1 apibrėžimas

Jei kiekvienai dviejų nepriklausomų kintamųjų reikšmių porai $(x,y)$ iš kurio nors srities susieta tam tikra reikšmė $z$, tai $z$ laikoma dviejų kintamųjų $(x,y) funkcija. $. Žymėjimas: $z=f(x,y)$.

Funkcijos $z=f(x,y)$ atžvilgiu panagrinėkime bendrųjų (visų) ir dalinių funkcijos prieaugių sąvokas.

Tegu funkcija $z=f(x,y)$ iš dviejų nepriklausomų kintamųjų $(x,y)$.

1 pastaba

Kadangi kintamieji $(x,y)$ yra nepriklausomi, vienas iš jų gali keistis, o kitas išlieka pastovus.

Suteikime kintamajam $x$ prieaugį $\Delta x$, nepakeisdami kintamojo $y$ reikšmę.

Tada funkcija $z=f(x,y)$ gaus prieaugį, kuris bus vadinamas funkcijos $z=f(x,y)$ daliniu prieaugiu kintamojo $x$ atžvilgiu. Pavadinimas:

Panašiai kintamajam $y$ duosime $\Delta y$ prieaugį, nepakeisdami kintamojo $x$ reikšmę.

Tada funkcija $z=f(x,y)$ gaus prieaugį, kuris bus vadinamas funkcijos $z=f(x,y)$ daliniu prieaugiu kintamojo $y$ atžvilgiu. Pavadinimas:

Jei argumentui $x$ suteikiamas prieaugis $\Delta x$, o argumentui $y$ - prieaugis $\Delta y$, tada gauname pilnas prieaugis suteikta funkcija$z=f(x,y)$. Pavadinimas:

Taigi mes turime:

$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - funkcijos $z=f(x,y)$ dalinis padidėjimas $x$;

$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - funkcijos $z=f(x,y)$ dalinis padidėjimas $y$;

$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ – bendras funkcijos $z=f(x,y)$ priedas.

1 pavyzdys

Sprendimas:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - funkcijos $z=f(x,y)$ dalinis padidėjimas per $x$;

$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ – funkcijos $z=f(x,y)$ dalinis padidėjimas $y$ atžvilgiu.

$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - bendras funkcijos $z=f(x,y)$ prieaugis.

2 pavyzdys

Apskaičiuokite funkcijos $z=xy$ dalinį ir bendrą prieaugį taške $(1;2)$, kai $\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1$.

Sprendimas:

Pagal dalinio prieaugio apibrėžimą randame:

$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ – funkcijos $z=f(x,y)$ dalinis padidėjimas per $x$

$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - funkcijos $z=f(x,y)$ dalinis padidėjimas $y$;

Pagal bendro prieaugio apibrėžimą randame:

$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ – bendras funkcijos $z=f(x,y)$ priedas.

Vadinasi,

\[\Delta _(x) z=(1+0.1)\cdot 2=2.2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0.1)=2.1 \] \[\Delta z= (1+0.1)\cdot (2+0.1)=1.1\cdot 2.1=2.31.\]

2 pastaba

Bendras duotosios funkcijos prieaugis $z=f(x,y)$ nėra lygus jos dalinių prieaugių $\Delta _(x) z$ ir $\Delta _(y) z$ sumai. Matematinis žymėjimas: $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$.

3 pavyzdys

Patikrinkite tvirtinimo pastabas dėl veikimo

Sprendimas:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$; $\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (gauta 1 pavyzdyje)

Raskime duotosios funkcijos dalinių prieaugių sumą $z=f(x,y)$

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]

2 apibrėžimas

Jei kiekvienai trigubai $(x,y,z)$ trijų nepriklausomų kintamųjų reikšmių iš kurio nors srities susieta tam tikra reikšmė $w$, tai $w$ laikoma trijų kintamųjų $(x, y,z)$ šioje srityje.

Žymėjimas: $w=f(x,y,z)$.

3 apibrėžimas

Jei kiekvienai tam tikro regiono nepriklausomų kintamųjų verčių rinkiniui $(x,y,z,...,t)$ yra susieta tam tikra reikšmė $w$, tai $w$ laikoma funkcija kintamieji $(x,y, z,...,t)$ šioje srityje.

