Пред да го дадеме концептот на векторски производ, да се свртиме кон прашањето за ориентацијата на подредена тројка вектори a →, b →, c → во тридимензионален простор.

За почеток, да ги оставиме настрана векторите a → , b → , c → од една точка. Ориентацијата на тројната a → , b → , c → може да биде десно или лево, во зависност од насоката на самиот вектор c →. Типот на тројната a → , b → , c → ќе се определи од насоката во која се прави најкраткото вртење од векторот a → до b → од крајот на векторот c → .

Ако најкраткото вртење се изведува спротивно од стрелките на часовникот, тогаш тројката вектори a → , b → , c → се нарекува право, ако е во насока на стрелките на часовникот - лево.

Следно, земете два неколинеарни вектори a → и b →. Потоа да ги нацртаме векторите A B → = a → и A C → = b → од точката A. Ајде да конструираме вектор A D → = c →, кој е истовремено нормален и на A B → и A C →. Така, кога го конструираме самиот вектор A D → = c →, можеме да го направиме тоа на два начина, давајќи му или една насока или спротивна (види илустрација).

Подредена тројка вектори a → , b → , c → може да биде, како што дознавме, десно или лево во зависност од насоката на векторот.

Од горенаведеното можеме да ја воведеме дефиницијата за векторски производ. Оваа дефиницијае даден за два вектори дефинирани во правоаголен системкоординати тродимензионален простор.

Дефиниција 1

Векторскиот производ на два вектори a → и b → ќе го наречеме таков вектор дефиниран во правоаголен координатен систем на тродимензионален простор таков што:

• ако векторите a → и b → се колинеарни, тоа ќе биде нула;
• ќе биде нормално и на векторот a → ​​ и на векторот b → т.е. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• неговата должина се одредува со формулата: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• тројката вектори a → , b → , c → има иста ориентација како дадениот координатен систем.

Векторски уметнички делавекторите a → и b → ја има следната нотација: a → × b → .

Координати на векторскиот производ

Бидејќи секој вектор има одредени координати во координатниот систем, можеме да воведеме втора дефиниција за векторски производ, што ќе ни овозможи да ги најдеме неговите координати користејќи ги дадените координати на векторите.

Дефиниција 2

Во правоаголен координатен систем на тридимензионален простор векторски производ на два вектори a → = (a x ; a y ; a z) и b → = (b x ; b y ; b z) се нарекува вектор c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , каде што i → , j → , k → се координатни вектори.

Вкрстениот производ може да се претстави како детерминанта квадратна матрицатрет ред, каде што првата линија ги содржи векторите на векторот i → , j → , k → , втората линија ги содржи координатите на векторот a → , а третата линија ги содржи координатите на векторот b → во дадена правоаголна координатен систем, оваа детерминанта на матрицата изгледа вака: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Проширувајќи ја оваа детерминанта во елементите од првиот ред, ја добиваме еднаквоста: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Својства на вкрстен производ

Познато е дека векторскиот производ во координати е претставен како детерминанта на матрицата c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , потоа врз основа својства на матричната детерминантасе прикажуваат следните својства на векторски производ:

1. антикомутативност a → × b → = - b → × a → ;
2. дистрибутивноста a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → или a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. асоцијативност λ a → × b → = λ a → × b → или a → × (λ b →) = λ a → × b →, каде што λ е произволен реален број.

Овие својства имаат едноставни докази.

Како пример, можеме да го докажеме антикомутативното својство на векторски производ.

Доказ за антикомутативност

По дефиниција, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z и b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. И ако два реда од матрицата се заменети, тогаш вредноста на детерминантата на матрицата треба да се смени на спротивна, затоа, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y - b → × a → , што и докажува дека векторскиот производ е антикомутативен.

Векторски производ - примери и решенија

Во повеќето случаи, постојат три типа на проблеми.

