Формулите за збир и разлика на синусите и косинусите за два агли α и β ни овозможуваат да се движиме од збирот на овие агли до производот на аглите α + β 2 и α - β 2. Веднаш да забележиме дека не треба да ги мешате формулите за збир и разлика на синусите и косинусите со формулите за синусите и косинусите на збирот и разликата. Подолу ги наведуваме овие формули, ги даваме нивните изводи и прикажуваме примери за примена за конкретни проблеми.
Формули за збир и разлика на синуси и косинуси
Ајде да запишеме како изгледаат формулите за збир и разлика за синусите и косинусите
Формули за збир и разлика за синуси
грев α + грев β = 2 грев α + β 2 cos α - β 2 грев α - грев β = 2 грев α - β 2 cos α + β 2
Формули за збир и разлика за косинусите
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 грев α + β 2 · β - α 2
Овие формули важат за сите агли α и β. Аглите α + β 2 и α - β 2 се нарекуваат полусума и полуразлика на аглите алфа и бета, соодветно. Да ја дадеме формулацијата за секоја формула.
Дефиниции на формули за збирови и разлики на синуси и косинуси
Збир на синуси од два аглие еднаков на двапати од производот на синусот од полу-збирот на овие агли и косинусот на полу-разликата.
Разлика на синусите од два аглие еднаков на двојно од производот на синусот на полуразликата на овие агли и косинусот на полу-збирот.
Збир на косинуси од два аглие еднаков на двапати од производот на косинусот на полусумата и косинусот на полуразликата на овие агли.
Разлика на косинусите од два аглие еднаков на двапати од производот на синусот на полу-збирот и косинусот на полуразликата на овие агли, земени со негативен знак.
Изведување формули за збир и разлика на синуси и косинуси
За да се изведат формули за збир и разлика на синус и косинус на два агли, се користат формули за собирање. Да ги наведеме подолу
грев (α + β) = грев α · cos β + cos α · грев β sin (α - β) = грев α · cos β - cos α · грев β cos (α + β) = cos α · cos β - грев α sin β cos (α - β) = cos α cos β + грев α sin β
Ајде да ги замислиме и самите агли како збир од полусоби и полу-разлики.
α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Продолжуваме директно до изведување на формулите за збир и разлика за sin и cos.
Изведување на формулата за збир на синуси
Во збирот sin α + sin β, ги заменуваме α и β со изразите за овие агли дадени погоре. Добиваме
грев α + грев β = грев α + β 2 + α - β 2 + грев α + β 2 - α - β 2
Сега ја применуваме формулата за собирање на првиот израз, а на вториот - формулата за синусот на разликите на аголот (види формули погоре)
грев α + β 2 + α - β 2 = грев α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 грев α - β 2 грев α + β 2 - α - β 2 = грев α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + грев α + β 2 - α - β 2 = грев α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Отворете ги заградите, додајте слични поими и добијте ја потребната формула
грев α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 грев α - β 2 + грев α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 грев α - β 2 = = 2 грев α + β 2 cos α - β 2
Слични се чекорите за извлекување на преостанатите формули.
Изведување на формулата за разлика на синусите
грев α - грев β = грев α + β 2 + α - β 2 - грев α + β 2 - α - β 2 грев α + β 2 + α - β 2 - грев α + β 2 - α - β 2 = грев α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 грев α - β 2 - грев α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 грев α - β 2 = = 2 грев α - β 2 cos α + β 2
Изведување на формулата за збир на косинуси
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - грев α + β 2 грев α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + грев α + β 2 грев α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2
Изведување на формулата за разлика на косинусите
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - грев α + β 2 грев α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + грев α + β 2 грев α - β 2 = = - 2 грев α + β 2 sin α - β 2
Примери за решавање на практични проблеми
Прво, да провериме една од формулите со замена на специфични вредности на аголот во неа. Нека α = π 2, β = π 6. Дозволете ни да ја пресметаме вредноста на збирот на синусите на овие агли. Прво, ќе ја користиме табелата со основни вредности на тригонометриските функции, а потоа ќе ја примениме формулата за збир на синуси.
Пример 1. Проверка на формулата за збир на синуси од два агли
α = π 2, β = π 6 грев π 2 + грев π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 грев π 2 + грев π 6 = 2 грев π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 грев π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
Сега да го разгледаме случајот кога вредностите на аголот се разликуваат од основните вредности претставени во табелата. Нека α = 165°, β = 75°. Да ја пресметаме разликата помеѓу синусите на овие агли.
