Напредокот на лекцијата

Организациски момент

Ажурирање на знаењето.

Проверка на домашната задача

Примарна консолидација на изучениот материјал

Сумирајќи. Рефлексија.

Домашна задача:

Размислете за пример: решите неравенство (0,5) (7 - 3*x)< 4.

Забележете дека 4 = (0,5) 2 . Тогаш неравенството ќе добие форма (0,5)(7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

Добиваме: 7 - 3*x>-2.

Оттука: x<3.

Одговор: x<3.

Ако основата во неравенката беше поголема од една, тогаш кога ќе се ослободиме од основата, нема да има потреба да се менува знакот на неравенството.

Многу луѓе мислат дека експоненцијалните нееднаквости се нешто сложено и неразбирливо. А дека учењето да се решаваат е речиси голема уметност, која само избраните се способни да ја сфатат...

Целосна глупост! Експоненцијалните нееднаквости се лесни. И тие секогаш се решаваат едноставно. Па, скоро секогаш :)

Денес ќе ја разгледаме оваа тема внатре и надвор. Оваа лекција ќе биде многу корисна за оние кои штотуку почнуваат да го разбираат овој дел од училишната математика. Да почнеме со едноставни проблеми и да преминеме на посложени прашања. Нема да има тешки работи денес, но она што ќе го прочитате ќе биде доволно за да ги решите повеќето нееднаквости на сите видови тестови и тестови. самостојна работа. И на овој твој испит.

Како и секогаш, да почнеме со дефиницијата. Експоненцијална неравенка е секоја неравенка која содржи експоненцијална функција. Со други зборови, секогаш може да се сведе на нееднаквост на формата

\[((а)^(x)) \gt b\]

Каде што улогата на $b$ може да биде обичен број, или можеби нешто потешко. Примери? Да ве молам:

\[\ почеток (порамни) & ((2) ^ (x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\четири ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(x))). \\\крај (порамни)\]

Мислам дека значењето е јасно: постои експоненцијална функција $((a)^(x))$, се споредува со нешто, а потоа се бара да се најде $x$. Во особено клинички случаи, наместо променливата $x$, тие можат да стават некоја функција $f\left(x \десно)$ и со тоа малку да ја комплицираат нееднаквоста :)

Се разбира, во некои случаи нееднаквоста може да изгледа потешка. Еве, на пример:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Или дури и ова:

Општо земено, сложеноста на таквите неравенки може да биде многу различна, но на крајот тие сепак се сведуваат на едноставната конструкција $((a)^(x)) \gt b$. И ние некако ќе сфатиме таква конструкција (во особено клинички случаи, кога ништо не ми паѓа на памет, логаритмите ќе ни помогнат). Затоа, сега ќе ве научиме како да решавате такви едноставни конструкции.

Решавање едноставни експоненцијални неравенки

Да разгледаме нешто многу едноставно. На пример, ова:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Очигледно, бројот од десната страна може да се препише како моќ од два: $4=((2)^(2))$. Така, оригиналната нееднаквост може да се препише во многу погодна форма:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

И сега рацете ми се чешаат да ги „пречкртам“ двајцата во основите на моќта за да го добијам одговорот $x \gt 2$. Но, пред да прецртаме нешто, да се потсетиме на моќта на две:

\[((2)^(1))=2;\четири ((2)^(2))=4;\четири ((2)^(3))=8;\четири ((2)^( 4))=16;...\]

Како што можете да видите, колку е поголем бројот во експонентот, толку е поголем излезниот број. „Благодарам, капа!“ - ќе извика еден од учениците. Дали е поинаку? За жал, тоа се случува. На пример:

\[((\left(\frac(1)(2) \десно))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ десно)) ^ (2)) = \ frac (1) (4); \ quad ((\ лево (\ frac (1) (2) \ десно)) ^ (3)) =\ frac (1) (8 );...\]

И овде сè е логично: колку е поголем степенот, толку повеќе пати бројот 0,5 се множи сам по себе (т.е. поделен на половина). Така, добиената низа на броеви се намалува, а разликата помеѓу првата и втората низа е само во основата:

• Ако основата на степенот $a \gt 1$, тогаш како што се зголемува експонентот $n$, ќе се зголемува и бројот $((a)^(n))$;
• И обратно, ако $0 \lt a \lt 1$, тогаш како што се зголемува експонентот $n$, бројот $((a)^(n))$ ќе се намалува.

