvesties signalai:
Po transformacijų, supaprastinimų, gudrybių ir padidinto budrumo gauname lygiavertę perdavimo funkciją matricų sistemos pavidalu: 
,
.
,
adresu 
,
.
.
Nustatykite vienos vertės netiesiškumo tiesiškumo koeficientą. Kai į jo įvestį patenka pirmoji sinusinio signalo harmonika:
Kur 
.
.
(56) lygtis yra pirmasis harmoninis tiesiškumo koeficientas vienareikšmiam netiesiškumui, ji nustato ekvivalentinę perdavimo funkciją 
.
Toliau palyginsime paprasčiausių netiesiškumo tiesiškumo koeficientų nustatymo formulę, kai į jų įėjimą tiekiami periodiniai signalai: sinusiniai, trikampiai ir parodysime gautų ekvivalentinių perdavimo funkcijų panaudojimo galimybes.
Nustatykime tiesiškumo koeficientą 
,
.
,
.
Pavyzdys. Nustatykite dviejų reikšmių netiesiškumo tiesiškumo koeficientą, kai pirmoji sinusinio signalo harmonika patenka į jo įėjimą ir turi vieną įėjimą. Iš matricos sistemos (60) gauname:
,
.
Šiame pavyzdyje įvesties signalą rašome tokia forma:
,
.
Kai dviejų reikšmių netiesiškumo bendroji ekvivalentinė funkcija yra:
.
.
Harmoninio tiesinimo metodo idėja priklauso N.M. Krylovas ir N. N. Bogolyubov ir yra pagrįstas netiesinio sistemos elemento pakeitimu tiesine grandimi, kurios parametrai nustatomi atliekant harmoninį įvesties veiksmą, atsižvelgiant į pirmųjų harmonikų amplitudių lygybės sąlygą netiesinio elemento išvestyje ir lygiavertė linijinė nuoroda. Šis metodas gali būti naudojamas tuo atveju, kai tiesinė sistemos dalis yra žemųjų dažnių filtras, t.y. išfiltruoja visus harmoninius komponentus, atsirandančius netiesinio elemento išvestyje, išskyrus pirmąją harmoniką.
Netiesinių elementų harmoniniai tiesiškumo koeficientai ir ekvivalentiniai kompleksiniai perdavimo koeficientai. Nr linijinė sistema(2.1 pav.) tiesinės dalies ir netiesinio elemento parametrai parenkami taip, kad būtų simetriški periodiniai svyravimai, kurių dažnis w.
Netiesiškumo harmoninio tiesinimo metodas (2.10 pav.), aprašytas lygtimi
y n = F(x), (2,17)
daroma prielaida, kad netiesinio elemento įvestis taikoma harmoninė įtaka su dažniu w ir amplitude a, t.y.
x = a sin y, kur y = wt, (2.18)
o iš viso išėjimo signalo spektro izoliuojama tik pirmoji harmonika
y n 1 = a n 1 sin(y + y n 1), (2.19)
Kur a n 1 - amplitudė ir y n 1 - fazės poslinkis;
šiuo atveju aukštesnės harmonikos atmetamos ir užmezgamas ryšys tarp pirmosios išėjimo signalo harmonikos ir netiesinio elemento įėjimo harmonikos.
Ryžiai. 2.10. Netiesinio elemento charakteristikos
Tuo atveju, kai netiesinė sistema nejautrumo aukštesnėms harmonikoms, netiesinis elementas, pirmuoju aproksimavimu, gali būti pakeistas kokiu nors elementu su lygiaverčiu perdavimo koeficientu, kuris nustato pirmąją periodinių virpesių harmoniką išėjime, priklausomai nuo dažnio ir sinusinių virpesių amplitudė įėjime.
Netiesiniams elementams, kurių charakteristika (2.17) dėl plėtimosi periodinė funkcija F(x) Furjė eilėje sinusiniams virpesiams prie įėjimo (2.18) gauname išėjimo signalo pirmosios harmonikos išraišką
y n 1 = b 1F siny + a 1F jaukus, (2,20)
kur b 1F, a 1F yra Furjė serijos plėtimosi koeficientai, nustatantys atitinkamai pirmosios harmonikos fazių ir kvadratinių komponentų amplitudes, kurios nustatomos pagal formules:
px = a w cos y, kur p = d/dt,
tada ryšys tarp pirmosios periodinių virpesių harmonikos netiesinio elemento išvestyje ir sinusinių virpesių jo įėjime gali būti parašytas forma
y n 1 = x, (2.21)
kur q = b 1F / a, q¢ = a 1F / a.