Žymėjimas: $w=f(x,y,z,...,t)$.

Trijų ar daugiau kintamųjų funkcijai, taip pat kaip ir dviejų kintamųjų funkcijai, kiekvienam kintamajam nustatomi daliniai prieaugiai:

$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ – dalinis funkcijos $w=f(x,y,z,... ,t )$ pagal $z$;

$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - dalinis funkcijos $w padidėjimas =f (x,y,z,...,t)$ pagal $t$.

4 pavyzdys

Parašykite dalinio ir visiško prieaugio funkcijas

Sprendimas:

Pagal dalinio prieaugio apibrėžimą randame:

$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ – funkcijos $w=f(x,y,z)$ dalinis padidėjimas per $x$

$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - funkcijos $w=f(x,y,z)$ dalinis padidėjimas per $y$;

$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - funkcijos $w=f(x,y,z)$ dalinis padidėjimas virš $z$;

Pagal bendro prieaugio apibrėžimą randame:

$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ – bendras funkcijos $w=f(x,y,z)$ priedas.

5 pavyzdys

Apskaičiuokite dalinį ir bendrą funkcijos $w=xyz$ prieaugį taške $(1;2;1)$, kai $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, \, \Delta z=0,1$.

Sprendimas:

Pagal dalinio prieaugio apibrėžimą randame:

$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ – funkcijos $w=f(x,y,z)$ dalinis padidėjimas per $x$

$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - funkcijos $w=f(x,y,z)$ dalinis padidėjimas $y$;

$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - funkcijos $w=f(x,y,z)$ dalinis padidėjimas virš $z$;

Pagal bendro prieaugio apibrėžimą randame:

$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ – bendras funkcijos $w=f(x,y,z)$ priedas.

Vadinasi,

\[\Delta _(x) w=(1+0.1)\cdot 2\cdot 1=2.2\] \[\Delta _(y) w=1\cdot (2+0.1)\ cdot 1=2.1\] \[\Delta _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0.1)=2.2\] \[\Delta z=(1+0.1) \cdot (2+0.1)\cdot (1+0.1) =1.1\cdot 2.1\cdot 1.1=2.541.\]

SU geometrinis taškas Kalbant apie vaizdą, bendras funkcijos $z=f(x,y)$ padidėjimas (pagal apibrėžimą $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$) yra lygus funkcijos $z =f(x,y)$ grafiko aplikacijos prieaugiui judant iš taško $M(x,y)$ į tašką $M_(1) (x+\Delta x,y+ \Delta y)$ (1 pav.).

1 pav.

Gyvenime ne visada domimės tiksliomis bet kokių kiekių reikšmėmis. Kartais įdomu sužinoti šio kiekio pokytį, pvz. vidutinis greitis autobusas, judėjimo kiekio ir laiko periodo santykis ir kt. Norint palyginti funkcijos reikšmę tam tikrame taške su tos pačios funkcijos reikšmėmis kituose taškuose, patogu naudoti tokias sąvokas kaip „funkcijos padidėjimas“ ir „argumento padidėjimas“.

Sąvokos „funkcijos padidėjimas“ ir „argumento padidėjimas“

Tarkime, kad x yra koks nors savavališkas taškas, esantis tam tikroje taško x0 kaimynystėje. Argumento padidėjimas taške x0 yra skirtumas x-x0. Prieaugis žymimas taip: ∆х.

• ∆x=x-x0.

Kartais šis dydis dar vadinamas nepriklausomo kintamojo prieaugiu taške x0. Iš formulės seka: x = x0+∆x. Tokiais atvejais jie sako, kad nepriklausomo kintamojo x0 pradinė reikšmė gavo prieaugį ∆x.

Jei pakeisime argumentą, pasikeis ir funkcijos reikšmė.

• f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆х) - f(x0).

Funkcijos f padidėjimas taške x0, atitinkamas prieaugis ∆х yra skirtumas f(x0 + ∆х) - f(x0). Funkcijos prieaugis žymimas taip: ∆f. Taigi pagal apibrėžimą gauname:

• ∆f= f(x0 +∆x) - f(x0).

