а) Решете ја равенката: .

б) Најдете ги сите корени на оваа равенка што припаѓаат на отсечката.

Решение на проблемот

ВО оваа лекцијаСе разгледува пример за решавање на тригонометриска равенка, кој може да се користи како пример за решавање на задачи од типот C1 при подготовка за обединет државен испит по математика.

Пред сè, се одредува опсегот на функцијата - сите валидни вредности на аргументот. Потоа во текот на растворот се врши трансформација тригонометриска функцијасинус до косинус користејќи ја формулата за редукција. Следно, сите поими од равенката се пренесуваат на неговата лева страна, каде што заедничкиот фактор е изваден од заградите. Секој фактор е еднаков на нула, што ни овозможува да ги одредиме корените на равенката. Потоа, користејќи го методот на вртења, се одредуваат корените кои припаѓаат на даден сегмент. За да го направите ова, на конструираниот единичен круг, се означува пресврт од левата граница на даден сегмент надесно. Следно, пронајдените корени на единечниот круг се поврзани со отсечки со неговиот центар и се одредуваат точките во кои овие отсечки го пресекуваат свиокот. Овие пресечни точки се посакуваниот одговор на вториот дел од проблемот.

А)Решете ја равенката 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.

б) \лево[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \десно].

Прикажи решение

Решение

А)Отворајќи ги заградите и поместувајќи ги сите поими на левата страна, ја добиваме равенката 1+2 \sin x-2 \ cos x-tg x=0. Имајќи предвид дека \cos x \neq 0, терминот 2 \sin x може да се замени со 2 tan x \cos x, ја добиваме равенката 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0,

1) кој со групирање може да се сведе на формата (1-tg x)(1-2 \cos x)=0. 1-tg x=0, тен x=1,

2) x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z; 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12,

б) x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z. Со користење наброј круг изберете ги корените кои припаѓаат на интервалот

\лево[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \десно].

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi)4,

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi)3,

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

А) Одговори \frac\pi 4+\pi n,

б) \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi)3, \frac(7\pi)3,

\frac(9\pi)4.

А)Состојба Решете ја равенката

б)(2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0. Наведете ги корените на оваа равенка кои припаѓаат на интервалот

Прикажи решение

Решение

А)\left(0;\,\frac(3\pi )2\десно] ; ОДЗ:

\begin(случаи) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(случаи)

\left[\!\!\begin(array)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \крај (низа)\десно.

Да ја решиме првата равенка. За да го направите ова, ќе направиме замена \cos 4x=t, t \in [-1; 1].Потоа \sin^24x=1-t^2.

Добиваме:

2(1-t^2)-3t=0,

2t^2+3t-2=0, t_1=\frac12,

t_2=-2, t_2\не [-1; 1].

\cos 4x=\frac12,

4x=\pm\frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.

Да ја решиме втората равенка.

tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.

Користејќи го единечниот круг, наоѓаме решенија кои го задоволуваат ODZ.

Знакот „+“ ги означува 1-та и 3-та четвртина, во кои tg x>0. Добиваме: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z;

б) x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z. Ајде да ги најдеме корените кои припаѓаат на интервалот

\left(0;\,\frac(3\pi)2\десно]. x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi)(12); x=\pi ; x=\frac(13\pi)(12);

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

А) x=\frac(17\pi)(12). \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z;

б) \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z. \pi; \frac\pi (12); \frac(5\pi)(12); \frac(13\pi)(12);

\frac(17\pi)(12).

\frac(9\pi)4.

А)Извор: „Математика. Подготовка за Единствен државен испит 2017 година. Ниво на профил." Ед. Ф. Ф. Лисенко, С. Ју. Реши ја равенката:

б)\cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3; Наведете ги сите корени кои припаѓаат на интервалот

Прикажи решение

Решение

А)\left(\frac(7\pi)2;\,\frac(9\pi)2\десно]. Бидејќи\sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, Тоа\sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6, Средства,дадена равенка

е еквивалентна на равенката \cos^2x=\cos ^22x, што, пак, е еквивалентно на равенката \cos^2x-\cos ^2 2x=0. Но \cos ^2x-\cos ^22x=(\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x)

И

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, па равенката станува(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot

(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.

