Една од најтешките теми за учениците е решавањето равенки кои содржат променлива под знакот на модул. Ајде прво да откриеме со што е ова поврзано? Зошто, на пример, повеќето деца ги кршат квадратните равенки како ореви, но имаат толку многу проблеми со толку далеку од сложен концепт како модул?

Според мое мислење, сите овие тешкотии се поврзани со недостатокот на јасно формулирани правила за решавање на равенките со модул. Значи, одлучување квадратна равенка, ученикот сигурно знае дека прво треба да ја примени формулата за дискриминација, а потоа и формулите за корените на квадратната равенка. Што да направите ако се најде модул во равенката? Ќе се обидеме јасно да го опишеме потребниот акционен план за случајот кога равенката содржи непозната под знакот на модул. Ќе дадеме неколку примери за секој случај.

Но, прво, да се потсетиме дефиниција на модулот. Значи, модулирајте го бројот асамиот овој број се нарекува ако аненегативни и -а, ако број апомалку од нула. Можете да го напишете вака:

|а| = a ако a ≥ 0 и |a| = -а ако а< 0

Зборувајќи за геометриска смисламодул, треба да се запомни дека секој реален број одговара на одредена точка на бројната оска - нејзиниот до координираат. Значи, модулот или апсолутната вредност на бројот е растојанието од оваа точка до потеклото на нумеричката оска. Растојанието секогаш се одредува како позитивен број. Така, модулот на кој било негативен број е позитивен број. Патем, дури и во оваа фаза многу студенти почнуваат да се збунуваат. Модулот може да содржи кој било број, но резултатот од користењето на модулот е секогаш позитивен број.

Сега да преминеме директно на решавање на равенките.

1. Размислете за равенка од формата |x| = c, каде што c е реален број. Оваа равенка може да се реши со помош на дефиницијата за модул.

Сите реални броеви ги делиме на три групи: поголеми од нула, помали од нула, а третата група е бројот 0. Решението го пишуваме во форма на дијаграм:

(±c, ако c > 0

Ако |x| = c, тогаш x = (0, ако c = 0

(нема корени ако со< 0

1) |x| = 5, бидејќи 5 > 0, потоа x = ±5;

2) |x| = -5, бидејќи -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, потоа x = 0.

2. Равенка на формата |f(x)| = b, каде b > 0. За да се реши оваа равенка потребно е да се ослободиме од модулот. Тоа го правиме вака: f(x) = b или f(x) = -b. Сега треба да ја решите секоја од добиените равенки одделно. Ако во првобитната равенка б< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, бидејќи 4 > 0, тогаш

x + 2 = 4 или x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, бидејќи 11 > 0, тогаш

x 2 – 5 = 11 или x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 нема корени

3) |x 2 – 5x| = -8, бидејќи -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Равенка од формата |f(x)| = g(x). Според значењето на модулот, таквата равенка ќе има решенија ако нејзината десна страна е поголема или еднаква на нула, т.е. g(x) ≥ 0. Тогаш ќе имаме:

f(x) = g(x)или f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. Оваа равенка ќе има корени ако 5x – 10 ≥ 0. Оттука започнува решавањето на таквите равенки.

1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0

2. Решение:

2x – 1 = 5x – 10 или 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Соединуваме О.Д.З. и решението, добиваме:

Коренот x = 11/7 не одговара на O.D.Z., тој е помал од 2, но x = 3 го задоволува овој услов.

Одговор: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Да ја решиме оваа неравенка користејќи го методот на интервал:

(1 – x) (1 + x) ≥ 0

2. Решение:

x – 1 = 1 – x 2 или x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 или x = 1 x = 0 или x = 1

3. Го соединуваме растворот и О.Д.З.:

Погодни се само корените x = 1 и x = 0.

Одговор: x = 0, x = 1.

