Нека е дадена функцијата y=f(x) на отсечката која е поделена на n идентични отсечки (случај на вредности на аргументи со еднакво оддалеченост). x=h=конст. За секој јазол x 0, x 1 =x 0 +h,..., x n =x 0 +n h вредностите на функцијата се дефинирани во форма: f(x 0)=y 0, f(x 1)= y 1,.. ., f(x n)=y n.
Конечни разлики од прв ред y 0 = y 1 – y 0 y 1 = y 2 – y y n-1 = y n – y n-1. Конечни разлики од втор ред 2 y 0 = y 1 – y 0 2 y 1 = y 2 – y y n-2 = y n-1 – y n-2 Слично се дефинирани конечните разлики од повисоките редови: k y 0 = k- 1 y 1 – k-1 y 0 k y 1 = k-1 y 2 – k-1 y k y i = k-1 y i+1 – k-1 y i, i = 0,1,...,n-k.
Нека на функцијата y = f(x) и се дадени вредностите y i = f(x i) за еднакви вредности на независните променливи: x n = x 0 +nh, каде што h е чекор на интерполација. Потребно е да се најде полином P n (x) со степен не повисок од n, земајќи ги во точките (јазли) x i следните вредности: P n (x i) = y i, i=0,...,n. Дозволете ни да го напишеме полиномот за интерполирање во форма:
Проблемот за конструирање на полином се сведува на определување на коефициентите a i од условите: P n (x 0)=y 0 P n (x 1)=y P n (x n)=y n
Слично може да се најдат и други коефициенти. Општата формула е: Заменувајќи ги овие изрази во полиномната формула, добиваме: каде x i,y i – интерполациони јазли; x – моментална променлива; h – разлика помеѓу два интерполациски јазли h – константна вредност, т.е. јазлите на интерполација се подеднакво оддалечени еден од друг.
Особеноста на интерполацијата беше тоа што функцијата за интерполирање строго минува низ нодалните точки на табелата, односно пресметаните вредности се совпаѓаа со оние од табелата: y i =f(x i). Оваа карактеристика се должи на фактот дека бројот на коефициенти во функцијата за интерполирање (m) беше еднаков на бројот на табеларни вредности (n)
4. Невозможно е да се опишат табеларни податоци во кои има неколку точки со иста вредност на аргументот со помош на функција за интерполирање. Оваа ситуација е можна доколку истиот експеримент се изведува неколку пати со исти првични податоци. Сепак, ова не е ограничување за употребата на приближување, каде што состојбата на графикот на функцијата што минува низ секоја точка не е поставена.
Здраво на сите. Неодамна наидов на проблем на мојот нов телефон, за да го решам требаше да земам неколку APK-датотеки од фирмверот. По пребарувањето на Интернет за начини за решавање на овој проблем, наидов на интересна алатка која ми помогна да го решам овој проблем.
За работа ќе ни требаат:
ext4_unpacker_exe.zipext2explore-2.2.71.zip
Ние го расклопуваме фирмверот на Android Ја отпакуваме архивата *.zip со фирмверот во која било папка. ext4_unpacker.exeи изберете ја датотеката систем.img.
Откако ќе ја отворите датотеката, кликнете на копчето Зачувај како.
Го пишуваме името на датотеката со наставката .ext4(На пример систем.ext4).
Откако ќе заврши отпакувањето, стартувајте ја алатката ext2explore.exeво име на администраторот ( важно!).Во табот Датотекаизберете...
Програмата е поделена на две нишки од кои во едната се врши сортирање, а во другата се прецртува графичкиот интерфејс. По кликнување на копчето „Sort“, програмата го повикува методот „RunSorting“, во кој се дефинира алгоритмот за сортирање и се создава нова нишка со процесот на сортирање што се извршува во него.
приватна празнина RunSo…
Денес сакам да го покажам мојот Качер, што го правев во минатото зимски одмори. Нема да го опишам целиот процес на производство, бидејќи има многу статии на Интернет. Ќе пишувам само за неговите главни параметри.
Подолу се дадени неколку фотографии направени за време на склопувањето на уредот.
Намотката е намотана со приближно 2000 вртења од жица од 0,08 mm на ПВЦ цевка со дијаметар од 50 mm и висина од 200 mm.
Како терминал се користеше плоча од стар хард диск. Сè друго беше склопено според дијаграмот лоциран на самото дно на страницата.
Првата опција се напојуваше од напојување на стар компјутер, со напон од 12 V. Потоа беше направено посебно напојување, со напон од 30 V и со вградено ладење.
