Наряду с законом Кулона возможно и другое описание взаимодействия электрических зарядов.

Дальнодействие и близкодействие. Закон Кулона, подобно закону всемирного тяготения, трактует взаимодействие зарядов как «действие на расстоянии», или «дальнодействие». Действительно, кулоновская сила зависит лишь от величины зарядов и от расстояния между ними. Кулон был убежден, что промежуточная среда, т. е. «пустота» между зарядами, никакого участия во взаимодействии не принимает.

Такая точка зрения, несомненно, была навеяна впечатляющими успехами ньютоновской теории тяготения, блестяще подтверждавшейся астрономическими наблюдениями. Однако еще сам Ньютон писал: «Непонятно, каким образом неодушевленная косная материя, без посредства чего-либо иного, что нематериально, могла бы действовать на другое тело без взаимного прикосновения». Тем не менее концепция дальнодействия, основанная на представлении о мгновенном действии одного тела на другое на расстоянии без участия какой-либо промежуточной среды, еще долго доминировала в научном мировоззрении.

Идея поля как материальной среды, посредством которой осуществляется любое взаимодействие пространственно удаленных тел, была введена в физику в 30-е годы XIX века великим английским естествоиспытателем М. Фарадеем, который считал, что «материя присутствует везде, и нет промежуточного пространства, не занятого

ею». Фарадей развил последовательную концепцию электромагнитного поля, основанную на идее конечной скорости распространения взаимодействия. Законченная теория электромагнитного поля, облеченная в строгую математическую форму, была впоследствии развита другим великим английским физиком Дж. Максвеллом.

По современным представлениям электрические заряды наделяют окружающее их пространство особыми физическими свойствами - создают электрическое поле. Основным свойством поля является то, что на находящуюся в этом поле заряженную частицу действует некоторая сила, т. е. взаимодействие электрических зарядов осуществляется посредством создаваемых ими полей. Поле, создаваемое неподвижными зарядами, не изменяется со временем и называется электростатическим. Для изучения поля необходимо найти его физические характеристики. Рассматривают две такие характеристики - силовую и энергетическую.

Напряженность электрического поля. Для экспериментального изучения электрического поля в него нужно поместить пробный заряд. Практически это будет какое-то заряженное тело, которое, во-первых, должно иметь достаточно малые размеры, чтобы можно было судить о свойствах поля в определенной точке пространства, и, во-вторых, его электрический заряд должен быть достаточно малым, чтобы можно было пренебречь влиянием этого заряда на распределение зарядов, создающих изучаемое поле.

На пробный заряд, помещенный в электрическое поле, действует сила, которая зависит как от поля, так и от самого пробного заряда. Эта сила тем больше, чем больше пробный заряд. Измеряя силы, действующие на разные пробные заряды, помещенные в одну и ту же точку, можно убедиться, что отношение силы к пробному заряду уже не зависит от величины заряда. Значит, это отношение характеризует само поле. Силовой характеристикой электрического поля является напряженность Е - векторная величина, равная в каждой точке отношению силы действующей на пробный заряд помещенный в эту точку, к заряду

Другими словами, напряженность поля Е измеряется силой, действующей на единичный положительный пробный заряд. В общем случае напряженность поля разная в разных точках. Поле, в котором напряженность во всех точках одинакова как по модулю, так и по направлению, называется однородным.

Зная напряженность электрического поля, можно найти силу, действующую на любой заряд помещенный в данную точку. В соответствии с (1) выражение для этой силы имеет вид

Как же найти напряженность поля в какой-либо точке?

Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом, можно рассчитать с помощью закона Кулона. Будем рассматривать точечный заряд как источник электрического поля. Этот заряд действует на расположенный на расстоянии от него пробный заряд с силой, модуль которой равен

Поэтому в соответствии с (1), разделив это выражение на получаем модуль Е напряженности поля в точке, где расположен пробный заряд, т. е. на расстоянии от заряда

Таким образом, напряженность поля точечного заряда убывает с расстоянием обратно пропорционально квадрату расстояния или, как говорят, по закону обратных квадратов. Такое поле называют кулоновским. При приближении к создающему поле точечному заряду напряженность поля точечного заряда неограниченно возрастает: из (4) следует, что при

Коэффициент к в формуле (4) зависит от выбора системы единиц. В СГСЭ к = 1, а в СИ . Соответственно формула (4) записывается в одном из двух видов:

Единица напряженности в СГСЭ специального названия не имеет, а в СИ она называется «вольт на метр»

Вследствие изотропности пространства, т. е. эквивалентности всех направлений, электрическое поле уединенного точечного заряда сферически-симметрично. Это обстоятельство проявляется в формуле (4) в том, что модуль напряженности поля зависит только от расстояния до заряда, создающего поле. Вектор напряженности Е имеет радиальное направление: он направлен от создающего поле заряда если это положительный заряд (рис. 6а, а), и к создающему поле заряду если этот заряд отрицательный (рис. 6б).

Выражение для напряженности поля точечного заряда можно записать в векторном виде. Начало координат удобно поместить в точку, где находится заряд, создающий поле. Тогда напряженность поля в любой точке, характеризуемой радиусом-вектором дается выражением

В этом можно убедиться, сопоставив определение (1) вектора напряженности поля с формулой (2) § 1, либо отталкиваясь

непосредственно от формулы (4) и учитывая сформулированные выше соображения о направлении вектора Е.

Принцип суперпозиции. Как найти напряженность электрического поля, создаваемого произвольным распределением зарядов?

