Површина на триаголник - формули и примери за решавање проблеми

Подолу се формули за наоѓање плоштина на произволен триаголниккои се погодни за пронаоѓање на плоштината на кој било триаголник, без оглед на неговите својства, агли или големини. Формулите се претставени во форма на слика, со објаснувања за нивната примена или оправдување за нивната исправност. Исто така, посебна слика ја прикажува кореспонденцијата помеѓу симболите на буквите во формулите и графичките симболи на цртежот.

Забелешка . Ако триаголникот има посебни својства (рамнокрак, правоаголен, рамностран), можете да ги користите формулите дадени подолу, како и дополнителни специјални формули кои важат само за триаголници со овие својства:

• „Формула за плоштина на рамностран триаголник“

Формули за површина на триаголник

Објаснувања за формули:
а, б, в- должините на страните на триаголникот чија плоштина сакаме да ја најдеме
р- радиус на кругот впишан во триаголникот
Р- радиус на кругот опкружен околу триаголникот
ч- висина на триаголникот спуштена на страна
стр- полупериметар на триаголник, 1/2 од збирот на неговите страни (периметар)
α - агол спротивен на страната a на триаголникот
β - агол спротивен на страната b на триаголникот
γ - агол спротивен на страната c на триаголникот
ч а, ч б , ч в- висина на триаголникот спуштена на страните a, b, c

Ве молиме имајте предвид дека дадените ознаки одговараат на сликата погоре, така што при решавање на вистински геометриски проблем ќе ви биде полесно визуелно да го замените вистинските местаформулите се точни вредности.

• Површината на триаголникот е половина од производот од висината на триаголникот и должината на страната за која се спушта оваа висина(Формула 1). Точноста на оваа формула може да се разбере логично. Висината спуштена до основата ќе подели произволен триаголник на два правоаголни. Ако секој од нив го изградите во правоаголник со димензии b и h, тогаш очигледно плоштината на овие триаголници ќе биде еднаква на точно половина од површината на правоаголникот (Spr = bh)
• Површината на триаголникот е половина од производот на неговите две страни и синусот на аголот меѓу нив(Формула 2) (видете пример за решавање на проблем користејќи ја оваа формула подолу). И покрај фактот што изгледа различно од претходниот, лесно може да се трансформира во него. Ако ја спуштиме висината од аголот B на страната b, излегува дека производот од страната a и синусот на аголот γ, според својствата на синусот во правоаголен триаголник, е еднаков на висината на триаголникот што го нацртавме. , што ни ја дава претходната формула
• Може да се најде областа на произволен триаголник преку работаполовина од радиусот на кругот впишан во него со збирот на должините на сите негови страни(Формула 3), едноставно кажано, треба да го помножите полупериметарот на триаголникот со радиусот на впишаниот круг (ова е полесно да се запомни)
• Областа на произволен триаголник може да се најде со делење на производот од сите негови страни со 4 радиуси од кругот опкружен околу него (Формула 4)
• Формула 5 ја наоѓа плоштината на триаголникот низ должината на неговите страни и полупериметарот (половина од збирот на сите негови страни)
• Формулата на Херон(6) е приказ на истата формула без користење на концептот на полупериметар, само преку должините на страните
• Површината на произволен триаголник е еднаква на производот на квадратот на страната на триаголникот и синусите на аглите во непосредна близина на оваа страна поделени со двојниот синус на аголот спроти оваа страна (Формула 7)
• Површината на произволен триаголник може да се најде како производ на два квадрати од кругот опкружени околу него со синусите на секој од неговите агли. (Формула 8)
• Ако се познати должината на едната страна и вредностите на два соседни агли, тогаш плоштината на триаголникот може да се најде како квадрат на оваа страна поделена со двојниот збир на котангентите на овие агли (Формула 9)
• Ако е позната само должината на секоја од висините на триаголникот (Формула 10), тогаш плоштината на таков триаголник е обратно пропорционална на должините на овие висини, како што е според Хероновата формула.
• Формула 11 ви овозможува да пресметате површина на триаголник врз основа на координатите на неговите темиња, кои се наведени како (x;y) вредности за секое од темињата. Ве молиме имајте предвид дека добиената вредност мора да се земе модуло, бидејќи координатите на поединечните (или дури и сите) темиња може да бидат во регионот на негативни вредности

Забелешка. Следниве се примери за решавање на геометриски задачи за да се најде плоштината на триаголник. Ако треба да решите проблем со геометрија што не е сличен овде, пишете за тоа на форумот. Во решенијата, наместо симболот " квадратен корен„Може да се користи функцијата sqrt(), во која sqrt е симбол на квадратен корен, а радикалниот израз е означен во загради.Понекогаш за едноставни радикални изрази симболот може да се користи √

Задача. Најдете ја плоштината дадена две страни и аголот меѓу нив

Страните на триаголникот се 5 и 6 cm Аголот меѓу нив е 60 степени. Најдете ја плоштината на триаголникот.

