- 1. Algebrinė kampinis momentas apie centrą. Algebrinė APIE-- skaliarinis dydis, paimtas su ženklu (+) arba (-) ir lygus impulso modulio sandaugai mį atstumą h(statmenai) nuo šio centro iki linijos, iš kurios nukreiptas vektorius m:
- 2. Vektorinis impulso momentas centro atžvilgiu.
Vektorius kampinis momentas materialus taškas palyginti su kokiu nors centru APIE -- vektorius, pritaikytas šiame centre ir nukreiptas statmenai vektorių plokštumai m Ir ta kryptimi, iš kurios matomas taško judėjimas prieš laikrodžio rodyklę. Šis apibrėžimas atitinka vektorių lygybę
Impulsas materialus taškas kokios nors ašies atžvilgiu z yra skaliarinis dydis, paimtas su ženklu (+) arba (-) ir lygus modulio sandaugai projekcijos vektorius impulsas šiai ašiai statmenai plokštumai h, nuleistas nuo ašies susikirtimo su plokštuma taško iki linijos, iš kurios nukreipta nurodyta projekcija:
Mechaninės sistemos kinetinis momentas centro ir ašies atžvilgiu
1. Impulsas centro atžvilgiu.
Kinetinis momentas arba pagrindinis mechaninės sistemos judėjimo dydžių momentas kai kurių atžvilgiu centras paskambino geometrinė suma visų materialių sistemos taškų impulso momentai to paties centro atžvilgiu.
2. Kinetinis momentas apie ašį.
Mechaninės sistemos judėjimo dydžių tam tikros ašies atžvilgiu kinetinis momentas arba pagrindinis momentas yra algebrinė visų materialių sistemos taškų judėjimo dydžių momentų tos pačios ašies atžvilgiu suma.
3. Kinetinis momentas kietas, sukasi aplinkui fiksuota ašis z su kampiniu greičiu.
Materialaus taško kampinio momento kitimo centro ir ašies atžvilgiu teorema
1. Momentų apie centrą teorema.
Darinys laike nuo materialaus taško impulso momento tam tikro fiksuoto centro atžvilgiu yra lygus jėgos, veikiančios tašką to paties centro atžvilgiu, momentui
2. Momentų apie ašį teorema.
Darinys laike nuo materialaus taško impulso momento tam tikros ašies atžvilgiu yra lygus jėgos momentui, veikiančiam tašką tos pačios ašies atžvilgiu
Mechaninės sistemos kampinio momento kitimo centro ir ašies atžvilgiu teorema
Momentų teorema apie centrą.
Darinys Laike nuo mechaninės sistemos kinetinio momento tam tikro fiksuoto centro atžvilgiu yra lygus visų momentų geometrinei sumai išorinės jėgos, veikiantis sistemą, to paties centro atžvilgiu;
Pasekmė. Jeigu pagrindinis dalykas išorinės jėgos kurio nors centro atžvilgiu yra lygus nuliui, tada sistemos kampinis momentas šio centro atžvilgiu nekinta (kampinio momento išsaugojimo dėsnis).
2. Momentų apie ašį teorema.
Darinys Laike nuo mechaninės sistemos kinetinio momento tam tikros fiksuotos ašies atžvilgiu yra lygus visų išorinių jėgų, veikiančių sistemą šios ašies atžvilgiu, momentų sumai
Pasekmė. Jei pagrindinis išorinių jėgų momentas tam tikros ašies atžvilgiu yra lygus nuliui, tai sistemos kinetinis momentas šios ašies atžvilgiu nekinta.
Pavyzdžiui, = 0, tada L z = konst.
Darbas ir jėgų galia
Jėgos darbas-- jėgos veikimo skaliarinis matas.
1. Elementarus jėgos darbas.
Elementarus jėgos atliktas darbas yra be galo mažas skaliarinis dydis, lygus skaliarinis produktas jėgos vektorius į begalinio mažo jėgos taikymo taško poslinkio vektorių: ; - spindulio vektoriaus prieaugis jėgos taikymo taškas, kurio hodografas yra šio taško trajektorija. Elementarus judėjimas taškai išilgai trajektorijos sutampa su dėl jų mažo dydžio. Štai kodėl
jei tada dA > 0; jei, tada dA = 0; jei , Tai dA< 0.
