Kintamojo y priklausomybė nuo kintamojo x, kuriame kiekviena x reikšmė atitinka vieną y reikšmę, vadinama funkcija. Pažymėjimui naudokite žymėjimą y=f(x). Kiekviena funkcija turi keletą pagrindinių savybių, tokių kaip monotoniškumas, paritetas, periodiškumas ir kt.
Atidžiau pažvelkite į pariteto savybę.
Funkcija y=f(x) iškviečiama, net jei ji tenkina šias dvi sąlygas:
2. Funkcijos reikšmė taške x, priklausanti funkcijos apibrėžimo sričiai, turi būti lygi funkcijos reikšmei taške -x. Tai yra, bet kuriam taškui x iš funkcijos apibrėžimo srities turi būti tenkinama tokia lygybė: f(x) = f(-x).
Lyginės funkcijos grafikas
Jei nubraižysite lyginės funkcijos grafiką, jis bus simetriškas Oy ašiai.
Pavyzdžiui, funkcija y=x^2 yra lyginė. Pažiūrėkime. Apibrėžimo sritis yra visa skaitmeninė ašis, o tai reiškia, kad ji yra simetriška taško O atžvilgiu.
Paimkime savavališką x=3. f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. Todėl f(x) = f(-x). Taigi tenkinamos abi sąlygos, o tai reiškia, kad funkcija yra lygi. Žemiau yra funkcijos y=x^2 grafikas.
Paveikslėlyje parodyta, kad grafikas yra simetriškas Oy ašiai.
Nelyginės funkcijos grafikas
Funkcija y=f(x) vadinama nelygine, jei ji tenkina šias dvi sąlygas:
1. Duotosios funkcijos apibrėžimo sritis turi būti simetriška taško O atžvilgiu. Tai yra, jei kuris nors taškas a priklauso funkcijos apibrėžimo sričiai, tai atitinkamas taškas -a taip pat turi priklausyti apibrėžimo sričiai. nurodytos funkcijos.
2. Bet kuriam taškui x iš funkcijos apibrėžimo srities turi būti įvykdyta ši lygybė: f(x) = -f(x).
Tvarkaraštis nelyginė funkcija yra simetriškas taško O – koordinačių pradžios – atžvilgiu. Pavyzdžiui, funkcija y=x^3 yra nelyginė. Pažiūrėkime. Apibrėžimo sritis yra visa skaitmeninė ašis, o tai reiškia, kad ji yra simetriška taško O atžvilgiu.
Paimkime savavališką x=2. f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. Todėl f(x) = -f(x). Taigi tenkinamos abi sąlygos, o tai reiškia, kad funkcija yra nelyginė. Žemiau yra funkcijos y=x^3 grafikas.
Paveikslėlyje aiškiai matyti, kad nelyginė funkcija y=x^3 yra simetriška kilmei.
net, jei visiems \(x\) iš jo apibrėžimo srities teisinga: \(f(-x)=f(x)\) .
Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas \(y\) ašiai:
Pavyzdys: funkcija \(f(x)=x^2+\cos x\) yra lyginė, nes \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Iškviečiama funkcija \(f(x)\). nelyginis, jei visiems \(x\) iš jo apibrėžimo srities teisinga: \(f(-x)=-f(x)\) .
Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas kilmei:
Pavyzdys: funkcija \(f(x)=x^3+x\) yra keista, nes \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Funkcijos, kurios nėra nei lyginės, nei nelyginės, vadinamos funkcijomis bendras vaizdas. Tokia funkcija visada gali būti vienareikšmiškai pavaizduota kaip lyginės ir nelyginės funkcijos suma.
Pavyzdžiui, funkcija \(f(x)=x^2-x\) yra lyginės funkcijos \(f_1=x^2\) ir nelyginės \(f_2=-x\) suma.
\(\juodas trikampis\) Kai kurios savybės:
1) Dviejų to paties pariteto funkcijų sandauga ir koeficientas yra lyginė funkcija.
2) Dviejų skirtingų paritetų funkcijų sandauga ir koeficientas yra nelyginė funkcija.
3) Lyginių funkcijų suma ir skirtumas yra lygioji funkcija.
4) Nelyginių funkcijų suma ir skirtumas – nelyginė funkcija.
5) Jei \(f(x)\) yra lyginė funkcija, tada lygtis \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) turi unikalią šaknį tada ir tik tada, kai \( x =0\) .
