Kūno tūris, gautas sukantis aplink ašį. Kaip apskaičiuoti apsisukimo kūno tūrį naudojant apibrėžtąjį integralą? Piramidės tūrio formulė

Apsisukimo kūno tūris gali būti apskaičiuojamas naudojant formulę:

Formulėje skaičius turi būti prieš integralą. Taip ir atsitiko – viskas, kas sukasi gyvenime, yra susijusi su šia konstanta.

Manau, nesunku atspėti, kaip iš baigto brėžinio nustatyti integracijos ribas „a“ ir „būti“.

Funkcija... kas tai per funkcija? Pažiūrėkime į piešinį. Plokščią figūrą riboja parabolės grafikas viršuje. Tai funkcija, kuri yra numanoma formulėje.

Praktinėse užduotyse plokščia figūra kartais gali būti žemiau ašies. Tai nieko nekeičia – integrandas formulėje yra kvadratas: taigi integralas visada yra neneigiamas , o tai labai logiška.

Apskaičiuokime sukimosi kūno tūrį naudodami šią formulę:

Kaip jau pastebėjau, integralas beveik visada pasirodo paprastas, svarbiausia būti atsargiems.

Atsakymas:

Atsakyme turite nurodyti matmenis – kubinius vienetus. Tai reiškia, kad mūsų sukimosi kūne yra maždaug 3,35 „kubo“. Kodėl kubinis vienetų? Nes pati universaliausia formuluotė. Gali būti kubinių centimetrų, gali būti kubinių metrų, gali būti kubinių kilometrų ir t. t., tiek žalių žmogeliukų jūsų vaizduotė gali įdėti į skraidančią lėkštę.

2 pavyzdys

Raskite kūno tūrį, susidariusį sukantis aplink figūros, apribotos linijomis, ašį,

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Panagrinėkime dvi sudėtingesnes problemas, su kuriomis taip pat dažnai susiduriama praktikoje.

3 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink figūros abscisių ašį, kurią riboja linijos, ir

Sprendimas: Brėžinyje pavaizduokime plokščią figūrą, apribotą linijomis ,,,, nepamirštant, kad lygtis apibrėžia ašį:

Norima figūra nuspalvinta mėlyna spalva. Kai jis sukasi aplink savo ašį, pasirodo, kad tai siurrealistinė spurga su keturiais kampais.

Apskaičiuokime apsisukimo kūno tūrį kaip kūnų tūrių skirtumas.

Pirmiausia pažvelkime į figūrą, apibrėžtą raudonai. Kai jis sukasi aplink ašį, gaunamas nupjautas kūgis. Pažymėkime šio nupjauto kūgio tūrį.

Apsvarstykite figūrą, kuri apjuosta žaliai.

Ir, aišku, tūrių skirtumas yra būtent toks, kaip mūsų „spurga“.

Apsisukimo kūno tūriui nustatyti naudojame standartinę formulę:

1) Raudonai apvestą figūrą viršuje riboja tiesia linija, todėl:

2) Žalia spalva apjuosta figūra viršuje yra ribojama tiesia linija, todėl:

3) Norimo sukimosi kūno tūris:

Atsakymas:

Įdomu, kad šiuo atveju sprendimą galima patikrinti naudojant mokyklos formulę, skirtą nupjauto kūgio tūriui apskaičiuoti.

Pats sprendimas dažnai rašomas trumpiau, maždaug taip:

Dabar šiek tiek pailsėkime ir papasakokime apie geometrines iliuzijas.

Žmonės dažnai turi iliuzijų, susijusių su tomais, ką knygoje pastebėjo Perelmanas (kitas). Linksma geometrija. Pažvelkite į plokščią figūrą išspręstoje užduotyje - atrodo, kad jos plotas yra mažas, o revoliucijos korpuso tūris yra šiek tiek daugiau nei 50 kubinių vienetų, o tai atrodo per didelis. Beje, eilinis žmogus per visą savo gyvenimą išgeria 18 kvadratinių metrų kambario ekvivalentą skysčio, kuris, priešingai, atrodo per mažas tūris.

Apskritai SSRS švietimo sistema buvo tikrai geriausia. Ta pati Perelmano knyga, išleista dar 1950 m., labai gerai lavina, kaip sakė humoristas, mąstymą ir moko ieškoti originalių, nestandartinių problemų sprendimo būdų. Neseniai su dideliu susidomėjimu perskaičiau kai kuriuos skyrius, rekomenduoju, jis prieinamas net humanistams. Ne, nereikia šypsotis, kad pasiūliau laisvalaikį, erudicija ir platus akiratis bendraujant yra puikus dalykas.

Po lyrinio nukrypimo tiesiog dera išspręsti kūrybinę užduotį:

4 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, susidariusį sukantis apie plokščios figūros ašį, apribotą linijomis,, kur.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Atkreipkite dėmesį, kad visi atvejai pasitaiko juostoje, kitaip tariant, iš tikrųjų pateikiamos paruoštos integracijos ribos. Teisingai nubraižykite trigonometrinių funkcijų grafikus, priminsiu pamokos medžiagą apie tai grafikų geometrinės transformacijos : jei argumentas dalijamas iš dviejų: , tai grafikai ištempiami išilgai ašies du kartus. Patartina rasti bent 3-4 balus pagal trigonometrines lenteles kad tiksliau užbaigtumėte piešinį. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Beje, užduotį galima išspręsti racionaliai ir nelabai racionaliai.

Apsisukimo kūno tūris gali būti apskaičiuojamas naudojant formulę:

Formulėje skaičius turi būti prieš integralą. Taip ir atsitiko – viskas, kas sukasi gyvenime, yra susijusi su šia konstanta.