Тогаш или 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, или 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0. Решавање на првата равенка какоквадратна равенка

во однос на \cos x, добиваме:(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4. Затоа или \cos x=1 или\cos x=-\frac12. Ако \cos x=1, тогаш x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Ако\sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, \cos x=-\frac12,

x=\pm \frac(2\pi)3+2s\pi, s \in \mathbb Z. Слично, решавајќи ја втората равенка, добиваме или \cos x=-1 или\cos x=\frac12. Ако \cos x=-1, тогаш корените x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z. Ако\sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, \cos x=\frac12,

x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.

Ајде да ги комбинираме добиените решенија: x=m\pi , m \in \mathbb Z;

б) x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.

Ајде да ги избереме корените што спаѓаат во даден интервал користејќи круг со број. Добиваме: x_2=4\pi, x_3 =\frac(13\pi)3.

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

А) m\pi, m\in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

б) \frac(11\pi)3, 4\pi, \frac(13\pi)3.

\frac(17\pi)(12).

\frac(9\pi)4.

А)Состојба 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\лево(\dfrac(3\pi)2-x\десно) )(1+tgx).

б)Наведете ги корените на оваа равенка кои припаѓаат на интервалот \left(-2\pi ; -\frac(3\pi)2\десно).

Прикажи решение

Решение

А) 1. Според формулата за намалување, ctg\left(\frac(3\pi)2-x\десно) =tgx.Доменот на дефиниција на равенката ќе биде такви вредности на x такви што \cos x \neq 0 и tan x \neq -1. Ајде да ја трансформираме равенката користејќи ја косинусната формула со двоен агол 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Ја добиваме равенката:

5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx). Забележете дека \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx), па равенката станува: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx). Од тука \cos x =\frac(\dfrac65)(1+tgx),

\cos x+\sin x =\frac65. 2. Трансформирајте \sin x+\cos x користејќи ја формулата за редукција и формулата за збир на косинуси: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\десно), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\десно)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\десно)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\десно) =

\frac65. Од тука\cos \left(x-\frac\pi 4\десно) =\frac(3\sqrt 2)5. Средства, x-\frac\pi 4=

arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z, Средства, или

-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z. Затоа

arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z, x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

б)Пронајдените вредности на x припаѓаат на доменот на дефиниција. Прво да откриеме каде корените на равенката паѓаат при k=0 и t=0.Тоа ќе бидат бројки соодветно a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5

И

b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.<\frac{3\sqrt 2}2<1.

1. Да ја докажеме помошната неравенка: \frac(\sqrt 2)(2)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

Навистина, \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<1^2=1, Забележете го и тоа \left(\frac(3\sqrt 2)5\десно) ^2=\frac(18)(25)<1.

Средства (1) \frac(3\sqrt 2)5

2. Од нееднаквости

0

\frac65. Според косинусното својство на лакот добиваме:<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

0

лак 1 \frac\pi 4+0

Исто така,<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< -\frac\pi 4<\frac\pi 2,

0

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4

\frac\pi 4 За k=-1 и t=-1 ги добиваме корените на равенката a-2\pi и b-2\pi.\Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg).

Во исто време -2\pi 2\pi

Тоа значи дека овие корени припаѓаат на дадениот интервал

\left(-2\pi, -\frac(3\pi)2\десно). За другите вредности на k и t, корените на равенката не припаѓаат на дадениот интервал.

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

А) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

б) -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5.

\frac(17\pi)(12).

\frac(9\pi)4.

А)Состојба \sin \left(\frac\pi 2+x\десно) =\sin (-2x).

б)Најди ги сите корени на оваа равенка што припаѓаат на интервалот ;

Прикажи решение

Решение

А)Ајде да ја трансформираме равенката:

\cos x =-\sin 2x,

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

\cos x(1+2 \sin x)=0,

\cos x=0,

x =\frac\pi 2+\pi n, n\in \mathbb Z;

1+2 \sin x=0,

\sin x=-\frac12,

x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.

б)Корените кои припаѓаат на отсечката ги наоѓаме користејќи ја единечната круг.

Посочениот интервал содржи еден број \frac\pi 2.

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

А) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;

б) \frac\pi 2.

\frac(17\pi)(12).

\frac(9\pi)4.

не е вклучен во ДЗ.

Средства, \sin x \neq 1.

