Во оваа видео лекција детално анализирав прилично сериозен проблем 15 од Единствениот државен испит по математика, кој содржи и логаритамски и фракционо-рационални неравенки. Особено внимание се посветува на теоремата на Безут (за наоѓање корени на полином), како и на методот на делење на полиноми со агол (за факторинг).

Во оваа лекција ќе анализираме систем од две неравенки од Единствениот државен испит по математика:

⎧⎩⎨⎪⎪ дневник7−2x(x+6) ≤0x− x−3x+6−x2 +27x+90x2 +8x+12≤−1 \лево\( \почеток(порамни)& ((\log )_(7-2x))\лево(x+6 \десно)\le 0 \\& x-\frac(x-3)(x+6 )-\frac(((x)^(2))+27x+90)(((x)^(2))+8x+12)\le -1 \\\крај (порамни) \десно.

Решавање на системот на неравенки

Како што можете да видите, системот се состои од логаритамска неравенка, како и класична фракционо-рационална неравенка, но во процесот на решавање ќе откриеме дека оваа неравенка не е толку едноставна како што може да изгледа на прв поглед. Да почнеме со логаритамски. За да го направите ова, ние ќе го напишеме одделно:

дневник7−2x(x+6) ≤ 0

((\log )_(7-2x))\лево(x+6 \десно)\le \text( )0

Како и секоја логаритамска нееднаквост, оваа конструкција е сведена на канонска форма, односно лево оставаме сè непроменето, но десно го пишуваме на следниов начин:

дневник7−2x(x+6) ≤ дневник7−2x 1

((\log )_(7-2x))\лево(x+6 \десно)\le ((\log )_(7-2x))1

Како да се користи методот на рационализација

Сега да го користиме методот на рационализација. Да потсетам дека ако имаме неравенство на формата

дневникк (x) f(x)⋃ дневникк (x) g(x) ,

((\log )_(k\лево(x \десно)))f\лево(x \десно)\bigcup ((\log )_(k\left(x \десно)))g\лево(x \ право),

тогаш можеме да преминеме на оваа конструкција:

(ѓ (x) −g(x) )(к (x)-1)⋃0

\лево(f\лево(x \десно)-g\лево(x\десно) \десно)\лево(k\лево(x \десно)-1 \десно)\bigcup 0

Се разбира, оваа нееднаквост не го зема предвид доменот на дефиниција на логаритамот:

ѓ (x) >0

f\left(x\десно)>0

е (x) >0

g\left(x\десно)>0

1≠к (x) >0

1\ne k\лево(x\десно)>0

Значи, во улогата ѓ (x) f\left(x\десно) делува линеарна функција x+6 x+6, а во улогата е (x) g\left(x\right) е едноставно 1. Затоа, ја препишуваме нашата логаритамска нееднаквост на системот на следниов начин:

(x+6−1) (7−2x−1)

\лево(x+6-1 \десно)\лево(7-2x-1 \десно)

Последниот 1 е оној x−1 x-1, што е во втората заграда. Сите овие се помали или еднакви на 0. Знакот за нееднаквост при извршување на оваа трансформацијае зачувана. Еве слични во секоја заграда:

(x+5) (6−2x) ≤0

\лево(x+5 \десно)\лево(6-2x \десно)\le 0

Примена на методот интервал

Очигледно, имаме едноставна неравенка која лесно може да се реши со методот на интервал. Ајде да ја изедначиме секоја заграда со 0:

(+5) =0→= −5

\лево(+5 \десно)=0\до =-5

6−2=0→2=6

x=3

Да ги означиме сите овие точки (има две такви точки) на координатната линија. Забележете дека тие се засенчени:

Ајде да ги забележиме знаците. За да го направите ова, земете кој било број поголем од 3. Првиот ќе биде „минус“. Тогаш знаците наизменично се менуваат насекаде, бидејќи нема корени на дури мноштво. Ние сме заинтересирани за знакот помал или еднаков, односно знакот минус. Насликајте ги потребните области. Дозволете ми да ве потсетам дека кога решаваме неравенки со методот на интервал, заменуваме 1 милијарда во последниот израз што го добивме пред да преминеме на равенките.

Така, најдовме комплети. Но, како што разбирате, ова сè уште не е решение за нееднаквоста. Сега од нас се бара да го најдеме доменот на дефиниција на логаритмот. За да го направите ова, ги пишуваме следните функции:

Погрешно вгнездување на структури на равенки

\лево[ \почеток(порамни)& x+6>0 \\& 7-2x>0 \\& 7-2x\ne 1 \\\крај (порамни) \десно.=>\лево[ \почеток(порамни )& x>-6 \\& 7>2x \\& 6\ne 2x \\\крај (порамни) \десно.=>\лево[ \почеток(порамни)& \\& x<\text{ }3,5 \\& x\ne \text{ }3 \\\end{align} \right.