4. Равенка на формата |f(x)| = |g(x)|. Таквата равенка е еквивалентна на следните две равенки f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Оваа равенка е еквивалентна на следните две:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 или x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 или x = 4 x = 2 или x = 1

Одговор: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Равенки решени со методот на замена (замена на променливата). Овој методрешенијата најлесно се објаснуваат со конкретен пример. Значи, да ни биде дадена квадратна равенка со модул:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Според својството на модул x 2 = |x| 2, па равенката може да се преработи на следниов начин:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Да ја направиме замената |x| = t ≥ 0, тогаш ќе имаме:

t 2 – 6t + 5 = 0. Решавајќи ја оваа равенка, наоѓаме дека t = 1 или t = 5. Да се ​​вратиме на замената:

|x| = 1 или |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Одговор: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Ајде да погледнеме друг пример:

x 2 + |x| – 2 = 0. Според својството на модул x 2 = |x| 2, затоа

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Да ја направиме замената |x| = t ≥ 0, тогаш:

t 2 + t – 2 = 0. Решавајќи ја оваа равенка, добиваме t = -2 или t = 1. Да се ​​вратиме на замената:

|x| = -2 или |x| = 1

Нема корени x = ± 1

Одговор: x = -1, x = 1.

6. Друг тип на равенки се равенките со „комплексен“ модул. Таквите равенки вклучуваат равенки кои имаат „модули во модул“. Равенките од овој тип може да се решат користејќи ги својствата на модулот.

1) |3 – |x|| = 4. Ќе постапиме на ист начин како и во равенките од вториот тип. Бидејќи 4 > 0, тогаш добиваме две равенки:

3 – |x| = 4 или 3 – |x| = -4.

Сега да го изразиме модулот x во секоја равенка, потоа |x| = -1 или |x| = 7.

Ние ја решаваме секоја од добиените равенки. Во првата равенка нема корени, бидејќи -1< 0, а во втором x = ±7.

Одговори x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Оваа равенка ја решаваме на сличен начин:

3 + |x + 1| = 5 или 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 или x + 1 = -2. Без корени.

Одговор: x = -3, x = 1.

Постои и универзален метод за решавање равенки со модул. Ова е методот на интервал. Но, ние ќе го разгледаме подоцна.

blog.site, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до оригиналниот извор.

Во оваа статија детално ќе анализираме модул на број. Ќе дадеме различни дефиниции за модулот на број, ќе воведеме нотација и ќе обезбедиме графички илустрации. Во исто време, да размислиме разни примеринаоѓање на модул на број по дефиниција. По ова, ќе ги наведеме и оправдаме главните својства на модулот. На крајот од статијата, ќе зборуваме за тоа како е дефиниран и лоциран модулот комплексен број.

Навигација на страницата.

Модул за броеви - дефиниција, нотација и примери

Прво воведуваме означување на бројниот модул. Модулот на бројот a ќе го запишеме како , односно лево и десно од бројот ќе ставиме вертикални цртички за да го формираме знакот за модул. Да дадеме неколку примери. На пример, модулот −7 може да се напише како ; модулот 4.125 е напишан како , а модулот има нотација на формата .

Следната дефиниција за модул се однесува на , и затоа на , и на цели броеви, и на рационални и на ирационални броеви, што се однесува до составните делови на множеството реални броеви. Ќе зборуваме за модулот на комплексен број во.

Дефиниција.

Модул на број а– ова е или самиот број a, ако a е позитивен број, или бројот −a, спротивен на бројот a, ако a е негативен број, или 0 ако a=0 .

Изразената дефиниција за модулот на број често се пишува во следнава форма , овој запис значи дека ако a>0 , ако a=0 , и ако a<0 .

Записот може да се претстави во покомпактна форма . Оваа нотација значи дека ако (a е поголемо или еднакво на 0), и ако a<0 .

Тука е и влезот . Тука посебно треба да го објасниме случајот кога a=0. Во овој случај имаме , но −0=0, бидејќи нула се смета за број што е спротивен на самиот себе.

Ајде да дадеме примери за наоѓање модул на бројкористејќи наведена дефиниција. На пример, да ги најдеме модулите на броевите 15 и . Да почнеме со наоѓање. Бидејќи бројот 15 е позитивен, неговиот модул, по дефиниција, е еднаков на самиот овој број, односно . Кој е модулот на еден број? Бидејќи е негативен број, неговиот модул е ​​еднаков на бројот спротивен на бројот, односно бројот . Така,.