2. Analitinė išraiška elementarus darbas.
Įsivaizduokime vektorius Ir d per jų projekcijas Dekarto koordinačių ašyse:
, . Gauname (4.40)
3. Jėgos atliktas darbas, esant galutiniam poslinkiui, yra lygus integralų sumai pagrindinis darbasšiuo žingsniu
Jei jėga yra pastovi ir jos taikymo taškas juda tiesiškai,
4. Gravitacijos darbas. Naudojame formulę: Fx = Fy = 0; Fz = -G = -mg;
Kur h- jėgos taikymo taško perkėlimas vertikaliai žemyn (aukštis).
Judant sunkio jėgos taikymo tašką aukštyn A 12 = -mgh(taškas M 1 -- žemyn, M 2 – viršuje).
Taigi, . Gravitacijos atliekamas darbas nepriklauso nuo trajektorijos formos. Judant uždaru taku ( M 2 rungtynės M 1 ) darbo lygis nuliui.
5. Spyruoklės tamprumo jėgos darbas.
Spyruoklė tęsiasi tik išilgai savo ašies X:
F y = F z = APIE, F x = = -сх;
kur yra spyruoklės deformacijos dydis.
Kai jėgos taikymo taškas pasislenka iš apatinės padėties į viršutinę, jėgos kryptis ir judėjimo kryptis sutampa, tada
Todėl tamprumo jėgos darbas
Jėgų darbas galutiniam poslinkiui; Jei = const, tada
kur yra galutinis sukimosi kampas; , Kur p -- kūno apsisukimų aplink ašį skaičius.
Medžiagos taško ir mechaninės sistemos kinetinė energija. Koenigo teorema
Kinetinė energija- mechaninio judėjimo skaliarinis matas.
Materialaus taško kinetinė energija - skaliarinis teigiamas dydis, lygus pusei taško masės ir jo greičio kvadrato sandaugos,
Mechaninės sistemos kinetinė energija visų šios sistemos materialių taškų kinetinių energijų aritmetinė suma:
Sistemos, susidedančios iš n tarpusavyje sujungti kūnai yra lygūs aritmetinė suma visų šios sistemos kūnų kinetinės energijos:
Koenigo teorema
Mechaninės sistemos kinetinė energija apskritai jo judėjimas lygus sumai kinetinė energija sistemos judėjimas kartu su masės centru ir sistemos kinetine energija, kai ji juda masės centro atžvilgiu:
Kur Vkc -- greitis k- th sistemos taškai masės centro atžvilgiu.
Standaus kūno kinetinė energija įvairiais judesiais
Judėjimas į priekį.
Kūno sukimasis aplink fiksuotą ašį . , Kur... kūno inercijos momentas sukimosi ašies atžvilgiu.
3. Plokštuma-lygiagretus judėjimas. , kur yra inercijos momentas plokščia figūra ašies, einančios per masės centrą, atžvilgiu.
Kai juda plokščia kūno kinetinė energija susideda iš kūno judėjimo masės centro greičiu kinetinės energijos ir kinetinės energijos sukamasis judėjimas aplink ašį, einančią per masės centrą, ;
Materialaus taško kinetinės energijos kitimo teorema
Teorema diferencine forma.
Diferencialinis iš materialaus taško kinetinės energijos yra lygi tašką veikiančios jėgos elementariajam darbui,
Teorema integralinėje (baigtinėje) formoje.
Keisti Materialaus taško kinetinė energija esant tam tikram poslinkiui yra lygi jėgos, veikiančios tašką tame pačiame poslinkyje, darbui.
Mechaninės sistemos kinetinės energijos kitimo teorema
Teorema diferencine forma.
Diferencialinis nuo mechaninės sistemos kinetinės energijos yra lygi elementariųjų išorinių ir darbų sumai vidines jėgas, veikiantis sistemą.
Teorema integralinėje (baigtinėje) formoje.
Keisti mechaninės sistemos kinetinė energija esant tam tikram poslinkiui yra lygi išorinių ir vidinių jėgų, veikiančių sistemą tuo pačiu poslinkiu, darbo sumai. ; Kietųjų kūnų sistemai = 0 (pagal vidinių jėgų savybę). Tada
Materialaus taško ir mechaninės sistemos mechaninės energijos tvermės dėsnis
Jei dėl medžiagos taškas arba mechaninė sistema Jei veikia tik konservatyvios jėgos, tai bet kurioje taško ar sistemos padėtyje kinetinės ir potencialinės energijos suma išlieka pastovi.
Dėl materialaus taško
Mechaninei sistemai T+P= konst
Kur T+P -- visos sistemos mechaninės energijos.
Tvirta kėbulo dinamika
Standžiojo kūno judėjimo diferencialinės lygtys
Šias lygtis galima gauti iš bendrųjų mechaninės sistemos dinamikos teoremų.
