Да разгледаме заоблен трапез ограничен со оската Ox, кривата y=f(x) и две прави: x=a и x=b (сл. 85). Да земеме произволна вредност од x (само не a и не b). Да му дадеме прираст h = dx и да разгледаме лента ограничена со прави линии AB и CD, оската Ox и лакот BD кои припаѓаат на кривата што се разгледува. Оваа лента ќе ја наречеме елементарна лента. Површината на елементарната лента се разликува од областа на правоаголникот ACQB со кривилинеарниот триаголник BQD, а плоштината на вториот е помала од областа на правоаголникот BQDM со страни BQ = =h= dx) QD=Ay и плоштина еднаква на hAy = Ay dx. Како што се намалува страната h, страната Du исто така се намалува и истовремено со h се стреми кон нула. Затоа, областа на BQDM е бесконечно мала од втор ред. Површината на елементарна лента е зголемување на површината, а плоштината на правоаголникот ACQB, еднаква на AB-AC ==/(x) dx> е диференцијалот на областа. Следствено, ја наоѓаме самата област со интегрирање на нејзиниот диференцијал. Во рамките на сликата што се разгледува, независната променлива l: се менува од a во b, така што бараната површина 5 ќе биде еднаква на 5= \f(x) dx. (I) Пример 1. Да ја пресметаме плоштината ограничена со параболата y - 1 -x*, правите X =--Fj-, x = 1 и оската O* (сл. 86). на Сл. 87. Сл. 86. 1 Овде f(x) = 1 - l?, границите на интеграција се a = - и £ = 1, затоа J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Пример 2. Да ја пресметаме плоштината ограничена со синусоидот y = sinXy, оската Ox и правата линија (сл. 87). Применувајќи ја формулата (I), добиваме A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Пример 3. Пресметај ја плоштината ограничена со лакот на синусоидот ^у = sin jc, затворена помеѓу две соседни пресечни точки со оската Ox (на пример, помеѓу потеклото и точката со апсциса i). Забележете дека од геометриски размислувања е јасно дека оваа област ќе биде двапати повеќе површинапретходен пример. Сепак, да ги направиме пресметките: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Навистина, нашата претпоставка се покажа како точна. Пример 4. Пресметајте ја плоштината ограничена со синусоидот и оската Ox во една точка (сл. 88). Прелиминарните пресметки сугерираат дека површината ќе биде четири пати поголема отколку во Пример 2. Меѓутоа, по извршувањето на пресметките, добиваме „i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l - (-cos 0) = - 1 + 1 = 0. Овој резултат бара појаснување. За да се разјасни суштината на материјата, ја пресметуваме и областа ограничена со истиот синусоид y = sin l: и оската Ox во опсег од l до 2i. Применувајќи ја формулата (I), добиваме 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Така, гледаме дека оваа област се покажа негативна. Споредувајќи го со површината пресметана во вежба 3, откриваме дека нивните апсолутни вредности се исти, но знаците се различни. Ако го примениме својството V (види Поглавје XI, § 4), ќе добиеме 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Она што се случи во овој пример не е случајно. Површината која се наоѓа под оската Ox, под услов независната променлива да се менува од лево кон десно, секогаш се добива кога се пресметува со помош на интеграли. Во овој курс секогаш ќе ги разгледуваме областите без знаци. Затоа, одговорот во примерот штотуку беше дискутиран ќе биде: потребната област е 2 + |-2| = 4. Пример 5. Да ја пресметаме површината на BAB прикажана на сл. 89. Оваа област е ограничена со оската Ox, параболата y = - xr и правата y - = -x+\. Површина на криволинеарен трапез Потребната област OAB се состои од два дела: OAM и MAV. Бидејќи точката А е пресечна точка на парабола и права линија, ќе ги најдеме нејзините координати со решавање на системот равенки 3 2 Y = mx. (треба да ја најдеме само апсцисата на точката А). Решавајќи го системот, наоѓаме l; = ~. Затоа, површината треба да се пресмета на делови, првиот квадрат. ОАМ и потоа пл. МАВ: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x. Односно, не се земаат предвид линиите како што е сечењето на печурка, чие стебло добро се вклопува во овој сегмент, а капачето е многу пошироко.

Страничните сегменти може да се дегенерираат во точки . Ако видите таква фигура на цртежот, тоа не треба да ве збуни, бидејќи оваа точка секогаш ја има својата вредност на оската „x“. Тоа значи дека се е во ред со границите на интеграцијата.

