Детерминантата на матрицата е број што ја карактеризира квадратната матрица А и е тесно поврзана со решението на системите линеарни равенки. Детерминантата на матрицата А се означува со или. Секоја квадратна матрица А од редот n е поврзана, според одреден закон, со пресметан број, наречен детерминанта, или детерминанта, од n-тиот ред на оваа матрица. Да ги разгледаме детерминантите на вториот и третиот ред.
Нека е дадена матрицата
,
тогаш нејзината детерминанта од втор ред се пресметува со формулата
.
Пример.Пресметајте ја детерминантата на матрицата А:
Одговор: -10.
Детерминантата од трет ред се пресметува со помош на формулата
Пример.Пресметајте ја детерминантата на матрицата Б
.
Одговор: 83.
Детерминантата од n-ти ред се пресметува врз основа на својствата на детерминантата и следнава Лапласова теорема: детерминантата е еднаква на збирот на производите на елементите од која било редица (колона) од матрицата и нивните алгебарски комплементи:
Алгебарски комплементелемент е еднаков 
, каде е минор на елементот, добиен со вкрстување на i-тата редица и j-тата колона во детерминантата.
МалолетниРедоследот на елемент од матрицата А е детерминанта на (n-1) матрица од редот добиена од матрицата А со бришење на i-тата редица и j-тата колона.
Пример. Најдете алгебарски комплементи на сите елементи од матрицата А:
.
Одговор: 
.
Пример. Пресметајте ја детерминантата на матрицата на триаголна матрица:
Одговор: -15.
Својства на детерминантите:
1. Ако која било редица (колона) од матрицата се состои само од нули, тогаш нејзината детерминанта е 0.
2. Ако сите елементи на која било редица (колона) од матрицата се помножат со бројот , тогаш нејзината детерминанта ќе се помножи со овој број.
3. При транспонирање на матрица, нејзината детерминанта нема да се промени.
4. При преуредување на два реда (колони) од матрицата, нејзината детерминанта го менува знакот во спротивниот.
5. Ако квадратната матрица содржи два идентични редови (колони), тогаш нејзината детерминанта е 0.
6. Ако елементите на два реда (колони) на матрицата се пропорционални, тогаш нејзината детерминанта е 0.
7. Збирот на производот на елементите на која било редица (колона) на матрицата со алгебарските комплементи на елементите на другата редица (колона) од оваа матрица е еднаква на 0.
8. Детерминантата на матрицата нема да се промени ако елементи од друга редица (колона), претходно помножена со ист број, се додадат на елементите од која било редица (колона) од матрицата.
9. Збирот на производите на произволните броеви со алгебарските комплементи на елементите од која било редица (колона) е еднаков на детерминантата на матрицата добиена од ова со замена на елементите од оваа редица (колона) со броеви.
10. Детерминантата на производот на две квадратни матрици е еднаква на производот на нивните детерминанти.
Инверзна матрица.
Дефиниција.Матрицата се нарекува инверзна на квадратна матрица А ако, кога ќе се помножи со оваа матрица со дадената на десно и на лево, се добива идентитетската матрица:
.
Од дефиницијата произлегува дека само квадратна матрица има инверзна; во овој случај, инверзната матрица е исто така квадратна со ист ред. Ако детерминантата на матрицата е не-нула, тогаш таквата квадратна матрица се нарекува не-единечна.
Неопходно и доволна состојбапостоење на инверзна матрица: Инверзна матрица постои (и е единствена) ако и само ако оригинална матрицанедегенериран.
Првиот алгоритам за пресметување на инверзната матрица:
1. Најдете ја детерминантата на оригиналната матрица. Ако детерминантата не е еднаква на нула, тогаш оригиналната матрица е неединечна и инверзната матрица постои.
2. Најдете ја матрицата транспонирана на А.
3. Најдете ги алгебарските комплементи на елементите на транспонираната матрица и составете ја придружната матрица од нив.
4. Пресметај ја инверзната матрица користејќи ја формулата: .
5. Ја проверуваме точноста на пресметката на инверзната матрица врз основа на нејзината дефиниција 
.
