Мојата тајна
1. Средината го дели триаголникот на два триаголници со еднаква плоштина. 2. Средините на триаголникот се сечат во една точка, што ја дели секоја од нив во сооднос 2:1, сметајќи од темето. Оваа точка се нарекувацентар на гравитација
триаголник.
3. Целиот триаголник е поделен со неговите средни на шест еднакви триаголници.
Својства на симетралите на триаголниците 1. Симетралата на аголот елокус
точки еднакво оддалечени од страните на овој агол.
2. Симетралата на внатрешниот агол на триаголникот ја дели спротивната страна на отсечки пропорционални на соседните страни: .
3. Точката на пресек на симетралите на триаголникот е центарот на кругот впишан во овој триаголник.
Својства на височините на триаголниците 1. Бправоаголен триаголник висина извлечена од теметоправ агол
, го дели на два триаголници слични на оригиналниот. 
2. Во акутен триаголник, две од неговите височини отсекуваат слични од него
триаголници.
Својства на нормални симетрали на триаголник
1. Секоја точка на нормалната симетрала на отсечка е еднакво оддалечена од краевите на оваа отсечка. Обратно е исто така точно: секоја точка на еднакво растојание од краевите на отсечката лежи на нормалната симетрала на неа.
2. Точката на пресек на нормалните симетрали нацртани на страните на триаголникот е центарот на кругот опкружен околу овој триаголник.
Својство на средната линија на триаголник
Средната линија на триаголникот е паралелна со една од неговите страни и еднаква на половина од таа страна.
Сличност на триаголниците Два триаголницислично ако се повика еден од следните услови
знаци на сличност:
· два агли на еден триаголник се еднакви на два агли на друг триаголник;
· две страни на еден триаголник се пропорционални на две страни на друг триаголник, а аглите формирани од овие страни се еднакви;
· три страни на еден триаголник се соодветно пропорционални со три страни на друг триаголник.
Во слични триаголници, соодветните прави (висини, медијани, симетрали итн.) се пропорционални.
Теорема на синусите
Косинусна теорема= а 2+ б 2- 2в 2п.н.е
cos
1. Формули за површина на триаголник
Слободен триаголника, б, в - страни; - агол помеѓу странитеа Иб ; - полупериметар; R- радиус на ограничен круг; r- радиус на впишаниот круг;С- квадрат;ч а - 
висина привлечена кон страни; - агол помеѓу страните.
страна
S = ах а
S = ab грев = С
2. Правоаголен триаголник
а, б -нозете; в-хипотенуза; ч в -висина повлечена на страна в.
S = ch c S = ab
3. Рамностран триаголник
Четириаголници
Својства на паралелограм 
· спротивните страни се еднакви;
· спротивните агли се еднакви;
· дијагоналите се делат на половина со точката на пресек;
· збирот на аглите во непосредна близина на едната страна е 180°;
Збирот на квадратите на дијагоналите е еднаков на збирот на квадратите на сите страни:
d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2).
Четириаголник е паралелограм ако:
1. Нејзините две спротивни страни се еднакви и паралелни.
2. Спротивните страни се еднакви во парови.
3. Спротивните агли се еднакви во парови.
4. Дијагоналите се делат на половина со точката на пресек.
Својства на трапез
· неа средната линијапаралелно со основите и еднакво на нивната полу-збир;
· ако трапезот е рамнокрак, тогаш неговите дијагонали се еднакви, а аглите во основата се еднакви;
· ако трапезот е рамнокрак, тогаш околу него може да се опише круг;
· ако збирот на основите е еднаков на збирот на страните, тогаш во него може да се впише круг.
Својства на правоаголник
Дијагоналите се еднакви.
Паралелограм е правоаголник ако:
1. Еден од неговите агли е исправен.
2. Неговите дијагонали се еднакви.
Својства на ромб
· сите својства на паралелограм;
Дијагоналите се нормални;
Дијагоналите се симетрали на неговите агли.
1. Паралелограм е ромб ако:
2. Неговите две соседни страни се еднакви.