За да ја заклучиме оваа точка, презентираме еден заклучок што е многу погодно да се користи во пракса кога се наоѓа модулот на број. Од дефиницијата на модулот на број произлегува дека модулот на еден број е еднаков на бројот под знакот на модул без да се земе предвид неговиот знак, и од примерите дискутирани погоре ова е многу јасно видливо. Наведената изјава објаснува зошто се нарекува и модулот на број апсолутна вредност на бројот. Значи, модулот на еден број и апсолутната вредност на бројот се едно исто.

Модул на број како растојание

Геометриски, модулот на број може да се толкува како растојание. Ајде да дадеме одредување на модул на број низ растојание.

Дефиниција.

Модул на број а– ова е растојанието од потеклото на координатната права до точката што одговара на бројот a.

Оваа дефиниција е конзистентна со дефиницијата за модулот на број дадена во првиот пасус. Ајде да ја разјасниме оваа точка. Растојанието од потеклото до точката што одговара на позитивен број е еднакво на овој број. Нулата одговара на потеклото, затоа растојанието од потеклото до точката со координата 0 е еднакво на нула (не треба да издвоите единечна единечна отсечка и ниту една отсечка што сочинува која било дропка од единечна отсечка по ред да се дојде од точка О до точка со координата 0). Растојанието од почеток до точка со негативна координата е еднакво на бројот спротивен на координатата на оваа точка, бидејќи е еднаков на растојанието од почетокот до точката чија координата е спротивен број.

На пример, модулот на бројот 9 е еднаков на 9, бидејќи растојанието од потеклото до точката со координата 9 е еднакво на девет. Да дадеме уште еден пример. Точката со координата −3.25 се наоѓа на растојание од 3.25 од точката О, па .

Наведената дефиниција за модул на број е посебен случај на дефиниција на модулот на разликата на два броја.

Дефиниција.

Модул на разлика од два броја a и b е еднакво на растојанието помеѓу точките на координатната права со координатите a и b.

Односно, ако се дадени точки на координатната права A(a) и B(b), тогаш растојанието од точката A до точката B е еднакво на модулот на разликата помеѓу броевите a и b. Ако ја земеме точката О (потекло) како точка Б, тогаш ја добиваме дефиницијата за модулот на број дадена на почетокот на овој став.

Одредување на модул на број со помош на аритметички квадратен корен

Повремено се јавува одредување модул преку аритметички квадратен корен.

На пример, да ги пресметаме модулите на броевите −30 и врз основа на оваа дефиниција. имаме. Слично, го пресметуваме модулот од две третини: .

Дефиницијата на модулот на број преку аритметичкиот квадратен корен е исто така конзистентна со дефиницијата дадена во првиот став од овој член. Ајде да го покажеме. Нека a е позитивен број, а −a негативен број. Потоа И , ако a=0 , тогаш .

Карактеристики на модулот

Модулот има голем број на карактеристични резултати - својства на модулот. Сега ќе ги претставиме главните и најчесто користените од нив. Кога ги оправдуваме овие својства, ќе се потпреме на дефиницијата на модулот на број во однос на растојанието.

Да почнеме со најочигледното својство на модулот - Модулот на број не може да биде негативен број. Во буквална форма, ова својство ја има формата за кој било број a. Ова својство е многу лесно да се оправда: модулот на бројот е растојание, а растојанието не може да се изрази како негативен број.

Ајде да преминеме на следното својство на модулот. Модулот на еден број е нула ако и само ако овој број е нула. Модулот на нула е нула по дефиниција. Нулата одговара на потеклото, ниту една друга точка на координатната права не одговара на нула, бидејќи секој реален број е поврзан со една точка на координатната права. Од истата причина, кој било број освен нула одговара на точка различна од потеклото. И растојанието од потеклото до која било точка освен точката О не е нула, бидејќи растојанието помеѓу две точки е нула ако и само ако овие точки се совпаѓаат. Горенаведеното расудување докажува дека само модулот на нула е еднаков на нула.