1. Kūno transliacinio judėjimo lygtys – iš teoremos apie mechaninės sistemos masės centro judėjimą Dekarto koordinačių ašių projekcijose
2. Standaus kūno sukimosi aplink fiksuotą ašį lygtis – iš teoremos apie mechaninės sistemos kinetinio momento kitimo ašies atžvilgiu, pavyzdžiui, ašies atžvilgiu.
Nuo kinetinės akimirkos L z standus kūnas ašies atžvilgiu, tada jei
Kadangi arba lygtis gali būti parašyta kaip arba, lygties rašymo forma priklauso nuo to, ką reikia nustatyti konkrečioje užduotyje.
Plokštumos lygiagrečios diferencialinės lygtys standaus kūno judesiai yra lygčių rinkinys progresyvus plokščios figūros judėjimas kartu su masės centru ir rotacinis judėjimas ašies, einančios per masės centrą, atžvilgiu:
Fizinė švytuoklė
Fizinė švytuoklė yra standus kūnas, besisukantis apie horizontalią ašį, kuri nekerta kūno masės centro ir juda veikiamas sunkio jėgos.
Diferencialinio sukimosi lygtis
Esant nedideliems svyravimams.
Tada kur
Šios homogeninės lygties sprendimas.
Leiskite prie t = 0 Tada
-- harmoninių virpesių lygtis.
Švytuoklės svyravimo laikotarpis
Duotas ilgis fizinė švytuoklė yra matematinės švytuoklės, kurios svyravimo periodas, ilgis lygus laikotarpiui fizikinės švytuoklės svyravimai.
Impulso momento kryptis ir dydis nustatomi lygiai taip pat, kaip ir apskaičiuojant jėgos momentą (1.2.2 skirsnis).
Tuo pačiu mes apibrėžiame ( pagrindinis) kampinis momentas Kaip vektoriaus suma nagrinėjamos sistemos taškų judesių skaičiaus momentai. Jis taip pat turi antrą pavadinimą - kinetinis momentas :
Raskime išraiškos (3.40) laiko išvestinę, naudodamiesi dviejų funkcijų sandaugos diferencijavimo taisyklėmis, taip pat tai, kad sumos išvestinė yra lygi išvestinių sumai (t. y. sumos ženklą galima perkelti kaip koeficientas diferenciacijos metu):
.
Atsižvelgkime į akivaizdžias kinematinės lygybės: 
. Tada: 
. Mes naudojame vidutinę lygtį iš formulių (3.26) 
, ir taip pat tai vektorinis produktas du kolineariniai vektoriai ( ir ) yra lygūs nuliui, gauname:
Vidinių jėgų savybę (3.36) pritaikę 2-ajam nariui, gauname mechaninės sistemos pagrindinio impulso momento kitimo teoremos išraišką:
 .
| (3.42) |
Kinetinio momento laiko išvestinė lygi visų sistemoje veikiančių išorinių jėgų momentų sumai.
Ši formuluotė dažnai vadinama trumpai: momento teorema .
Pažymėtina, kad momentų teorema suformuluota fiksuotoje atskaitos sistemoje tam tikro fiksuoto centro O atžvilgiu. Jei standųjį kūną laikome mechanine sistema, tuomet patogu pasirinkti centrą O sukimosi ašyje. kūno.
Reikia pažymėti vieną svarbią momento teoremos savybę (pateikiame ją be išvedimo). Momentų teorema taip pat teisinga transliaciškai judančioje atskaitos sistemoje, jei jos centru pasirenkamas kūno (mechaninės sistemos) masės centras (taškas C):
Teoremos formuluotė šiuo atveju praktiškai išlieka ta pati.
1 išvada
Tegu raiškos (3.42) dešinioji pusė lygi nuliui =0, - sistema izoliuota. Tada iš (3.42) lygties išplaukia, kad .
Izoliuotai mechaninei sistemai sistemos kinetinio momento vektorius laikui bėgant nekinta nei kryptimi, nei pagal dydį.
2 išvada
Jei kurios nors iš reiškinių (3.44) dešinioji pusė lygi nuliui, pavyzdžiui, Ozo ašiai: =0 (iš dalies izoliuota sistema), tai iš (3.44) lygčių seka: =const.
Vadinasi, jei išorinių jėgų momentų suma bet kurios ašies atžvilgiu yra lygi nuliui, tai sistemos ašinis kinetinis momentas išilgai šios ašies laikui bėgant nekinta.
Aukščiau pateiktos formuluotės išvadose yra išraiškos kampinio momento išsaugojimo dėsnis izoliuotose sistemose .