Kartais ∆f taip pat vadinamas priklausomo kintamojo prieaugiu, o ∆у naudojamas jam žymėti, jei funkcija buvo, pavyzdžiui, y=f(x).

Prieaugio geometrinė reikšmė

Pažvelkite į toliau pateiktą paveikslėlį.

Kaip matote, prieaugis rodo taško ordinačių ir abscisių pasikeitimą. O funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykis lemia sekanto, einančio per pradinę ir galutinę taško padėtį, pasvirimo kampą.

Pažvelkime į funkcijos ir argumento didinimo pavyzdžius

1 pavyzdys. Raskite argumento ∆x ir funkcijos ∆f prieaugį taške x0, jei f(x) = x 2, x0=2 a) x=1.9 b) x =2.1

Naudokime aukščiau pateiktas formules:

a) ∆х=х-х0 = 1,9 - 2 = -0,1;

• ∆f=f(1,9) - f(2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39;

b) ∆x=x-x0=2,1-2=0,1;

• ∆f=f(2,1) - f(2) = 2,1 2 - 2 2 = 0,41.

2 pavyzdys. Apskaičiuokite funkcijos f(x) = 1/x prieaugį ∆f taške x0, jei argumento prieaugis lygus ∆x.

Vėlgi, naudosime aukščiau gautas formules.

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).

medicinos ir biologijos fizikoje

PASKAITA Nr.1

IŠVEDINĖS IR DIFERENCINĖS FUNKCIJOS.

DALINIAI IŠVEDINIAI.

1. Darinio samprata, jos mechaninė ir geometrinė reikšmė.

A ) Argumentų ir funkcijų padidėjimas.

Tegu pateikta funkcija y=f(x), kur x yra argumento reikšmė iš funkcijos apibrėžimo srities. Jei pasirenkate dvi argumento x o ir x reikšmes iš tam tikro funkcijos apibrėžimo srities intervalo, skirtumas tarp dviejų argumento reikšmių vadinamas argumento prieaugiu: x - x o = ∆x.

Argumento x reikšmę galima nustatyti per x 0 ir jo prieaugį: x = x o + ∆x.

Skirtumas tarp dviejų funkcijos reikšmių vadinamas funkcijos prieaugiu: ∆y =∆f = f(x o +∆x) – f(x o).

Argumento ir funkcijos prieaugis gali būti pavaizduotas grafiškai (1 pav.). Argumento prieaugis ir funkcijos prieaugis gali būti teigiamas arba neigiamas. Kaip matyti iš 1 pav., geometriškai argumento ∆х prieaugis pavaizduotas abscisės prieaugiu, o funkcijos ∆у didėjimas – ordinatės prieaugiu. Funkcijos prieaugis turėtų būti apskaičiuojamas tokia tvarka:

argumentui suteikiame inkrementą ∆x ir gauname reikšmę – x+Δx;

2) argumento (x+∆x) reikšmei rasti funkcijos reikšmę – f(x+∆x);

3) raskite funkcijos ∆f=f(x + ∆x) - f(x) prieaugį.

Pavyzdys: Nustatykite funkcijos y=x 2 prieaugį, jei argumentas pasikeitė iš x o =1 į x=3. Taške x o funkcijos f(x o) = x² o reikšmė; taškui (x o +∆x) funkcijos f(x o +∆x) = (x o +∆x) 2 = x² o +2x o ∆x+∆x 2 reikšmė, iš kur ∆f = f(x o + ∆x)–f(x o) = (x o +∆x) 2 –x² o = x² o +2x o ∆x+∆x 2 –x² o = 2x o ∆x+∆x 2; ∆f = 2x o ∆x+∆x 2 ;

∆х = 3–1 = 2; ∆f =2·1·2+4 = 8.b)

Problemos, vedančios prie išvestinės sąvokos. Darinio apibrėžimas, jo fizikinė reikšmė.

Argumento ir funkcijos prieaugio sąvoka būtina norint įvesti išvestinės sąvoką, kuri istoriškai atsirado remiantis būtinybe nustatyti tam tikrų procesų greitį.

