Sudėtingos funkcijos išvestinė. Bendra išvestinė priemonė

Tegu z=ƒ(x;y) yra dviejų kintamųjų x ir y funkcija, kurių kiekvienas yra nepriklausomo kintamojo t funkcija: x = x(t), y = y(t). Šiuo atveju funkcija z = f(x(t);y(t)) yra vieno nepriklausomo kintamojo t kompleksinė funkcija; kintamieji x ir y yra tarpiniai kintamieji.

Jei z = ƒ(x;y) yra funkcija, diferencijuojama taške M(x;y) є D ir x = x(t) ir y = y(t) yra nepriklausomo kintamojo t diferencijuojamos funkcijos, tai išvestinė kompleksinės funkcijos z(t ) = f(x(t);y(t)) apskaičiuojama pagal formulę

Suteikime nepriklausomam kintamajam t prieaugį Δt. Tada funkcijos x = = x(t) ir y = y(t) gaus atitinkamai prieaugius Δx ir Δy. Jie savo ruožtu privers funkciją z padidinti Az.

Kadangi pagal sąlygą funkcija z - ƒ(x;y) yra diferencijuojama taške M(x;y), tai jos pilnas prieaugis gali būti pavaizduotas formoje

kur а→0, β→0 ties Δх→0, Δу→0 (žr. 44.3 pastraipą). Išraišką Δz padalinkime iš Δt ir eikime prie ribos ties Δt→0. Tada Δх→0 ir Δу→0 dėl funkcijų x = x(t) ir y = y(t) tęstinumo (pagal teoremos sąlygas jos yra diferencijuojamos). Mes gauname:

Ypatingas atvejis: z=ƒ(x;y), kur y=y(x), t.y. z=ƒ(x;y(x)) - sudėtinga funkcija vienas nepriklausomas kintamasis x. Šis atvejis redukuojamas į ankstesnį, o kintamojo t vaidmenį atlieka x. Pagal formulę (44.8) turime:

Formulė (44.9) vadinama visumine išvestine formule.

Bendrasis atvejis: z=ƒ(x;y), kur x=x(u;v), y=y(u;v). Tada z= f(x(u;v);y(u;v)) yra sudėtinga nepriklausomų kintamųjų u ir v funkcija. Jo dalines išvestis galima rasti naudojant (44.8) formulę taip. Fiksavę v, jį pakeičiame atitinkamomis dalinėmis išvestinėmis

Labai dažnai sprendžiant praktines problemas (pavyzdžiui, aukštojoje geodezijoje ar analitinėje fotogrametrijoje) atsiranda sudėtingos kelių kintamųjų funkcijos, t.y. argumentai. x, y, z viena funkcija f(x,y,z) ) yra naujų kintamųjų funkcijos U, V, W ).

Pavyzdžiui, tai atsitinka judant iš fiksuotos koordinačių sistemos Oxyz į mobiliąją sistemą O 0 UVW ir atgal. Tuo pat metu svarbu žinoti visas dalines išvestines „fiksuotų“ – „senų“ ir „judančių“ – „naujų“ kintamųjų atžvilgiu, nes šios dalinės išvestinės dažniausiai apibūdina objekto padėtį šiose koordinačių sistemose. , ir ypač paveikti aeronuotraukų atitikimą realiam objektui . Tokiais atvejais taikomos šios formulės:

Tai yra, suteikiama sudėtinga funkcija T trys „nauji“ kintamieji U, V, W per tris „senus“ kintamuosius x, y, z, Tada:

komentuoti. Kintamųjų skaičius gali skirtis. Pavyzdžiui: jei

Visų pirma, jei z = f(xy), y = y(x) , tada gauname vadinamąją „bendros išvestinės“ formulę:

Ta pati formulė „bendrai išvestinei medžiagai“ šiais atvejais:

bus tokia forma:

Galimi ir kiti (1.27) - (1.32) formulių variantai.

Pastaba: išvedant pagrindinę skysčių judėjimo lygčių sistemą, fizikos kurso skyriuje „Hidrodinamika“ naudojama formulė „suminė išvestinė“.