Standaus kūno impulsas
Pasvarstykime ypatingas atvejis– standaus kūno sukimasis aplink Ozo ašį (3.4 pav.).
3.4 pav
Kūno taškas, nuo sukimosi ašies atskirtas atstumu h k, sukasi plokštumoje, lygiagrečioje su Oxy greičiu. Pagal ašinio momento apibrėžimą naudojame išraišką (1.19), pakeičiančią projekciją F XY jėga šioje plokštumoje pagal taško judėjimo dydį 
. Įvertinkime kūno ašinį kinetinį momentą:
Pagal Pitagoro teoremą 
, todėl (3.46) gali būti parašytas taip:
 | (3.47) |
Tada išraiška (3.45) bus tokia:
| (3.48) |
Jei iš dalies izoliuotos sistemos kampinio momento išsaugojimo dėsnį (2 išvada) panaudosime kietojo kūno atžvilgiu (3.48), gautume . Tokiu atveju galite apsvarstyti dvi galimybes:
SAVIKONTROLĖS KLAUSIMAI
1. Kaip nustatomas besisukančio standaus kūno kampinis impulsas?
2. Kuo ašinis inercijos momentas skiriasi nuo ašinio kinetinio momento?
3. Kaip kinta standaus kūno sukimosi greitis laikui bėgant, nesant išorinių jėgų?
Ašinis standaus kūno inercijos momentas
Kaip pamatysime vėliau, kūno ašinis inercijos momentas turi tokią pat reikšmę kūno sukamajam judėjimui kaip ir kūno masė jo metu. judėjimas į priekį. Tai yra vienas iš svarbiausias savybes kūnas, kuris lemia kūno inerciją jo sukimosi metu. Kaip matyti iš apibrėžimo (3.45), tai yra teigiamas skaliarinis dydis, kuris priklauso nuo sistemos taškų masių, bet labiau priklauso nuo taškų atstumo nuo sukimosi ašies.
Ištisiniams vienarūšiams paprastų formų kūnams ašinio inercijos momento reikšmė, kaip ir masės centro padėties įvertinimo atveju (3.8), apskaičiuojama integravimo metodu, vietoj elementario tūrio masės. atskira masė dm=ρdV:
 | (3.49) |
Norėdami gauti informacijos, pateikiame kai kurių paprastų kūnų inercijos momentų vertes:
m ir ilgis l ašies, einančios statmenai strypui per jo vidurį, atžvilgiu (3.5 pav.).
3.5 pav
Plono vienalyčio strypo su mase inercijos momentas m ir ilgis l ašies, einančios statmenai strypui per jo galą, atžvilgiu (3.6 pav.).
3.6 pav
Plono vienalyčio masės žiedo inercijos momentas m ir spindulys R ašies, einančios per jos centrą statmenai žiedo plokštumai, atžvilgiu (3.7 pav.).
3.7 pav
Plono vienalyčio disko su mase inercijos momentas m ir spindulys R ašies, einančios per jos centrą statmenai disko plokštumai, atžvilgiu (3.7 pav.).
3.8 pav
· Savavališkos formos kūno inercijos momentas.
Savavališkos formos kūnams inercijos momentas rašomas tokia forma:
Kur ρ - vadinamasis sukimosi spindulys kūnas arba tam tikro sutartinio žiedo su mase spindulys m, kurio ašinis inercijos momentas lygus duoto kūno inercijos momentui.
Huygens-Steinerio teorema
3.9 pav
Su kūnu susiekime dvi lygiagrečias koordinačių sistemas. Pirmasis Cx"y"z, kurio pradžia yra masės centre, vadinamas centriniu, o antrasis Oxyz, kurio centras O yra ant Cx" ašies atstumu CO = d(3.9 pav.). Šiose sistemose lengva nustatyti ryšius tarp kūno taškų koordinačių:
Pagal (3.47) formulę kūno inercijos momentas Ozo ašies atžvilgiu:
Čia koeficientai 2 yra pastovūs visoms dešiniosios pusės 2 ir 3 sumų dalims d Ir d paimta iš atitinkamų sumų. Trečiojo nario masių suma yra kūno masė. Antroji suma pagal (3.7) nustato masės C centro koordinatę ašyje Cx" (), o lygybė yra akivaizdi: . Atsižvelgiant į tai, kad 1-asis narys pagal apibrėžimą yra momentas kūno inercija centrinės ašies atžvilgiu Cz" (arba Z C ) 
, gauname Huygenso-Šteinerio teoremos formuluotę:
 | (3.50) |
Kūno inercijos momentas tam tikros ašies atžvilgiu yra lygus kūno inercijos momento lygiagrečios centrinės ašies atžvilgiu ir kūno masės sandaugai iš atstumo tarp šių ašių kvadrato.