Решение.

За да го решиме овој проблем, ја користиме формулата број два од теоретскиот дел на часот.
Плоштината на триаголникот може да се најде низ должината на двете страни и синусот на аголот меѓу нив и ќе биде еднаква на
S=1/2 ab sin γ

Бидејќи ги имаме сите потребни податоци за решението (според формулата), можеме само да ги замениме вредностите од условите на проблемот во формулата:
S = 1/2 * 5 * 6 * грев 60

Во табелата со вредности тригонометриски функцииДа ја најдеме и да ја замениме вредноста на синус 60 степени во изразот. Тоа ќе биде еднакво на коренот на три пати два.
S = 15 √3 / 2

Одговори: 7,5 √3 (во зависност од барањата на наставникот, веројатно можете да оставите 15 √3/2)

Задача. Најдете ја плоштината на рамностран триаголник

Најдете ја плоштината на рамностран триаголник со страна 3cm.

Решение .

Областа на триаголник може да се најде со формулата на Херон:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Бидејќи a = b = c, формулата за плоштината на рамностран триаголник ја има формата:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Одговори: 9 √3 / 4.

Задача. Промена на површината при промена на должината на страните

Колку пати ќе се зголеми плоштината на триаголникот ако страните се зголемат за 4 пати?

Решение.

Бидејќи димензиите на страните на триаголникот ни се непознати, за да ја решиме задачата ќе претпоставиме дека должините на страните се соодветно еднакви на произволните броеви a, b, c. Потоа, за да одговориме на прашањето на проблемот, ќе ја најдеме плоштината на дадениот триаголник, а потоа ќе ја најдеме плоштината на триаголникот чии страни се четири пати поголеми. Односот на плоштините на овие триаголници ќе ни го даде одговорот на проблемот.

Подолу даваме текстуално објаснување за решението на проблемот чекор по чекор. Сепак, на самиот крај, истото решение е претставено во попогодна графичка форма. Заинтересираните можат веднаш да се спуштат по решенијата.

За да решиме, ја користиме формулата на Херон (види погоре во теоретскиот дел од лекцијата). Изгледа вака:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(видете ја првата линија на сликата подолу)

Должините на страните на произволен триаголник се специфицирани со променливите a, b, c.
Ако страните се зголемат за 4 пати, тогаш површината на новиот триаголник c ќе биде:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(видете ја втората линија на сликата подолу)

Како што можете да видите, 4 е заеднички фактор што може да се извади од загради од сите четири изрази според општи правиламатематика.
Потоа

S 2 = 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - на третата линија на сликата
S 2 = 1/4 sqrt (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - четврти ред

Квадратниот корен на бројот 256 е совршено извлечен, па ајде да го извадиме од под коренот
S 2 = 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(видете ја петтата линија на сликата подолу)

За да одговориме на прашањето поставено во проблемот, само треба да ја поделиме областа на добиениот триаголник со областа на оригиналниот.
Дозволете ни да ги одредиме соодносите на плоштините со делење на изразите еден со друг и намалување на добиената дропка.

На Интернет можете да најдете над 10 формули за пресметување на плоштината на триаголникот. Многу од нив се користат во проблеми со познати страни и агли на триаголник. Сепак, постојат голем број сложени примерикаде според условите на доделувањето се познати само едната страна и аглите на триаголникот или радиусот на опишаната или впишаната кружница и уште една карактеристика. Во такви случаи, не може да се примени едноставна формула.

Формулите дадени подолу ќе ви овозможат да решите 95 проценти од проблемите во кои треба да ја пронајдете плоштината на триаголник.
Ајде да продолжиме да ги разгледуваме формулите за заедничка област.
Размислете за триаголникот прикажан на сликата подолу

На сликата и подолу во формулите се воведени класичните ознаки на сите негови карактеристики.
a,b,c – страни на триаголникот,
R – радиус на ограничениот круг,
r – радиус на впишаниот круг,
h[b],h[a],h[c] – висини нацртани во согласност со страните a,b,c.
алфа, бета, хама – агли во близина на темињата.

Основни формули за плоштина на триаголник

1. Површината е еднаква на половина од производот на страната на триаголникот и висината спуштена на оваа страна. На јазикот на формулите, оваа дефиниција може да се напише на следниов начин

Така, ако се познати страната и висината, тогаш секој ученик ќе ја најде областа.
Патем, од оваа формула може да се изведе една корисна врска помеѓу височините

2. Ако се земе предвид дека висината на триаголникот низ соседната страна се изразува со зависноста

Потоа, првата формула за област е проследена со вторите од истиот тип

Погледнете ги внимателно формулите - тие се лесни за паметење, бидејќи работата вклучува две страни и аголот меѓу нив. Ако правилно ги одредиме страните и аглите на триаголникот (како на сликата погоре), ќе добиеме две страни а, б а аголот е поврзан со третиотСо (хама).