1.10 pavyzdys. Duota:

Pagal (1.31):

§7 Netiesiogiai pateiktos kelių kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės

Kaip žinoma, netiesiogiai nurodyta vieno kintamojo funkcija apibrėžiama taip: nepriklausomo kintamojo funkcija x vadinamas implicitiniu, jei jis pateikiamas lygtimi, kuri nėra išspręsta y :

1.11 pavyzdys.

Lygtis

netiesiogiai nurodo dvi funkcijas:

Ir lygtis

nenurodo jokios funkcijos.

1.2 teorema (netiesioginės funkcijos buvimas).

Tegul funkcija z =f(x,y) ir jo daliniai dariniai f" x Ir f" y apibrėžtas ir tęstinis tam tikroje kaimynystėje U M0 taškų M 0 (x 0 y 0 ) . Be to, f(x 0 ,y 0 )=0 Ir f"(x 0 ,y 0 )≠0 , tada lygtis (1.33) apibrėžiama kaimynystėje U M0 numanoma funkcija y=y(x) , tęstinis ir diferencijuojamas tam tikru intervalu D centruojamas taške x 0 , ir y(x 0 )=y 0 .

Jokio įrodymo.

Iš 1.2 teoremos išplaukia, kad šiame intervale D :

tai yra, yra tapatybė

kur „bendra“ išvestinė randama pagal (1.31)

Tai yra, (1.35) pateikia formulę išvestinei netiesiogiai rasti suteikta funkcija vienas kintamasis x .

Netiesioginė dviejų ar daugiau kintamųjų funkcija apibrėžiama panašiai.

Pavyzdžiui, jei kurioje nors srityje V erdvė Oxyz galioja ši lygtis:

tada esant tam tikroms funkcijos sąlygoms F jis netiesiogiai apibrėžia funkciją

Be to, pagal analogiją su (1.35), jo dalinės išvestinės randamos taip:

1.12 pavyzdys. Darant prielaidą, kad lygtis

netiesiogiai apibrėžia funkciją

rasti z" x , z" y .

todėl pagal (1.37) gauname atsakymą.

§8 Antrosios ir aukštesnės eilės dalinės išvestinės

Apibrėžimas 1.9 Funkcijos antros eilės dalinės išvestinės z=z(x,y) apibrėžiami taip:

Jų buvo keturios. Be to, tam tikromis sąlygomis dėl funkcijų z(x,y) lygybė galioja:

komentuoti. Antros eilės dalinės išvestinės priemonės taip pat gali būti žymimos taip:

Apibrėžimas 1.10 Trečiosios eilės dalinės išvestinės yra aštuonios (2 3).

Funkcija Z= f(x; y) vadinama implicitine, jei ji pateikta lygtimi F(x,y,z)=0, neišspręsta Z atžvilgiu. Raskime netiesiogiai pateiktos funkcijos Z dalines išvestines. Norėdami tai padaryti, lygtyje vietoj Z pakeitę funkciją f(x;y), gauname tapatybę F(x,y, f(x,y))=0. Funkcijos, identiškai lygios nuliui, dalinės išvestinės x ir y atžvilgiu taip pat yra lygios nuliui.

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (laikoma konstanta)

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (xlaikoma konstanta)

Kur
Ir

Pavyzdys: Raskite lygties pateiktos funkcijos Z dalines išvestines
.

Čia F(x,y,z)=
;
;
;
. Pagal aukščiau pateiktas formules turime:

Ir

1. Kryptinė išvestinė

Tegu tam tikroje taško M (x,y) kaimynystėje duota dviejų kintamųjų funkcija Z= f(x; y). Apsvarstykite kryptį, apibrėžtą vieneto vektoriumi
, Kur
(žr. paveikslėlį).

Tiesioje linijoje, einančioje šia kryptimi per tašką M, paimame tašką M 1 (
), kad ilgis
segmentasMM 1 yra lygus
. Funkcijos f(M) prieaugis nustatomas pagal ryšį, kur
sieja santykiai. Santykio riba adresu
bus vadinama funkcijos išvestine
taške
kryptimi ir būti paskirtam .

=

Jei funkcija Z taške yra diferencijuota
, tada jo padidėjimas šioje vietoje, atsižvelgiant į santykius
gali būti parašytas tokia forma.

dalijant abi dalis iš

ir pereinant prie ribos ties
gauname funkcijos Z= f(x; y) išvestinės formulę kryptimi:

1. Gradientas

Apsvarstykite trijų kintamųjų funkciją
tam tikru momentu skiriasi
.