SAVIKONTROLĖS KLAUSIMAI
1. Pateikite formules ašiniai momentai strypo, žiedo, disko inercija.
2. Raskite apvalaus vientiso cilindro sukimosi spindulį jo centrinės ašies atžvilgiu.
Kinetinis taško ir mechaninės sistemos momentas
Ryžiai. 3.14
Viena iš dinaminių materialaus taško ir mechaninės sistemos judėjimo charakteristikų yra kinetinis momentas arba kampinis momentas.
Dėl materialaus taško kinetinis momentas bet kurio centro atžvilgiu O vadinamas kampiniu momentu taško atžvilgiu šio centro atžvilgiu (3.14 pav.),
Materialaus taško kinetinis momentas ašies atžvilgiu yra taško kinetinio momento projekcija į šią ašį bet kurio šios ašies centro atžvilgiu:
Mechaninės sistemos kinetinis momentas centro O atžvilgiu yra visų sistemos taškų kinetinių momentų to paties centro atžvilgiu geometrinė suma (3.15 pav.):
(3.20)
Taškui taikomas kinetinis momentas APIE, kurio atžvilgiu jis apskaičiuojamas.
Jei projektuojame (3.20) į Dekarto koordinačių sistemos ašis, gauname kinetinio momento projekcijas į šias ašis arba kinetinių momentų koordinačių ašių atžvilgiu:
Nustatykime kūno kinetinį momentą jo fiksuotos sukimosi ašies atžvilgiu z(3.16 pav.).
Pagal formules (3.21) turime
Bet kai kūnas sukasi kampiniu greičiu w, greitis 
ir taško judesio kiekį 
statmenai atkarpai dk ir yra sukimosi ašiai statmenoje plokštumoje Ozas, vadinasi,
| Ryžiai. 3.15 | Ryžiai. 3.16 |
Visam kūnui:
Kur J z– inercijos momentas sukimosi ašies atžvilgiu.
Vadinasi, standaus kūno kampinis impulsas sukimosi ašies atžvilgiu yra lygus kūno inercijos momento tam tikros ašies ir kūno kampinio greičio sandaugai.
2. Kampinio momento kitimo teorema
mechaninė sistema
Kinetinis sistemos momentas nejudančio centro atžvilgiu O(3.15 pav.)
Paimkime išvestinę laiko atžvilgiu iš kairės ir dešinės šios lygybės pusių:
(3.22)
Atsižvelgkime į tai 
tada išraiška (3.22) įgaus formą
Arba, atsižvelgiant į tai 
– išorinių jėgų momentų, palyginti su centru, suma O, pagaliau turime:
(3.23)
Lygybė (3.23) išreiškia teoremą apie kampinio momento kitimą.
Kampinio momento kitimo teorema. Mechaninės sistemos kinetinio momento laiko išvestinė fiksuoto centro atžvilgiu yra lygi pagrindiniam sistemos išorinių jėgų momentui to paties centro atžvilgiu.
Suprojektavę lygybę (3.23) į fiksuotas Dekarto koordinačių ašis, gauname teoremos atvaizdą projekcijose į šias ašis:
Iš (3.23) seka, kad jei pagrindinis išorinių jėgų momentas bet kurio fiksuoto centro atžvilgiu yra lygus nuliui, tai kinetinis momentas šio centro atžvilgiu išlieka pastovus, t.y. Jeigu
(3.24)
Jei sistemos išorinių jėgų momentų suma bet kurios fiksuotos ašies atžvilgiu yra lygi nuliui, tai atitinkama kinetinio momento projekcija išlieka pastovi,
(3.25)
Teiginiai (3.24) ir (3.25) atspindi sistemos kampinio momento išsaugojimo dėsnį.
Teoremą apie sistemos kinetinio momento kitimą gaukime pasirinkę tašką tašku skaičiuojant kinetinį momentą A, juda inercinės atskaitos sistemos atžvilgiu su greičiu
Kinetinis sistemos momentas taško atžvilgiu A(3.17 pav.)
| Ryžiai. 3.17 |
nes 
Tai
Atsižvelgiant į tai 
kur yra sistemos masės centro greitis, gauname
Apskaičiuokime kampinio momento išvestinę iš laiko
Gautoje išraiškoje:
Sujungus antrą ir trečią terminus ir atsižvelgiant į tai 
pagaliau gauname
Jeigu taškas sutampa su sistemos masės centru C, Tai 
o teorema įgauna formą
tie. jis turi tokią pačią formą kaip ir fiksuoto taško APIE.