Пример 2. Примена на формулата за разлика на синусите
α = 165 °, β = 75 ° грев α - грев β = грев 165 ° - грев 75 ° грев 165 - грев 75 = 2 грев 165 ° - 75 ° 2 cos 165 ° + 75 ° 2 = = 2 грев 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Користејќи ги формулите за збир и разлика на синусите и косинусите, можете да преминете од збирот или разликата до производот на тригонометриските функции. Често овие формули се нарекуваат формули за движење од збир до производ. Формулите за збир и разлика на синусите и косинусите се широко користени при решавање на тригонометриски равенки и во претворање на тригонометриски изрази.
Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter
Тригонометриските формули имаат голем број својства, од кои едната е употребата на формули за намалување на степенот. Тие помагаат да се поедностават изразите со намалување на степенот.
Дефиниција 1
Формулите за редукција работат на принципот на изразување на степенот на синус и косинус преку синус и косинус од прв степен, но множител на аголот. Кога е поедноставена, формулата станува погодна за пресметки, а мноштвото на аголот се зголемува од α на n α.
Формули за намалување на степени, нивен доказ
Подолу е табела со формули за намалување на степени од 2 на 4 за аглите на sin и cos. Откако ќе ги прочитаме ќе прашаме општа формулаза сите степени.
грев 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 грев 3 = 3 грев α - грев 3 α 4 грев 4 = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8
Овие формули се наменети за намалување на степенот.
Постојат формули за двоен агол на косинус и синус, од кои следуваат формулите за намалување на степенот cos 2 α = 1 - 2 · sin 2 α и cos 2 α = 2 · cos 2 α - 1. Равенките се решаваат во однос на квадратот на синус и косинус, кои се дадени како sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 и cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 .
Формулите за намалување на моќите на тригонометриските функции имаат нешто заедничко со формулите за синус и косинус половина агол.
Формулата за троен агол sin 3 α = 3 · sin α - 4 · sin 3 α и cos 3 α = - 3 · cos α + 4 · cos 3 α се одвива.
Ако ја решиме еднаквоста во однос на коцки од синус и косинус, ќе ги добиеме формулите за намалување на моќите за синус и косинус:
sin 3 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4.
Формулите за четвртиот степен на тригонометриски функции изгледаат вака: sin 4 α = 3 - 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8.
За да ги намалите степените на овие изрази, можете да дејствувате во 2 фази, односно да ги спуштите двапати, тогаш изгледа вака:
sin 4 α = (грев 2 α) 2 = (1 - cos 2 α 2) 2 = 1 - 2 cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = 1 - 2 cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 - 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 ; cos 4 α = (cos 2 α) 2 = (1 + cos 2 α 2) 2 = 1 + 2 cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = = 1 + 2 cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8
За да се решат некои проблеми, ќе биде корисна табела со тригонометриски идентитети, што ќе го олесни трансформирањето на функциите:Наједноставните тригонометриски идентитети
Количникот на делење на синусот на аголот алфа со косинус од истиот агол е еднаков на тангентата на овој агол (Формула 1). Видете го и доказот за исправноста на трансформацијата на наједноставните тригонометриски идентитети.
Количникот на делење на косинус на аголот алфа со синусот од истиот агол е еднаков на котангенсот од истиот агол (Формула 2)
Секантот на аголот е еднаков на еден поделен со косинус од истиот агол (Формула 3)
Збирот на квадратите на синусот и косинусот од истиот агол е еднаков на еден (Формула 4). види и доказ за збирот на квадратите на косинус и синус.
Збирот на еден и тангентата на аголот е еднаков на односот еден на квадратот на косинусот на овој агол (Формула 5)
Еден плус котангента на агол е еднаков на количникот на еден поделен со синусниот квадрат на овој агол (Формула 6)
Производот на тангента и котангента од истиот агол е еднаков на еден (Формула 7).
Конвертирање негативни агли на тригонометриски функции (парни и непарни)
Да се ослободиме од негативната вредност степен меркаагол кога пресметувате синус, косинус или тангента, можете да ги користите следните тригонометриски трансформации (идентитети) врз основа на принципите на парни или непарни тригонометриски функции.
Како што можете да видите, косинуса секантот е дури и функција
, синус, тангента и котангента се непарни функции.
Синусот на негативен агол е еднаков на негативна вредностсинус со ист позитивен агол (минус синус алфа).
Косинусот минус алфа ќе ја даде истата вредност како косинусот на алфа аголот.
Тангента минус алфа е еднаква на минус тангента алфа.