Сумирајќи ги овие факти, ја добиваме најважната изјава на која се заснова целото решение на експоненцијални неравенки:

Ако $a \gt 1$, тогаш неравенката $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ е еквивалентна на неравенката $x \gt n$. Ако $0 \lt a \lt 1$, тогаш неравенката $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ е еквивалентна на неравенката $x \lt n$.

Со други зборови, ако основата е поголема од една, можете едноставно да ја отстраните - знакот за нееднаквост нема да се промени. И ако основата е помала од една, тогаш таа исто така може да се отстрани, но во исто време ќе треба да го промените знакот за нееднаквост.

Ве молиме имајте предвид дека не ги разгледавме опциите $a=1$ и $a\le 0$. Затоа што во овие случаи се јавува неизвесност. Да речеме како да решиме неравенство од формата $((1)^(x)) \gt 3$? Еден на која било моќ повторно ќе даде еден - никогаш нема да добиеме три или повеќе. Оние. нема решенија.

Со негативни причини сè е уште поинтересно. Размислете, на пример, оваа нееднаквост:

\[((\лево(-2 \десно))^(x)) \gt 4\]

На прв поглед, сè е едноставно:

нели? Но, не! Доволно е да замените неколку парни и неколку непарни броеви наместо $x$ за да се уверите дека решението е неточно. Погледнете:

\[\почеток(порамни) & x=4\Десна стрелка ((\лево(-2 \десно))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Десна стрелка ((\лево(-2 \десно))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Десна стрелка ((\лево(-2 \десно))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Десна стрелка ((\лево(-2 \десно))^(7))=-128 \lt 4. \\\крај (порамни)\]

Како што можете да видите, знаците се наизменично. Но има и фракциони моќи и други глупости. Како, на пример, би наредиле да се пресмета $((\left(-2 \десно))^(\sqrt(7)))$ (минус два до моќта од седум)? Нема шанси!

Затоа, за дефинитивно, претпоставуваме дека во сите експоненцијални неравенки (и равенки, патем, исто така) $1\ne a \gt 0$. И тогаш сè е решено многу едноставно:

" \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \десно). \\\крај (порамни) \десно.\]

Во принцип, запомнете го главното правило уште еднаш: ако основата во експоненцијалната равенка е поголема од една, можете едноставно да ја отстраните; а ако основата е помала од една, може и таа да се отстрани, но знакот на нееднаквост ќе се промени.

Примери на решенија

Значи, да погледнеме неколку едноставни експоненцијални неравенки:

\[\begin(порамни) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\крај (порамни)\]

Примарната задача во сите случаи е иста: да се намалат неравенките до наједноставната форма $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Токму тоа сега ќе го правиме со секоја неравенка, а во исто време ќе ги повториме својствата на степените и експоненцијалните функции. Значи, ајде да одиме!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Што можете да направите овде? Па, лево веќе имаме индикативен израз - ништо не треба да се менува. Но, од десната страна има некаква глупост: дропка, па дури и корен во именителот!

Сепак, да се потсетиме на правилата за работа со дропки и сили:

\[\begin(порамни) & \frac(1)((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\крај (порамни)\]

Што значи тоа? Прво, лесно можеме да се ослободиме од дропката со тоа што ќе ја претвориме во моќност со негативен експонент. И второ, бидејќи именителот има корен, би било убаво да се претвори во моќност - овој пат со дробен експонент.

Ајде да ги примениме овие дејства последователно на десната страна на нееднаквоста и да видиме што се случува:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \десно))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \десно))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \лево(-1 \десно)))=(2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Не заборавајте дека при подигање на степен до моќ, експонентите на овие степени се собираат. И воопшто, кога работите со експоненцијални равенки и неравенки, апсолутно е неопходно да се знаат барем наједноставните правила за работа со моќи:

\[\begin(порамни) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\лево(((а)^(x)) \десно))^(y))=((а)^(x\cdot y)). \\\крај (порамни)\]

Всушност, ние само го применивме последното правило. Затоа, нашата оригинална нееднаквост ќе биде препишана на следниов начин:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\десна стрелка ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ фрак (1) (3)))\]

Сега се ослободуваме од двете во основата. Од 2 > 1, знакот за нееднаквост ќе остане ист:

\[\begin(порамни) & x-1\le -\frac(1)(3)\Десна стрелка x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \десно]. \\\крај (порамни)\]

Тоа е решението! Главната тешкотија воопшто не е во експоненцијалната функција, туку во компетентната трансформација на оригиналниот израз: треба внимателно и брзо да го доведете до наједноставната форма.