Во проблемите од првиот тип, обично се дадени должините на два вектори и аголот меѓу нив и треба да ја пронајдете должината на векторскиот производ. Во овој случај, користете ја следната формула c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Пример 1

Најдете ја должината на векторскиот производ на векторите a → и b →, ако знаете a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Решение

Со одредување на должината на векторскиот производ на векторите a → и b → решаваме дадени задачи: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Одговор: 15 2 2 .

Задачите од вториот тип имаат врска со координатите на вектори, во нив векторскиот производ, неговата должина итн. се пребаруваат низ познатите координати на дадените вектори a → = (a x; a y; a z) И b → = (b x; b y; b z) .

За овој тип на проблем, можете да решите многу опции за задачи. На пример, не може да се наведат координатите на векторите a → и b →, туку нивните проширувања во координатни вектори од формата b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → и c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, или векторите a → и b → може да се специфицираат со координатите на нивниот почеток и крајните точки.

Размислете за следните примери.

Пример 2

Во правоаголен координатен систем се дадени два вектори: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Најдете го нивниот вкрстен производ.

Решение

Според втората дефиниција, го наоѓаме векторскиот производ на два вектори во дадени координати: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Ако векторскиот производ го запишеме преку детерминантата на матрицата, тогаш решението на овој пример изгледа вака: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Одговор: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Пример 3

Најдете ја должината на векторскиот производ на векторите i → - j → и i → + j → + k →, каде што i →, j →, k → се единечните вектори на правоаголниот Декартов координатен систем.

Решение

Прво, да ги најдеме координатите на даден векторски производ i → - j → × i → + j → + k → во даден правоаголен координатен систем.

Познато е дека векторите i → - j → и i → + j → + k → имаат координати (1; - 1; 0) и (1; 1; 1), соодветно. Да ја најдеме должината на векторскиот производ користејќи ја детерминантата на матрицата, тогаш имаме i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Според тоа, векторскиот производ i → - j → × i → + j → + k → има координати (- 1 ; - 1 ; 2) во даден системкоординати

Ја наоѓаме должината на векторскиот производ користејќи ја формулата (видете го делот за наоѓање должина на вектор): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Одговор: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Пример 4

Во правоаголен Декартов координатен систем, дадени се координатите на три точки A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Најдете вектор нормален на A B → и A C → во исто време.

Решение

Векторите A B → и A C → ги имаат следните координати (- 1 ; 2 ; 2) и (0 ; 4 ; 1) соодветно. Откако го пронајдовме векторскиот производ на векторите A B → и A C →, очигледно е дека тој е нормален вектор по дефиниција и на A B → и A C →, односно дека е решение за нашиот проблем. Да го најдеме A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Одговор: - 6 i → + j → - 4 k → . - еден од нормалните вектори.

Проблемите од третиот тип се фокусирани на користење на својствата на векторскиот производ на вектори. Откако ќе го примениме, ќе добиеме решение за дадениот проблем.

Пример 5

Векторите a → и b → се нормални и нивните должини се 3 и 4, соодветно. Најдете ја должината на векторскиот производ 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Решение

Според дистрибутивното својство на векторски производ, можеме да запишеме 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

По својството на асоцијативност ги вадиме нумеричките коефициенти од знакот на векторските производи во последниот израз: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Векторските производи a → × a → и b → × b → се еднакви на 0, бидејќи a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 и b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, потоа 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Од антикомутативноста на векторскиот производ следува - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × б → . .

Користејќи ги својствата на векторскиот производ, ја добиваме еднаквоста 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

По услов, векторите a → и b → се нормални, односно аголот меѓу нив е еднаков на π 2. Сега останува само да ги замениме пронајдените вредности во соодветните формули: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Одговор: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Должината на векторскиот производ на вектори по дефиниција е еднаква на a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Бидејќи е веќе познато (од училишен курс) дека плоштината на триаголникот е еднаква на половина од производот од должините на неговите две страни помножен со синусот на аголот помеѓу овие страни. Следствено, должината на векторскиот производ е еднаква на плоштината на паралелограмот - удвоен триаголник, имено производот на страните во форма на вектори a → и b →, поставени од една точка, со синусот на аголот меѓу нив sin ∠ a →, b →.