Опыт показывает, что электрические поля удовлетворяют принципу суперпозиции. Напряженность поля, создаваемого несколькими зарядами, равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

Принцип суперпозиции фактически означает, что присутствие других электрических зарядов никак не сказывается на поле, создаваемом данным зарядом. Такое свойство, когда отдельные источники действуют независимо и их действия просто складываются, присуще так называемым линейным системам, и само такое свойство физических систем называется линейностью. Происхождение этого названия связано с тем, что такие системы описываются линейными уравнениями (уравнениями первой степени).

Подчеркнем, что справедливость принципа суперпозиции для электрического поля не является логической необходимостью или чем-то само собой разумеющимся. Этот принцип представляет собой обобщение опытных фактов.

Принцип суперпозиции позволяет рассчитать напряженность поля, создаваемого любым распределением неподвижных электрических зарядов. В случае нескольких точечных зарядов рецепт расчета результирующей напряженности очевиден. Любой неточечный заряд можно мысленно разбить на такие малые части, чтобы каждую из них можно было рассматривать как точечный заряд. Напряженность электрического поля в произвольной точке находится как

векторная сумма напряженностей, создаваемых этими «точечными» зарядами. Соответствующие расчеты значительно упрощаются в тех случаях, коща в распределении создающих поле зарядов имеется определенная симметрия.

Линии напряженности. Наглядное графическое изображение электрических полей дают линии напряженности или силовые линии.

Рис. 7. Линии напряженности поля положительного и отрицательного точечных зарядов

Эти линии электрического поля проводятся таким образом, чтобы в каждой точке касательная к линии совпадала по направлению с вектором напряженности в этой точке. Иначе говоря, в любом месте вектор напряженности направлен по касательной к силовой линии, проходящей через эту точку. Силовым линиям приписывают направление: они выходят из положительных зарядов или приходят из бесконечности. Они либо оканчиваются на отрицательных зарядах, либо уходят в бесконечность. На рисунках это направление указывают стрелками на силовой линии.

Силовую линию можно провести через любую точку электрического поля.

Линии проводят гуще в тех местах, где напряженность поля больше, и реже там, где она меньше. Таким образом, густота силовых линий дает представление о модуле напряженности.

Рис. 8. Линии напряженности поля разноименных одинаковых зарядов

На рис. 7 показаны силовые линии поля уединенного положительного и отрицательного точечных зарядов. Из симметрии очевидно, что это радиальные прямые, распределенные с одинаковой густотой по всем направлениям.

Более сложный вид имеет картина линий поля, создаваемого двумя зарядами противоположных знаков. Такое поле, очевидно,

обладает осевой симметрией: вся картина остается неизменной при повороте на любой угол вокруг оси, проходящей через заряды. Когда модули зарядов одинаковы, картина линий также симметрична относительно плоскости, проходящей перпендикулярно соединяющему их отрезку через его середину (рис. 8). В этом случае силовые линии выходят из положительного заряда и все они оканчиваются на отрицательном, хотя на рис. 8 нельзя показать, как замыкаются уходящие далеко от зарядов линии.

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ СМЕЩЕНИЕ

Основные формулы

 Напряженность электрического поля

E =F /Q ,

где F - сила, действующая на точечный положительный заряд Q , помещенный в данную точку поля.

 Сила, действующая на точечный заряд Q , помещенный в электрическое поле,

F =Q E .

Е электрического поля:

а) через произвольную поверхность S , помещенную в неоднородное поле,

Или
,

где  - угол между вектором напряженности Е и нормалью n к элементу поверхности; dS - площадь элемента поверхности; E n - проекция вектора напряженности на нормаль;

б) через плоскую поверхность, помещенную в однородное электрическое поле,

Ф E =Е S cos.

 Поток вектора напряженности Е через замкнутую поверхность

,

где интегрирование ведется по всей поверхности.

 Теорема Остроградского - Гаусса. Поток вектора напряженности Е через любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды Q l , Q 2 , . . ., Q n ,

,

где - алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности; п - число зарядов.

 Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом Q на расстоянии r от заряда,

.

Напряженность электрического поля, создаваемого металлической сферой радиусом R, несущей заряд Q , на расстоянии r от центра сферы:

а) внутри сферы (r<.R)

б) на поверхности сферы (r =R)

;

в) вне сферы (r>R)

.

 Принцип суперпозиции (наложения) электрических полей, согласно которому напряженность Е результирующего поля, созданного двумя (и более) точечными зарядами, равна векторной (геометрической) сумме напряженностей складываемых полей:

Е =E 1 +Е 2 +...+Е n .

В случае двух электрических полей с напряженностями Е 1 и Е 2 модуль вектора напряженности

где  - угол между векторами E 1 и E 2 .

 Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно заряженной нитью (или цилиндром) нарасстоянии r от ее оси,

, где  - линейная плотность заряда.

Линейная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, распределенного по нити, к длине нити (цилиндра):

 Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью,

где  - поверхностная плотность заряда.

Поверхностная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, распределенного по поверхности, к площади этой поверхности:

.

 Напряженность поля, создаваемого двумя параллельными бесконечными равномерно и разноименно заряженными плоскостями, с одинаковой по модулю поверхностной плотностью о заряда (поле плоского конденсатора)

.

Приведенная формула справедлива для вычисления напряженности поля между пластинами плоского конденсатора (в средней части его) только в том случае, если расстояние между пластинами много меньше линейных размеров пластин конденсатора.

 Электрическое смещение D связано с напряженностью E электрического поля соотношением

D = 0 E .

Это соотношение справедливо только дляизотропных диэлектриков.

 Поток вектора электрического смещения выражается аналогично потоку вектора напряженности электрического поля:

а) в случае однородного поля поток сквозь плоскую поверхность

;

б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности

,

где D n - проекция вектора D на направление нормали к элементу поверхности, площадь которой равна dS .