Размислете за втората неравенка:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Да, да. Децималните дропки не чекаат овде. Како што реков многу пати, во секој израз со моќ треба да се ослободите од децимали - ова е често единствениот начин да видите брзо и едноставно решение. Тука ќе се ослободиме од:

\[\ почеток (порамни) & 0,1=\frac(1) (10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\лево(\frac(1)(10) \ десно))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\десно стрелка ((\лево(\frac(1)(10) \десно))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \десно))^(2)). \\\крај (порамни)\]

Тука повторно имаме наједноставна неравенка, па дури и со основа 1/10, т.е. помалку од еден. Па, ги отстрануваме основите, истовремено менувајќи го знакот од „помалку“ во „повеќе“, и добиваме:

\[\почеток(порамни) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\крај (порамни)\]

Го добивме конечниот одговор: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Ве молиме запомнете: одговорот е точно множество, и во никој случај конструкција од формата $x \lt -1$. Бидејќи формално, таквата конструкција воопшто не е множество, туку нееднаквост во однос на променливата $x$. Да, многу е едноставно, но не е одговорот!

Важна забелешка. Оваа нееднаквост би можела да се реши на друг начин - со намалување на двете страни на моќност со основа поголема од една. Погледнете:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\десно стрелка ((\лево(((10)^(-1)) \десно))^(1-x)) \ lt ((\лево(((10)^(-1)) \десно))^(2))\Десна стрелка ((10)^(-1\cdot \лево(1-x \десно)) \lt ((10)^(-1\cточка 2))\]

По таквата трансформација, повторно ќе добиеме експоненцијална неравенка, но со основа 10 > 1. Тоа значи дека можеме едноставно да ја пречкртаме десетката - знакот за неравенство нема да се промени. Добиваме:

\[\почеток(порамни) & -1\cdot \left(1-x \десно) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\крај (порамни)\]

Како што можете да видите, одговорот беше сосема ист. Во исто време, се спасивме од потребата да го смениме знакот и генерално да запомниме какви било правила :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Сепак, не дозволувајте ова да ве плаши. Без разлика што има во индикаторите, самата технологија за решавање на нееднаквоста останува иста. Затоа, прво да забележиме дека 16 = 2 4. Ајде да ја преработиме првобитната нееднаквост земајќи го предвид овој факт:

\[\ begin(порамни) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\крај (порамни)\]

Ура! Ја добивме вообичаената квадратна нееднаквост! Знакот не се промени никаде, бидејќи основата е два - број поголем од еден.

Нули на функција на бројната права

Ги распоредуваме знаците на функцијата $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - очигледно, неговиот график ќе биде парабола со гранки нагоре, па ќе има „плусови “ на страните. Ние сме заинтересирани за регионот каде што функцијата е помала од нула, т.е. $x\in \left(2;5 \десно)$ е одговорот на оригиналниот проблем.

Конечно, разгледајте уште една нееднаквост:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Повторно гледаме експоненцијална функција со децимална дропка во основата. Ајде да ја претвориме оваа дропка во заедничка дропка:

\[\ почеток (порамни) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=(5)^(-1))\Десна стрелка \\ & \Десна стрелка ((0 ,2 )^(1+((x)^(2)))=((\лево(((5)^(-1)) \десно))^(1+((x)^(2))) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \десно)))\крај (порамни)\]

Во овој случај, ја искористивме забелешката дадена претходно - ја намаливме основата на бројот 5 > 1 со цел да го поедноставиме нашето понатамошно решение. Ајде да го сториме истото со десната страна:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \десно))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ десно))^(2))=((5)^(-1\cточка 2))=((5)^(-2))\]

Дозволете ни да ја преработиме првобитната нееднаквост земајќи ги предвид двете трансформации:

\[((0,2)^(1+((x)^(2)))\ge \frac(1)(25)\десно стрелка ((5)^(-1\cdot \лево(1+ ((x)^(2)) \десно)))\ge ((5)^(-2))\]

Основите на двете страни се исти и надминуваат една. Нема други термини десно и лево, па едноставно ги „пречкртаме“ петките и добиваме многу едноставен израз:

\[\begin(порамни) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \десно)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\четири \лево| \cdot \left(-1 \десно) \десно. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\крај (порамни)\]