Ова е тоа геометриско значењевекторски производ.

Физичко значење на векторскиот производ

Во механиката, една од гранките на физиката, благодарение на векторскиот производ, можете да го одредите моментот на сила во однос на точка во просторот.

Дефиниција 3

До моментот на сила F → применета на точката B, во однос на точката A, ќе го разбереме следниот векторски производ A B → × F →.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Со оглед на онлајн калкулаторго пресметува вкрстениот производ на вектори. Дадено е детално решение. За да го пресметате вкрстениот производ на вектори, внесете ги координатите на векторите во ќелиите и кликнете на копчето „Пресметај“.

×

Предупредување

Да се ​​исчистат сите ќелии?

Затвори Исчисти

Инструкции за внесување податоци.Броевите се внесуваат како цели броеви (примери: 487, 5, -7623, итн.), децимали (пр. 67., 102,54, итн.) или дропки. Дропката мора да се внесе во форма a/b, каде што a и b (b>0) се цели броеви или децимали. Примери 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 итн.

Векторски производ на вектори

Пред да преминеме на дефиницијата на векторскиот производ на вектори, да ги разгледаме концептите подредена векторска тројка, лева векторска тројка, десна векторска тројка.

Дефиниција 1. Се повикуваат три вектори нарача тројно(или тројно), ако се означи кој од овие вектори е првиот, кој вториот и кој третиот.

Снимајте CBA- значи - првиот е вектор в, вториот е векторот ба третиот е векторот а.

Дефиниција 2. Тројка на некомпланарни вектори abcнаречен десно (лево) ако, кога се сведува на општ почеток, овие вектори се лоцирани на ист начин како што се наоѓаат големиот, неискривен показалец и средниот прст на десната (левата) рака, соодветно.

Дефиницијата 2 може да се формулира поинаку.

Дефиниција 2". Тројка на некомпланарни вектори abcсе нарекува десно (лево) ако, кога се сведува на заедничко потекло, векторот все наоѓа на другата страна на рамнината дефинирана со векторите аИ б, од каде е најкраткото вртење аНа бизведена спротивно од стрелките на часовникот (стрелките на часовникот).

Тројката на вектори abc, прикажан на сл. 1 е во право, а три abcприкажано на сл. 2 е левиот.

Ако две тројки вектори се десно или лево, тогаш се вели дека се со иста ориентација. Инаку се вели дека се со спротивна ориентација.

Дефиниција 3. Декартов или афин координатен систем се нарекува десно (лево) ако три основни вектори формираат десна (лева) тројка.

За точност, во следново ќе ги разгледаме само десничарските координатни системи.

Дефиниција 4. Векторски уметнички делавектор адо вектор бнаречен вектор Со, означено со симболот c=[ab] (или c=[а, б], или c=a×b) и ги задоволува следните три барања:

• должина на векторот Соеднаков на производот на векторските должини аИ бпо синусот на аголот φ меѓу нив:

|в|=|[ab]|=|а||б|sinφ;

(1)

• вектор Соортогонални на секој од векторите аИ б;
• вектор внасочени така што трите abcе во право.

Вкрстениот производ на вектори ги има следните својства:

• [ab]=−[ба] (анти-пермутабилностфактори);
• [(λa)б]=λ [ab] (комбинацијаво однос на нумеричкиот фактор);
• [(a+b)в]=[ав]+[бв] (дистрибутивноставо однос на збирот на вектори);
• [аа]=0 за кој било вектор а.

Геометриски својства на векторскиот производ на вектори

Теорема 1. За два вектори да бидат колинеарни, потребно е и доволно нивниот векторски производ да биде еднаков на нула.

