За примена на теоремата на Виета при решавање на квадратни равенки. Усно решение на квадратни равенки и теорема на Виета Равенки со употреба на теорема на Виета

Во осмо одделение учениците се запознаваат со квадратните равенки и како да ги решат. Во исто време, како што покажува искуството, повеќето студенти, кога решаваат целосни квадратни равенки, користат само еден метод - формулата за корените на квадратната равенка. За студентите кои имаат добри ментални аритметички вештини, овој метод е јасно ирационален. Учениците често мораат да решаваат квадратни равенки дури и во средно училиште, а таму едноставно е штета да се троши време за пресметување на дискриминаторот. Според мене при изучувањето на квадратните равенки треба да се посвети повеќе време и внимание на примената на теоремата на Виета (според програмата А.Г. Мордкович Алгебра-8 предвидени се само два часа за изучување на темата „Теорема на Виета. Разложување на квадрат трином во линеарни фактори“).

Во повеќето учебници за алгебра, оваа теорема е формулирана за намалената квадратна равенка и вели дека ако равенката има корени и тогаш равенките , , се задоволени за нив.Потоа се формулира изјава што е обратна на теоремата на Виета и се нудат голем број примери за вежбање на оваа тема.

Да земеме конкретни примери и да ја следиме логиката на решението користејќи ја теоремата на Виета.

Пример 1. Решете ја равенката.

Да речеме дека оваа равенка има корени, имено и . Тогаш, според теоремата на Виета, еднаквостите мора истовремено да важат:

Забележете дека производот на корените е позитивен број. Тоа значи дека корените на равенката се со ист знак. И бидејќи збирот на корените е исто така позитивен број, заклучуваме дека двата корени на равенката се позитивни. Да се вратиме повторно на производот на корените. Да претпоставиме дека корените на равенката се цели броеви позитивни бројки. Тогаш точното прво равенство може да се добие само на два начина (до редоследот на факторите): или . Да ја провериме за предложените парови на броеви изводливоста на втората изјава на теоремата на Виета: . Така, броевите 2 и 3 ги задоволуваат двете еднаквости, и затоа се корените на дадената равенка.

Одговор: 2; 3.

Да ги истакнеме главните фази на расудување при решавање на горната квадратна равенка користејќи ја теоремата на Виета:

запишете го исказот на теоремата на Виета

(*)

определи ги знаците на корените на равенката (ако производот и збирот на корените се позитивни, тогаш двата корени се позитивни броеви. Ако производот на корените е позитивен број, а збирот на корените е негативен, тогаш двата корени се негативни броеви Ако производот на корените е негативен број, тогаш корените имаат различни знаци.
Притоа, ако збирот на корените е позитивен, тогаш коренот со поголем модул е позитивен број, а ако збирот на корените е помал од нула, тогаш коренот со поголем модул е негативен број);
изберете парови цели броеви чиј производ ја дава точната прва еднаквост во ознаката (*);
од пронајдените парови на броеви, изберете го парот што, кога ќе се замени во второто равенство во ознаката (*), ќе ја даде точната еднаквост;

во вашиот одговор наведете ги пронајдените корени на равенката.

Да дадеме уште неколку примери. .

Пример 2: Решете ја равенката

Решение.

Нека и се корените на дадената равенка. Потоа, според теоремата на Виета, забележуваме дека производот е позитивен, а збирот е негативен број. Ова значи дека двата корени се негативни броеви. Избираме парови на фактори кои даваат производ од 10 (-1 и -10; -2 и -5). Вториот пар на броеви се собира до -7. Тоа значи дека броевите -2 и -5 се корените на оваа равенка. -2; -5.

Одговор: .

Пример 2: Решете ја равенката

Пример 3: Решете ја равенката

Нека и се корените на дадената равенка. Потоа, според теоремата на Виета, забележуваме дека производот е негативен. Тоа значи дека корените се со различни знаци. Збирот на корените е исто така негативен број. Тоа значи дека коренот со најголем модул е негативен. Избираме парови на фактори кои го даваат производот -10 (1 и -10; 2 и -5). Вториот пар на броеви се собира до -3. Ова значи дека броевите 2 и -5 се корените на оваа равенка. Забележете дека теоремата на Виета, во принцип, може да се формулира за целосна квадратна равенка: Ако квадратна равенкаима корени и , тогаш еднаквостите , , се задоволуваат за нив.