Paskutinė lygtis vadinama harmoninės tiesinimo lygtis, ir koeficientai q ir q¢ - harmoniniai tiesiškumo koeficientai.
Taigi netiesinis elementas, veikiamas harmoninio signalo, iki aukštesnių harmonikų, apibūdinamas (2.21) lygtimi, kuri yra tiesinė. Ši netiesinio elemento lygtis skiriasi nuo tiesinio elemento lygties tuo, kad jos koeficientai q ir q¢ keičiasi keičiantis amplitudei a ir svyravimų dažnį w įėjime. Būtent tai yra esminis skirtumas tarp harmoninės tiesinės ir įprastinės tiesinės, kurių koeficientai nepriklauso nuo įvesties signalo, o nustatomi tik pagal netiesinio elemento charakteristikos tipą.
Už įvairių tipų netiesinės charakteristikos, harmoninės tiesiškumo koeficientai apibendrinti lentelėje. Bendru atveju harmoniniai tiesiškumo koeficientai q( a, w) ir q¢( a, w) priklauso nuo amplitudės a ir virpesių dažnis w netiesinio elemento įėjime. Tačiau statinio netiesiškumo atveju šie koeficientai q( a) ir q¢( a) yra tik amplitudės funkcija aįvesties harmoninis signalas, o statinių vienos vertės netiesiškumo atveju koeficientas q¢( a) = 0.
Taikydami (2.21) lygtį Laplaso transformacijai esant nulinėms pradinėms sąlygoms, vėliau pakeičiant operatorių s jw (s = jw), gauname ekvivalentiškas kompleksinis pelnas netiesinis elementas
W E (jw, a) = q + jq¢ = A E (w, a) e j y e (w , a) , (2.22)
kur ekvivalentinio kompleksinio perdavimo koeficiento modulis ir argumentas yra susieti su harmoniniais tiesiškumo koeficientais išraiškomis
A E (w, a) = mod W E (jw, a) =
y E (w, a) = arg W E (jw, A) = arctg.
Netiesinio elemento ekvivalentinis kompleksinis perdavimo koeficientas leidžia nustatyti pirmosios harmonikos (2.19) amplitudę ir fazės poslinkį netiesinio elemento išėjime, veikiant harmoningai (2.18) jo įėjime, t.y.
a n 1 = a´A E (w, a); y n 1 = y E (w, a).
Simetrinių periodinių režimų tyrimas netiesinėse sistemose. Tiriant netiesines sistemas, pagrįstas harmoninio tiesinimo metodu, pirmiausia sprendžiamas periodinių režimų egzistavimo ir stabilumo klausimas. Jei periodinis režimas yra stabilus, tada sistemoje yra savaiminiai virpesiai, kurių dažnis w 0 ir amplitudė a 0 .
Panagrinėkime netiesinę sistemą (2.5 pav.), kuri apima tiesinę dalį su perdavimo funkcija
ir netiesinis elementas su lygiaverčiu kompleksiniu stiprėjimu
W E (jw, a) = q(w, a) + jq¢(w, a) = A E (w, a) e j y e (w , a) . (2.24)
Atsižvelgdami į išraišką (2.21), galime parašyti netiesinės sistemos lygtį
(A(p) + B(p)´)x = 0. (2,25)
Jeigu uždaroje netiesinėje sistemoje atsiranda savaiminiai virpesiai
x = a 0 sin w 0 t
esant pastoviai amplitudei ir dažniui, tada harmoniniai tiesiškumo koeficientai pasirodo esantys pastovūs, o visa sistema yra stacionari. Norint įvertinti savaiminių svyravimų atsiradimo galimybę netiesinėje sistemoje harmoninio tiesinimo metodu, reikia rasti stabilumo ribos sąlygas, kaip ir buvo padaryta analizuojant tiesinių sistemų stabilumą. Periodinis sprendimas egzistuoja, jei a = a 0 ir w = w 0 harmoningai tiesinės sistemos charakteristikos lygtis
A(p) + B(p)´ = 0 (2,26)
turi įsivaizduojamų šaknų porą l i = jw 0 ir l i +1 = -jw 0 . Reikia toliau vertinti sprendimo stabilumą.
Priklausomai nuo charakteristikų lygties sprendimo būdų, išskiriami netiesinių sistemų tyrimo metodai.
