Буџетот на општината образовна институција

Савинскаја просек средно училиште

Истражувачка работа

Паралелограм и неговите нови својства

Завршил: ученик од 8Б одделение

Средно училиште MBOU Савинскаја

Кузњецова Светлана, 14 години

Раководител: наставник по математика

Тулчевскаја Н.А.

стр

Ивановски регион, Русија

2016 година

Јас. Вовед __________________________________________________страница 3

II. Од историјата на паралелограмот _________________________________страница 4

III Дополнителни својства на паралелограм ________________________________страница 4

IV. Доказ за својства _____________________________________ страна 5

В. Решавање проблеми со помош на дополнителни својства __________страница 8

VI. Примена на својствата на паралелограмот во животот ___________________стр 11

VII. Заклучок _________________________________________________страница 12

VIII. Литература _________________________________________________страница 13

Вовед

"Меѓу еднакви умови

на еднаквост на другите услови

тој што ја знае геометријата е супериорен“

(Блез Паскал).

Додека ја проучувавме темата „Паралелограм“ на часовите по геометрија, разгледавме две својства на паралелограм и три карактеристики, но кога почнавме да ги решаваме проблемите, се покажа дека тоа не е доволно.

Имав прашање: дали паралелограмот има други својства и како тие ќе помогнат во решавањето на проблемите?

И решив да проучам дополнителни својства на паралелограм и да покажам како тие можат да се применат за решавање на проблеми.

Предмет на истражување : паралелограм

Предмет на проучување : својства на паралелограм
Цел на работата:

формулација и доказ за дополнителни својства на паралелограм што не се изучуваат на училиште;

примена на овие својства за решавање проблеми.

Задачи:

Да ја проучува историјата на појавата на паралелограмот и историјата на развојот на неговите својства;

Најдете понатамошно читањеза прашањето што се проучува;

Проучи дополнителни својства на паралелограм и докаже;

Покажете ја примената на овие својства за решавање проблеми;

Размислете за примената на својствата на паралелограмот во животот.
Истражувачки методи:

Работа со едукативна и популарна научна литература, Интернет ресурси;

Изучување на теоретски материјал;

Идентификација на низа проблеми што може да се решат со помош на дополнителни својства на паралелограм;

Набљудување, споредба, анализа, аналогија.

Времетраење на студијата : 3 месеци: јануари-март 2016 година

1. Од историјата на паралелограмот

Во учебникот по геометрија ја читаме следната дефиниција за паралелограм: Паралелограм е четириаголник чии спротивни страни се паралелни во парови.

Зборот „паралелограм“ е преведен како „паралелни линии“ (од грчки зборовиПаралелос - паралела и грам - права), овој термин беше воведен од Евклид. Во својата книга Елементи, Евклид ги докажал следните својства на паралелограмот: спротивните страни и аглите на паралелограмот се еднакви, а дијагоналата го преполовува. Евклид не ја спомнува точката на пресек на паралелограм. Само кон крајот на средниот век беше развиена целосна теорија за паралелограми И само во 17 век се појавија теореми за паралелограми во учебниците, кои се докажани со помош на теоремата на Евклид за својствата на паралелограмот.

III Дополнителни својства на паралелограм

Во учебникот по геометрија се дадени само 2 својства на паралелограм:

Спротивните агли и страни се еднакви

Дијагоналите на паралелограмот се сечат и се преполовуваат со пресечната точка.

Во различни извори за геометријата можете да ги најдете следните дополнителни својства:

Збирот на соседните агли на паралелограм е 180 0

Симетралата на аголот на паралелограмот се отсекува од неа рамнокрак триаголник;

Симетралите на спротивните агли на паралелограмот лежат на паралелни прави;

Симетралите на соседните агли на паралелограмот се сечат под прав агол;

Кога симетралите на сите агли на паралелограм се сечат, тие формираат правоаголник;

Растојанието од спротивните агли на паралелограмот до истата дијагонала се еднакви.

Ако во паралелограм поврземе спротивни темиња со нивните средни точки спротивни страни, тогаш добивате уште еден паралелограм.

Збирот на квадратите на дијагоналите на паралелограмот е еднаков на двапати од збирот на квадратите на неговите соседни страни.

Ако нацртате височини од два спротивни агли во паралелограм, ќе добиете правоаголник.

