Дефиниција3 . 3 Нека е некоја функција, нејзиниот домен на дефиниција и некој (отворен) интервал (можеби со и/или ) 7 . Да ја повикаме функцијата континуирано на интервалот, ако е континуиран во која било точка, односно за која било што постои (во скратена форма:

Нека сега е (затворен) сегмент во . Да ја повикаме функцијата континуирано на сегментот, ако е континуирано на интервалот, континуирано надесно во точката и континуирано налево во точката, т.е

Пример3 . 13 Размислете за функцијата (Heaviside функција) на сегментот , . Тогаш тој е континуиран на сегментот (и покрај тоа што во точката има дисконтинуитет од прв вид).

Сл. 3.15 График на функцијата Хевисајд

Слична дефиниција може да се даде за полуинтервали од формата и , вклучувајќи случаи и . Сепак, можеме да ја генерализираме оваа дефиниција за случајот на произволно подмножество на следниов начин. Прво да го претставиме концептот индуциранадо основи: нека е основа чии завршетоци имаат непразни пресеци со . Да го означиме и да го разгледаме множеството од сите . Лесно е тогаш да се провери дали комплетот ќе биде основата. Така, за основите , и , каде , и се основите на непродупчените двострани (лево, десно, соодветно) соседства на точка (видете ја нивната дефиниција на почетокот на тековното поглавје).

Дефиниција3 . 4 Да ја повикаме функцијата континуирано на сетот, Ако

Лесно е да се види дека тогаш и во оваа дефиниција се совпаѓа со оние дадени погоре конкретно за интервалот и сегментот.

Да ве потсетиме дека сè елементарни функцииконтинуирано во сите точки од нивните домени на дефиниција и, според тоа, континуирано во сите интервали и сегменти што лежат во нивните домени на дефиниција.

Бидејќи континуитетот на интервал и отсечка е дефиниран точкастично, важи теоремата, што е непосредна последица на теоремата 3.1:

Теорема3 . 5 Нека И -- функции и -- интервал или сегмент што лежи во . Нека И континуирано за . Потоа функциите , , континуирано за . Доколку дополнително пред сите , потоа функцијата е исто така континуирано вклучено .

Следното тврдење следи од оваа теорема, исто како и од теорема 3.1 - предлог 3.3:

Понуда3 . 4 Многумина сите функции континуирани на интервал или сегмент -- ова е линеарен простор:

Посложено својство на континуирана функција се изразува со следнава теорема.

Теорема3 . 6 (за коренот на континуирана функција) Нека функцијата континуирано на сегментот , и И -- број на различни знаци. (За дефинитивно, ќе го претпоставиме тоа , А .) Тогаш има барем една таква вредност , Што (односно има барем еден корен равенки ).

Доказ. Ајде да погледнеме во средината на сегментот. Тогаш тоа е или, или, или. Во првиот случај се наоѓа коренот: ова е . Во преостанатите два случаи, земете го во предвид оној дел од сегментот на чии краеви функцијата зема вредности на различни знаци: во случај или во случај . Избраната половина од отсечката ја означуваме со и ја применуваме истата постапка: подели ја на две половини и , каде , и најде . Во случај да се најде коренот; во случајот понатаму да го разгледаме сегментот , во случај - сегмент итн.

Сл. 3.16 Последователни делби на сегмент на половина

Добиваме дека или во одреден чекор ќе се најде коренот или ќе се конструира систем на вгнездени сегменти

во кој секој следен сегмент е долг половина од претходниот. Низата не се намалува и е ограничена одозгора (на пример, со бројот); затоа (со теорема 2.13), тој има граница. Последователија - нерастечки и ограничен подолу (на пример, со бројот ); тоа значи дека има ограничување. Бидејќи должините на отсечките формираат опаѓачка геометриска прогресија (со именител ), тие имаат тенденција на 0, и , тоа е . Ајде да го ставиме сега. Потоа

И

бидејќи функцијата е континуирана. Меѓутоа, со конструкција на низите и , и , така што, со теоремата за преминување на границата во неравенството (теорема 2.7), и , тоа е, и . Ова значи дека и е коренот на равенката.

Пример3 . 14 Размислете за функцијата на сегментот. Бидејќи и се броеви на различни знаци, функцијата се претвора во 0 во одреден момент од интервалот. Тоа значи дека равенката има корен.