6) Jei \(f(x)\) yra lyginė arba nelyginė funkcija, o lygtis \(f(x)=0\) turi šaknį \(x=b\), tada ši lygtis tikrai turės sekundę šaknis \(x =-b\) .
\(\blacktriangleright\) Funkcija \(f(x)\) vadinama periodine \(X\), jei tam tikram skaičiui \(T\ne 0\) galioja: \(f(x)=f( x+T) \) , kur \(x, x+T\in X\) . Mažiausias \(T\), kuriam ši lygybė tenkinama, vadinamas pagrindiniu (pagrindiniu) funkcijos periodu.
Periodinė funkcija turi bet kokį skaičių \(nT\) , kur \(n\in \mathbb(Z)\) taip pat bus taškas.
Pavyzdys: bet koks trigonometrinė funkcija yra periodiškas;
funkcijoms \(f(x)=\sin x\) ir \(f(x)=\cos x\) pagrindinis periodas yra lygus \(2\pi\), funkcijoms \(f(x) )=\mathrm( tg)\,x\) ir \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) pagrindinis laikotarpis yra lygus \(\pi\) .
Norėdami sudaryti periodinės funkcijos grafiką, galite pavaizduoti jos grafiką bet kuriame \(T\) ilgio segmente (pagrindinis periodas); tada visos funkcijos grafikas užbaigiamas perkeliant sukonstruotą dalį sveiku skaičiumi periodų į dešinę ir į kairę:
\(\blacktriangleright\) Funkcijos \(f(x)\) domenas \(D(f)\) yra rinkinys, susidedantis iš visų argumento \(x\) reikšmių, kurioms funkcija turi prasmę (yra apibrėžtas).
Pavyzdys: funkcija \(f(x)=\sqrt x+1\) turi apibrėžimo sritį: \(x\in
1 užduotis #6364
Užduoties lygis: lygus vieningam valstybiniam egzaminui
Kokiomis parametro reikšmėmis \(a\) veikia lygtis
turi vieną sprendimą?
Atminkite, kad kadangi \(x^2\) ir \(\cos x\) yra lyginės funkcijos, jei lygtis turi šaknį \(x_0\) , ji taip pat turės šaknį \(-x_0\) .
Iš tiesų, tegul \(x_0\) yra šaknis, tai yra lygybė \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) teisingai. Pakeiskime \(-x_0\): \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).
Taigi, jei \(x_0\ne 0\) , tai lygtis jau turės bent dvi šaknis. Todėl \(x_0=0\) . Tada:
Gavome dvi parametro \(a\) reikšmes. Atminkite, kad naudojome faktą, kad \(x=0\) yra būtent pradinės lygties šaknis. Bet mes niekada nepasinaudojome tuo, kad jis vienintelis. Todėl turite pakeisti gautas parametro \(a\) reikšmes į pradinę lygtį ir patikrinti, kuriai konkrečiai \(a\) šaknis \(x=0\) tikrai bus unikali.
1) Jei \(a=0\) , tada lygtis bus \(2x^2=0\) . Akivaizdu, kad ši lygtis turi tik vieną šaknį \(x=0\) . Todėl reikšmė \(a=0\) mums tinka.
2) Jei \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , tada lygtis bus tokia forma \ Perrašykime lygtį į formą \ Nes \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), Tai \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Vadinasi, segmentui priklauso lygties dešinės pusės reikšmės (*). \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).
Kadangi \(x^2\geqslant 0\) , tada kairioji lygties pusė (*) yra didesnė arba lygi \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .
Taigi lygybė (*) gali būti teisinga tik tada, kai abi lygties pusės yra lygios \(\mathrm(tg)^2\,1\) . O tai reiškia, kad \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftright rodyklė\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Todėl reikšmė \(a=-\mathrm(tg)\,1\) mums tinka.
Atsakymas:
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
2 užduotis #3923
Užduoties lygis: lygus vieningam valstybiniam egzaminui
Raskite visas parametro \(a\) reikšmes, kurių kiekvienos funkcijos grafikas \
simetriškas kilmei.
Jei funkcijos grafikas yra simetriškas kilmės atžvilgiu, tada tokia funkcija yra nelyginė, tai yra, \(f(-x)=-f(x)\) galioja bet kuriam \(x\) iš srities funkcijos apibrėžimo. Taigi reikia rasti tas parametrų reikšmes, kurioms \(f(-x)=-f(x).\)
\[\begin(lygiuotas) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end (sulygiuotas)\]
Paskutinė lygtis turi būti įvykdyta visoms \(x\) iš \(f(x)\ srities), todėl \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).
Atsakymas:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
3 užduotis #3069
Užduoties lygis: lygus vieningam valstybiniam egzaminui
Raskite visas parametro \(a\) reikšmes, kurių kiekvienos lygtis \ turi 4 sprendinius, kur \(f\) yra lyginė periodinė funkcija su periodu \(T=\dfrac(16)3\) apibrėžta visoje skaičių eilutėje ir \(f(x)=ax^2\) for \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(Prenumeratorių užduotis)
Kadangi \(f(x)\) yra lyginė funkcija, jos grafikas yra simetriškas ordinačių ašies atžvilgiu, todėl \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Taigi, kada \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), ir tai yra \(\dfrac(16)3\) ilgio segmentas, funkcija \(f(x)=ax^2\) .
1) Tegu \(a>0\) . Tada funkcijos \(f(x)\) grafikas atrodys taip: 
Tada, kad lygtis turėtų 4 sprendinius, grafikas \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) eitų per tašką \(A\) : 
Vadinasi, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftright arrow\quad \left[\begin(surinkta)\begin (sulygiuotas) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\pabaiga(sulygiuota)\pabaiga(surinkta)\dešinė. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(surinkta)\begin (sulygiuotas) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(sulygiuotas) \end( surinkta)\teisingai.\] Kadangi \(a>0\) , tada tinka \(a=\dfrac(18)(23)\).
2) Tegul \(a<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
Būtina, kad grafikas \(g(x)\) eitų per tašką \(B\): \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftright arrow\quad \left[\begin(surinkta)\begin (sulygiuotas) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \pabaiga(sulygiuota) \pabaiga(surinkta)\dešinė.\] Nuo \(a<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) Atvejis, kai \(a=0\) netinka, nuo tada \(f(x)=0\) visiems \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) ir lygtis turės tik 1 šaknį.
Atsakymas:
\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)
4 užduotis #3072
Užduoties lygis: lygus vieningam valstybiniam egzaminui
Raskite visas \(a\) reikšmes, kurių kiekvienos lygtis \
turi bent vieną šaknį.
(Prenumeratorių užduotis)
Perrašykime lygtį į formą \
ir apsvarstykite dvi funkcijas: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) ir \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
Funkcija \(g(x)\) yra lyginė ir turi minimalų tašką \(x=0\) (ir \(g(0)=49\) ).
Funkcija \(f(x)\) \(x>0\) mažėja, o \(x)<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
Iš tiesų, kai \(x>0\) antrasis modulis bus atidarytas teigiamai (\(|x|=x\) ), todėl, nepaisant to, kaip bus atidarytas pirmasis modulis, \(f(x)\) bus lygus į \(kx+A\) , kur \(A\) yra \(a\) išraiška, o \(k\) yra lygi \(-9\) arba \(-3\) . Kai \(x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
Raskime \(f\) reikšmę didžiausiame taške: \ 
Kad lygtis turėtų bent vieną sprendinį, būtina, kad funkcijų \(f\) ir \(g\) grafikai turėtų bent vieną susikirtimo tašką. Todėl jums reikia: \ \\]
Atsakymas:
\(a\in \(-7\)\puodelis\)
5 užduotis #3912
Užduoties lygis: lygus vieningam valstybiniam egzaminui
Raskite visas parametro \(a\) reikšmes, kurių kiekvienos lygtis \
turi šešis skirtingus sprendimus.
Pakeiskime \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Tada lygtis įgaus formą \
Palaipsniui išrašysime sąlygas, kurioms esant pradinė lygtis turės šešis sprendinius.
Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinė lygtis \((*)\) gali turėti daugiausiai du sprendinius. Bet kuri kubinė lygtis \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) gali turėti ne daugiau kaip tris sprendinius. Todėl, jei lygtis \((*)\) turi du skirtingus sprendinius (teigiamas!, nes \(t\) turi būti didesnis už nulį) \(t_1\) ir \(t_2\) , tada padarius atvirkščiai pakeitimas, gauname: \[\left[\begin(surinkta)\begin(sulyginta) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\pabaiga(sulygiuota)\pabaiga(surinkta)\dešinė.\] Kadangi bet koks teigiamas skaičius tam tikru mastu gali būti vaizduojamas kaip \(\sqrt2\), pvz. \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), tada pirmoji aibės lygtis bus perrašyta forma \
Kaip jau minėjome, bet kuri kubinė lygtis turi ne daugiau kaip tris sprendinius, todėl kiekviena aibės lygtis turės ne daugiau kaip tris sprendinius. Tai reiškia, kad visame rinkinyje bus ne daugiau kaip šeši sprendimai.
Tai reiškia, kad tam, kad pradinė lygtis turėtų šešis sprendinius, kvadratinė lygtis \((*)\) turi turėti du skirtingus sprendinius, o kiekviena gauta kubinė lygtis (iš aibės) turi turėti tris skirtingus sprendinius (o ne vieną viena lygtis turėtų sutapti su bet kuria – antrosios sprendimu!)
Akivaizdu, kad jei kvadratinė lygtis \((*)\) turi vieną sprendinį, tada negausime šešių pradinės lygties sprendinių.
Taigi sprendimo planas tampa aiškus. Taškas po taško surašykime sąlygas, kurios turi būti įvykdytos.
1) Kad lygtis \((*)\) turėtų du skirtingus sprendinius, jos diskriminantas turi būti teigiamas: \
2) Taip pat būtina, kad abi šaknys būtų teigiamos (nes \(t>0\) ). Jei dviejų šaknų sandauga yra teigiama, o jų suma teigiama, tada ir pačios šaknys bus teigiamos. Todėl jums reikia: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]
Taigi, mes jau turime dvi skirtingas teigiamas šaknis \(t_1\) ir \(t_2\) .
3)
Pažvelkime į šią lygtį \
Kam \(t\) bus trys skirtingi sprendimai? Taigi nustatėme, kad abi lygties \((*)\) šaknys turi būti intervale \((1;4)\) . Kaip parašyti šią sąlygą? turėjo keturias skirtingas šaknis, kurios skiriasi nuo nulio ir kartu su \(x=0\) reiškia aritmetinę progresiją. Atminkite, kad funkcija \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) yra lyginė, o tai reiškia, kad jei \(x_0\) yra lygties šaknis \( (*)\ ) , tada \(-x_0\) taip pat bus jo šaknis. Tada būtina, kad šios lygties šaknys būtų skaičiai, išdėstyti didėjančia tvarka: \(-2d, -d, d, 2d\) (tada \(d>0\)). Tada šie penki skaičiai sudarys aritmetinę progresiją (su skirtumu \(d\)). Kad šios šaknys būtų skaičiai \(-2d, -d, d, 2d\) , būtina, kad skaičiai \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) būtų lygtis \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Tada pagal Vietos teoremą: Perrašykime lygtį į formą \
ir apsvarstykite dvi funkcijas: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) ir \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) . Kad lygtis turėtų bent vieną sprendinį, būtina, kad funkcijų \(f\) ir \(g\) grafikai turėtų bent vieną susikirtimo tašką. Todėl jums reikia: \
Išspręsdami šį sistemų rinkinį, gauname atsakymą: \\]
Atsakymas: \(a\in \(-2\)\puodelis\) Dėmesio! Skaidrių peržiūros yra skirtos tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visų pristatymo funkcijų. Jei jus domina šis darbas, atsisiųskite pilną versiją. Tikslai: Įranga: multimedijos instaliacija, interaktyvi lenta, dalomoji medžiaga. Darbo formos: frontalinis ir grupinis su paieškos ir tiriamosios veiklos elementais. Informacijos šaltiniai: PAMOKOS EIGA 1. Organizacinis momentas Pamokos tikslų ir uždavinių nustatymas. 2.
Namų darbų tikrinimas Nr.10.17 (9 klasės užduočių knygelė. A.G. Mordkovich). A) adresu = f(X), f(X) = b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69; c) 1. D( f) = [– 2; + ∞) (Ar naudojote funkcijų tyrimo algoritmą?) Skaidrė.
2. Patikrinkime lentelę, kurios jūsų paprašė iš skaidrės. Apibrėžimo sritis Funkcijos nuliai Ženklo pastovumo intervalai x = –5, x € (–5;3) U x € (–∞;–5) U x ∞ –5, x € (–5;3) U x € (–∞;–5) U x ≠ –5, x € (–∞; –5) U x € (–5; 2) 3.
Žinių atnaujinimas – Suteiktos funkcijos. X ≠ 0 ir neapibrėžtas – Atlikdami šį darbą, vaikinai, nustatėme dar vieną funkcijos savybę, jums nepažįstamą, bet ne mažiau svarbią už kitas – tai funkcijos tolygumas ir keistumas. Užsirašykite pamokos temą: „Lyginės ir nelyginės funkcijos“, mūsų užduotis – išmokti nustatyti funkcijos lygumą ir nelygumą, išsiaiškinti šios savybės reikšmę funkcijų studijoms ir brėžiant grafikus. Def. 1 Funkcija adresu = f (X), vadinamas aibėje X net, jei už kokią nors vertę XЄ X vykdomas lygybė f(–x)= f(x). Pateikite pavyzdžių. Def. 2 Funkcija y = f(x), apibrėžiamas aibėje X vadinamas nelyginis, jei už kokią nors vertę XЄ X galioja lygybė f(–х)= –f(х). Pateikite pavyzdžių. Kur mes sutikome terminus „lyginis“ ir „nelyginis“? Tyrimas, ar funkcija yra lyginė ar nelyginė, vadinamas funkcijos pariteto tyrimu. Skaidrė 1 ir 2 apibrėžimuose mes kalbėjome apie funkcijos reikšmes x ir – x, todėl daroma prielaida, kad funkcija taip pat yra apibrėžta verte X, ir – X. Def 3. Jei skaitinėje aibėje kartu su kiekvienu jos elementu x yra ir priešingas elementas –x, tai aibė X vadinama simetriška aibe. Pavyzdžiai: (–2;2), [–5;5]; (∞;∞) yra simetriškos aibės, o , [–5;4] yra asimetrinės. – Ar net funkcijos turi apibrėžimo sritį, kuri yra simetriška aibė? Keistas? Skaidrė
Pariteto funkcijos tyrimo algoritmas 1. Nustatykite, ar funkcijos apibrėžimo sritis yra simetriška. Jei ne, tada funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. Jei taip, pereikite prie 2 algoritmo veiksmo. 2. Parašykite išraišką už f(–X). 3. Palyginkite f(–X).Ir f(X): Pavyzdžiai:
Išnagrinėkite lygybės funkciją a) adresu= x 5 +; b) adresu= ; V) adresu= . Sprendimas. a) h(x) = x 5 +, 1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetrinė aibė. 2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +), 3) h(– x) = – h (x) => funkcija h(x)= x 5 + nelyginis. b) y =, adresu = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetrinė aibė, o tai reiškia, kad funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. V) f(X) = , y = f (x), 1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]? 2 variantas 1. Ar duotoji aibė yra simetriška: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ? a) y = x 2 (2x – x 3), b) y = Abipusis patikrinimas skaidrė. 6. Namų darbai: №11.11, 11.21,11.22; Pariteto savybės geometrinės reikšmės įrodymas. ***(Vieningo valstybinio egzamino varianto priskyrimas). 1. Nelyginė funkcija y = f(x) yra apibrėžta visoje skaičių eilutėje. Bet kuriai neneigiamai kintamojo x vertei šios funkcijos reikšmė sutampa su funkcijos g( X)
= X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Raskite funkcijos h( X) = at X = 3. 7. Apibendrinimas Netgi funkcija.
Netgi yra funkcija, kurios ženklas nesikeičia pasikeitus ženklui x. x galioja lygybė f(–x) = f(x). Pasirašyti x neturi įtakos ženklui y. Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas koordinačių ašiai (1 pav.). Lyginės funkcijos pavyzdžiai: y= cos x y = x 2 y = –x 2 y = x 4 y = x 6 y = x 2 + x Paaiškinimas: Keista funkcija.
Keista yra funkcija, kurios ženklas keičiasi pasikeitus ženklui x. Kitaip tariant, už bet kokią vertę x galioja lygybė f(–x) = –f(x). Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas pradžios atžvilgiu (2 pav.). Nelyginių funkcijų pavyzdžiai: y= nuodėmė x y = x 3 y = –x 3 Paaiškinimas: Paimkime funkciją y = – x 3 . Lyginių ir nelyginių funkcijų savybės:
PASTABA:
Ne visos funkcijos yra lyginės arba nelyginės. Yra funkcijų, kurios nepaklūsta tokiai gradacijai. Pavyzdžiui, šaknies funkcija adresu = √X netaikomas nei lyginėms, nei nelyginėms funkcijoms (3 pav.). Išvardijant tokių funkcijų savybes, reikia pateikti atitinkamą aprašymą: nei lyginis, nei nelyginis. Periodinės funkcijos.
Kaip žinote, periodiškumas yra tam tikrų procesų pasikartojimas tam tikru intervalu. Šiuos procesus apibūdinančios funkcijos vadinamos periodines funkcijas. Tai yra, tai yra funkcijos, kurių grafikuose yra elementai, kurie kartojasi tam tikrais skaitiniais intervalais. Apibrėžimas 1. Funkcija vadinama net
(nelyginis
), jei kartu su kiekviena kintamojo reikšme Taigi funkcija gali būti lyginė arba nelyginė tik tada, kai jos apibrėžimo sritis yra simetriška skaičių eilutės (skaičiaus) koordinačių pradžiai X Ir - X priklauso tuo pačiu metu Funkcija Funkcija Funkcija Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas ašies atžvilgiu Oi, nes jei taškas Įrodant, ar funkcija yra lyginė ar nelyginė, naudingi šie teiginiai. Teorema 1. a) Dviejų lyginių (nelyginių) funkcijų suma yra lyginė (nelyginė) funkcija. b) Dviejų lyginių (nelyginių) funkcijų sandauga yra lyginė funkcija. c) Lyginės ir nelyginės funkcijos sandauga yra nelyginė funkcija. d) Jei f– net funkcija rinkinyje X, ir funkcija g
apibrėžta rinkinyje d) Jei f– nelyginė funkcija rinkinyje X, ir funkcija g
apibrėžta rinkinyje Įrodymas. Įrodykime, pavyzdžiui, b) ir d). b) Tegul d) Leiskite f
yra lygi funkcija. Tada. Likusius teoremos teiginius galima įrodyti panašiai. Teorema įrodyta. Teorema 2. Bet kokia funkcija Įrodymas. Funkcija Funkcija Apibrėžimas 2. Funkcija Toks skaičius T paskambino laikotarpį
funkcijas Iš 1 apibrėžimo išplaukia, kad jei T– funkcijos laikotarpis Apibrėžimas 3. Mažiausias iš teigiamų funkcijos periodų vadinamas jos pagrindinis
laikotarpį. Teorema 3. Jeigu T– pagrindinis funkcijos laikotarpis f, tada likę laikotarpiai yra jo kartotiniai. Įrodymas. Tarkime, priešingai, tai yra, kad yra laikotarpis tai yra Gerai žinoma, kad trigonometrinės funkcijos yra periodinės. Pagrindinis laikotarpis (nes Reikšmė T, nustatytas iš pirmosios lygybės, negali būti laikotarpis, nes jis priklauso nuo X, t.y. yra funkcija X, o ne pastovus skaičius. Laikotarpis nustatomas iš antrosios lygybės: Sudėtingesnės periodinės funkcijos pavyzdys yra Dirichlet funkcija Atkreipkite dėmesį, kad jei T tada yra racionalus skaičius bet kuriam racionaliam skaičiui T. Todėl bet koks racionalus skaičius T yra Dirichlet funkcijos laikotarpis. Akivaizdu, kad ši funkcija neturi pagrindinio laikotarpio, nes yra teigiamų racionalūs skaičiai, savavališkai arti nulio (pavyzdžiui, galima pasirinkti racionalų skaičių n savavališkai arti nulio). Teorema 4. Jei funkcija f
apibrėžta rinkinyje X ir turi laikotarpį T, ir funkcija g
apibrėžta rinkinyje Įrodymas. Todėl turime tai teoremos teiginys įrodytas. Pavyzdžiui, nuo cos
x
turi laikotarpį Apibrėžimas 4. Iškviečiamos funkcijos, kurios nėra periodinės neperiodinis
.
Apsvarstykite funkciją \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Galima faktorizuoti: \
Todėl jo nuliai yra: \(x=-1;2\) .
Jeigu rasime išvestinę \(f"(x)=3x^2-6x\) , tai gausime du ekstremumo taškus \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Todėl grafikas atrodo taip: 
Matome, kad bet kuri horizontali linija \(y=k\) , kur \(0
Taigi, jums reikia: \[\begin(cases) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
Taip pat iš karto atkreipkime dėmesį, kad jei skaičiai \(t_1\) ir \(t_2\) yra skirtingi, tada skaičiai \(\log_(\sqrt2)t_1\) ir \(\log_(\sqrt2)t_2\) bus skiriasi, o tai reiškia lygtis \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) Ir \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) turės skirtingas šaknis.
Sistemą \((**)\) galima perrašyti taip: \[\begin(cases) 1
Šaknų aiškiai neužrašysime.
Apsvarstykite funkciją \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Jos grafikas yra parabolė su į viršų nukreiptomis šakomis, kuri turi du susikirtimo taškus su x ašimi (šią sąlygą užrašėme 1 pastraipoje). Kaip turėtų atrodyti jo grafikas, kad susikirtimo taškai su x ašimi būtų intervale \((1;4)\)? Taigi: 
Pirma, funkcijos reikšmės \(g(1)\) ir \(g(4)\) taškuose \(1\) ir \(4\) turi būti teigiamos, ir, antra, funkcijos viršūnė parabolė \(t_0\ ) taip pat turi būti intervale \((1;4)\) . Todėl galime parašyti sistemą: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
Funkcijos \(g(x)\) maksimalus taškas yra \(x=0\) (ir \(g_(\tekstas(viršuje))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Nulinė išvestinė: \(x=0\) . Kai \(x<0\)
имеем: \(g">0\) , \(x>0\) : \(g"<0\)
.
Funkcija \(f(x)\) \(x>0\) didėja, o \(x)<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
Iš tiesų, kai \(x>0\) pirmasis modulis bus atidarytas teigiamai (\(|x|=x\)), todėl, nepaisant to, kaip bus atidarytas antrasis modulis, \(f(x)\) bus lygus į \(kx+A\) , kur \(A\) yra \(a\) išraiška, o \(k\) yra lygus \(13-10=3\) arba \(13+10 =23\) . Kai \(x<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
Raskime \(f\) reikšmę minimaliame taške: \
Atgal Pirmyn
1. Algebra 9 klasė A.G.Mordkovičius. Vadovėlis.
2. Algebra 9 klasė A.G.Mordkovich. Problemų knyga.
3. Algebra 9 kl. Užduotys mokinių mokymuisi ir tobulėjimui. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 at X ~ 0,4
4. f(X) >0 at X > 0,4 ; f(X)
< 0 при – 2 <
X <
0,4.
5. Funkcija didėja su X € [– 2; + ∞)
6. Funkcija ribojama iš apačios.
7. adresu naim = – 3, adresu naibas neegzistuoja
8. Funkcija yra nuolatinė.Užpildykite lentelę
Grafo susikirtimo su Oy taškų koordinatės
x = 2
U(2;∞)
U (–3;2)
x ≠ 2
U(2;∞)
U (–3;2)
x ≠ 2
U(2;∞)
– Nurodykite kiekvienos funkcijos apibrėžimo apimtį.
– Palyginkite kiekvienos funkcijos reikšmę kiekvienai argumentų reikšmių porai: 1 ir – 1; 2 ir – 2.
– Kurioms iš šių funkcijų apibrėžimo srityje galioja lygybės f(– X)
= f(X), f(– X) = – f(X)? (gautus duomenis įveskite į lentelę) Skaidrė
f(1) ir f(– 1)
f(2) ir f(– 2)
grafika
f(– X) = –f(X)
f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =
6. f(X)=
X >
–1
Taigi, susiraskime apibrėžimus vadovėlyje ir skaitykime (p. 110) . Skaidrė
Kaip manote, kuri iš šių funkcijų bus lygi? Kodėl? Kurie yra nelyginiai? Kodėl?
Bet kuriai formos funkcijai adresu= x n, Kur n– sveikasis skaičius, galima teigti, kad funkcija nelyginė kai n– nelyginis, o funkcija lyginė, kai n– net.
– Peržiūrėti funkcijas adresu= ir adresu = 2X– 3 nėra nei lyginiai, nei nelyginiai, nes lygybės netenkinamos f(– X) = – f(X), f(–
X) = f(X)
– jei D( f) yra asimetrinė aibė, tai kokia yra funkcija?
– Taigi, jei funkcija adresu = f(X) – lyginis arba nelyginis, tada jo apibrėžimo sritis yra D( f) yra simetriškas rinkinys. Ar teisingas atvirkštinis teiginys: jei funkcijos apibrėžimo sritis yra simetrinė aibė, tai lyginė ar nelyginė?
– Tai reiškia, kad apibrėžimo srities simetrinės aibės buvimas yra būtina sąlyga, bet nepakankama.
– Taigi kaip ištirti pariteto funkciją? Pabandykime sukurti algoritmą.
A); b) y = x (5 – x 2).2. Išnagrinėkite pariteto funkciją:
3. Pav. buvo sukurtas grafikas adresu = f(X), visiems X, tenkinantis sąlygą X?
0.
Nubraižykite funkciją adresu = f(X), jei adresu = f(X) yra lygi funkcija. 
3. Pav. buvo sukurtas grafikas adresu = f(X), visiems x, atitinkantiems sąlygą x? 0.
Nubraižykite funkciją adresu = f(X), jei adresu = f(X) yra nelyginė funkcija. 
Paimkime funkciją y = x 2 arba y = –x 2 .
Už bet kokią vertę x funkcija yra teigiama. Pasirašyti x neturi įtakos ženklui y. Grafikas yra simetriškas koordinačių ašiai. Tai lygi funkcija.
Visos reikšmės adresu jis turės minuso ženklą. Tai yra ženklas x daro įtaką ženklui y. Jei nepriklausomas kintamasis yra teigiamas skaičius, tada funkcija yra teigiama, jei nepriklausomas kintamasis yra neigiamas skaičius, tada funkcija yra neigiama: f(–x) = –f(x).
Funkcijos grafikas yra simetriškas kilmei. Tai keista funkcija.
prasmė - X taip pat priklauso 
ir lygybė galioja
). Pavyzdžiui, funkcija 
nėra nei lyginis, nei nelyginis, nes jo apibrėžimo sritis 
nėra simetriškas kilmei.
net, nes 
simetriškas kilmei ir.
keista, nes 
Ir 
.
nėra lyginis ir nelyginis, nes nors 
ir yra simetriškas kilmės atžvilgiu, lygybės (11.1) netenkinamos. Pavyzdžiui,.
taip pat priklauso tvarkaraščiui. Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas kilmei, nes jei 
priklauso grafikui, tada taškui 
taip pat priklauso tvarkaraščiui.
, tada funkcija 
– net.
ir lyginis (nelyginis), tada funkcija 
– lyginis (nelyginis).
Ir 
– net funkcijos. Taigi, tada. Panašiai traktuojamas ir nelyginių funkcijų atvejis 
Ir 
.
, apibrėžta rinkinyje X, simetriškas kilmei, gali būti pavaizduotas kaip lyginių ir nelyginių funkcijų suma.
galima parašyti formoje
.
– net, nes 
, ir funkcija 
– Keista, nes. Taigi, 
, Kur 
– net ir 
– nelyginės funkcijos. Teorema įrodyta.
paskambino periodiškai
, jei yra skaičius 
, toks, kad bet kuriam 
numeriai 
Ir 
taip pat priklauso apibrėžimo sričiai 
ir lygybės tenkinamos
.
, tada skaičius - T Tas pats
yra funkcijos laikotarpis
(nuo pakeitimo Tįjungta – T išlaikoma lygybė). Naudojant matematinės indukcijos metodą galima parodyti, kad jei T– funkcijos laikotarpis f, tada 
, taip pat yra laikotarpis. Iš to išplaukia, kad jei funkcija turi tašką, tai ji turi be galo daug periodų.
funkcijas f
(
>0), o ne keli T. Tada, padalijimas 
įjungta T su likusia dalimi gauname 
, Kur 
. Štai kodėl
– funkcijos laikotarpis f, ir 
, ir tai prieštarauja faktui, kad T– pagrindinis funkcijos laikotarpis f. Iš gauto prieštaravimo išplaukia teoremos teiginys. Teorema įrodyta.
Ir 
lygus 
,
Ir 
. Raskime funkcijos periodą 
. Leiskite 
- šios funkcijos laikotarpis. Tada
.
arba arba 
.
. Yra be galo daug laikotarpių, su 
mažiausias teigiamas periodas gaunamas ties 
:
. Tai yra pagrindinis funkcijos laikotarpis 
.
Ir 
yra racionalūs racionalieji skaičiai X ir neracionalu, kai neracionalu X. Štai kodėl
, tada sudėtinga funkcija 
taip pat turi laikotarpį T.
, tada funkcijos 
turėti laikotarpį 
.