3. За аглите на триаголникот релацијата е точна

Зависноста ви овозможува да ги користите следните формули за плоштина на триаголник во пресметките:

Примери за оваа зависност се исклучително ретки, но мора да запомните дека постои таква формула.

4. Ако се познати страната и двата соседни агли, тогаш плоштината се наоѓа со формулата

5. Формулата за плоштина во однос на страната и котангенсот на соседните агли е следна

Со преуредување на индексите можете да добиете зависност од други страни.

6. Формулата за плоштина подолу се користи во задачи кога темињата на триаголникот се наведени на рамнината со координати. Во овој случај, површината е еднаква на половина од земениот модул на детерминантата.

7. Формула на Херонсе користи во примери со познати страни на триаголник.
Прво пронајдете ја полупериметарот на триаголникот

А потоа одреди ја областа користејќи ја формулата

или

Доста често се користи во кодот на калкулаторските програми.

8. Ако се познати сите висини на триаголникот, тогаш плоштината се одредува со формулата

Тешко е да се пресмета на калкулатор, но во пакетите MathCad, Mathematica, Maple областа е „време два“.

9. Следниве формули ги користат познатите радиуси на впишани и ограничени кругови.

Особено, ако радиусот и страните на триаголникот или неговиот периметар се познати, тогаш површината се пресметува според формулата

10. Во примерите каде што се дадени страните и радиусот или дијаметарот на опишаната кружница, плоштината се наоѓа со помош на формулата

11. Следната формула ја одредува плоштината на триаголникот во однос на страната и аглите на триаголникот.

И конечно - посебни случаи:
Плоштад правоаголен триаголник со краци a и b е еднакво на половина од нивниот производ

Формула за плоштина на рамностран (правилен) триаголник=

= една четвртина од производот на квадратот на страната и коренот од три.

Триаголник е три точки што не лежат на иста права и три отсечки што ги поврзуваат. Инаку, триаголник е многуаголник кој има точно три агли.

Овие три точки се нарекуваат темиња на триаголникот, а отсечките се нарекуваат страни на триаголникот. Страните на триаголникот формираат три агли на темињата на триаголникот.

Рамнокрак триаголник е оној во кој двете страни се еднакви. Овие страни се нарекуваат странични, третата страна се нарекува основа. ВО рамнокрак триаголникаглите на основата се еднакви.

Рамностран или правилен триаголник е оној во кој сите три страни се еднакви. Сите агли на рамностран триаголник се исто така еднакви и еднакви 60°.

Областа на произволен триаголник се пресметува со помош на формулите: или

Областа на правоаголен триаголник се пресметува со формулата:

Областа на правилен или рамностран триаголник се пресметува со помош на формулите: или или

Каде а,б,в- страните на триаголникот, ч- висина на триаголникот, y- агол помеѓу страните, Р- радиус на ограничениот круг, р- радиус на впишаниот круг.

Површина на геометриска фигура- нумеричка карактеристика на геометриска фигура што ја покажува големината на оваа фигура (дел од површината е ограничен затворена јамкана оваа бројка). Големината на површината се изразува со бројот на квадратни единици содржани во неа.

Формули за површина на триаголник

1. Формула за плоштина на триаголник на страна и висина
   Плоштина на триаголникеднаква на половина од производот од должината на страната на триаголникот и должината на висината нацртана на оваа страна
   
2. Формула за плоштина на триаголник заснован на три страни и радиус на кружниот круг
   
3. Формула за плоштина на триаголник заснована на три страни и радиус на впишаниот круг
   Плоштина на триаголнике еднаков на производот на полупериметарот на триаголникот и радиусот на впишаната кружница.
   
каде што S е плоштината на триаголникот,
- должини на страните на триаголникот,
- висина на триаголникот,
- аголот помеѓу страните и,
- радиус на впишаниот круг,
R - радиус на ограничениот круг,

Формули за квадратна површина

1. Формула за плоштина на квадрат по должина
   Квадратна површинаеднаков на квадратот на должината на неговата страна.
2. Формула за плоштина на квадрат по должината на дијагоналата
   Квадратна површинаеднаква на половина од квадратот од должината на неговата дијагонала.
   

   S=	1	2
   	2

каде што S е плоштината на квадратот,
- должина на страната на квадратот,
- должина на дијагоналата на квадратот.