Сепак, примената на оваа теорема е доста проблематична, бидејќи во целосна квадратна равенка барем еден од корените (ако ги има, се разбира) е фракционен број. А работата со избирање дропки е долга и тешка. Но сепак има излез. Размислете за целосната квадратна равенка . Помножете ги двете страни на равенката со првиот коефициентА и запишете ја равенката во форма . Дозволете ни да воведеме нова променлива и да ја добиеме намалената квадратна равенка, чии корени и (ако е достапно) може да се најдат со помош на теоремата на Виета. Тогаш корените на првобитната равенка ќе бидат . Ве молиме имајте предвид дека е многу едноставно да се создаде помошна намалена равенка: вториот коефициент е зачуван, а третиот коефициент е еднаков на производот. Со одредена вештина, учениците веднаш создаваат помошна равенка, ги наоѓаат нејзините корени користејќи ја теоремата на Виета и ги посочуваат корените на дадената целосна равенка. Да дадеме примери.

Пример 4: Решете ја равенката .

Ајде да создадеме помошна равенка и користејќи ја теоремата на Виета ќе ги најдеме нејзините корени. Ова значи дека корените на оригиналната равенка .

Пример 5: Решете ја равенката .

Помошната равенка има форма . Според теоремата на Виета, неговите корени се . Наоѓање на корените на првобитната равенка .

И уште еден случај кога примената на теоремата на Виета ви овозможува вербално да ги пронајдете корените на целосна квадратна равенка. Не е тешко да се докаже тоа бројот 1 е коренот на равенката , ако и само ако. Вториот корен од равенката се наоѓа со теоремата на Виета и е еднаков на . Уште една изјава: така што бројот –1 е коренот на равенката неопходни и доволни за. Тогаш вториот корен од равенката според теоремата на Виета е еднаков на. Слични искази може да се формулираат за дадената квадратна равенка.

Пример 6: Решете ја равенката.

Забележете дека збирот на коефициентите на равенката е нула. Значи, корените на равенката .

Пример 7. Решете ја равенката.

Коефициентите на оваа равенка го задоволуваат својството (навистина, 1-(-999)+(-1000)=0). Значи, корените на равенката .

Примери за примена на теоремата на Виета

Задача 1. Решете ја дадената квадратна равенка користејќи ја теоремата на Виета.

1. 6. 11. 16.
2. 7. 12. 17.
3. 8. 13. 18.
4. 9. 14. 19.
5. 10. 15. 20.

Задача 2. Решете ја целосната квадратна равенка со преминување на помошната намалена квадратна равенка.

1. 6. 11. 16.
2. 7. 12. 17.
3. 8. 13. 18.
4. 9. 14. 19.
5. 10. 15. 20.

Задача 3. Решете квадратна равенка користејќи го својството.

Теоремата на Виета често се користи за проверка на веќе пронајдените корени. Ако сте ги нашле корените, можете да ги користите формулите \(\begin(scases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(scases)\) за да ги пресметате вредностите на \(p \) и \(q\ ). И ако испаднат дека се исти како во оригиналната равенка, тогаш корените се наоѓаат правилно.

На пример, со помош на , да ја решиме равенката \(x^2+x-56=0\) и да ги добиеме корените: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Ајде да провериме дали сме направиле грешка во процесот на решавање. Во нашиот случај, \(p=1\), и \(q=-56\). Според теоремата на Виета имаме:

\(\почеток(случаи)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(случаи)\) \(\Леводесната стрелка\) \(\почеток(случаи)7+(-8)=-1 \\ 7\cdot(-8)=-56\end (scases)\) \(\Leftright arrow\) \(\begin(scases)-1=-1\\-56=-56\end (scases)\ )

И двете тврдења се споија, што значи дека правилно ја решивме равенката.

Оваа проверка може да се направи орално. Ќе ви бидат потребни 5 секунди и ќе ве спаси од глупави грешки.

Конверзна теорема на Виета

Ако \(\почеток(случаи)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(случаи)\), тогаш \(x_1\) и \(x_2\) се корените на квадратната равенка \ (x^ 2+px+q=0\).