Manau, nesunku atspėti, kaip iš baigto brėžinio nustatyti integracijos ribas „a“ ir „būti“.

Funkcija... kas tai per funkcija? Pažiūrėkime į piešinį. Plokštumos figūrą riboja viršuje esančios parabolės grafikas. Tai funkcija, kuri yra numanoma formulėje.

Praktinėse užduotyse plokščia figūra kartais gali būti žemiau ašies. Tai nieko nekeičia – funkcija formulėje kvadratu: , taigi revoliucijos kūno tūris visada yra neneigiamas, o tai labai logiška.

Apskaičiuokime sukimosi kūno tūrį naudodami šią formulę:

Kaip jau pastebėjau, integralas beveik visada pasirodo paprastas, svarbiausia būti atsargiems.

Atsakymas:

2 pavyzdys

Raskite kūno tūrį, susidarantį sukantis aplink figūros ašį, ribojamą linijomis , ,

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Panagrinėkime dvi sudėtingesnes problemas, su kuriomis taip pat dažnai susiduriama praktikoje.

3 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink figūros abscisių ašį, kurią riboja linijos , ir

Sprendimas: Brėžinyje pavaizduokime plokščią figūrą, kurią riboja linijos , , , , nepamirštant, kad lygtis apibrėžia ašį:

Norima figūra nuspalvinta mėlyna spalva. Kai jis sukasi aplink savo ašį, pasirodo, kad tai siurrealistinė spurga su keturiais kampais.

Apskaičiuokime apsisukimo kūno tūrį kaip kūnų tūrių skirtumas.

Pirmiausia pažvelkime į figūrą, apibrėžtą raudonai. Kai jis sukasi aplink ašį, gaunamas nupjautas kūgis. Pažymėkime šio nupjauto kūgio tūrį .

Apsvarstykite figūrą, kuri apjuosta žaliai. Jei pasuksite šią figūrą aplink ašį, taip pat gausite nupjautą kūgį, tik šiek tiek mažesnį. Jo tūrį pažymėkime .

Ir, aišku, tūrių skirtumas yra būtent toks, kaip mūsų „spurga“.

Apsisukimo kūno tūriui nustatyti naudojame standartinę formulę:

1) Raudonai apvestą figūrą viršuje riboja tiesia linija, todėl:

2) Žalia spalva apjuosta figūra viršuje yra ribojama tiesia linija, todėl:

3) Norimo apsisukimo kūno tūris:

Atsakymas:

Įdomu, kad šiuo atveju sprendimą galima patikrinti naudojant mokyklos formulę, skirtą nupjauto kūgio tūriui apskaičiuoti.

Pats sprendimas dažnai rašomas trumpiau, maždaug taip:

Dabar šiek tiek pailsėkime ir papasakokime apie geometrines iliuzijas.

Žmonės dažnai turi iliuzijų, susijusių su tomais, kurias knygoje pastebėjo Perelmanas (ne tas). Linksma geometrija. Pažvelkite į plokščią figūrą išspręstoje užduotyje - atrodo, kad jos plotas yra mažas, o revoliucijos korpuso tūris yra šiek tiek daugiau nei 50 kubinių vienetų, o tai atrodo per didelis. Beje, eilinis žmogus per visą savo gyvenimą išgeria 18 kvadratinių metrų kambario ekvivalentą skysčio, kuris, priešingai, atrodo per mažas tūris.

Apskritai SSRS švietimo sistema buvo tikrai geriausia. Ta pati Perelmano knyga, parašyta jo dar 1950 m., labai gerai lavina, kaip sakė humoristas, mąstymą ir moko ieškoti originalių, nestandartinių problemų sprendimo būdų. Neseniai su dideliu susidomėjimu perskaičiau kai kuriuos skyrius, rekomenduoju, jis prieinamas net humanistams. Ne, nereikia šypsotis, kad pasiūliau laisvalaikį, erudicija ir platus akiratis bendraujant yra puikus dalykas.

Po lyrinio nukrypimo tiesiog dera išspręsti kūrybinę užduotį:

4 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, susidarantį sukantis apie plokščios figūros ašį, apribotą linijomis , , kur .

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Atkreipkite dėmesį, kad viskas vyksta juostoje, kitaip tariant, pateikiamos praktiškai paruoštos integracijos ribos. Taip pat pabandykite teisingai nubraižyti trigonometrinių funkcijų grafikus, jei argumentas padalintas iš dviejų: tada grafikai ištempiami du kartus išilgai ašies. Pabandykite surasti bent 3-4 taškus pagal trigonometrines lenteles ir tiksliau užbaigti piešinį. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Beje, užduotį galima išspręsti racionaliai ir nelabai racionaliai.

Sukimosi susidariusio kūno tūrio apskaičiavimas
plokščia figūra aplink ašį

Antroji pastraipa bus dar įdomesnė nei pirmoji. Apskaičiuojant ordinačių ašį besisukančio kūno tūrį taip pat gana dažnas svečias bandomajame darbe. Pakeliui bus svarstoma figūros ploto radimo problema antrasis metodas – integracija pagal ašį, tai leis ne tik patobulinti savo įgūdžius, bet ir išmokys rasti pelningiausią sprendimo kelią. Čia taip pat yra praktinė gyvenimo prasmė! Kaip su šypsena prisiminė mano matematikos mokymo metodų mokytoja, daugelis abiturientų jai padėkojo žodžiais: „Jūsų dalykas mums labai padėjo, dabar esame efektyvūs vadovai ir optimaliai valdome personalą“. Naudodamasis proga taip pat reiškiu jai didelį dėkingumą, juolab kad įgytas žinias naudoju pagal paskirtį =).

5 pavyzdys

Pateikta plokščia figūra, apribota linijų , , .

