Имотот: 1.Во секој правоаголен триаголник, висината земена од прав агол (од хипотенузата) го дели правоаголен триаголник на три слични триаголници.

Имотот: 2.Висината на правоаголен триаголник, спуштен до хипотенузата, е еднаква на геометриската средина на проекциите на катетите на хипотенузата (или геометриската средина на оние сегменти на кои висината ја дели хипотенузата).

Имот: 3.Ногата е еднаква на геометриската средина на хипотенузата и проекцијата на овој крак на хипотенузата.

Имотот: 4.Кракот спроти агол од 30 степени е еднаков на половина од хипотенузата.

Формула 1.

Формула 2., каде е хипотенузата; , нозе.

Имот: 5.Во правоаголен триаголник, медијаната навлечена до хипотенузата е еднаква на половина од неа и еднаква на радиусот на ограничената кружница.

Својство: 6. Однос меѓу страните и аглите на правоаголен триаголник:

44. Теорема на косинусите. Последица: однос помеѓу дијагоналите и страните на паралелограмот; одредување на типот на триаголник; формула за пресметување на должината на средина на триаголник; Пресметка на косинус на агол на триаголник.

Крај на работа -

Оваа тема припаѓа на делот:

Класа. Колоквиумска програма по основна планиметрија

Својство на соседните агли.. дефинирање на два агли кои се соседни ако имаат една заедничка страна, а другите две формираат права линија..

Ако ви треба дополнителен материјал на оваа тема, или не го најдовте она што го барате, препорачуваме да го користите пребарувањето во нашата база на податоци за дела:

Што ќе правиме со добиениот материјал:

Ако овој материјал ви беше корисен, можете да го зачувате на вашата страница на социјалните мрежи:

Правоаголен триаголник- ова е триаголник во кој еден од аглите е исправен, односно еднаков на 90 степени.

• Страната спроти прав агол се нарекува хипотенуза (на сликата означена како вили АБ)
• Страната што е во непосредна близина на правиот агол се нарекува нога. Секој правоаголен триаголник има две кати (на сликата тие се означени како аи b или AC и BC)

Формули и својства на правоаголен триаголник

Ознаки на формули:

(види слика погоре)

а, б- краци на правоаголен триаголник

в- хипотенуза

α, β - остри агли на триаголник

С- квадрат

ч- висина спуштена од темето на прав агол до хипотенузата

m a аод спротивниот агол ( α )

m b- медијана повлечена на страна бод спротивниот агол ( β )

m в- медијана повлечена на страна вод спротивниот агол ( γ )

ВО правоаголен триаголник која било од нозете е помала од хипотенузата(Формула 1 и 2). Ова својство е последица на Питагоровата теорема.

Косинусот на кој било од акутните аглипомалку од еден (Формула 3 и 4). Овој имот следи од претходниот. Бидејќи која било од нозете е помала од хипотенузата, односот на ногата и хипотенузата е секогаш помал од една.

Квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на катетите (Питагорова теорема). (Формула 5). Овој имот постојано се користи при решавање на проблеми.

Плоштина на правоаголен триаголникеднакво на половина од производот на нозете (Формула 6)

Збир на квадратни медијанидо краците е еднакво на пет квадрати од медијаната на хипотенузата и пет квадрати од хипотенузата поделени со четири (Формула 7). Во прилог на горенаведеното, постои Уште 5 формули, затоа, се препорачува да ја прочитате и лекцијата „Медијана на правоаголен триаголник“, која подетално ги опишува својствата на медијаната.

Висинаправоаголен триаголник е еднаков на производот на катетите поделени со хипотенузата (Формула 8)

Плоштадите на нозете се обратно пропорционални со квадратот на висината спуштена до хипотенузата (Формула 9). Овој идентитет е исто така една од последиците на Питагоровата теорема.

Должина на хипотенузатаеднаков на дијаметарот (два радиуси) на ограничениот круг (Формула 10). Хипотенуза на правоаголен триаголник е дијаметарот на кружниот круг. Овој имот често се користи во решавање на проблеми.

Впишан радиусВ правоаголен триаголник кругможе да се најде како половина од изразот вклучувајќи го збирот на катетите на овој триаголник минус должината на хипотенузата. Или како производ на катетите поделен со збирот на сите страни (периметар) на даден триаголник. (Формула 11)
Синус на агол однос на спротивнотоовој агол нога до хипотенуза(по дефиниција за синус). (Формула 12). Овој имот се користи при решавање на проблеми. Знаејќи ги големините на страните, можете да го најдете аголот што тие го формираат.