Kintamam judėjimui reikšmė ∆Ѕ/∆t nustato reikšmę  vid. , t.y. vid. =∆S/∆t Tačiau vidutinis greitis neleidžia atspindėti kūno judėjimo ypatybių ir duoti supratimo apie tikrąjį greitį laiku t. Sumažėjus laiko tarpui, t.y. esant ∆t→0 vidutinis greitis siekia savo ribą – momentinis greitis:

 akimirksniu =
 vid. =
∆S/∆t.

Momentinis cheminės reakcijos greitis nustatomas taip pat:

 akimirksniu =
 vid. =
∆х/∆t,

čia x yra medžiagos kiekis, susidaręs cheminės reakcijos metu per laiką t. Panašios įvairių procesų greičio nustatymo problemos paskatino matematikoje įvesti išvestinės funkcijos sąvoką.

Tegul tai duota nuolatinė funkcija f(x), apibrėžtas intervale ]a, in[ty jo prieaugis ∆f=f(x+∆x)–f(x). Ryšys
yra ∆x funkcija ir išreiškia vidutinį funkcijos kitimo greitį.

Santykio riba , kai ∆х→0, su sąlyga, kad ši riba egzistuoja, vadinama funkcijos išvestine :

y" x =

.

Išvestinė žymima:
– (geltonas brūkšnys ant f); " (x) – (ištrauka ant x) ; y" – (graikiškas potėpis); dy/dх – (de igrek pagal de x); - (graikų k. su tašku).

Remdamiesi išvestinės apibrėžimu, galime pasakyti, kad momentinis tiesinio judėjimo greitis yra laiko išvestinė iš kelio:

 akimirksniu = S" t = f " (t).

Taigi galime daryti išvadą, kad funkcijos išvestinė argumento x atžvilgiu yra momentinis funkcijos f(x) kitimo greitis:

y" x =f " (x)= momentinė.

Tai yra fizinė išvestinės reikšmė. Išvestinės radimo procesas vadinamas diferencijavimu, todėl posakis „diferencijuoti funkciją“ yra lygiavertis posakiui „rasti funkcijos išvestinę“.

V)Geometrinė išvestinės reikšmė.

P
funkcijos y = f(x) išvestinė turi paprastą geometrinę reikšmę, susijusią su kreivės tiesės liestinės tam tikrame taške M sąvoka. Tuo pačiu tangentinė, t.y. tiesė analitiškai išreiškiama kaip y = kx = tan· x, kur – liestinės (tiesės) pasvirimo kampas į X ašį Įsivaizduokime ištisinę kreivę kaip funkciją y = f(x), paimkime kreivės tašką M1 ir arti jo esantį tašką M1 ir nubrėžkime sekantą. per juos. Jo nuolydis iki sec =tg β = .Jei tašką M 1 priartinsime prie M, tai argumento prieaugis ∆x bus linkęs į nulį, o sekantas ties β=α užims liestinės padėtį. Iš 2 pav. matyti: tgα =
tgβ =
=y" x. Bet tgα yra lygus funkcijos grafiko liestinės nuolydžiui:

k = tgα =
=y" x = f " (X). Taigi, funkcijos grafiko liestinės kampinis koeficientas tam tikrame taške yra lygus jos išvestinės reikšmei liesties taške. Tai geometrinė išvestinės reikšmė.

G)Bendra išvestinės išvestinės paieškos taisyklė.

Remiantis išvestinės apibrėžimu, funkcijos diferencijavimo procesas gali būti pavaizduotas taip:

f(x+∆x) = f(x)+∆f;

raskite funkcijos prieaugį: ∆f= f(x + ∆x) - f(x);

sudaryti funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykį:

;

Pavyzdys: f(x)=x2; " f

(x)=?. Tačiau, kaip matyti net iš to paprastas pavyzdys , nurodytos sekos taikymas imant darinius yra daug darbo reikalaujantis ir sudėtingas procesas. Todėl įvairioms funkcijoms pristatome bendrosios formulės

diferencijavimas, kurie pateikiami lentelės forma „Pagrindinės funkcijų diferencijavimo formulės“.