 Теорема Остроградского - Гаусса. Поток вектора электрического смещения сквозь любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды Q 1 ,Q 2 , ...,Q n ,

,

где п -число зарядов (со своим знаком), заключенных внутри замкнутой поверхности.

 Циркуляция вектора напряженности электрического поля есть величина, численно равная работе по перемещению единичного точечного положительного заряда вдоль замкнутого контура. Циркуляция выражается интегралом по замкнутому контуру
, где E l - проекция вектора напряженности Е в данной точке контура на направление касательной к контуру в той же точке.

В случае электростатического поля циркуляция вектора напряженности равна нулю:

.

Примеры решения задач

П
ример 1. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами: Q 1 =30 нКл и Q 2 = –10 нКл. Расстояние d между зарядами равно 20 см. Определить напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии r 1 =15 см от первого и на расстоянии r 2 =10 см от второго зарядов.

Решение. Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность Е электрического поля в искомой точке может быть найдена как векторная сумма напряженностей E 1 и Е 2 полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: E =E 1 +E 2 .

Напряженности электрического поля, создаваемого в вакууме первым и вторым зарядами, соответственно равны

(1)

Вектор E 1 (рис. 14.1) направлен по силовой линии от заряда Q 1 , так как заряд Q 1 >0; вектор Е 2 направлен также по силовой линии, но к заряду Q 2 , так как Q 2 <0.

Модуль вектора Е найдем по теореме косинусов:

где угол  может быть найден из треугольника со сторонами r 1 , r 2 и d:

.

В данном случае во избежание громоздких записей вычислим отдельно значение cos. По этой формуле найдем

Подставляя выражения E 1 и E 2 а по формулам (1) в равенство (2) и вынося общий множитель 1/(4 0 ) за знак корня, получаем

.

Подставив значения величин ,  0 , Q 1 , Q 2 , r 1 -, r 2 и  в последнюю формулу и произведя вычисления, найдем

Пример 2. Электрическое поле создано двумя параллельными бесконечными заряженными плоскостями с поверхностными плотностями заряда  1 =0,4 мкКл/м 2 и  2 =0,1 мкКл/м 2 . Определить напряженность электрического поля, созданного этими заряженными плоскостями.

Р
ешение. Согласно принципу суперпозиции, поля, создаваемые каждой заряженной плоскостью в отдельности, накладываются друг на друга, причем каждая заряженная плоскость создает электрическое поле независимо от присутствия другой заряженной плоскости (рис. 14.2).

Напряженности однородных электрических полей, создаваемых первой и второй плоскостями, соответственно равны:

;
.

Плоскости делят все пространство на три области: I, II и III. Как вид но из рисунка, в первой и третьей областях электрические силовые линии обоих полей направлены в одну сторону и, следовательно, напряженности суммарных полей Е (I) и E (III) в первой и третьей областях равны между собой и равны сумме напряженностей полей, создаваемых первой и второй плоскостями: Е (I) = E (III) =E 1 +E 2 , или

Е (I) = E (III) =
.

Во второй области (между плоскостями) электрические силовые линии полей направлены в противоположные стороны и, следовательно, напряженность поля E (II) равна разности напряженностей полей, создаваемых первой и второй плоскостями: E (II) =|E 1 -E 2 | , или

.

Подставив данные и произведя вычисления, получим

E (I) =E (III) =28,3 кВ/м=17 кВ/м.

Картина распределения силовых линий суммарного поля представлена на рис. 14.3.

Пример 3 . На пластинах плоского воздушного конденсатора находится заряд Q =10 нКл. Площадь S каждой пластины конденсатора равна 100 см 2 Определить силу F, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным.

Решение. Заряд Q одной пластины находится в поле, созданном зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила (рис. 14.4)

F=E 1 Q, (1)

где E 1 - напряженность поля, создаваемого зарядом одной пластины. Но
где  – поверхностная плотность заряда пластины.

Формула (1) с учетом выражения для E 1 примет вид

F =Q 2 /(2 0 S ).

Подставив значения величин Q ,  0 и S в эту формулу и произведя вычисления, получим

F =565 мкН.

Пример 4. Электрическое поле создано, бесконечной плоскостью, заряженной с поверхностной плотностью = 400 нКл/м 2 , и бесконечной прямой нитью, заряженной с линейной плотностью =100 нКл/м. На расстоянии r =10 см от нити находится точечный заряд Q =10 нКл. Определить силу, действующую на заряд, ее направление, если заряд и нить лежат в одной плоскости, параллельной заряженной плоскости.

Решение. Сила, действующая на заряд, помещённый в поле,

F=EQ , (1)

где Е - Q .

Определим напряженность Е поля, создаваемого, по условию задачи, бесконечной заряженной плоскостью и бесконечной заряженной нитью. Поле, создаваемое бесконечной заряженной плоскостью, однородно, и его напряженность в любой точке

. (2)

Поле, создаваемое бесконечной заряженной линией, неоднородно. Его напряженность зависит от расстояния и определяется по формуле

. (3)

Согласно принципу суперпозиции электрических полей, напряженность поля в точке, где находится заряд Q , равна векторной сумме напряженностей E 1 и Е 2 (рис. 14.5): E =E 1 +E 2 . Так как векторы E 1 и Е 2 взаимно перпендикулярны, то

.

Подставляя выражения E 1 и E 2 по формулам (2) и (3) в это равенство, получим

,

или
.