1) Raskite plokščios figūros plotą, kurį riboja šios linijos.
2) Raskite kūno tūrį, gautą sukant aplink ašį plokščią figūrą, kurią riboja šios linijos.

Dėmesio! Net jei norite perskaityti tik antrąjį punktą, pirmiausia Būtinai skaityk pirmą!

Sprendimas: Užduotis susideda iš dviejų dalių. Pradėkime nuo aikštės.

1) Padarykime piešinį:

Nesunku pastebėti, kad funkcija nurodo viršutinę parabolės šaką, o funkcija – apatinę parabolės šaką. Prieš mus yra triviali parabolė, kuri „guli ant šono“.

Norima figūra, kurios plotą reikia rasti, nuspalvinta mėlyna spalva.

Kaip rasti figūros plotą? Jį galima rasti „įprastu“ būdu, apie kurį buvo kalbama klasėje Apibrėžtasis integralas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą. Be to, figūros plotas randamas kaip plotų suma:
– segmente;
- segmente.

Štai kodėl:

Kodėl įprastas sprendimas šiuo atveju yra blogas? Pirma, gavome du integralus. Antra, integralai yra šaknys, o integralų šaknys nėra dovana, be to, galite susipainioti keisdami integracijos ribas. Tiesą sakant, integralai, žinoma, nėra žudantys, bet praktiškai viskas gali būti daug liūdniau, aš tiesiog pasirinkau „geresnes“ problemai.

Yra racionalesnis sprendimas: jį sudaro perjungimas į atvirkštines funkcijas ir integravimas išilgai ašies.

Kaip pasiekti atvirkštines funkcijas? Grubiai tariant, reikia išreikšti „x“ per „y“. Pirmiausia pažvelkime į parabolę:

To pakanka, bet įsitikinkime, kad tą pačią funkciją galima išvesti iš apatinės šakos:

Tai lengviau su tiesia linija:

Dabar pažiūrėkite į ašį: paaiškindami, periodiškai pakreipkite galvą į dešinę 90 laipsnių kampu (tai ne pokštas!). Mums reikalinga figūra yra atkarpoje, kuri pažymėta raudona punktyrine linija. Šiuo atveju atkarpoje tiesi linija yra virš parabolės, o tai reiškia, kad figūros plotą reikia rasti naudojant jums jau žinomą formulę:. Kas pasikeitė formulėje? Tik laiškas ir nieko daugiau.

! Pastaba: turi būti nustatytos integravimo ribos išilgai ašies griežtai iš apačios į viršų!

Vietos radimas:

Todėl segmente:

Atkreipkite dėmesį, kaip aš atlikau integraciją, tai yra racionaliausias būdas, o kitoje užduoties pastraipoje bus aišku, kodėl.

Skaitytojams, abejojantiems integracijos teisingumu, rasiu išvestinių:

Gaunama pradinė integrando funkcija, o tai reiškia, kad integracija atlikta teisingai.

Atsakymas:

2) Apskaičiuokime kūno tūrį, susidariusį šiai figūrai sukantis aplink ašį.

Piešinį perbraižysiu kiek kitokiu dizainu:

Taigi, mėlynai nuspalvinta figūra sukasi aplink ašį. Rezultatas yra "svyrantis drugelis", kuris sukasi aplink savo ašį.

Norėdami rasti sukimosi kūno tūrį, integruosime išilgai ašies. Pirmiausia turime pereiti prie atvirkštinių funkcijų. Tai jau buvo padaryta ir išsamiai aprašyta ankstesnėje pastraipoje.

Dabar vėl pakreipiame galvą į dešinę ir tyrinėjame savo figūrą. Akivaizdu, kad sukimosi kūno tūris turėtų būti rastas kaip tūrių skirtumas.

Aplink ašį pasukame raudonai apvestą figūrą, todėl gaunamas nupjautas kūgis. Pažymėkime šį tūrį .

Aplink ašį pasukame žaliai apvestą figūrą ir pažymime ją gauto sukimosi kūno tūriu.

Mūsų drugelio tūris yra lygus tūrių skirtumui.

Revoliucijos kūno tūriui rasti naudojame formulę:

Kuo skiriasi ankstesnėje pastraipoje pateikta formulė? Tik laiške.

Tačiau integracijos pranašumą, apie kurį neseniai kalbėjau, rasti daug lengviau, nei pirmą kartą pakelti integrandą į 4 laipsnį.

Atsakymas:

Tačiau ne liguistas drugelis.

Atkreipkite dėmesį, kad jei tą pačią plokščią figūrą pasuksite aplink ašį, natūraliai gausite visiškai kitokį sukimosi kūną su skirtingu tūriu.

6 pavyzdys

Duota plokščia figūra, apribota linijomis ir ašimi.

1) Eikite į atvirkštines funkcijas ir raskite plokštumos figūros plotą, kurį riboja šios linijos, integruodami per kintamąjį.
2) Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink ašį plokščią figūrą, kurią riboja šios linijos.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Besidomintieji taip pat gali rasti figūros plotą „įprastu“ būdu, taip patikrindami 1). Bet jei, kartoju, suksite plokščią figūrą aplink ašį, gausite visiškai kitokį sukimosi kūną su skirtingu tūriu, beje, teisingą atsakymą (taip pat ir tiems, kurie mėgsta spręsti problemas).

Išsamus dviejų siūlomų užduoties punktų sprendimas yra pamokos pabaigoje.

Taip, ir nepamirškite pakreipti galvos į dešinę, kad suprastumėte sukimosi kūnus ir integracijos ribas!