Пример.
.
Одговор: 
.
Вториот алгоритам за пресметување на инверзната матрица:
Инверзната матрица може да се пресмета врз основа на следните елементарни трансформации во редовите на матрицата:
Заменете две линии;
Множење на матрична редица со кој било број различен од нула;
Додавање на еден ред од матрицата друг ред помножен со кој било број различен од нула.
За да се пресмета инверзната матрица за матрицата А, потребно е да се состави матрицата, потоа преку елементарни трансформации да се намали матрицата А на формата на идентитетската матрица Е, потоа на местото на матрицата на идентитетот ја добиваме матрицата.
Пример.Пресметајте ја инверзната матрица за матрицата А:
.
Ние составуваме матрица Б од формата:
.
Елемент = 1 и првата линија што го содржи овој елемент ќе се нарекува водичи. Ајде да извршиме елементарни трансформации, како резултат на што првата колона се претвора во единечна колона со една во првиот ред. За да го направите ова, додадете ја првата линија на втората и третата линија, помножени со 1 и -2, соодветно. Како резултат на овие трансформации добиваме:
.
Конечно добиваме
.
Каде 
.
Ранг на матрица.Рангот на матрицата А се нарекува највисок редненула минори од оваа матрица. Рангот на матрицата А се означува со ранг(A) или r(A).
Од дефиницијата следува: а) рангот на матрицата не го надминува помалиот од нејзините димензии, т.е. r(A) е помал или еднаков на минимумот од m или n; б) r(A)=0 ако и само ако сите елементи од матрицата А се еднакви на нула; в) за квадратна матрица од n-ти ред r(A)=n ако и само ако матрицата A е неединечна.
Пример: пресметај ги редовите на матриците:
.
Одговор: r(A)=1. Одговор: r(A)=2.
Да ги наречеме следните елементарни матрични трансформации:
1) Отфрлање на нултиот ред (колона).
2) Множење на сите елементи од ред (колона) од матрица со број кој не е еднаков на нула.
3) Промена на редоследот на редови (колони) на матрицата.
4) Додавање на секој елемент од еден ред (колона) соодветните елементи од друг ред (колона), помножени со кој било број.
5) Транспозиција на матрица.
Рангот на матрицата не се менува за време на елементарните матрични трансформации.
Примери: Пресметај матрица каде
; 
;
Одговор: .
Пример: Пресметај матрица 
, Каде
; ; ; Е е матрицата на идентитетот.
Одговор: .
Пример: Пресметај ја детерминантата на матрицата
.
Одговори: 160.
Пример: Определи дали матрицата А има инверзна и ако има, тогаш пресметај ја:
.
Одговори: 
.
Пример: Најдете го ранг на матрица
.
Одговори: 2.
2.4.2. Системи на линеарни равенки.
Систем од m линеарни равенки со n променливи има форма:
,
каде , се произволни броеви, наречени, соодветно, коефициенти на променливи и слободни членови на равенките. Решението на систем од равенки е збир од n броеви (), по чија замена секоја равенка на системот се претвора во вистинска еднаквост.
Систем од равенки се нарекува конзистентен ако има барем едно решение, а неконзистентен ако нема решенија. Симултаниот систем на равенки се вели дека е дефинитивен ако има единствено решение и неопределен ако има повеќе од едно решение.
Крамерова теорема:Нека е детерминантата на матрицата А, составена од коефициенти за променливите „x“, и нека е детерминантата на матрицата добиена од матрицата А со замена на j-тата колона од оваа матрица со колона од слободни членови. Тогаш, ако , тогаш системот има единствено решение, определено со формулите: (j=1, 2, …, n). Овие равенки се нарекуваат Крамерови формули.
Пример.Решавајте системи на равенки користејќи ги формулите на Крамер:
Одговори: (4, 2, 1). (1, 2, 3) (1, -2, 0)
Гаусовиот метод– методот на секвенцијално елиминирање на променливите е тоа што, со помош на елементарни трансформации, систем на равенки се сведува на еквивалентен систем од чекор (или триаголен) облик, од кој сите други променливи се наоѓаат последователно, почнувајќи од последната променливи по број.