Дијаграм на уредот:
Споделување ресурси меѓу домени (CORS) е спецификација на W3C што овозможува комуникација меѓу домени во прелистувачот. Со градење на врвот на објектот XMLHttpRequest, CORS им овозможува на програмерите да работат со истите идиоми како и барањата со ист домен. Случајот за употреба за CORS е едноставен. Замислете дека alice.com има некои податоци што bob.com сака да ги добие. Овој тип на барање традиционално не е дозволен според истата политика за потекло на прелистувачот. Сепак, со поддршка на барањата CORS, alice.com може да додаде неколку специјални заглавија за одговор кои му дозволуваат на bob.com да пристапи до податоците. Како што можете да видите од овој пример, поддршката на CORS бара координација помеѓу серверот и клиентот. За среќа, ако сте развивач од страна на клиентот, вие сте заштитени од повеќето од овие детали. Остатокот од овој напис покажува како клиентите можат да поднесат барања за вкрстено потекло и како серверите можат да се конфигурираат за да поддржуваат CORS. Продолжува…
Кога ги добиваме формулите за интерполација на Њутн, кои се користат за исти цели како и формулата Лагранж, правиме дополнителна претпоставка дека се разгледуваат еквиоддалечените вредности на аргументот. Значи, оставете ги вредностите на функцијата y = f(x) специфицирани за еднакви оддалечени вредности x 0 , x 1 = x 0 + h, …, x n = x 0 + nh. Овие вредности на аргументите ќе одговараат на вредностите на функцијата: y 0 =f (x 0), y 1 =f(x 1), …, y n = f(x n).
Дозволете ни да го напишеме бараниот полином во форма
F( x) = а 0 + а 1 (x- x 0) + а 2 (x- x 0)(x- x 1) + а 3 (x- x 0)(x- x 1)(x- x 2) + …
…+ а n( x- x 0)(x- x 1)…(x- x n -1) (3.9)
За одредување на коефициентите a 0, a 1,..., a n стави во (3.9) x = x 0 . Потоа на 0 =Ф(x 0)=а 0 . Понатаму, под претпоставка x=x 1 , добиваме на 1 =Ф(x 1) = а 0 + а 1 ч , каде
a 1 =
Продолжувајќи со пресметката на коефициентите, да ставиме X =x 2. Потоа
y 2 = y 0 + 2ч + а 2 2хч, y 2 – 2Δ y 0 = а 2 2ч 2 ;
y 2 – 2y 1 + 2y 0 – y 0 = y 2 – 2y 1 + y 0 = а 2 2ч 2 .
Врз основа на (3.8), добиваме y 2 – 2y 1 + y 0 = Δ 2 y 0.
На истиот начин добиваме
Слични понатамошни пресметки ни дозволуваат да пишуваме општа формулаза кој било коефициент А k:
Заменувајќи ги пронајдените изрази за коефициентите во формулата (3.9), добиваме
Резултирачката формула се нарекува прва формула за интерполација на Њутн.
За практична употребаФормулата на Њутн (3.10) обично се пишува во трансформирана форма. За да го направите ова, ја воведуваме ознаката
од тука x = x 0 + ht.
Ајде да го изразиме преку тфактори вклучени во формулата (3.10):
………………………..
Заменувајќи ги добиените изрази во формулата (3.10), конечно добиваме
Изразот (3.11) ја претставува конечната форма на првата формула за интерполација на Њутн.
Пример. Преземање чекор h = 0,05, конструирај го Њутновиот интерполациски полином за функцијата на отсечката y = e x , наведено во табелата. 3.3.
Табела 3.3
Забележете дека во колоните за разлика, следејќи ја вообичаената практика, не ги одделуваме децималните места со запирка, што е јасно од колоната за вредност на функцијата.
Бидејќи разликите од трет ред се практично константни, во формулата (3.11) ставаме n = 3. Откако прифатија X 0 = 3,50 И на 0 = 33,115, ќе имаме:
Првата формула за интерполација на Њутн е незгодна за интерполирање на функција на крајот од табелата каде што бројот на разликите вредности е мал. Во овој случај, се применува втората формула за интерполација на Њутн, која сега ќе ја разгледаме.
Дозволете ни да го напишеме потребниот интерполациски полином во форма
Како и досега, коефициентите А 0 , А 1 ,… Аnсе утврдуваат од состојбата Ф(xз) = yјас.Ајде да ставиме (3.12) X = X n.Потоа а 0 = y n.
На ист начин, под претпоставка x = x n -1, добиваме y n -1 = y n+ а 1 (x n -1 - x n),
и бидејќи x n -1 - x n = - ч, Тоа
Бројачот на последниот израз може да се претстави на следниов начин:
yn -yn -1 - (yn -1 -yn -2)= Δ yn -1 -Δ yn -2 =Δ 2 yn -2.
Продолжувајќи со слични пресметки, добиваме општа формула за коефициентите
Откако ќе се заменат сите вредности на коефициентите во (3.12), оваа формула добива форма
Ова е втората формула за интерполација на Њутн. За полесно користење, тој, како и првиот, се трансформира со воведување на ознаката
= т или x= xn+ти.