Сега можете да преминете на формули и пресметки. Значи областа сзаоблен трапез може да се пресмета со помош на формулата

Ако ѓ(x) ≤ 0 (графикот на функцијата се наоѓа под оската Вол), Тоа област на заоблен трапезможе да се пресмета со помош на формулата

Има и случаи кога и горните и долната границабројките се функции, соодветно y = ѓ(x) И y = φ (x) , тогаш површината на таквата бројка се пресметува со формулата

. (3)

Решавање на проблемите заедно

Да почнеме со случаи кога површината на фигурата може да се пресмета со формулата (1).

Пример 1.Вол) и директно x = 1 , x = 3 .

Решение. Бидејќи y = 1/x> 0 на сегментот, тогаш областа на криволинеарниот трапез се наоѓа со помош на формулата (1):

.

Пример 2.Најдете ја областа на фигурата ограничена со графикот на функцијата, линија x= 1 и x-оска ( Вол ).

Решение. Резултатот од примената на формулата (1):

Ако тогаш с= 1/2; ако тогаш с= 1/3, итн.

Пример 3.Најдете ја плоштината на фигурата ограничена со графикот на функцијата, оската на апсцисата ( Вол) и директно x = 4 .

Решение. Фигурата што одговара на условите на проблемот е криволинеарен трапез во кој левиот сегмент е дегенериран во точка. Границите на интеграција се 0 и 4. Бидејќи , користејќи ја формулата (1) ја наоѓаме областа на криволинеарниот трапез:

.

Пример 4.Најдете ја областа на фигурата, ограничен со линии, , и се наоѓа во 1. квартал.

Решение. За да ја искористиме формулата (1), да ја замислиме плоштината на фигурата дадена со условите од примерот како збир на плоштините на триаголникот ОАБи заоблен трапез ABC. При пресметување на плоштината на триаголник ОАБграниците на интеграцијата се апсцисите на точките ОИ А, и за фигурата ABC- апсциси на бодови АИ В (Ае пресечната точка на правата О.А.и параболи, и В- точката на пресек на параболата со оската Вол). Решавајќи ги заеднички (како систем) равенките на права линија и парабола, добиваме (апсциса на точката А) и (апсцисата на друга точка на пресек на правата и параболата, која не е потребна за решението). Слично добиваме , (абсциси на поени ВИ Д). Сега имаме сè што ни треба за да ја најдеме плоштината на фигурата. Ние наоѓаме:

Пример 5.Најдете ја областа на заоблен трапез ACDB, ако равенката на кривата ЦДи апсциси АИ Б 1 и 2 соодветно.

Решение. Да ја изразиме оваа равенка на кривата преку играта: Областа на криволинеарниот трапез се наоѓа со формулата (1):

.

Ајде да преминеме на случаи кога површината на фигурата може да се пресмета со формулата (2).

Пример 6.Најдете ја плоштината на фигурата ограничена со параболата и оската x ( Вол ).

Решение. Оваа бројка се наоѓа под х-оската. Затоа, за да ја пресметаме неговата површина, ќе ја користиме формулата (2). Границите на интеграција се апсцисата и точките на пресек на параболата со оската Вол. Оттука,

Пример 7.Најдете ја областа затворена помеѓу оската на апсцисата ( Вол) и два соседни синусни бранови.

Решение. Областа на оваа бројка може да се најде со помош на формулата (2):

.

Ајде да го најдеме секој поим посебно:

.

.

Конечно ја наоѓаме областа:

.

Пример 8.Најдете ја областа на фигурата затворена помеѓу параболата и кривата.

Решение. Да ги искажеме равенките на линиите преку играта:

Површината според формулата (2) се добива како

,

Каде аИ б- апсциси на бодови АИ Б. Ајде да ги најдеме со решавање на равенките заедно:

Конечно ја наоѓаме областа:

И, конечно, случаите кога површината на фигурата може да се пресмета со формулата (3).

Пример 9.Најдете ја плоштината на фигурата затворена помеѓу параболите И .

Во претходниот дел за парсирање геометриско значење определен интеграл, добивме голем број формули за пресметување на површината на криволинеарен трапез:

S (G) = ∫ a b f (x) d x за континуирана и ненегативна функција y = f (x) на интервалот [ a ; б],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x за континуирана и непозитивна функција y = f (x) на интервалот [ a ; б].

Овие формули се применливи за решавање на релативно едноставни проблеми. Во реалноста, често ќе треба да работиме со посложени фигури. Во овој поглед, овој дел ќе го посветиме на анализа на алгоритми за пресметување на областа на фигури кои се ограничени со функции во експлицитна форма, т.е. како y = f(x) или x = g(y).