3. Неговите дијагонали се нормални.
4. Една од дијагоналите е симетралата на нејзиниот агол.
Својства на квадрат
· сите агли на плоштадот се во право;
· дијагоналите на квадратот се еднакви, меѓусебно нормални, точката на пресек ги преполовува и ги преполовува аглите на квадратот.
Правоаголник е квадрат ако има некои карактеристики на ромб.
Основни формули
1. Секој конвексен четириаголник 
г 1,д 2 -дијагонали; - аголот меѓу нив; С-квадрат.
Средината на триаголникот, исто како и висината, служи како графички параметар кој го одредува целиот триаголник, вредноста на неговите страни и агли. Три вредности: медијани, висини и симетрали - ова е како баркод на производ, нашата задача е едноставно да можеме да го броиме.
Дефиниција
Медијаната е линискиот сегмент што ги поврзува висината и средината на спротивната страна. Триаголникот има три темиња, што значи дека има три средни. Медијаните не секогаш се совпаѓаат со височините или симетралите. Најчесто тоа се посебни сегменти.
Својства на медијани
- Средината на рамнокрак триаголник нацртан до основата се совпаѓа со надморската височина и симетралата. ВО рамностран триаголниксите медијани се совпаѓаат со симетралите и височините.
- Сите посредини на триаголник се сечат во една точка.
- Средина го дели триаголникот на два триаголници со еднаква површина, а три медијални делат триаголник на 6 триаголници со еднаква површина.
Триаголниците чии плоштини се еднакви се нарекуваат еднакви плоштини.
Ориз. 1. Три медијани формираат 6 еднакви триаголници.
- Пресечната точка на медијаните ги дели во сооднос 2:1, сметајќи од темето.
- Средината нацртана до хипотенузата на правоаголен триаголник е еднаква на половина од хипотенузата.
Задачи
Сите овие својства се лесни за паметење, тие лесно се консолидираат во пракса. За подобро да ја разбереме темата, да решиме неколку проблеми:
- Во правоаголен триаголник се познати катети кои се еднакви на a=3 и b=4. Најдете ја вредноста на медијаната m нацртана на хипотенузата c.
Ориз. 2. Цртеж за проблемот.
За да ја најдеме вредноста на медијаната, треба да ја најдеме хипотенузата, бидејќи медијаната извлечена до хипотенузата е еднаква на половина од неа. Хипотенуза преку Питагоровата теорема: $$a^2+b^2=c^2$$
$$c=\sqrt(a^2+b^2)=\sqrt(9+16)=\sqrt(25)=5$$
Да ја најдеме вредноста на медијаната: $$m=(c\over2)=(5\over2)=2,5$$ - добиениот број е вредноста на медијаната.
Медијаните во триаголникот не се еднакви. Затоа, императив е да се замисли точно која вредност треба да се најде.
- Познати се вредностите на страните во триаголник: a=7; b=8; c=9. Најдете ја вредноста на медијаната спуштена на страната b.
Ориз. 3. Цртеж за проблемот.
За да го решите овој проблем, треба да користите една од трите формули за да ја пронајдете средината по страните на триаголникот:
$$m^2 =(1\over2)*(a^2+c^2-b^2)$$
Како што можете да видите, главната работа овде е да се запамети коефициентот на заградите и знаците на страните. Знаците најлесно се паметат - секогаш се одзема страната до која е спуштена медијаната. Во нашиот случај тоа е b, но може да биде било кое друго.
Ајде да ги замениме вредностите во формулата и да ја најдеме средната вредност: $$m=\sqrt((1\over2)*(a^2+c^2-b^2))$$
$$m=\sqrt((1\over2)*(49+81-64))=\sqrt(33)$$ - да го оставиме резултатот како корен.
- ВО рамнокрак триаголникмедијаната која е повлечена до основата е 8, а самата основа е 6. Заедно со преостанатите два, оваа средина го дели триаголникот на 6 триаголници. Најдете ја областа на секоја од нив.