Или на едноставен начин: ако имате равенка од формата \(x^2+px+q=0\), тогаш ќе го решите системот \(\begin(scases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(scases)\) ќе ги најдете неговите корени.

Благодарение на оваа теорема, можете брзо да ги најдете корените на квадратната равенка, особено ако овие корени се . Оваа вештина е важна бидејќи заштедува многу време.

Пример . Решете ја равенката \(x^2-5x+6=0\).

Решение : Користејќи ја инверзната теорема на Виета, откриваме дека корените ги задоволуваат условите: \(\почеток(случаи)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end (случаи)\).
Погледнете ја втората равенка на системот \(x_1 \cdot x_2=6\). На кои два може да се разложи бројот \(6\)? На \(2\) и \(3\), \(6\) и \(1\) или \(-2\) и \(-3\), и \(-6\) и \(- 1\). Првата равенка на системот ќе ви каже кој пар да го изберете: \(x_1+x_2=5\). \(2\) и \(3\) се слични, бидејќи \(2+3=5\).
Одговори : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Примери . Користејќи го обратната страна на теоремата на Виета, пронајдете ги корените на квадратната равенка:
а) \(x^2-15x+14=0\); б) \(x^2+3x-4=0\); в) \(x^2+9x+20=0\); г) \(x^2-88x+780=0\).

Решение :
а) \(x^2-15x+14=0\) – на кои фактори се разложува \(14\)? \(2\) и \(7\), \(-2\) и \(-7\), \(-1\) и \(-14\), \(1\) и \(14\ ). Кои парови броеви се собираат до \(15\)? Одговор: \(1\) и \(14\).

б) \(x^2+3x-4=0\) – на кои фактори се разложува \(-4\)? \(-2\) и \(2\), \(4\) и \(-1\), \(1\) и \(-4\). Кои парови броеви се собираат до \(-3\)? Одговор: \(1\) и \(-4\).

в) \(x^2+9x+20=0\) – на кои фактори се разложува \(20\)? \(4\) и \(5\), \(-4\) и \(-5\), \(2\) и \(10\), \(-2\) и \(-10\ ), \(-20\) и \(-1\), \(20\) и \(1\). Кои парови броеви се собираат до \(-9\)? Одговор: \(-4\) и \(-5\).

г) \(x^2-88x+780=0\) – на кои фактори се разложува \(780\)? \(390\) и \(2\). Дали тие ќе се соберат до \(88\)? бр. Кои други множители има \(780\)? \(78\) и \(10\). Дали тие ќе се соберат до \(88\)? Да. Одговор: \(78\) и \(10\).

Не е неопходно последниот термин да се прошири на сите можни фактори (како во последниот пример). Можете веднаш да проверите дали нивниот збир дава \(-p\).

важно!Теоремата на Виета и обратната теорема работат само со , односно со оној за кој коефициентот \(x^2\) е еднаков на еден. Ако првично ни беше дадена ненамалена равенка, тогаш можеме да ја намалиме со едноставно делење со коефициентот пред \(x^2\).

На пример, нека биде дадена равенката \(2x^2-4x-6=0\) и сакаме да користиме една од теоремите на Виета. Но, не можеме, бидејќи коефициентот на \(x^2\) е еднаков на \(2\). Ајде да се ослободиме од него со делење на целата равенка со \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Подготвени. Сега можете да ги користите двете теореми.

Одговори на најчесто поставуваните прашања

Прашање: Користејќи ја теоремата на Виета, можете да решите кој било ?
Нека и се корените на дадената равенка. Потоа, според теоремата на Виета, забележуваме дека производот е позитивен, а збирот е негативен број. Ова значи дека двата корени се негативни броеви. Избираме парови на фактори кои даваат производ од 10 (-1 и -10; -2 и -5). Вториот пар на броеви се собира до -7. Тоа значи дека броевите -2 и -5 се корените на оваа равенка. За жал не. Ако равенката не содржи цели броеви или равенката воопшто нема корени, тогаш теоремата на Виета нема да помогне. Во овој случај треба да користите дискриминаторски . За среќа, 80% од равенките во училишен курсматематиката има цели решенија.