Analitinis metodas . Norėdami įvertinti savaiminių svyravimų atsiradimo galimybę netiesinėje sistemoje, harmoningai tiesiniu sistemos charakteristikos polinomu pakeiskite jw vietoj p.
D(jw, a) = A(jw) + B(jw)´. (2.27)
Dėl to gauname lygtį D(jw, a) = 0, kurių koeficientai priklauso nuo tariamo savaiminio svyravimo režimo amplitudės ir dažnio. Atskyrę tikrąją ir įsivaizduojamą dalis
raudona(jw, a) = X(w, a);
aš D(jw, a) = Y(w, a),
gauname lygtį
X(w, a) + jY(w, a) = 0. (2.28)
Jei už tikras vertybes a 0 ir w 0 išraiška (2.28) tenkinama, tada sistemoje galimas savaiminis virpesių režimas, kurio parametrai apskaičiuojami naudojant tokią lygčių sistemą:
Iš reiškinių (2.29) galima rasti savaiminių virpesių amplitudės ir dažnio priklausomybę nuo sistemos parametrų, pavyzdžiui, nuo tiesinės sistemos dalies perdavimo koeficiento k. Norėdami tai padaryti, lygtyse (2.29) reikia laikyti perdavimo koeficientą k kintamąja verte, t.y. parašykite šias lygtis tokia forma:
Pagal grafikus a 0 = f(k), w 0 = f(k) galite pasirinkti perdavimo koeficientą k, kuriam esant galimų savaiminių virpesių amplitudė ir dažnis turi priimtinas reikšmes arba jų visai nėra.
Dažnio metodas. Pagal Nyquist stabilumo kriterijų, neslopinami svyravimai tiesinėje sistemoje atsiranda tuo atveju, kai atviros kilpos sistemos amplitudės-fazinė charakteristika eina per tašką, kurio koordinatės [-1, j0]. Ši sąlyga yra ir savaiminių virpesių egzistavimo sąlyga harmoningai tiesinėje netiesinėje sistemoje, t.y.
W n (jw, a) = -1. (2.31)
Kadangi tiesinė ir netiesinė sistemos dalys yra sujungtos nuosekliai, atviros kilpos netiesinės sistemos dažnio atsakas turi tokią formą
W n (jw, a) = W lch (jw)´W E (jw, a). (2.32)
Tada netiesinio elemento statinės charakteristikos atveju sąlyga (2.31) įgauna formą
W lch (jw) = - . (2,33)
(2.33) lygties sprendimą dėl savaiminių virpesių dažnio ir amplitudės galima gauti grafiškai kaip sistemos tiesinės dalies W lch (jw) dažnio atsako hodografo ir atvirkštinės hodografo susikirtimo tašką. charakteristika netiesinei daliai, paimtai su priešingu ženklu (2.11 pav.). Jeigu šie hodografai nesusikerta, vadinasi, savaiminio virpesių režimo tiriamoje sistemoje nėra.
Ryžiai. 2.11. Linijinių ir netiesinių sistemos dalių hodografai
Savaiminio svyravimo režimo, kurio dažnis w 0 ir amplitudė, stabilumui a 0 reikalaujama, kad netiesinės dalies hodografo taškas atitiktų padidintą amplitudę a 0 +D a lyginant su hodografų susikirtimo taško reikšme, tiesinės sistemos dalies dažninės charakteristikos hodografas nebuvo uždengtas ir uždengtas taškas, atitinkantis sumažintą amplitudę. a 0-D a.
Fig. 2.11 pateikiamas hodografų išdėstymo pavyzdys tuo atveju, kai netiesinėje sistemoje egzistuoja stabilūs savaiminiai virpesiai, nes a 3 < a 0 < a 4 .
Logaritminių dažnių charakteristikų tyrimas.
Tiriant netiesines sistemas naudojant logaritmines dažnines charakteristikas, sąlyga (2.31) perrašoma atskirai atviros kilpos netiesinės sistemos ekvivalentinio kompleksinio perdavimo koeficiento moduliui ir argumentui.
mod W lch (jw)W e (jw, a) = 1;
arg W lch (jw)W e (jw, a) = - (2k+1)p, kai k = 0, 1, 2, ...
po to pereinama prie logaritminių amplitudės ir fazių charakteristikų
L lch (w) + L e (w, a) = 0; (2.34)
y lch (w) + y e (w, a) = - (2k+1)p, kai k = 0, 1, 2, ... (2,35)
Sąlygos (2.34) ir (2.35) leidžia nustatyti amplitudę a 0 ir (2.25) lygties periodinio sprendimo dažnis w 0 pagal sistemos tiesinės dalies L lch (w), y lch (w) ir netiesinio elemento L e (w, logaritmines charakteristikas) a), y e (w, a).