Теперь найдем силу F, действующую на заряд, подставив выражение Е в формулу (1):

. (4)

Подставив значения величин Q ,  0 , , ,  и r в формулу (4) и сделав вычисления, найдем

F =289 мкН.

Направление силы F, действующей на положительный заряд Q , совпадает с направлением вектора напряженности Е поля. Направление же вектора Е задается углом  к заряженной плоскости. Из рис. 14.5 следует, что

, откуда
.

Подставив значения величин , r ,  и  в это выражение и вычислив, получим

Пример 5. Точечный заряд Q =25 нКл находится в ноле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом R= 1 см, равномерно заряженным с поверхностной плотностью =2 мкКл/м 2 . Определить силу, действующую на заряд, помещенный от оси цилиндра на расстоянии r =10 см.

Решение. Сила, действующая на заряд Q , находящийся в поле,

F=QE, (1)

где Е - напряженность поля в точке, в которой находится заряд Q .

Как известно, напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра

E =/(2 0 r ), (2)

где  - линейная плотность заряда.

Выразим линейную плотность  через поверхностную плотность . Для этого выделим элемент цилиндра длиной l и выразим находящийся на нем заряд Q 1 двумя, способами:

Q 1 =  S=  2  Rl и Q 1 =l .

Приравняв правые части этих равенств, получим l =2Rl  . После сокращения на l найдем =2R  . С учетом этого формула (2) примет вид E=R  /( 0 r). Подставив это выражение Е в формулу (1), найдем искомую силу:

F=Q  R/( 0 r). (3)

Так как R и r входят в формулу в виде отношения, то они могут быть выражены в любых, но только одинаковых единицах.

Выполнив вычисления по формуле (3), найдем

F =2510 -9 210 -6 10 -2 /(8,8510 -12 1010 -2)H==56510 -6 H=565мкH.

Направление силы F совпадает с направлением вектора напряженности Е, а последний в силу симметрии (цилиндр бесконечно длинный) направлен перпендикулярно цилиндру.

Пример 6. Электрическое поле создано тонкой бесконечно длинной нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью =30 нКл/м. На расстоянии а =20 см от нити находится плоская круглая площадка радиусом r =1 см. Определить поток вектора напряженности через эту площадку, если плоскость ее составляет угол =30° с линией напряженности, проходящей через середину площадки.

Решение. Поле, создаваемое бесконечно равномерно, заряженной нитью, является неоднородным. Поток вектора напряженности в этом случае выражается интегралом

, (1)

где E n - проекция вектора Е на нормаль n к поверхности площадки dS. Интегрирование выполняется по всей поверхности площадки, которую пронизывают линии напряженности.

П
роекция Е п вектора напряженности равна, как видно из рис. 14.6,

Е п =Е cos,

где  - угол между направлением вектора и нормалью n . С учетом этого формула (1) примет вид

.

Так как размеры поверхности площадки малы по сравнению с расстоянием до нити (r<Е очень мало. меняется по модулю и направлению в пределах площадки, что позволяет заменить под знаком интеграла значения Е и cos их средними значениями <E > и и вынести их за знак интеграла:

Выполняя интегрирование и заменяя <E > и их приближенными значениями Е A и cos A , вычисленными для средней точки площадки, получим

Ф E =Е A cos A S =r 2 Е A cos A . (2)

Напряженность Е A вычисляется по формуле E A =/(2 0 a) . Из

рис. 14.6 следует cos A =cos(/2-  )=sin.

С учетом выражения Е A и cos A равенство (2.) примет вид

.

Подставив в последнюю формулу данные и произведя вычисления, найдем

Ф E =424 мВ.м.

Пример 7 . Две концентрические проводящие сферы радиусами R 1 =6 см и R 2 = 10 см несут соответственно заряды Q 1 =l нКл и Q 2 = –0,5 нКл. Найти напряженность Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r 1 =5 см, r 2 =9 см r 3 =15см. Построить график Е(r ).

Р
ешение. Заметим, что точки, в которых требуется найти напряженности электрического поля, лежат в трех областях (рис. 14.7): область I (r <R 1 ), область II (R 1 <r 2 <R 2 ), область III (r 3 >R 2 ).

1. Для определения напряженности E 1 в области I проведем сферическую поверхность S 1 радиусом r 1 и воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса. Так как внутри области I зарядов нет, то согласно указанной теореме получим равенство

, (1)

где E n - нормальная составляющая напряженности электрического поля.

Из соображений симметрии нормальная составляющая E n должна быть равна самой напряженности и постоянна для всех точек сферы, т. е. En=E 1 = const. Поэтому ее можно вынести за знак интеграла. Равенство (1) примет вид

.

Так как площадь сферы не равна нулю, то

E 1 =0,

т. е. напряженность поля во всех точках, удовлетворяющих условию r 1 <.R 1 , будет равна нулю.

2. В области II сферическую поверхность проведем радиусом r 2 . Так как внутри этой поверхности находится, заряд Q 1 ,тодля нее, согласно теореме Остроградского-Гаусса,можно записать равенство

. (2)

Так как E n =E 2 =const, то из условий симметрии следует

, или ES 2 =Q 1 / 0 ,

E 2 =Q 1 /( 0 S 2 ).

Подставив сюда выражение площади сферы, получим

E 2 =Q /(4
). (3)

3. В области III сферическую поверхность проведем радиусом r 3 . Эта поверхность охватывает суммарный заряд Q 1 +Q 2 . Следовательно, для нее уравнение, записанное на основетеоремыОстроградского - Гаусса, будет иметь вид

.