Labai lengva prisiminti. Na, toli neikime, pažiūrėkime iš karto atvirkštinė funkcija . Kuri funkcija yra atvirkštinė eksponentinė funkcija

? Logaritmas:

Mūsų atveju pagrindas yra skaičius:

Toks logaritmas (ty logaritmas su baze) vadinamas „natūraliu“, o mes jam naudojame specialų žymėjimą: vietoj to rašome.

Kam jis lygus? Žinoma.

Natūralaus logaritmo išvestinė taip pat labai paprasta:

1. Pavyzdžiai:
2. Raskite funkcijos išvestinę.

Kas yra funkcijos išvestinė? Atsakymai: Parodos dalyvis ir natūralusis logaritmas

- funkcijos yra išskirtinai paprastos išvestinių atžvilgiu. Eksponentinės ir logaritminės funkcijos su bet kuria kita baze turės skirtingą išvestinę, kurią išanalizuosime vėliau, susipažinę su diferenciacijos taisyklėmis.

Diferencijavimo taisyklės

Taisyklės ko? Vėl naujas terminas, vėl?!... Diferencijavimas

yra išvestinės paieškos procesas.

Tai viskas. Kaip dar vienu žodžiu galima pavadinti šį procesą? Ne išvestinė... Matematikos diferencialas yra toks pat funkcijos prieaugis ties. Šis terminas kilęs iš lotyniško diferencia – skirtumas. Čia.

Išvesdami visas šias taisykles naudosime dvi funkcijas, pavyzdžiui, ir. Mums taip pat reikės jų padidėjimo formulių:

Iš viso yra 5 taisyklės.

Konstanta išimama iš išvestinio ženklo.

Jei - koks nors pastovus skaičius (konstanta), tada.

Akivaizdu, kad ši taisyklė taip pat tinka skirtumui: .

Įrodykime tai. Tebūnie, arba paprasčiau.

Pavyzdžiai.

1. Raskite funkcijų išvestinius:
2. Raskite funkcijų išvestinius:
3. Raskite funkcijų išvestinius:
4. taške;

taške.

1. Sprendimai: (išvestinė visuose taškuose yra vienoda, nes š tiesinė funkcija

, prisimeni?);

Produkto darinys

Čia viskas panašiai: pristatykime naują funkciją ir suraskime jos prieaugį:

Natūralaus logaritmo išvestinė taip pat labai paprasta:

1. Išvestinė:
2. Raskite funkcijų ir išvestines;

taške.

Raskite funkcijos išvestinę taške.

Dabar jūsų žinių pakanka, kad išmoktumėte rasti bet kokios eksponentinės funkcijos išvestinę, o ne tik eksponentus (ar jau pamiršote, kas tai yra?).

Taigi, kur yra koks nors skaičius.

Jau žinome funkcijos išvestinę, todėl pabandykime savo funkciją perkelti į naują bazę:

Tam naudosime paprasta taisyklė: . Tada:

Na, pavyko. Dabar pabandykite rasti išvestinę ir nepamirškite, kad ši funkcija yra sudėtinga.

Ar pavyko?

Čia patikrinkite save:

Formulė pasirodė labai panaši į eksponento išvestinę: tokia, kokia buvo, išlieka ta pati, atsirado tik veiksnys, kuris yra tik skaičius, bet ne kintamasis.

Natūralaus logaritmo išvestinė taip pat labai paprasta:
Raskite funkcijų išvestinius:

Kas yra funkcijos išvestinė?

Tai tik skaičius, kurio negalima apskaičiuoti be skaičiuoklės, tai yra, jo negalima užrašyti daugiau paprasta forma. Todėl atsakyme paliekame jį tokia forma.