Savaiminiai virpesiai, kurių dažnis w 0 ir amplitudė a 0 egzistuos netiesinėje sistemoje, jei (2.25) lygties periodinis sprendimas yra stabilus. Apytikslis metodas periodinio sprendimo stabilumui tirti yra sistemos elgsenos tyrimas esant dažniui w = w 0 ir amplitudės reikšmėms. a =a 0+D a Ir a =a 0 - D a, kur D a> 0 – mažas amplitudės prieaugis. Tiriant periodinio sprendimo stabilumą a 0+D a Ir a 0 - D a Logaritminėms charakteristikoms nustatyti naudojamas Nyquist stabilumo kriterijus.
Netiesinėse sistemose su nedviprasmiškomis netiesinio elemento statinėmis charakteristikomis harmoninis tiesiškumo koeficientas q¢( a) yra lygus nuliui, todėl fazės poslinkis y e ( a) prisidėjo elementas. Šiuo atveju periodinis sistemos lygties sprendimas
x = 0 (2,36)
yra, jei tenkinamos šios sąlygos:
L lch (w) = - L e ( a); (2.37)
y lch (w) = - (2k+1)p, kai k = 0, 1, 2, ... (2,38)
(2.38) lygtis leidžia nustatyti periodinio sprendimo dažnį w = w 0, o lygtis (2.37) – jo amplitudę a =a 0 .
Naudojant gana paprastą tiesinę dalį, šių lygčių sprendimus galima gauti analitiškai. Tačiau dažniausiai jas patartina spręsti grafiškai (2.12 pav.).
Tiriant (2.36) lygties periodinio sprendinio stabilumą, t.y. nustatydami savaiminių virpesių egzistavimą netiesinėje sistemoje su vienareikšmiška netiesine statine charakteristika, jie naudoja Nyquist kriterijus: periodinis sprendimas, kurio dažnis w = w 0 ir amplitudė a =a 0 yra stabilus, jei dažniui pasikeitus nuo nulio iki begalybės ir amplitudei D didėja teigiamai a> 0 skirtumas tarp teigiamų (iš viršaus į apačią) ir neigiamų (iš apačios į viršų) fazių charakteristikų, būdingų sistemos tiesinei daliai y lch (w) per liniją -p, skaičiaus skirtumas yra lygus nuliui dažnių diapazonas, kur L lch (w)³-L e (w 0 , a 0 +D a), ir nėra lygus nuliui dažnių diapazone, kur L lch (w)³-L e (w 0, a 0-D a).
Fig. 2.12 paveiksle parodytas periodinių sprendimų nustatymo netiesinėje sistemoje su apribojimu pavyzdys. Tokioje sistemoje yra trys periodiniai sprendimai, kurių dažniai w 01, w 02 ir w 03, nustatyti fazės charakteristikos y lch (w) susikirtimo taškuose su linija -180 0. Periodinės tirpalo amplitudės a 01 , a 02 ir a 03 yra nustatomi pagal sąlygą (2.37) pagal netiesinio elemento logaritmines amplitudės charakteristikas -L e (w 01, a), -L e (w 02, a) ir -L e (w 03, a).
Ryžiai. 2.12. Logaritminės amplitudės ir fazės charakteristikos
Iš trijų sprendimų, apibrėžtų fig. 2.12, du yra stabilūs. Sprendimas, kurio dažnis w = w 01 ir amplitudė a =a 01 yra stabilus, nes dažnių diapazone 1, kur L lch (w)³-L e (w 01, a 01 +D a), fazės charakteristika y lch (w) kerta ne liniją -180 0, o 2 dažnių diapazone, kur L lch (w)³-L e (w 01, a 01-D a), fazės charakteristika y lch (w) vieną kartą kerta -180 0 liniją. Sprendimas, kurio dažnis w = w 02 ir amplitudė a =a 02 yra nestabilus, nes dažnių diapazone, kuriame L hp (w)³-L e (w 02, a 02 +D a), fazės charakteristika y lch (w) vieną kartą kerta -180 0 liniją. Aukšto dažnio periodinis sprendimas, kurio dažnis w = w 03 ir amplitudė a =a 03 yra stabilus, nes dažnių diapazone, kuriame L hp (w)³-L e (w 03, a 03 +D a), yra vienas teigiamas ir vienas neigiamas fazės charakteristikos y lch (w) perėjimas per -180 0 liniją ir dažnių diapazone, kur L lch (w)³-L e (w 03, a 03-D a), yra du teigiami ir vienas neigiamas fazės charakteristikos y lch (w) perėjimas per -180 0 liniją.