Šios funkcijos gradientas
taške M yra vektorius, kurio koordinatės atitinkamai lygios dalinėms išvestinėms
šiuo metu. Norėdami nurodyti gradientą, naudokite simbolį
.
=
.

.Gradientas rodo sparčiausio funkcijos augimo kryptį tam tikrame taške.

Kadangi vieneto vektorius turi koordinates (
), tada kryptinė išvestinė trijų kintamųjų funkcijos atveju rašoma forma, t.y. turi vektorių skaliarinės sandaugos formulę Ir
. Paskutinę formulę perrašykime taip:

, Kur - kampas tarp vektoriaus Ir
. Nes
, tada išplaukia, kad krypties funkcijos išvestinė įgyja maksimalią reikšmę ties =0, t.y. kai vektorių kryptis Ir
rungtynės. Tuo pačiu metu
Tai yra, iš tikrųjų funkcijos gradientas apibūdina didžiausio šios funkcijos padidėjimo taške kryptį ir dydį.

1. Dviejų kintamųjų funkcijos ekstremumas

Dviejų kintamųjų funkcijos max, min, ekstremumo sąvokos yra panašios į atitinkamas vieno kintamojo funkcijos sąvokas. Tegul funkcija Z= f(x; y) yra apibrėžta kurioje nors srityje D ir pan. M
priklauso šiai sričiai. Taškas M
vadinamas maksimalus funkcijos Z= f(x; y) taškas, jei yra tokia taško δ kaimynystė
, kad kiekvienam taškui iš šios kaimynystės nelygybė
. Taškas min nustatomas panašiai, pasikeis tik nelygybės ženklas
. Funkcijos reikšmė taške max(min) vadinama maksimumu (minimumu). Funkcijos maksimumas ir minimumas vadinami ekstremumais.

1. Būtinos ir pakankamos sąlygos ekstremumui

Teorema:(Būtinos sąlygos ekstremumui). Jei taške M
diferencijuojama funkcija Z= f(x; y) turi ekstremumą, tai jos dalinės išvestinės šiame taške lygios nuliui:
,
.

Įrodymas: Fiksavę vieną iš kintamųjų x arba y, Z = f(x; y) transformuojame į vieno kintamojo funkciją, kurios ekstremumui turi būti tenkinamos minėtos sąlygos. Geometrinės lygybės
Ir
reiškia, kad funkcijos Z= f(x; y) ekstremaliame taške paviršiaus liestinė plokštuma, atstovaujanti funkcijai f(x,y)=Z, yra lygiagreti OXY plokštumai, nes liestinės plokštumos lygtis Z = Z 0. Taškas, kuriame funkcijos Z = f (x; y) pirmos eilės dalinės išvestinės yra lygios nuliui, t.y.
,
, vadinami stacionariuoju funkcijos tašku. Funkcija gali turėti ekstremumą taškuose, kuriuose bent viena iš dalinių išvestinių neegzistuoja. PavyzdžiuiZ=|-
| turi max taške O(0,0), bet neturi išvestinių šiame taške.

Vadinami stacionarūs taškai ir taškai, kuriuose nėra bent vienos dalinės išvestinės kritinius taškus. Kritiniuose taškuose funkcija gali turėti arba neturėti ekstremumo. Dalinių išvestinių lygybė nuliui yra būtina, bet nepakankama ekstremumo egzistavimo sąlyga. Pavyzdžiui, kai Z=xy, taškas O(0,0) yra kritinis. Tačiau funkcija Z=xy neturi ekstremumo. (Kadangi I ir III ketvirčiuose Z>0, o II ir IV – Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Teorema: (Pakankama sąlyga ekstremumui). Leiskite stacionariame taške
o tam tikroje kaimynystėje funkcija f(x; y) turi ištisines dalines išvestines iki 2 eilės imtinai. Paskaičiuokime taške
vertybes
,
Ir
. Pažymėkime

Tuo atveju
, ekstremumas taške
tai gali būti arba nebūti. Reikia daugiau tyrimų.