Jau ruošiausi baigti straipsnį, bet šiandien jie atnešė įdomų pavyzdį, kaip rasti apsisukimo kūno tūrį aplink ordinačių ašį. Šviežia:

7 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno, susidariusio sukantis aplink figūros, apribotos kreivių ir, ašį, tūrį. Kairioji nepanaudota parabolės šaka atitinka atvirkštinę funkciją – funkcijos grafikas yra atkarpoje virš ašies;

Logiška manyti, kad sukimosi kūno tūrio reikia ieškoti kaip sukimosi kūnų tūrių sumos!

Mes naudojame formulę:

Šiuo atveju:

Atsakymas:

IN figūros ploto radimo problema dažnai naudojamas plotų sumavimas, bet sukimosi kūnų tūrių sumavimas, matyt, yra retas, nes tokia įvairovė beveik iškrito iš mano regėjimo lauko. Vis dėlto gerai, kad aptartas pavyzdys pasirodė laiku – pavyko išgauti daug naudingos informacijos.

Sėkmingas figūrų reklamavimas!

Tegul linija būna ribota. plokštumos figūra yra apibrėžta polinėje koordinačių sistemoje.

Pavyzdys: Apskaičiuokite apskritimą: x 2 +y 2 =R 2

Apskaičiuokite 4-osios apskritimo dalies, esančios pirmajame kvadrante, ilgį (x≥0, y≥0):

Jei kreivės lygtis nurodyta parametro formoje:
, funkcijos x(t), y(t) yra apibrėžtos ir tolydžios kartu su jų išvestinėmis intervale [α,β]. Išvestinė, tada pakeičiama į formulę:
ir atsižvelgiant į tai

gauname
pridėti daugiklį
po šaknies ženklu ir pagaliau gauname

Pastaba: atsižvelgiant į plokštumos kreivę, taip pat galite apsvarstyti funkciją, kuriai suteiktas parametras erdvėje, tada pridėti funkciją z=z(t) ir formulę

Pavyzdys: Apskaičiuokite astroido ilgį, kuris pateikiamas pagal lygtį: x=a*cos 3 (t), y=a*sin 3 (t), a>0

Apskaičiuokite 4-osios dalies ilgį:

pagal formulę

Plokštumos kreivės lanko ilgis, nurodytas polinių koordinačių sistemoje:

Tegu kreivės lygtis pateikiama polinių koordinačių sistemoje:
- ištisinė funkcija kartu su jos išvestine intervale [α,β].

Perėjimo iš polinių koordinačių formulės:

laikyti parametriniais:

ϕ - parametras, pagal f-le

Pvz.: Apskaičiuokite kreivės ilgį:
>0

Koncepcija: apskaičiuokime pusę apskritimo:

Kūno tūris, skaičiuojamas pagal kūno skerspjūvio plotą.

Tegul kūnas yra ribojamas uždaro paviršiaus, o bet kurios šio kūno atkarpos plotas yra žinomas pagal plokštumą, statmeną Ox ašiai. Ši sritis priklausys nuo pjovimo plokštumos padėties.

tegul visas kūnas yra tarp 2 plokštumų, statmenų Ox ašiai, kertančių ją taškuose x=a, x=b (a

Norint nustatyti tokio kūno tūrį, jį padalijame į sluoksnius naudodami pjovimo plokštumas, statmenas Ox ašiai ir susikertant ją taškuose. Kiekviename daliniame intervale
. Rinksim

ir kiekvienai reikšmei i=1,....,n sukonstruosime cilindrinį kūną, kurio generatorius yra lygiagretus su Ox, o kreiptuvas yra kūno pjūvio kontūras x=C i plokštuma, tokio elementaraus cilindro, kurio pagrindo plotas S=C i ir aukštis ∆x i, tūris. V i =S(C i)∆x i . Visų tokių elementarių cilindrų tūris bus
. Šios sumos riba, jeigu ji egzistuoja ir yra baigtinė ties max ∆х  0, vadinama duoto kūno tūriu.

Kadangi V n yra tolydžios intervale funkcijos S(x) integralioji suma, tai nurodyta riba egzistuoja (egzistavimo sąlygos) ir išreiškiama def. Integralinis.

- kūno tūris, skaičiuojamas pagal skerspjūvio plotą.

Sukimosi kūno tūris:

Tegul kūnas susidaro sukantis aplink Ox ašį kreivinės trapecijos, ribojamos funkcijos y=f(x), Ox ašies ir tiesių x=a, x=b grafiku.
Tegul funkcija y=f(x) yra apibrėžta ir tolydi atkarpoje ir neneigiama, tada šio kūno pjūvis plokštuma, statmena Ox, yra apskritimas, kurio spindulys R=y(x)=f(x) ). Apskritimo plotas S(x)=Пy 2 (x)=П 2. Formulės pakeitimas

gauname sukimosi aplink Ox ašį kūno tūrio apskaičiavimo formulę:

Jei kreivinė trapecija, apribota tolydžios funkcijos grafiku, sukasi aplink Oy ašį, tai tokio sukimosi kūno tūris yra:
Tą patį tūrį galima apskaičiuoti pagal formulę:

. Jei linija nurodyta parametrinėmis lygtimis:

Pakeitę kintamąjį gauname:

Jei linija nurodyta parametrinėmis lygtimis:

y (α) = c , y (β) = d . Pakeitę y = y (t), gauname: .

Apskaičiuokite apsisukimų kūnus aplink parabolės ašį, 2) Apskaičiuokite V kūno, besisukančio aplink OX ašį išlenktos trapecijos, apribotos tiese y=0, lanku

(su centru taške (1; 0), o spinduliu = 1), su .

Sukimosi kūno paviršiaus plotas

Tegul duotas paviršius susidaro sukdamas kreivę y =f(x) aplink Ox ašį. Būtina nustatyti šio paviršiaus S ties .