Доказ. Неопходност. Нека векторите аИ бколинеарна. Тогаш аголот меѓу нив е 0 или 180° и sinφ=грев180=гревот 0=0. Затоа, земајќи го предвид изразот (1), должината на векторот веднаква на нула. Потоа внула вектор.

Адекватност. Нека векторскиот производ на вектори аИ бочигледно нула: [ ab]=0. Да докажеме дека векторите аИ бколинеарна. Ако барем еден од векторите аИ бнула, тогаш овие вектори се колинеарни (бидејќи векторот нула има неодреден правец и може да се смета колинеарен со кој било вектор).

Ако двата вектори аИ бне-нула, тогаш | а|>0, |б|>0. Потоа од [ ab]=0 и од (1) следува дека sinφ=0. Затоа векторите аИ бколинеарна.

Теоремата е докажана.

Теорема 2. Должина (модул) на векторскиот производ [ ab] е еднаква на површина Спаралелограм конструиран на вектори сведени на заедничко потекло аИ б.

Доказ. Како што знаете, плоштината на паралелограм е еднаква на производот на соседните страни на овој паралелограм и синусот на аголот меѓу нив. Оттука:

Тогаш векторскиот производ на овие вектори има форма:

Проширувајќи ја детерминантата над елементите од првиот ред, го добиваме распаѓањето на векторот a×bпо основа јас, ј, к, што е еквивалентно на формулата (3).

Доказ за теорема 3. Да ги создадеме сите можни парови на базични вектори јас, ј, ки пресметајте го нивниот векторски производ. Треба да се земе предвид дека основните вектори се меѓусебно ортогонални, формираат десна тројка и имаат единечна должина (со други зборови, можеме да претпоставиме дека јас={1, 0, 0}, ј={0, 1, 0}, к=(0, 0, 1)). Тогаш имаме:

Од последната еднаквост и односи (4), добиваме:

Ајде да создадеме матрица 3x3, чиј прв ред се основните вектори јас, ј, к,а останатите линии се полни со векторски елементи аИ б:

Така, резултатот од векторскиот производ на вектори аИ бќе биде вектор:

.

Пример 2. Најдете го векторскиот производ на вектори [ ab], каде е векторот апретставена со две точки. Почетна точкавектор a: , крајна точка на векторот а: , вектор бизгледа како .

Решение: Поместете го првиот вектор до почетокот. За да го направите ова, одземете ги координатите на почетната точка од соодветните координати на крајната точка:

Да ја пресметаме детерминантата на оваа матрица со нејзино проширување по првиот ред. Резултатот од овие пресметки е векторскиот производ на вектори аИ б.

7.1. Дефиниција на вкрстен производ

Три некомпланарни вектори a, b и c, земени по наведениот редослед, формираат десна тројка ако, од крајот на третиот вектор c, се гледа најкраткото вртење од првиот вектор a кон вториот вектор b. да биде спротивно од стрелките на часовникот, и левак тројка ако е во насока на стрелките на часовникот (види Сл. .16).

Векторскиот производ на векторот a и векторот b се нарекува вектор c, кој:

1. Нормално на векторите a и b, т.е. c ^ a и c ^ б ;

2. Има должина нумерички еднаква на плоштината на паралелограм изграден на вектори a ибкако на страните (види Сл. 17), т.е.

3. Векторите a, b и c формираат десна тројка.

Вкрстениот производ се означува x b или [a,b]. Следниве односи помеѓу единечните вектори i директно произлегуваат од дефиницијата на векторскиот производ,ј Ик

(види Сл. 18):
i x j = k, j x k = i, k x i = j.Да го докажеме, на пример, тоа

i xj =k. ^ 1) k ^ i, k

j ; 2) |k |=1, но |јас x j

| = |i | И|J | грев (90°)=1;

3) вектори i, j и

формирајте десна тројка (види Сл. 16).