Теоремата на Виета (поточно, теоремата обратна страна на теоремата Vieta) ви овозможува да го намалите времето за решавање на квадратни равенки. Вие само треба да знаете како да го користите. Како да научите да решавате квадратни равенки користејќи ја теоремата на Виета? Не е тешко ако размислите малку.

Сега ќе зборуваме само за решавање на редуцираната квадратна равенка користејќи ја теоремата на Виета Редуцирана квадратна равенка е равенка во која a, односно коефициентот x² е еднаков. Исто така, можно е да се решат квадратни равенки кои не се дадени со помош на теоремата на Виета, но барем еден од корените не е цел број. Потешко е да се погодат.

Инверзната теорема на теоремата на Виета вели: ако броевите x1 и x2 се такви што

тогаш x1 и x2 се корените на квадратната равенка

При решавање на квадратна равенка користејќи ја теоремата на Виета, можни се само 4 опции. Ако се сеќавате на линијата на расудување, можете многу брзо да научите да наоѓате цели корени.

I. Ако q е позитивен број,

тоа значи дека корените x1 и x2 се броеви со ист знак (бидејќи само со множење на броеви со исти знаци се добива позитивен број).

И.а. Ако -p е позитивен број, (соодветно, стр<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

И.б. Ако -p е негативен број, (соодветно, p>0), тогаш двата корени се негативни броеви (додадовме броеви со ист знак и добивме негативен број).

II. Ако q е негативен број,

тоа значи дека корените x1 и x2 имаат различни знаци (при множење на броеви, негативен број се добива само кога знаците на факторите се различни). Во овој случај, x1+x2 повеќе не е збир, туку разлика (на крајот на краиштата, кога се собираат броеви со различни знациго одземаме помалиот од поголемиот модул). Според тоа, x1+x2 покажува колку корените x1 и x2 се разликуваат, односно колку еден корен е поголем од другиот (во апсолутна вредност).

II.а. Ако -p е позитивен број, (односно, стр<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.б. Ако -p е негативен број, (p>0), тогаш поголемиот (модуло) корен е негативен број.

Ајде да размислиме за решавање на квадратни равенки користејќи ја теоремата на Виета користејќи примери.

Решете ја дадената квадратна равенка користејќи ја теоремата на Виета:

Тука q=12>0, значи корените x1 и x2 се броеви со ист знак. Нивниот збир е -p=7>0, така што двата корени се позитивни броеви. Избираме цели броеви чиј производ е еднаков на 12. Тоа се 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Збирот е 7 за парот 3 и 4. Тоа значи дека 3 и 4 се корените на равенката.

Во овој пример, q=16>0, што значи дека корените x1 и x2 се броеви со ист знак. Нивниот збир е -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Еве q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, тогаш поголемиот број е позитивен. Значи, корените се 5 и -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Франсоа Виете (1540-1603) – математичар, творец на познатите формули Виете

Теорема на Виетапотребни за брзо решавање на квадратни равенки (со едноставни зборови).

Тогаш подетално Теоремата на Виета е дека збирот на корените на дадена квадратна равенка е еднаков на вториот коефициент, кој се зема со спротивен знак, а производот е еднаков на слободниот член. Секоја намалена квадратна равенка која има корени го има ова својство.

Користејќи ја теоремата на Виета, можете лесно да ги решите квадратните равенки со избор, па да му кажеме „благодарам“ на овој математичар со меч во рацете за нашето среќно 7-мо одделение.

Доказ за теоремата на Виета

За да ја докажете теоремата, можете да користите добро познати коренски формули, благодарение на кои ќе составиме збир и производ од корените на квадратна равенка. Само после ова можеме да се увериме дека тие се еднакви и, соодветно, .

Да речеме дека имаме равенка: . Оваа равенка ги има следните корени: и . Да го докажеме тоа,.

Според формулите за корените на квадратна равенка:

1. Најдете го збирот на корените:

Ајде да ја погледнеме оваа равенка, како ја добивме токму вака:

= .

Чекор 1. Намалувајќи ги дропките на заеднички именител, излегува:

= = .

Чекор 2. Имаме дропка каде што треба да ги отвориме заградите:

Ја намалуваме дропот за 2 и добиваме:

Релацијата за збирот на корените на квадратна равенка ја докажавме користејќи ја теоремата на Виета.

2. Најдете го производот на корените:

= = = = = .