Да продолжиме понатаму. Спротивните броеви имаат еднакви модули, односно за кој било број a. Навистина, две точки на координатната линија, чии координати се спротивни броеви, се на исто растојание од потеклото, што значи дека модулите на спротивните броеви се еднакви.

Следното својство на модулот е: Модулот на производот од два броја е еднаков на производот на модулите на овие броеви, односно . По дефиниција, модулот на производот на броевите a и b е еднаков на a·b ако , или на −(a·b) ако . Од правилата за множење на реалните броеви произлегува дека производот на модулите на броевите a и b е еднаков или на a·b, , или на −(a·b) ако , што го докажува предметното својство.

Модулот на количникот на a поделен со b е еднаков на количникот на модулот на број поделен со модулот на b, односно . Дозволете ни да го оправдаме ова својство на модулот. Бидејќи количникот е еднаков на производот, тогаш. Врз основа на претходниот имот што го имаме . Останува само да се користи еднаквоста , која важи според дефиницијата на модулот на бројот.

Следното својство на модулот е запишано како неравенство: , a , b и c се произволни реални броеви. Пишаната нееднаквост не е ништо повеќе од неравенство на триаголник. За да биде јасно ова, да ги земеме точките A(a), B(b), C(c) на координатната права и да разгледаме дегенериран триаголник ABC, чии темиња лежат на истата права. По дефиниција, модулот на разликата е еднаков на должината на отсечката AB, - должината на отсечката AC и - должината на отсечката CB. Бидејќи должината на која било страна на триаголникот не го надминува збирот на должините на другите две страни, тогаш неравенството е точно , според тоа, нееднаквоста е исто така вистинита.

Штотуку докажаната нееднаквост е многу почеста во формата . Пишаната нееднаквост обично се смета како посебно својство на модулот со формулацијата: „ Модулот на збирот на два броја не го надминува збирот на модулите на овие броеви" Но, неравенката следи директно од неравенката ако наместо b ставиме −b и земеме c=0.

Модул на комплексен број

Ајде да дадеме дефиниција на модулот на комплексен број. Нека ни се даде комплексен број, напишана во алгебарска форма, каде што x и y се некои реални броеви, кои ги претставуваат, соодветно, реалните и имагинарните делови на даден комплексен број z, и е имагинарна единица.

Дефиниција.

Модул на комплексен број z=x+i·y е аритметички квадратен корен од збирот на квадратите на реалните и имагинарните делови на даден комплексен број.

Модулот на комплексен број z се означува како , тогаш наведената дефиниција за модулот на комплексен број може да се запише како .

Оваа дефиниција ви овозможува да го пресметате модулот на кој било сложен број во алгебарска нотација. На пример, да го пресметаме модулот на комплексен број. Во овој пример, реалниот дел од комплексен број е еднаков на , а имагинарниот дел е еднаков на минус четири. Потоа, според дефиницијата на модулот на комплексен број, имаме .

Геометриското толкување на модулот на сложен број може да се даде преку растојание, по аналогија со геометриското толкување на модулот на реален број.

Дефиниција.

Модул на комплексен број z е растојанието од почетокот на сложената рамнина до точката што одговара на бројот z во оваа рамнина.

Според Питагоровата теорема, растојанието од точката O до точка со координати (x, y) се наоѓа како , значи, , каде . Затоа, последната дефиниција за модулот на комплексен број се согласува со првата.

Оваа дефиниција, исто така, ви овозможува веднаш да покажете на што е еднаков модулот на сложениот број z, ако е напишан во тригонометриска форма како или во показна форма. Еве . На пример, модулот на комплексен број е еднаков на 5, а модулот на комплексен број е еднаков на .

Можете исто така да забележите дека производот на комплексен број и неговиот сложен конјугатен број го дава збирот на квадратите на реалните и имагинарните делови. Навистина,. Добиената еднаквост ни овозможува да дадеме друга дефиниција за модулот на комплексен број.

Дефиниција.

Модул на комплексен број z е аритметички квадратен корен на производот на овој број и бројот што е негов комплексен конјугат, односно .