Atkreipkite dėmesį, kad čia yra dviejų funkcijų koeficientas, todėl taikome atitinkamą diferenciacijos taisyklę:

Šiame pavyzdyje dviejų funkcijų sandauga:

Logaritminės funkcijos išvestinė

Čia panašiai: jūs jau žinote natūraliojo logaritmo išvestinę:

Todėl, norėdami rasti savavališką logaritmą su kita baze, pavyzdžiui:

Turime sumažinti šį logaritmą iki pagrindo. Kaip pakeisti logaritmo bazę? Tikiuosi, kad prisiminsite šią formulę:

Tik dabar vietoj to rašysime:

Vardiklis yra tiesiog konstanta (pastovus skaičius, be kintamojo). Išvestinė gaunama labai paprastai:

Vieningame valstybiniame egzamine eksponentinių ir logaritminių funkcijų išvestinių beveik niekada nerandama, tačiau jas žinoti nebus nereikalinga.

Sudėtingos funkcijos išvestinė.

kas atsitiko" sudėtinga funkcija"? Ne, tai ne logaritmas ir ne arctangentas. Šias funkcijas gali būti sunku suprasti (nors jei logaritmas jums sunkus, perskaitykite temą „Logaritmai“ ir viskas bus gerai), tačiau matematiniu požiūriu žodis „sudėtingas“ nereiškia „sunku“.

Įsivaizduokite nedidelį konvejerį: du žmonės sėdi ir atlieka veiksmus su kokiais nors daiktais. Pavyzdžiui, pirmasis įvynioja šokolado plytelę į popierių, o antrasis – perriša juostele. Rezultatas yra sudėtinis objektas: šokolado plytelė, apvyniota ir perrišta kaspinu. Norėdami valgyti šokolado plytelę, turite atlikti atvirkštinius veiksmus atvirkštine tvarka.

Sukurkime panašų matematinį konvejerį: pirmiausia rasime skaičiaus kosinusą, o tada gautą skaičių pakelkime kvadratu. Taigi, mums suteikiamas skaičius (šokoladas), aš surandu jo kosinusą (įvynioklis), o tada tu kvadratuoji tai, ką gavau (susiriši kaspinu). Kas atsitiko? Funkcija. Tai yra sudėtingos funkcijos pavyzdys: kai norėdami rasti jos reikšmę, pirmą veiksmą atliekame tiesiogiai su kintamuoju, o po to antrą veiksmą su tuo, kas atsirado dėl pirmojo.

Kitaip tariant, sudėtinga funkcija yra funkcija, kurios argumentas yra kita funkcija: .

Mūsų pavyzdžiu, .

Tuos pačius veiksmus galime nesunkiai atlikti atvirkštine tvarka: pirmiausia pakelkite kvadratą, o tada ieškau gauto skaičiaus kosinuso: . Nesunku atspėti, kad rezultatas beveik visada bus kitoks. Svarbi kompleksinių funkcijų ypatybė: pasikeitus veiksmų tvarkai, keičiasi ir funkcija.

Antras pavyzdys: (tas pats). .

Veiksmas, kurį atliekame paskutiniai, bus vadinamas „išorinė“ funkcija, o pirmiausia atliktas veiksmas – atitinkamai „vidinė“ funkcija(tai neoficialūs pavadinimai, juos naudoju tik medžiagai paaiškinti paprasta kalba).

Pabandykite patys nustatyti, kuri funkcija yra išorinė, o kuri vidinė:

Kas yra funkcijos išvestinė? Vidinių ir išorinių funkcijų atskyrimas labai panašus į kintamųjų keitimą: pavyzdžiui, funkcijoje

1. Kokį veiksmą atliksime pirmiausia? Pirmiausia apskaičiuokime sinusą, o tik tada supjaustykime. Tai reiškia, kad tai vidinė, bet išorinė funkcija.
   O pradinė funkcija yra jų sudėtis: .
2. Vidinis: ; išorinis: .
   Egzaminas:.
3. Vidinis: ; išorinis: .
   Egzaminas:.
4. Vidinis: ; išorinis: .
   Egzaminas:.
5. Vidinis: ; išorinis: .
   Egzaminas:.

Keičiame kintamuosius ir gauname funkciją.

Na, o dabar išgausime šokolado plytelę ir ieškosime darinio. Procedūra visada yra atvirkštinė: pirmiausia ieškome išorinės funkcijos išvestinės, tada rezultatą dauginame iš vidinės funkcijos išvestinės. Kalbant apie pradinį pavyzdį, jis atrodo taip:

Kitas pavyzdys:

Taigi, pagaliau suformuluokime oficialią taisyklę:

Sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos algoritmas:

Atrodo paprasta, tiesa?