3. Standaus kūno sukimosi diferencialinė lygtis
aplink fiksuotą ašį
Tegul standus kūnas sukasi aplink fiksuotą ašį Az(3.18 pav.) veikiant išorinių jėgų sistemai 
Parašykime sistemos kampinio momento kitimo projekcijoje į sukimosi ašį teoremos lygtį:
| Ryžiai. 3.18 |
Jei standus korpusas sukasi aplink fiksuotą ašį:
Kur J z– pastovus inercijos momentas sukimosi ašies atžvilgiu; w – kampinis greitis.
Atsižvelgdami į tai, gauname:
Jei įvesime kūno sukimosi kampą j, tai, atsižvelgiant į lygybę 
mes turime
(3.26)
Išraiška (3.26) yra diferencialinė lygtis standaus kūno sukimasis aplink fiksuotą ašį.
4. Sistemos kampinio momento kitimo teorema
santykiniame judėjime masės centro atžvilgiu
Norėdami ištirti mechaninę sistemą, pasirenkame fiksuotą koordinačių sistemą Jautis 1 y 1 z 1 ir kilnojamas Cxyz kurių kilmė yra masės centre C, judant pirmyn (3.19 pav.).
Iš vektorinio trikampio:
| Ryžiai. 3.19 |
Išskirdami šią lygybę laiko atžvilgiu, gauname
arba 
kur yra absoliutus taško greitis Mk, - masės centro absoliutus greitis SU, 
- santykinis taško greitis Mk, nes 
Impulsas dėl taško APIE
Pakeitę reikšmes ir , gauname
Šioje išraiškoje: 
– sistemos masė; 
; 
– sistemos kinetinis momentas masės centro atžvilgiu santykiniam judėjimui koordinačių sistemoje Сxyz.
Kinetinis momentas įgauna formą
Teorema apie kampinio momento kitimo taško atžvilgiu APIE atrodo kaip
Pakeiskime reikšmes ir 
gauname
Pakeiskime šią išraišką atsižvelgdami į tai
arba 
Ši formulė išreiškia teoremą apie sistemos kampinio momento pokytį masės centro atžvilgiu santykiniam sistemos judėjimui koordinačių sistemos, judančios transliaciniu būdu su masės centru, atžvilgiu. Jis suformuluotas taip, tarsi masės centras būtų fiksuotas taškas.
Pirmiausia panagrinėkime vieno materialaus taško atvejį. Tegul yra materialaus taško M masė, jo greitis ir judesio kiekis.
Pasirinkime tašką O supančioje erdvėje ir sukonstruokime vektoriaus momentą šio taško atžvilgiu pagal tas pačias taisykles, pagal kurias skaičiuojamas jėgos momentas statikoje. Gauname vektorinį kiekį
kuris vadinamas kampiniu materialaus taško momentu centro O atžvilgiu (31 pav.).
Sukurkime Dekarto O su pradžia centre stačiakampė sistema koordinuoja Oxyz ir projektuoja vektorių ko į šias ašis. Jo projekcijos ant šių ašių, lygus akimirkoms vektoriai atitinkamų koordinačių ašių atžvilgiu vadinami materialaus taško kampiniu momentu koordinačių ašių atžvilgiu:
Dabar turėkime mechaninę sistemą, susidedančią iš N materialių taškų. Tokiu atveju kampinį momentą galima nustatyti kiekvienam sistemos taškui:
Visų į sistemą įtrauktų materialių taškų kampinio momento geometrinė suma vadinama pagrindiniu sistemos kampiniu momentu arba kinetiniu momentu.
Dinamika:
Materialaus taško dinamika
§ 28. Materialaus taško impulso kitimo teorema. Materialaus taško kampinio momento kitimo teorema
Problemos su sprendimais
28.1 Geležinkelio traukinys juda horizontalia ir tiesia kelio atkarpa. Stabdant susidaro pasipriešinimo jėga, lygi 0,1 traukinio svorio. Stabdymo momentu traukinio greitis yra 20 m/s. Raskite stabdymo laiką ir stabdymo kelią.
SPRENDIMAS
28.2 Sunkus kūnas nusileidžia išilgai šiurkščios nuožulnios plokštumos, sudarydamas α=30° kampą su horizontu. pradinis greitis. Nustatykite, kiek laiko prireiks T, kad kūnas nuvažiuotų l=39,2 m ilgio kelią, jei trinties koeficientas f=0,2.