Косинусот на аголот А (α, алфа) во правоаголен триаголник ќе биде еднаков на став соседнитеовој агол нога до хипотенуза(по дефиниција за синус). (Формула 13)

Видео курсот „Земи А“ ги вклучува сите теми неопходни за успешно полагање на Единствениот државен испит по математика со 60-65 поени. Целосно сите задачи 1-13 од Профил унифициран државен испит по математика. Погоден е и за полагање на Основен унифициран државен испит по математика. Ако сакате да го положите обединетиот државен испит со 90-100 поени, првиот дел треба да го решите за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за Единствен државен испит за 10-11 одделение, како и за наставници. Сè што ви треба за да го решите Дел 1 од Единствениот државен испит по математика (првите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрија). А ова се повеќе од 70 поени на Единствениот државен испит и без нив не може ниту студент од 100, ниту студент на хуманитарни науки.

Целата потребна теорија. Брзи решенија, замки и тајни на Единствениот државен испит. Анализирани се сите тековни задачи од дел 1 од FIPI Task Bank. Курсот целосно е во согласност со барањата на Единствениот државен испит 2018 година.

Курсот содржи 5 големи теми, по 2,5 часа. Секоја тема е дадена од нула, едноставно и јасно.

Стотици задачи за обединет државен испит. Проблеми со зборови и теорија на веројатност. Едноставни и лесни за паметење алгоритми за решавање проблеми. Геометрија. Теорија, референтен материјал, анализа на сите видови задачи за унифициран државен испит. Стереометрија. Слабо решенија, корисни мамечки листови, развој на просторна имагинација. Тригонометрија од почеток до проблем 13. Разбирање наместо набивање. Јасни објаснувања на сложените концепти. Алгебра. Корени, моќи и логаритми, функција и извод. Основа за решавање на сложени проблеми од Дел 2 од Единствениот државен испит.

Всушност, сè воопшто не е толку страшно. Се разбира, „вистинската“ дефиниција за синус, косинус, тангента и котангента треба да се погледне во статијата. Но, јас навистина не сакам, нели? Можеме да се радуваме: за да ги решите проблемите за правоаголен триаголник, можете едноставно да ги пополните следниве едноставни работи:

Што е со аголот? Дали има крак што е спроти аголот, односно спротивен (за агол) крак? Секако дека има! Ова е нога!

Што е со аголот? Погледнете внимателно. Која нога е во непосредна близина на аголот? Се разбира, ногата. Ова значи дека за аголот ногата е соседна, и

Сега, обрнете внимание! Погледнете што добивме:

Погледнете колку е кул:

Сега да преминеме на тангента и котангента.

Како можам да го запишам ова со зборови сега? Што е ногата во однос на аголот? Спротивно, се разбира - „лежи“ спроти аголот. Што е со ногата? Во непосредна близина на аголот. Па што имаме?

Погледнете како броителот и именителот ги заменија местата?

И сега повторно аглите и направивме размена:

Продолжи

Ајде накратко да запишеме се што научивме.

Питагорова теорема:

Главната теорема за правоаголните триаголници е Питагоровата теорема.

Питагорова теорема

Патем, дали добро се сеќавате што се тоа нозе и хипотенуза? Ако не е многу добро, тогаш погледнете ја сликата - освежете го вашето знаење

Сосема е можно веќе многу пати да сте ја користеле Питагоровата теорема, но дали некогаш сте се запрашале зошто таквата теорема е вистинита? Како можам да го докажам тоа? Ајде да правиме како старите Грци. Ајде да нацртаме квадрат со страна.

Погледнете како паметно ги поделивме неговите страни на должини и!

Сега да ги поврземе означените точки

Овде, сепак, забележавме нешто друго, но вие самите погледнете го цртежот и размислете зошто е тоа така.

Колкава е површината на поголемиот квадрат?

Во право,.

Што е со помала површина?

Секако,.

Останува вкупната површина на четирите агли. Замислете дека ги земавме по две и ги потпревме еден на друг со нивните хипотенуси.

Што се случи? Два правоаголници. Ова значи дека површината на „пресеците“ е еднаква.

Ајде да го собереме сето тоа сега.

Ајде да се трансформираме:

Така, го посетивме Питагора - ја докажавме неговата теорема на антички начин.

