Kas yra lygiagretainio apibrėžimas. Lygiagretainės teoremos

Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra lygiagrečios poromis.

Šio apibrėžimo jau pakanka, nes iš jo išplaukia likusios lygiagretainio savybės ir įrodomos teoremų forma.

Pagrindinės lygiagretainio savybės:
lygiagretainis yra išgaubtas keturkampis;
Lygiagretainis turi priešingas kraštines, kurios yra lygios poromis;
Lygiagrečiame priešingi kampai poromis lygūs;

Lygiagretainio įstrižainės dalijamos per pusę susikirtimo taško.

Lygiagretainis – išgaubtas keturkampis Pirmiausia įrodykime teoremą, kad lygiagretainis yra išgaubtas keturkampis

. Daugiakampis yra išgaubtas, jei bet kuri jo pusė yra pratęsta iki tiesios linijos, visos kitos daugiakampio kraštinės bus toje pačioje šios tiesios linijos pusėje.

Tegu pateikiamas lygiagretainis ABCD, kuriame AB yra priešinga CD kraštinė, o BC yra priešinga kraštinė AD. Tada iš lygiagretainio apibrėžimo išplaukia, kad AB || CD, BC || A.D. Lygiagrečių linijų nėra bendrų taškų

, jie nesikerta. Tai reiškia, kad CD yra vienoje AB pusėje. Kadangi atkarpa BC jungia atkarpos AB tašką B su atkarpos CD tašku C, o atkarpa AD jungia kitus taškus AB ir CD, atkarpos BC ir AD taip pat yra toje pačioje AB tiesės pusėje, kur yra CD. Taigi visos trys pusės – CD, BC, AD – guli toje pačioje AB pusėje.

Panašiai įrodyta, kad kitų lygiagretainio kraštinių atžvilgiu kitos trys kraštinės yra toje pačioje pusėje.

Priešingos pusės ir kampai yra lygūs Viena iš lygiagretainio savybių yra ta Lygiagrečiame priešingos kraštinės ir priešingi kampai yra lygūs poromis

. Pavyzdžiui, jei pateikiamas lygiagretainis ABCD, tada jis turi AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Ši teorema įrodoma taip.

Lygiagretainis yra keturkampis. Tai reiškia, kad jis turi dvi įstrižaines. Kadangi lygiagretainis yra išgaubtas keturkampis, bet kuris iš jų padalija jį į du trikampius. Lygiagretainiame ABCD apsvarstykite trikampius ABC ir ADC, gautus nubrėžus įstrižainę AC.

Šiuose trikampiuose kraštinė AB atitinka kraštinę CD, o kraštinė BC – AD. Todėl AB = CD ir BC = AD.

Kampas B atitinka kampą D, ty ∠B = ∠D. Lygiagretainio kampas A yra dviejų kampų – ∠BAC ir ∠CAD – suma. Kampas C yra lygus ∠BCA ir ∠ACD. Kadangi kampų poros yra lygios viena kitai, tai ∠A = ∠C.

Taigi įrodyta, kad lygiagretainio priešingos kraštinės ir kampai yra lygūs.

Įstrižainės dalijamos per pusę

Kadangi lygiagretainis yra išgaubtas keturkampis, jis turi dvi įstrižaines ir jos susikerta. Duotas lygiagretainis ABCD, jo įstrižainės AC ir BD susikerta taške E. Apsvarstykite jų suformuotus trikampius ABE ir CDE.

Šių trikampių kraštinės AB ir CD yra lygios priešingoms lygiagretainio kraštinėms. Kampas ABE lygus kampui CDE, esantis skersai su lygiagrečiomis tiesėmis AB ir CD. Dėl tos pačios priežasties ∠BAE = ∠DCE. Tai reiškia, kad ∆ABE = ∆CDE dviem kampais ir šone tarp jų.

Taip pat galite pastebėti, kad kampai AEB ir CED yra vertikalūs, todėl taip pat lygūs vienas kitam.