7.2. Својства на вкрстен производ = -(1. При преуредување на факторите, векторскиот производ го менува знакот, т.е.).

и xb =(b xa) (види Сл. 19).

Нека l >0. Векторот l (a xb) е нормален на векторите a и b. Вектор ( ла) x бе исто така нормална на векторите a и б(вектори a, лно лежи во иста рамнина). Тоа значи дека векторите л(a xb) и ( ла) x бколинеарна. Очигледно е дека нивните насоки се совпаѓаат. Имаат иста должина:

Затоа л(a xb)= л xb. На сличен начин се докажува и за л<0.

3. Два вектори не-нула a и бсе колинеарни ако и само ако нивниот векторски производ е еднаков на нултиот вектор, т.е. a ||b<=>и xb =0.

Особено, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Векторскиот производ има својство на дистрибуција:

(а+б) xc = a xc + б xs.

Ќе прифатиме без доказ.

7.3. Изразување на вкрстениот производ во однос на координати

Ќе ја користиме табела за вкрстени производи на вектори i, Следниве односи помеѓу единечните вектори i директно произлегуваат од дефиницијата на векторскиот производ,и к:

ако насоката на најкратката патека од првиот вектор до вториот се совпаѓа со насоката на стрелката, тогаш производот е еднаков на третиот вектор ако не се совпаѓа, третиот вектор се зема со знак минус.

Нека се дадени два вектори a =a x i +a y Следниве односи помеѓу единечните вектори i директно произлегуваат од дефиницијата на векторскиот производ,+a z Ии b =b x јас+b y Следниве односи помеѓу единечните вектори i директно произлегуваат од дефиницијата на векторскиот производ,+b z И. Ајде да го најдеме векторскиот производ на овие вектори со множење како полиноми (според својствата на векторскиот производ):

Добиената формула може да се напише уште пократко:

бидејќи десната страна на еднаквоста (7.1) одговара на проширувањето на детерминантата од трет ред во однос на елементите од првиот ред Равенството (7.2) лесно се памети.

7.4. Некои апликации на крос производ

Воспоставување на колинеарност на вектори

Наоѓање на плоштина на паралелограм и триаголник

Според дефиницијата за векторски производ на вектори Аи б |а xb | =|а | * |b |sin g, т.е. S парови = |a x b |. И, според тоа, D S =1/2|a x b |.

Определување на моментот на сила околу точка

Нека се примени сила во точката А F = ABи нека ЗА- некоја точка во просторот (види Сл. 20).

Од физиката е познато дека момент на сила Ф во однос на поентата ЗАнаречен вектор М,која минува низ точката ЗАИ:

1) нормално на рамнината што минува низ точките О, А, Б;

2) нумерички еднаков на производот на сила по рака

3) формира десна тројка со вектори OA и A B.

Затоа, M = OA x F.

Наоѓање линеарна брзина на ротација

Брзина vточка М на круто тело кое ротира со аголна брзина wоколу фиксна оска, се определува со Ојлеровата формула v =w xr, каде што r =OM, каде што O е одредена фиксна точка на оската (види Сл. 21).

МЕШАН ПРОИЗВОД ОД ТРИ ВЕКТОРИ И НЕГОВИ СВОЈСТВА

Мешана работатри вектори се нарекува број еднаков на . Назначен . Овде првите два вектори се множат векторски, а потоа добиениот вектор се множи скаларно со третиот вектор. Очигледно, таков производ е одредена бројка.

Ајде да ги разгледаме својствата на мешаниот производ.

1. Геометриско значењемешана работа. Мешаниот производ од 3 вектори, до знак, е еднаков на волуменот на паралелепипедот изграден на овие вектори, како на рабовите, т.е. .

   Така, и .