IV Доказ за својствата на паралелограмот

Збирот на соседните агли на паралелограм е 180 0

Со оглед на:

ABCD – паралелограм

Докажи:

А+
Б=

Доказ:

А и
Б – внатрешни еднострани агли со паралелни прави BC АД и секанта АБ, што значи
А+
Б=

2

Со оглед на: ABCD - паралелограм,

АК симетрала
А.

Докажи: AVK – рамнокрак

Доказ:

1)
1=
3 (попречно лежи на п.н.е АД и секанта АК),

2)
2=
3 бидејќи АК е симетрала,

значи 1=
2.

3) ABC - рамнокрак бидејќи 2 агли на триаголник се еднакви

. Симетралата на аголот на паралелограм отсекува рамнокрак триаголник од него

3

Со оглед на: ABCD е паралелограм,

АК – симетрала А,

КП - симетрала В.

Докажи:АК ║ СР

Доказ:

1) 1=2 бидејќи АК е симетрала

2) 4=5 затоа што КП – симетрала

3) 3=1 (прекрстени лежечки агли на

п.н.е. ║ АД и АК-секанта),

4) A =C (по својство на паралелограм), што значи 2=3=4=5.

4) Од ставовите 3 и 4 следува дека 1 = 4, а овие агли одговараат на правите AK и CP и секантот BC,

тоа значи AK ║ CP (врз основа на паралелизам на правите)

. Симетралите на спротивните агли на паралелограмот лежат на паралелни прави

Симетрали на соседните агли на паралелограм се сечат под прав агол

Со оглед на: ABCD - паралелограм,

АК-симетрала А,

ДП симетрала Д

Докажи:ДП АК.

Доказ:

1) 1=2, бидејќи АК - симетрала

Нека 1=2=x, а потоа A=2x,

2) 3=4, бидејќи D Р – симетрала

Нека 3=4=y, па D=2y

3) A + D =180 0, бидејќи збирот на соседните агли на паралелограм е 180

2) Размислете А OD

1+3=90 0 , тогаш
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Симетралите на сите агли на паралелограм кога се сечат формираат правоаголник

Со оглед на: ABCD - паралелограм, АК-симетрала А,

DP-симетрала D,

CM симетрала C,

BF - симетрала Б.

Докажи: KRNS - правоаголник

Доказ:

Врз основа на претходното својство 8=7=6=5=90 0 ,

значи KRNS е правоаголник.

Растојанието од спротивните агли на паралелограм до истата дијагонала се еднакви.

Со оглед на: ABCD-паралелограм, AC-дијагонала.

VK AC, Д.П. А.Ц.

Докажи: BC=DP

Доказ: 1) DCP = KAB, како внатрешни вкрстувања кои лежат со AB ║ CD и секантна AC.

2) АКБ= CDP (по должината на страната и два соседни агли AB=CD CD P=AB K).

А во еднакви триаголници соодветните страни се еднакви, што значи DP=BK.

Ако ги поврзете спротивните темиња во паралелограм со средните точки на спротивните страни, ќе добиете друг паралелограм.

Со оглед на: ABCD паралелограм.

Докажи: VKDR е паралелограм.

Доказ:

1) BP=KD (AD=BC, точки K и P

поделете ги овие страни на половина)

2) БП ║ КД (лежат на АД п.н.е.)

Ако спротивните страни на четириаголникот се еднакви и паралелни, тогаш четириаголникот е паралелограм.

Ако нацртате височини од два спротивни агли во паралелограм, ќе добиете правоаголник.

Збирот на квадратите на дијагоналите на паралелограмот е еднаков на двапати од збирот на квадратите на неговите соседни страни.

Со оглед на: ABCD е паралелограм. BD и AC се дијагонали.

Докажи: AC 2 + ВД 2 =2(AB 2 + АД 2 )

Доказ: 1)ПРАШАЈ: А.Ц. ²=
+

2)Б РД : БД 2 = Б Р 2 + РД 2 (според Питагоровата теорема)

3) А.Ц. ²+ БД ²=SK²+А K²+Б Р²+РД ²

4) SC = BP = N(висина )

5) AC 2 + БД 2 = Х 2 + А ДО 2 + Х 2 +СтрД 2

6) Нека Д К=А P=x, Потоа В ДОД : Х 2 = ЦД 2 - Х 2 според Питагоровата теорема )

7) AC²+BД ² = CД 2 - x²+ АК 1 ²+ ЦД 2 -Х 2 +СтрД 2 ,

AC²+BД ²=2СД 2 - 2x 2 + А ДО 2 +СтрД 2

8) А ДО=АД+ X, РD=AD- X,

AC²+BД ² = 2ЦД 2 - 2x 2 +(АД +x) 2 +(АД -X) 2 ,

AC²+ ВОD²=2 СОD²-2 X² + АД 2 +2АД X+ X 2 + АД 2 -2 н.е X+ X 2 ,
AC²+ ВОD²=2CD 2 +2АД 2 =2(ЦД 2 + АД 2 ).