Да ја докажеме оваа равенка:

Чекор 1. Постои правило за множење на дропки, според кое ја множиме оваа равенка:

Сега се потсетуваме на дефиницијата за квадратен корен и пресметуваме:

= .

Чекор 3. Да се потсетиме на дискриминантата на квадратната равенка: . Затоа, наместо D (дискриминантна), ја заменуваме последната дропка, тогаш излегува:

= .

Чекор 4. Отворете ги заградите и додајте слични членови на дропката:

Чекор 5. Го скратуваме „4а“ и добиваме .

Така, ја докажавме врската за производот на корените користејќи ја теоремата на Виета.

ВАЖНО!Ако дискриминаторот е нула, тогаш квадратната равенка има само еден корен.

Теоремата е во спротивност со теоремата на Виета

Користејќи ја теоремата инверзна на теоремата на Виета, можеме да провериме дали нашата равенка е правилно решена. За да ја разберете самата теорема, треба да ја разгледате подетално.

Ако бројките се вака:

И, тогаш тие се корените на квадратната равенка.

Доказ за обратната теорема на Виета

Чекор 1.Да ги замениме изразите за неговите коефициенти во равенката:

Чекор 2.Ајде да ја трансформираме левата страна на равенката:

Чекор 3. Ајде да ги најдеме корените на равенката и за ова го користиме својството дека производот е еднаков на нула:

Или . Од каде доаѓа: или .

Примери со решенија користејќи ја теоремата на Виета

Пример 1

Вежбајте

Најдете го збирот, производот и збирот на квадратите на корените на квадратна равенка без да ги најдете корените на равенката.

Решение

Чекор 1. Да се потсетиме на формулата за дискриминација. Ги заменуваме нашите броеви за буквите. Тоа е, , – ова го заменува , и . Од ова произлегува:

Излегува:

Title="Изведено од QuickLaTeX.com" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}

Да го изразиме збирот на квадратите на корените преку нивниот збир и производ:

Одговори

7; 12; 25.

Пример 2

Вежбајте

Решете ја равенката. Сепак, не користете формули со квадратни равенки.

Решение

Оваа равенка има корени чија дискриминација (D) е поголема од нула. Според тоа, според теоремата на Виета, збирот на корените на оваа равенка е еднаков на 4, а производот е 5. Прво, ги одредуваме делителите на бројот, чиј збир е еднаков на 4. Тоа се броевите “ 5“ и „-1“. Нивниот производ е еднаков на – 5, а нивниот збир – 4. Тоа значи дека, според теоремата инверзна на теоремата на Виета, тие се корените на оваа равенка.

Одговори

И Пример 4

Вежбајте

Напишете равенка каде што секој корен е двојно поголем од соодветниот корен на равенката:

Решение

Според теоремата на Виета, збирот на корените на оваа равенка е еднаков на 12, а производот = 7. Тоа значи дека два корени се позитивни.

Збирот на корените на новата равенка ќе биде еднаков на:

И работата.

Според теоремата инверзна на теоремата на Виета, новата равенка ја има формата:

Одговори

Резултатот е равенка, чиј корен е двојно поголем:

Значи, погледнавме како да ја решиме равенката користејќи ја теоремата на Виета. Многу е погодно да се користи оваа теорема ако решавате проблеми што ги вклучуваат знаците на корените на квадратните равенки. Односно, ако слободниот член во формулата е позитивен број, и ако квадратната равенка има реални корени, тогаш и двата може да бидат или негативни или позитивни.

И ако слободниот член е негативен број, и ако квадратната равенка има вистински корени, тогаш двата знака ќе бидат различни. Тоа е, ако еден корен е позитивен, тогаш другиот корен ќе биде само негативен.

Корисни извори:

Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. 8 одделение: Москва „Просветителство“, 2016 – 318 стр.
Рубин А.Г., Чулков П.В. – учебник Алгебра 8-мо одделение: Москва „Балас“, 2015 – 237 стр.
Николски С. М., Потопав М. К., Решетников Н.Н., Шевкин А. В. – Алгебра 8-мо одделение: Москва „Просветителство“, 2014 – 300 г.

Теорема на Виета, инверзна формула на Виета и примери со решенија за куклиажурирано: 22 ноември 2019 година од: Научни написи.Ru