Теорема

Нека функциите y = f 1 (x) и y = f 2 (x) се дефинирани и непрекинати на интервалот [ a ; b ] , и f 1 (x) ≤ f 2 (x) за која било вредност x од [ a ; б]. Тогаш формулата за пресметување на површината на сликата G, ограничена со линиите x = a, x = b, y = f 1 (x) и y = f 2 (x) ќе изгледа како S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x.

Слична формула ќе биде применлива за областа на фигура ограничена со линиите y = c, y = d, x = g 1 (y) и x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y.

Доказ

Ајде да погледнеме три случаи за кои формулата ќе важи.

Во првиот случај, земајќи го предвид својството на адитивност на површината, збирот на површините на оригиналната слика G и криволинискиот трапез G1 е еднаков на плоштината на сликата G2. Ова значи дека

Затоа, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Последната транзиција можеме да ја извршиме користејќи го третото својство на определениот интеграл.

Во вториот случај, еднаквоста е точно: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Графичката илустрација ќе изгледа вака:

Ако двете функции се непозитивни, добиваме: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x. Графичката илустрација ќе изгледа вака:

Ајде да продолжиме да го разгледуваме општиот случај кога y = f 1 (x) и y = f 2 (x) ја сечат оската O x.

Пресечните точки ги означуваме како x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Овие точки го делат сегментот [a; b ] на n делови x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, каде α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Оттука,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Последната транзиција можеме да ја направиме користејќи го петтото својство на определениот интеграл.

Дозволете ни да го илустрираме општиот случај на графиконот.

Формулата S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x може да се смета за докажана.

Сега да продолжиме со анализа на примери за пресметување на областа на фигури кои се ограничени со линиите y = f (x) и x = g (y).

Ќе го започнеме нашето разгледување на кој било од примерите со конструирање график. Сликата ќе ни овозможи да претставиме сложени фигури како сојуз на повеќе едноставни фигури. Ако конструирањето графикони и фигури на нив ви предизвикува потешкотии, можете да го проучите делот за основни елементарни функции, геометриска трансформација на графикони на функции, како и конструкција на графикони при проучување на функција.

Пример 1

Неопходно е да се одреди областа на фигурата, која е ограничена со параболата y = - x 2 + 6 x - 5 и прави линии y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Решение

Ајде да ги нацртаме линиите на графиконот внатре Декартов системкоординати

На сегментот [1; 4 ] графикот на параболата y = - x 2 + 6 x - 5 се наоѓа над правата линија y = - 1 3 x - 1 2. Во овој поглед, за да го добиеме одговорот, ја користиме формулата добиена претходно, како и методот на пресметување на дефинитивниот интеграл со помош на формулата Њутн-Лајбниц:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Одговор: S(G) = 13

Ајде да погледнеме покомплексен пример.

Пример 2

Неопходно е да се пресмета површината на фигурата, која е ограничена со линиите y = x + 2, y = x, x = 7.

Решение

Во овој случај, имаме само една права линија која се наоѓа паралелно со оската x. Ова е x = 7. Ова бара од нас самите да ја најдеме втората граница на интеграција.

Ајде да изградиме график и да ги нацртаме на него линиите дадени во изјавата за проблемот.

Имајќи го графикот пред очи, лесно можеме да одредиме дека долната граница на интеграција ќе биде апсцисата на точката на пресек на графикот на правата линија y = x и полупараболата y = x + 2. За да ја пронајдеме апсцисата ги користиме еднаквостите:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Излегува дека апсцисата на пресечната точка е x = 2.

Вашето внимание го обрнуваме на фактот дека во општ примерна цртежот, правите y = x + 2, y = x се сечат во точката (2; 2), па ваквите детални пресметки може да изгледаат непотребни. Такво детално решение дадовме овде само затоа што во повеќе тешки случаирешението можеби не е толку очигледно. Тоа значи дека секогаш е подобро аналитички да се пресметаат координатите на пресекот на правите.

На интервалот [2; 7] графикот на функцијата y = x се наоѓа над графикот на функцијата y = x + 2. Ајде да ја примениме формулата за да ја пресметаме областа:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Одговор: S (G) = 59 6

Пример 3

Неопходно е да се пресмета површината на сликата, која е ограничена со графиконите на функциите y = 1 x и y = - x 2 + 4 x - 2.

Решение

Ајде да ги нацртаме линиите на графикот.

Ајде да ги дефинираме границите на интеграцијата. За да го направите ова, ги одредуваме координатите на точките на пресек на линиите со изедначување на изразите 1 x и - x 2 + 4 x - 2. Под услов x да не е нула, еднаквоста 1 x = - x 2 + 4 x - 2 станува еквивалентна на равенката од трет степен - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 со целобројни коефициенти. За да ја освежиме вашата меморија за алгоритмот за решавање такви равенки, можеме да се повикаме на делот „Решавање кубни равенки“.