   

   Доказ. Да ги оставиме настрана векторите од заедничкото потекло и да изградиме паралелепипед на нив. Да го означиме и забележиме тоа. По дефиниција на скаларниот производ

   Претпоставувајќи го тоа и означувајќи со чнајдете ја висината на паралелепипедот.

   Така, кога

   Ако, тогаш е така. Оттука,.

   Комбинирајќи ги двата од овие случаи, добиваме или .

   Од доказот за ова својство, особено, произлегува дека ако тројката вектори е деснак, тогаш измешаниот производ е , а ако е левак, тогаш .

2. За сите вектори , , еднаквоста е точно

   Доказот за ова својство следи од Имотот 1. Навистина, лесно е да се покаже дека и . Покрај тоа, знаците „+“ и „–“ се земаат истовремено, бидејќи аглите помеѓу векторите и и и се и остри и тапи.

3. Кога се преуредуваат кои било два фактори, мешаниот производ го менува знакот.

   Навистина, ако земеме предвид мешан производ, тогаш, на пример, или

4. Мешан производ ако и само ако еден од факторите е еднаков на нула или векторите се компланарни.

   Доказ.

   Така, неопходен и доволен услов за компланарност на 3 вектори е нивниот измешан производ да биде еднаков на нула. Дополнително, следува дека три вектори формираат основа во просторот ако .

   Ако векторите се дадени во координатна форма, тогаш може да се покаже дека нивниот мешан производ е пронајден со формулата:

   .

   Така, измешаниот производ е еднаков на детерминантата од трет ред, која ги има координатите на првиот вектор во првата линија, координатите на вториот вектор во втората линија и координатите на третиот вектор во третата линија.

   Примери.

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА ВО ПРОСТОР

Равенка F(x, y, z)= 0 дефинира во просторот Оксизнекоја површина, т.е. геометриски локус на точки чии координати x, y, zја задоволува оваа равенка. Оваа равенка се нарекува површинска равенка, и x, y, z– тековни координати.

Меѓутоа, често површината не е специфицирана со равенка, туку како збир на точки во просторот кои имаат едно или друго својство. Во овој случај, неопходно е да се најде равенката на површината врз основа на нејзините геометриски својства.

АВИОН.

ВЕКТОР НА НОРМАЛНА РАМНИНА.

РАВЕНКА НА РАМНИНА КОЈ МИНУВА НИЗ ДАДЕНА ТОЧКА

Да разгледаме произволна рамнина σ во просторот. Неговата позиција се одредува со одредување на вектор нормално на оваа рамнина и некоја фиксна точка М0(x 0, y 0, z 0), лежи во рамнината σ.

Векторот нормален на рамнината σ се вика нормалновектор на оваа рамнина. Нека векторот има координати.

Да ја изведеме равенката на рамнината σ што минува низ оваа точка М0и има нормален вектор. За да го направите ова, земете произволна точка на рамнината σ M(x, y, z)и разгледајте го векторот .

За која било точка МО σ е вектор Според тоа, нивниот скаларен производ е еднаков на нула. Оваа еднаквост е услов дека точката МО с. Важи за сите точки од оваа рамнина и се нарушува веднаш штом точката Мќе биде надвор од рамнината σ.

Ако точките ги означиме со векторот на радиусот М, – вектор на радиус на точката М0, тогаш равенката може да се запише во форма

Оваа равенка се нарекува векторрамнина равенка. Ајде да го напишеме во координатна форма. Оттогаш

Значи, ја добивме равенката на рамнината што минува низ оваа точка. Така, за да создадете равенка на рамнина, треба да ги знаете координатите на нормалниот вектор и координатите на некоја точка што лежи на рамнината.

Забележете дека равенката на рамнината е равенка од 1 степен во однос на тековните координати x, yИ z.

Примери.

ОПШТА РАВЕНКА НА РАМНИНАТА

Може да се покаже дека секоја равенка од прв степен во однос на Декартовските координати x, y, zпретставува равенка на одредена рамнина. Оваа равенка е напишана како:

Axe+By+Cz+D=0

и се нарекува општа равенкарамнина и координатите А, Б, Цтука се координатите на нормалниот вектор на рамнината.