В . Решавање проблеми со користење на овие својства

Точката на пресек на симетралите на два агли на паралелограм во непосредна близина на едната страна припаѓа на спротивната страна. Најкратката страна на паралелограмот е 5 . Најдете ја неговата голема страна.

Со оглед на: ABCD е паралелограм,

АК – симетрала
А,

D K – симетрала
D, AB=5

Најдете: Сонце

одлука

Решение

Бидејќи АК - симетрала
И тогаш ABC е рамнокрак.

Бидејќи D K – симетрала
Д, тогаш DCK - рамнокрак

DC =C K= 5

Потоа, BC=VC+SC=5+5 = 10

Одговор: 10

2. Најдете го периметарот на паралелограм ако симетралата на еден од неговите агли ја дели страната на паралелограмот на отсечки од 7 cm и 14 cm.

1 случај

Со оглед на:
А,

VK=14 cm, KS=7 cm

Најдете: P паралелограм

Решение

VS=VK+KS=14+7=21 (cm)

Бидејќи АК – симетрала
И тогаш ABC е рамнокрак.

AB=BK= 14 cm

Тогаш P=2 (14+21) =70 (cm)

случување

Со оглед на: ABCD е паралелограм,

D K – симетрала
Д

VK=14 cm, KS=7 cm

Најдете: P паралелограм

Решение

VS=VK+KS=14+7=21 (cm)

Бидејќи D K – симетрала
Д, тогаш DCK - рамнокрак

DC =C K= 7

Тогаш, P= 2 (21+7) = 56 (cm)

Одговор: 70 см или 56 см

3. Страните на паралелограмот се 10 cm и 3 cm Симетралите на два агли соседни на поголемата страна ја делат спротивната страна на три отсечки. Најдете ги овие сегменти.

1 случај:симетралите се сечат надвор од паралелограмот

Со оглед на: ABCD – паралелограм, АК – симетрала
А,

D K – симетрала
D , AB=3 cm, BC=10 cm

Најдете: VM, MN, NC

Решение

Бидејќи AM - симетрала
И тогаш AVM е рамнокрак.

Бидејќи DN – симетрала
Д, тогаш DCN - рамнокрак

DC=CN=3

Потоа, MN = 10 – (BM +NC) = 10 – (3+3)=4 cm

Случај 2:симетралите се сечат во паралелограм

Бидејќи АН - симетрала
И тогаш ABN е рамнокрак.

AB=BН = 3 Д

И лизгачката решетка треба да се премести на потребното растојание на вратата

Паралелограмски механизам- механизам со четири шипки, чии врски формираат паралелограм. Се користи за спроведување на преводно движење со механизми со шарки.

Паралелограм со фиксна врска- едната врска е неподвижна, спротивната прави лулачко движење, останувајќи паралелно со неподвижната. Два паралелограма поврзани еден зад друг и даваат на крајната врска два степени на слобода, оставајќи ја паралелна со неподвижната врска.

Примери: бришачи на шофершајбната на автобусот, вилушкари, стативи, закачалки, суспензии за автомобили.

Паралелограм со фиксиран спој- се користи својството на паралелограм да одржува постојан однос на растојанија меѓу три точки. Пример: пантограф за цртање - уред за скалирање на цртежите.

Ромб- сите врски се со иста должина, приближувањето (контракцијата) на пар спротивни шарки доведува до раздвојување на другите две шарки. Сите врски работат во компресија.

Примери - автомобилски дигалка во облик на дијамант, трамвајски пантограф.

Ножичкаили Механизам во облик на Х, исто така познат како Нирнбершки ножици- верзија на ромб - две врски поврзани во средината со шарка. Предностите на механизмот се компактност и едноставност, недостаток е присуството на два лизгачки пара. Два (или повеќе) такви механизми поврзани во серија формираат дијамант(и) во средината. Се користи во лифтови и детски играчки.

VII Заклучок

Кој учи математика уште од детството?

