Tiesė plokštumoje yra šios plokštumos taškų, turinčių tam tikras savybes, rinkinys, o taškai, kurie nėra tam tikroje tiesėje, šių savybių neturi. Tiesės lygtis apibrėžia analitiškai išreikštą ryšį tarp šioje tiesėje esančių taškų koordinačių. Tegu šį ryšį pateikia lygtis

F( x,y)=0. (2.1)

Skaičių pora, atitinkanti (2.1), nėra savavališka: jei X duota tada adresu negali būti nieko, prasmės adresu susijęs su X. Keičiant X pokyčius adresu, ir taškas su koordinatėmis ( x,y) apibūdina šią eilutę. Jei taško koordinatės M 0 ( X 0 ,adresu 0) tenkinti (2.1) lygtį, t.y. F( X 0 ,adresu 0)=0 yra tikroji lygybė, tada taškas M 0 yra šioje tiesėje. Priešingai irgi tiesa.

Apibrėžimas. Plokštumos tiesės lygtis yra lygtis, kurią tenkina bet kurio taško, esančio šioje tiesėje, koordinatės, o ne tenkina taškų, esančių ne šioje tiesėje, koordinatės..

Jeigu yra žinoma tam tikros tiesės lygtis, tai šios tiesės geometrinių savybių tyrimą galima redukuoti iki jos lygties tyrimo – tai viena iš pagrindinių analitinės geometrijos idėjų. Lygtims tirti yra gerai išvystyti matematinės analizės metodai, kurie supaprastina tiesių savybių tyrimą.

Kalbant apie eilutes, vartojamas terminas dabartinis taškas linija – kintamasis taškas M( x,y) judant šia linija. Koordinatės X Ir adresu dabartinis taškas yra vadinamas dabartinės koordinatės linijos taškai.

Jei iš (2.1) lygties galime išreikšti aiškiai adresu
per X, tai yra parašyti (2.1) lygtį formoje , tada tokia lygtimi apibrėžta kreivė vadinama tvarkaraštį funkcijas f(x).

1. Pateikiama lygtis: , arba . Jeigu X tada paima savavališkas vertes adresu ima lygias vertes X. Vadinasi, šia lygtimi apibrėžtą tiesę sudaro taškai, esantys vienodu atstumu nuo koordinačių ašių Ox ir Oy – tai I–III koordinačių kampų pusiausvyra (tiesė 2.1 pav.).

Lygtis, arba, nustato II–IV koordinačių kampų pusiausvyrą (tiesė 2.1 pav.).

0 x 0 x C 0 x

ryžių. 2.1 pav. 2.2 pav. 2.3

2. Pateikta lygtis: , kur C yra kokia nors konstanta. Šią lygtį galima parašyti skirtingai: . Šią lygtį tenkina tie ir tik tie taškai, ordinatės adresu kurios yra lygios C bet kuriai abscisių reikšmei X. Šie taškai yra tiesėje, lygiagrečioje Ox ašiai (2.2 pav.). Lygiai taip pat lygtis apibrėžia tiesę, lygiagrečią Oy ašiai (2.3 pav.).

Ne kiekviena F() formos lygtis x,y)=0 apibrėžia tiesę plokštumoje: lygtį tenkina vienas taškas – O(0,0), o lygties netenkina joks plokštumos taškas.

Pateiktuose pavyzdžiuose mes naudojome nurodytą lygtį, kad sudarytume tiesę, kurią nustato ši lygtis. Panagrinėkime atvirkštinę problemą: sukurkite jos lygtį naudodami nurodytą tiesę.

3. Sukurkite lygtį apskritimui, kurio centras yra taške P( a, b) Ir
spindulys R .

○ Apskritimas, kurio centras yra taške P ir spindulys R yra taškų, esančių atstumu R nuo taško P, rinkinys. Tai reiškia, kad bet kuriame taške M, esančiame ant apskritimo, MP = R, bet jei taškas M nėra apskritimas, tada MP ≠ R.. ●

Apžvelkime * Kuri lygtis vadinama kvadratine? * Kokios lygtys vadinamos nepilnomis kvadratinėmis lygtimis? * Kuri kvadratinė lygtis vadinama redukuota? * Kas vadinama kvadratinės lygties šaknimi? * Ką reiškia kvadratinės lygties sprendimas? Kuri lygtis vadinama kvadratine? Kokios lygtys vadinamos nepilnomis kvadratinėmis lygtimis? Kuri kvadratinė lygtis vadinama redukuota? Kas yra kvadratinės lygties šaknis? Ką reiškia išspręsti kvadratinę lygtį? Kuri lygtis vadinama kvadratine? Kokios lygtys vadinamos nepilnomis kvadratinėmis lygtimis? Kuri kvadratinė lygtis vadinama redukuota? Kokia yra kvadratinės lygties šaknis? Ką reiškia išspręsti kvadratinę lygtį?

Kvadratinės lygties sprendimo algoritmas: 1. Nustatykite racionaliausią kvadratinės lygties sprendimo būdą 2. Pasirinkite racionaliausią sprendimo būdą 3. Kvadratinės lygties šaknų skaičiaus nustatymas 4. Kvadratinės lygties šaknų radimas Kad būtų geriau įsiminimas, užpildykite lentelę... Kad geriau įsimintų, užpildykite lentelę... Kad geriau įsimintų, užpildykite lentelę...

Papildoma sąlyga Lygtis Šaknys Pavyzdžiai 1. b = c = 0, a 0 ax 2 = 0 x 1 = 0 2. c = 0, a 0, b 0 ax 2 + bx = 0 x 1 = 0, x 2 = -b /a 3. c = 0, a 0, c 0 ax 2 + c = 0 a) x 1.2 = ±(c/a), kur c/a 0. b) jei c/a 0, tai sprendinių nėra 4. a 0 ax 2 + bx + c = 0 x 1,2 =(-b±D)/2 a, kur D = b 2 – 4 ac, D0 5. c – lyginis skaičius (b = 2k), a 0, 0, c 0 х 2 + 2kx + c = 0 x 1,2 =(-b±D)/а, D 1 = k 2 – ac, kur k = 6. Vietos teoremos atvirkštinė teorema x 2 + px + q = 0x 1 + x 2 = - p x 1 x 2 = q

II. Specialieji metodai 7. Dvinalio kvadratavimo metodas. Tikslas: Sumažinti bendrąją lygtį iki nepilnos kvadratinės lygties. Pastaba: metodas taikomas bet kurioms kvadratinėms lygtims, bet ne visada patogus naudoti. Naudojamas kvadratinės lygties šaknų formulei įrodyti. Pavyzdys: išspręskite lygtį x 2 -6 x+8=0 8. Didžiausio koeficiento „perkėlimo“ būdas. Kvadratinių lygčių ax 2 + bx + c = 0 ir y 2 +by+ac=0 šaknys yra susietos ryšiais: ir Pastaba: metodas tinka kvadratinėms lygtims su „patogiais“ koeficientais. Kai kuriais atvejais tai leidžia žodžiu išspręsti kvadratinę lygtį. Pavyzdys: išspręskite lygtį 2 x 2 -9 x-5=0 Remiantis teoremomis: Pavyzdys: išspręskite lygtį 157 x x-177=0 9. Jei kvadratinėje lygtyje a+b+c=0, tai viena iš šaknys yra 1, o antroji, pagal Vietos teoremą, yra lygi c / a 10. Jei kvadratinėje lygtyje a + c = b, tai viena iš šaknų yra lygi -1, o antroji pagal Vietos teorema, lygi –c / a Pavyzdys: išspręskite lygtį 203 x x + 17 = 0 x 1 =y 1 /a, x 2 =y 2 /a

III. Bendrieji lygčių sprendimo metodai 11. Faktorizacijos metodas. Tikslas: Sumažinti bendrąją kvadratinę lygtį į formą A(x)·B(x)=0, kur A(x) ir B(x) yra daugianariai x atžvilgiu. Metodai: Bendrojo faktoriaus išėmimas iš skliaustų; Sutrumpintų daugybos formulių naudojimas; Grupavimo metodas. Pavyzdys: išspręskite lygtį 3 x 2 +2 x-1=0 12. Naujo kintamojo įvedimo būdas. Gerai pasirinkus naują kintamąjį, lygties struktūra tampa skaidresnė Pavyzdys: išspręskite lygtį (x 2 +3 x-25) 2 -6(x 2 +3 x-25) = - 8

Tikslas: Apsvarstykite tiesės plokštumoje sampratą, pateikite pavyzdžių. Remdamiesi tiesės apibrėžimu, pateikite tiesės lygties plokštumoje sąvoką. Apsvarstykite tiesių linijų tipus, pateikite tiesės apibrėžimo pavyzdžių ir metodų. Stiprinti gebėjimą išversti tiesės lygtį iš bendrosios formos į tiesės lygtį „atkarpomis“, su kampiniu koeficientu.

1. Tiesės lygtis plokštumoje.
2. Tiesės lygtis plokštumoje. Lygčių tipai.
3. Tiesios linijos nustatymo metodai.

1. Tegul x ir y yra du savavališki kintamieji.

Apibrėžimas: Vadinamas F(x,y)=0 formos santykis lygtis , jei tai netiesa jokioms skaičių poroms x ir y.

Pavyzdys: 2x + 7y – 1 = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0.

Jei lygybė F(x,y)=0 galioja bet kuriam x, y, tada F(x,y) = 0 yra tapatybė.

Pavyzdys: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0

Jie sako, kad skaičiai x yra 0, o y yra 0 patenkinti lygtį , jei jas pakeičiant į šią lygtį, tai virsta tikra lygybe.

Svarbiausia analitinės geometrijos sąvoka yra tiesės lygties samprata.

Apibrėžimas: Duotos tiesės lygtis yra lygtis F(x,y)=0, kurią tenkina visų šioje tiesėje esančių taškų koordinatės, o ne tenkina nė vieno taško, esančio ne šioje tiesėje, koordinatės.

Tiesė, apibrėžta lygtimi y = f(x), vadinama f(x) grafiku. Kintamieji x ir y vadinami esamomis koordinatėmis, nes jie yra kintamojo taško koordinatės.

Kai kurie pavyzdžių eilučių apibrėžimai.

1) x – y = 0 => x = y. Ši lygtis apibrėžia tiesią liniją:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => taškai turi tenkinti lygtį x - y = 0 arba lygtį x + y = 0, kuri plokštumoje atitinka susikertančių tiesių pora, kurios yra koordinačių kampų pusiausvyros:

3) x 2 + y 2 = 0. Šią lygtį tenkina tik vienas taškas O(0,0).

2. Apibrėžimas: Bet kuri tiesi linija plokštumoje gali būti nurodyta pirmosios eilės lygtimi

Ax + Wu + C = 0,

Be to, konstantos A ir B vienu metu nėra lygios nuliui, t.y. A 2 + B 2 ¹ 0. Ši pirmosios eilės lygtis vadinama bendroji tiesės lygtis.

Atsižvelgiant į konstantų A, B ir C vertes, galimi šie specialūs atvejai:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – tiesė eina per pradžios tašką

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (by + C = 0) – tiesi linija, lygiagreti Ox ašiai

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – tiesi linija, lygiagreti Oy ašiai

B = C = 0, A ¹ 0 – tiesė sutampa su Oy ašimi

A = C = 0, B ¹ 0 – tiesė sutampa su Ox ašimi

Tiesios linijos lygtis gali būti pateikta įvairiomis formomis, priklausomai nuo bet kokių pradinių sąlygų.

Tiesios linijos su kampiniu koeficientu lygtis.

Jei bendroji tiesės Ax + By + C = 0 lygtis sumažinama į formą:

ir pažymėkite , tada gauta lygtis vadinama tiesės su nuolydžiu k lygtis.

Tiesios linijos atkarpose lygtis.

Jei bendrojoje tiesės lygtyje Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, tai dalijant iš –С gauname: arba , kur

Koeficientų geometrinė reikšmė yra ta, kad koeficientas A yra tiesės susikirtimo su Ox ašimi taško koordinatė ir b– tiesės susikirtimo su Oy ašimi taško koordinatė.

Normalioji tiesės lygtis.

Jei abi lygties pusės Ax + By + C = 0 yra padalintos iš vadinamo skaičiaus normalizuojantis veiksnys, tada gauname

xcosj + ysinj - p = 0 – normalioji tiesės lygtis.

Normalizuojančio koeficiento ženklas ± turi būti parinktas taip, kad m×С< 0.

p yra statmens, nukritusio nuo pradžios iki tiesės, ilgis, o j yra šio statmens suformuotas kampas su teigiama Ox ašies kryptimi.

3. Tiesios linijos lygtis naudojant tašką ir nuolydį.

Tegul tiesės kampinis koeficientas lygus k, tiesė eina per tašką M(x 0, y 0). Tada tiesės lygtis randama pagal formulę: y – y 0 = k(x – x 0)

Tiesės, einančios per du taškus, lygtis.

Tegu erdvėje pateikti du taškai M 1 (x 1, y 1, z 1) ir M 2 (x 2, y 2, z 2), tada tiesės, einančios per šiuos taškus, lygtis:

Jei kuris nors iš vardiklių yra lygus nuliui, atitinkamas skaitiklis turi būti lygus nuliui.

Plokštumoje aukščiau parašyta tiesės lygtis yra supaprastinta:

jei x 1 ¹ x 2 ir x = x 1, jei x 1 = x 2.

Vadinama trupmena = k nuolydis tiesioginis.

Tiesė plokštumoje gali būti apibrėžta naudojant dvi lygtis

Kur X Ir y - savavališko taško koordinates M(X; adresu), guli ant šios linijos ir t- kintamasis vadinamas parametras.

Parametras t nustato taško padėtį ( X; adresu) lėktuve.

Taigi, jei

tada parametro reikšmė t= 2 atitinka tašką (4; 1) plokštumoje, nes X = 2 + 2 = 4, y= 2 2 – 3 = 1.

Jei parametras t pasikeičia, tada taškas plokštumoje juda, aprašydamas šią liniją. Šis kreivės apibrėžimo būdas vadinamas parametrinis, ir (1) lygtis – parametrinės tiesės lygtys.

Panagrinėkime gerai žinomų kreivių, nurodytų parametrine forma, pavyzdžius.

1) Astroid:

Kur A> 0 – pastovi reikšmė.

At A= 2 turi tokią formą:

4 pav. Astroid

2) Cikloidas: Kur A> 0 – pastovus.

At A= 2 turi tokią formą:

5 pav. Cikloidas

Vektorinės linijos lygtis

Galima nurodyti liniją plokštumoje vektoriaus lygtis

Kur t– skaliarinio kintamojo parametras.

Kiekviena parametro reikšmė t 0 atitinka tam tikrą plokštumos vektorių. Keičiant parametrą t vektoriaus galas apibūdins tam tikrą tiesę (6 pav.).

Koordinačių sistemos tiesės vektorinė lygtis Oho

atitinka dvi skaliarines lygtis (4), t.y. projekcijų lygtys

tiesės vektorinės lygties koordinačių ašyje yra jos parametrinės lygtys.

6 pav. Vektorinės linijos lygtis

Vektorių lygtis ir parametrinės tiesių lygtys turi mechaninę reikšmę. Jeigu taškas juda plokštuma, vadinasi nurodytos lygtys judesio lygtis, eilutė - trajektorija taškai, parametras t- laiko.

Lygties sprendimas

Grafinio lygties šaknų nustatymo metodo iliustracija

Išspręsti lygtį yra užduotis rasti tokias argumentų vertes, kuriomis pasiekiama ši lygybė. Galimoms argumentų reikšmėms gali būti nustatytos papildomos sąlygos (sveikasis skaičius, tikrasis ir kt.).

Pakeitus kitą šaknį, gaunamas neteisingas teiginys:

.

Taigi antroji šaknis turi būti išmesta kaip pašalinė.

Lygčių tipai

Yra algebrinės, parametrinės, transcendentinės, funkcinės, diferencialinės ir kitokio tipo lygtys.

Kai kurios lygčių klasės turi analitinius sprendimus, kurie yra patogūs, nes suteikia ne tik tikslią šaknies reikšmę, bet ir leidžia parašyti sprendinį formulės forma, kurioje gali būti ir parametrų. Analitinės išraiškos leidžia ne tik apskaičiuoti šaknis, bet ir išanalizuoti jų egzistavimą bei kiekį priklausomai nuo parametrų reikšmių, o tai praktiniam naudojimui dažnai yra net svarbesnė nei konkrečios šaknų reikšmės.