Nagrinėjamoje sistemoje su nedideliais trikdžiais bus nustatyti aukšto dažnio savaiminiai virpesiai, kurių dažnis w 03 ir amplitudė a 03, o esant dideliems trikdžiams - žemo dažnio savaiminiai virpesiai, kurių dažnis w 01 ir amplitudė a 01 .
Pavyzdys. Ištirti savaiminio virpesių režimus netiesinėje sistemoje, kurios tiesinė dalis turi tokią perdavimo funkciją
kur k = 200 s -1; T1 =1,5 s; T 2 = 0,015 s,
ir kaip netiesinis elementas naudojama relė su negyvąja zona (2.4 pav.,b), esant c=10 V, b=2 V.
Sprendimas Naudodami relės su negyvąja zona lentelę randame harmoninius tiesiškumo koeficientus:
At a³ b, q¢( a) = 0.
Konstruojant netiesinio elemento charakteristikas, patartina naudoti įėjimo harmoninės įtakos amplitudės reikšmę negyvosios zonos atžvilgiu m = a/b. Perrašykime harmoninio tiesiškumo koeficiento išraišką formoje
kur yra relės perdavimo koeficientas;
Santykinė amplitudė.
Relės perdavimo koeficientą kn priskiriame tiesinei sistemos daliai ir gauname normalizuotus harmonikų tiesiškumo koeficientus
ir normalizuotos logaritminės amplitudės charakteristika relės elementui su priešingu ženklu
Jei m ® 1, tai -L e (m) ® ¥; o m >> 1 -L e (m) = 20 log m. Taigi normalizuotos logaritminės amplitudės charakteristikos su priešingu ženklu asimptotės yra vertikali tiesė ir tiesė, kurios nuolydis +20 dB/dec, kurios eina per tašką, kurio koordinatės L = 0, m = 1 (1 pav.). 2.13).
Ryžiai. 2.13. Periodinio sprendimo apibrėžimas relinėje sistemoje
su mirusia zona
a 0 = b´m 1 = = 58 V.
Išspręsti savaiminių virpesių egzistavimo klausimą pagal normalizuotą logaritminę amplitudinę charakteristiką su priešingu netiesinio elemento ženklu ir tiesinės sistemos dalies perdavimo funkcija
pav. 2.13 sudaromos logaritminės charakteristikos Llch (w), -L e (m) ir y lch (w).
Periodinio sprendimo dažnis w 0 = 4,3 s -1 nustatomas fazės charakteristikos y lch (w) ir -180 0 linijos susikirtimo taške. Periodinių sprendinių m 1 = 29 ir m 2 = 1,08 amplitudės randamos iš charakteristikų L lch (w) ir -L e (m). Periodinis sprendimas su maža amplitudė m 2 yra nestabilus, o periodinis sprendimas su didelė amplitudė m 1 yra stabilus.
Taigi tiriamoje relių sistemoje yra savaiminis virpesių režimas, kurio dažnis w 0 = 4,3 s -1 ir amplitudė a 0 = b´m 1 = = 58 V.
Priklausomybės
Netiesioginių matavimų rezultatų apdorojimas netiesiniais
Matavimo rezultatų pristatymas
Dėl to, kad kiekvienas argumentas gali turėti atitinkamą pasitikėjimo ribos neatskiriamos sisteminės ir atsitiktinės klaidos, tada netiesioginio matavimo paklaidos nustatymo užduotis šiais atvejais skirstoma į tris etapus:
a) dalinių neišskirtų sisteminių argumentų klaidų sumavimas;
b) konkrečių atsitiktinių argumentų klaidų sumavimas;
c) sisteminių ir atsitiktinių klaidos komponentų pridėjimas.