Формули за намалување на двојните агли (синус, косинус, тангента и котангента на двојни агли)
Ако треба да поделите агол на половина, или обратно, да се движите од двоен агол до еден агол, можете да ги користите следните тригонометриски идентитети:
Конверзија со двоен агол (синус со двоен агол, косинус со двоен агол и тангента на двоен агол) во сингл се јавува според следниве правила:
Синус со двоен аголеднакво на двапати од производот на синусот и косинусот од еден агол
Косинусот со двоен аголеднаква на разликата помеѓу квадратот на косинус на еден агол и квадратот на синусот на овој агол
Косинусот со двоен аголеднакво на двапати од квадратот на косинус на еден агол минус еден
Косинусот со двоен аголеднакво на еден минус двоен синус квадрат еден агол
Тангента на двоен аголе еднаква на дропка чиј броител е двојно поголем од тангентата на еден агол, а именителот е еднаков на еден минус тангентата на квадрат на еден агол.
Котангенс со двоен аголе еднаква на дропка чиј броител е квадратот на котангенсот на еден агол минус еден, а именителот е еднаков на двојно поголем котангенс на еден агол
Формули за универзална тригонометриска замена
Формулите за конверзија подолу може да бидат корисни кога треба да го поделите аргументот на тригонометриската функција (sin α, cos α, tan α) со два и да го намалите изразот на вредноста на половина агол. Од вредноста на α добиваме α/2.Овие формули се нарекуваат формули на универзална тригонометриска замена. Нивната вредност лежи во тоа што тригонометрискиот израз со нивна помош се сведува на изразување на тангента на половина агол, без оглед на тоа што тригонометриски функции (синкос tg ctg) беа во изразот првично. По ова, равенката со тангента на половина агол е многу полесно да се реши.
Тригонометриски идентитети за полуаголни трансформации
Следниве се формулите за тригонометриско претворање на половина агол на целата негова вредност.Вредноста на аргументот на тригонометриската функција α/2 се сведува на вредноста на аргументот на тригонометриската функција α.
Тригонометриски формули за собирање агли
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = грев α cos β + грев β cos α
sin (α - β) = грев α cos β - грев β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - грев α sin β
Тангента и котангента на збирот на аглитеалфа и бета може да се конвертираат користејќи ги следниве правила за конвертирање на тригонометриски функции:
Тангента на збирот на аглитее еднаква на дропка чиј броител е збир на тангента на првиот и тангента на вториот агол, а именителот е еден минус производот на тангентата на првиот агол и тангентата на вториот агол.
Тангента на разликата во аголоте еднаква на дропка чиј броител е еднаков на разликата помеѓу тангентата на аголот што се намалува и тангентата на аголот што се одзема, а именителот е еден плус производот на тангентите на овие агли.
Котангенс на збирот на аглитее еднаква на дропка чиј броител е еднаков на производот на котангентите на овие агли плус еден, а именителот е еднаков на разликата помеѓу котангенсот од вториот агол и котангенсот од првиот агол.
Котангенс на аголна разликае еднаква на дропка чиј броител е производ на котангентите на овие агли минус еден, а именителот е еднаков на збирот на котангентите на овие агли.
Овие тригонометриски идентитети се погодни за употреба кога треба да се пресмета, на пример, тангентата од 105 степени (tg 105). Ако го замислите како tg (45 + 60), тогаш можете да ги користите дадените идентични трансформации на тангентата на збирот на аглите, а потоа едноставно да ги замените табеларните вредности на тангента 45 и тангента 60 степени.
Формули за претворање на збир или разлика на тригонометриски функции
Изразите што претставуваат збир од формата sin α + sin β може да се трансформираат со помош на следните формули:
Формули со троен агол - претворање на sin3α cos3α tan3а во sinα cosα tanα
Понекогаш е потребно да се трансформира тројната вредност на аголот така што аргументот на тригонометриската функција да стане агол α наместо 3α.Во овој случај, можете да ги користите формулите за трансформација на троен агол (идентите):
Формули за конвертирање производи од тригонометриски функции
Ако има потреба да се трансформира производ на синуси од различни агли, косинуси од различни агли, па дури и производ на синус и косинус, тогаш можете да ги користите следните тригонометриски идентитети:
Во овој случај, производот од синусните, косинусните или тангентните функции од различни агли ќе се претворат во збир или разлика.
Формули за намалување на тригонометриските функции
Треба да ја користите табелата за намалување на следниов начин. Во линијата ја избираме функцијата што не интересира. Во колоната има агол. На пример, синусот на аголот (α+90) на пресекот на првата редица и првата колона, дознаваме дека sin (α+90) = cos α.