Медијаните делат триаголник на шест еднакви области. Ова значи дека областите на малите триаголници ќе бидат еднакви една со друга. Доволно е да се најде плоштината на поголемата и да се подели со 6.
Со оглед на средината навлечена до основата, во рамнокрак триаголник тоа се симетралата и висината. Тоа значи дека се познати основата и висината на триаголникот. Можете да ја најдете областа.
$$S=(1\over2)*6*8=24$$
Површина на секој од малите триаголници: $$(24\over6)=4$$
Што научивме?
Научивме што е медијана. Ги утврдивме својствата на медијаната и најдовме решение типични задачи. Зборувавме за основните грешки и сфативме како брзо и лесно да ја запомниме формулата за наоѓање на медијаната низ страните на триаголникот.
Тест на темата
Рејтинг на статијата
Просечна оцена: 4.7. Вкупно добиени оценки: 84.
Средина на триаголник- ова е отсечка што го поврзува темето на триаголникот со средината на спротивната страна на овој триаголник.
Својства на медијана на триаголник
Мојата тајна
2. Средините на триаголникот се сечат во една точка, што ја дели секоја од нив во сооднос 2:1, сметајќи од темето. Оваа точка се нарекува центар на гравитација на триаголникот (центроид).
триаголник.
Должина на медијаната повлечена на страна: (докажување со градење до паралелограм и користење на еднаквоста во паралелограм од двојно поголема сума од квадратите на страните и збирот на квадратите на дијагоналите )
Т1.Трите посредини на триаголникот се сечат во една точка М, која ја дели секоја од нив во сооднос 2:1, сметајќи од темињата на триаголникот. Дадени: ∆ ABC, SS 1, AA 1, ББ 1 - медијана
∆ABC. Докажи: и
D-vo: Нека M е пресечната точка на медијаните CC 1, AA 1 на триаголникот ABC. Да означиме A 2 - средината на сегментот AM и C 2 - средината на сегментот CM. Тогаш A 2 C 2 е средната линија на триаголникот АМС.Средства, A 2 C 2|| AC
и A 2 C 2 = 0,5 * AC. СО 1 А 1 - средната линија на триаголникот ABC. Така А 1 СО 1 || AC и A 1 СО 1 = 0,5 * AC.
Четириаголник A 2 C 1 A 1 C 2- паралелограм, бидејќи неговите спротивни страни се А 1 СО 1 И A 2 C 2еднакви и паралелни. Оттука, A 2 M =М-р 1 И C 2 M = MC 1 . Ова значи дека точките А 2а Мподелете ја медијаната АА 2на три еднакви делови, т.е. AM = 2MA 2. Исто како CM = 2MC 1 . Значи, точката М на пресекот на две медијани АА 2а CC 2триаголникот ABC го дели секој од нив во сооднос 2:1, сметајќи од темињата на триаголникот. На сосема сличен начин се докажува дека пресечната точка на медијаните AA 1 и BB 1 ја дели секоја од нив во однос 2:1, сметајќи од темињата на триаголникот.
На средната AA 1 таква точка е точката М, според тоа, точка Ми тука е точката на пресек на медијаните AA 1 и BB 1.
Така, n
Т2.Докажи дека отсечките што го поврзуваат центроидот со темињата на триаголникот го делат на три еднакви делови. Дадено: ∆ABC, 
- неговата средина.
Докажи: S AMB =S BMC =S AMC .Доказ. ВО,тие имаат заедничко. 
бидејќи нивните основи се еднакви 
и висината извлечена од темето М,имаат заедничко. Потоа
На сличен начин се докажува дека S AMB = S AMC .Така, S AMB = S AMC = S CMB.n
Симетрала на триаголник. Формули за наоѓање симетрали
Симетрала на агол- зрак со почеток на темето на агол, делејќи го аголот на два еднакви агли.
Симетралата на аголот е место на точки во аголот што се подеднакво оддалечени од страните на аголот.