Kadangi trikampiai ABE ir CDE yra lygūs vienas kitam, tai visi juos atitinkantys elementai yra lygūs. Pirmojo trikampio kraštinė AE atitinka antrojo trikampio kraštinę CE, o tai reiškia, kad AE = CE. Panašiai BE = DE. Kiekviena lygiagretainio atkarpų pora sudaro lygiagretainio įstrižainę. Taigi įrodyta, kad Lygiagretainio įstrižainės dalinamos pusiau pagal jų susikirtimo tašką.

Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra lygiagrečios poromis. Lygiagretainio plotas lygus jo pagrindo (a) ir aukščio (h) sandaugai. Taip pat galite rasti jo plotą per dvi puses, kampą ir įstrižaines.

Lygiagretainio savybės

1. Priešingos pusės yra vienodos

Pirmiausia nubrėžkime įstrižainę $AC$ . Gauname du trikampius: $ABC$ ir $ADC$.

Kadangi $ABCD$ yra lygiagretainis, tai tiesa:

$AD || BC \Rodyklė dešinėn \kampas 1 = \kampas 2$ lyg guli skersai.

$AB || CD \Rightarrow \angle3 = \kampas 4$ lyg guli skersai.

Todėl (pagal antrąjį kriterijų: ir $AC$ yra įprasta).

Ir tai reiškia $\trikampis ABC = \trikampis ADC$, tada $AB = CD$ ir $AD = BC$ .

2. Priešingi kampai yra identiški

Pagal įrodymą savybės 1 mes tai žinome $\kampas 1 = \kampas 2, \kampas 3 = \kampas 4$. Taigi priešingų kampų suma yra: $\kampas 1 + \kampas 3 = \kampas 2 + \kampas 4$. Atsižvelgiant į tai $\trikampis ABC = \trikampis ADC$ gauname $\kampas A = \kampas C $ , $\kampas B = \kampas D $ .

3. Įstrižainės dalijamos per pusę susikirtimo taško

Autorius nuosavybė 1žinome, kad priešingos pusės yra identiškos: $AB = CD$ . Dar kartą atkreipkite dėmesį į skersai gulinčius vienodus kampus.

Taigi aišku, kad $\trikampis AOB = \trikampis COD$ pagal antrąjį trikampių lygybės ženklą (du kampai ir kraštinė tarp jų). Tai yra, $BO = OD$ (priešais kampais $\kampas 2$ ir $\kampas 1$ ) ir $AO = OC$ (priešais kampams $\kampas 3$ ir $ \kampas 4$).

Lygiagretainio ženklai

Jei jūsų uždavinyje yra tik viena ypatybė, tada figūra yra lygiagretainis ir galite naudoti visas šios figūros savybes.

Norėdami geriau įsiminti, atkreipkite dėmesį, kad lygiagretainio ženklas atsakys į šį klausimą: "Kaip sužinoti?". Tai yra, kaip sužinoti, kad tam tikra figūra yra lygiagretainis.

1. Lygiagretainis yra keturkampis, kurio dvi kraštinės yra lygios ir lygiagrečios

$AB = CD$ ; $AB || CD \Rightarrow ABCD$- lygiagretainis.

Pažiūrėkime atidžiau. Kodėl $AD || BC $?

$\trikampis ABC = \trikampis ADC$ Autorius nuosavybė 1: $AB = CD $ , $\kampas 1 = \kampas 2 $ yra skersai, kai $AB $ ir $CD $ ir sekantas $AC $ yra lygiagrečiai.

Bet jeigu $\trikampis ABC = \trikampis ADC$, tada $\kampas 3 = \kampas 4 $ (yra priešais $AD || BC $ ($\kampas 3 $ ir $\kampas 4 $ - tie, kurie yra skersai, taip pat yra lygūs).

Pirmas ženklas yra teisingas.

2. Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra lygios

$AB = CD $ , $AD = BC \Rightarrow ABCD $ yra lygiagretainis.

Panagrinėkime šį ženklą. Dar kartą nubrėžkime įstrižainę $AC$.

Autorius nuosavybė 1$\trikampis ABC = \trikampis ACD$.

Iš to išplaukia, kad: $\kampas 1 = \kampas 2 \Rightarrow AD || BC $ Ir $\kampas 3 = \kampas 4 \Rightarrow AB || CD $, tai yra, $ABCD$ yra lygiagretainis.

Antrasis ženklas yra teisingas.

3. Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingi kampai yra lygūs

$\kampas A = \kampas C$ , $\kampas B = \kampas D \Rodyklė dešinėn ABCD$- lygiagretainis.

$2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ) $(kadangi $\kampas A = \kampas C$ , $\kampas B = \kampas D$ pagal sąlygą).

Pasirodo,. Tačiau $\alpha $ ir $\beta $ yra vidinės vienpusės sekantoje $AB $ .

Ir ką $\alpha + \beta = 180^(\circ) $ taip pat sako, kad $AD || BC $ .

1. Lygiagretainio apibrėžimas.

Jei susikertame lygiagrečių tiesių porą su kita lygiagrečių tiesių pora, gauname keturkampį, kurio priešingos kraštinės yra lygiagrečios poromis.

Keturkampiuose ABDC ir EFNM (224 pav.) ВD || AC ir AB || CD;

EF || MN ir EM || FN.

Keturkampis, kurio priešingos kraštinės poromis yra lygiagrečios, vadinamas lygiagretainiu.

2. Lygiagretainio savybės.

Teorema. Lygiagretainio įstrižainė padalija jį į du vienodus trikampius.

Tebūnie lygiagretainis ABDC (225 pav.), kuriame AB || CD ir kintamoji srovė || ВD.

Turite įrodyti, kad įstrižainė padalija ją į du vienodus trikampius.

Lygiagretainyje ABDC nubrėžkime įstrižainę CB. Įrodykime, kad $\Delta$CAB = $\Delta$СДВ.

Kraštinė ŠV yra bendra šiems trikampiams; ∠ABC = ∠BCD, kaip vidiniai kryžminiai kampai su lygiagrečiais AB ir CD bei sekantais CB; ∠ACB = ∠СВD, taip pat kaip ir vidiniai skersiniai kampai su lygiagrečiais AC ir BD bei sekantine CB.

Taigi $\Delta$CAB = $\Delta$СДВ.

Lygiai taip pat galima įrodyti, kad įstrižainė AD padalins lygiagretainį į du vienodus trikampius ACD ir ABD.

Pasekmės:

1 . Lygiagretainio priešingi kampai yra lygūs vienas kitam.

∠A = ∠D, tai išplaukia iš trikampių CAB ir CDB lygybės.

Taip pat ∠C = ∠B.

2. Priešingos lygiagretainio kraštinės yra lygios viena kitai.

AB = CD ir AC = BD, nes tai yra lygių trikampių kraštinės ir yra priešais vienodus kampus.

2 teorema. Lygiagretainio įstrižainės dalijamos pusiau jų susikirtimo taške.

Tegu BC ir AD yra lygiagretainio ABC įstrižainės (226 pav.). Įrodykime, kad AO = OD ir CO = OB.

Norėdami tai padaryti, palyginkite keletą priešingų trikampių porų, pavyzdžiui, $\Delta$AOB ir $\Delta$СOD.

Šiuose trikampiuose AB = CD, kaip priešingos lygiagretainio kraštinės;

∠1 = ∠2, kaip vidiniai kampai, esantys skersai su lygiagrečiai AB ir CD bei sekante AD;

∠3 = ∠4 dėl tos pačios priežasties, nes AB || CD ir SV yra jų sekantai.

Iš to išplaukia, kad $\Delta$AOB = $\Delta$СOD. Ir viduje vienodi trikampiai guli priešais vienodus kampus lygios pusės. Todėl AO = OD ir CO = OB.

3 teorema. Kampų, besiribojančių su viena lygiagretainio kraštine, suma lygi 180°.

Lygiagretainyje ABCD nubrėžiame įstrižainę AC ir gauname du trikampius ABC ir ADC.

Trikampiai yra lygūs, nes ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (lygiagrečių tiesių sankirtos kampai), o kraštinė AC yra bendra.
Iš lygybės $\Delta$ABC = $\Delta$ADC išplaukia, kad AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.

Kampų, esančių šalia vienos kraštinės, suma, pavyzdžiui, kampų A ir D, lygi 180° kaip lygiagrečių linijų vienpusiai kampai.

Apibrėžimas

Lygiagretainis Vadinamas keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra lygiagrečios poromis.

Lygiagretainio įstrižainių susikirtimo taškas vadinamas centras.

Lygiagretainio savybės:

Bet kurių dviejų gretimų lygiagretainio kampų suma yra $180^(\circ)$, o priešingi kampai yra lygūs.
Lygiagretainio priešingos kraštinės yra lygios.
Lygiagretainio įstrižainės susikerta ir susikerta susikirtimo taške.

Įrodymas

Tegu pateikiamas lygiagretainis $ABCD$.

1. Atkreipkite dėmesį, kad gretimi lygiagretainio kampai $A$ ir $B$ yra vienpusiai vidiniai kampai su lygiagrečiomis tiesėmis $AD$ ir $BC$ bei sekante $AB$, tai yra, jų suma lygi $180^ \circ$. Taip pat ir kitoms kampų poroms.

Jei $\angle A + \angle B=180^\circ$ ir $\angle C + \angle B=180^\circ$, tai $\angle A = \angle C$. Panašiai $\kampas B = \kampas D$.

2. Apsvarstykite trikampius $ABC$ ir $CDA$. Iš lygiagretainio priešingų kraštinių lygiagretumo išplaukia, kad $\angle BAC=\angle DCA$ ir $\angle BCA=\angle DAC$. Kadangi $AC$ yra bendra, tai trikampiai $ABC$ ir $CDA$ yra lygūs pagal antrąjį kriterijų. Iš trikampių lygybės išplaukia, kad $AB=CD$ ir $BC=AD$.

3. Kadangi lygiagretainis yra išgaubtas keturkampis, jo įstrižainės susikerta. Tegul $O$ yra susikirtimo taškas. Iš lygiagretainio kraštinių $BC$ ir $AD$ lygiagretumo išplaukia, kad $\angle OAD=\angle OCB$ ir $\angle ODA=\kampas OBC$. Atsižvelgdami į lygybę $BC=AD$, gauname, kad trikampiai $AOD$ ir $COB$ yra lygūs pagal antrąjį kriterijų. Todėl $AO=CO$ ir $DO=BO$, kaip reikia.

Lygiagretainio ženklai:

Jei keturkampyje bet kurių dviejų gretimų kampų suma yra $180^(\circ)$, tai šis keturkampis yra lygiagretainis.
Jei keturkampyje priešingi kampai poromis lygūs, tai šis keturkampis yra lygiagretainis.
Jei keturkampyje priešingos kraštinės yra lygios poromis, tai šis keturkampis yra lygiagretainis.
Jei dvi keturkampio kraštinės yra lygios ir lygiagrečios, tai keturkampis yra lygiagretainis.
Jei keturkampio įstrižainės dalinamos per jų susikirtimo tašką, tai keturkampis yra lygiagretainis.

Įrodymas

Tegul $ABCD$ yra keturkampis.

1. Atkreipkite dėmesį, kad gretimi kampai $A$ ir $B$ yra vienpusiai vidiniai kampai su tiesiomis $AD$ ir $BC$ bei skersinėmis $AB$. Kadangi jų suma yra $180^\circ$, tai tiesės $AD$ ir $BC$ yra lygiagrečios. Panašiai ir kitai tiesių porai, ty $ABCD$ pagal apibrėžimą yra lygiagretainis.

2. Atkreipkite dėmesį, kad $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D=360^\circ$. Jei $\angle A = \angle C$, o $\angle B = \angle D$, tada $\angle A + \angle B=180^\circ$ ir panašiai kitoms gretimų kampų poroms. Toliau naudojame ankstesnį ženklą.