Пример: Решавајте системи на равенки со помош на Гаусовиот метод.
Одговори: (1, 1, 1). (1, -1, 2, 0). (1, 1, 1).
За симултани системи на линеарни равенки, следниве изјави се вистинити:
· ако рангот на матрицата на зглобниот систем еднаков на бројотпроменливи, т.е. r = n, тогаш системот на равенки има единствено решение;
· ако рангот на матрицата на заедничкиот систем е помал од бројот на променливи, т.е. р 2.4.3. Технологија за извршување на операции на матрици во EXCEL. Ајде да разгледаме некои аспекти на работа со процесорот за табеларни пресметки Excel, кои овозможуваат поедноставување на пресметките неопходни за решавање на проблемите со оптимизација. Процесорот за табели е софтверски производ дизајниран да ја автоматизира обработката на табеларни податоци. Работа со формули.Програмите за табеларни пресметки користат формули за извршување на многу различни пресметки. Користејќи Excel, можете брзо да креирате формула. Формулата се состои од три главни дела: Знак за еднаквост; Оператори. Користење на функции во формули. За да го олесните внесувањето формули, можете да ги користите функциите на Excel. Функциите се формули вградени во Excel. За да активирате одредена формула, кликнете на копчињата Вметнете, Функции.Во прозорецот што се појавува Волшебник за функцииЛевата страна содржи листа на типови функции. Откако ќе го изберете типот, на десната страна ќе биде поставен список на самите функции. Изборот на функции се врши со кликнување на копчето на глувчето на соодветното име. При извршување на операции на матрици, решавање системи на линеарни равенки и решавање на проблеми за оптимизација, можете да ги користите следниве функции на Excel: MUMULT - множење на матрицата; TRANSPOSE - транспозиција на матрица; MOPRED - пресметка на детерминантата на матрицата; MOBR - пресметка на инверзна матрица. Копчето се наоѓа на лентата со алатки. Функциите за извршување матрични операции се во категоријата Математички. Матрично множење со помош на функција МУНИФА
. Функцијата MULTIPLE го враќа производот на матриците (матриците се складирани во низите 1 и 2). Резултатот е низа со ист број на редови како низата 1 и ист број на колони како низата 2. Пример.Најдете го производот на две матрици A и B во Excel (види Слика 2.9): Внесете ги матриците A во ќелиите A2:C3 и B во ќелиите E2:F4. Изберете го опсегот на ќелии за резултатот од множење – H2:I2. Внесете ја формулата за множење на матрицата =MULTIPLE(A2:C3, E2:F4). Притиснете CTRL+SHIFT+ENTER. Матрични инверзни пресметки со помош на функцијата MOBR. Функцијата MOBR ја враќа инверзната матрица на матрицата складирана во низа. Синтакса: MOBR (низа). На сл. 2.10 го прикажува решението на примерот во Excel. Пример.Најдете ја матрицата инверзна на дадената: Слика 2.9. Влезни податоци за множење на матрицата. Детерминантата на матрицата е означена. Со други зборови, детерминантата на матрицата е збир на производи од множеството помножено со знакот на соодветната замена. Детерминантата од втор ред е еднаква на производот на елементите на главната дијагонала одземете го производот на елементите на страничната дијагонала. Го добивме правилото за триаголник: Наједноставните својства на детерминантите Детерминантата на матрица со нулта редица (колона) е еднаква на нула Детерминантата на триаголна матрица е еднаква на производот на елементите лоцирани на главната дијагонала Тоа е триаголна матрица ако елементите под главната дијагонала се нула. Детерминантата на дијагонала матрица е еднаква на производот на елементите лоцирани на главната дијагонала. Матрицата е дијагонала ако сите елементи лоцирани надвор од главната дијагонала се еднакви на нула. Основни својства на детерминантите поле на скалари, Доказ: да означиме Ако „преминува“ низ целиот сет, тогаш „преминува“ и сè, т.