Ова е местото каде што треба да бидете повнимателни. Многу студенти сакаат едноставно да извлекуваат квадратен коренод двете страни на неравенката и напишете нешто како $x\le 1\Десна стрелка x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Во никој случај не треба да го правите ова, бидејќи коренот на точниот квадрат е модул, и во никој случај оригиналната променлива:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\лево| x\десно|\]

Сепак, работата со модули не е најпријатното искуство, нели? Значи, нема да работиме. Наместо тоа, ние едноставно ги преместуваме сите поими налево и ја решаваме вообичаената нееднаквост користејќи го методот на интервал:

$\begin(порамни) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \лево(x-1 \десно)\лево(x+1 \десно)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\четири ((x)_(2)) =-1; \\\крај (порамни)$

Повторно ги означуваме добиените точки на бројната линија и ги гледаме знаците:

Бидејќи решававме нестрога неравенка, сите точки на графикот се засенчени. Затоа, одговорот ќе биде: $x\in \left[ -1;1 \right]$ не е интервал, туку сегмент.

Во принцип, би сакал да забележам дека нема ништо комплицирано за експоненцијалните нееднаквости. Значењето на сите трансформации што ги извршивме денес се сведува на едноставен алгоритам:

• Најдете ја основата на која ќе ги намалиме сите степени;
• Внимателно изведете ги трансформациите за да добиете неравенство од формата $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Се разбира, наместо променливите $x$ и $n$ може да има многу повеќе сложени функции, но значењето нема да се промени;
• Пречкртајте ги основите на степените. Во овој случај, знакот за нееднаквост може да се промени ако основата $a \lt 1$.

Всушност, ова е универзален алгоритам за решавање на сите такви нееднаквости. А се друго што ќе ви кажат на оваа тема се само конкретни техники и трикови кои ќе ја поедностават и забрзаат трансформацијата. Сега ќе зборуваме за една од овие техники.

Метод на рационализација

Да разгледаме уште еден сет на нееднаквости:

\[\begin(порамни) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\текст( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\лево(2\sqrt(3)-3 \десно))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\лево(\frac(1)(3) \десно))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\лево(\frac(1)(9) \десно))^(16-x)); \\ & ((\лево(3-2\sqrt(2) \десно))^(3x-((x)^(2))) \lt 1. \\\крај (порамни)\]

Значи, што е толку посебно за нив? Тие се лесни. Иако, застани! Дали бројот π е подигнат на некоја моќ? Какви глупости?

Како да се подигне бројот $2\sqrt(3)-3$ на моќност? Или $3-2\sqrt(2)$? Проблематичните писатели очигледно испиле премногу глог пред да седнат на работа :)

Всушност, нема ништо страшно во овие задачи. Дозволете ми да ве потсетам: експоненцијална функција е израз на формата $((a)^(x))$, каде што основата $a$ е која било позитивен број, со исклучок на еден. Бројот π е позитивен - тоа веќе го знаеме. Броевите $2\sqrt(3)-3$ и $3-2\sqrt(2)$ се исто така позитивни - ова е лесно да се види дали ги споредувате со нула.

Излегува дека сите овие „застрашувачки“ нееднаквости се решени не се разликуваат од едноставните дискутирани погоре? И дали се решаваат на ист начин? Да, тоа е апсолутно точно. Сепак, користејќи го нивниот пример, би сакал да разгледам една техника која во голема мера заштедува време на самостојна работа и испити. Ќе зборуваме за методот на рационализација. Значи, внимание:

Секоја експоненцијална неравенка од формата $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ е еквивалентна на неравенката $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ десно) \gt 0 $.

Тоа е целиот метод :) Мислевте дека ќе има некоја друга игра? Ништо од тој вид! Но, овој едноставен факт, напишан буквално во еден ред, во голема мера ќе ја поедностави нашата работа. Погледнете:

\[\begin(матрица) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^((x)^(2)-3x+2)) \\ \Надолу \\ \лево(x+7-\лево(((x)^(2)) -3x+2 \десно) \десно)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \десно) \gt 0 \\\end (матрица)\]

Значи, нема повеќе експоненцијални функции! И не треба да се сеќавате дали знакот се менува или не. Но, се јавува нов проблем: што да правам со ебаниот мултипликатор \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \десно)\]? Не знаеме која е точната вредност на бројот π. Сепак, капитенот се чини дека го навестува очигледното:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\приближно 3,14... \gt 3\Десна стрелка \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

Општо земено, точната вредност на π не нè засега - само ни е важно да разбереме дека во секој случај $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, т.е. ова е позитивна константа и можеме да ги поделиме двете страни на нееднаквоста со неа:

\[\почеток(порамни) & \лево(x+7-\лево(((x)^(2))-3x+2 \десно) \десно)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \десно) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \десно) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\четири \лево| \cdot \left(-1 \десно) \десно. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \лево(x-5 \десно)\лево(x+1 \десно) \lt 0. \\\крај (порамни)\]

Како што можете да видите, во одреден момент моравме да се поделиме со минус еден - и знакот на нееднаквост се промени. На крајот, го проширив квадратниот трином користејќи ја теоремата на Виета - очигледно е дека корените се еднакви на $((x)_(1))=5$ и $((x)_(2))=-1$ . Тогаш се е решено класичен методинтервали:

Сите точки се отстранети бидејќи првобитната нееднаквост е строга. Ние сме заинтересирани за регионот со негативни вредности, па одговорот е $x\in \left(-1;5 \десно)$. Тоа е решението :)

Ајде да продолжиме на следната задача:

\[((\лево(2\sqrt(3)-3 \десно))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Сè овде е генерално едноставно, бидејќи има единица десно. И се сеќаваме дека еден е кој било број подигнат на нулта моќност. Дури и ако овој број е ирационален израз во основата лево:

\[\ почеток (порамни) & ((\лево(2\sqrt(3)-3 \десно))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\лево(2 \sqrt(3)-3 \десно))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \десно))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \десно))^(0)); \\\крај (порамни)\]

Па, ајде да рационализираме:

\[\почеток(порамни) & \лево(((x)^(2))-2x-0 \десно)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \десно) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \десно)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \десно) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \десно)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \десно) \lt 0. \\\крај (порамни)\ ]

Останува само да се откријат знаците. Факторот $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ не ја содржи променливата $x$ - тоа е само константа и треба да го дознаеме нејзиниот знак. За да го направите ова, забележете го следново:

\[\begin(матрица) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Надолу \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \десно) \lt 2\cdot \left(2 -2 \десно)=0 \\\крај (матрица)\]

Излегува дека вториот фактор не е само константа, туку негативна константа! И кога се дели со него, знакот на првобитната нееднаквост се менува на спротивното:

\[\почеток(порамни) & \лево(((x)^(2))-2x-0 \десно)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \десно) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\лево(x-2 \десно) \gt 0. \\\крај (порамни)\]

Сега сè станува сосема очигледно. Корени квадратен трином, стои десно: $((x)_(1))=0$ и $((x)_(2))=2$. Ги означуваме на нумеричката линија и ги гледаме знаците на функцијата $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Заинтересирани сме за интервалите означени со знакот плус. Останува само да се запише одговорот:

Ајде да продолжиме на следниот пример:

\[((\left(\frac(1)(3) \десно))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ десно)) ^ (16-x))\]

Па, овде сè е сосема очигледно: основите содржат моќи со ист број. Затоа, ќе напишам сè накратко:

\[\begin(матрица) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Надолу \\ ((\лево(((3)^(-1)) \десно))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\лево(((3)^(-2)) \десно))^(16-x)) \\\крај (матрица)\]

\[\ begin(порамни) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \десно))) \gt ((3)^(-2\cdot \ лево (16-x \десно))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \десно) \десно)\cdot \left(3-1 \десно) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\четири \лево| \cdot \left(-1 \десно) \десно. \\ & ((x) ^ (2)) + 4x-32 \lt 0; \\ & \лево(x+8 \десно)\лево(x-4 \десно) \lt 0. \\\крај (порамни)\]

Како што можете да видите, за време на процесот на трансформација моравме да се множиме со негативен број, па знакот на нееднаквост е променет. На самиот крај, повторно ја применив теоремата на Виета за да го факторизирам квадратниот трином. Како резултат на тоа, одговорот ќе биде следниот: $x\in \left(-8;4 \десно)$ - секој може да го потврди ова со цртање бројна линија, означување на точките и броење на знаците. Во меѓувреме, ќе преминеме на последната нееднаквост од нашето „множество“:

\[((\лево(3-2\sqrt(2) \десно))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Како што можете да видите, во основата има повторно ирационален број, а десно е повторно еден. Затоа, ја препишуваме нашата експоненцијална нееднаквост на следниов начин:

\[((\лево(3-2\sqrt(2) \десно))^(3x-((x)^(2))) \lt ((\лево(3-2\sqrt(2) \ десно))^(0))\]