3. Apsvarstykite trikampius $ABC$ ir $CDA$. Kadangi $AC$ yra bendra, tai iš lygiagretainio priešingų kraštinių lygybės išplaukia, kad trikampiai $ABC$ ir $CDA$ yra lygūs pagal trečiąjį kriterijų. Todėl $\angle BAC=\angle DCA$ ir $\angle BCA=\angle DAC$, o tai reiškia priešingų kraštinių lygiagretumą.

4. Tegul $BC$ ir $AD$ yra lygūs ir lygiagrečiai. Apsvarstykite trikampius $ABC$ ir $CDA$. Iš tiesių lygiagretumo matyti, kad $\angle BCA=\angle DAC$. Kadangi $AC$ yra bendra, o $BC=AD$, tai trikampiai $ABC$ ir $CDA$ yra lygūs pagal pirmąjį kriterijų. Todėl $AB=CD$. Toliau naudojame ankstesnį ženklą.

5. Tegul $O$ yra įstrižainių ir $AO=CO$, o $DO=BO$ susikirtimo taškas. Atsižvelgiant į vertikalių kampų lygybę, gauname, kad trikampiai $AOD$ ir $COB$ yra. lygus pagal pirmąjį kriterijų. Todėl $\angle OAD=\angle OCB$, o tai reiškia $BC$ ir $AD$ lygiagretumą. Taip pat ir kitoms šonų poroms.

Apibrėžimas

Vadinamas keturkampis, turintis tris stačius kampus stačiakampis.

Stačiakampio savybės:

Stačiakampio įstrižainės lygios.

Įrodymas

Tegu pateiktas stačiakampis $ABCD$. Kadangi stačiakampis yra lygiagretainis, jo priešingos kraštinės yra lygios. Tada stačiųjų trikampių$ABD$ ir $DCA$ yra lygūs dviejose kojose, o tai reiškia, kad $BD=AC$.

Stačiakampio savybės:

Jei lygiagretainis turi stačią kampą, tai šis lygiagretainis yra stačiakampis.
Jei lygiagretainio įstrižainės yra lygios, tai šis lygiagretainis yra stačiakampis.

Įrodymas

1. Jei vienas iš lygiagretainio kampų yra tiesus, tai, atsižvelgiant į tai, kad gretimų kampų suma yra $180^(\circ)$, gauname, kad likę kampai taip pat yra tiesūs.

2. Tegul lygiagretainio $ABCD$ įstrižainės $AC$ ir $BD$ yra lygios. Atsižvelgdami į priešingų kraštinių $AB$ ir $DC$ lygybę, gauname, kad trikampiai $ABD$ ir $DCA$ yra lygūs pagal trečiąjį kriterijų. Todėl $\angle BAD=\angle CDA$, tai yra, jie yra tiesūs. Belieka naudoti ankstesnį ženklą.

Apibrėžimas

Vadinamas keturkampis, kurio visos kraštinės lygios deimantas

Rombo savybės:

Rombo įstrižainės yra viena kitai statmenos ir yra jo kampų pusiausvyros.

Įrodymas

Tegul rombo $ABCD$ įstrižainės $AC$ ir $BD$ susikerta taške $O$. Kadangi rombas yra lygiagretainis, $AO=OC$. Pasvarstykime lygiašonis trikampis$ABC$. Kadangi $AO$ yra mediana, nubrėžta prie pagrindo, tai yra pusiausvyra ir aukštis, ko ir reikėjo.

Deimantų ženklai:

Jei lygiagretainio įstrižainės yra viena kitai statmenos, tai šis lygiagretainis yra rombas.
Jei lygiagretainio įstrižainė yra jo kampo pusiausvyra, tai šis lygiagretainis yra rombas.

Įrodymas

Tegul lygiagretainio $ABCD$ įstrižainės $AC$ ir $BD$ susikerta taške $O$. Apsvarstykite trikampį $ABC$.

1. Jei įstrižainės yra statmenos, tai $BO$ yra trikampio mediana ir aukštis.

2. Jei įstrižainėje $BD$ yra kampo $ABC$ pusiausvyra, tai $BO$ yra trikampio mediana ir pusiausvyra.

Abiem atvejais nustatome, kad trikampis $ABC$ yra lygiašonis, o lygiagretainio gretimos kraštinės yra lygios. Todėl tai yra rombas, ko ir reikėjo.