Значи, добивме три симултани барања, односно сите овие нееднаквости мора да бидат задоволени истовремено. Да повлечеме линија паралелна со одговорот на нашиот кандидат:

Го добивме конечниот одговор за првиот елемент на системот:

(−6;−5] ⋃(3;3,5)

\left(-6,-5 \right]\bigcup \left(3,3,5 \десно). Во овој момент, многу студенти имаат прашање. Видете, 3 - од една страна е изгасено, но на од друга страна, оваа точка е обоена. Значи, како да се означи како резултат За правилно и еднаш засекогаш да се справите со ова прашање, запомнете едно едноставно правило?

Што значи пресек на множества? Ова е сет што е истовремено вклучен и во првиот и во вториот сет. Со други зборови, при пополнување на сликата нацртана подолу, бараме точки кои истовремено припаѓаат и на првата и на втората линија. Следствено, ако која било точка не припаѓа на барем една од овие линии, тогаш како и да изгледа на втората линија, таа не ни одговара. А, конкретно, со 3 се случува токму следната приказна: од една страна кај кандидатите за одговор ни одговара точка 3 бидејќи е засенчена, но од друга страна 3 се отстранува поради доменот на дефиниција на логаритам, и, според тоа, во последното множество оваа точка мора да се отстрани. Тоа е тоа, одговорот на првата логаритамска нееднаквост на системот е сосема оправдан. За да бидам безбеден, ќе го дуплицирам повторно:

(−6;−5] ⋃(3;3,5)

\left(-6;-5 \десно]\bigcup \left(3;3,5 \десно)

Решавање на дропка рационална неравенка

x− x−3x+6−x2 +27x+90x2 +8x+12≤−1 x-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)((x)^(2))+8x+12)\le - 1

Сега движете се -1 налево:

x+1− x−3x+6−x2 +27x+90(x+6) (x+2)≤0 x+1-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)(\лево(x+6 \десно)\лево(x+2 \десно))\le 0

x+1 1 −x−3x+6−x2 +27x+90(x+6) (x+2)≤0 \frac(x+1)(1)-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)(\лево(x+6 \десно )\лево(x+2 \десно))\le 0

Целата структура ја доведуваме до заеднички именител:

(x+1) (x+6) (x+2) −(x−3) (x+2) − (x2 +27x+90)(x+6) (x+2)≤0 \frac(\лево(x+1 \десно)\лево(x+6 \десно)\лево(x+2 \десно)-\лево(x-3 \десно)\лево(x+2 \десно)- \лево(((x)^(2))+27x+90 \десно))(\лево(x+6 \десно)\лево(x+2 \десно))\le 0

Ајде да ги прошириме заградите:

(x+2) ( (x+1) (x+6) −(x−3) )−x2 −27x−90(x+6) (x+2)≤0 \frac(\лево(x+2 \десно)\лево(\лево(x+1 \десно)\лево(x+6 \десно)-\лево(x-3 \десно) \десно)-((x )^(2))-27x-90)(\лево(x+6 \десно)\лево(x+2 \десно))\le 0

x3 +6x2 +9x+2 x2 +12x+18− x2 −27x−90(x+6) (x+2)≤0 \frac(((x)^(3))+6((x)^(2))+9x+2((x)^(2))+12x+18-((x)^(2)) -27x-90)(\лево(x+6 \десно)\лево(x+2 \десно))\le 0

x3 +7x2 −6x−72(x+6) (x+2)≤0 \frac(((x)^(3))+7((x)^(2))-6x-72)(\лево(x+6 \десно)\лево(x+2 \десно))\le 0

Што можете да кажете за добиената нееднаквост? Прво, тој е фракционо-рационален, со именителот веќе факторизиран. Затоа, најдобрата опција би била да се реши оваа нееднаквост користејќи го методот на интервал. Меѓутоа, за да се реши со помош на методот на интервал, потребно е да се факторизира броителот. Ова е главната тешкотија, бидејќи броителот е полином од трет степен. Кој се сеќава на формулата за корени од трет степен? Лично, не се сеќавам. Но, ова не ни треба.

Сè што ни треба е теоремата на Безут, или подобро кажано, не самата теорема, туку една од нејзините најважни последици, која го наведува следново: ако полиномот со целобројни коефициенти има корен x1 ((x)_(1)), а тоа е цел број, тогаш слободниот коефициент (во нашиот случај 72) нужно ќе се подели со x1 ((x)_(1)). Со други зборови, ако сакаме да ги најдеме корените на оваа кубна равенка, тогаш сè што треба да направиме е само да копаме во факторите во кои се фактор 72.

Да го пресметаме бројот 72 во прости множители:

72=8⋅9=2⋅2⋅2⋅3⋅3

72=8\cточка 9=2\cточка 2\cточка 2\cточка 3\cточка 3

Значи, треба да ги поминеме сите комбинации на двојки и тројки за да добиеме барем еден корен од нашиот кубен израз. На прв поглед може да изгледа дека ова е комбинаторен проблем, но во реалноста сè не е толку страшно. Да почнеме со минималниот број:

x=2

Ајде да провериме дали 2 е одговорот. За да го направите ова, да се потсетиме што е корен. Ова е број кој кога ќе се замени во полином го претвора во 0. Да го замениме:

(2) =8+28−12−72<0

\лево(2 \десно)=8+28-12-72<0

Го добиваме тоа x−2 x-2 не е соодветен. Да продолжиме понатаму. Да земеме 4:

(4) =64+112−24−72>0

\лево(4 \десно)=64+112-24-72>0

x=4 x=4 исто така не е корен од нашата конструкција.

Да продолжиме понатаму. Кој е следен? x x ќе расклопиме? За да одговориме на ова прашање, да забележиме еден интересен факт: кога x−2 x-2 нашиот полином беше негативен, а во x=4 x=4 испадна позитивно. Тоа значи дека некаде помеѓу точките 2 и 4 нашиот полином ја пресекува оската x x. Со други зборови, некаде на овој сегмент нашата се врти на 0. Тоа значи дека оваа точка ќе биде саканиот број. Ајде да размислиме кој цел број лежи помеѓу 4 и 2. Очигледно, само 3 и 3 се присутни во проширувањето, затоа, тој навистина може да биде коренот на нашиот израз. Размислете за оваа опција:

x=3

(3) =27+63−18−72=90−90=0

\лево(3 \десно)=27+63-18-72=90-90=0

Одлично, нашата хипотеза се потврди. Навистина, x=3 x=3 е коренот на нашата конструкција. Но, како ова ни помага да го факторизираме овој полином? Многу едноставно. Сите од истата теорема на Безут произлегува дека ако x1 ((x)_(1)) е коренот на полиномот стр (x) p\left(x \десно), тоа значи дека можеме да го напишеме следново:

x1 :p(x) =Q(x) (x− x1 )

((x)_(1)): p\лево(x \десно)=Q\лево(x \десно)\лево(x-((x)_(1)) \десно)

Со други зборови, знаејќи x1 ((x)_(1)) можеме да тврдиме дека при распаѓањето на нашиот израз на фактори нужно ќе има фактор x1 ((x)_(1)). Во нашиот случај, можеме да напишеме дека нашиот полином нужно има фактор во неговото проширување (x−3)\left(x-3 \right) бидејќи 3 е неговиот корен.

x3 +7x2 −6x−72x−3=x2 +10x+24\frac(((x)^(3))+7((x)^(2))-6x-72)(x-3)=((x)^(2))+10x+24

Со други зборови, можеме да ја преработиме нашата нееднаквост од системот на следниов начин:

(x+3) (x2 +10x+24)(x+6) (x+2)≤0 \frac(\лево(x+3 \десно)\лево(((x)^(2))+10x+24 \десно))(\лево(x+6 \десно)\лево(x+2 \десно ))\ le 0

Забележете дека во втората заграда од броителот има квадратен трином, кој исто така може да се факторизира многу едноставно, добиваме:

(x+3) (x+6) (x+4)(x+6) (x+2)≤0 \frac(\лево(x+3 \десно)\лево(x+6 \десно)\лево(x+4 \десно))(\лево(x+6 \десно)\лево(x+2 \десно) )\le 0

Тоа е сè, останува само да се напишат корените:

x=3

≠−6(2к)

\ne -6\лево(2k \десно)

=−4

≠−2

Да ги означиме сите овие точки кои би можеле да бидат решение за системот на координатната линија x x:

За да ги одредиме знаците, земаме кој било број поголем од 3, го заменуваме во секоја од овие загради и добиваме пет позитивни броеви, односно десно од 3 има знак плус. Тогаш знаците се менуваат насекаде, но во -6 ништо не се менува, бидејќи -6 е коренот на втората множина. Ние сме заинтересирани за оние области каде што знакот на функцијата е негативен, па затоа ги засенуваме „минусите“.