Отсюда, использовав положения, примененные в первых двух случаях, найдем

Убедимся в том, что правые части равенств (3) и (4) дают единицу напряженности электрического поля;

Выразим все величины в единицах СИ (Q 1 =10 -9 Кл, Q 2 = –0,510 -9 Кл, r 1 =0,09 м, r 2 =15м, l/(4 0 )=910 9 м/Ф) и произведем вычисления:

4. Построим график E (r ).В области I (r 1 1 ) напряженность E =0. В области II (R 1 r<.R 2 ) напряженность E 2 (r ) изменяется по закону l/r 2 . В точке r=R 1 напряженность E 2 (R 1 )=Q 1 /(4 0 R)=2500 В/м.В точке r=R 1 (r стремится к R 1 слева) E 2 (R 2 )=Q 1 /(4 0 R)=900В/м. В области III (r >R 2 )E 3 (r ) изменяется по закону 1/r 2 , причем в точке r=R 2 (r стремится к R 2 справа) Е 3 (R 2 ) =(Q 1 –|Q 2 |)/(4 0 R)=450 В/м. Таким образом, функция Е (r ) в точках r =R 1 и r=R 2 терпит разрыв. График зависимости Е(r ) представлен на рис. 14.8.

Задачи

Напряженность поля точечных зарядов

14.1. Определить напряженность Е электрического поля, создаваемого точечным зарядом Q =10 нКл на расстоянии r =10 см от него. Диэлектрик - масло.

14.2. Расстояние d между двумя точечными зарядами Q 1 =+8 нКл и Q 2 = –5,3 нКл равно 40 см. Вычислить напряженность Е поля в точке, лежащей посередине между зарядами. Чему равна напряженность, если второй заряд будет положительным?

14.3. Q 1 =10 нКл и Q 2 = –20 нКл, находящимися на расстоянии d =20 см друг от друга. Определить напряженность E поля в точке, удаленной от первого заряда на r 1 =30 см и от второго на r 2 =50 см.

14.4. Расстояние d между двумя точечными положительными зарядами Q 1 =9Q и Q 2 =Q равно 8 см. На каком расстоянии г от первого заряда находится точка, в которой напряженность Е поля зарядов равна нулю? Где находилась бы эта точка, если бы второй заряд был отрицательным?

14.5. Два точечных заряда Q 1 =2Q и Q 2 = –Q находятся на расстоянии d друг от друга. Найти положение точки на прямой, проходящей через эти заряды, напряженность Е поля в которой равна нулю,

14.6. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами Q 1 =40 нКл и Q 2 = –10 нКл, находящимися на расстоянии d =10 см друг от друга. Определить напряженность Е поля в точке, удаленной от первого заряда на r 1 =12 см и от второго на r 2 =6 см.

Напряженность поля заряда, распределенного по кольцу и сфере

14.7. Тонкое кольцо радиусом R =8 см несет заряд, равномерно распределенный с линейной плотностью =10 нКл/м. Какова напряженность Е электрического поля в точке, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r =10 см?

14.8. Полусфера несет заряд, равномерно распределенный с поверхностной плотностью =1,нКл/м 2 . Найти напряженность Е электрического поля в геометрическом центре полусферы.

14.9. На металлической сфере радиусом R =10 см находится заряд Q =l нКл. Определить напряженность Е электрического поля в следующих точках: 1) на расстоянии r 1 =8 см от центра сферы; 2) на ее поверхности; 3) на расстоянии r 2 =15 см от центра сферы. Построить график зависимости E от r .

14.10. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусами R 1 =6cм и R 2 =10 см несут соответственно заряды Q 1 =1 нКл и Q 2 = – 0,5 нКл. Найти напряженности Е поля в точках. отстоящих от центра сфер на расстояниях r 1 =5 см, r 2 =9 см, r 3 =15 см. Построить график зависимости Е(r ).

Напряженность поля заряженной линии

14.11. Очень длинная тонкая прямая проволока несет заряд, равномерно распределенный по всей ее длине. Вычислить линейную плотность  заряда, если напряженность E поля на расстоянии а =0,5 м от проволоки против ее середины равна 200 В/м.

14.12. Расстояние d между двумя длинными тонкими проволоками, расположенными параллельно друг другу, равно 16 см. Проволоки равномерно заряжены разноименными зарядами с линейной плотностью ||=^150. мкКл/м. Какова напряженность Е поля в точке, удаленной на r =10 см как от первой, так и от второй проволоки?

14.13. Прямой металлический стержень диаметром d =5 см и длиной l =4 м несет равномерно распределенный по его поверхности заряд Q =500 нКл. Определить напряженность Е поля в точке, находящейся против середины стержня на расстоянии а =1 см от его поверхности.

14.14. Бесконечно длинная тонкостенная металлическая трубка радиусом R =2 см несет равномерно распределенный по поверхности заряд (=1 нКл/м 2). Определить напряженность Е поля в точках, отстоящих от оси трубки на расстояниях r 1 =l см, r 2 =3 см. Построить график зависимости Е(r ).

Цель урока: дать понятие напряжённости электрического поля и ее определения в любой точке поля.

Задачи урока:

• формирование понятия напряжённости электрического поля; дать понятие о линиях напряжённости и графическое представление электрического поля;
• научить учащихся применять формулу E=kq/r 2 в решении несложных задач на расчёт напряжённости.

Электрическое поле – это особая форма материи, о существовании которой можно судить только по ее действию. Экспериментально доказано, что существуют два рода зарядов, вокруг которых существуют электрические поля, характеризующиеся силовыми линиями.

Графически изображая поле, следует помнить, что линии напряженности электрического поля:

1. нигде не пересекаются друг с другом;
2. имеют начало на положительном заряде (или в бесконечности) и конец на отрицательном (или в бесконечности), т. е. являются незамкнутыми линиями;
3. между зарядами нигде не прерываются.