Својства
1. Теорема на симетрала: Симетралата на внатрешниот агол на триаголникот ја дели спротивната страна во однос еднаков на односот на двете соседни страни
2. Симетрали внатрешни аглитриаголниците се сечат во една точка - центарот - центарот на кругот впишан во овој триаголник.
3. Ако две симетрали во триаголникот се еднакви, тогаш триаголникот е рамнокрак (теорема Штајнер-Лемус).
Пресметка на должината на симетралата
l c - должина на симетралата нацртана на страната c,
a,b,c - страни на триаголникот спроти темињата A, B, C соодветно,
p е полупериметар на триаголникот,
a l , b l - должини на отсечките на кои симетралата l c ја дели страната c,
α,β,γ - внатрешни агли на триаголникот при темиња A,B,Cсоодветно,
h c е висината на триаголникот, спуштен на страната c.
Метод на површина.
Карактеристики на методот.Од името произлегува дека главниот објект овој методе областа. За голем број фигури, на пример за триаголник, областа е прилично едноставно изразена преку разни комбинации на елементи на фигурата (триаголник). Затоа, многу ефикасна техника е кога се споредуваат различни изрази за областа на дадена фигура. Во овој случај, се појавува равенка која ги содржи познатите и посакуваните елементи на фигурата, со чие решавање ја одредуваме непознатата. Тука се манифестира главната карактеристика на методот на областа - тој „прави“ алгебарски проблем од геометриски проблем, сведувајќи сè на решавање на равенка (а понекогаш и систем на равенки).
1) Метод на споредување: поврзан со голем број формули S од истите фигури
2) Метод на релација S: врз основа на проблеми за поддршка на трага:
Теорема на Цева
Нека точките A", B", C" лежат на правите BC, CA, AB на триаголникот. Правите AA", BB", CC" се сечат во една точка ако и само ако 
Доказ.
Да означиме со точката на пресек на отсечките и . Да ги спуштиме перпендикуларите од точките C и A на правата BB 1 додека не се вкрстат со неа во точките K и L, соодветно (види слика).
Бидејќи триаголниците имаат заедничка страна, нивните области се поврзани како висини нацртани на оваа страна, т.е. AL и CK:
Последната еднаквост е точно, бидејќи правоаголните триаголници се слични по остар агол.
Слично добиваме 
а 
Ајде да ги помножиме овие три еднаквости:
Q.E.D.
Коментар. Отсечка (или продолжение на отсечка) што го поврзува темето на триаголникот со точка што лежи на спротивната страна или нејзиното продолжение се нарекува цевиана.
Теорема ( конверзна теоремаШеви). Нека точките A, B, C" лежат на страните BC, CA и AB на триаголникот ABC, соодветно. Нека релацијата е задоволена 
Тогаш отсечките AA",BB",CC" се сечат во една точка.
Теорема на Менелаус
Теорема на Менелаус. Нека права го пресекува триаголникот ABC, со C 1 точката на нејзиното вкрстување со страната AB, A 1 точката на нејзиното пресекување со страната BC и B 1 точката на нејзиниот пресек со продолжувањето на страната AC. Потоа
Доказ
. Да повлечеме права паралелна на AB низ точката В. Да ја означиме со K нејзината точка на пресек со правата B 1 C 1 .
Триаголниците AC 1 B 1 и CKB 1 се слични (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1, ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). Оттука, 
Слични се и триаголниците BC 1 A 1 и CKA 1 (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1). Средства,
Од секоја еднаквост изразуваме CK:
Каде 
Q.E.D.
Теорема (инверзна теорема на Менелај).Нека е даден триаголникот ABC. Нека точката C 1 лежи на страната AB, точката A 1 на страната BC и точката B 1 на продолжението на страната AC, и нека важи следнава врска:
Тогаш точките A 1, B 1 и C 1 лежат на истата линија.
Триаголник - многуаголник со три страни или затворен прекината линијасо три врски, или фигура формирана од три сегменти што поврзуваат три точки кои не лежат на иста права линија (види слика 1).