SPRENDIMAS
28.3 4*10^5 kg masės traukinys įvažiuoja į pakilimą i=tg α=0.006 (kur α – pakilimo kampas) 15 m/s greičiu. Trinties koeficientas (bendras pasipriešinimo koeficientas), kai traukinys juda, yra 0,005. Praėjus 50 s traukiniui įvažiavus į pakilimą, jo greitis sumažėja iki 12,5 m/s. Raskite dyzelinio lokomotyvo traukos jėgą.
SPRENDIMAS
28.4. Svarelis M pritvirtintas prie netiesiamojo sriegio MOA galo, kurio dalis OA pravesta per vertikalų vamzdį; svoris juda aplink vamzdžio ašį MC=R spindulio apskritimu, sudarydamas 120 aps./min. Lėtai traukdami sriegį OA į vamzdelį, sutrumpinkite išorinę sriegio dalį iki ilgio OM1, kuriame svoris apibūdina R/2 spindulio apskritimą. Kiek apsisukimų per minutę svoris apsuka šį apskritimą?
SPRENDIMAS
28.5 Pakrauto traukinio masei nustatyti tarp dyzelinių lokomotyvų ir automobilių buvo sumontuotas dinamometras. Vidutinis dinamometro rodmuo 2 minutes pasirodė 10^6 N. Per tą patį laiką traukinys įgavo 16 m/s greitį (iš pradžių traukinys stovėjo vietoje). Raskite kompozicijos masę, jei trinties koeficientas f=0,02.
SPRENDIMAS
28.6 Koks turėtų būti stabdomo automobilio ratų trinties koeficientas f kelyje, jei važiuojant greičiu v=20 m/s jis sustoja praėjus 6 s nuo stabdymo pradžios?
SPRENDIMAS
28.7 Iš šautuvo vamzdžio greičiu v=650 m/s išskrenda 20 g masės kulka, pro vamzdį praskriedama laiku t=0,00095 s. Nustatykite vidutinį kulką išmetančių dujų slėgį, jei kanalo skerspjūvio plotas σ=150 mm^2.
SPRENDIMAS
28.8 Taškas M juda aplink fiksuotą centrą, veikiamas traukos jėgos link šio centro. Raskite greitį v2 toliausiai nuo centro esančiame trajektorijos taške, jei arčiausiai jo esančio taško greitis v1=30 cm/s, o r2 penkis kartus didesnis už r1.
SPRENDIMAS
28.9 Raskite visų jėgų, veikiančių sviedinį per tą laiką, kai sviedinys juda iš pradinės padėties O į sviedinį, rezultanto impulsą. aukščiausia pozicija M. Duota: v0=500 m/s; α0=60°; v1=200 m/s; sviedinio masė 100 kg.
SPRENDIMAS
28.10 Du asteroidai M1 ir M2 apibūdina tą pačią elipsę, kurios židinyje S yra Saulė. Atstumas tarp jų yra toks mažas, kad elipsės lankas M1M2 gali būti laikomas tiesia atkarpa. Yra žinoma, kad lanko M1M2 ilgis buvo lygus a, kai jo vidurys buvo perihelyje P. Darant prielaidą, kad asteroidai juda vienodais sektorių greičiais, nustatykite lanko M1M2 ilgį, kai jo vidurys eina per afelį A, jei jis yra žinoma, kad SP = R1 ir SA = R2.
SPRENDIMAS
28.11 40 kg svorio berniukas atsistoja ant sportinių rogučių, kurių masė 20 kg, bėgikų ir kas sekundę stumia 20 N*s impulsu. Raskite greitį, kurį rogės įgavo per 15 s, jei trinties koeficientas f=0,01.
SPRENDIMAS
28.12 Taškas įsipareigoja vienodas judesys išilgai apskritimo greičiu v=0,2 m/s, darant pilnas posūkis laike T=4 s. Raskite tašką veikiančių jėgų per vieną pusę ciklo impulsą S, jei taško masė m=5 kg. Nustatykite vidutinę jėgos F vertę.
SPRENDIMAS
28.13 Dvi matematinės švytuoklės, pakabintos ant l1 ir l2 ilgio sriegių (l1>l2), svyruoja vienoda amplitude. Abi švytuoklės vienu metu pradėjo judėti ta pačia kryptimi iš savo kraštutinių nukreiptų padėčių. Raskite sąlygą, kurią turi tenkinti ilgiai l1 ir l2, kad švytuoklės po tam tikro laiko vienu metu grįžtų į pusiausvyros padėtį. Nustatykite trumpiausią laiko intervalą T.