Tegul funkcija y =f(x) yra apibrėžta ir tolydi, turi nenatūralų ir neneigiamą visuose atkarpos [a;b] taškuose

Nubrėžkime ilgio akordus, kuriuos atitinkamai pažymime (n akordai)

pagal Lagrange'o teoremą:

Visos aprašytos laužytos linijos paviršiaus plotas bus lygus

Apibrėžimas: šios sumos riba, jei ji yra baigtinė, kai didžiausia trūkinės linijos grandis yra max, vadinama nagrinėjamo apsisukimo paviršiaus plotu.

Galima įrodyti, kad šimtas sumos riba yra lygi p-osios integralios sumos ribai

Apsisukimo kūno S paviršiaus formulė =

S paviršiaus, kurį sudaro kreivės lanko sukimasis x=g(x) aplink Oy ašį ties

Tęsinys su jo dariniuJei kreivė parametriškai pateikiama ur-mix=x(t) ,= y(y) tJei kreivė parametriškai pateikiama ur-mi’(y), =x(t) ,’(y), Jei kreivė parametriškai pateikiama ur-mi(y), =x(t) ,(y) yra apibrėžti intervale [a; b], Jei kreivė parametriškai pateikiama ur-mi(a)= a, Jei kreivė parametriškai pateikiama ur-mi(b)= btada pakeiskite jį pakeitimuJei kreivė parametriškai pateikiama ur-mi= Jei kreivė parametriškai pateikiama ur-mi(y)

Jei kreivė pateikiama parametriškai, pakeitę formulę gauname:

Jei kreivės lygtis pateikta polinėje koordinačių sistemoje

Ssukimosi aplink ašį paviršius bus lygus

Skyriai: Matematika

Pamokos tipas: kombinuotas.

Pamokos tikslas: išmokti skaičiuoti apsisukimų kūnų tūrius naudojant integralus.

Užduotys:

įtvirtinti gebėjimą atpažinti kreivines trapecijas iš daugybės geometrinių figūrų ir ugdyti kreivinių trapecijos plotų skaičiavimo įgūdžius;
susipažinti su trimatės figūros samprata;
išmokti skaičiuoti apsisukimų kūnų tūrius;
skatinti loginio mąstymo, kompetentingos matematinės kalbos ugdymą, tikslumą konstruojant brėžinius;
ugdyti susidomėjimą dalyku, operuoti matematinėmis sąvokomis ir vaizdiniais, ugdyti valią, savarankiškumą ir atkaklumą siekiant galutinio rezultato.

Pamokos eiga

I. Organizacinis momentas.

Linkėjimai nuo grupės. Perduokite mokiniams pamokos tikslus.

Atspindys. Rami melodija.

– Šiandienos pamoką norėčiau pradėti palyginimu. „Gyveno kartą išmintingas žmogus, kuris žinojo viską. Vienas žmogus norėjo įrodyti, kad išminčius ne viską žino. Laikydamas rankose drugelį, jis paklausė: „Pasakyk man, šalavijas, kuris drugelis yra mano rankose: miręs ar gyvas? Ir pats galvoja: „Jei gyvasis sakys: aš ją užmušiu, mirusioji sakys: aš ją paleisiu“. Išminčius, pagalvojęs, atsakė: „Viskas tavo rankose“. (Pristatymas.Skaidrė)

– Todėl šiandien dirbkime vaisingai, pasisemkime naujų žinių, o įgytus įgūdžius ir gebėjimus pritaikysime būsimame gyvenime ir praktinėje veikloje. „Viskas tavo rankose“.

II. Anksčiau studijuotos medžiagos kartojimas.

– Prisiminkime pagrindinius anksčiau išnagrinėtos medžiagos dalykus. Norėdami tai padaryti, atlikime užduotį „Pašalinkite papildomą žodį“.(Skaidr.)

(Mokinys eina į ID, naudoja trintuką, kad pašalintų papildomą žodį.)

- Teisingai "Diferencialas". Pabandykite likusius žodžius pavadinti vienu bendru žodžiu. (Integrinis skaičiavimas.)

– Prisiminkime pagrindinius etapus ir sąvokas, susijusias su integraliniu skaičiavimu.

„Matematinė grupė“.

Pratimai. Atkurkite spragas. (Mokinys išeina ir rašikliu rašo reikiamus žodžius.)

– Vėliau išgirsime santrauką apie integralų taikymą.

Darbas sąsiuviniuose.

– Niutono-Leibnizo formulę išvedė anglų fizikas Izaokas Niutonas (1643–1727) ir vokiečių filosofas Gotfrydas Leibnicas (1646–1716). Ir tai nenuostabu, nes matematika yra kalba, kuria kalba pati gamta.

– Pažiūrėkime, kaip ši formulė naudojama sprendžiant praktines problemas.

1 pavyzdys: Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą

Sprendimas: Sukurkime funkcijų grafikus koordinačių plokštumoje . Pasirinkime figūros sritį, kurią reikia rasti.

III. Naujos medžiagos mokymasis.

– Atkreipkite dėmesį į ekraną. Kas pavaizduota pirmoje nuotraukoje? (skaidr.) (Paveikslėlyje parodyta plokščia figūra.)

– Kas pavaizduota antroje nuotraukoje? Ar ši figūra plokščia? (skaidr.) (Paveikslėlyje pavaizduota trimatė figūra.)

– Kosmose, žemėje ir kasdienybėje susiduriame ne tik su plokščiomis figūromis, bet ir trimatėmis, tačiau kaip apskaičiuoti tokių kūnų tūrį? Pavyzdžiui, planetos, kometos, meteorito ir kt.

– Apie tūrį žmonės galvoja ir statydami namus, ir pildami vandenį iš vieno indo į kitą. Turėjo atsirasti apimčių skaičiavimo taisyklės ir metodai, kiek jie buvo tikslūs ir pagrįsti, yra kitas dalykas.