Patikrinkime su pavyzdžiais:

taške.

1) Vidinis: ;

Išorinis: ;

2) Vidinis: ;

(tik dabar nemėginkite jo iškirpti! Niekas neišnyra iš po kosinuso, pamenate?)

3) Vidinis: ;

Išorinis: ;

Iš karto aišku, kad tai trijų lygių kompleksinė funkcija: juk tai jau pati savaime yra kompleksinė funkcija, iš jos ištraukiame ir šaknį, tai yra, atliekame trečią veiksmą (šokoladą dedame į vyniotinį). ir su kaspinu portfelyje). Tačiau baimintis nėra pagrindo: šią funkciją vis tiek „išpakuosime“ ta pačia tvarka, kaip įprasta: nuo pabaigos.

Tai yra, pirmiausia skiriame šaknį, tada kosinusą ir tik tada išraišką skliausteliuose. Ir tada viską padauginame.

Tokiais atvejais patogu sunumeruoti veiksmus. Tai yra, įsivaizduokime, ką žinome. Kokia tvarka atliksime veiksmus, kad apskaičiuotume šios išraiškos reikšmę? Pažiūrėkime į pavyzdį:

Kuo vėliau veiksmas bus atliktas, tuo atitinkama funkcija bus „išoriškesnė“. Veiksmų seka yra tokia pati kaip ir anksčiau:

Čia lizdas paprastai yra 4 lygių. Nustatykime veiksmų tvarką.

1. Radikali išraiška. .

2. Šaknis. .

3. Sinusas. .

4. Kvadratas. .

5. Viską sudėti:

IŠVEDINĖ VEIKLA. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Funkcijos išvestinė- funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykis be galo mažam argumento prieaugiui:

Pagrindiniai dariniai:

Atskyrimo taisyklės:

Konstanta išimama iš išvestinio ženklo:

Sumos išvestinė:

Produkto darinys:

Dalinio išvestinė:

Sudėtingos funkcijos išvestinė:

Sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos algoritmas:

1. Mes apibrėžiame „vidinę“ funkciją ir randame jos išvestinę.
2. Mes apibrėžiame „išorinę“ funkciją ir randame jos išvestinę.
3. Pirmojo ir antrojo punktų rezultatus padauginame.

Leiskite X– argumentas (nepriklausomas kintamasis); y=y(x)– funkcija.

Paimkime fiksuotą argumento reikšmę x=x 0 ir apskaičiuokite funkcijos reikšmę y 0 =y(x 0 ) . Dabar nustatykime savavališkai prieaugis argumento (pakeitimo) ir jį pažymėkite  X ( X gali būti bet kokio ženklo).

Prieaugio argumentas yra taškas X 0 +  X. Tarkime, kad jame taip pat yra funkcijos reikšmė y=y(x 0 +  X)(žr. paveikslėlį).

Taigi, savavališkai pakeitus argumento reikšmę, gaunamas funkcijos pokytis, kuris vadinamas prieaugis funkcijų reikšmės:

ir nėra savavališkas, bet priklauso nuo funkcijos tipo ir reikšmės
.

Argumentų ir funkcijų prieaugiai gali būti galutinis, t.y. išreiškiami pastoviais skaičiais, tokiu atveju jie kartais vadinami baigtiniais skirtumais.

Ekonomikoje gana dažnai svarstomi baigtiniai prieaugiai. Pavyzdžiui, lentelėje pateikiami duomenys apie tam tikros valstybės geležinkelių tinklo ilgį. Akivaizdu, kad tinklo ilgio padidėjimas apskaičiuojamas atimant ankstesnę vertę iš paskesnės.

Geležinkelių tinklo ilgį laikysime funkcija, kurios argumentas bus laikas (metai).

	Geležinkelio ilgis gruodžio 31 d., tūkst. km.	Prieaugis	Vidutinis metinis augimas

Pats savaime funkcijos padidėjimas (šiuo atveju geležinkelių tinklo ilgis) netinkamai apibūdina funkcijos pasikeitimą. Mūsų pavyzdyje iš to, kad 2,5>0,9 negalima daryti išvados, kad tinklas augo sparčiau 2000-2003 metų nei m 2004 g., nes prieaugis 2,5 nurodo trejų metų laikotarpį ir 0,9 – vos per vienerius metus. Todėl visiškai natūralu, kad funkcijos padidėjimas lemia argumento vieneto pasikeitimą. Argumento padidėjimas čia yra taškai: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

Gauname tai, kas vadinama ekonominėje literatūroje vidutinis metinis augimas.

Galite išvengti žingsnio mažinimo iki argumento pokyčio vieneto, jei pasirinksite argumentų verčių, kurios skiriasi vienu, funkcijos reikšmes, o tai ne visada įmanoma.

Atliekant matematinę analizę, ypač atliekant diferencialinį skaičiavimą, atsižvelgiama į begalinį (IM) argumento ir funkcijos prieaugį.

Vieno kintamojo funkcijos diferenciacija (išvestinė ir diferencinė) Funkcijos išvestinė

Argumento ir funkcijos padidėjimas taške X 0 gali būti laikomi lyginamaisiais be galo mažais dydžiais (žr. 4 temą, BM palyginimas), t.y. BM tos pačios eilės.

Tada jų santykis turės baigtinę ribą, kuri apibrėžiama kaip funkcijos išvestinė t X 0 .

Funkcijos prieaugio santykio su argumento BM prieaugiu taške riba x=x 0 paskambino išvestinė veikia tam tikrame taške.

Simbolinį vedinio žymėjimą brūkšniu (tiksliau, romėnišku skaitmeniu I) įvedė Niutonas. Taip pat galite naudoti apatinį indeksą, kuris parodo, su kuriuo kintamuoju apskaičiuojama išvestinė, pvz. . Taip pat plačiai naudojamas kitas išvestinių skaičiavimo pradininko, vokiečių matematiko Leibnizo, pasiūlytas užrašas:
. Daugiau apie šio pavadinimo kilmę sužinosite skyriuje Funkcijų diferencialas ir argumentų skirtumas.

Šis skaičius yra apytikslis greitis per tašką einančios funkcijos pokyčiai
.

Įdiegkime geometrine prasme funkcijos taške išvestinė. Šiuo tikslu nubraižysime funkciją y=y(x) ir pažymėkite ant jo pokytį lemiančius taškus y(x) tarpais

Funkcijos grafiko liestinė taške M 0
svarstysime sekanto ribinę padėtį M 0 M atsižvelgiant į tai
(taškas M slenka funkcijos grafiku iki taško M 0 ).

Pasvarstykime
. Akivaizdu,
.

Jei taškas M tiesiai išilgai funkcijos grafiko link taško M 0 , tada vertė
bus linkęs į tam tikrą ribą, kurią mes žymime
. Tuo pačiu metu.

Ribinis kampas  sutampa su funkcijos įsk. grafike nubrėžtos liestinės polinkio kampu. M 0 , taigi išvestinė
skaičiais lygūs liestinės nuolydis nurodytame taške.

-

funkcijos išvestinės taške geometrinė reikšmė.

Taigi galime parašyti liestinę ir normaliąją lygtis ( normalus - tai tiesė, statmena liestinės) funkcijos grafikui tam tikru tašku X 0 :

Tangentas - .

Normalus -
.

Įdomūs atvejai, kai šios linijos yra horizontaliai arba vertikaliai (žr. 3 temą, ypatingi linijos padėties plokštumoje atvejai). Tada

Jeigu
;

Jeigu
.

Išvestinės apibrėžimas vadinamas diferenciacija funkcijas.

 Jei funkcija taške X 0 turi baigtinę išvestinę, tada ji vadinama skiriasišiuo metu. Funkcija, kuri yra diferencijuojama visuose tam tikro intervalo taškuose, vadinama diferencijuojama šiame intervale.

 Teorema . Jei funkcija y=y(x) diferencijuotas, įskaitant X 0 , tada šiuo metu jis yra tęstinis.

Taigi, tęstinumą– būtina (bet nepakankama) funkcijos diferencijavimo sąlyga.