Правоаголен триаголник и тригонометрија

За правоаголен триаголник важат следните односи:

Синус на остар агол е еднаков на односот на спротивната страна со хипотенузата

Косинусот на остар агол е еднаков на односот на соседната нога и хипотенузата.

Тангентата на остар агол е еднаква на односот на спротивната страна со соседната страна.

Котангенсот на остар агол е еднаков на односот на соседната страна со спротивната страна.

И уште еднаш сето ова во форма на таблета:

Многу е погодно!

Знаци на еднаквост на правоаголните триаголници

I. Од две страни

II. Со нога и хипотенуза

III. Со хипотенуза и акутен агол

IV. По должината на ногата и акутен агол

а)

б)

Внимание! Овде е многу важно нозете да бидат „соодветни“. На пример, ако оди вака:

ТОГАШ ТРИАГОЛНИЦИТЕ НЕ СЕ ЕДНАКВИ, и покрај фактот што имаат еден идентичен остар агол.

Неопходно е тоа во двата триаголници кракот беше соседен, или во двата беше спротивен.

Дали забележавте како знаците за еднаквост на правоаголните триаголници се разликуваат од вообичаените знаци за еднаквост на триаголниците?

Погледнете ја темата „и обрнете внимание на фактот дека за еднаквост на „обичните“ триаголници, три од нивните елементи мора да бидат еднакви: две страни и аголот меѓу нив, два агли и страната меѓу нив или три страни.

Но, за еднаквост на правоаголните триаголници, доволни се само два соодветни елементи. Одлично, нели?

Приближно иста е ситуацијата со знаците на сличност на правоаголните триаголници.

Знаци на сличност на правоаголните триаголници

I. По остар агол

II. На две страни

III. Со нога и хипотенуза

Медијана во правоаголен триаголник

Зошто е ова така?

Наместо правоаголен триаголник, разгледајте цел правоаголник.

Ајде да нацртаме дијагонала и да разгледаме точка - точката на пресек на дијагоналите. Што знаете за дијагоналите на правоаголникот?

И што следи од ова?

Така испадна дека

1. - средна:

Запомнете го овој факт! Помага многу!

Она што е уште поизненадувачко е што е и спротивното.

Каква корист може да се добие од фактот дека медијаната извлечена до хипотенузата е еднаква на половина од хипотенузата? Ајде да ја погледнеме сликата

Погледнете внимателно. Имаме: , односно, растојанијата од точката до сите три темиња на триаголникот се покажаа еднакви. Но, има само една точка во триаголникот, од кои растојанијата од сите три темиња на триаголникот се еднакви, а тоа е ЦЕНТАРОТ НА КРУГОТ. Па што се случи?

Значи, да почнеме со ова „покрај...“.

Ајде да погледнеме и.

Но, сличните триаголници ги имаат сите еднакви агли!

Истото може да се каже и за и

Сега ајде да го нацртаме заедно:

Каква корист може да се извлече од оваа „тројна“ сличност?

Па, на пример - две формули за висина на правоаголен триаголник.

Да ги запишеме односите на соодветните страни:

За да ја пронајдеме висината, ја решаваме пропорцијата и добиваме првата формула „Висина во правоаголен триаголник“:

Па, сега, со примена и комбинирање на ова знаење со други, ќе го решите секој проблем со правоаголен триаголник!

Значи, да ја примениме сличноста: .

Што ќе се случи сега?

Повторно ја решаваме пропорцијата и ја добиваме втората формула:

Треба многу добро да ги запомните двете формули и да ја користите онаа што е поудобна.

Ајде повторно да ги запишеме

Питагорова теорема:

Во правоаголен триаголник квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на катетите: .

Знаци на еднаквост на правоаголните триаголници:

• од две страни:
• со нога и хипотенуза: или
• по должината на ногата и соседниот акутен агол: или
• по должината на ногата и спротивниот остар агол: или
• по хипотенуза и остар агол: или.

Знаци на сличност на правоаголните триаголници:

• еден акутен агол: или
• од пропорционалноста на две нозе:
• од пропорционалноста на ногата и хипотенузата: или.

Синус, косинус, тангента, котангента во правоаголен триаголник

• Синус на остар агол на правоаголен триаголник е односот на спротивната страна со хипотенузата:
• Косинусот на остар агол на правоаголен триаголник е односот на соседната катета со хипотенузата:
• Тангентата на остар агол на правоаголен триаголник е односот на спротивната страна со соседната страна:
• Котангенсот на остар агол на правоаголен триаголник е односот на соседната страна со спротивната страна: .

Висина на правоаголен триаголник: или.

Во правоаголен триаголник, медијаната извлечена од темето на правиот агол е еднаква на половина од хипотенузата: .

Плоштина на правоаголен триаголник:

• преку нозете:

При решавање на геометриски проблеми, корисно е да се следи таков алгоритам. При читањето на условите на проблемот, неопходно е

• Направете цртеж. Цртежот треба да одговара колку што е можно повеќе со условите на проблемот, така што неговата главна задача е да помогне да се најде решението
• Ставете ги сите податоци од изјавата за проблемот на цртежот
• Запишете ги сите геометриски поими што се појавуваат во проблемот
• Запомнете ги сите теореми кои се однесуваат на овие концепти
• Нацртајте ги на цртежот сите врски помеѓу елементите на геометриската фигура што произлегуваат од овие теореми

На пример, ако проблемот ги содржи зборовите симетрала на агол на триаголник, треба да ја запомните дефиницијата и својствата на симетралата и да наведете еднакви или пропорционални отсечки и агли на цртежот.

Во оваа статија ќе ги најдете основните својства на триаголникот што треба да ги знаете за успешно решавање на проблемите.

ТРИАГОЛНИК.

Плоштина на триаголник.

1. ,

тука - произволна страна на триаголникот, - висината се спушти на оваа страна.

2. ,

тука и се произволни страни на триаголникот, и е аголот помеѓу овие страни:

3. Формулата на Херон:

Еве ги должините на страните на триаголникот, дали е полупериметарот на триаголникот,

4. ,

тука е полупериметарот на триаголникот и е радиусот на впишаниот круг.

Нека се должините на тангентните отсечки.

Тогаш формулата на Херон може да се напише на следниов начин:

6. ,

тука - должините на страните на триаголникот, - радиусот на ограничениот круг.

Ако се земе точка на страната на триаголникот што ја дели оваа страна во однос m: n, тогаш отсечката што ја поврзува оваа точка со темето од спротивниот агол го дели триаголникот на два триаголници, чии плоштини се во однос m: n:

Односот на плоштините на слични триаголници е еднаков на квадратот на коефициентот на сличност.

Средина на триаголник

Ова е сегмент што го поврзува темето на триаголникот со средината на спротивната страна.

Средини на триаголниксе сечат во една точка и се делат со пресечната точка во сооднос 2:1, сметајќи од темето.

Пресечната точка на медијаните на правилен триаголник ја дели медијаната на два отсечка, од кои помалата е еднаква на радиусот на впишаната кружница, а поголемата е еднаква на радиусот на опишаната кружница.

Радиусот на опишаната кружница е двојно поголем од радиусот на впишаната кружница: R=2r

Средна должинапроизволен триаголник

,

тука - медијаната повлечена на страна - должините на страните на триаголникот.

Симетрала на триаголник

Ова е симетрала на кој било агол на триаголник што го поврзува темето на овој агол со спротивната страна.

Симетрала на триаголникја дели страната на сегменти пропорционални на соседните страни:

Симетрали на триаголниксе сечат во една точка, која е центарот на впишаниот круг.

Сите точки на симетралата на аголот се еднакво оддалечени од страните на аголот.

Висина на триаголник

Ова е нормален сегмент паднат од темето на триаголникот на спротивната страна, или негово продолжение. Во тап триаголник, надморската височина извлечена од темето на акутниот агол лежи надвор од триаголникот.

Висините на триаголникот се сечат во една точка, што се нарекува ортоцентар на триаголникот.

Да се ​​најде висината на триаголникотповлечен на страна, треба да ја пронајдете неговата област на кој било достапен начин, а потоа да ја користите формулата:

Центар на кружниот круг на триаголник, лежи на точката на пресек на нормалните симетрали нацртани на страните на триаголникот.

Обем на радиус на триаголник може да се најде со помош на следниве формули:

Еве ги должините на страните на триаголникот и е плоштината на триаголникот.

,

каде е должината на страната на триаголникот и е спротивниот агол. (Оваа формула следи од синусната теорема.)

Неравенство на триаголник

Секоја страна на триаголникот е помала од збирот и поголема од разликата на другите две.

Збирот на должините на кои било две страни е секогаш поголем од должината на третата страна:

Наспроти поголемата страна лежи поголемиот агол; Наспроти поголемиот агол лежи поголемата страна:

Ако, тогаш обратно.