Neatskiriamos sisteminės netiesioginio matavimo paklaidos pasikliovimo riba, esant tokiai pačiai dalinių paklaidų pasikliovimo tikimybei ir vienodai jų pasiskirstymui nurodytose ribose, nustatoma pagal formulę (neatsižvelgiant į ženklą):
kur θ y– sistemingai neišskiriamos vidutinės reikšmės paklaidos pasikliovimo riba Xj– argumentas. Nesant koreliacijos tarp argumentų, netiesioginio matavimo atsitiktinės paklaidos standartinio nuokrypio įvertis apskaičiuojamas naudojant
Kur S x j– matavimo rezultato atsitiktinės paklaidos standartinio nuokrypio įvertinimas Xj– argumentas.
Esant normaliam netiesioginių matavimo paklaidų pasiskirstymui, atsitiktinės paklaidos komponento pasikliovimo riba apskaičiuojama pagal formulę:
Kur tp– Studento t kvantilis pasitikėjimo lygiu P su efektyviu laisvės laipsnių skaičiumi k eff, nustatytas mažiems imties dydžiams naudojant formulę:
Dideliems tūriams laisvės laipsnių skaičius randamas pagal formulę
Netiesioginio rezultato suminės paklaidos pasitikėjimo riba
matavimai nustatomi pagal aukščiau nurodytas taisykles.
Yra du netiesioginio matavimo rezultato taškinio įverčio ir jo paklaidos nustatymo būdai: linearizacija ir redukcija.
Netiesioginiams matavimams su netiesinėmis priklausomybėmis ir nekoreliuotomis argumentų matavimo paklaidomis naudojamas tiesinis metodas. Linearizacijos metodas pagrįstas tuo, kad matavimo paklaida yra žymiai mažesnė už išmatuotą vertę, todėl artima vidutinėms vertėms Xi argumentai, netiesinė funkcinė priklausomybė yra tiesinė ir išplečiama į Taylor seriją (terminai aukšta tvarkaį tai neatsižvelgiama). Linearizuojant kelių atsitiktinių argumentų (tai yra matavimo rezultatai ir jų paklaidos) funkciją, paprastai galima gauti gana paprastą išraišką vidurkio įverčiams apskaičiuoti.
funkcijos reikšmė ir standartinis nuokrypis. Netiesinės funkcijos išplėtimas į Taylor seriją yra toks:
Linearizacijos metodas yra priimtinas, jei galima nepaisyti likusio termino R. Likęs narys
nepaisoma, jei
Kur X S– matavimo rezultato atsitiktinių paklaidų standartinis nuokrypis x i– argumentas. Pirmasis narys dešinėje lygties pusėje yra taškinis netiesioginio dydžio tikrosios vertės įvertinimas, gaunamas pakeičiant į
aritmetinių vidurkių funkcinė priklausomybė X i, argumentų reikšmės:
Antra kadencija
yra netiesioginio matavimo paklaidos komponentų, vadinamų dalinėmis paklaidomis, ir dalinių išvestinių suma
Įtakos koeficientai.
Nukrypimai Δ Xi turėtų būti paimti iš gautų klaidų verčių ir taip, kad jos maksimaliai padidintų likusio laikotarpio išraišką R. Jei netiesioginio matavimo dalinės paklaidos nepriklauso viena nuo kitos, tai yra yra nekoreliuojamos, o argumentų paklaidos pasikliovimo ribos yra žinomos su ta pačia tikimybe, tada didžiausia paklaida (neatsižvelgiant į ženklą) netiesioginis matavimas apskaičiuojamas pagal formulę:
funkcinės priklausomybės dalinių išvestinių reikšmės nustatomos pagal argumentų vidutines vertes
Šis metodas, vadinamas maksimaliu-minimalumu, žymiai pervertina netiesioginio matavimo paklaidą. Palyginti teisingas netiesioginio matavimo paklaidos įvertis gaunamas taikant kvadratinės sumos metodą
Kai kuriais atvejais netiesioginio matavimo paklaidos apskaičiavimas yra labai supaprastintas pereinant prie santykinių paklaidų. Norėdami tai padaryti, naudokite logaritmo metodą ir vėlesnį funkcinės priklausomybės diferencijavimą. Kai didžiausia netiesioginio matavimo paklaida, gauta naudojant didžiausio-mažiausio metodą.
Paslaugos paskirtis. Rasti naudotas internetinis skaičiuotuvas mažiausiai dviejų kintamųjų funkcijos tiesioginio linijavimo metodu.Funkcijų įvedimo taisyklės:
- Visi kintamieji išreiškiami per x 1 , x 2
- Visos matematinės operacijos išreiškiamos visuotinai priimtais simboliais (+,-,*,/,^). Pavyzdžiui, x 1 2 +x 1 x 2, parašykite kaip x1^2+x1*x2.