Be jokios abejonės, funkcijos vaizdas mūsų galvose asocijuojasi su lygybe ir atitinkama linija – funkcijos grafiku. Pavyzdžiui, - funkcinė priklausomybė, kurios grafikas yra kvadratinė parabolė, kurios viršūnė yra ištakoje ir šakos nukreiptos į viršų; yra sinuso funkcija, žinoma dėl savo bangų.

Šiuose pavyzdžiuose kairioji lygybės pusė yra y, o dešinė yra išraiška, priklausanti nuo argumento x. Kitaip tariant, turime y lygtį. Funkcinės priklausomybės atvaizdavimas tokios išraiškos forma vadinamas aiškiai nurodant funkciją(arba aiškiai veikti). Ir šis funkcijų priskyrimo tipas mums yra labiausiai žinomas. Daugumoje pavyzdžių ir problemų pateikiamos aiškios funkcijos. Mes jau išsamiai kalbėjome apie vieno kintamojo, aiškiai nurodyto, funkcijų diferenciaciją.

Tačiau funkcija reiškia atitiktį tarp x reikšmių rinkinio ir y reikšmių rinkinio, ir šis atitikimas NEbūtinai nustatomas jokia formule ar analitine išraiška. Tai yra, yra daug būdų, kaip nurodyti funkciją, be įprastos.

Šiame straipsnyje mes apžvelgsime numanomos funkcijos ir jų išvestinių radimo metodai. Netiesiogiai nurodytų funkcijų pavyzdžiai yra arba .

Kaip pastebėjote, numanomą funkciją apibrėžia santykis. Tačiau ne visi tokie ryšiai tarp x ir y apibrėžia funkciją. Pavyzdžiui, jokia realiųjų skaičių pora x ir y netenkina lygybės , todėl šis ryšys neapibrėžia numanomos funkcijos.

Jis gali netiesiogiai nustatyti dydžių x ir y atitikimo dėsnį, o kiekviena argumento x reikšmė gali atitikti vieną (šiuo atveju turime vienos reikšmės funkciją) arba kelias funkcijos reikšmes (šiuo atveju funkcija vadinama daugiareikšme). Pavyzdžiui, reikšmė x = 1 atitinka dvi realias netiesiogiai nurodytos funkcijos reikšmes y = 2 ir y = -2.

Ne visada įmanoma numanomą funkciją perkelti į eksplicitinę formą, kitaip nereikėtų atskirti pačių numanomų funkcijų. Pavyzdžiui, - nėra konvertuojamas į aiškią formą, bet - konvertuojamas.

Dabar prie esmės.

Norint rasti netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę, reikia diferencijuoti abi lygybės puses argumento x atžvilgiu, laikant y kaip x funkciją, ir tada išreikšti.

Išraiškų, turinčių x ir y(x), diferencijavimas atliekamas naudojant diferenciacijos taisykles ir sudėtingos funkcijos išvestinės radimo taisyklę. Iš karto pažvelkime į kelis pavyzdžius išsamiai, kad nekiltų daugiau klausimų.

Pavyzdys.

Atskirkite išraiškas x, laikant y kaip x funkciją.

Sprendimas.

Nes y yra x funkcija, tada ji yra sudėtinga funkcija. Jis paprastai gali būti pavaizduotas kaip f(g(x)), kur f yra kubo funkcija, o g(x) = y. Tada pagal sudėtingos funkcijos išvestinės formulę turime: .

Diferencijuodami antrąją išraišką, iš išvestinio ženklo išimame konstantą ir elgiamės kaip ir ankstesniu atveju (čia f yra sinuso funkcija, g(x) = y):

Trečiajai išraiškai taikome produkto išvestinės formulę:

Nuosekliai taikydami taisykles išskiriame paskutinę išraišką:

Dabar galite pereiti prie netiesiogiai nurodytos funkcijos išvestinės paieškos, nes tam turite visas žinias.

Pavyzdys.

Raskite numanomos funkcijos išvestinę.

Sprendimas.

Netiesiogiai nurodytos funkcijos išvestinė visada vaizduojama kaip išraiška, kurioje yra x ir y: . Norėdami gauti šį rezultatą, išskiriame abi lygybės puses:

Išspręskime gautą lygtį išvestinės atžvilgiu:

Atsakymas:

.

KOMENTARAS.