Рис.1

Силовые линии положительного заряда:

Рис.2

Силовые линии отрицательного заряда:

Рис.3

Силовые линии одноименных взаимодействующих зарядов:

Рис.4

Силовые линии разноименных взаимодействующих зарядов:

Рис.5

Силовой характеристикой электрического поля является напряженность, которая обозначается буквой Е и имеет единицы измерения или . Напряженность является векторной величиной, так как определяется отношением силы Кулона к величине единичного положительного заряда

В результате преобразования формулы закона Кулона и формулы напряженности имеем зависимость напряженности поля от расстояния, на котором она определяется относительно данного заряда

где: k – коэффициент пропорциональности, значение которого зависит от выбора единиц электрического заряда.

В системе СИ Н·м 2 /Кл 2 ,

где ε 0 – электрическая постоянная, равная 8,85·10 -12 Кл 2 /Н·м 2 ;

q – электрический заряд (Кл);

r – расстояние от заряда до точки в которой определяется напряженность.

Направление вектора напряженности совпадает с направлением силы Кулона.

Электрическое поле, напряженность которого одинакова во всех точках пространства, называется однородным. В ограниченной области пространства электрическое поле можно считать приблизительно однородным, если напряженность поля внутри этой области меняется незначительно.

Общая напряженность поля нескольких взаимодействующих зарядов будет равна геометрической сумме векторов напряженности, в чем и заключается принцип суперпозиции полей:

Рассмотрим несколько случаев определения напряженности.

1. Пусть взаимодействуют два разноименных заряда. Поместим точечный положительный заряд между ними, тогда в данной точке будут действовать два вектора напряженности, направленные в одну сторону:

Согласно принципу суперпозиции полей общая напряженность поля в данной точке равна геометрической сумме векторов напряженности Е 31 и Е 32 .

Напряженность в данной точке определяется по формуле:

Е = kq 1 /x 2 + kq 2 /(r – x) 2

где: r – расстояние между первым и вторым зарядом;

х – расстояние между первым и точечным зарядом.

Рис.6

2. Рассмотрим случай, когда необходимо найти напряженность в точке удаленной на расстояние а от второго заряда. Если учесть, что поле первого заряда больше, чем поле второго заряда, то напряженность в данной точке поля равна геометрической разности напряженности Е 31 и Е 32 .

Формула напряженности в данной точке равна:

Е = kq1/(r + a) 2 – kq 2 /a 2

Где: r – расстояние между взаимодействующими зарядами;

а – расстояние между вторым и точечным зарядом.

Рис.7

3. Рассмотрим пример, когда необходимо определить напряженность поля в некоторой удаленности и от первого и от второго заряда, в данном случае на расстоянии r от первого и на расстоянии bот второго заряда. Так как одноименные заряды отталкиваются, а разноименные притягиваются, имеем два вектора напряженности исходящие из одной точки, то для их сложения можно применить метод противоположному углу параллелограмма будет являться суммарным вектором напряженности. Алгебраическую сумму векторов находим из теоремы Пифагора:

Е = (Е 31 2 +Е 32 2) 1/2

Следовательно:

Е = ((kq 1 /r 2) 2 + (kq 2 /b 2) 2) 1/2

Рис.8

Исходя из данной работы, следует, что напряженность в любой точке поля можно определить, зная величины взаимодействующих зарядов, расстояние от каждого заряда до данной точки и электрическую постоянную.

4. Закрепление темы.

Проверочная работа.

Вариант № 1.

1. Продолжить фразу: “электростатика – это …

2. Продолжить фразу: электрическое поле – это ….

3. Как направлены силовые линии напряженности данного заряда?

4. Определить знаки зарядов:

Задачи на дом:

1. Два заряда q 1 = +3·10 -7 Кл и q 2 = −2·10 -7 Кл находятся в вакууме на расстоянии 0,2 м друг от друга. Определите напряженность поля в точке С, расположенной на линии, соединяющей заряды, на расстоянии 0,05 м вправо от заряда q 2 .

2. В некоторой точке поля на заряд 5·10 -9 Кл действует сила 3·10 -4 Н. Найти напряженность поля в этой точке и определите величину заряда, создающего поле, если точка удалена от него на 0,1 м.

Закон Кулона:

где F – сила взаимодействия двух точечных зарядов q 1 и q 2 ; r – расстояние между зарядами;  - диэлектрическая проницаемость среды;  0 - электрическая постоянная

.

Закон сохранения заряда:

,

где – алгебраическая сумма зарядов, входящих в изолированную систему;n – число зарядов.

Напряженность и потенциал электростатического поля:

;
, или
,

где – сила, действующая на точечный положительный зарядq 0 , помещенный в данную точку поля; П – потенциальная энергия заряда; А ∞ - работа, затраченная на перемещение заряда q 0 из данной точки поля в бесконечность.

Поток вектора напряженности электрического поля:

а) через произвольную поверхность S, помещенную в неоднородное поле:

, или
,

где  – угол между вектором напряженности и нормальюк элементу поверхности;dS – площадь элемента поверхности; E n – проекция вектора напряженности на нормаль;

б) через плоскую поверхность, помещенную в однородное электрическое поле:

.

Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность –

(интегрирование ведется по всей поверхности).

Теорема Остроградского-Гаусса. Поток вектора напряженностичерез любую замкнутую поверхность, охватывающую зарядыq1,q2, …,qn, –

,

где – алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности; n – число зарядов.

Напряженность электростатического поля, создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r от заряда, –

.