Ние применуваме рационализација:

\[\почеток(порамни) & \лево(3x-((x)^(2))-0 \десно)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \десно) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \десно)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \десно) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \десно)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \десно) \lt 0. \\\крај (порамни)\ ]

Сепак, сосема е очигледно дека $1-\sqrt(2) \lt 0$, бидејќи $\sqrt(2)\приближно 1,4... \gt 1$. Затоа, вториот фактор е повторно негативна константа, на која може да се поделат двете страни на нееднаквоста:

\[\почеток(матрица) \лево(3x-((x)^(2))-0 \десно)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \десно) \lt 0 \\ \Надолу \ \\крај (матрица)\]

\[\почеток(порамни) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\четири \лево| \cdot \left(-1 \десно) \десно. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\лево(x-3 \десно) \lt 0. \\\крај (порамни)\]

Премести во друга база

Посебен проблем при решавање на експоненцијални неравенки е потрагата по „точната“ основа. За жал, не секогаш на прв поглед на задачата е очигледно што да се земе како основа и што да се направи според степенот на оваа основа.

Но, не грижете се: тука нема магија или „тајна“ технологија. Во математиката, секоја вештина што не може да се алгоритмизира може лесно да се развие преку пракса. Но, за ова ќе мора да решите проблеми од различни нивоа на сложеност. На пример, вака:

\[\ begin(порамни) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\лево(\frac(1)(3) \десно))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\лево(0,16 \десно))^(1+2x))\cdot ((\лево(6,25 \десно))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \десно))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ крај (порамни)\]

Тешко? Страшно? Полесно е отколку да удриш кокошка на асфалт! Ајде да го пробаме. Првата нееднаквост:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Па, мислам дека сè е јасно овде:

Ја препишуваме првобитната нееднаквост, намалувајќи сè на две основа:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\десна стрелка \лево(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \десно)\cdot \лево(2-1 \десно) \lt 0\]

Да, да, добро слушнавте: само што го применив методот на рационализација опишан погоре. Сега треба внимателно да работиме: успеавме фракциона рационална нееднаквост(ова е нешто што има променлива во именителот), па пред да изедначите нешто на нула, треба да доведете сè на заеднички именители ослободете се од постојаниот фактор.

\[\begin(порамни) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \десно)\cdot \left(2-1 \десно) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \десно)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\крај (порамни)\]

Сега го користиме стандардниот метод на интервал. Нули на броител: $x=\pm 4$. Именителот оди на нула само кога $x=0$. Вкупно има три точки што треба да се означат на бројната права (сите точки се закачени затоа што знакот за нееднаквост е строг). Добиваме:

Како што може да претпоставите, засенчувањето ги означува оние интервали во кои се појавува изразот лево негативни вредности. Затоа, конечниот одговор ќе вклучува два интервали одеднаш:

Краевите на интервалите не се вклучени во одговорот бидејќи првичната нееднаквост била строга. Не е потребна дополнителна проверка на овој одговор. Во овој поглед, експоненцијалните неравенки се многу поедноставни од логаритамските: без ODZ, без ограничувања итн.

Ајде да продолжиме на следната задача:

\[((\лево(\frac(1)(3) \десно))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

И тука нема проблеми, бидејќи веќе знаеме дека $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, така што целата неравенка може да се преработи на следниов начин:

\[\почеток(порамни) & ((\лево(((3)^(-1)) \десно))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Десна стрелка ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \десно) \десно)\cdot \left(3-1 \десно)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \десно)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \десно) \десно. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\крај (порамни)\]

Ве молиме запомнете: во третата линија решив да не губам време на ситници и веднаш да поделам сè со (-2). Минул влезе во првата заграда (сега има плус насекаде), а два беа намалени со постојан фактор. Токму тоа треба да го правите кога подготвувате вистински прикази на независни и тестови— Нема потреба да се опишува секоја акција и трансформација.

Следно, познатиот метод на интервали стапува во игра. Нули на броител: но нема. Затоа што дискриминаторот ќе биде негативен. За возврат, именителот се ресетира на нула само на $x=0$ - како кај нас последен пат. Па, јасно е дека десно од $x=0$ дропот ќе зема позитивни вредности, а лево - негативни. Бидејќи сме заинтересирани за негативни вредности, конечниот одговор е: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\лево(0,16 \десно))^(1+2x))\cdot ((\лево(6,25 \десно))^(x))\ge 1\]

Што треба да направите со децималните дропки во експоненцијални неравенки? Така е: ослободете се од нив, претворајќи ги во обични. Еве ние ќе преведеме:

\[\ begin(порамни) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Десна стрелка ((\лево(0,16 \десно))^(1+2x)) =((\ лево(\frac(4)(25) \десно))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\десна стрелка ((\лево(6,25 \десно))^(x)=((\лево(\ frac(25) (4)\десно))^(x)). \\\крај (порамни)\]

Значи, што добивме во основите на експоненцијалните функции? И добивме два меѓусебно инверзни броеви:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \десно))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ десно))^(x))=((\лево(((\лево(\frac(4)(25) \десно))^(-1)) \десно))^(x))=(\ лево(\frac(4)(25) \десно))^(-x))\]

Така, оригиналната нееднаквост може да се преработи на следниов начин:

\[\почеток(порамни) & ((\лево(\frac(4)(25) \десно))^(1+2x))\cdot ((\лево(\frac(4)(25) \десно) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\лево(\frac(4)(25) \десно))^(1+2x+\лево(-x \десно)))\ge ((\лево(\frac(4)(25) \десно))^(0)); \\ & ((\лево(\frac(4)(25) \десно))^(x+1))\ge ((\лево(\frac(4)(25) \десно))^(0) ). \\\крај (порамни)\]

Се разбира, кога се множат силите со иста основа, нивните експоненти се собираат, што се случи во вториот ред. Дополнително, ја претставивме единицата десно, исто така како моќност во основата 4/25. Останува само да се рационализира:

\[((\лево(\frac(4)(25) \десно))^(x+1))\ge ((\лево(\frac(4)(25) \десно))^(0)) \Десна стрелка \лево(x+1-0 \десно)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \десно)\ge 0\]

Забележете дека $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, т.е. вториот фактор е негативна константа и кога се дели со неа, знакот за нееднаквост ќе се промени:

\[\почеток(порамни) & x+1-0\le 0\Десна стрелка x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \десно]. \\\крај (порамни)\]

Конечно, последната неравенка од сегашното „множество“:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \десно))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Во принцип, идејата за решението овде е исто така јасна: сите експоненцијални функции вклучени во нееднаквоста мора да се сведат на основата „3“. Но, за ова ќе треба малку да се помешате со корените и моќите:

\[\begin(порамни) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\четири 81=((3)^(4)). \\\крај (порамни)\]

Земајќи ги предвид овие факти, првобитната нееднаквост може да се преработи на следниов начин:

\[\почеток(порамни) & ((\лево(((3)^(\frac(8)(3))) \десно))^(-x)) \lt ((\лево(((3)) ^(2))\десно))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3)) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\крај (порамни)\]

Обрнете внимание на 2-ри и 3-ти линии од пресметките: пред да направите нешто со неравенството, задолжително доведете го до формата за која зборувавме од самиот почеток на лекцијата: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Сè додека имате некои левораки фактори, дополнителни константи итн. лево или десно, не може да се изврши рационализација или „преминување“ на основите! Безброј задачи се завршени погрешно поради неуспехот да се разбере овој едноставен факт. Јас самиот постојано го набљудувам овој проблем со моите студенти кога штотуку почнуваме да ги анализираме експоненцијалните и логаритамските неравенки.

Но, да се вратиме на нашата задача. Ајде да се обидеме овој пат да направиме без рационализација. Да се ​​потсетиме: основата на степенот е поголема од една, така што тројките едноставно може да се прецртаат - знакот за нееднаквост нема да се промени. Добиваме:

\[\begin(порамни) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\крај (порамни)\]

Тоа е тоа. Конечен одговор: $x\in \left(-\infty ;3 \десно)$.

Изолирање стабилен израз и замена на променлива

Како заклучок, предлагам да се решат уште четири експоненцијални неравенки, кои се веќе доста тешки за неподготвените студенти. За да се справите со нив, треба да ги запомните правилата за работа со дипломи. Особено, ставање на заеднички фактори надвор од заградите.