Формула за површина на правоаголник

Површина на правоаголникеднаков на производот од должините на неговите две соседни страни

каде што S е плоштината на правоаголникот,
- должини на страните на правоаголникот.

Формули за паралелограмска површина

1. Формула за плоштина на паралелограм врз основа на должината и висината на страната
   Површина на паралелограм
2. Формула за плоштина на паралелограм врз основа на две страни и аголот меѓу нив
   Површина на паралелограме еднаков на производот од должините на неговите страни помножен со синусот на аголот меѓу нив.
   

   a b sin α

каде што S е плоштината на паралелограмот,
- должини на страните на паралелограмот,
- должина на висина на паралелограм,
- аголот помеѓу страните на паралелограмот.

Формули за плоштина на ромб

1. Формула за плоштина на ромб врз основа на должината и висината на страната
   Површина на ромбеднаков на производот од должината на неговата страна и должината на висината спуштена на оваа страна.
2. Формула за плоштина на ромб врз основа на должината и аголот на страната
   Површина на ромбе еднаков на производот од квадратот на должината на неговата страна и синусот на аголот помеѓу страните на ромбот.
3. Формула за плоштина на ромб врз основа на должините на неговите дијагонали
   Површина на ромбеднаква на половина од производот од должините на неговите дијагонали.
каде што S е плоштината на ромбот,
- должина на страната на ромбот,
- должина на висината на ромбот,
- аголот помеѓу страните на ромбот,
1, 2 - должини на дијагонали.

Формули за трапезоидна област

1. Херонова формула за трапез

   Каде што S е областа на трапезоидот,
   - должини на основите на трапезоидот,
   - должини на страните на трапезоидот,
   

Концепт на област

Концептот на областа на која било геометриска фигура, особено триаголник, ќе биде поврзан со фигура како што е квадрат. За единица површина на која било геометриска фигура ќе ја земеме плоштината на квадрат чија страна е еднаква на една. За комплетност, да се потсетиме на две основни својства за концептот на области на геометриски фигури.

Сопственост 1:Ако геометриски формисе еднакви, тогаш нивните површини се исто така еднакви.

Сопственост 2:Секоја фигура може да се подели на неколку фигури. Покрај тоа, плоштината на оригиналната фигура е еднаква на збирот на површините на сите нејзини составни фигури.

Ајде да погледнеме на пример.

Пример 1

Очигледно, една од страните на триаголникот е дијагонала на правоаголник, од која едната страна има должина од $5$ (бидејќи има ќелии $5$), а другата е $6$ (бидејќи има $6$ ќелии). Затоа, површината на овој триаголник ќе биде еднаква на половина од таков правоаголник. Површината на правоаголникот е

Тогаш површината на триаголникот е еднаква на

Одговор: 15 долари.

Следно, ќе разгледаме неколку методи за пронаоѓање на плоштините на триаголниците, имено користење на висината и основата, користејќи ја формулата на Херон и плоштината на рамностран триаголник.

Како да ја пронајдете плоштината на триаголникот користејќи ја неговата висина и основа

Теорема 1

Плоштината на триаголникот може да се најде како половина од производот од должината на страната и висината на таа страна.

Математички изгледа вака

$S=\frac(1)(2)αh$

каде што $a$ е должината на страната, $h$ е висината навлечена кон неа.

Доказ.

Размислете за триаголник $ABC$ во кој $AC=α$. На оваа страна е нацртана висината $BH$, што е еднакво на $h$. Ајде да го изградиме до квадратот $AXYC$ како на Слика 2.

Областа на правоаголникот $AXBH$ е $h\cdot AH$, а областа на правоаголникот $HBYC$ е $h\cdot HC$. Потоа

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Затоа, потребната површина на триаголникот, според својството 2, е еднаква на

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac (1) (2) αh$

Теоремата е докажана.

Пример 2

Најдете ја областа на триаголникот на сликата подолу ако ќелијата има површина еднаква на една

Основата на овој триаголник е еднаква на 9$ (бидејќи 9$ е квадрати од 9$). Висината е исто така 9$. Потоа, според теорема 1, добиваме

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Одговор: 40,5 долари.

Формулата на Херон

Теорема 2

Ако ни се дадени три страни на триаголник $α$, $β$ и $γ$, тогаш неговата плоштина може да се најде на следниов начин

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

овде $ρ$ значи полупериметар на овој триаголник.

Доказ.

Размислете за следнава слика:

Според Питагоровата теорема, од триаголникот $ABH$ добиваме

Од триаголникот $CBH$, според Питагоровата теорема, имаме

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Од овие две односи ја добиваме еднаквоста

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((а-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-a)(γ+β+a))(4β^2)$

Бидејќи $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, тогаш $α+β+γ=2ρ$, што значи

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2)$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Со теорема 1, добиваме

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$