тој развива внимание, го тренира мозокот,

сопствена волја, негува истрајност

и упорност во постигнувањето на целите

А. Маркушевич

Во текот на работата докажав дополнителни својства на паралелограмот.

Бев убеден дека со користење на овие својства, можете побрзо да ги решите проблемите.

Покажав како се применуваат овие својства користејќи примери за решавање конкретни проблеми.

Научив многу за паралелограмот, кој го нема во нашиот учебник по геометрија

Се уверив дека познавањето на геометријата е многу важно во животот преку примери за примена на својствата на паралелограм.

Целта на мојата истражувачка работа е завршена.

За важноста на математичкото знаење говори и фактот што е востановена награда за оној што ќе објави книга за личност која целиот свој живот го живеел без помош на математиката. Оваа награда се уште ја нема добиено ниту една личност.

VIII Литература

1. Погорелов А.В. Геометрија 7-9: учебник за општо образование. институции - М.: Образование, 2014 година

   Л.С.Атанасјан и други. Додадете. Поглавја за учебник за 8 одделение: учебник. прирачник за ученици од училиштата и напредните паралелки. студирал математика. – М.: Вита-прес, 2003 година

   Интернет ресурси

   Материјали на Википедија

Паралелограм е четириаголник чии спротивни страни се паралелни во парови. На следната слика е прикажан паралелограм ABCD. Има страна AB паралелна со страната CD и страна BC паралелна на страната AD.

Како што може да претпоставите, паралелограмот е конвексен четириаголник. Да ги разгледаме основните својства на паралелограмот.

Својства на паралелограм

1. Во паралелограм спротивните агли и спротивните страни се еднакви. Да го докажеме ова својство - разгледајте го паралелограмот претставен на следната слика.

Дијагоналата BD го дели на два еднакви триаголници: ABD и CBD. Тие се еднакви долж страната BD и двата агли во непосредна близина на неа, бидејќи аглите лежат вкрстено на пресекот BD на паралелните прави BC и AD и AB и CD, соодветно. Затоа AB = CD и
п.н.е. = н.е. А од еднаквоста на аглите 1, 2, 3 и 4 следува дека аголот A = агол1 + агол3 = агол2 + агол4 = агол C.

2. Дијагоналите на паралелограмот се делат на половина со пресечната точка. Нека точката O е пресечна точка на дијагоналите AC и BD на паралелограмот ABCD.

Тогаш триаголникот AOB и триаголникот COD се еднакви еден на друг, долж страната и двата соседни агли. (AB = CD бидејќи тие се спротивни страни на паралелограмот. А аголот 1 = агол 2 и аголот 3 = аголот 4 се како вкрстени агли кога правата AB и CD се сечат со секантите AC и BD, соодветно.) Од ова произлегува дека AO = OC и ОБ = ОД, што и требаше да се докаже.

Сите главни својства се илустрирани на следните три слики.

Знак-ки па-рал-ле-ло-грам-ма

1. Дефиниција и основни својства на паралелограм

Да почнеме со потсетување на дефиницијата за пара-рал-ле-ло-грам.

Дефиниција. Паралелограм- what-you-re-gon-nick, кој ги има секои две про-ти-лажни страни кои се паралелни (види Сл. .1).

Ориз. 1. Па-рал-ле-ло-грам

Да се ​​потсетиме основни својства на па-рал-ле-ло-грам-ма:

За да можете да ги искористите сите овие својства, треба да бидете сигурни дека фи-гу-ра, за некој -рој за кој зборуваме, - пар-рал-ле-ло-грам. За да го направите ова, неопходно е да се знаат такви факти како знаци на па-рал-ле-ло-грам-ма. Сега ги гледаме првите две од нив.

2. Првиот знак на паралелограм

Теорема. Првиот знак на па-рал-ле-ло-грам-ма.Ако во четири-јаглен двете спротивни страни се еднакви и паралелни, тогаш овој прекар со четири јаглен - паралелограм. .

Ориз. 2. Првиот знак на pa-ral-le-lo-gram-ma

Доказ. Го ставивме дијагоналот во четири-рех-јаглен-ни-ке (види слика 2), таа го подели на две три-јаглен-ни-ка. Ајде да запишеме што знаеме за овие триаголници:

според првиот знак за еднаквост на триаголниците.

Од еднаквоста на посочените триаголници произлегува дека, по знакот на паралелизам на прави при вкрстување, ч-нии нивните с-ку-шчи. Го имаме тоа:

До-ка-за-но.