Напряженность электрического поля, создаваемого сферой, имеющей радиус R и несущей заряд q, на расстоянии r от центра сферы такова:

внутри сферы (r R) Е=0;

на поверхности сферы (r=R)
;

вне сферы (r  R)
.

Принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей, согласно которому напряженность результирующего поля, созданного двумя (и более) точечными зарядами, равна векторной (геометрической) сумме напряженностей складываемых полей, выражается формулой

В случае двух электрических полей с напряженностями иабсолютное значение вектора напряженности составляет

где  - угол между векторами и.

Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной и равномерно заряженной нитью (или цилиндром) на расстоянии r от ее оси, –

,

где  - линейная плотность заряда.

Линейная плотность заряда есть величина, равная его отношению к длине нити (цилиндра):

.

Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью, –

,

где  - поверхностная плотность заряда.

Поверхностная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, распределенного по поверхности, к ее площади:

.

Напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными и параллельными плоскостями, заряженными равномерно и разноименно, с одинаковой по абсолютному значению поверхностной плотностью заряда (поле плоского конденсатора) –

.

Приведенная формула справедлива при вычислении напряженности поля между пластинами плоского конденсатора (в его средней части) только в том случае, если расстояние между пластинами намного меньше линейных размеров пластин конденсатора.

Электрическое смещение связано с напряженностьюэлектрического поля соотношением

,

которое справедливо только для изотропных диэлектриков.

Потенциал электрического поля есть величина, равная отношению потенциальной энергии и точечного положительного заряда, помещенного в данную точку поля:

.

Иначе говоря, потенциал электрического поля есть величина, равная отношению работы сил поля по перемещению точечного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность к величине этого заряда:

.

Потенциал электрического поля в бесконечности условно принят равным нулю.

Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом q на

расстоянии r от заряда, –

.

Потенциал электрического поля, создаваемый металлической сферой, имеющей радиус R и несущей заряд q, на расстоянии r от центра сферы таков:

внутри сферы (r  R)
;

на поверхности сферы (r = R)
;

вне сферы (r  R)
.

Во всех формулах, приведенных для потенциала заряженной сферы,  есть диэлектрическая проницаемость однородного безграничного диэлектрика, окружающего сферу.

Потенциал электрического поля, образуемого системой n точечных зарядов в данной точке в соответствии с принципом суперпозиции электрических полей, равен алгебраической сумме потенциалов
, создаваемых отдельными точечными зарядами
:

.

Энергия W взаимодействия системы точечных зарядов
определяется работой, которую эта система может совершить при удалении их относительно друг друга в бесконечность, и выражается формулой

,

где - потенциал поля, создаваемый всеми (n-1) зарядами (за исключением i-го) в точке, где находится заряд .

Потенциал связан с напряженностью электрического поля соотношением

.

В случае электрического поля, обладающего сферической симметрией, эта связь выражается формулой

,

или в скалярной форме

.

В случае однородного поля, т.е. поля, напряженность которого в каждой его точке одинакова как по абсолютному значению, так и по направлению, –

,

где  1 и  2 – потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей; d - расстояние между этими поверхностями вдоль электрической силовой линии.

Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда q из одной точки поля, имеющей потенциал  1 , в другую, имеющую потенциал  2 , равна

, или
,

где E – проекция вектора на направление перемещения;
- перемещение.

В случае однородного поля последняя формула принимает вид

,

где – перемещение; - угол между направлениями вектора и перемеще-ния.

Диполь есть система двух точечных (равных по абсолютному значению и противоположных по знаку) зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга.

Электрический момент диполя есть вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному, равный произведению зарядана вектор, проведенный от отрицательного заряда к положительному, и называемый плечом диполя, т.е.

.

Диполь называется точечным, если его плечо намного меньше расстоянияr от центра диполя до точки, в которой нас интересует действие диполя ( r), см. рис. 1.

Напряженность поля точечного диполя:

,

где р – электрический момент диполя; r – абсолютное значение радиус-вектора, проведенного от центра диполя к точке, напряженность поля в которой нас интересует;  - угол между радиус-вектором и плечомдиполя.

Напряженность поля точечного диполя в точке, лежащей на оси диполя

(=0), находится по формуле

;

в точке, лежащей на перпендикуляре к плечу диполя, восстановленном из его середины
, – по формуле

.

Потенциал поля точечного диполя в точке, лежащей на оси диполя (=0), составляет

,

а в точке, лежащей на перпендикуляре к плечу диполя, восстановленном из его середины
, –

Напряженность и потенциал неточечного диполя определяются так же как и для системы зарядов.

Механический момент, действующий на диполь с электрическим моментом р, помещенный в однородное электрическое поле с напряженностью Е, –

, или
,

где  - угол между направлениями векторов и.

Электроемкость уединенного проводника или конденсатора –

,

где q – заряд, сообщенный проводнику; - изменение потенциала, вызванное этим зарядом.

Электроемкость уединенной проводящей сферы радиусом R, находящейся в бесконечной среде с диэлектрической проницаемостью , –

.

Если сфера полая и заполнена диэлектриком, то ее электроемкость при этом не изменяется.

Электроемкость плоского конденсатора:

,

где S – площадь каждой пластины конденсатора; d – расстояние между пластинами;  - диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами.

Электроемкость плоского конденсатора, заполненного n слоями диэлектрика толщиной d i и диэлектрической проницаемостью  i каждый (слоистый конденсатор), составляет

.

Электроемкость сферического конденсатора (две концентрические сферы радиусом R 1 и R 2 , пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ) находится так:

.

Электроемкость последовательно соединенных конденсаторов составляет:

в общем случае –

,

где n – число конденсаторов;

в случае двух конденсаторов –

;

.