Основни елементи на триаголникот abc
Врвови – точки А, Б и В;
Забави – отсечки a = BC, b = AC и c = AB што ги поврзуваат темињата;
Агли – α, β, γ формирани од три пара страни. Аглите често се означени на ист начин како темињата, со буквите A, B и C.
Аголот што го формираат страните на триаголникот и лежи во неговата внатрешна област се нарекува внатрешен агол, а оној што е во непосредна близина на него е соседниот агол на триаголникот (2, стр. 534).
Висини, медијанини, симетрали и средни линии на триаголник
Покрај главните елементи во триаголникот, се разгледуваат и други сегменти со интересни својства: висини, медијани, симетрали и средни линии.
Висина
Висини на триаголници- ова се перпендикулари испуштени од темињата на триаголникот на спротивните страни.
За да ја нацртате висината, мора да ги извршите следните чекори:
1) нацртајте права линија што содржи една од страните на триаголникот (ако висината е извлечена од темето на остар агол во тап триаголник);
2) од темето што лежи спроти нацртаната линија, повлечете отсечка од точката до оваа права, правејќи агол од 90 степени со неа.
Точката каде што надморската височина ја пресекува страната на триаголникот се нарекува висинска основа (види Сл. 2).
Својства на височините на триаголниците
Во правоаголен триаголник, висината извлечена од темето на правиот агол го дели на два триаголници слични на првобитниот триаголник.
Во акутен триаголник, неговите две височини отсекуваат слични триаголници од него.
Ако триаголникот е остар, тогаш сите основи на височините припаѓаат на страните на триаголникот, а во тап триаголник, две височини паѓаат на продолжението на страните.
Три височини во остар триаголник се сечат во една точка и оваа точка се нарекува ортоцентар триаголник.
Медијана
Медијани(од латински mediana - „средина“) - ова се отсечки што ги поврзуваат темињата на триаголникот со средните точки на спротивните страни (види слика 3).
За да ја конструирате медијаната, мора да ги извршите следните чекори:
1) пронајдете ја средината на страната;
2) точката што е средината на страната на триаголникот со спротивното теме поврзете ја со отсечка.
Својства на медијана на триаголник
Средината го дели триаголникот на два триаголници со еднаква површина.
Средините на триаголникот се сечат во една точка, што го дели секој од нив во сооднос 2:1, сметајќи од темето. Оваа точка се нарекува центар на гравитација центар на гравитација
Целиот триаголник е поделен со неговите средни на шест еднакви триаголници.
Симетрала
Симетрали(од латински bis - двапати и seko - cut) се правилните отсечки затворени во триаголник што ги преполовуваат неговите агли (види слика 4).
За да изградите симетрала, мора да ги извршите следните чекори:
1) конструирај зрак што излегува од темето на аголот и го дели на два еднакви дела (симетралата на аголот);
2) најдете ја пресечната точка на симетралата на аголот на триаголникот со спротивната страна;
3) изберете отсечка што го поврзува темето на триаголникот со пресечната точка на спротивната страна.
Својства на симетралите на триаголниците
Симетралата на аголот на триаголникот ја дели спротивната страна во однос еднаков на односот на двете соседни страни.
Симетралите на внатрешните агли на триаголникот се сечат во една точка. Оваа точка се нарекува центар на впишаниот круг.
Симетралите на внатрешните и надворешните агли се нормални.
Ако симетралата на надворешен агол на триаголник го пресекува продолжувањето на спротивната страна, тогаш ADBD=ACBC.
Симетралите на еден внатрешен и два надворешни агли на триаголник се сечат во една точка. Оваа точка е центар на една од трите кругови на овој триаголник.
Основите на симетралите на два внатрешни и еден надворешен агол на триаголникот лежат на иста права линија ако симетралата на надворешниот агол не е паралелна со спротивната страна на триаголникот.
Ако симетралите на надворешните агли на триаголникот не се паралелни со спротивните страни, тогаш нивните основи лежат на истата права линија.