3. Втор знак на паралелограм

Теорема. Вториот знак е pa-ral-le-lo-gram-ma.Ако во четири агли, секои две страни про-ти-лажни се еднакви, тогаш овој четириаголник е паралелограм. .

Ориз. 3. Вториот знак на pa-ral-le-lo-gram-ma

Доказ. Го ставаме дијагоналот во четириаголникот (види слика 3), таа го дели на два триаголници. Ајде да запишеме што знаеме за овие триаголници, врз основа на формата на теоријата:

според третиот знак за еднаквост на триаголниците.

Од еднаквоста на триаголниците произлегува дека, со знакот на паралелни прави, кога се сечат с-ку-шчеј. Ајде да јадеме:

par-ral-le-lo-gram по дефиниција. Q.E.D.

До-ка-за-но.

4. Пример за користење на првата паралелограмска карактеристика

Ајде да погледнеме пример за употреба на знаци на pa-ral-le-lo-gram.

Пример 1. Во испакнатоста нема јаглен Најди ги: а) аглите на јагленот; б) сто-ро-бунар.

Решение. Илустрација Сл. 4.

па-рал-ле-ло-грам според првиот знак на па-рал-ле-ло-грам-ма.

А. по својство на пар-рал-ле-ло-грам за про-ти-неточни агли, со својство на пар-рал-ле-ло-грам за збирот на аглите, кога се лежи на едната страна.

Б. по природата на еднаквоста на про-лажните страни.

re-tiy знак pa-ral-le-lo-gram-ma

5. Преглед: Дефиниција и својства на паралелограм

Да се ​​потсетиме на тоа паралелограм- ова е четири квадратен агол, кој има про-ти-лажни страни во парови. Тоа е, ако - пар-рал-ле-ло-грам, тогаш (види Сл. 1).

Паралелата-ле-ло-грам има голем број својства: про-ти-неточните агли се еднакви (), про-ти-неточните агли - ние сме еднакви ( ). Покрај тоа, dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram-ma на точката на ре-се-че-нија се дели според збирот на аглите, притискајќи кон кој било страна па-рал-ле-ло-грам-ма, еднаква, итн.

Но, за да ги искористите сите овие својства, неопходно е да бидете апсолутно сигурни дека ри-ва-е-мојот ти-ти-рекх-јаглен-прекар - па-рал-ле-ло-грам. За таа цел, постојат знаци на пар-рал-ле-ло-грам: тоа е, оние факти од кои може да се извлече единствен вреден заклучок, дека она што-ти-рекх-јаглен-ник е пар-рал- ле-ло-грам-мамо. Во претходната лекција, веќе разгледавме два знака. Сега гледаме по трет пат.

6. Третиот знак на паралелограм и неговиот доказ

Ако во четири-јаглен има дија-го-он на точката на ре-се-че-нија тие го прават-ба-лам, тогаш дадениот четири-ти Рох-јаглен-ник е па-рал-ле -ннд-грам-мамо.

Со оглед на:

Што-ти-ре-јаглен-прекар; ; .

Докажи:

Паралелограм.

Доказ:

За да се докаже овој факт, потребно е да се прикаже паралелизмот на страните со пар-ле-ло-грамот. А паралелизмот на правите линии најчесто се појавува преку еднаквоста на внатрешните вкрстени агли на овие прави агли. Така, еве го следниот метод за да се добие третиот знак на par-ral -le-lo-gram-ma: преку еднаквоста на триаголниците .

Ајде да видиме како овие триаголници се еднакви. Навистина, од условот следува: . Покрај тоа, бидејќи аглите се вертикални, тие се еднакви. Тоа е:

(првиот знак на еднаквосттри-јаглен-ни-ков- по две страни и аголот меѓу нив).

Од еднаквоста на триаголниците: (бидејќи внатрешните попречни агли на овие прави линии и пресеци се еднакви). Покрај тоа, од еднаквоста на триаголниците произлегува дека . Ова значи дека разбираме дека во четири јаглен двесте се еднакви и паралелни. Според првиот знак, па-рал-ле-ло-грам-ма: - па-рал-ле-ло-грам.

До-ка-за-но.

7. Пример за задача на трет знак на паралелограм и генерализација

Да го погледнеме примерот за користење на третиот знак на pa-ral-le-lo-gram.

Пример 1

Со оглед на:

- паралелограм; . - се-ре-ди-на, - се-ре-ди-на, - се-ре-ди-на, - се-ре-ди-на (види слика 2).