Да разгледаме посебни случаи на општата равенка. Ајде да дознаеме како се наоѓа рамнината во однос на координатниот систем ако еден или повеќе коефициенти од равенката стане нула.

A е должината на сегментот отсечен од рамнината на оската Вол. Слично, може да се покаже дека бИ в– должини на сегменти отсечени од рамнината што се разгледува на оските ОјИ Оз.

Удобно е да се користи равенката на рамнина во сегменти за да се конструираат рамнини.

Ќе ја користиме табела за вкрстени производи на векторите i, j и k:

ако насоката на најкратката патека од првиот вектор до вториот се совпаѓа со насоката на стрелката, тогаш производот е еднаков на третиот вектор ако не се совпаѓа, третиот вектор се зема со знак минус.

Нека се дадени два вектори a=axi +ayj +azk и b =bxi +byj +bzk. Ајде да го најдеме векторскиот производ на овие вектори со множење како полиноми (според својствата на векторскиот производ):
Добиената формула може да се напише уште пократко: бидејќи десната страна на еднаквоста (7.1) одговара на проширувањето на детерминантата од трет ред во однос на елементите од првиот ред Равенството (7.2) лесно се памети.

7.4. Некои апликации на крос производ

Воспоставување на колинеарност на вектори.
Наоѓање на плоштина на паралелограм и триаголник

Според дефиницијата на векторскиот производ на векторите a и b |a xb | = |а| * |b |пее, т.е. S парови = |a x b |. И, според тоа, DS =1/2|a x b |.

Определување на моментот на сила околу точка

Нека се примени сила F =AB во точката A и нека O е некоја точка во просторот Од физиката е познато дека моментот на сила F во однос на точката O е векторот M што минува низ точката O и:

1) нормално на рамнината што минува низ точките O, A, B;

2) е нумерички еднаков на производот на силата на рамото 3) формира десна тројка со вектори OA и A B.

Затоа, M = OA x F. Наоѓање линеарна брзина на ротација

Брзината v на точка M на круто тело што ротира со аголна брзина w околу фиксна оска е одредена со Ојлеровата формула v =w xr, каде r = OM, каде што O е одредена фиксна точка на оската (види Сл. 21).

Агол помеѓу вектори

Од дефиницијата на скаларниот производ на два вектори произлегува дека ако векторите и се специфицирани со координатите и , тогаш формулата (1.6.3.1) ќе биде напишана како:

Плоштина на паралелограм изграден на вектори

Проблемите за мерење на должините на отсечките, растојанијата меѓу точките, површините на површината и волумените на телата припаѓаат на важна класа на проблеми кои вообичаено се нарекуваат метрички. Во претходниот дел, научивме како да користиме векторска алгебра за да ги пресметаме должините на отсечките и растојанијата помеѓу точките. Сега ќе најдеме начини за пресметување на области и волумени. Векторската алгебра ви овозможува да поставувате и решавате такви проблеми само за прилично едноставни случаи. За да се пресметаат површините на произволни површини и волумени на произволни тела, потребни се методи на анализа. Но, методите на анализа, пак, значително се потпираат на резултатите што ги дава векторската алгебра.

За да го решиме проблемот, избравме прилично долг и тежок пат, предложен од Хилберт Странг, поврзан со бројни геометриски трансформации и макотрпни алгебарски пресметки. Го избравме овој пат и покрај тоа што има и други пристапи кои побрзо водат до целта затоа што ни изгледаше директно и природно. Директниот пат во науката не е секогаш најлесниот. Искусните луѓе знаат за ова и претпочитаат кружни патеки, но ако не се обидете да одите право, можете да останете неуки за некои суптилностите на теоријата.