Norėdami konsoliduoti medžiagą, išspręskime kitą pavyzdį.

Yra žinoma, kad funkcija y= f(x) gali būti nurodyta netiesiogiai naudojant lygtį, jungiančią kintamuosius x ir y:

F(x,y)=0.

Suformuluokime sąlygas, kurioms esant lygtis F(x,y)=0 apibrėžia vieną iš kintamųjų kaip kito funkciją. Tai tiesa

Teorema (netiesioginės funkcijos buvimas) Tegul funkcija F(x,y)=0 atitinka šias sąlygas:

1) yra taškas P˳(x˳,y˳) , kuriame F(x˳,y˳)=0

2) F'y(x˳,y˳)≠ 0

3) funkcijos F’x (x ,y)ir F'y (x ,y) ištisinis tam tikroje taško kaimynystėje

P 0 (x 0 ,y 0).

Tada yra unikali funkcija y =f (x), apibrėžta tam tikrame intervale, kuriame yra taškas, ir tenkinanti lygtį F(x,y)=0 bet kuriam x iš šio intervalo, kad f(x) 0)=y0

Jei y turi numanomą funkciją iš X, tai yra, jis nustatomas pagal lygtį F ( X, adresu) = 0, tada, darant prielaidą, kad adresu yra funkcija nuo X, mes gauname tapatybę F (X, adresu(X)) = 0, kurią galima laikyti pastovia funkcija. Atskirdami šią pastovią funkciją, gauname:

Jei tokiu santykiu, tada galite rasti.

Vėlgi diferencijuodami ryšį (1), gauname:

Santykis (2) gali būti laikomas lygtimi, skirta nustatyti antrąją išvestinę. Vėl diferencijuodami ryšį (2), gauname lygtį trečiajai išvestinei nustatyti ir t.t.

Kryptinė išvestinė. Krypties vektorius dviejų ir trijų kintamųjų atveju (krypties kosinusai). Funkcijos padidėjimas tam tikra kryptimi. Kryptinės išvestinės apibrėžimas, raiška dalinėmis išvestinėmis. Funkcijų gradientas. Gradiento ir lygio linijos santykinė padėtis tam tikrame taške dviejų kintamųjų funkcijai.

Dviejų kintamųjų z=f(x;y) funkcijos I krypties išvestinė z'I vadinama funkcijos didėjimo šia kryptimi santykio su poslinkio ∆I dydžiu, nes pastarasis linkęs. iki 0: z'i=lim∆iz /∆I

Išvestinė z’ I apibūdina funkcijos kitimo greitį i kryptimi.

Jei funkcija z=f(x;y) taške М(x;y) turi ištisines dalines išvestines, tai šiame taške yra išvestinė bet kuria kryptimi, kylanti iš taško М(x;y), kuri apskaičiuojama. pagal formulę z'i =z'xˑcosα+z"yˑcosβ, kur cosα, cosβ yra vektoriaus kryptinės ašys.

Funkcijos z=f(x,y) gradientas yra vektorius, kurio koordinatės f’x, f’y. Žymima z=(f'x,f'y) arba .

Krypties išvestinė yra lygi gradiento ir vieneto vektoriaus, apibrėžiančio I kryptį, skaliarinei sandaugai.

Vektorius z kiekviename taške yra nukreiptas į lygiagrečią liniją, einnčią per šį tašką funkcijos didėjimo kryptimi.

Dalinės išvestinės f’x ir f’y yra funkcijos z=f(x,y) išvestinės išilgai dviejų dalinių Ox ir Oy ašių krypčių.

Tegul z=f(x,y) yra diferencijuojama funkcija tam tikroje srityje D, M(x,y) . Tegu I yra kokia nors kryptis (vektorius, kurio pradžia taške M), ir =(cosα;cosβ).

Judant nurodyta kryptimi I tašką M(x,y) į tašką M1(x+∆x;y+∆y), funkcija z gaus prieaugį ∆iz=f(x+∆x;y+∆y)- f(x;y) vadinamas funkcijos z prieaugiu tam tikra kryptimi I.

Jei MM1=∆I, tai ∆x=∆icosα, ∆y=∆icosβ, vadinasi, ∆iz=f(x+∆icosα; y+∆icosβ)-f(x;y).