Докажи:- па-рал-ле-ло-грам.

Доказ:

Ова значи дека во четири-јаглен-не-диа-оди-на-дали на точката на ре-се-че-нија тие прават-по-лам. Со третиот знак на па-рал-ле-ло-грам, од ова произлегува дека - па-рал-ле-ло-грам.

До-ка-за-но.

Ако го анализирате третиот знак на pa-ral-le-lo-gram, тогаш можете да забележите дека овој знак е со-vet- има својство на par-ral-le-lo-gram. Односно, фактот дека dia-go-na-li de-la-xia не е само својство на пар-ле-ло-грам, а неговата карактеристична, ха-рак-те-ри-сти-че- својство, со кое може да се разликува од множеството what-you-rekh-coal-ni-cov.

ИЗВОР

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://wwww.tepka.ru/geometriya/16.1.gif

Тема на лекцијата

• Својства на дијагоналите на паралелограм.

Цели на часот

• Запознајте се со новите дефиниции и запомнете некои веќе проучени.
• Наведете и докажете го својството на дијагоналите на паралелограмот.
• Научете да ги применувате својствата на формите кога решавате проблеми.
• Развојно - да се развие вниманието на учениците, упорноста, истрајноста, логичното размислување, математичкиот говор.
• Образовни - преку лекцијата, негувајте внимателен однос еден кон друг, всадете способност да ги слушате другарите, взаемна помош и независност.

Цели на часот

• Тестирајте ги вештините на учениците за решавање проблеми.

План за лекција

1. Воведни забелешки.
2. Повторување на претходно проучен материјал.
3. Паралелограм, неговите својства и карактеристики.
4. Примери на задачи.
5. Самопроверка.

Вовед

„Големото научно откритие дава решение за голем проблем, но во решението на секој проблем има зрно откритие“.

Својство на спротивните страни на паралелограм

Паралелограмот има спротивни страни кои се еднакви.

Доказ.

Нека ABCD е дадениот паралелограм. И нека неговите дијагонали се сечат во точката О.
Бидејќи Δ AOB = Δ COD според првиот критериум за еднаквост на триаголниците (∠ AOB = ∠ COD, како вертикални, AO=OC, DO=OB, според својството на дијагоналите на паралелограм), тогаш AB=CD. На ист начин, од еднаквоста на триаголниците BOC и DOA, произлегува дека BC = DA. Теоремата е докажана.

Својство на спротивните агли на паралелограм

Во паралелограм, спротивните агли се еднакви.

Доказ.

Нека ABCD е дадениот паралелограм. И нека неговите дијагонали се сечат во точката О.
Од она што беше докажано во теоремата за својствата на спротивните страни на паралелограм Δ ABC = Δ CDA на три страни (AB=CD, BC=DA од докажаното, AC – општо). Од еднаквоста на триаголниците произлегува дека ∠ ABC = ∠ CDA.
Докажано е и дека ∠ DAB = ∠ BCD, што следи од ∠ ABD = ∠ CDB. Теоремата е докажана.

Својство на дијагоналите на паралелограм

Дијагоналите на паралелограмот се сечат и се преполовуваат на пресечната точка.

Доказ.

Нека ABCD е дадениот паралелограм. Ајде да ја нацртаме дијагоналата AC. Ајде да го означиме средното O на него.
Според претходната теорема, AB 1 CD е паралелограм. Според тоа, правата AB 1 е паралелна со DC. Но низ точката А може да се повлече само една права паралелна со еднонасочна струја. Ова значи дека директно AB 1 се совпаѓа со директно AB.
Се докажува и дека 1 п.н.е. се поклопува со п.н.е. Ова значи дека точката C се совпаѓа со C 1. паралелограмот ABCD се совпаѓа со паралелограмот AB 1 CD. Следствено, дијагоналите на паралелограмот се сечат и се преполовуваат на пресечната точка. Теоремата е докажана.

Во учебниците за редовните училишта (на пример, во Погорелово) се докажува вака: дијагоналите делат паралелограм на 4 триаголници. Ајде да разгледаме еден пар и да дознаеме - тие се еднакви: нивните основи се спротивни страни, соодветните агли до него се еднакви, како вертикални агли со паралелни линии. Тоа е, дијагоналните сегменти се еднакви во парови. Сите.