Studento žinutė. (Tyurina Vera.)

1612 metai buvo labai vaisingi Austrijos miesto Linco, kuriame gyveno žymus astronomas Johannesas Kepleris, gyventojams, ypač vynuogėms. Žmonės ruošė vyno statines ir norėjo sužinoti, kaip praktiškai nustatyti jų tūrį. (2 skaidrė)

– Taigi svarstomi Keplerio darbai padėjo pamatą visam tyrinėjimų srautui, kurio kulminacija buvo paskutiniame XVII amžiaus ketvirtyje. dizainas I. Niutono ir G. V. darbuose. Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo Leibnicas. Nuo to laiko kintamųjų matematika užėmė pirmaujančią vietą matematinių žinių sistemoje.

– Šiandien jūs ir aš užsiimsime tokia praktine veikla, todėl

Mūsų pamokos tema: „Sukimosi kūnų tūrių apskaičiavimas naudojant apibrėžtąjį integralą“. (skaidr.)

– Sukimosi kūno apibrėžimą sužinosite atlikę šią užduotį.

„Labirintas“.

Labirintas (graikiškas žodis) reiškia ėjimą po žeme. Labirintas yra sudėtingas takų, praėjimų ir tarpusavyje jungiančių patalpų tinklas.

Tačiau apibrėžimas buvo „sulaužytas“, paliekant užuominas rodyklių pavidalu.

Pratimai. Raskite išeitį iš painios situacijos ir užsirašykite apibrėžimą.

Skaidrė. „Žemėlapio instrukcija“ Tūrių skaičiavimas.

Naudodami apibrėžtą integralą galite apskaičiuoti konkretaus kūno, ypač besisukančio, tūrį.

Apsisukimo kūnas yra kūnas, gautas sukant lenktą trapeciją aplink savo pagrindą (1, 2 pav.)

Sukimosi kūno tūris apskaičiuojamas naudojant vieną iš formulių:

1. aplink OX ašį.

2. , jei kreivosios trapecijos sukimasis aplink operacinės stiprintuvo ašį.

Kiekvienas mokinys gauna mokymo kortelę. Mokytojas pabrėžia pagrindinius dalykus.

– Mokytojas paaiškina lentoje pateiktų pavyzdžių sprendimus.

Panagrinėkime ištrauką iš garsiosios A. S. Puškino pasakos „Pasaka apie carą Saltaną, jo sūnų, šlovingą ir galingą herojų princą Guidoną Saltanovičių ir gražiąją princesę Gulbę“ (4 skaidrė):

…..
Ir atnešė girtas pasiuntinys
Tą pačią dieną užsakymas yra toks:
„Karalius įsako savo bojarams,
Negaišdamas laiko,
Ir karalienė ir palikuonys
Slapta mesti į vandens bedugnę.
Nėra ką veikti: bojarai,
Nerimas dėl suvereno
Ir jaunajai karalienei,
Į jos miegamąjį atėjo minia.
Jie paskelbė karaliaus valią -
Ji ir jos sūnus turi blogą dalį,
Garsiai skaitome dekretą,
Ir karalienė tą pačią valandą
Jie įkišo mane į statinę su sūnumi,
Jie dervos ir nuvažiavo
Ir jie įleido mane į okijaną -
Taip įsakė caras Saltanas.

Koks turi būti statinės tūris, kad joje tilptų karalienė ir jos sūnus?

– Apsvarstykite šias užduotis

1. Raskite kūno tūrį, gautą sukant aplink ordinačių ašį kreivinės trapecijos, apribotos linijomis: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Atsakymas: 1163 cm 3 .

Raskite kūno tūrį, gautą sukant parabolinę trapeciją aplink abscisių ašį y = , x = 4, y = 0.

IV. Naujos medžiagos konsolidavimas

2 pavyzdys. Apskaičiuokite kūno tūrį, susidarantį sukant žiedlapį aplink x ašį y = x 2, y 2 = x.

Sukurkime funkcijos grafikus. y = x 2, y 2 = x. Tvarkaraštis y2 = x konvertuoti į formą =x(t) ,= .

Turime V = V 1 – V 2 Apskaičiuokime kiekvienos funkcijos garsumą

– Dabar pažiūrėkime į radijo stoties Maskvoje bokštą Šabolovkoje, pastatytą pagal nuostabaus rusų inžinieriaus, garbės akademiko V. G. Šuchovo projektą. Jį sudaro dalys – sukimosi hiperboloidai. Be to, kiekvienas iš jų pagamintas iš tiesių metalinių strypų, jungiančių gretimus apskritimus (8, 9 pav.).

- Apsvarstykime problemą.

Raskite kūno tūrį, gautą sukant hiperbolės lankus aplink savo įsivaizduojamą ašį, kaip parodyta Fig. 8, kur

kubas vienetų

Grupinės užduotys. Mokiniai traukia burtus su užduotimis, piešia piešinius ant vatmano popieriaus, o vienas iš grupės atstovų gina darbą.

1 grupė.

Pataikyk! Pataikyk! Dar vienas smūgis!
Kamuolys įskrenda į vartus - BALL!
Ir tai yra arbūzo rutulys
Žalias, apvalus, skanus.
Pažiūrėk geriau – koks kamuolys!
Jis sudarytas tik iš apskritimų.
Arbūzą supjaustykite apskritimais
Ir paragaukite jų.

Raskite kūno tūrį, gautą sukant apie ribotos funkcijos OX ašį

Klaida! Žymė neapibrėžta.

– Prašau pasakyti, kur mes sutinkame šią figūrą?

Namas. užduotis 1 grupei. CILINDRAS (skaidr.) .