Како заклучок, забележуваме дека сите својства на модулот формулирани во соодветниот став важат и за сложени броеви.

Референци.

• Виленкин Н.Ја. и други математика. 6 одделение: учебник за општообразовни установи.
• Макаричев Ју.Н., Миндјук Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8 одделение. образовните институции.
• Luntz G.L., Elsgolts L.E. Функции на сложена променлива: учебник за универзитети.
• Привалов И.И. Вовед во теоријата на функции на сложена променлива.

Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.

Собирање и користење на лични информации

Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификување или контактирање на одредена личност.

Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.

Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.

Кои лични податоци ги собираме:

• Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса на е-пошта итн.

Како ги користиме вашите лични податоци:

• Личните информации што ги собираме ни овозможуваат да ве контактираме со уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
• Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
• Може да користиме и лични информации за внатрешни цели, како што се спроведување ревизии, анализа на податоци и разни истражувања со цел да ги подобриме услугите што ги обезбедуваме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
• Ако учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.

Откривање на информации на трети страни

Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.

Исклучоци:

• Доколку е потребно - во согласност со закон, судска постапка, во правни постапки и/или врз основа на јавни барања или барања од владини тела во Руската Федерација - да ги откриете вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
• Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.

Заштита на лични информации

Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.

Почитување на вашата приватност на ниво на компанија

За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.

Ние не бираме математиканејзината професија, а таа не избира нас.

Рускиот математичар Ју.И. Манин

Равенки со модул

Најтешките проблеми за решавање во училишната математика се равенките кои содржат променливи под знакот на модул. За успешно решавање на ваквите равенки, треба да ја знаете дефиницијата и основните својства на модулот. Секако, студентите мора да имаат вештини за решавање на равенки од овој тип.

Основни концепти и својства

Модул (апсолутна вредност) на реален бројозначено со и се дефинира на следниов начин:

Едноставните својства на модулот ги вклучуваат следните врски:

Забелешка, дека последните две својства важат за кој било парен степен.

Покрај тоа, ако, каде, тогаш и

Покомплексни својства на модулот, што може ефективно да се користи при решавање на равенки со модули, се формулирани преку следните теореми:

Теорема 1.За какви било аналитички функцииИ нееднаквоста е вистина

Теорема 2.Еднаквоста е еквивалентна на нееднаквоста.

Теорема 3.Еднаквост еднакво на нееднаквост.

Ајде да погледнеме типични примери за решавање проблеми на тема „Равенки, кои содржат променливи под знакот на модулот“.

Решавање равенки со модул

Најчестиот метод во училишната математика за решавање равенки со модул е ​​методот, врз основа на проширување на модулот. Овој метод е универзален, сепак, во општиот случај, неговата употреба може да доведе до многу незгодни пресметки. Во овој поглед, студентите треба да знаат друго, поефикасни методи и техники за решавање на вакви равенки. Конкретно, неопходно е да се поседуваат вештини за примена на теореми, дадена во оваа статија.

Пример 1.Решете ја равенката. (1)

Решение. Равенката (1) ќе ја решиме користејќи го „класичниот“ метод - методот на откривање модули. За да го направите ова, ајде да ја поделиме бројната оскаточки и во интервали и разгледајте три случаи.

1. Ако , тогаш , , , и равенката (1) има форма . Од ова произлегува. Меѓутоа, овде, затоа пронајдената вредност не е коренот на равенката (1).

2. Ако, тогаш од равенката (1) добивамеили .

Оттогаш коренот на равенката (1).

3. Ако, тогаш равенката (1) добива формаили . Да го забележиме тоа.

Одговор: ,.

Кога ги решаваме следните равенки со модул, активно ќе ги користиме својствата на модулите со цел да ја зголемиме ефикасноста на решавањето на таквите равенки.

Пример 2.Решете ја равенката.

Решение.Бидејќи и тогаш од равенката следи. Во овој поглед, ,, а равенката добива форма. Од тука добиваме. Сепак, затоа првобитната равенка нема корени.

Одговор: нема корени.

Пример 3.Решете ја равенката.

Решение.Оттогаш. Ако, тогаш а равенката добива форма.

Од тука добиваме.