Дозволете ни да го изразиме сега преку т фактори во формулата (3.13):
……………………………………………..
Откако ја направивме оваа замена, конечно добиваме:
Пример. Според табелата 3,5 вредности на седумцифрени логаритми за броеви од 1000 во чекори од 10 најдете дневник 1044.
Табела 3.5
| x | y | Δ y | Δ2 y | Δ3 y |
| 3,0000000 3,0043214 3,0086002 3,0128372 3,0170333 3,0211893 | -426 -418 -409 -401 |
Да прифатиме xn= 1050,yn= 3,0211893;Δ yn-1 = 0,0041560;
Δ2 yn -2 = - 0,0000401;Δ 3 y n -3 = 0.0000008.Потоа за x= 1044 добиваме
И првата и втората формули за интерполација на Њутн може да се користат за екстраполирање на функциите, односно да се најдат вредностите на функциите за вредностите на аргументите X , лежејќи надвор од масата. Ако вредноста x< x 0 и значење xблиску до x 0 , тогаш е поволно да се користи првата формула за интерполација на Њутн, и
Ако x > x 0 И xблиску до X n , тогаш попогодно е да се користи втората формула за интерполација на Њутн и
Така, првата Њутнова формула за интерполација обично се користи за напредна интерполација и наназад екстраполација, а втората Њутнова формула за интерполација, напротив, се користи за назад интерполација и напредна екстраполација.
Пример. Имајќи маса 3.6 вредности и разлики, y = гревот X: кои се движат од X= 15° до X = 55° во чекори ч= 5° , најдете грев 14 ° и гревот 56 ° .
Табела 3.6
| x(0 C) | y | Δ y | Δ2 y | Δ3 y |
| 0,2588 0,3420 0,4226 0,5000 0,5736 0,6428 0,7071 0,7660 0,8192 | 832 532 | -26 -32 -38 -44 -49 -54 -57 | -6 -6 -6 -5 -5 -3 |
Решение. Да се пресмета гревот14 0 да прифатиме x 0 = 15 0 И x= 14 0 , од тука т = (14–15)/5 = – 0,2.
Овде треба да екстраполираме наназад, па ја применуваме првата формула за интерполација на Њутн и конечните разлики подвлечени со една линија:
грев14 0 = 0,2588 + (– 0,2)0,0832+ (– 0,0026) +
+ (–0,0006) = 0,242.
Да се најде грев56 0 да прифатиме xn= 55 0 И x= 56 0 , од тука т= .
Применувајќи ја втората Њутнова формула за интерполација (3.14) и користејќи ги двојно подвлечените разлики, ќе имаме:
грев56 0 = 0,8192+ 0,2·0,0532 + (- 0,0057)+ (- 0,0003)= 0,83.
Првата формула за интерполација на Њутн е практично неповолна за интерполирање на функција во близина на јазлите на табелата. Во овој случај обично се користи .
Опис на задачата . Дозволете ни да имаме низа вредности на функции
за еквиоддалечени вредности на аргументи, каде е чекорот на интерполација. Да конструираме полином со следнава форма:
или, користејќи ја генерализираната моќност, добиваме:
Потоа, ако важи еднаквоста, добиваме
Ајде да ги замениме овие вредности во формулата (1). Потоа, конечно, Втората Њутнова формула за интерполацијаима форма:
Дозволете ни да воведеме попогодна нотација за формулата (2). Нека биде тогаш
Заменувајќи ги овие вредности во формулата (2), добиваме:
Ова е вообичаениот поглед Втората Њутнова формула за интерполација. За приближно пресметување на вредностите на функцијата, претпоставете:
И првата и втората формули за интерполација на Њутн може да се користат за екстраполирање на функцијата, односно за пронаоѓање на функциските вредности за вредностите на аргументите надвор од табелата.
Ако е блиску до, тогаш е поволно да се примени првата формула за интерполација на Њутн, а потоа. Ако е блиску до, тогаш попогодно е да се користи втората формула за интерполација на Њутн.
Така, првата формула за интерполација на Њутн обично се користи за напредна интерполацијаИ екстраполирање наназад, и втората формула за интерполација на Њутн, напротив, за интерполирање наназадИ напредна екстраполација.
Забележете дека операцијата на екстраполација, генерално кажано, е помалку точна од операцијата на интерполација во потесна смисла на зборот.
Пример. Преземајќи го чекорот, конструирајте го полиномот на интерполација на Њутн за функцијата дадена од табелата
 |
|||||||
Решение. Ние составуваме табела на разлики (Табела 1). Бидејќи разликите од трет ред се практично константни, претпоставуваме во формулата (3). Откако ќе прифатиме, ќе имаме:
Ова е посакуваниот полином за интерполација на Њутн.
Табела 1
 |
|
|
|
|