Visi toliau nagrinėjami metodai yra pagrįsti bendrosios formos f(x) netiesinės funkcijos išplėtimu Teiloro serijoje iki pirmos eilės terminų, esančių šalia kurio nors taško x 0:
Kur 
– atmestas antros eilės mažumo terminas.
Taigi funkcija f(x) taške x 0 aproksimuojama tiesine funkcija:
,
kur x 0 yra tiesiškumo taškas.
komentuoti. Linearizacija turėtų būti naudojama labai atsargiai, nes kartais gaunama labai apytikslė apytikslė vertė.
Bendra netiesinio programavimo problema
Pasvarstykime bendra užduotis netiesinis programavimas:
Tegul x t yra koks nors duotasis sprendinio įvertis. Naudojant tiesioginį linearizavimą, kyla tokia problema:
Ši užduotis yra PLP. Jį išspręsdami randame naują aproksimaciją x t +1, kuri gali nepriklausyti leistinajai sprendinių sričiai S.
Jei , tai optimali tiesinės tikslo funkcijos reikšmė, tenkinanti nelygybę:
gali būti netikslus tikrosios optimalumo vertės įvertinimas.
Konvergencijai prie ekstremumo pakanka, kad taškų sekai ( x t), gautai išsprendus LP subproblemų seką, būtų įvykdyta ši sąlyga:
tikslo funkcijos reikšmė ir apribojimo neatitikimas taške x t +1 turi būti mažesnis už jų reikšmes taške x t.
1 pavyzdys. 
Sukurkime leistiną sritį S (žr. pav.).
Įmanoma sritis S susideda iš kreivės h(x)=0 taškų, esančių tarp taško (2;0), apibrėžto apribojimu x 2 ≥0, ir taško (1;1), apibrėžto apribojimu g( x) ≥0.
Linearizuodami uždavinį taške x 0 =(2;1), gauname tokį ZLP:
Čia tai tiesi atkarpa, apribota taškais (2,5; 0,25) ir (11/9; 8/9). Tiesinės tikslo funkcijos lygio linijos yra tiesės, kurių nuolydis yra -2, o pradinės tikslo funkcijos lygio linijos yra apskritimai, kurių centras yra taške (0;0). Akivaizdu, kad tiesinio uždavinio sprendimas yra taškas x 1 = (11/9; 8/9). Šiuo metu turime:
taigi lygybės apribojimas pažeidžiamas. Atlikę naują linearizaciją taške x 1, gauname naują uždavinį:
Naujasis sprendimas yra linijų sankirtoje 
ir ir turi koordinates x 2 = (1,0187; 0,9965). Apribojimas – lygybė ( 
) vis dar pažeidžiamas, bet mažesniu mastu. Jei atliksime dar dvi iteracijas, gausime labai gerą aproksimaciją sprendiniui x * =(1;1), f(x *)=2
Lentelė – kai kurių iteracijų objektyvios funkcijos reikšmės:
| Iteracija | f | g | h |
| 0 | 5 | 3 | –1 |
| 1 | 2,284 | 0,605 | –0,0123 |
| 3 | 2,00015 | 3,44 × 10 -4 | –1,18×10 -5 |
| Optimalus | 2 | 0 | 0 |
Iš lentelės aišku, kad f,g reikšmės ir h tobulėti monotoniškai. Tačiau toks monotoniškumas būdingas problemoms, kurių funkcijos „vidutiniškai“ netiesinės. Esant funkcijoms, turinčioms ryškų netiesiškumą, tobulinimo monotoniškumas nutrūksta ir algoritmas nustoja konverguoti.
Yra trys tiesioginio linijavimo metodų tobulinimo būdai:
1. Nusileidimo krypčiai nustatyti naudokite tiesinę aproksimaciją.
2. Globalinis netiesinės uždavinio funkcijos aproksimavimas naudojant gabalų tiesinę funkciją.
3. Nuosekliųjų tiesėjimų taikymas kiekvienoje iteracijoje, siekiant išsiaiškinti leistiną sritį S.
Operatorių tiesinimo metodas ankstesniuose skyriuose aprašytu požiūriu bendroji teorija atsitiktinės funkcijos gali būti taikomos dviem skirtingais būdais. Pirma, galite tiesiogiai linearizuoti nurodytą ryšį tarp atsitiktinių funkcijų ir taip pakeisti netiesines lygtis, susijusias su atsitiktinėmis funkcijomis, tiesinėmis. Antra, galite taikyti kanoninių išplėtimų metodą, dėl kurio atsitiktinių funkcijų operacijos pakeičiamos operacijomis su įprastais atsitiktiniais dydžiais, o po to galite pritaikyti funkcinių priklausomybių tarp atsitiktinių dydžių linijavimo metodą, kuris yra įprastas tikimybių teorijoje.