Пример 4.Решете ја равенката.

Решение.Дозволете ни да ја преработиме равенката во еквивалентна форма. (2)

Добиената равенка припаѓа на равенки од типот .

Земајќи ја предвид теоремата 2, може да се тврди дека равенката (2) е еквивалентна на неравенката . Од тука добиваме.

Одговор:.

Пример 5.Решете ја равенката.

Решение. Оваа равенка ја има формата. Затоа, според теорема 3, овде имаме нееднаквостили .

Пример 6.Решете ја равенката.

Решение.Да претпоставиме дека. Бидејќи, тогаш дадената равенка добива форма на квадратна равенка, (3)

Каде . Бидејќи равенката (3) има еден позитивен корени, тогаш . Оттука добиваме два корени од првобитната равенка:И .

Пример 7. Решете ја равенката. (4)

Решение. Од равенкатае еквивалентно на комбинација од две равенки:И, тогаш при решавањето на равенката (4) потребно е да се разгледаат два случаи.

1. Ако , тогаш или .

Од тука добиваме и .

2. Ако , тогаш или .

Оттогаш.

Одговор: , , , .

Пример 8.Решете ја равенката . (5)

Решение.Оттогаш и тогаш. Од тука и од равенката (5) следува дека и , т.е. овде имаме систем на равенки

Сепак, овој систем на равенки е неконзистентен.

Одговор: нема корени.

Пример 9. Решете ја равенката. (6)

Решение.Ако означиме, тогаш а од равенката (6) добиваме

Или . (7)

Бидејќи равенката (7) ја има формата , оваа равенка е еквивалентна на неравенката . Од тука добиваме. Оттогаш или .

Одговор:.

Пример 10.Решете ја равенката. (8)

Решение.Според теорема 1, можеме да пишуваме

(9)

Земајќи ја предвид равенката (8), заклучуваме дека и двете неравенки (9) се претвораат во еднаквости, т.е. постои систем на равенки

Сепак, според теорема 3, горенаведениот систем на равенки е еквивалентен на системот на неравенки

(10)

Решавајќи го системот на неравенки (10) добиваме . Бидејќи системот на неравенки (10) е еквивалентен на равенката (8), првобитната равенка има еден корен.

Одговор:.

Пример 11. Решете ја равенката. (11)

Решение.Нека и , тогаш еднаквоста следи од равенката (11).

Следи дека и . Така, овде имаме систем на нееднаквости

Решението на овој систем на нееднаквости еИ .

Одговор: ,.

Пример 12.Решете ја равенката. (12)

Решение. Равенката (12) ќе се реши со методот на секвенцијално проширување на модулите. За да го направите ова, да разгледаме неколку случаи.

1. Ако , тогаш .

1.1. Ако , тогаш и , .

1.2. Ако, тогаш. Сепак, затоа, во овој случај, равенката (12) нема корени.

2. Ако , тогаш .

2.1. Ако , тогаш и , .

2.2. Ако, тогаш и.

Одговор: , , , , .

Пример 13.Решете ја равенката. (13)

Решение.Бидејќи левата страна на равенката (13) е ненегативна, тогаш . Во овој поглед, и равенката (13)

зема форма или .

Познато е дека равенката е еквивалентно на комбинација од две равенкиИ, решавање што го добиваме, . Бидејќи, тогаш равенката (13) има еден корен.

Одговор:.

Пример 14. Решава систем на равенки (14)

Решение.Од и , тогаш и . Следствено, од системот на равенки (14) добиваме четири системи на равенки:

Корените на горенаведените системи на равенки се корените на системот на равенки (14).

Одговор: ,, , , , , , , .

Пример 15. Решава систем на равенки (15)

Решение.Оттогаш. Во овој поглед, од системот на равенки (15) добиваме два системи на равенки

Корените на првиот систем на равенки се и , а од вториот систем на равенки добиваме и .

Одговор: , , , .

Пример 16. Решава систем на равенки (16)

Решение.Од првата равенка на системот (16) произлегува дека .

Оттогаш . Да ја разгледаме втората равенка на системот. Бидејќи, Тоа , а равенката добива форма, , или .

Ако ја замените вредноставо првата равенка на системот (16), тогаш , или .

Одговор: ,.

За подлабоко проучување на методите за решавање проблеми, поврзани со решавање равенки, кои содржат променливи под знакот на модул, Можете да препорачате упатства од списокот со препорачана литература.

1. Збирка задачи по математика за кандидати на колеџи / Ед. М.И. Сканави. – М.: Мир и образование, 2013. – 608 стр.

2. Супрун В.П. Математика за средношколци: задачи со зголемена сложеност. – М.: ЦД „Либроком“ / УРСС, 2017. – 200 стр.

3. Супрун В.П. Математика за средношколци: нестандардни методи за решавање проблеми. – М.: ЦД „Либроком“ / УРСС, 2017. – 296 стр.

Сè уште имате прашања?

За да добиете помош од учител, регистрирајте се.

веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.

А се пресметува во согласност со следниве правила:

За краткост, се користат нотации |а|. Значи, |10| = 10; - 1 / 3 = | 1 / 3 |; | -100| = 100, итн.

Секоја големина Xодговара на прилично точна вредност | X|. И тоа значи идентитет на= |X| множества накако некои аргумент функција X.

Распоредова функциипретставени подолу.

За x > 0 |x| = x, и за x< 0 |x|= -x; во овој поглед, линијата y = | x| на x> 0 во комбинација со права линија y = x(симетрала на првиот координатен агол), и кога X< 0 - с прямой y = -x(симетрала на вториот координатен агол).

Одделно равенкивклучуваат непознати под знакот модул.

Произволни примери на такви равенки - | X— 1| = 2, |6 — 2X| =3X+ 1, итн.

Решавање равенкишто содржи непозната под знакот на модул се заснова на фактот дека ако апсолутната вредност непознат датум x е еднакво позитивен број a, тогаш овој број x сам по себе е еднаков на a или -a.

На пример:, ако | X| = 10, тогаш или X= 10, или X = -10.

Ајде да размислиме решавање на поединечни равенки.

Да го анализираме решението на равенката | X- 1| = 2.

Ајде да го прошириме модулоттогаш разликата X- 1 може да биде еднакво или + 2 или - 2. Ако x - 1 = 2, тогаш X= 3; ако X- 1 = - 2, тогаш X= - 1. Правиме замена и откриваме дека двете од овие вредности ја задоволуваат равенката.

Одговори.Горенаведената равенка има два корени: x 1 = 3, x 2 = - 1.

Ајде да анализираме решение на равенката | 6 — 2X| = 3X+ 1.

По проширување на модулотдобиваме: или 6 - 2 X= 3X+ 1 или 6 - 2 X= - (3X+ 1).

Во првиот случај X= 1, а во втората X= - 7.

Испитување.На X= 1 |6 — 2X| = |4| = 4, 3x+ 1 = 4; тоа произлегува од судот, X = 1 - корендадена равенки.

На x = - 7 |6 — 2x| = |20| = 20, 3x+ 1= - 20; од 20 ≠ -20, тогаш X= - 7 не е корен од оваа равенка.

Одговори. Уравенката има само еден корен: X = 1.

Равенките од овој тип можат да бидат решаваат и графички.

Па да одлучиме На пример, графичка равенка | X- 1| = 2.

Прво ќе конструираме функционална графика на = |x- 1|. Прво, да нацртаме график на функцијата на=X- 1:

Тој дел од него графика, кој се наоѓа над оската XНема да го менуваме. За неа X- 1 > 0 и затоа | X-1|=X-1.

Делот од графиконот што се наоѓа под оската X, ајде да прикажеме симетричново однос на оваа оска. Бидејќи за овој дел X - 1 < 0 и соответственно |X - 1|= - (X - 1). Како резултат на линија(цврста линија) и волја функционален график y = | X—1|.

Оваа линија ќе се вкрсти со директно на= 2 во две точки: M 1 со апсциса -1 и M 2 со апсциса 3. И, соодветно, равенката | X- 1| =2 ќе има два корени: X 1 = - 1, X 2 = 3.