На патот што го избравме, природно се појавуваат концепти како просторна ориентација, детерминанта, вектор и мешани производи. Особено јасно се открива геометриското значење на детерминантата и нејзините својства, како под микроскоп. Традиционално, концептот на детерминанта е воведен во теоријата на системи на линеарни равенки, но токму за решавање на такви системи детерминантата е речиси бескорисна. Геометриското значење на детерминантата е од суштинско значење за векторската и тензорската алгебра.

Сега да бидеме трпеливи и да започнеме со наједноставните и најразбирливите случаи.

1. Векторите се ориентирани по координатните оски на Декартовиот координатен систем.

Нека векторот a е насочен по оската x, а векторот b по y-оската. На сл. Слика 21 прикажува четири различни опции за локацијата на векторите во однос на координатните оски.

Векторите a и b во координатна форма: каде што a и b ја означуваат големината на соодветниот вектор, а a е знак на векторската координата.

Бидејќи векторите се ортогонални, паралелограмите конструирани на нив се правоаголници. Нивните области се едноставно производ на нивните страни. Да ги изразиме овие производи во однос на векторски координати за сите четири случаи.

Сите четири формули за пресметување на плоштината се исти освен знакот. Можете само да ги затворите очите и да запишете, дека во сите случаи. Сепак, друга можност се покажува како попродуктивна: давање на знакот одредено значење. Ајде да погледнеме внимателно на Сл. 21. Во случаите кога ротацијата на векторот во вектор се врши во насока на стрелките на часовникот. Во оние случаи кога сме принудени да користиме знак минус во формулата, ротацијата на векторот во вектор се врши спротивно од стрелките на часовникот. Ова набљудување ни овозможува да го поврземе знакот во изразите за област со ориентацијата на рамнината.

Областа на правоаголник изграден на вектори a и b со знак плус или минус ќе се смета за ориентирана област, а знакот ќе биде поврзан со ориентацијата наведена од векторите. За ориентирана област, можеме да напишеме единствена формула за сите четири разгледани случаи: . Знакот „вектор“ над буквата S е воведен за да се разликува обичната област, која е секогаш позитивна, од ориентираната.

Покрај тоа, очигледно е дека истите вектори, земени по различен редослед, ја одредуваат спротивната ориентација, затоа, . Ние само ќе продолжиме да ја означуваме областа со буквата S и, според тоа, .

Сега кога се чини дека по цена на проширување на концептот за област, добивме општ израз, внимателниот читател ќе каже дека не сме ги разгледале сите можности. Навистина, покрај четирите опции за локацијата на векторите претставени на сл. 21, има уште четири (сл. 22) Да ги запишеме векторите повторно во координатна форма: Да ги изразиме плоштините преку координатите на векторите. 4. . Знаците во новите изрази не се променети, но, за жал, се промени ориентацијата во однос на претходните четири случаи. Затоа, за ориентираната област сме принудени да напишеме: . Иако надежта за генијална едноставност не беше оправдана, сепак можеме да запишеме општ израз за сите четири случаи.

Односно, ориентираната површина на правоаголникот конструиран на вектори, како на страните, е еднаква на детерминантата, составена од координатите на векторите, како на колоните.

Сметаме дека читателот е запознаен со теоријата на детерминантите, затоа, не се задржуваме на овој концепт во детали. Сепак, даваме соодветни дефиниции за да го промениме акцентот и да покажеме дека до овој концепт може да се дојде од чисто геометриски размислувања. , , се различни форми на нотација за истиот концепт - детерминанта, составена од векторски координати, како колони. Еднаквост може да се земе како негова дефиниција за дводимензионалниот случај.

2. Векторот b не е паралелен со оската x; векторот a/ е произволен вектор.

Со цел да се сведе овој случај на веќе познатите, да разгледаме некои геометриски трансформации на паралелограм изграден на вектори и (сл. мешани производи на вектори и неговите својства