е. При преуредување на две колони (редови) од матрицата, нејзината детерминанта ќе го промени знакот. Доказ: I) Преуредување на колони: Нека е матрица добиена со преуредување на две колони со броеви, каде. Да ја разгледаме транспозицијата: Транспозицијата е непарна замена, Во доказот ќе ја користиме еднаквоста: Ако поминува низ целиот сет на вредности, тогаш исто така поминува низ сите вредности и II) Преуредување на жици Нека се добие од пермутација на два реда, потоа добиена од пермутација на две колони, а потоа III) Детерминанта на матрица со две идентични редови (колони) еднакви на нула Доказ: Дозволете ни да спроведеме за такво поле каде Коментар Најдете го доказот за случајот во учебникот на Куликова „Алгебра и теорија на броеви“. Нека има две идентични линии со броеви и, каде што ги заменуваме линиите и добиваме матрица Ако две идентични колони, тогаш транспонираната матрица има две идентични редови IV) Ако сите елементи од која било редица (колона) од матрицата се помножат со, тогаш детерминантата се множи со Доказ: Нека се добие од множење со редови од тогаш Сличен доказ за колони V) Детерминанта на матрица чии два реда (колони) се пропорционални на нула Доказ: Нека редовите во матрицата се пропорционални, т.е. -стрингот е еднаков на производот од -стринг. Нека За колони: Нека се добие од,. Колоните се и пропорционални и VI) Ако секој елемент од ред (колона) од квадратна матрица е збир на два елементи, тогаш детерминантата е еднаква на збирот на двете детерминанти. Во матрицата на првата детерминанта, во редот - (колона) се пишуваат првите членови, а во матрицата на втората детерминанта се запишуваат вторите членови. Останатите елементи од матриците на овие детерминанти се исти како оние на матрицата Доказ: VII) Ако додадете уште една редица (колона) помножена со на која било редица (колона) од матрицата на детерминантата, тогаш детерминантата нема да се промени. Доказ: Исто и за колоните. VIII) Ако некој ред (колона) од матрицата е линеарна комбинација на други редови (колони), тогаш детерминантата Доказ: Ако некоја низа е линеарна комбинација на други жици, тогаш може да се додадат други низи, помножени со скалари, така што ќе се добие низа нула. Детерминантата на таквата матрица е еднаква на нула. (прво помножете го првиот ред со -2 и додадете со вториот, потоа со -3 и додадете со третиот). Ова правило за намалување на триаголна форма се користи за детерминантите на редот: бидејќи детерминантата на триаголна матрица е еднаква на производот на елементите лоцирани на главната дијагонала. Ако квадратната матрица е производ на некои матрици (кои може да бидат правоаголни), тогаш често е важно да може да се изрази детерминантата на производот во однос на својствата на факторите. Следната теорема е моќен показател за ова. Малолетни и алгебарски комплементи. Детерминантни теореми. поле на скалари, Деф. Минорот на елементот на детерминантата за ред е детерминантата за ред што се добива со бришење на -редата и -колоната. Главни малолетници на детерминантата Постојат квалификации за големи малолетници Размислете за матрицата и пресметајте ги нејзините мали Дефиниција. Алгебарскиот комплемент на елемент е број Пример: Ајде да пресметаме, Доказ: (во збирот само тие поими се не-нула, каде што) Тогаш замената има форма: , каде. Да ја поклопиме замената т.е. Таквата кореспонденција се нарекува пресликување еден-на-еден од множество пермутации до множество пермутации, . Очигледно, тие имаат исти инверзии, што значи дека имаат ист паритет и знаци Ако сите елементи од која било редица (колона) на матрицата се еднакви на нула, со можен исклучок на еден елемент, тогаш детерминантата на матрицата е еднаква на производот на овој елемент и неговиот алгебарски комплемент Доказ: Сите елементи нека бидат редови од матрицата освен елементот со преуредување на редови и колони, го преместивме елементот во долниот десен агол, што значи редови и колони. Знакот ќе се промени еднаш, по што резултатот ќе биде матрица во која сите