Теорема на синусите:

Страните на триаголникот се пропорционални со синусите на спротивните агли:

Теорема на косинус:

Квадратот на страната на триаголникот е еднаков на збирот на квадратите на другите две страни без двојно поголем производ од овие страни со косинус на аголот меѓу нив:

Правоаголен триаголник

- Ова е триаголник чиј еден од аглите е 90°.

Збирот на острите агли на правоаголен триаголник е 90°.

Хипотенузата е страната што лежи спроти аголот од 90°. Хипотенузата е најдолгата страна.

Питагорова теорема:

квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на катетите:

Радиусот на кругот впишан во правоаголен триаголник е еднаков на

,

тука е радиусот на впишаниот круг, - нозете, - хипотенузата:

Центар на кружниот круг на правоаголен триаголник лежи во средината на хипотенузата:

Медијана на правоаголен триаголник нацртан до хипотенузата, е еднаква на половина од хипотенузата.

Дефиниција на синус, косинус, тангента и котангента на правоаголен триаголникпогледнете

Односот на елементите во правоаголен триаголник:

Квадратот на висината на правоаголен триаголник извлечен од темето на прав агол е еднаков на производот од проекциите на катетите на хипотенузата:

Квадратот на ногата е еднаков на производот на хипотенузата и проекцијата на ногата на хипотенузата:

Ногата лежи спроти аголот еднакво на половина од хипотенузата:

Рамнокрак триаголник.

Симетралата на рамнокрак триаголник нацртан до основата е средна и надморска височина.

Во рамнокрак триаголник, основните агли се еднакви.

Агол на врвот.

И - страни,

И - агли на основата.

Висина, симетрала и средна.

Внимание!Висината, симетралата и средината нацртани на страна не се совпаѓаат.

Правилен триаголник

(или рамностран триаголник ) е триаголник чиишто страни и агли се еднакви една со друга.

Површина на правилен триаголникеднакво на

каде е должината на страната на триаголникот.

Центар на круг впишан во правилен триаголник, се совпаѓа со центарот на кругот ограничен околу правилен триаголник и лежи на точката на пресек на медијаните.

Пресечна точка на медијаните на правилен триаголникја дели медијаната на два отсечка, од кои помалиот е еднаков на радиусот на впишаната кружница, а поголемиот е еднаков на радиусот на опишаната кружница.

Ако еден од аглите на рамнокрак триаголник е 60°, тогаш триаголникот е правилен.

Средна линија на триаголникот

Ова е сегмент што ги поврзува средните точки на двете страни.

На сликата DE е средната линија на триаголникот ABC.

Средната линија на триаголникот е паралелна со третата страна и еднаква на нејзината половина: DE||AC, AC=2DE

Надворешен агол на триаголник

Ова е аголот во непосредна близина на кој било агол на триаголникот.

Надворешниот агол на триаголникот е еднаков на збирот на два агли кои не се блиску до него.

Тригонометриски функции на надворешен агол:

Знаци на еднаквост на триаголници:

1 . Ако две страни и аголот меѓу нив на еден триаголник се соодветно еднакви на две страни и аголот меѓу нив на друг триаголник, тогаш таквите триаголници се складни.

2 . Ако една страна и два соседни агли на еден триаголник се соодветно еднакви на страна и два соседни агли на друг триаголник, тогаш таквите триаголници се складни.

3 Ако три страни на еден триаголник се соодветно еднакви на три страни на друг триаголник, тогаш таквите триаголници се складни.

Важно:бидејќи во правоаголен триаголник два агли се очигледно еднакви, тогаш за еднаквост на два правоаголни триаголниципотребна е еднаквост на само два елементи: две страни, или страна и остар агол.

Знаци на сличност на триаголници:

1 . Ако две страни на еден триаголник се пропорционални на две страни на друг триаголник, а аглите меѓу овие страни се еднакви, тогаш овие триаголници се слични.

2 . Ако трите страни на еден триаголник се пропорционални на три страни на друг триаголник, тогаш триаголниците се слични.

3 . Ако два агли на еден триаголник се еднакви на два агли на друг триаголник, тогаш триаголниците се слични.

Важно:Во слични триаголници, слични страни лежат спроти еднакви агли.

Теорема на Менелаус

Нека права сече триаголник, и е точката на нејзиното вкрстување со страната, е точката на нејзиното пресекување со страната и е точката на нејзиното пресекување со продолжението на страната. Потоа