"Cilindras - kas tai?" – paklausiau tėčio.
Tėvas nusijuokė: cilindras yra kepurė.
Norėdami turėti teisingą idėją,
Cilindras, tarkime, yra skardinė.
Garlaivio vamzdis - cilindras,
Vamzdis ir ant mūsų stogo,

Visi vamzdžiai yra panašūs į cilindrą.
Ir aš pateikiau tokį pavyzdį -
Mano mylimas kaleidoskopas,
Tu negali atitraukti nuo jo akių,
Ir taip pat atrodo kaip cilindras.

- Pratimai. Namų darbas: nubraižykite funkciją ir apskaičiuokite garsumą.

2-oji grupė. KŪGIS (skaidr.).

Mama pasakė: Ir dabar
Mano istorija bus apie kūgį.
Žvaigždžių stebėtojas aukšta skrybėle
Skaičiuoja žvaigždes ištisus metus.
KŪGIO – žvaigždžių stebėtojo kepurė.
Toks jis yra. Suprato? Tai viskas.
Mama stovėjo prie stalo,
Supyliau aliejų į butelius.
- Kur yra piltuvas? Nėra piltuvo.
Ieškok. Nestovėk nuošalyje.
- Mama, aš nenusileidžiu.
Papasakokite daugiau apie kūgį.
– Piltuvas yra laistytuvo kūgio formos.
Nagi, greitai surask ją man.
Aš negalėjau rasti piltuvo
Bet mama padarė maišelį,
Apvyniojau kartoną aplink pirštą
Ir ji mikliai pritvirtino segtuku.
Aliejus teka, mama džiaugiasi,
Kūgis išėjo kaip tik.

Pratimai. Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink abscisių ašį

Namas. užduotis II grupei. PIRAMIDĖ(skaidr.).

Pamačiau paveikslėlį. Šiame paveikslėlyje
Smėlio dykumoje yra PIRAMIDĖ.
Viskas piramidėje yra nepaprasta,
Jame slypi kažkokia paslaptis ir paslaptis.
Ir Spasskaya bokštas Raudonojoje aikštėje
Tai puikiai pažįstama tiek vaikams, tiek suaugusiems.
Jei pažvelgsi į bokštą, jis atrodo įprastas,
Kas ant jo? Piramidė!

Pratimai. Namų darbas: nubraižykite funkciją ir apskaičiuokite piramidės tūrį

– Įvairių kūnų tūrius skaičiavome pagal pagrindinę kūnų tūrių formulę naudodami integralą.

Tai dar vienas patvirtinimas, kad apibrėžtasis integralas yra tam tikras matematikos studijų pagrindas.

- Na, dabar šiek tiek pailsėkime.

Surask porą.

Skamba matematinė domino melodija.

„Kelias, kurio aš pats ieškojau, niekada nebus pamirštas...“

Tiriamasis darbas. Integralo taikymas ekonomikoje ir technologijoje.

Testai stipriems mokiniams ir matematinis futbolas.

Matematikos simuliatorius.

2. Visų duotosios funkcijos antidarinių aibė vadinama

A) neapibrėžtas integralas,

B) funkcija,

B) diferenciacija.

7. Raskite kūno tūrį, gautą sukant aplink kreivinės trapecijos, apribotos linijomis, abscisių ašį:

D/Z. Apskaičiuokite sukimosi kūnų tūrius.

Atspindys.

Refleksijos priėmimas formoje sinchvinas(penkios eilutės).

1 eilutė – temos pavadinimas (vienas daiktavardis).

2 eilutė – temos aprašymas dviem žodžiais, dviem būdvardžiais.

3 eilutė – veiksmo šioje temoje aprašymas trimis žodžiais.

4 eilutė yra keturių žodžių frazė, parodanti požiūrį į temą (visas sakinys).

5 eilutė yra sinonimas, pakartojantis temos esmę.

Apimtis.
Neabejotina integrali, integruojama funkcija.
Statome, sukame, skaičiuojame.
Kūnas, gautas sukant išlenktą trapeciją (aplink jos pagrindą).
Sukimosi kūnas (tūrinis geometrinis kūnas).

Išvada (skaidr.).

Apibrėžtas integralas yra tam tikras matematikos studijų pagrindas, kuris yra nepakeičiamas indėlis sprendžiant praktines problemas.
Tema „Integralus“ aiškiai parodo matematikos ir fizikos, biologijos, ekonomikos ir technologijų ryšį.
Šiuolaikinio mokslo raida neįsivaizduojama be integralo naudojimo. Šiuo atžvilgiu būtina pradėti mokytis vidurinio specializuoto išsilavinimo!

Įvertinimas. (Su komentarais.)

Didysis Omaras Khayyamas - matematikas, poetas, filosofas. Jis skatina mus būti savo likimo šeimininkais. Pasiklausykime ištraukos iš jo kūrinio:

Sakysite, šis gyvenimas yra viena akimirka.
Įvertinkite tai, semkitės iš to įkvėpimo.
Kaip išleisi, taip ir praeis.
Nepamiršk: ji yra tavo kūrinys.

Cilindras yra paprastas geometrinis kūnas, gaunamas sukant stačiakampį aplink vieną iš jo kraštų. Kitas apibrėžimas: cilindras yra geometrinis kūnas, kurį riboja cilindrinis paviršius ir dvi lygiagrečios jį kertančios plokštumos.

cilindro tūrio formulė

Jei norite sužinoti, kaip apskaičiuoti cilindro tūrį, tereikia rasti aukštį (h) ir spindulį (r) ir įtraukti juos į formulę:

Jei atidžiai pažvelgsite į šią formulę, pastebėsite, kad (\pi r^2) yra apskritimo ploto formulė, o mūsų atveju - pagrindo ploto.