Apibrėžimas

Vadinamas stačiakampis, kurio dvi gretimos kraštinės yra lygios kvadratas.

Kvadrato ženklai:

Jei rombas turi stačią kampą, tai tas rombas yra kvadratas.
Jei rombo įstrižainės yra lygios, tai rombas yra kvadratas.

Įrodymas

Jei lygiagretainis turi stačią kampą arba lygias įstrižaines, tai jis yra stačiakampis. Jei keturkampis yra stačiakampis ir rombas, tai jis yra kvadratas.

Apibrėžimas

Lygiagretainis Vadinamas keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra lygiagrečios poromis.

1 paveiksle parodytas lygiagretainis $A B C D, A B\|C D, B C\| D$.

Lygiagretainio savybės

Lygiagretainio priešingos kraštinės lygios: $A B=C D, B C=A D$ (1 pav.).
Lygiagretainyje priešingi kampai lygūs $\kampas A=\kampas C, \kampas B=\kampas D$ (1 pav.).
Lygiagretainio įstrižainės sankirtos taške dalijamos pusiau $A O=O C, B O=O D$ (1 pav.).
Lygiagretainio įstrižainė padalija jį į du vienodus trikampius.

Greta vienos kraštinės lygiagretainio kampų suma yra $180^(\circ)$:

$$\kampas A+\kampas B=180^(\circ), \angle B+\angle C=180^(\circ)$$

$$\angle C+\angle D=180^(\circ), \angle D+\angle A=180^(\circ)$$

Lygiagretainio įstrižainės ir kraštinės yra susietos tokiu ryšiu:

$$d_(1)^(2)+d_(2)^(2)=2 a^(2)+2 b^(2)$$

Lygiagrečiame kampas tarp aukščių lygus jo aštrus kampas: $\kampas K B H=\kampas A$.
Kampų, besiribojančių su viena lygiagretainio kraštine, pusės yra viena kitai statmenos.
Lygiagretainio dviejų priešingų kampų pusiausvyros yra lygiagrečios.

Lygiagretainio ženklai

Keturkampis $ABCD$ yra lygiagretainis, jei

$A B=C D$ ir $A B \| C D $
$A B=C D$ ir $B C=A D$
$A O=O C$ ir $B O=O D$
$\angle A=\angle C$ ir $\angle B=\angle D$

Lygiagretainio plotas gali būti apskaičiuojamas naudojant vieną iš šių formulių:

$S=a \cdot h_(a), \quad S=b \cdot h_(b)$

$S=a \cdot b \cdot \sin \alpha, \quad S=\frac(1)(2) d_(1) \cdot d_(2) \cdot \sin \phi$

Problemų sprendimo pavyzdžiai

Pavyzdys

Pratimai. Lygiagretainio dviejų kampų suma yra $140^(\circ)$. Raskite didžiausią lygiagretainio kampą.

Sprendimas. Lygiagretainio priešingi kampai yra lygūs. Didesnį lygiagretainio kampą pažymėkime kaip $\alpha$, o mažesnįjį - kaip $\beta$. Kampų $\alpha$ ir $\beta$ suma yra $180^(\circ)$, todėl duota suma, lygi $140^(\circ)$, yra dviejų priešingų kampų suma, tada $140^(\circ) : 2=70 ^(\circ)$. Taigi mažesnis kampas yra $\beta=70^(\circ)$. Didesnį kampą $\alpha$ randame iš santykio:

$\alpha+\beta=180^(\circ) \Rightarrow \alpha=180^(\circ)-\beta \Rightarrow$

$\Rightarrow \alpha=180^(\circ)-70^(\circ) \Rightarrow \alpha=110^(\circ)$

Atsakymas.$\alpha=110^(\circ)$

Pavyzdys

Pratimai. Lygiagretainio kraštinės yra 18 cm ir 15 cm, o aukštis, nubrėžtas į trumpesnę kraštinę, yra 6 cm. Raskite kitą lygiagretainio aukštį.

Sprendimas. Padarykime piešinį (2 pav.)