Дали е тоа сè?
Погоре беше докажано дека пресечната точка ги преполовува дијагоналите - ако постои. Горенаведеното резонирање на ниту еден начин не го докажува самото негово постоење. Односно, дел од теоремата „дијагоналите на паралелограм се сечат“ останува недокажана.

Смешното е што овој дел е многу потешко да се докаже. Патем, ова произлегува од поопшт резултат: секој конвексен четириаголник ќе има дијагонали што се сечат, но секој неконвексен четириаголник нема.

За еднаквост на триаголници долж една страна и два соседни агли (втор знак за еднаквост на триаголници) и други.

Талес најде важна практична примена на теоремата за еднаквост на два триаголници долж една страна и два соседни агли. Во пристаништето во Милет бил изграден дострел за да се одреди растојанието до брод на море. Се состоеше од три затегнати штипки A, B и C (AB = BC) и означена права линија SC, нормална на CA. Кога се појави брод на правата линија СК, ја најдовме точката D таква што точките D, .B и E беа на иста права линија. Како што е јасно од цртежот, растојанието ЦД на земја е саканото растојание до бродот.

Прашања

1. Дали дијагоналите на квадратот се поделени на половина со точката на пресек?
   
2. Дали дијагоналите на паралелограм се еднакви?
3. Дали спротивните агли на паралелограм се еднакви?
4. Наведете ја дефиницијата за паралелограм?
5. Колку знаци на паралелограм?
   
6. Може ли ромбот да биде паралелограм?
   

Список на користени извори

1. Кузњецов А.В., наставник по математика (5-9 одделение), Киев
2. „Единствен државен испит 2006. Математика. Материјали за едукација и обука за подготовка на студенти / Рособрнадзор, ИСОП - М.: Интелект-Центар, 2006 година"
3. Mazur K. I. „Решавање на главните натпреварувачки проблеми по математика од збирката уредена од M. I. Skanavi“
4. Л. С. Атанасјан, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Е. Г. Позњак, И. И. Јудина „Геометрија, 7 – 9: учебник за образовни институции“

Работевме на лекцијата

Кузњецов А.В.

Потурнак С.А.

Евгениј Петров

Можете да поставите прашање за модерното образование, да изразите идеја или да решите неодложен проблем во Едукативен форум, каде што образовниот совет на свежа мисла и акција се состанува на меѓународно ниво. Имајќи создадено блог,Вие не само што ќе го подобрите вашиот статус како компетентен наставник, туку и ќе дадете значаен придонес во развојот на училиштето на иднината. Еснаф на образовни лидериги отвора вратите за врвни специјалисти и ги поканува да соработуваат во создавањето на најдобрите училишта во светот.

Предмети > Математика > Математика 8 одделение

При решавање на проблеми на оваа тема, освен основни својства паралелограми соодветните формули, можете да го запомните и примените следново:

1. Симетралата на внатрешен агол на паралелограм отсекува рамнокрак триаголник од него
2. Симетрали внатрешни агливо непосредна близина на една од страните на паралелограмот меѓусебно нормално
3. Симетралите што доаѓаат од спротивните внатрешни агли на паралелограмот се паралелни едни на други или лежат на иста права линија
4. Збирот на квадратите на дијагоналите на паралелограмот е еднаков на збирот на квадратите на неговите страни
5. Површината на паралелограм е еднаква на половина од производот на дијагоналите и синусот на аголот меѓу нив

Да ги разгледаме проблемите во кои се користат овие својства.

Задача 1.

Симетралата на аголот C на паралелограмот ABCD ја сече страната AD во точката M и продолжението на страната AB надвор од точката A во точката E. Најдете го периметарот на паралелограмот ако AE = 4, DM = 3.

Решение.

1. Триаголникот CMD е рамнокрак. (Својство 1). Затоа, CD = MD = 3 cm.

2. Триаголникот ЕАМ е рамнокрак.
Затоа, AE = AM = 4 cm.

3. АД = АМ + МД = 7 см.

4. Периметар ABCD = 20 cm.

Одговори. 20 см.

Задача 2.

Дијагоналите се нацртани во конвексен четириаголник ABCD. Познато е дека плоштините на триаголниците ABD, ACD, BCD се еднакви. Докажете дека овој четириаголник е паралелограм.

Решение.

1. Нека BE е висината на триаголникот ABD, CF е висината на триаголникот ACD. Бидејќи, според условите на задачата, плоштините на триаголниците се еднакви и имаат заедничка основа АД, тогаш висините на овие триаголници се еднакви. BE = CF.