Lygtys, kurių analitiniai sprendimai yra žinomi, apima ne aukštesnes nei ketvirtojo laipsnio algebrines lygtis: tiesinę lygtį, kvadratinę lygtį, kubinę lygtį ir ketvirtojo laipsnio lygtį. Aukštesnių laipsnių algebrinės lygtys bendruoju atveju neturi analitinio sprendimo, nors kai kurias iš jų galima redukuoti į žemesnio laipsnio lygtis.

Lygtis, apimanti transcendentines funkcijas, vadinama transcendentine. Tarp jų yra žinomi kai kurių trigonometrinių lygčių analitiniai sprendimai, nes trigonometrinių funkcijų nuliai yra gerai žinomi.

Bendruoju atveju, kai nepavyksta rasti analitinio sprendimo, naudojami skaitiniai metodai. Skaitiniai metodai nepateikia tikslaus sprendimo, o tik leidžia susiaurinti intervalą, kuriame yra šaknis, iki tam tikros iš anksto nustatytos reikšmės.

Lygčių pavyzdžiai

Taip pat žr

Literatūra

• Bekarevičius, A. B. Lygtys mokykliniame matematikos kurse / A. B. Bekarevičius. - M., 1968 m.
• Markushevich, L. A. Lygtys ir nelygybės baigiant vidurinės mokyklos algebros kurso kartojimą / L. A. Markushevich, R. S. Cherkasov. / Matematika mokykloje. - 2004. - Nr.1.
• Kaplan Y. V. Rivnyannya. - Kijevas: Radjanskos mokykla, 1968 m.
• Lygtis- straipsnis iš Didžiosios sovietinės enciklopedijos
• Lygtys// Collier enciklopedija. – Atvira visuomenė. 2000 m.
• Lygtis// Enciklopedija aplink pasaulį
• Lygtis// Matematinė enciklopedija. - M.: Tarybinė enciklopedija. I. M. Vinogradovas. 1977–1985 m.

Nuorodos

• EqWorld – matematinių lygčių pasaulis – yra daug informacijos apie matematines lygtis ir lygčių sistemas.

Wikimedia fondas.

2010 m.:

Sinonimai:

• Antonimai
• Khadžimba, Raulis Džumkovičius

ES KOMPIUTERIS

Pažiūrėkite, kas yra „lygtis“ kituose žodynuose: LYGTYBĖ Didžioji politechnikos enciklopedija

Pažiūrėkite, kas yra „lygtis“ kituose žodynuose:- LYGTYBĖ, lygtys, žr. 1. Ieškinys pagal Č. išlyginti išlyginti ir sąlygoti pagal sk. išlyginti išlyginti. Lygios teisės. Laiko lygtis (tikro saulės laiko vertimas į vidutinį saulės laiką, priimta visuomenėje ir moksle;... ... Ušakovo aiškinamasis žodynas

Pažiūrėkite, kas yra „lygtis“ kituose žodynuose:- (lygtis) Reikalavimas, kad matematinė išraiška įgytų tam tikrą reikšmę. Pavyzdžiui, kvadratinė lygtis užrašoma taip: ax2+bx+c=0. Sprendimas yra x reikšmė, kuriai esant duotoji lygtis tampa tapatybe. Į…… Ekonomikos žodynas

Pažiūrėkite, kas yra „lygtis“ kituose žodynuose:- matematinis problemos, kaip rasti argumentų, kurių dviejų nurodytų funkcijų reikšmės yra lygios, reikšmių vaizdavimas. Argumentai, nuo kurių priklauso šios funkcijos, vadinami nežinomais, o nežinomųjų reikšmės, kurių funkcijos reikšmės yra lygios... ... Didysis enciklopedinis žodynas

Pažiūrėkite, kas yra „lygtis“ kituose žodynuose:- LYGTYBĖ, dvi lygybės ženklu sujungtos išraiškos; šios išraiškos apima vieną ar daugiau kintamųjų, vadinamų nežinomais. Išspręsti lygtį reiškia surasti visas nežinomųjų reikšmes, kuriose ji tampa tapatybe, arba nustatyti... Šiuolaikinė enciklopedija