Сл. 3.17 Графички приказ на коренот на равенката

Докажаната теорема всушност ни дава начин да го најдеме коренот, барем приближен, со кој било степен на точност однапред наведен. Ова е методот на делење на сегмент на половина, опишан во доказот на теоремата. Подолу ќе се запознаеме со овој и со други, поефикасни, методи за приближно наоѓање на коренот, откако ќе ги проучиме концептот и својствата на дериватот.

Забележете дека теоремата не наведува дека ако се исполнети нејзините услови, тогаш коренот е единствен. Како што покажува следната слика, може да има повеќе од еден корен (на сликата има 3).

Сл. 3.18 Неколку корени на функција која зема вредности на различни знаци на краевите на сегментот

Меѓутоа, ако функцијата монотоно се зголемува или монотоно се намалува на сегмент, на чии краеви зема вредности на различни знаци, тогаш коренот е единствен, бидејќи строго монотона функција ја зема секоја нејзина вредност точно во една точка. , вклучувајќи ја и вредноста 0.

Сл. 3.19 Монотона функција не може да има повеќе од еден корен

Непосредна последица на теоремата за коренот на континуирана функција е следнава теорема, која сама по себе е многу важна во математичката анализа.

Теорема3 . 7 (за средната вредност на континуирана функција) Нека функцијата континуирано на сегментот И (за дефинитивно ќе го претпоставиме тоа ). Нека -- некој број лежи помеѓу И . Потоа, постои таква точка , Што .

Сл. 3.20 Континуираната функција зема која било средна вредност

Доказ. Размислете за функцијата помошник , Каде . Потоа И . Функцијата е очигледно континуирана, а според претходната теорема постои точка таква што . Но, оваа еднаквост значи дека.

Забележете дека ако функцијата не е континуирана, тогаш може да не ги земе сите средни вредности. На пример, функцијата Heaviside (види Пример 3.13) зема вредности, но никаде, вклучително и во интервалот, не зема, да речеме, средна вредност. Факт е дека функцијата Heaviside има дисконтинуитет во точка која лежи точно во интервалот.

За понатамошно проучување на својствата на функциите континуирани на интервал, ќе ни треба следново суптилно својство на системот на реални броеви (веќе го споменавме во Поглавје 2 во врска со теоремата за границата на ограничена функција монотоно растечка): секое множество ограничено одоздола (односно, такво што за сите и некој број се повикува долниот рабкомплети) достапни точниот долен раб, односно најголемиот од бројките таков што за сите . Слично на тоа, ако множеството е ограничено погоре, тогаш има точната горна граница: ова е најмалиот од горните лица(за што за сите).

Сл. 3.21 Долните и горните граници на ограниченото множество

Ако , тогаш постои низа точки што не се зголемуваат што се стреми кон . На ист начин, ако , тогаш постои ненамалувачка низа од точки што се стреми кон .

Ако точка припаѓа на множеството, тогаш тоа е најмалиот елемент од ова множество: ; слично, ако , Тоа .

Дополнително, за понатаму ќе ни треба следново

Лема3 . 1 Нека -- континуирана функцијана сегментот , и многу тие точки , во која (или , или ) не е празна. Потоа во изобилство достапни најмала вредност , така што пред сите .

Сл. 3.22 Најмалиот аргумент на кој функцијата ја зема одредената вредност

Доказ. Бидејќи е ограничено множество (тоа е дел од сегмент), има инфимум. Тогаш постои низа што не се зголемува , , таква што за . Згора на тоа, по дефиниција за множество. Затоа, поминувајќи до границата, добиваме, од една страна,

а од друга страна, поради континуитетот на функцијата,

Ова значи , значи точката припаѓа на множеството и .

Во случај кога множеството е дефинирано со неравенката, имаме за сите и со теоремата за преминување на границата во неравенката ја добиваме

од каде што значи дека и . Слично, во случај на нееднаквост, преминувањето до границата во неравенството дава

од каде и.

Теорема3 . 8 (за границата на континуирана функција) Нека функцијата континуирано на сегментот . Потоа ограничен на , односно постои таква константа , Што пред сите .

Сл. 3.23 Непрекината функција на сегмент е ограничена

Доказ. Да го претпоставиме спротивното: нека не се ограничува, на пример, одозгора. Тогаш сите множества , , , не се празни. Според претходната лема, секое од овие множества има најмала вредност, . Да го покажеме тоа

Навистина, . Ако некоја точка од , на пример, лежи помеѓу и , тогаш

односно средна вредност помеѓу и . Ова значи дека, според теоремата за средната вредност на континуирана функција, постои точка таква што , И . Но, спротивно на претпоставката дека - најмалата вредност на множеството. Следи дека за сите .

На ист начин, дополнително е докажано дека за сите , за сите итн. Значи, растечката низа е ограничена погоре со бројот . Затоа постои. Од континуитетот на функцијата произлегува дека постои , Но на , така што нема ограничување. Добиената контрадикција докажува дека функцијата е ограничена погоре.

На сличен начин се докажува дека е ограничена одоздола, што го подразбира исказот на теоремата.

Очигледно, невозможно е да се ослабат условите на теоремата: ако функцијата не е континуирана, тогаш не мора да биде ограничена на интервал (ја даваме како пример функцијата

на сегментот. Оваа функција не е ограничена на интервалот, бидејќи во има точка на дисконтинуитет од втор вид, таква што во . Исто така, невозможно е да се замени сегмент во состојбата на теоремата со интервал или полуинтервал: како пример, разгледајте ја истата функција на полуинтервал. Функцијата е континуирана на овој полуинтервал, но неограничена, поради фактот што на .

Пронаоѓањето на најдобрите константи што можат да се користат за ограничување на функцијата од горе и долу на даден интервал природно нè води до проблемот да го најдеме минимумот и максимумот на континуирана функција на овој интервал. Можноста за решавање на овој проблем е опишана со следната теорема.

Теорема3 . 9 (за достигнување екстремум со континуирана функција) Нека функцијата континуирано на сегментот . Потоа, постои точка , така што пред сите (т.е -- минимална точка: ), и има поента , така што пред сите (т.е -- максимална точка: ). Со други зборови, минимумот и максимумот 8 вредности на континуирана функција на сегмент постојат и се постигнуваат во одредени точки И овој сегмент.

Сл. 3.24 Непрекината функција на сегмент достигнува максимум и минимум

Доказ. Бидејќи, според претходната теорема, функцијата е ограничена со горе, тогаш постои точна горна граница за вредностите на функцијата со -- број . Така, множествата ,..., ,..., не се празни, а според претходната лема ги содржат најмалите вредности: , . Тие не се намалуваат (оваа изјава се докажува на ист начин како и во претходната теорема):

и се ограничени одозгора со . Според тоа, според теоремата за граница на монотона ограничена низа, постои граница бидејќи , тогаш

со теоремата за преминување на границата во нееднаквост, односно . Но, со сите, вклучително и. Од ова излегува дека, односно максимумот на функцијата е постигнат во точката.

На сличен начин се докажува и постоењето на минимален поен.

Во оваа теорема, како и во претходната, невозможно е да се ослабат условите: ако функцијата не е континуирана, тогаш може да не ја достигне својата максимална или минимална вредност на сегментот, дури и ако е ограничена. На пример, да ја земеме функцијата

на сегментот. Оваа функција е ограничена на интервалот (очигледно) и , сепак, не ја зема вредноста 1 во ниту една точка од сегментот (забележете дека , не 1). Факт е дека оваа функција има дисконтинуитет од првиот вид во точката , така што на границата не е еднаква на вредноста на функцијата во точката 0. Понатаму, континуирана функција дефинирана на интервал или друго множество што не е затворен сегмент (на полу-интервал, полуоска) исто така не може да зема екстремни вредности. Како пример, земете ја функцијата на интервалот. Очигледно е дека функцијата е континуирана и дека и, сепак, функцијата не ја зема ниту вредноста 0 ниту вредноста 1 во која било точка од интервалот. Ајде да ја разгледаме и функцијата на оската на оската. Оваа функција е континуирана вклучена, се зголемува, ја зема својата минимална вредност 0 во точката, но не зема максимална вредност во ниту една точка (иако од горе е ограничена со бројот и

Дефиниција. Доколку функцијата ѓ(x) се дефинира на интервалот [ а, б], е континуиран во секоја точка од интервалот ( а, б), во точка аконтинуирано десно, во точката бе континуирано лево, тогаш велиме дека функцијата ѓ(x) континуирано на сегментот [а, б].

Со други зборови, функцијата ѓ(x) е континуирано на интервалот [ а, б], доколку се исполнети три услови:

1) "x 0 Î( а, б): ѓ(x) = ѓ(x 0);

2) ѓ(x) = ѓ(а);

3) ѓ(x) = ѓ(б).

За функциите кои се континуирани на интервал, разгледуваме некои својства, кои ги формулираме во форма на следните теореми, без да изведуваме докази.

Теорема 1. Доколку функцијата ѓ(x) е континуирано на интервалот [ а, б], тогаш ги достигнува своите минимални и максимални вредности на овој сегмент.

Оваа теорема наведува (сл. 1.15) дека на сегментот [ а, б] постои таква точка x 1 тоа ѓ(x 1) £ ѓ(x) за било кој xод [ а, б] и дека има поента x 2 (x 2 О[ а, б]) така што " xÎ[ а, б] (ѓ(x 2)³ ѓ(x)).

Значење ѓ(x 1) е најголема за дадена функција на [ а, б], А ѓ(x 2) – најмал. Да означиме: ѓ(x 1) = М, ѓ(x 2) =м. Бидејќи за ѓ(x) важи нееднаквоста: xÎ[ а, б] м£ ѓ(x) £ М, тогаш ја добиваме следната последица од теорема 1.

Последица. Доколку функцијата ѓ(x) е континуирано на интервал, тогаш е ограничен на овој интервал.

Теорема 2. Доколку функцијата ѓ(x) е континуирано на интервалот [ а, б] и на краевите на сегментот зема вредности на различни знаци, тогаш постои таква внатрешна точка x 0 сегмент [ а, б], во која функцијата се претвора во 0, т.е. $ x 0 Î ( а, б) (ѓ(x 0) = 0).

Оваа теорема вели дека графикот на функцијата y = f(x), континуирано на интервалот [ а, б], ја пресекува оската Волбарем еднаш ако вредностите ѓ(а) И ѓ(б) имаат спротивни знаци. Значи, (сл. 1.16) ѓ(а) > 0, ѓ(б) < 0 и функция ѓ(x) станува 0 во поени x 1 , x 2 , x 3 .

Теорема 3. Нека функцијата ѓ(x) е континуирано на интервалот [ а, б], ѓ(а) = А, ѓ(б) = БИ А¹ Б. (Сл. 1.17). Потоа за кој било број В, затворен помеѓу броевите АИ Б, постои таква внатрешна точка x 0 сегмент [ а, б], што ѓ(x 0) = В.

Последица. Доколку функцијата ѓ(x) е континуирано на интервалот [ а, б], м– најмала вредност ѓ(x), М – највисока вредностфункции ѓ(x) на сегментот [ а, б], тогаш функцијата зема (барем еднаш) која било вредност м, склучен помеѓу мИ М, а со тоа и сегментот [ м, М] е множество од сите вредности на функции ѓ(x) на сегментот [ а, б].

Забележете дека ако функцијата е континуирана на интервалот ( а, б) или има на сегментот [ а, б] точки на дисконтинуитет, тогаш теоремите 1, 2, 3 за таква функција престануваат да бидат вистинити.

Како заклучок, разгледајте ја теоремата за постоење на инверзна функција.

Да потсетиме дека под интервал подразбираме отсечка или интервал, или полуинтервал, конечен или бесконечен.

Теорема 4. Нека ѓ(x) е континуирано на интервалот X, се зголемува (или се намалува) за Xи има низа вредности Y. Потоа за функцијата y = f(x) постои инверзна функција x= ј(y), дефиниран на интервалот Y, континуирано и зголемување (или намалување) за Yсо повеќе значења X.

Коментар. Нека функцијата x= ј(y) е инверзна на функцијата ѓ(x). Бидејќи аргументот обично се означува со x, и функцијата преку y, тогаш ќе пишуваме инверзна функцијаво форма y=ј(x).

Пример 1. Функција y = x 2 (сл. 1.8, а) на сетот X= ` и ``. Според екстремната состојба, `x=-1` е локална максимална точка, а `x=1` е локална минимална точка. Бидејќи `y^"=0` само во точките `x=1` и `x=-1`, тогаш според теоремата на Ферма функцијата нема други екстремни точки.

Ајде да разгледаме важна класа на проблеми што го користат концептот на извод - проблемот со наоѓање на најголемите и најмалите вредности на функцијата на сегмент.

Пример 5.2

Најдете ја најголемата и најмалата вредност на функцијата `y=x^3-3x` на отсечката: а) `[-2;0]`; б) ``.

а) Од примерот 5.1 следува дека функцијата се зголемува за `(-oo,-1]` и се намалува за `[-1,1]`. Значи `y(-1)>=y(x)` за сите ` x во[-2;0]` и `y_"max"=y(-1)=2` - најголемата вредност на функцијата на сегментот `[-2;0]` За да ја пронајдете најмалата вредност, потребно е да се споредат вредностите на функцијата на краевите Бидејќи `y(-2)=-2` и `y(0)=0`, тогаш `y_"max"=-2` е најмалата вредност. на функцијата на отсечката `[-2;0]`.

б) Бидејќи има `` на зракот, затоа `y_"naim"=y(1)=-2`, `y_"naib"=y(3)=18`.

Коментар

Забележете дека функцијата континуирана на интервал секогаш ги има најголемите и најмалите вредности.

Пример 5.3

Најдете ја најголемата и најмалата вредност на функцијата `y=x^3-12|x+1|` на отсечката `[-4;3]`.

Забележете дека функцијата е континуирана на целата нумеричка линија. Да означиме `f_1(x)=x^3+12(x+1)`, `f_2(x)=x^3-12(x+1)`. Потоа `y=f_1(x)` на `-4<=x<=-1` и `y=f_2(x)` при `-1<=x<=3`. Находим `f_1^"(x)=3x^2+12`, `f_2^"(x)=3x^2-12`. Уравнение `f_1^"(x)=0` не имеет действительных корней, а уравнение `f_2^"(x)=0` имеет два действительных корня `x_1=-2`, `x_2=2`, из которых интервалу `(-1;3)` принадлежит только точка `x_2`. В точке `x=-1` функция определена, но не имеет производной (можно, например, провести рассуждения, аналогичные рассуждениям примера 4.2). Итак, имеется две критические точки: `x=-1` и `x=2`. Производная `y^"(x)=f_1^"(x)>0` до `(-4,-1)`, `y^"(x)=f_2^"(x)<0` на `(-1;2)` и `y^"(x)=f_2^"(x)>0` до `(2;3)`. Ајде да ги запишеме сите студии во табелата:

`y_"naib"=-1`; `y_"име"=-100`.

Континуитет на елементарните функции

Теоремите за континуитет на функциите директно следат од соодветните теореми за граници.

Теорема.Збирот, производот и количникот на две континуирани функции е континуирана функција (за количникот, освен оние вредности на аргументот во кои делителот е нула).

Теорема.Оставете ги функциите u= φ (x) е континуирано во точката X 0 и функцијата y = ѓ(u) е континуирано во точката u 0 = φ (X 0). Потоа комплексната функција ѓ(φ (x)) кој се состои од континуирани функции, е континуиран во точката x 0 .

Теорема.Доколку функцијата на = ѓ(X) е континуирано и строго монотоно на [ А; б] секири О, потоа инверзната функција на = φ (X) исто така е континуиран и монотон на соодветниот сегмент [ в;г] секири О(без доказ).

Функциите кои се континуирани на интервал имаат голем број важни својства. Да ги формулираме во форма на теореми без да даваме докази.

Теорема (Вајерштрас). Ако функцијата е континуирана на сегмент, тогаш таа ги достигнува своите максимални и минимални вредности на овој сегмент.

Функцијата прикажана на слика 5 на = ѓ(x) е континуирано на интервалот [ А; б], ја зема неговата максимална вредност Мво точката x 1 и најмалиот m-во точката X 2. За било кој X [А; б] важи нееднаквоста м ≤ ѓ(x) ≤ М.

Последица.Ако функцијата е континуирана на интервал, тогаш таа е ограничена на овој интервал.

Теорема (Болзано - Коши).Доколку функцијата на= ѓ(x) е континуирано на интервалот [ а; б] и зема нееднакви вредности на своите краеви ѓ(а) = АИ ѓ(б) = =ВО, тогаш на овој сегмент ги зема сите средни вредности помеѓу АИ ВО.

Геометриски, теоремата е очигледна (види Сл. 6).

За кој било број СО, склучен помеѓу АИ ВО, има поента Совнатре во овој сегмент така што ѓ(Со) = СО. Директно на = СОго пресекува графикот на функцијата барем во една точка.

Последица.Доколку функцијата на = ѓ(x) е континуирано на интервалот [ А; б] и на своите краеви добива вредности на различни знаци, потоа внатре во сегментот [ А; б] има барем една точка Со, во која оваа функција ѓ(x) оди на нула: ѓ(Со) = 0.

Геометриско значењетеореми: ако графикот на непрекината функција оди од едната страна на оската Она другиот, тогаш ја пресекува оската Вол(види Сл. 7).

Ориз. 7.

Дефиниција 4. Функцијата се нарекува непрекината на отсечка ако е непрекината во секоја точка од оваа отсечка (во точката a е непрекината десно, т.е., а во точката b е непрекината лево, т.е.).

Сите основни елементарни функции се континуирани во доменот на нивното дефинирање.

Својства на функциите континуирани во интервал:

• 1) Ако функцијата е континуирана на интервал, тогаш таа е ограничена на овој интервал (првата теорема на Вајерштрас).
• 2) Ако функцијата е континуирана на отсечка, тогаш на овој сегмент таа ја достигнува својата минимална вредност и максимална вредност (втората теорема на Вајерштрас) (види Сл. 2).
• 3) Ако функцијата е континуирана на отсечка и добива вредности на различни знаци на нејзините краеви, тогаш внатре во сегментот има барем една точка таква што (теорема Болзано-Коши).

Точки на прекин на функциите и нивна класификација

сегмент на точка на континуитет на функцијата

Точките во кои условот за континуитет не е задоволен се нарекуваат точки на прекин на оваа функција. Ако е точка на дисконтинуитет на функција, тогаш барем еден од трите услови за континуитет на функцијата наведен во дефинициите 1, 2 не е исполнет, имено:

1) Функцијата е дефинирана во соседство на точка, но не е дефинирана во самата точка. Значи, функцијата разгледана во примерот 2 а) има дисконтинуитет во точка, бидејќи таа не е дефинирана во оваа точка.

2) Функцијата е дефинирана во точката и нејзината околина, има еднострани граници и, но тие не се еднакви една со друга: . На пример, функцијата од примерот 2 б) е дефинирана во точка и нејзина близина, но, бидејќи а.

3) Функцијата е дефинирана во точката и нејзината околина, има еднострани граници и тие се еднакви една на друга, но не и еднакви на вредноста на функцијата во точката: . На пример, функција. Еве ја точката на прекин: во овој момент функцијата е дефинирана, има еднострани граници и, еднакви една на друга, но, т.е.

Точките на прекин на функциите се класифицирани на следниов начин.

Дефиниција 5. Точка се нарекува точка на дисконтинуитет на првиот вид функција ако во оваа точка има конечни граници и, но тие не се еднакви една со друга: . Количеството се нарекува скок на функцијата во точка.

Дефиниција 6. Точка се нарекува точка на отстранлив дисконтинуитет на функција ако во оваа точка има конечни граници и, тие се еднакви една на друга: , но самата функција не е дефинирана во точката, или е дефинирана, но.

Дефиниција 7. Точка се нарекува точка на дисконтинуитет од вториот вид функција ако во оваа точка барем една од едностраните граници (или) не постои или е еднаква на бесконечноста.

Пример 3. Најдете ги точките на прекин на следните функции и определи го нивниот тип: а) б)

Решение. а) Функцијата е дефинирана и континуирана во интервали, и бидејќи на секој од овие интервали е дефинирана со непрекинати елементарни функции. Следствено, точките на прекин на дадена функција можат да бидат само оние точки во кои функцијата ја менува својата аналитичка задача, т.е. поени и Ајде да ги најдеме едностраните граници на функцијата во точката:

Бидејќи едностраните граници постојат и се конечни, но не се еднакви една на друга, точката е дисконтинуитетна точка од првиот вид. Функциски скок:

За поентата што ја наоѓаме.