елементи од последниот ред освен можеби еднакви на нула. Според Лема 1, бидејќи Лагранжова теорема е еднаков на збирот на производите на елементите на која било колона (редица) од матрицата и нивниот алгебарски комплемент. Со други зборови: распаѓањето долж -колоната на матрицата има форма: , а распаѓањето по -редата на матрицата: Доказ: разгледајте ја -колоната од матрицата и напишете ја во форма: , според шестото својство на детерминантите: детерминанта матрица лагранж математички Формулата за распаѓање во редот на матрицата се докажува на сличен начин. Теорема 2 Следниве еднаквости се валидни: Размислете за матрица што се добива од матрицата на следниов начин: сите колони од матрицата, освен та колона, се исти како оние од матрицата. Колоната од матрицата се совпаѓа со -та колона, тогаш тие имаат две идентични колони, така што детерминантата на матрицата е еднаква на нула, ајде да ја прошириме детерминантата на матрицата во -та колона. Потоа. Формулата (2) е прикажана слично. Последица: Детерминанта на матричен производ поле на скалари, Нека елементарната матрица е уредна, тогаш еднаквоста е вистина: 1) ., т.е. добиени од матрицата со множење на -редот со скалар. Матрична детерминанта. Матрицата се добива со множење на -редата со скалар, па детерминантата Матрица добиена со додавање во -ред 2), обезбеден доказ од изјавата (1). Теорема 1 Детерминантата на производот на две матрици е еднаква на производот на нивните детерминанти, т.е. Доказ: Нека редовите на матрицата се линеарно независни, тогаш постои синџир на елементарни трансформации потоа од Лема 2 следува дека. Од она што () имаме: , тогаш 2) Редовите се линеарно зависни, потоа постои синџир на елементарни трансформации што се преведува во ешалонска матрица која има нула ред, т.е. , . Потоа Од тоа што има и нулта линија во производот, бидејќи Потребни и доволни услови детерминантата да биде еднаква на нула поле на скалари, - матрица над полето Теорема 1 редовите (колоните) од матрицата се линеарно зависни Адекватност: Ако редовите (колоните) на матрицата се линеарно зависни, тогаш некој ред е линеарна комбинација од други редови (по 8 својства на детерминантите) Неопходност: Нека биде. Да докажеме дека редовите се линеарно зависни. Да претпоставиме дека низите се линеарно независни, тогаш постои синџир на елементарни трансформации што се преведува. Од она што беше докажано во точка II произлегува дека. Добивме контрадикторност. Да докажеме дека ако -редата на матрицата е линеарно зависна, но (бројот на вектори на колоните) е линеарно зависен. Теорема 2 Следниве услови се еквивалентни: Доказ: докажано во теорема 1 Матрична партиција Ако матрицата, матрицата, матрицата и матрицата се напишани во форма Потоа формираат некаква матрица. Во овој случај тие можат да се наречат матрични блокови. И соодветно означен. Претставата (1) се нарекува партиционирање на матрицата. Ако производот на матрицата постои и е поделен на блокови, а партицијата по колоните на матрицата одговара на партицијата долж редовите на матрицата, тогаш можеме да очекуваме дека има блокови дадени со формулата Така, претпоставуваме дека производот на матриците во однос на блоковите добиени со соодветни партиции на факторите формално се совпаѓа со производот на овие матрици во однос на скаларните елементи. Да го покажеме ова со пример: Вежба 1. Нека Ова може да се потврди со директна пресметка Теорема (1) Нека матрицата на има блокови каде што е матрица, а матрицата на со блокови со големина. Потоа има блокови Доказ. Забележете дека секој производ постои и е матрица. Затоа, постои и ќе има матрица. За фиксна, секоја има колони, а за фиксна, секоја има редови, што значи дека блоковите од некоја матрица. Нека е некој матричен елемент сместен во блок ќелија. Бидејќи има збир на елементи во ќелиите и матриците, . Но, матричниот елемент во ќелијата е збир од производите на елементите во редот на матрицата и елементите во матричната колона. Понатаму, елементите на редот на матрицата се совпаѓаат со некои елементи од редот во, имено, со, каде што индексот се одредува со неравенките Елементите на матричната колона ќе бидат елементите во. Оттука, Имаме дефинирано ред малолетници за одредницата. Општо земено, ако сите редови освен редовите и сите колони освен колоните се елиминираат од -матрицата, тогаш детерминантата на добиената матрица се нарекува минор на матрицата на редот, тогаш Малолетници за кои се нарекуваат главни за матрицата. Ако е матрица, тогаш алгебарскиот комплемент, на пример, е Ако квадратната матрица е производ на некои матрици (кои може да бидат правоаголни), тогаш понекогаш е важно да се изрази детерминантата на производот во однос на својствата на факторите. Следната теорема е моќен резултат од овој вид. Дефиниција.Производ од две матрици АИ ВОнаречена матрица СО, чиј елемент се наоѓа на раскрсницата јаста линија и јта колона, еднаква на збирот на производите на елементите јасри ред од матрицата Ана соодветните (по ред) елементи јта матрична колона ВО. Од оваа дефиниција следи формулата на матричниот елемент В: Матричен производ Адо матрицата ВОозначено со АБ. Пример 1.Најдете го производот на две матрици АИ Б, Ако Решение. Удобно е да се најде производ од две матрици АИ ВОнапишете како на слика 2: На дијаграмот, сивите стрелки покажуваат кои редови од матрицата се елементи Ана елементите од која колона од матрицата ВОтреба да се множат за да се добијат елементи на матрицата СО, а линиите се боите на матричниот елемент Всоодветните матрични елементи се поврзани АИ Б, чии производи се додаваат за да се добие матричен елемент В. Како резултат, ги добиваме елементите на матричниот производ: Производ од две матрици АБима смисла само ако бројот на матрични колони Асе совпаѓа со бројот на матрични редови ВО.
Оваа важна карактеристика ќе биде полесно да се запомни ако почесто ги користите следните потсетници: Постои уште една важна карактеристика на производот на матриците во однос на бројот на редови и колони: Во производ на матрици АБбројот на редови е еднаков на бројот на редови од матрицата А, а бројот на колони е еднаков на бројот на матрични колони ВО
. Пример 2.Најдете го бројот на редови и колони од матрицата В, што е производ на две матрици АИ Бследните димензии: а) 2 X 10 и 10 X 5; б) 10 X 2 и 2 X 5; Пример 3.Најдете го производот на матриците АИ Б, Ако: А Б- 2. Според тоа, димензијата на матрицата В = АБ- 2 x 2. Пресметување елементи на матрицата В = АБ. Пронајден производ на матрици: . Можете да го проверите решението за овој и други слични проблеми на онлајн калкулатор на матричен производ . Пример 5.Најдете го производот на матриците АИ Б, Ако: Решение. Број на редови во матрицата А- 2, број на колони во матрицата Б В = АБ- 2 x 1. Пресметување елементи на матрицата В = АБ. Производот на матриците ќе се запише како матрица со колона: . Можете да го проверите решението за овој и други слични проблеми на онлајн калкулатор на матричен производ . Пример 6.Најдете го производот на матриците АИ Б, Ако: Решение. Број на редови во матрицата А- 3, број на колони во матрицата Б- 3. Според тоа, димензијата на матрицата В = АБ- 3 x 3. Пресметување елементи на матрицата В = АБ. Пронајден производ на матрици: Можете да го проверите решението за овој и други слични проблеми на онлајн калкулатор на матричен производ . Пример 7.Најдете го производот на матриците АИ Б, Ако: Решение. Број на редови во матрицата А- 1, број на колони во матрицата Б- 1. Според тоа, димензијата на матрицата В = АБ- 1 x 1. Пресметување на матричниот елемент В = АБ. Производот на матрици е матрица од еден елемент: . Можете да го проверите решението за овој и други слични проблеми на онлајн калкулатор на матричен производ . Имплементацијата на софтверот на производот од две матрици во C++ е дискутирана во соодветната статија во блокот „Компјутери и програмирање“. Засилувањето на матрицата се дефинира како множење на матрица со иста матрица. Бидејќи производ на матрици постои само кога бројот на колони од првата матрица се совпаѓа со бројот на редови од втората матрица, само квадратните матрици можат да се подигнат на моќност. nта моќ на матрицата со множење на матрицата со себе nеднаш: Пример 8.Дадена е матрица. Најдете А² и А³
. Пример 9.Дадена е матрица Најдете го производот на дадената матрица и транспонираната матрица, производот на транспонираната матрица и дадената матрица. Имотот 1. Производот на која било матрица А и идентитетската матрица Е од соодветниот редослед, и десно и лево, се совпаѓа со матрицата А, т.е. AE = EA = А. Со други зборови, улогата на единечната матрица при множење на матрицата е иста како улогата на единиците при множење на броеви. Пример 10.Потврдете дека Својството 1 е точно со наоѓање на производите на матрицата до матрицата на идентитетот десно и лево. Решение. Од матрицата Асодржи три колони, тогаш треба да го пронајдете производот AE, Каде Излегува дека AE = А . Сега да го најдеме производот ЕА, Каде Ее идентитетска матрица од втор ред, бидејќи матрицата А содржи два реда. Ајде да ги најдеме елементите на делото СО = ЕА : Теорема:
Доказ:Нека се дадени квадратни матрици од ред n. За да ја доведеме десната детерминанта во квази-триаголна форма, заменуваме 1 и 1+ n колони, 2 и 2+ n … n и 2 n колони. Како резултат, ја добиваме еднаквоста: Коментар:Јасно е дека теоремата е валидна за секој конечен број матрици. Конкретно Дефиниција:Ако Размислете за произволна квадратна матрица А. Од алгебарските комплементи на елементите на оваа матрица, составуваме матрица и ја транспонираме. Добиваме матрица C: Така, од несингуларноста на матрицата А следува постоењето на А -1. Од друга страна, ако A има A -1 тогаш матричната равенка AX = E е решлива. Оттука Теорема:Квадратна матрица над полето P има инверзна ако и само ако не е посебна. Ако инверзната матрица постои, тогаш таа се наоѓа со формулата: Коментар:
Дефиниција:Минор од k-тиот ред на матрицата А е детерминанта од k-тиот ред со елементи што лежат на пресекот на која било k ред и која било k колона. Дефиниција:Рангот на матрицата А е највисокиот редослед освен 0 од минорите на оваа матрица. Означено со r(A). Јасно 0<=r(A)<=min(m,n).
Таким образом еслиr(A)=rто среди миноров матрицы А есть минорr-го порядка отличны от
0, а все минорыr+1 порядка
и выше равны 0. Дефиниција:Секоја не-0 минор на матрицата чиј редослед е еднаков на ранг на матрицата се нарекува основен минор на оваа матрица. Јасно е дека матрицата може да има неколку базни минори. Колоните и редовите што ги формираат основните минори се нарекуваат основни. Теорема:Во изведената матрица A = (a i) m, n, секоја колона е линеарна комбинација на основните колони во кои се наоѓа основниот минор (исто за редовите). Доказ:Нека r(A)=r. Ајде да избереме еден основен минор од матрицата. За едноставност, да претпоставиме дека основниот минор се наоѓа во горниот лев агол на матрицата, т.е. на првите r редови и првите r колони. Тогаш основниот помал г-дин ќе изгледа вака: Дозволете ни да доделиме некоја k-та колона и вита редица на основниот минор: колоната е вклучена во основата потоа детерминантата Последица:Ако A е квадратна матрица, а детерминантата A = 0, тогаш една од колоните на матрицата е линеарна комбинација на преостанатите колони, а една од редовите е линеарна комбинација на преостанатите редови. Доказ:Ако детерминантата на матрицатаA=0, тогаш рангот на оваа матрица<=n-1,n-порядок матрицы. Поэтому,
по крайней мере одна строка или один
столбец не входят в число базисных. Эта
строка (столбец) линейно выраженная
через строки (столбцы) в которой расположен
базисный минор, а значит линейно
выраженная через остальные строки