Гомел научна и практична конференција на ученици за математика, нејзини примени и информатичката технологија"Барај"
Апстракт на тема:
„Медијани на триаголник“
Студенти:
9“ државна класа
образовните институции
„Гомел град
Мултидисциплинарна гимназија бр. 14“
Морозова Елизавета
Ходосовскаја Алесија
Научен раководител-
Наставник по математика највисока категорија
Сафонова Ала Викторовна
Гомел 2009 година
Вовед
1. Медини на триаголник и нивните својства
2. Откритие на германскиот математичар Г. Лајбниц
3. Примена на медијани во математичка статистика
4. Медијани на тетраедар
5. Шест докази за теоремата на медијаната
Заклучок
Список на извори и користена литература
Апликација
Вовед
Геометријата започнува со триаголник. Веќе два милениуми триаголникот е симбол на геометријата, но не е симбол. Триаголник е атом на геометријата.
Триаголникот е неисцрпен - неговите нови својства постојано се откриваат. За да кажете за сите негови познати својства, потребен ви е волумен споредлив по волумен со јачината Голема енциклопедија. Сакаме да зборуваме за медијаната на триаголникот и неговите својства, како и за употребата на медијани.
Прво, запомнете дека средината на триаголникот е отсечка што ги поврзува темињата на триаголникот со средината на спротивната страна. Медијаните имаат многу својства. Но, ќе погледнеме еден имот и 6 различни докази за тоа. Трите медијани се сечат во една точка, која се нарекува центар (центар на маса) и се поделени во сооднос 2:1.
Има медијани не само на триаголник, туку и на тетраедар. Отсечката што го поврзува темето на тетраедарот со центроидот (точката на пресек на медијаните) на спротивната страна се нарекува медијана на тетраедарот. Ќе го разгледаме и својството на медијана на тетраедар.
Медијаните се користат во математичката статистика. На пример, да се најде просечната вредност на одреден сет на броеви.
1. Средини на триаголник и нивните својства
Како што знаете, медијаните на триаголникот се отсечките што ги поврзуваат неговите темиња со нивните средни точки. спротивни страни. Сите три медијани се сечат во една точка и ја делат во сооднос 1:2.
Пресечната точка на медијаните е исто така центар на гравитација на триаголникот. Ако закачите картонски триаголник на пресечната точка на неговата средина, тој ќе биде во состојба на рамнотежа
Интересно е што сите шест триаголници на кои е поделен секој триаголник со средните средини имаат исти плоштини.
Средините на триаголникот низ неговите страни се изразени на следниов начин:
, , .Ако две медијани се нормални, тогаш збирот на квадратите на страните на кои се испуштени е 5 пати поголем од квадратот на третата страна.
Да конструираме триаголник чии страни се еднакви на средните на дадениот триаголник, тогаш средните на конструираниот триаголник ќе бидат еднакви на 3/4 од страните на првобитниот триаголник.
Да го наречеме овој триаголник првиот, триаголникот од неговите среднини - вториот, триаголникот од средината на вториот - третиот итн. Тогаш триаголниците со непарни броеви (1,3, 5, 7,...) се слични еден на друг и триаголниците со парни броеви ( 2, 4, 6, 8,...) се исто така слични еден на друг.
Збирот на квадратите на должините на сите посредини на триаголникот е еднаков на ¾ од збирот на квадратите на должините на неговите страни.
2. Откритие на германскиот математичар Г. Лајбниц
Познат германски математичар Г. Лајбниц открив извонреден факт: збирот на квадратните растојанија од произволна точка во рамнината до темињата на триаголникот што лежи во оваа рамнина е еднаков на збирот на квадратните растојанија од точката на пресек на медијаните до нејзините темиња, додадена тројно да се зголеми квадратот на растојанието од точката на пресек на медијаните до избраната точка.
Од оваа теорема произлегува дека точката на рамнината за која збирот на квадратните растојанија до темињата на даден триаголник е минимален е точката на пресек на медијаните на овој триаголник.