Односите помеѓу основните тригонометриски функции - синус, косинус, тангента и котангента - се специфицирани тригонометриски формули. И бидејќи има доста врски помеѓу тригонометриските функции, ова го објаснува изобилството на тригонометриски формули. Некои формули поврзуваат тригонометриски функции од ист агол, други - функции од повеќекратен агол, други - ви дозволуваат да го намалите степенот, четврти - да ги изразите сите функции преку тангента на половина агол итн.
Во оваа статија ќе ги наведеме по редослед сите главни тригонометриски формули, кои се доволни за решавање на огромното мнозинство на тригонометриски проблеми. За полесно меморирање и користење, ќе ги групираме по намена и ќе ги внесеме во табели.
Навигација на страницата.
Основни тригонометриски идентитети
Основни тригонометриски идентитетидефинирање на односот помеѓу синус, косинус, тангента и котангента на еден агол. Тие произлегуваат од дефиницијата за синус, косинус, тангента и котангента, како и од концептот на единична кружница. Тие ви дозволуваат да изразите една тригонометриска функција во однос на која било друга.
За детален опис на овие тригонометриски формули, нивното изведување и примери за примена, видете ја статијата.
Формули за намалување
Формули за намалувањеследат од својствата на синус, косинус, тангента и котангента, односно тие го одразуваат својството на периодичност на тригонометриските функции, својството на симетрија, како и својството на поместување за даден агол. Овие тригонометриски формули ви овозможуваат да преминете од работа со произволни агли на работа со агли кои се движат од нула до 90 степени.
Образложението за овие формули, мнемоничко правило за нивно меморирање и примери за нивната примена може да се проучат во статијата.
Формули за додавање
Формули за тригонометриско собирањепокажете како тригонометриските функции од збирот или разликата на два агли се изразуваат во однос на тригонометриските функции на тие агли. Овие формули служат како основа за изведување на следните тригонометриски формули.
Формули за двојни, тројни итн. агол
Формули за двојни, тројни итн. агол (тие се нарекуваат и формули за повеќекратни агли) покажуваат како тригонометриските функции се двојни, тројни итн. аглите () се изразуваат во однос на тригонометриските функции на еден агол. Нивното изведување се заснова на формули за собирање.
Подетални информации се собрани во формулите на написот за двојно, тројно, итн. агол
Формули за половина агол
Формули за половина аголпокажете како тригонометриските функции на половина агол се изразени во однос на косинус на цел агол. Овие тригонометриски формули следат од формулите со двоен агол.
Нивниот заклучок и примери за примена може да се најдат во статијата.
Формули за намалување на степенот
Тригонометриски формули за намалување на степенисе дизајнирани да го олеснат преминот од природните сили на тригонометриските функции кон синусите и косинусите од прв степен, но повеќекратни агли. Со други зборови, тие ви дозволуваат да ги намалите моќите на тригонометриските функции на првото.
Формули за збир и разлика на тригонометриски функции
Главна цел формули за збир и разлика на тригонометриски функциие да се оди на производ на функции, што е многу корисно при поедноставување на тригонометриски изрази. Овие формули се исто така широко користени при решавање на тригонометриски равенки, бидејќи ви овозможуваат да го факторизирате збирот и разликата на синусите и косинусите.
Формули за производ од синуси, косинуси и синус по косинус
Преминот од производ на тригонометриски функции до збир или разлика се врши со користење на формулите за производ на синуси, косинуси и синус по косинус.
Универзална тригонометриска замена
Нашиот преглед на основните формули на тригонометријата го комплетираме со формули кои изразуваат тригонометриски функции во однос на тангента на половина агол. Оваа замена беше повикана универзална тригонометриска замена. Неговата погодност лежи во фактот што сите тригонометриски функции се изразени во однос на тангента на половина агол рационално без корени.
Референци.
- Алгебра:Учебник за 9-то одделение. просечно училиште/Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Ед. S. A. Telyakovsky - М.: Образование, 1990. - 272 стр.: ISBN 5-09-002727
- Башмаков М.И.Алгебра и почетоците на анализата: Учебник. за 10-11 одделение. просечно училиште - 3-то издание. - М .: Образование, 1993. - 351 стр.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Алгебраи почеток на анализа: Проц. за 10-11 одделение. општо образование институции / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn и други; Ед. А. Н. Колмогоров - 14-то издание - М.: Образование, 2004. - 384 стр.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математика (прирачник за оние кои влегуваат во техничките училишта): Проц. додаток.- М.; Повисоко училиште, 1984.-351 стр., ил.
Авторско право од паметни студенти
Сите права се задржани.
Заштитено со закон за авторски права. Ниту еден дел од страницата, вклучувајќи ги внатрешните материјали и изгледот, не смее да се репродуцира во каква било форма или да се користи без претходна писмена дозвола од носителот на авторските права.