(столбцы). За [A] =0 потребно е и доволно барем еден ред (колона) да биде линеарна комбинација од неговите преостанати редови (колони). Коментар. Операцијата на множење на матрицата е некомутативна, т.е. Навистина, ако производот AB постои, тогаш BA може воопшто да не постои поради неусогласеноста на димензиите (видете го претходниот пример). Ако постојат и AB и BA, тогаш тие можат да имаат различни димензии (ако). За квадратни матрици од ист ред, производите AB и BA постојат и имаат иста димензија, но нивните соодветни елементи генерално не се еднакви. Меѓутоа, во некои случаи производите AB и BA се совпаѓаат. Размислете за производот на квадратна матрица А и идентитетска матрица Е од ист ред: Го добиваме истиот резултат за производот ЕА. Значи, за која било квадратна матрица A AE = EA = A. Инверзна матрица. Дефиниција 3.7. Квадратна матрица А се нарекува еднина ако и несингуларна ако. Дефиниција 3.8. Квадратна матрица B се нарекува инверзна на квадратна матрица A од ист ред ако AB = BA = E. Во овој случај, B се означува. Да го разгледаме условот за постоење на матрица инверзна на дадена и методот за нејзино пресметување. Теорема 3.2. За да постои инверзна матрица, потребно е и доволно оригиналната матрица да биде несингуларна. Доказ. 1) Неопходност: од тогаш (Теорема 3.1), затоа 2) Доволност: поставете ја матрицата во следната форма: Тогаш секој елемент од производот (или) што не лежи на главната дијагонала е еднаков на збирот на производите на елементите од една редица (или колона) од матрицата А со алгебарските комплементи на елементите на друга колона и, според тоа, е еднаква на 0 (како детерминанта со две еднакви колони). Елементите на главната дијагонала се еднакви. *=. Теоремата е докажана. Коментар. Да го формулираме уште еднаш методот за пресметување на инверзната матрица: неговите елементи се алгебарски комплементи на елементите на транспонираната матрица А, поделени со нејзината детерминанта.
; . .
,
.
Сега имаме сè за да го запишеме производот од две матрици:
.
.
.
.
.
.
Најдете го матричниот производ сами и потоа погледнете го решението
-
идентитетска матрица од трет ред. Ајде да ги најдеме елементите на делото СО = AE :
14. Теорема за детерминантата на производот на матрици.
И 
. Врз основа на теоремата за детерминанта на квази-триаголна матрица ( 
) имаме: 
редоследот на оваа матрица е 2n. Без промена на детерминантата, ги извршуваме следните трансформации последователно на матрица од ред 2n: додадете во првиот ред. Како резултат на таквата трансформација, првите n позиции од првиот ред ќе бидат сите 0, а втората (во вториот блок) ќе биде збирот на производите од првиот ред од матрицата А и првата колона од матрицата Б. Откако ги направивме истите трансформации со 2 ... n редови, ја добиваме следната еднаквост: 
.15. Теорема за постоење на инверзна матрица.
се вели дека матрицата е не-дегенерирана (не-единечна). Ако 
тогаш матрицата се нарекува сингуларна.
За матрицата C се вели дека е придружна на матрицата A. Откако ќе го пресметаме производот на A*C и B*C, добиваме 
Оттука 
, Така 
Ако 
.
И. Комбинирајќи ги добиените резултати, ја добиваме следната изјава:
, каде што C е придружната матрица.
16.Одредување на ранг на матрица. Теоремата врз основа на минор и нејзината последица.
. Треба да докажеме дека секоја колона од матрицата А е линеарна комбинација од првите колони од оваа матрица, во која се наоѓа основниот минор, т.е. потребно е да се докаже дека постојат броеви λ j такви што за која било k-та колона од матрицата A важи следната еднаквост: каде 
…
.
бидејќи ако додадената линија или
, како одредница со две идентични редови (колони). Ако се додаде ред (колона) тогаш 
според дефиницијата за матричен ранг. Да ја прошириме детерминантата 
врз основа на елементите на крајната линија, добиваме: од тука добиваме: 
каде λ 1 … λ r не зависат од бројот S, бидејќи И Sj не зависат од елементите на додадениот S-ти ред. Еднаквоста (1) е еднаквоста што ни треба (итн.)