Todėl cilindro tūrio formulę galima parašyti pagal pagrindo plotą ir aukštį:

Mūsų internetinis skaičiuotuvas padės jums apskaičiuoti cilindro tūrį. Tiesiog įveskite nurodytus cilindro parametrus ir gaukite jo tūrį.

Jūsų įvertinimas

[Įvertinimai: 168 Vidutinis: 3,4]

Cilindro formulės tūris (naudojant pagrindo spindulį ir aukštį)

(V=\pi r^2 h), kur

r yra cilindro pagrindo spindulys,

h - cilindro aukštis

Cilindro formulės tūris (per pagrindo plotą ir aukštį)

S yra cilindro pagrindo plotas,

h - cilindro aukštis

Cilindro tūrio skaičiuoklė internetu

Kaip rasti revoliucijos kūno tūrį naudojant integralą

Naudodami apibrėžtąjį integralą galite apskaičiuoti ne tik plokštumos figūrų plotai, bet ir kūnų tūrius, susidariusius sukant šias figūras aplink koordinačių ašis.

Kūnas, suformuotas sukantis aplink Ox ašį kreivinės trapecijos, kurią iš viršaus riboja funkcijos y= f(x) grafikas, turi tūrį

Panašiai kūno tūris v, gautas sukantis aplink kreivinės trapecijos ordinačių ašį (Oy), išreiškiamas formule

Skaičiuodami plokštumos figūros plotą sužinojome, kad kai kurių figūrų plotus galima rasti kaip dviejų integralų skirtumą, kuriuose integrandai yra tos funkcijos, kurios riboja figūrą iš viršaus ir apačios. Tai panaši į situaciją su kai kuriais sukimosi kūnais, kurių tūriai skaičiuojami kaip dviejų kūnų tūrių skirtumas. Tokie atvejai aptariami 3, 4 ir 5 pavyzdžiuose.

1 pavyzdys.

Raskite kūno tūrį, susidariusį sukantis aplink abscisių ašį (Ox) figūroje, kurią riboja hiperbolė, abscisių ašis ir linijos ,.

Sprendimas. Sukamojo kūno tūrį randame naudodami formulę (1), kurioje , ir integravimo ribos a = 1, b = 4:

2 pavyzdys.

Raskite rutulio, kurio spindulys R, tūrį.

Sprendimas. Laikykime rutulį kaip kūną, gautą sukantis aplink R spindulio puslankio abscisių ašį, kurio centras yra pradžioje. Tada formulėje (1) integrando funkcija bus parašyta forma , o integravimo ribos yra -R ir R. Vadinasi,

Neturite laiko įsigilinti į sprendimą?

Galite užsisakyti darbą!

3 pavyzdys. Raskite kūno tūrį, susidariusį sukant aplink abscisių ašį (Ox) figūros, esančios tarp parabolių ir .

Įsivaizduokime reikiamą tūrį kaip kūnų tūrių skirtumą, gautą sukant apie abscisių ašį kreivines trapecijas ABCDE ir ABFDE. Šių kūnų tūrius randame naudodami (1) formulę, kurioje integravimo ribos lygios ir yra parabolių susikirtimo taškų B ir D abscisės. Dabar galime rasti kūno tūrį:

4 pavyzdys.

Apskaičiuokite toro tūrį (toras yra kūnas, gautas sukant a spindulio apskritimą aplink ašį, esančią jos plokštumoje atstumu b nuo apskritimo centro ().

Pavyzdžiui, vairas turi toro formą).

Sprendimas. Leiskite apskritimui suktis aplink Ox ašį (1 pav.).

Geometrinių figūrų plotų ir tūrių formulės

20). Toro tūrį galima pavaizduoti kaip kūnų tūrių skirtumą, gautą sukant kreivines trapecijas ABCDE ir ABLDE aplink Ox ašį.

Apskritimo LBCD lygtis yra

ir BCD kreivės lygtis

ir BLD kreivės lygtis

Naudodamiesi skirtumu tarp kūnų tūrių, gauname toro v tūrio išraišką

5 pavyzdys.

Raskite kūno, susidarančio sukantis aplink ordinačių ašį (Oy), tūrį figūros, apribotos tiesėmis ir.

Įsivaizduokime reikiamą tūrį kaip skirtumą tarp kūnų tūrių, gautų sukant aplink trikampio OBA ir kreivinės trapecijos OnBA ordinačių ašį.

Šių kūnų tūrius randame naudodami (2) formulę. Integravimo ribos yra ir - parabolės ir tiesės susikirtimo taškų O ir B ordinatės.

Taigi gauname kūno tūrį:

Puslapio viršuje

Atlikite testą tema Integral

Temos „Integralus“ pradžia

Neapibrėžtinis integralas: pagrindinės sąvokos, savybės, neapibrėžtinių integralų lentelė

Raskite neapibrėžtinį integralą: pradžia, sprendimų pavyzdžiai

Neriboto integralo kintamojo keitimo metodas

Integravimas sudedant diferencialinį ženklą

Integravimo dalimis būdas

Trupmenų integravimas

Racionaliųjų funkcijų integravimas ir neapibrėžtų koeficientų metodas

Kai kurių neracionalių funkcijų integravimas

Trigonometrinių funkcijų integravimas

Apibrėžtasis integralas

Plokštumos figūros plotas naudojant integralą

Netinkami integralai

Dvigubų integralų skaičiavimas

Kreivės lanko ilgis naudojant integralą

Apsisukimo paviršiaus plotas naudojant integralą

Jėgos darbo nustatymas naudojant integralą

Geriausia matematikos lovelė. Kokybiškas. Nieko papildomo.

Geometrinės figūros tūris- kiekybinė kūno ar medžiagos užimamos erdvės charakteristika. Laivo korpuso arba konteinerio tūris nustatomas pagal jo formą ir linijinius matmenis.