Коренот на оваа равенка е x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Поделувајќи го изразот - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 со биномот x - 1, добиваме: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Можеме да ги најдеме преостанатите корени од равенката x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Го најдовме интервалот x ∈ 1; 3 + 13 2, во која фигурата G е содржана над сината и под црвената линија. Ова ни помага да ја одредиме областа на фигурата:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Одговор: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Пример 4

Неопходно е да се пресмета површината на фигурата, која е ограничена со кривите y = x 3, y = - log 2 x + 1 и оската на апсцисата.

Решение

Да ги нацртаме сите линии на графикот. Графикот на функцијата y = - log 2 x + 1 можеме да го добиеме од графикот y = log 2 x ако го поставиме симетрично во однос на оската x и го поместиме за една единица нагоре. Равенката на оската x е y = 0.

Дозволете ни да ги означиме точките на пресек на линиите.

Како што може да се види од сликата, графиците на функциите y = x 3 и y = 0 се сечат во точката (0; 0). Ова се случува затоа што x = 0 е единствениот реален корен на равенката x 3 = 0.

x = 2 е единствениот корен на равенката - log 2 x + 1 = 0, така што графиците на функциите y = - log 2 x + 1 и y = 0 се сечат во точката (2; 0).

x = 1 е единствениот корен на равенката x 3 = - log 2 x + 1 . Во овој поглед, графиците на функциите y = x 3 и y = - log 2 x + 1 се сечат во точката (1; 1). Последната изјава можеби не е очигледна, но равенката x 3 = - log 2 x + 1 не може да има повеќе од еден корен, бидејќи функцијата y = x 3 строго се зголемува, а функцијата y = - log 2 x + 1 е строго се намалува.

Понатамошното решение вклучува неколку опции.

Опција број 1

Можеме да ја замислиме фигурата G како збир од два кривилинеарни трапезоиди лоцирани над оската x, од кои првата се наоѓа подолу средната линијана отсечката x ∈ 0; 1, а втората е под црвената линија на сегментот x ∈ 1; 2. Тоа значи дека плоштината ќе биде еднаква на S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Опција бр. 2

Сликата G може да се претстави како разлика на две фигури, од кои првата се наоѓа над оската x и под сината линија на отсечката x ∈ 0; 2, а втората помеѓу црвената и сината линија на отсечката x ∈ 1; 2. Ова ни овозможува да ја најдеме областа на следниов начин:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Во овој случај, за да ја пронајдете областа ќе треба да користите формула од формата S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Всушност, линиите што ја врзуваат фигурата можат да се претстават како функции на аргументот y.

Да ги решиме равенките y = x 3 и - log 2 x + 1 во однос на x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Ја добиваме потребната област:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Одговор: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Пример 5

Неопходно е да се пресмета површината на фигурата, која е ограничена со линиите y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Решение

Ќе нацртаме линија на графиконот со црвена линија, дадена од функцијата y = x. Правата y = - 1 2 x + 4 ќе ја нацртаме со сино, а линијата y = 2 3 x - 3 во црно.

Да ги означиме пресечните точки.

Да ги најдеме пресечните точки на графиците на функциите y = x и y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Проверете: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 не Дали решението на равенката x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 е решението на равенката ⇒ (4; 2) точка на пресек i y = x и y = - 1 2 x + 4

Да ја најдеме пресечната точка на графиците на функциите y = x и y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Проверете: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 е решението на равенката ⇒ (9 ; 3) точка a s y = x и y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Нема решение за равенката

Да ја најдеме пресечната точка на правите y = - 1 2 x + 4 и y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) точка на пресек y = - 1 2 x + 4 и y = 2 3 x - 3

Метод бр. 1

Да ја замислиме плоштината на саканата фигура како збир на плоштините на поединечни фигури.

Тогаш површината на сликата е:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Метод бр. 2

Областа на оригиналната фигура може да се претстави како збир на две други фигури.

Потоа ја решаваме равенката на линијата во однос на x и само после тоа ја применуваме формулата за пресметување на површината на сликата.

y = x ⇒ x = y 2 црвена линија y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 црна линија y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Значи областа е:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Како што можете да видите, вредностите се исти.

Одговор: S (G) = 11 3

Резултати

За да ја пронајдеме плоштината на фигурата што е ограничена со дадени линии, треба да конструираме линии на рамнина, да ги најдеме нивните пресечни точки и да ја примениме формулата за да ја најдеме областа. Во овој дел, ги испитавме најчестите варијанти на задачи.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter