Графикот на функции е визуелна претстава на однесувањето на функцијата на координатна рамнина. Графиконите ви помагаат да разберете различни аспекти на функцијата што не може да се одредат од самата функција. Можете да изградите графикони на многу функции и на секоја од нив ќе и биде дадена одредена формула. Графикот на која било функција е изграден со помош на специфичен алгоритам (во случај да сте го заборавиле точниот процес на графика на одредена функција).

Чекори

Графикување на линеарна функција

Определи дали функцијата е линеарна.Линеарната функција е дадена со формула на формата F (x) = k x + b (\приказ на стил F(x)=kx+b)или y = k x + b (\стил на приказ y=kx+b)(на пример, ), а неговиот график е права линија. Така, формулата вклучува една променлива и една константа (константа) без никакви експоненти, коренски знаци или слично. Ако е дадена функција од сличен тип, прилично е едноставно да се нацрта график на таква функција. Еве други примери на линеарни функции:

Користете константа за да означите точка на оската Y.Константата (б) е „y“ координатата на точката каде што графикот ја пресекува оската Y што значи, таа е точка чијашто „x“ координата е еднаква на 0. Така, ако x = 0 се замени во формулата. , тогаш y = b (константа). Во нашиот пример y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)константата е еднаква на 5, односно точката на пресек со оската Y има координати (0,5). Исцртај ја оваа точка на координатната рамнина.

Најдете го наклонот на линијата.Тоа е еднакво на множителот на променливата. Во нашиот пример y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)кај променливата „x“ има фактор 2; така, коефициентот на наклон е еднаков на 2. Коефициентот на наклон го одредува аголот на наклонетост на правата линија кон оската X, односно колку е поголем коефициентот на наклон, толку побрзо функцијата се зголемува или намалува.

Напишете го наклонот како дропка.Аголниот коефициент е еднаков на тангентата на аголот на наклон, односно односот на вертикалното растојание (помеѓу две точки на права линија) до хоризонталното растојание (помеѓу истите точки). Во нашиот пример, наклонот е 2, така што можеме да кажеме дека вертикалното растојание е 2, а хоризонталното растојание е 1. Напишете го ова како дропка: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Ако наклонот е негативен, функцијата се намалува.

1. Од точката каде што правата линија ја пресекува оската Y, нацртајте втора точка користејќи вертикални и хоризонтални растојанија. Распоредможе да се конструира од две точки. Во нашиот пример, пресечната точка со оската Y има координати (0,5); Од оваа точка, поместете 2 празни места нагоре, а потоа 1 празно надесно. Означете точка; ќе има координати (1,7). Сега можете да нацртате права линија.

   Со помош на линијар, повлечете права линија низ две точки.За да избегнете грешки, пронајдете ја третата точка, но во повеќето случаи графикот може да се нацрта користејќи две точки. Така, имате нацртано линеарна функција.

   Точки за исцртување на координатната рамнина

   1. Дефинирајте функција.Функцијата се означува како f(x). Сите можни вредностипроменливата „y“ се нарекува домен на функцијата, а сите можни вредности на променливата „x“ се нарекуваат домен на функцијата. На пример, земете ја функцијата y = x+2, имено f(x) = x+2.

      Нацртајте две пресечни нормални линии.Хоризонталната линија е оската X Вертикалната линија е оската Y.

      Обележете ги координатните оски.Секоја оска поделете ја на еднакви отсечки и нумерирајте ги. Пресечната точка на оските е 0. За оската X: надесно (од 0) се нацртани позитивни бројки, а лево се негативни. За оската Y: позитивните броеви се нацртани горе (од 0), а негативните на дното.

      Најдете ги вредностите на „y“ од вредностите на „x“.Во нашиот пример, f(x) = x+2. Заменете специфични x вредности во оваа формула за да ги пресметате соодветните y вредности. Ако е дадена сложена функција, поедноставете ја со изолирање на „y“ на едната страна од равенката.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Исцртај ги точките на координатната рамнина.За секој пар координати, направете го следново: пронајдете ја соодветната вредност на оската X и нацртајте вертикална линија (точка); најдете ја соодветната вредност на оската Y и нацртајте хоризонтална линија (испрекината линија). Обележете ја пресечната точка на двете точки; на тој начин, имате исцртано точка на графикот.

      Избришете ги линиите со точки.Направете го ова откако ќе ги нацртате сите точки на графиконот на координатната рамнина. Забелешка: графикот на функцијата f(x) = x е права линија што минува низ координатниот центар [точка со координати (0,0)]; графикот f(x) = x + 2 е права паралелна на правата f(x) = x, но поместена нагоре за две единици и затоа поминува низ точката со координати (0,2) (бидејќи константата е 2) .

   График на сложена функција

   Најдете ги нулите на функцијата.Нулите на функцијата се вредностите на променливата x каде што y = 0, односно тоа се точките каде што графикот ја пресекува оската Х, имајте на ум дека не сите функции имаат нули, но тие се првите чекор во процесот на графика на која било функција. За да ги најдете нулите на функцијата, изедначете ја со нула. На пример:

   Најдете и обележете ги хоризонталните асимптоти.Асимптота е права на која графикот на функцијата се приближува, но никогаш не ја пресекува (односно, во овој регион функцијата не е дефинирана, на пример, кога се дели со 0). Обележете ја асимптотата со испрекината линија. Ако променливата „x“ е во именителот на дропка (на пример, y = 1 4 − x 2 (\приказ стил y=(\frac (1)(4-x^(2))))), поставете го именителот на нула и пронајдете „x“. Во добиените вредности на променливата „x“ функцијата не е дефинирана (во нашиот пример, нацртајте точки со точки преку x = 2 и x = -2), бидејќи не можете да делите со 0. Но, асимптоти постојат не само во случаи кога функцијата содржи фракционо изразување. Затоа, се препорачува да се користи здрав разум:

Изградба на функција

Ви нудиме услуга за конструирање функционални графикони преку Интернет, на кои сите права припаѓаат на компанијата Десмос. Користете ја левата колона за да внесете функции. Можете да внесете рачно или со помош на виртуелната тастатура на дното на прозорецот. За да го зголемите прозорецот со графиконот, можете да ги скриете и левата колона и виртуелната тастатура.

Придобивките од онлајн графиконите

• Визуелен приказ на внесените функции
• Изградба на многу сложени графикони
• Конструкција на графикони специфицирани имплицитно (на пример, елипса x^2/9+y^2/16=1)
• Можност за зачувување на графикони и примање врска до нив, која станува достапна за сите на Интернет
• Контрола на размер, боја на линијата
• Можност за исцртување на графикони по точки, со користење на константи
• Исцртување на неколку графикони на функции истовремено
• Зацртување во поларни координати (користете r и θ(\тета))

Со нас е лесно да се изградат графикони со различна сложеност на интернет. Изградбата се врши веднаш. Услугата е барана за пронаоѓање на пресечни точки на функции, за прикажување графикони за понатамошно нивно преместување во документ Word како илустрации при решавање проблеми и за анализа на карактеристиките на однесувањето на графиконите на функции. Оптималниот прелистувач за работа со графикони на оваа веб-страница е Google Chrome. Правилната работа не е загарантирана кога користите други прелистувачи.

Прво, обидете се да го пронајдете доменот на функцијата:

Дали се снајде? Ајде да ги споредиме одговорите:

Дали се е во ред? Браво!

Сега да се обидеме да го најдеме опсегот на вредности на функцијата:

Го најде? Ајде да споредиме:

Го сфативте? Браво!

Ајде повторно да работиме со графикони, само сега ќе биде малку покомплицирано - пронајдете го и доменот на дефинирање на функцијата и опсегот на вредности на функцијата.

Како да ги најдете и доменот и опсегот на функцијата (напредно)

Еве што се случи:

Мислам дека ги сфативте графиконите. Сега да се обидеме да го најдеме доменот на дефиниција на функцијата во согласност со формулите (ако не знаете како да го направите ова, прочитајте го делот за):

Дали се снајде? Ајде да провериме одговори:

1. , бидејќи радикалниот израз мора да биде поголем или еднаков на нула.
2. , бидејќи не можете да делите со нула и радикалниот израз не може да биде негативен.
3. , бидејќи, соодветно, за сите.
4. , бидејќи не можете да делите со нула.

Сепак, имаме уште една неодговорена точка...

Уште еднаш ќе ја повторам дефиницијата и ќе ја нагласам:

Дали забележавте? Зборот „само“ е многу, многу важен елементнашата дефиниција. Ќе се обидам со прсти да ти објаснам.

Да речеме дека имаме функција дефинирана со права линија. . Во, ја заменуваме оваа вредност во нашето „правило“ и го добиваме тоа. Една вредност одговара на една вредност. Можеме дури и да направиме табела со различни вредности и да ја прикажеме оваа функција за самите да видиме.

„Погледнете! - велите, „„ се случува двапати! Значи, можеби параболата не е функција? Не, тоа е!

Фактот што „ ” се појавува двапати, не е причина да се обвинува параболата за двосмисленост!

Факт е дека кога се пресметувавме за, добивме еден натпревар. И при пресметување со добивме еден игрек. Така е точно, параболата е функција. Погледнете го графиконот:

Го сфативте? Ако не, еве ти животен примермногу далеку од математика!

Да речеме дека имаме група апликанти кои се сретнале додека поднесувале документи, а секој од нив во разговор кажал каде живее:

Се согласувам, сосема е можно неколку момци да живеат во еден град, но невозможно е едно лице да живее во неколку градови во исто време. Ова е како логичен приказ на нашата „парабола“ - Неколку различни X одговараат на истата игра.

Сега да излеземе со пример каде зависноста не е функција. Да речеме дека истите тие момци ни кажаа за кои специјалност аплицирале:

Овде имаме сосема поинаква ситуација: едно лице лесно може да поднесе документи за една или неколку насоки. Тоа е еден елементкомплетите се ставаат во кореспонденција неколку елементимноштво. Соодветно, ова не е функција.

Ајде да го тестираме вашето знаење во пракса.

Од сликите одреди што е функција, а што не:

Го сфативте? И еве го одговори:

• Функцијата е - Б, Е.
• Функцијата не е - A, B, D, D.

Прашувате зошто? Да, еве зошто:

На сите слики освен ВО)И Д)Има неколку за еден!

Сигурен сум дека сега можете лесно да разликувате функција од нефункција, да кажете што е аргумент и што е зависна променлива, а исто така да го одредите опсегот на дозволените вредности на аргументот и опсегот на дефиниција на функцијата . Ајде да преминеме на следниот дел - како да поставите функција?

Методи за одредување функција

Што мислите, што значат зборовите? "постави функција"? Така е, ова значи да се објасни на сите што е функцијата во овој случај. зборуваме за. И објаснете го на таков начин што сите ќе ве разберат правилно и графиконите на функции што ги нацртаа луѓето врз основа на вашето објаснување се исти.

Како може да се направи ова? Како да поставите функција?Наједноставниот метод, кој веќе е користен повеќе од еднаш во овој напис, е користејќи ја формулата.Ние пишуваме формула и со замена на вредност во неа, ја пресметуваме вредноста. И како што се сеќавате, формулата е закон, правило со кое нам и на друг ни станува јасно како X се претвора во Y.

Обично, тоа е токму она што тие го прават - во задачите гледаме готови функции наведени со формули, меѓутоа, постојат и други начини да поставите функција на која сите забораваат, а со тоа и прашањето „како на друг начин можете да поставите функција? прегради. Ајде да разбереме сè по ред, и да започнеме со аналитичкиот метод.

Аналитички метод за одредување на функција

Аналитичкиот метод е да се специфицира функција со помош на формула. Ова е најуниверзален, сеопфатен и недвосмислен метод. Ако имате формула, тогаш знаете апсолутно сè за функцијата - можете да направите табела со вредности од неа, можете да изградите график, да одредите каде функцијата се зголемува и каде се намалува, воопшто, проучувајте ја во целост.

Да ја разгледаме функцијата. Која е разликата?

„Што значи тоа? - прашуваш ти. Сега ќе објаснам.

Да ве потсетам дека во ознаката изразот во загради се нарекува аргумент. И овој аргумент може да биде каков било израз, не мора едноставно. Според тоа, каков и да е аргументот (изразот во загради), наместо тоа ќе го напишеме во изразот.

Во нашиот пример ќе изгледа вака:

Ајде да разгледаме уште една задача поврзана со аналитичкиот метод за одредување на функцијата што ќе ја имате на испитот.

Најдете ја вредноста на изразот во.

Сигурен сум дека на почетокот се исплашивте кога видовте таков израз, но нема апсолутно ништо страшно во тоа!

Сè е исто како во претходниот пример: каков и да е аргументот (изразот во загради), наместо тоа ќе го напишеме во изразот. На пример, за функција.

Што треба да се направи во нашиот пример? Наместо тоа, треба да напишете, а наместо тоа -:

скрати го добиениот израз:

Тоа е тоа!

Самостојна работа

Сега обидете се сами да го пронајдете значењето на следните изрази:

1. , Ако
2. , Ако

Дали се снајде? Да ги споредиме нашите одговори: Навикнати сме на фактот дека функцијата ја има формата

Дури и во нашите примери, ние ја дефинираме функцијата токму на овој начин, но аналитички е можно да се дефинира функцијата во имплицитна форма, на пример.

Обидете се сами да ја изградите оваа функција.

Дали се снајде?

Вака го изградив.

Која равенка конечно ја изведовме?

Во право! Линеарно, што значи дека графикот ќе биде права линија. Ајде да направиме табела за да одредиме кои точки припаѓаат на нашата линија:

Токму за ова зборувавме... Еден одговара на неколку.

Ајде да се обидеме да нацртаме што се случило:

Дали тоа што го добивме е функција?

Така е, не! Зошто? Обидете се да одговорите на ова прашање со помош на цртеж. Што добивте?

„Затоа што една вредност одговара на неколку вредности!

Каков заклучок можеме да извлечеме од ова?

Така е, функцијата не може секогаш експлицитно да се изрази, а она што е „маскирано“ како функција не е секогаш функција!

Табеларен метод за одредување функција

Како што сугерира името, овој метод е едноставен знак. Да, да. Како оној што веќе го направивме јас и ти. На пример:

Овде веднаш забележавте шема - Y е три пати поголем од X. И сега задачата „да размислиме многу внимателно“: дали мислите дека функцијата дадена во форма на табела е еквивалентна на функција?

Да не зборуваме долго, туку да цртаме!

Значи. Ја цртаме функцијата наведена од позадината на следниве начини:

Дали ја гледате разликата? Не е се до означените точки! Погледнете подетално:

Дали сте го виделе сега? Кога дефинираме функција табеларен метод, ги рефлектираме на графикот само оние точки што ги имаме во табелата и линијата (како во нашиот случај) поминува само низ нив. Кога аналитички ја дефинираме функцијата, можеме да земеме какви било точки, а нашата функција не е ограничена на нив. Ова е особеноста. Запомнете!

Графички метод на конструирање функција

Графичкиот метод за конструирање функција не е помалку удобен. Ја цртаме нашата функција, а друг заинтересиран може да најде на што е еднакво y на одреден x и така натаму. Графичките и аналитичките методи се меѓу најчестите.

Сепак, тука треба да запомните за што зборувавме на самиот почеток - не секоја „свирка“ нацртана во координатниот систем е функција! Се сеќаваш ли? За секој случај, овде ќе ја копирам дефиницијата за тоа што е функција:

Како по правило, луѓето обично ги именуваат точно трите начини на специфицирање на функцијата за кои разговаравме - аналитички (со користење на формула), табеларни и графички, целосно заборавајќи дека функцијата може да се опише вербално. Како е ова? Да, многу едноставно!

Вербален опис на функцијата

Како вербално да се опише функција? Да го земеме нашиот неодамнешен пример - . Оваа функција може да се опише како „секоја реална вредност на x одговара на нејзината тројна вредност“. Тоа е се. Ништо комплицирано. Вие, се разбира, ќе приговорите - „има и такви сложени функции, кои едноставно е невозможно вербално да се прашаат!“ Да, има такви, но има функции кои полесно се опишуваат вербално отколку да се дефинираат со формула. На пример: „секоја природна вредност на x одговара на разликата помеѓу цифрите од кои се состои, додека минуендот се зема како најголемата цифра содржана во ознаката на бројот“. Сега да погледнеме како нашиот вербален опис на функцијата се спроведува во пракса:

Највисока бројка во даден број- , соодветно, е минуенд, тогаш:

Главни типови на функции

Сега да преминеме на најинтересниот дел - да ги погледнеме главните типови на функции со кои сте работеле/работите и ќе работите во текот на училишната и факултетската математика, односно да ги запознаеме, така да се каже , и дајте им краток опис. Прочитајте повеќе за секоја функција во соодветниот дел.

Линеарна функција

Функција на формата, каде што, - реални броеви.

Графикот на оваа функција е права линија, така што конструирањето на линеарна функција се сведува на пронаоѓање на координатите на две точки.

Положбата на правата линија на координатната рамнина зависи од аголниот коефициент.

Обемот на функцијата (ака опсегот на валидни вредности на аргументот) е .

Опсег на вредности - .

Квадратна функција

Функција на формата, каде

Графикот на функцијата е парабола кога гранките на параболата се насочени надолу, кога гранките се насочени нагоре;

Многу својства квадратна функцијазависат од вредноста на дискриминаторот. Дискриминаторот се пресметува со помош на формулата

Положбата на параболата на координатната рамнина во однос на вредноста и коефициентот е прикажана на сликата:

Домен на дефиниција

Опсегот на вредности зависи од екстремноста на дадената функција (темето на параболата) и коефициентот (насоката на гранките на параболата)

Обратна пропорционалност

Функцијата дадена со формулата, каде

Бројот се нарекува коефициент на обратна пропорционалност. Во зависност од вредноста, гранките на хиперболата се во различни квадрати:

Опсег на дефиниција - .

Опсег на вредности - .

РЕЗИМЕ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

1. Функција е правило според кое секој елемент од множеството се поврзува со еден елемент од множеството.

• - ова е формула која означува функција, односно зависност на една променлива од друга;
• - променлива вредност, или аргумент;
• - зависна количина - се менува кога се менува аргументот, односно според некои одредена формула, одразувајќи ја зависноста на една количина од друга.

2. Валидни вредности на аргументите, или доменот на функцијата, е она што е поврзано со можностите во кои функцијата има смисла.

3. Опсег на функции- тоа е она што вредности ги зема, со оглед на прифатливите вредности.

4. Постојат 4 начини да поставите функција:

• аналитички (со користење на формули);
• табеларен;
• графички
• вербален опис.

5. Главни типови на функции:

• : , каде, се реални броеви;
• : , Каде;
• : , Каде.