Поделете ги двете страни на равенката со фактор (\sin x-1),различен од нула. Ја добиваме равенката \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)),или равенка 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x).Применувајќи ја формулата за намалување на левата страна и формулата за намалување на десната страна, ја добиваме равенката 2 \cos ^2 x=1-\cos x.Оваа равенка е со замена \cos x=t,Каде -1 \leqslant t \leqslant 1намали на квадрат: 2t^2+t-1=0,чии корени t_1=-1Тоа ќе бидат бројки соодветно t_2=\frac12.Враќајќи се на променливата x, добиваме \cos x = \frac12или \cos x=-1,каде x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.

б)Да ги решиме нееднаквостите

1) -\frac(3\pi)2 \leqslant \frac(\pi)3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2,

2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,)

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2, m, n, k \in \mathbb Z.

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi)3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2, -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m\leqslant -\frac56, -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12).

\лево [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\десно].

2) -\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12, -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12).

Нема цели броеви во опсегот \left[ -\frac7(12) ; -\frac1(12)\десно].

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi)2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

Оваа неравенка се задоволува со k=-1, потоа x=-\pi.

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

А) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, m, n, k \in \mathbb Z;

б) -\pi .

Во оваа статија ќе се обидам да објаснам 2 начини избирање корени во тригонометриска равенка: користење неравенки и користење на тригонометрискиот круг. Ајде да преминеме директно на илустративен пример и ќе сфатиме како функционираат работите.

А) Решете ја равенката sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x)
б) Најдете ги сите корени на оваа равенка кои припаѓаат на интервалот [-7Pi/2; -2 Pi]

Да ја решиме точката а.

Да ја користиме формулата за редукција за синусен sin(Pi/2+x) = cos(x)

Sqrt(2)cos^2x = cosx

Sqrt(2)cos^2x - cosx = 0

Cosx(sqrt(2)cosx - 1) = 0

X1 = Pi/2 + Пин, n ∈ Z

Sqrt(2)cosx - 1 = 0

Cosx = 1/sqrt(2)

Cosx = sqrt(2)/2

X2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z

X2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z

Да ја решиме точката б.

1) Избор на корени со помош на неравенки

Овде сè е направено едноставно, ние ги заменуваме добиените корени во интервалот што ни е даден [-7Pi/2; -2Pi], пронајдете цели броеви за n.

7Pi/2 помал или еднаков на Pi/2 + Пин помал или еднаков на -2Pi

Веднаш делиме сè со Пи

7/2 помало или еднакво на 1/2 + n помало или еднакво на -2

7/2 - 1/2 помала или еднаква на n помала или еднаква на -2 - 1/2

4 помало или еднакво на n помало или еднакво на -5/2

Целиот број n во овој интервал се -4 и -3. Ова значи дека корените кои припаѓаат на овој интервал ќе бидат Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2

На сличен начин правиме уште две неравенки

7Pi/2 помала или еднаква на Pi/4 + 2Pin помала или еднаква на -2Pi
-15/8 помала или еднаква на n помала или еднаква на -9/8

Во овој интервал нема цели n

7Pi/2 помала или еднаква на -Pi/4 + 2Pin помала или еднаква на -2Pi
-13/8 помала или еднаква на n помала или еднаква на -7/8

Еден цел број n во овој интервал е -1. Ова значи дека избраниот корен на овој интервал е -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4.

Значи одговорот во точката б: -7Pi/2, -5Pi/2, -9Pi/4

2) Избор на корени со помош на тригонометриски круг

За да го користите овој метод, треба да разберете како функционира овој круг. Ќе се обидам да објаснам на едноставен јазик како го разбирам ова. Мислам дека во училиштата, на часовите по алгебра, оваа тема многупати се објаснуваше со паметни зборови од наставникот, во учебниците имаше сложени формулации. Лично, јас го разбирам ова како круг околу кој може да се шета бесконечен број пати, ова се објаснува со фактот дека синусните и косинусните функции се периодични.

Ајде да одиме наоколу спротивно од стрелките на часовникот

Ајде да одиме околу 2 пати спротивно од стрелките на часовникот

Ајде да одиме околу 1 пат во насока на стрелките на часовникот (вредностите ќе бидат негативни)

Да се ​​вратиме на нашето прашање, треба да избереме корени во интервалот [-7Pi/2; -2 Pi]

За да дојдете до броевите -7Pi/2 и -2Pi треба двапати да го заобиколите кругот спротивно од стрелките на часовникот. За да ги пронајдете корените на равенката на овој интервал, треба да ги процените и замените.

Размислете за x = Pi/2 + Пин. Приближно колку треба да биде n за x да биде некаде во овој опсег? Заменуваме, да речеме -2, добиваме Pi/2 - 2Pi = -3Pi/2, очигледно ова не е вклучено во нашиот интервал, па земаме помалку од -3, Pi/2 - 3Pi = -5Pi/2, ова е погоден, ајде да се обидеме повторно -4 , Pi/2 - 4Pi = -7Pi/2, исто така погоден.

Расудувајќи слично за Pi/4 + 2Pin и -Pi/4 + 2Pin, наоѓаме друг корен -9Pi/4.

Споредба на два методи.

Првиот метод (користење нееднаквости) е многу посигурен и многу полесен за разбирање, но ако навистина се зафатите со тригонометрискиот круг и вториот метод на селекција, тогаш изборот на корените ќе биде многу побрз, можете да заштедите околу 15 минути на испитот .

Можете да нарачате детално решение за вашиот проблем!!!

Еднаквоста што содржи непозната под знакот на тригонометриска функција („sin x, cos x, tan x“ или „ctg x“) се нарекува тригонометриска равенка, а нивните формули ќе ги разгледаме понатаму.

Наједноставните равенки се нарекуваат `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, каде што `x` е аголот што треба да се најде, `a` е кој било број. Дозволете ни да ги запишеме коренските формули за секоја од нив.

1. Равенка `sin x=a`.

За `|a|>1` нема решенија.

Кога `|а| \leq 1` има бесконечен број решенија.

Формула на коренот: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Равенка `cos x=a`

За `|a|>1` - како и во случајот со синус, тој нема решенија меѓу реалните броеви.

Кога `|а| \leq 1` има бесконечен број решенија.

Формула на коренот: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Специјални случаи за синус и косинус во графикони.

3. Равенка `tg x=a`

Има бесконечен број решенија за која било вредност на `a`.

Формула на коренот: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Равенка `ctg x=a`

Исто така, има бесконечен број решенија за сите вредности на `a`.

Формула на коренот: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формули за корените на тригонометриските равенки во табелата

За синус:
За косинус:
За тангента и котангента:
Формули за решавање равенки кои содржат инверзни тригонометриски функции:

Методи за решавање на тригонометриски равенки

Решавањето на која било тригонометриска равенка се состои од две фази:

• со помош на трансформирање на наједноставно;
• решете ја наједноставната равенка добиена со помош на коренските формули и табелите напишани погоре.

Ајде да ги разгледаме главните методи на решение користејќи примери.

Алгебарски метод.

Овој метод вклучува замена на променлива и нејзина замена во еднаквост.

Пример. Решете ја равенката: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

направи замена: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, потоа `2y^2-3y+1=0`,

ги наоѓаме корените: `y_1=1, y_2=1/2`, од кои следуваат два случаи:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Одговор: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Факторизација.

Пример. Решете ја равенката: `sin x+cos x=1`.

Решение. Да ги преместиме сите членови на еднаквоста налево: `sin x+cos x-1=0`. Со помош на , ја трансформираме и факторизираме левата страна:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Одговор: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Намалување на хомогена равенка

Прво, треба да ја намалите оваа тригонометриска равенка на една од двете форми:

`a sin x+b cos x=0` (хомогена равенка од прв степен) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (хомогена равенка од втор степен).

Потоа поделете ги двата дела со `cos x \ne 0` - за првиот случај, и со `cos^2 x \ne 0` - за вториот. Добиваме равенки за `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, кои треба да се решат со познати методи.

Пример. Решете ја равенката: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Решение. Ајде да ја напишеме десната страна како `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Ова е хомогена тригонометриска равенка од втор степен, ја делиме нејзината лева и десна страна со `cos^2 x \ne 0`, добиваме:

`\ frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Да ја воведеме замената `tg x=t`, што резултира со `t^2 + t - 2=0`. Корените на оваа равенка се `t_1=-2` и `t_2=1`. Потоа:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Одговори. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \во Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \во Z`.

Преместување на половина агол

Пример. Решете ја равенката: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Решение. Да ги примениме формулите за двоен агол, што резултира со: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Применувајќи го алгебарскиот метод опишан погоре, добиваме:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \во Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \во Z`.

Одговори. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \во Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \во Z`.

Воведување на помошен агол

Во тригонометриската равенка „a sin x + b cos x =c“, каде што a,b,c се коефициенти и x е променлива, поделете ги двете страни со `sqrt (a^2+b^2)`:

`\ frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.

Коефициентите од левата страна имаат својства на синус и косинус, имено збирот на нивните квадрати е еднаков на 1, а нивните модули не се поголеми од 1. Да ги означиме на следниов начин: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, тогаш:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Да го разгледаме подетално следниот пример:

Пример. Решете ја равенката: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Поделете ги двете страни на еднаквоста со `sqrt (3^2+4^2)`, добиваме:

`\ frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 грев x+4/5 cos x=2/5`.

Да означиме `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Бидејќи `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, тогаш земаме `\varphi=arcsin 4/5` како помошен агол. Потоа ја пишуваме нашата еднаквост во форма:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Применувајќи ја формулата за збир на агли за синус, ја запишуваме нашата еднаквост во следнава форма:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Одговори. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробни рационални тригонометриски равенки

Станува збор за равенки со дропки чии броител и именители содржат тригонометриски функции.

Пример. Решете ја равенката. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Решение. Помножете ја и поделете ја десната страна на еднаквоста со `(1+cos x)`. Како резултат добиваме:

`\ frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\ frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\ frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\ frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Имајќи предвид дека именителот не може да биде еднаков на нула, добиваме `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Да го изедначиме броителот на дропката со нула: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Потоа `sin x=0` или `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \во Z`.

Имајќи предвид дека ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решенијата се `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n` , `n \во Z`.

Одговори. `x=2\pi n`, `n \во Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \во Z`.

Тригонометријата, а особено тригонометриските равенки, се користат во речиси сите области на геометријата, физиката и инженерството. Учењето започнува во 10-то одделение, секогаш има задачи за Единствениот државен испит, затоа обидете се да ги запомните сите формули на тригонометриски равенки - тие дефинитивно ќе ви бидат корисни!

Сепак, дури и не треба да ги меморирате, главната работа е да ја разберете суштината и да можете да ја изведете. Не е толку тешко како што изгледа. Уверете се сами гледајќи го видеото.

Задолжително минимално знаење

sin x = a, -1 a 1 (a 1)
x = arcsin a + 2 n, n Z
x = - arcsin a + 2 n, n Z
или
x = (- 1)k arcsin a + k, k Z
arcsin (- a) = - arcsin a
грев x = 1
x = /2 + 2 k, k Z
грев x = 0
x = k, k Z
грев x = - 1
x = - /2 + 2 k, k Z
y
y
x
y
x
x

Задолжително минимално знаење

cos x = a, -1 a 1 (a 1)
x = arccos a + 2 n, n Z
arccos (- a) = - arccos a
cos x = 1
x = 2 k, k Z
cos x = 0
x = /2 + k, k Z
y
y
x
cos x = - 1
x = + 2 k, k Z
y
x
x

Задолжително минимално знаење

tg x = a, a R
x = арктан a + n, n Z
креветче x = a, a R
x = arcctg a + n, n Z
arctg (- a) = - arctg a
arctg (- a) = - arctg a Намалете ја равенката на една функција
Намали на еден аргумент
Некои методи на решение
тригонометриски равенки
Примена на тригонометриски формули
Користење на скратени формули за множење
Факторизација
Намалување на квадратна равенка за sin x, cos x, tan x
Со воведување помошен аргумент
Со делење на двете страни на хомогена равенка од прв степен
(асин x +bcosx = 0) со cos x
Со делење на двете страни на хомогена равенка од втор степен
(a sin2 x +bsin x cos x+ c cos2x =0) од cos2 x

Усни вежби Пресметај

лаксин ½
лаксин (- √2/2)
arccos √3/2
arccos (-1/2)
арктан √3
арктан (-√3/3)
= /6
= - /4
= /6
= - arccos ½ = - /3 = 2 /3
= /3
= - /6

(со помош на тригонометриски круг)
cos 2x = ½, x [- /2; 3/2]
2x = ± arccos ½ + 2 n, n Z
2x = ± /3 + 2 n, n Z
x = ± /6 + n, n Z
Ајде да избереме корени користејќи тригонометриски круг
Одговор: - /6; /6; 5/6; 7/6

Различни методи за избор на корени

Најдете ги корените на равенката што припаѓа на дадениот интервал
грев 3x = √3/2, x [- /2; /2]
3x = (– 1)k /3 + k, k Z
x = (– 1)k /9 + k/3, k Z
Ајде да ги избереме корените со набројување на вредностите на k:
k = 0, x = /9 – припаѓа на интервалот
k = 1, x = – /9 + /3 = 2 /9 – припаѓа на интервалот
k = 2, x = /9 + 2 /3 = 7 /9 – не припаѓа на интервалот
k = – 1, x = – /9 – /3 = – 4 /9 – припаѓа на интервалот
k = – 2, x = /9 – 2 /3 = – 5 /9 – не припаѓа на интервалот
Одговор: -4 /9; /9; 2/9