2. BE, CF се нормални на AD. Точките B и C се наоѓаат на иста страна во однос на права линија AD. BE = CF. Затоа, права линија BC || А.Д. (*)

3. Нека AL е висината на триаголникот ACD, BK е висината на триаголникот BCD. Бидејќи, според условите на задачата, плоштините на триаголниците се еднакви и имаат заедничка основа ЦД, тогаш висините на овие триаголници се еднакви. АЛ = БК.

4. AL и BK се нормални на CD. Точките Б и А се наоѓаат на иста страна во однос на правата ЦД. АЛ = БК. Затоа, права линија AB || ЦД (**)

5. Од условите (*), (**) произлегува дека ABCD е паралелограм.

Одговори. Докажано. ABCD е паралелограм.

Задача 3.

На страните BC и CD на паралелограмот ABCD, точките M и H се означени, соодветно, така што отсечките BM и HD се сечат во точката O;<ВМD = 95 о,

Решение.

1. Во триаголник DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. Во правоаголен триаголник DHC
(

Потоа<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Бидејќи во правоаголен триаголник, кракот што лежи спроти аголот од 30° е еднаков на половина од хипотенузата).

Но, CD = AB. Потоа AB: HD = 2: 1.

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

Одговор: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

Задача 4.

Една од дијагоналите на паралелограм со должина од 4√6 прави агол од 60° со основата, а втората дијагонала прави агол од 45° со истата основа. Најдете ја втората дијагонала.

Решение.

1. AO = 2√6.

2. Ја применуваме синусната теорема на триаголникот AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Одговор: 12.

Задача 5.

За паралелограм со страни 5√2 и 7√2, помалиот агол помеѓу дијагоналите е еднаков на помалиот агол на паралелограмот. Најдете го збирот на должините на дијагоналите.

Решение.

Нека d 1, d 2 се дијагоналите на паралелограмот, а аголот помеѓу дијагоналите и помалиот агол на паралелограмот е еднаков на φ.

1. Да наброиме две различни
начини на нејзината површина.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

Ја добиваме еднаквоста 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f или

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Користејќи го односот помеѓу страните и дијагоналите на паралелограмот, ја запишуваме еднаквоста

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Ајде да создадеме систем:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Ајде да ја помножиме втората равенка на системот со 2 и да ја додадеме на првата.

Добиваме (d 1 + d 2) 2 = 576. Оттука, Id 1 + d 2 I = 24.

Бидејќи d 1, d 2 се должините на дијагоналите на паралелограмот, тогаш d 1 + d 2 = 24.

Одговор: 24.

Задача 6.

Страните на паралелограмот се 4 и 6. Остриот агол помеѓу дијагоналите е 45 степени. Најдете ја плоштината на паралелограмот.

Решение.

1. Од триаголникот AOB, користејќи ја косинусната теорема, ја запишуваме врската помеѓу страната на паралелограмот и дијагоналите.

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. Слично ја пишуваме релацијата за триаголникот AOD.

Да го земеме предвид тоа<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Ја добиваме равенката d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Имаме систем
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Одземање на првата од втората равенка, добиваме 2d 1 · d 2 √2 = 80 или

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Забелешка:Во овој и претходниот проблем нема потреба целосно да се реши системот, предвидувајќи дека во овој проблем ни треба производ на дијагонали за да ја пресметаме плоштината.

Одговор: 10.

Задача 7.

Плоштината на паралелограмот е 96, а неговите страни се 8 и 15. Најдете го квадратот на помалата дијагонала.

Решение.

1. S ABCD = AB · AD · sin ВАД. Ајде да направиме замена во формулата.

Добиваме 96 = 8 · 15 · sin VAD. Оттука грев ВАД = 4/5.

2. Ајде да најдеме cos VAD. грев 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25.

Според условите на проблемот, ја наоѓаме должината на помалата дијагонала. Дијагоналата ВD ќе биде помала ако аголот ВАД е остар. Потоа cos VAD = 3/5.

3. Од триаголникот ABD, користејќи ја косинусната теорема, го наоѓаме квадратот на дијагоналата BD.

ВД 2 = АВ 2 + АД 2 – 2 · АВ · ВД · cos ВАД.

ВД 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145.

Одговор: 145.

Сè уште имате прашања? Не знаете како да решите геометриски проблем?
За да добиете помош од учител, регистрирајте се.
Првата лекција е бесплатна!

веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.