Atsitiktinių funkcijų transformacijos tiesioginio linearizavimo metodas susideda iš visų pateiktų lygčių, jungiančių atsitiktines funkcijas, pakeitimo apytikslėmis. tiesines lygtis, gana gerai atspindinti tikrąją atsitiktinių funkcijų priklausomybę praktiškai galimi įgyvendinimai atsitiktinės funkcijos. Kadangi atsitiktinių dydžių matematiniai lūkesčiai
yra vidutinės reikšmės, aplink kurias išsisklaido galimos jų realizacijos, tuomet praktikoje patogiausia yra tiesuoti ryšius tarp atsitiktinių funkcijų, atsižvelgiant į jų nukrypimus nuo matematinių lūkesčių, t.y. centruotų atsitiktinių funkcijų. Be to, visos funkcijos įtrauktos į pateiktos lygtys, turėtų būti išplėsta į Taylor serijas, atsižvelgiant į centruotas atsitiktines funkcijas, o šių eilučių terminų, viršijančių pirmąjį laipsnį, reikėtų atmesti. Tokiu būdu gauto aproksimavimo tikslumo laipsnį galima įvertinti maksimaliai galimas dydis išmesti terminai praktiškai galimų atsitiktinių funkcijų įgyvendinimų srityje. Pakeitę šias lygtis, susijusias su atsitiktinėmis funkcijomis, apytikslėmis tiesinėmis lygtimis, galime pritaikyti ankstesniame skyriuje aprašytą atsitiktinių funkcijų tiesinių transformacijų teoriją, kad apytiksliai nustatytų atsitiktinių funkcijų matematinius lūkesčius ir koreliacijos funkcijas, gautas atlikus nagrinėjamą netiesinę transformaciją. . Kitame skyriuje pateiksime išsamesnį tiesioginio tiesinimo metodo, taikomo skaliarinio nepriklausomo kintamojo, susieto su įprastomis diferencialinėmis lygtimis, funkcijoms, pristatymą.
Pereikime prie kanoninių plėtimų metodo taikymo apytiksliai atsitiktinių funkcijų netiesinių transformacijų tyrimui. Tarkime, kad atsitiktinė funkcija gaunama transformavus atsitiktinę funkciją naudojant kokį nors netiesinį operatorių A:
Vietoj atsitiktinės funkcijos čia pakeitę bet kurį jos kanoninį išplėtimą, gauname:
Ši lygybė reiškia atsitiktinę funkciją kaip tam tikrą, paprastai kalbant netiesinę, atsitiktinių kintamųjų funkciją, kurios parametras yra 5 argumentas:
Linearizuodami šią funkciją įprastu tikimybių teorijoje būdu (žr. § 31) ir atsižvelgdami į tai, kad dydžių matematiniai lūkesčiai yra lygūs nuliui, turėsime:
yra funkcijos išvestinės reikšmė visų dydžių nulinių dydžių atsitiktinio dydžio atžvilgiu, kuris laužtinio skliausto apačioje pažymėtas nuliu. Formulė (100.5) pateikia apytikslį kanoninį atsitiktinės funkcijos išplėtimą su plėtimosi koeficientais ir koordinačių funkcijomis
Atsižvelgdami į tai, kad visų dydžių matematiniai lūkesčiai yra lygūs nuliui, iš (100.5) gauname tokią apytikslę atsitiktinės funkcijos matematinio lūkesčio formulę
Taigi, norint apytiksliai nustatyti atsitiktinės funkcijos matematinius lūkesčius, reikia naudoti ryšį (100.1), jungiantį atsitiktines funkcijas, ir šias atsitiktines funkcijas pakeisti jų matematiniais lūkesčiais Atsitiktinis kintamasis, susijęs su kitu atsitiktiniu dydžiu netiesine funkcine priklausomybe, gauta iš 31 paragrafo.
Atsitiktinės funkcijos koreliacinė funkcija, pagrįsta bendroji formulė(56.2), bus išreikštas apytiksle formule