Различни методи за избор на корени

Најдете ги корените на равенката што припаѓа на дадениот интервал
(користејќи нееднаквост)
tg 3x = – 1, x (- /2;)
3x = – /4 + n, n Z
x = – /12 + n/3, n Z
Ајде да ги избереме корените користејќи ја нееднаквоста:
– /2 < – /12 + n/3 < ,
– 1/2 < – 1/12 + n/3 < 1,
– 1/2 + 1/12 < n/3 < 1+ 1/12,
– 5/12 < n/3 < 13/12,
– 5/4 < n < 13/4, n Z,
n = – 1; 0; 1; 2; 3
n = – 1, x = – /12 – /3 = – 5 /12
n = 0, x = – /12
n = 1, x = – /12 + /3 = /4
n = 2, x = – /12 + 2 /3 = 7 /12
n = 3, x = – /12 + = 11 /12
Одговор: – 5 /12; – /12; /4; 7/12; 11/12

10. Разни методи на селекција на коренот

Најдете ги корените на равенката што припаѓа на дадениот интервал
(со помош на графикон)
cos x = – √2/2, x [–4; 5/4]
x = arccos (– √2/2) + 2 n, n Z
x = 3 /4 + 2 n, n Z
Ајде да ги избереме корените користејќи го графикот:
x = – /2 – /4 = – 3 /4; x = – – /4 = – 5 /4
Одговор: 5 /4; 3/4

11. 1. Решете ја равенката 72cosx = 49sin2x и означете ги нејзините корени на отсечката [; 5/2]

1. Решете ја равенката 72cosx = 49sin2x
и наведете ги неговите корени на сегментот [; 5/2]
Да ја решиме равенката:
72cosx = 49sin2x,
72cosx = 72sin2x,
2cos x = 2sin 2x,
cos x – 2 sinx cosx = 0,
cos x (1 – 2sinx) = 0,
cos x = 0,
x = /2 + k, k Z
или
1 – 2sinx = 0,
грев x = ½,
x = (-1)n /6 + n, n Z
Ајде да избереме корени користејќи
тригонометриски круг:
x = 2 + /6 = 13 /6
Одговор:
а) /2 + k, k Z, (-1)n /6 + n, n Z
б) 3/2; 5/2; 13/6

12. 2. Реши ја равенката 4cos2 x + 8 cos (x – 3/2) +1 = 0 Најди ги неговите корени на отсечката

2. Реши ја равенката 4cos2 x + 8 cos (x – 3 /2) +1 = 0
Најдете ги неговите корени на сегментот
4cos2 x + 8 cos (x – 3 /2) +1 = 0
4cos2x + 8 cos (3 /2 – x) +1 = 0,
4cos2x – 8 грев x +1 = 0,
4 – 4sin2 x – 8 sin x +1 = 0,
4sin 2x + 8sin x – 5 = 0,
D/4 = 16 + 20 = 36,
грев x = – 2,5
или
грев x = ½
x = (-1)k /6 + k, k Z

13. Ајде да избереме корени на сегмент (со помош на графикони)

Ајде да избереме корени на сегмент
(со користење на графикони)
грев x = ½
Да ги нацртаме функциите y = sin x и y = ½
x = 4 + /6 = 25 /6
Одговор: а) (-1)k /6 + k, k Z; б) 25 /6

14. 3. Реши ја равенката Најди ги нејзините корени на отсечката

4 – cos2 2x = 3 sin2 2x + 2 sin 4x
4 (sin2 2x + cos2 2x) – cos2 2x = 3 sin2 2x + 4 sin 2x cos 2x,
sin2 2x + 3 cos2 2x – 4 sin 2x cos 2x = 0
Ако cos2 2x = 0, тогаш sin2 2x = 0, што е невозможно, значи
cos2 2x 0 и двете страни на равенката може да се поделат со cos2 2x.
tg22x + 3 – 4 tg 2x = 0,
tg22x – 4 tg 2x + 3= 0,
тен 2x = 1,
2x = /4 + n, n Z
x = /8 + n/2, n Z
или
тен 2x = 3,
2x = арктан 3 + k, k Z
x = ½ арктан 3 + k/2, k Z

15.

4 – cos2 2x = 3 sin2 2x + 2 sin 4x
x = /8 + n/2, n Z или x = ½ арктан 3 + k/2, k Z
Од 0< arctg 3< /2,
0 < ½ arctg 3< /4, то ½ arctg 3
е решението
Од 0< /8 < /4 < 1,значит /8
е исто така решение
Други решенија нема да бидат вклучени во
јаз бидејќи тие
се добиваат од броевите ½ арктан 3 и /8
собирање на броеви кои се множители на /2.
Одговор: а) /8 + n/2, n Z; ½ арктан 3 + k/2, k Z
б) /8; ½ арктан 3

16. 4. Реши ја равенката log5(cos x – sin 2x + 25) = 2 Најди ги нејзините корени на отсечката

4. Реши ја равенката log5(cos x – sin 2x + 25) = 2
Најдете ги неговите корени на сегментот
Да ја решиме равенката:
log5 (cos x – sin 2x + 25) = 2
ODZ: cos x – sin 2x + 25 > 0,
cos x – грев 2x + 25 = 25, 25 > 0,
cos x – 2sin x cos x = 0,
cos x (1 – 2sin x) = 0,
cos x = 0,
x = /2 + n, n Z
или
1 – 2sinx = 0,
грев x = 1/2
x = (-1)k /6 + k, k Z

17.

Ајде да избереме корени на сегмент
Ајде да избереме корени на сегментот:
1) x = /2 + n, n Z
2 /2 + n 7 /2, n Z
2 1/2 + n 7/2, n Z
2 – ½ n 7/2 – ½, n Z
1,5 n 3, n Z
n = 2; 3
x = /2 + 2 = 5 /2
x = /2 + 3 = 7 /2
2) sin x = 1/2
x = 2 + /6 = 13 /6
x = 3 – /6 = 17 /6
Одговор: а) /2 + n, n Z ; (-1)k /6 + k, k Z
б) 13/6; 5/2; 7/2; 17/6

18. 5. Реши ја равенката 1/sin2x + 1/sin x = 2 Најди ги нејзините корени на отсечката [-5/2; -3/2]

5. Решете ја равенката 1/sin2x + 1/sin x = 2
Најди ги неговите корени на отсечката [-5 /2; -3 /2]
Да ја решиме равенката:
1/грев2x + 1/грев x = 2
x k
Замена 1/sin x = t,
t2 + t = 2,
t2 + t – 2 = 0,
t1= – 2, t2 = 1
1/грев x = – 2,
грев x = – ½,
x = – /6 + 2 n, n Z
или
x = – 5 /6 + 2 n, n Z
1/грев x = 1,
грев x = 1,
x = /2 + 2 n, n Z
Оваа серија на корени е исклучена, бидејќи -150º+ 360ºn е надвор од границите
наведен интервал [-450º; -270º]

19.

Ајде да продолжиме со избирање корени на сегментот
Ајде да ја разгледаме преостанатата серија на корени и да извршиме избор на корени
на сегментот [-5 /2; -3 /2] ([-450º; -270º]):
1) x = - /6 + 2 n, n Z
2) x = /2 + 2 n, n Z
-5 /2 - /6 + 2 n -3 /2, n Z
-5 /2 /2 + 2 n -3 /2, n Z
-5/2 -1/6 + 2n -3/2, n Z
-5/2 1/2 + 2n -3/2, n Z
-5/2 +1/6 2n -3/2 + 1/6, n З
-5/2 - 1/2 2n -3/2 - 1/2, n З
– 7/3 2n -4/3, n З
– 3 2n -2, n Z
-7/6 n -2/3, n З
-1,5 n -1 n Z
n = -1
n = -1
x = - /6 - 2 = -13 /6 (-390º)
x = /2 - 2 = -3 /2 (-270º)
Одговор: а) /2 + 2 n, n Z; (-1)k+1 /6 + k, k Z
б) -13 /6; -3/2

20. 6. Решете ја равенката |sin x|/sin x + 2 = 2cos x Најди ги неговите корени на отсечката [-1; 8]

Да ја решиме равенката
|sin x|/sin x + 2 = 2cos x
1)Ако sin x >0, тогаш |sin x| =грев x
Равенката ќе ја има формата:
2 cos x=3,
cos x =1,5 – нема корени
2) Ако гревот x<0, то |sin x| =-sin x
а равенката ќе добие форма
2cos x=1, cos x = 1/2,
x = ±π/3 +2πk, k Z
Имајќи предвид дека гревот x< 0, то
остана една серија одговори
x = - π/3 +2πk, k Z
Ајде да избереме корени за
сегмент [-1; 8]
k=0, x= - π/3 , - π< -3, - π/3 < -1,
-π/3 не припаѓа на ова
сегмент
k=1, x = - π/3 +2π = 5π/3<8,
5 π/3 [-1; 8]
k=2, x= - π/3 + 4π = 11π/3 > 8,
11π/3 не припаѓа на ова
сегмент.
Одговор: а) - π/3 +2πk, k Z
б) 5
π/3

21. 7. Реши ја равенката 4sin3x=3cos(x- π/2) Најди ги нејзините корени на интервалот

8. Решете ја равенката √1-sin2x= sin x
Најдете ги неговите корени на интервалот
Да ја решиме равенката √1-sin2x= sin x.
грев x ≥ 0,
1- sin2x = sin2x;
грев x ≥ 0,
2sin2x = 1;
грев x≥0,
грев x =√2/2; грев x = - √2/2;
sin x =√2/2
x=(-1)k /4 + k, k Z
sin x =√2/2

25. Ајде да избереме корени на сегмент

Ајде да избереме корени на сегмент
x=(-1)k /4 + k, k Z
sin x =√2/2
y =sin x и y=√2/2
5 /2 + /4 = 11 /4
Одговор: а) (-1)k /4 + k, к Z) 11 /4

26. 9. Реши ја равенката (sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0 Најди ги нејзините корени на интервалот [-5; -7/2]

9. Реши ја равенката (sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0
Најдете ги неговите корени на интервалот [-5; -7 /2]
Да ја решиме равенката
(sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0.
1) ODZ: cos x<0 ,
/2 +2 n 2) sin2x + 2 sin2x =0,
2 sinx∙cos x + 2 sin2x =0,
sin x (cos x+ sin x) =0,
sin x=0, x= n, n Z
или
cos x+ sin x=0 | : cos x,
tan x= -1, x= - /4 + n, n Z
Земајќи го предвид ДЛ
x= n, n Z, x= +2 n, n Z;
x= - /4 + n, n Z,
x= 3 /4 + 2 n, n Z

27. Да избереме корени на даден сегмент

Ајде да избереме корени на даденото
сегмент [-5; -7 /2]
x= +2 n, n Z;
-5 ≤ +2 n ≤ -7 /2,
-5-1 ≤ 2n ≤ -7/2-1,
-3≤ n ≤ -9/4, n Z
n = -3, x= -6 = -5
x= 3 /4 + 2 n, n Z
-5 ≤ 3 /4 + 2 n ≤ -7 /2
-23/8 ≤ n ≤ -17/8, нема такво нешто
целина n.
Одговор: а) +2 n, n Z ;
3/4 + 2 n, n Z;
б) -5.

28. 10. Реши ја равенката 2sin2x =4cos x –sinx+1 Најди ги нејзините корени на интервалот [/2; 3/2]

10. Решете ја равенката 2sin2x =4cos x –sinx+1
Најдете ги неговите корени на интервалот [ /2; 3/2]
Да ја решиме равенката
2sin2x = 4cos x – sinx+1
2sin2x = 4cos x – sinx+1,
4 sinx∙cos x – 4cos x + sin x -1 = 0,
4cos x(sin x – 1) + (sin x – 1) = 0,
(грев x – 1)(4cos x +1)=0,
sin x – 1= 0, sin x = 1, x = /2+2 n, n Z
или
4cos x +1= 0, cos x = -0,25
x = ± (-arccos (0,25)) + 2 n, n Z
Ајде да ги напишеме корените на оваа равенка поинаку
x = - arccos (0,25) + 2 n,
x = -(- arccos (0,25)) + 2 n, n Z

29. Ајде да избереме корени користејќи круг

x = /2+2 n, n Z, x = /2;
x = -arccos(0,25)+2 n,
x=-(-arccos(0,25)) +2 n, n Z,
x = - арки (0,25),
x = + arccos (0,25)
Одговор: а) /2+2 n,
-arccos(0,25)+2 n,
-(-arccos (0,25)) +2 n, n Z;
б) /2;
-arccos (0,25); +arccos(0,25)