Но, најважно е да научите да разберете што точно може да се извади од заградите. Таквиот израз се нарекува стабилен - може да се означи со нова променлива и на тој начин да се ослободи од експоненцијалната функција. Значи, да ги погледнеме задачите:

\[\почеток(порамни) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\лево(0,5 \десно))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\крај (порамни)\]

Да почнеме од првата линија. Ајде да ја напишеме оваа нееднаквост одделно:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Забележете дека $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, така што десната рака страната може да се преработи:

Забележете дека нема други експоненцијални функции освен $((5)^(x+1))$ во неравенката. И генерално, променливата $x$ не се појавува никаде на друго место, па да воведеме нова променлива: $((5)^(x+1))=t$. Ја добиваме следната конструкција:

\[\почеток(порамни) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\крај (порамни)\]

Се враќаме на оригиналната променлива ($t=((5)^(x+1))$), а во исто време запомниме дека 1=5 0 . Имаме:

\[\begin(порамни) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\крај (порамни)\]

Тоа е решението! Одговор: $x\in \лево[ -1;+\infty \десно)$. Да преминеме на втората неравенка:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Сè е исто овде. Забележете дека $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Потоа левата страна може да се препише:

\[\почеток(порамни) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \десно. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Десна стрелка ((3)^(x))\ge 9\Десна стрелка ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Десна стрелка x\во \лево[ 2;+\infty \десно). \\\крај (порамни)\]

Вака приближно треба да подготвите решение за вистински тестови и независна работа.

Па, ајде да пробаме нешто покомплицирано. На пример, тука е нееднаквоста:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Што е тука проблемот? Како прво, основите на експоненцијалните функции лево се различни: 5 и 25. Сепак, 25 = 5 2, така што првиот член може да се трансформира:

\[\почеток(порамни) & ((25)^(x+1,5))=((\лево(((5)^(2)) \десно))^(x+1,5))= ((5) ^ (2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cточка 5. \\\крај (порамни )\]

Како што можете да видите, на почетокот донесовме сè на истата основа, а потоа забележавме дека првиот член лесно може да се сведе на вториот - само треба да го проширите експонентот. Сега можете безбедно да воведете нова променлива: $((5)^(2x+2))=t$ и целата нееднаквост ќе се препише на следниов начин:

\[\почеток(порамни) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ и x\ge 1. \\\крај (порамни)\]

И повторно, без тешкотии! Конечен одговор: $x\in \лево[ 1;+\infty \десно)$. Ајде да преминеме на конечната нееднаквост во денешната лекција:

\[((\лево(0,5 \десно))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Првото нешто на кое треба да обрнете внимание е, се разбира, децималнаво основата на првиот степен. Неопходно е да се ослободите од него, а во исто време да ги доведете сите експоненцијални функции на иста основа - бројот „2“:

\[\ почеток (порамни) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Десна стрелка ((\лево(0,5 \десно))^(-4x- 8))= ((\лево(((2)^(-1)) \десно))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\десна стрелка ((16)^(x+1,5))=((\лево(((2)^(4)) \десно))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\крај (порамни)\]

Одлично, го направивме првиот чекор - сè доведе до истата основа. Сега треба да изберете стабилен израз. Забележете дека $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Ако воведеме нова променлива $((2)^(4x+6))=t$, тогаш оригиналната нееднаквост може да се препише на следниов начин:

\[\ почеток (порамни) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\крај (порамни)\]

Природно, може да се појави прашањето: како откривме дека 256 = 2 8? За жал, тука само треба да ги знаете моќите на два (а во исто време и моќите на три и пет). Па, или поделете 256 со 2 (можете да поделите, бидејќи 256 е парен број) додека не го добиеме резултатот. Ќе изгледа отприлика вака:

\[\ почеток (порамни) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cточка 2= \\ & =2\cточка 2\cточка 2\cточка 2\cточка 2\cточка 2\cточка 2\cточка 2= \\ & =((2)^(8)).\крај (порамни )\]

Истото важи и со три (броевите 9, 27, 81 и 243 се неговите степени), и со седум (броевите 49 и 343 исто така би било убаво да се запаметат). Па, петте имаат и „убави“ степени што треба да ги знаете:

\[\почеток(порамни) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5) ^ (3)) = 125; \\ & ((5) ^ (4)) = 625; \\ & ((5) ^ (5)) = 3125. \\\крај (порамни)\]

Се разбира, ако сакате, сите овие бројки може да се вратат во вашиот ум со едноставно множење последователно еден со друг. Меѓутоа, кога треба да решите неколку експоненцијални неравенки, а секоја следна е потешка од претходната, тогаш последното нешто на што сакате да размислите е моќта на некои броеви. И во оваа смисла, овие проблеми се посложени од „класичните“ нееднаквости што се решаваат со методот на интервал.

Се надевам дека оваа лекција ви помогна да ја совладате оваа тема. Ако нешто не е јасно, прашајте ги во коментарите. И се гледаме на следните часови :)