Электроемкость параллельно соединенных конденсаторов определяется следующим образом:

в общем случае –

С=С 1 +С 2 +…+С n ;

в случае двух конденсаторов –

С= С 1 +С 2 ;

в случае n одинаковых конденсаторов с электроемкостью С 1 каждый –

Энергия заряженного проводника выражается через заряд q, потенциал  и электроемкость С проводника следующим образом:

.

Энергия заряженного конденсатора –

,

где q – заряд конденсатора; С – электроемкость конденсатора; U – разность потенциалов на его пластинах.

Цель урока: дать понятие напряжённости электрического поля и ее определения в любой точке поля.

Задачи урока:

• формирование понятия напряжённости электрического поля; дать понятие о линиях напряжённости и графическое представление электрического поля;
• научить учащихся применять формулу E=kq/r 2 в решении несложных задач на расчёт напряжённости.

Электрическое поле – это особая форма материи, о существовании которой можно судить только по ее действию. Экспериментально доказано, что существуют два рода зарядов, вокруг которых существуют электрические поля, характеризующиеся силовыми линиями.

Графически изображая поле, следует помнить, что линии напряженности электрического поля:

1. нигде не пересекаются друг с другом;
2. имеют начало на положительном заряде (или в бесконечности) и конец на отрицательном (или в бесконечности), т. е. являются незамкнутыми линиями;
3. между зарядами нигде не прерываются.

Рис.1

Силовые линии положительного заряда:

Рис.2

Силовые линии отрицательного заряда:

Рис.3

Силовые линии одноименных взаимодействующих зарядов:

Рис.4

Силовые линии разноименных взаимодействующих зарядов:

Рис.5

Силовой характеристикой электрического поля является напряженность, которая обозначается буквой Е и имеет единицы измерения или . Напряженность является векторной величиной, так как определяется отношением силы Кулона к величине единичного положительного заряда

В результате преобразования формулы закона Кулона и формулы напряженности имеем зависимость напряженности поля от расстояния, на котором она определяется относительно данного заряда

где: k – коэффициент пропорциональности, значение которого зависит от выбора единиц электрического заряда.

В системе СИ Н·м 2 /Кл 2 ,

где ε 0 – электрическая постоянная, равная 8,85·10 -12 Кл 2 /Н·м 2 ;

q – электрический заряд (Кл);

r – расстояние от заряда до точки в которой определяется напряженность.

Направление вектора напряженности совпадает с направлением силы Кулона.

Электрическое поле, напряженность которого одинакова во всех точках пространства, называется однородным. В ограниченной области пространства электрическое поле можно считать приблизительно однородным, если напряженность поля внутри этой области меняется незначительно.

Общая напряженность поля нескольких взаимодействующих зарядов будет равна геометрической сумме векторов напряженности, в чем и заключается принцип суперпозиции полей:

Рассмотрим несколько случаев определения напряженности.

1. Пусть взаимодействуют два разноименных заряда. Поместим точечный положительный заряд между ними, тогда в данной точке будут действовать два вектора напряженности, направленные в одну сторону:

Согласно принципу суперпозиции полей общая напряженность поля в данной точке равна геометрической сумме векторов напряженности Е 31 и Е 32 .

Напряженность в данной точке определяется по формуле:

Е = kq 1 /x 2 + kq 2 /(r – x) 2

где: r – расстояние между первым и вторым зарядом;

х – расстояние между первым и точечным зарядом.

Рис.6

2. Рассмотрим случай, когда необходимо найти напряженность в точке удаленной на расстояние а от второго заряда. Если учесть, что поле первого заряда больше, чем поле второго заряда, то напряженность в данной точке поля равна геометрической разности напряженности Е 31 и Е 32 .

Формула напряженности в данной точке равна:

Е = kq1/(r + a) 2 – kq 2 /a 2

Где: r – расстояние между взаимодействующими зарядами;

а – расстояние между вторым и точечным зарядом.

Рис.7

3. Рассмотрим пример, когда необходимо определить напряженность поля в некоторой удаленности и от первого и от второго заряда, в данном случае на расстоянии r от первого и на расстоянии bот второго заряда. Так как одноименные заряды отталкиваются, а разноименные притягиваются, имеем два вектора напряженности исходящие из одной точки, то для их сложения можно применить метод противоположному углу параллелограмма будет являться суммарным вектором напряженности. Алгебраическую сумму векторов находим из теоремы Пифагора:

Е = (Е 31 2 +Е 32 2) 1/2

Следовательно:

Е = ((kq 1 /r 2) 2 + (kq 2 /b 2) 2) 1/2

Рис.8

Исходя из данной работы, следует, что напряженность в любой точке поля можно определить, зная величины взаимодействующих зарядов, расстояние от каждого заряда до данной точки и электрическую постоянную.

4. Закрепление темы.

Проверочная работа.

Вариант № 1.

1. Продолжить фразу: “электростатика – это …

2. Продолжить фразу: электрическое поле – это ….

3. Как направлены силовые линии напряженности данного заряда?

4. Определить знаки зарядов:

Задачи на дом:

1. Два заряда q 1 = +3·10 -7 Кл и q 2 = −2·10 -7 Кл находятся в вакууме на расстоянии 0,2 м друг от друга. Определите напряженность поля в точке С, расположенной на линии, соединяющей заряды, на расстоянии 0,05 м вправо от заряда q 2 .

2. В некоторой точке поля на заряд 5·10 -9 Кл действует сила 3·10 -4 Н. Найти напряженность поля в этой точке и определите величину заряда, создающего поле, если точка удалена от него на 0,1 м.