Во исто време, минималниот збир на растојанија до темињата на триаголникот (а не нивните квадрати) ќе биде за точката од која секоја страна од триаголникот е видлива под агол од 120°, ако ниту еден од аглите на триаголникот е поголем од 120° (Фермат-точка), а за темето тапиот агол ако е поголем од 120°.
Од теоремата на Лајбниц и претходната изјава лесно може да се најде растојанието год точката на вкрстување на медијаните до центарот на ограничениот круг. Навистина, според теоремата на Лајбниц, ова растојание е еднакво на квадратниот корен од една третина од разликата помеѓу збирот на квадратите на растојанијата од центарот на ограничениот круг до темињата на триаголникот и збирот
Квадрати на растојанијата од точката на пресек на медијаните до темињата на триаголникот. Го добиваме тоа
.Точка Мна пресекот на медијаните на триаголникот ABC е единствената точка од триаголникот за која збирот на вектори м-р,М.Б.и МСеднаква на нула. Точка координати М(во однос на произволните оски) се еднакви на аритметичката средина на соодветните координати на темињата на триаголникот. Од овие искази можеме да добиеме доказ за теоремата на средната вредност.
3. Примена на медијани во математичката статистика
Медијаните постојат не само во геометријата, туку и во математичката статистика. Да претпоставиме дека треба да ја најдеме просечната вредност на одредено множество броеви
, , ..., а стр.Можете, се разбира, да ја земете аритметичката средина како просекНо, понекогаш е незгодно. Да речеме дека треба да ја одредиме просечната висина на второодделенците во Москва. Ајде да интервјуираме 100 ученици по случаен избор и да ја снимиме нивната висина. Ако некој од момците на шега каже дека неговата висина е километар, тогаш аритметичкиот просек на напишаните бројки ќе биде преголем. Многу е подобро да се земе како просек медијанаброеви
, ..., а стр.Да претпоставиме дека има непарен број броеви и да ги подредиме по редослед што не се намалува. Бројот на средното место се нарекува медијана на множеството. На пример, медијаната на множеството броеви 1, 2, 5, 30, 1, 1, 2 е 2 (а аритметичката средина е многу поголема - таа е 6).
4. Медијани на тетраедар
Излегува дека можеме да зборуваме за медијани не само за триаголник, туку и за тетраедар. Сегментот што го поврзува темето на тетраедарот со центроидот (точката на пресекот на медијаните) на спротивната страна се нарекува медијанатетраедар. Како медијаните на триаголникот, средните на тетраедарот се сечат во една точка, центарот на масата или центарот на тетраедарот, но односот во кој тие се делат во оваа точка е различен - 3:1, сметајќи од темињата. Истата точка лежи на сите сегменти што ги поврзуваат средните точки на спротивните рабови на тетраедарот, неговите бимедијани и ги делат на половина. Ова може да се докаже, на пример, од механички размислувања со поставување на тегови на единица маса на секое од четирите темиња на тетраедарот.
5. Шест докази за теоремата на медијаната
Одамна е забележано дека е покорисно да се запознаете со различни решенија за еден проблем отколку со слични решенија за различни проблеми. Една од теоремите, која, како и многу други класични теореми на елементарната геометрија, признава неколку поучни докази, е
Теорема за средини на триаголник. Медијани, B и C на триаголникABCсе сечат во одредена точка М, и секоја од нив е поделена со оваа точка во однос 2:1, броејќи од врвот:А.М.: М= Б.М.: М= Ц.М.: М=2. (1)
Во сите докази дадени подолу, освен шестиот, го утврдуваме само тоа медијаната B поминува низ точката М, која ја дели медијаната А во односот 2:1. Ако во соодветниот аргумент ја замениме отсечката ВОза сегмент СО,тогаш го добиваме тоа СОпоминува низ М.Ова ќе докаже дека сите три медијани се сечат во одреден момент М,и AM:M - 2.Бидејќи сите медијани се еднакви, можеме да замениме Ана ВОили СС 1оттука следи (1).