Севкупно, можеме да го запишеме решението за нашата оригинална нееднаквост - тоа ќе биде како што следува:

(−∞;−6) ⋃(−6;−4] ⋃(−2;3]

\left(-\infty;-6 \десно)\bigcup \left(-6;-4 \right]\bigcup \left(-2;3 \десно]

Завршни чекори

Ја решивме втората нееднаквост на нашиот систем, а сега останува да го решиме самиот систем, односно да ги пресечеме множествата што ги добивме. За да го направите ова, предлагам да се изгради друга линија паралелна на нашите две стари линии одговорни за логаритамската нееднаквост од системот:

Можеме да го запишеме конечниот одговор на вториот елемент од системот на неравенки: (−6;−5] \left(-6;-5 \right]. Сега можеме да се вратиме на нашиот систем и да го запишеме последниот сет:

x∈ (−6; −5]

x\in \left(-6;\text()-5 \десно]

Клучни точки

Постојат неколку клучни точки во оваа задача:

1. Треба да бидете способни да решавате логаритамски неравенки користејќи го преминот кон канонската форма.
2. Треба да бидете способни да работите со фракциони рационални нееднаквости. Ова е генерално материјал од 8-9 одделение, па ако работите со логаритми, тогаш ќе ги разберете фракционите рационални неравенки.
3. Теорема на Безут. Најважната последица на оваа теорема е фактот што корените на полиномот со целобројни коефициенти се делители на неговиот слободен член.

Инаку, ова е едноставна, иако прилично обемна задача за решавање на систем од равенки. Одредени потешкотии во решавањето на системот може да се појават и во пресекот на сите множества, особено оние поврзани со точката 3. Овде сè е многу едноставно: само запомнете дека пресекот значи барање за истовремено исполнување на сите нееднаквости, т.е. бараната точка мора да биде засенчени на сите три оски. Ако барем на една оска не е обоена или дупната, тогаш таквата точка не може да биде дел од одговорот.

Единствен државен испит 2018. Математика. Ниво на профил. Решавање равенки и неравенки. Садовничи Ју.В.

М.: 2018. - 96 стр.

Оваа книга е посветена на проблеми слични на задачата 15 од Единствениот државен испит по математика (решавање равенки и неравенки). Различни методи за решавање на ваквите проблеми, вклучувајќи ги и оригиналните, се разгледуваат. Книгата ќе биде корисна за средношколци, професори по математика и тутори.

Формат: pdf

Големина: 860 KB

Гледајте, преземете:диск.google

ТАБЕЛА НА СОДРЖИНА
ВОВЕД 4
ПОГЛАВЈЕ 1. МЕТОД НА ИНТЕРВАЛ ЗА РЕШАВАЊЕ НА НЕРАВНОСТИ 6
Проблеми за самостојно решение 10
ПОГЛАВЈЕ 2. ОТКРИВАЊЕ НА МОДУЛИ ВО РАВЕНКИ И НЕРАВЕНОСТИ 13
Проблеми за самостојно решение 23
ГЛАВА 3. ИРАЦИОНАЛНИ РАВЕНКИ И НЕЕДНАКВИ 25
Задачи за самостојно решение 33
ГЛАВА 4. ЕКСПОНЕНТАРНИ И ЛОГАРИТАМСКИ РАВЕНКИ И НЕРАВЕНОСТИ 35
4.1. Основни формули и решенија на едноставни равенки и неравенки 35
4.2. Претворање на збирот и разликата на логаритми 36
Задачи за самостојно решение 41
4.3. Метод на замена на променлива 42
Задачи за самостојно решение 47
4.4. Разделување на неравенки 49
Задачи за самостојно решение 55
4.5. Транзиција кон нова основа 56
Задачи за самостојно решение 60
ГЛАВА 5. РАВЕНКИ И НЕРАВЕНОСТ ОД МЕШЕН ТИП 61
Задачи за самостојно решение 68
ГЛАВА 6. МЕТОД НА ЛОГАРИТАМСКИ ИНТЕРВАЛИ 70
Задачи за самостојно решение 75
ПОГЛАВЈЕ 7. СИСТЕМИ НА АЛГЕБРАСКИ РАВЕНКИ И НЕРАВЕНОСТИ 76
Задачи за самостојно решение 84
ОДГОВОРИ НА ПРОБЛЕМИ ЗА НЕЗАВИСНО РЕШЕНИЕ 88

Оваа книга е посветена на проблеми слични на задачата 15 од профилот Унифициран државен испит по математика (равенки и неравенки). Книгата е поделена на поглавја по тема, материјалот во секое поглавје е претставен „од едноставни до сложени“.
Не е тајна дека проблемите 16-19 (планиметрија, проблем со зборови, проблем со параметри, проблем со цел број) се тешки за огромното мнозинство матуранти. Истото може да се каже и за проблемот 14 (стереометрија). Затоа, решениот проблем 15 (заедно со проблемот 13) е можност да го зголемите вашиот резултат на Единствениот државен испит на добро ниво.
Првите три поглавја се подготвителни и опфаќаат решавање на неравенки со интервал метод, равенки и неравенки кои содржат модули, ирационални равенки и неравенки.
Четвртото поглавје е главното во оваа книга, бидејќи проблемите во неа се најблиску до реалниот проблем на 15-тиот профил Единствен државен испит по математика. Ова поглавје е поделено на неколку параграфи, од кои секој истражува метод за решавање на таков проблем.