SPRENDIMAS
28.14 m masės rutulys, pririštas prie netiesiamo siūlo, slysta lygiu horizontali plokštuma; kitas sriegio galas įtraukiamas iš pastovus greitis a į lėktuve padarytą skylę. Nustatykite rutulio judėjimą ir sriegio T įtempimą, jei žinoma, kad pradiniu momentu sriegis yra tiesioje linijoje, atstumas tarp rutulio ir skylės yra lygus R, o sriegio projekcija pradinis rutulio greitis statmenai sriegio krypčiai lygus v0.
SPRENDIMAS
28.15 Nustatykite Saulės masę M, atsižvelgdami į šiuos duomenis: Žemės spindulys R=6,37*106 m, vidutinis tankis 5,5 t/m3, pusiau pagrindinė ašisŽemės orbita a=1,49*10^11 m, Žemės apsisukimo aplink Saulę laikas T=365,25 dienos. Jėga universalioji gravitacija tarp dviejų masių, lygių 1 kg, esant 1 m atstumu, laikome lygia gR2/m Н, kur m – Žemės masė; Iš Keplerio dėsnių išplaukia, kad Žemės traukos jėga prie Saulės lygi 4π2a3m/(T2r2), kur r – Žemės atstumas nuo Saulės.
SPRENDIMAS
28.16 M masės taškas, veikiamas centrinės jėgos F, apibūdina lemniskatą r2=a cos 2φ, kur a yra pastovi reikšmė, r yra taško atstumas nuo jėgos centro; pradiniu momentu r=r0 taško greitis lygus v0 ir sudaro kampą α su tiesia linija, jungiančia tašką su jėgos centru. Nustatykite jėgos F dydį, žinodami, kad ji priklauso tik nuo atstumo r. Pagal Binet formulę F =-(mc2/r2)(d2(1/r)/dφ2+1/r), kur c yra taško dvigubo sektoriaus greitis.
SPRENDIMAS
28.17 Taškas M, kurio masė yra m, juda šalia pastovaus centro O veikiamas jėgos F, kylančios iš šio centro ir priklausomai tik nuo atstumo MO=r. Žinodami, kad taško greitis v=a/r, kur a yra pastovi reikšmė, raskite jėgos F dydį ir taško trajektoriją.
SPRENDIMAS
28.18 Nustatykite taško, kurio masė yra 1 kg, judėjimą, veikiant centrinei traukos jėgai, atvirkščiai proporcingą taško atstumo nuo traukos centro kubui, atsižvelgiant į šiuos duomenis: 1 m atstumu , jėga lygi 1 N. Pradiniu momentu taško atstumas nuo svorio centro yra 2 m, greitis v0=0,5 m/s ir sudaro 45° kampą su tiesės kryptimi, nubrėžta nuo centras į tašką.
SPRENDIMAS
28.19 1 kg masės dalelę M į pastovųjį centrą O traukia jėga, atvirkščiai proporcinga penktajam atstumo laipsniui. Ši jėga lygi 8 N 1 m atstumu Pradiniu momentu dalelė yra OM0 = 2 m atstumu ir jos greitis yra statmenas OM0 ir lygus 0,5 m/s. Nustatykite dalelės trajektoriją.
SPRENDIMAS
28,20 0,2 kg masės taškas, veikiamas traukos jėgos judantis į nejudantį centrą pagal Niutono gravitacijos dėsnį, 50 s apibūdina pilną elipsę, kurios pusiau ašys yra 0,1 m ir 0,08 m. Nustatykite didžiausią ir mažiausia vertė traukos jėga F šio judėjimo metu.
SPRENDIMAS
28.21 Matematinė švytuoklė, kurios kiekvienas siūbavimas trunka vieną sekundę, vadinama sekundžių švytuokle ir naudojama laikui skaičiuoti. Raskite šios švytuoklės ilgį l, darant prielaidą, kad gravitacijos pagreitis yra 981 cm/s2. Kiek laiko rodys ši švytuoklė Mėnulyje, kur gravitacijos pagreitis yra 6 kartus mažesnis nei Žemėje? Kokio ilgio l1 turėtų būti antroji mėnulio švytuoklė?
SPRENDIMAS
28.22 Tam tikru Žemės tašku sekundžių švytuoklė teisingai skaičiuoja laiką. Perkeliamas į kitą vietą atsilieka T sekundėmis per dieną. Nustatykite pagreitį dėl gravitacijos naujoje sekundžių švytuoklės padėtyje.
