При исцртување графикони на функции, корисно е да се придржувате до следниот план:

1. Најдете го доменот на дефинирање на функцијата и определете ги точките на дисконтинуитет, доколку ги има.

2. Определи дали функцијата е парна или непарна или ниту една. Ако функцијата е парна или непарна, тогаш доволно е да се разгледаат нејзините вредности на x>0, а потоа симетрично во однос на оската OY или потеклото на координатите, вратете ја за вредностите x<0 .

3. Испитај ја функцијата за периодичност. Ако функцијата е периодична, тогаш доволно е да се разгледа на еден период.

4. Најдете ги точките на пресек на функционалниот график со координатните оски (ако е можно)

5. Спроведете студија за функцијата на екстремот и пронајдете ги интервалите на зголемување и намалување на функцијата.

6. Најдете ги точките на флексија на кривата и интервалите на конвексност и конкавност на функцијата.

7. Најдете ги асимптотите на графикот на функцијата.

8. Користејќи ги резултатите од чекорите 1-7, конструирај график на функцијата. Понекогаш се наоѓаат неколку дополнителни точки за поголема точност; нивните координати се пресметуваат со помош на равенката на кривата.

Пример. Функција за истражување y=x 3 -3xи изградете графикон.

1) Функцијата е дефинирана на интервалот (-∞; +∞). Нема точки на прекршување.

2) Функцијата е непарна, бидејќи f(-x) = -x 3 -3 (-x) = -x 3 +3x = -f(x), затоа, тоа е симетрично во однос на потеклото.

3) Функцијата не е периодична.

4) Точки на пресек на графикот со координатните оски: x 3 -3x=0, x = , x = -, x = 0,тие. графикот на функцијата ги пресекува координатните оски во точките: ( ; 0 ), (0; 0 ), (-; 0 ).

5) Најдете можни екстремни точки: y′ = 3x 2 -3; 3x 2 -3=0; x =-1; x = 1. Доменот на дефинирање на функцијата ќе се подели на интервали: (-∞; -1), (-1; 1), (1; +∞). Ајде да ги најдеме знаците на дериватот во секој добиен интервал:

На интервалот (-∞; -1) у′>0 -функцијата се зголемува

На интервалот (-1; 1) ти<0 – функцијата се намалува

На интервалот (1; +∞) у′>0 -функцијата се зголемува. Точка x =-1 – максимален бод; x = 1 – минимален поен.

6) Најдете ги точките на флексија: y′′ = 6x; 6x = 0; x = 0. Точка x = 0го дели доменот на дефиниција на интервали (-∞; 0), (0; +∞). Ајде да ги најдеме знаците на вториот дериват во секој добиен интервал:

На интервалот (-∞;0) ти"<0 – функцијата е конвексна

На интервалот (0; +∞) y′′>0 -функцијата е конкавна. x = 0– точка на флексија.

7) Графикот нема асимптоти

8) Ајде да изградиме график на функцијата:

Пример.Истражете ја функцијата и изградете го нејзиниот график.

1) Доменот на дефиниција на функцијата се интервалите (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥). Опсег на вредности на оваа функција е интервалот (-¥; ¥).

Точките на прекин на функцијата се точките x = 1, x = -1.

2) Функцијата е непарна, бидејќи .

3) Функцијата не е периодична.

4) Графикот ги пресекува координатните оски во точката (0; 0).

5) Најдете критични точки.

Критични точки: x = 0; x = -; x = ; x = -1; x = 1.

Најдете ги интервалите на функциите за зголемување и намалување. За да го направите ова, ги одредуваме знаците на дериватот на функцијата во интервали.

-¥ < x< -, y¢> 0, функцијата се зголемува

-< x < -1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢ > 0, функцијата се зголемува

Јасно е дека поентата X= -е максималната точка, и точката X= е минималната точка. Вредностите на функциите во овие точки се еднакви на 3/2 и -3/2, соодветно.

6) Најдете го вториот извод на функцијата

Коса асимптотна равенка: y = x.

8) Ајде да изградиме график на функцијата.

Оваа лекција ја опфаќа темата „Истрага на функција и поврзани проблеми“. Оваа лекција опфаќа графички функции со помош на деривати. Се проучува функцијата, се конструира нејзиниот график и се решаваат голем број поврзани проблеми.

Тема: Дериват

Лекција: Истражување на функцијаи сродни задачи

Неопходно е да се проучи оваа функција, да се конструира график, да се најдат интервали на монотоност, максимални, минимуми и кои проблеми го придружуваат знаењето за оваа функција.

Прво, ајде целосно да ги искористиме информациите обезбедени од функцијата без извод.

1. Најдете ги интервалите на константен знак на функцијата и конструирај скица на графикот на функцијата:

1) Ајде да најдеме.

2) Корени на функции: , од тука

3) Интервали на константен знак на функцијата (види слика 1):

Ориз. 1. Интервали на константен знак на функција.

Сега знаеме дека во интервалот и графикот е над X-оската, во интервалот - под X-оската.

2. Ајде да изградиме график во близина на секој корен (види слика 2).

Ориз. 2. График на функција во близина на коренот.

3. Конструирај график на функцијата во близина на секоја дисконтинуитетна точка во доменот на дефиниција. Доменот на дефиниција се распаѓа во точката. Ако вредноста е блиску до точката, тогаш вредноста на функцијата се стреми кон (види Сл. 3).

Ориз. 3. График на функцијата во близина на точката на дисконтинуитет.

4. Да одредиме како графикот се однесува во близина на точки на бесконечност:

Ајде да го напишеме користејќи ограничувања

. Важно е дека за многу големи вредности, функцијата речиси не се разликува од единството.

Да го најдеме изводот, интервалите на неговиот константен знак и тие ќе бидат интервали на монотоност за функцијата, да ги најдеме оние точки во кои изводот е еднаков на нула и да откриеме каде е максималната точка, а каде минималната точка.

Од тука,. Овие точки се внатрешни точки од доменот на дефиниција. Ајде да дознаеме кој знак на изводот е на интервалите, и која од овие точки е максималната точка, а која е минималната точка (види Сл. 4).

Ориз. 4. Интервали на константен знак на дериватот.

Од Сл. 4 може да се види дека точката е минимална точка, точката е максимална точка. Вредноста на функцијата во точката е . Вредноста на функцијата во точката е 4. Сега да изградиме график на функцијата (види Сл. 5).

Ориз. 5. График на функции.

Така изградивме график на функција. Ајде да го опишеме. Да ги запишеме интервалите преку кои функцијата монотоно се намалува: , - тоа се интервалите каде што изводот е негативен. Функцијата монотоно се зголемува на интервалите и . - минимален поен, - максимален поен.

Најдете го бројот на корените на равенката во зависност од вредностите на параметарот.

1. Конструирај график на функцијата. Графикот на оваа функција е нацртан погоре (види Сл. 5).

2. Расчленете го графиконот со фамилија на прави линии и запишете го одговорот (види слика 6).

Ориз. 6. Пресек на графикот на функција со прави.

1) Кога - едно решение.

2) За - две решенија.

3) Кога - три решенија.

4) Кога - две решенија.

5) Кога - три решенија.

6) Кога - две решенија.

7) Кога - едно решение.

Така, решивме еден од важни задачи, имено, наоѓање на бројот на решенија на равенката во зависност од параметарот. Може да има различни посебни случаи, на пример, во кои ќе има едно решение, или две решенија или три решенија. Забележете дека овие посебни случаи, сите одговори на овие посебни случаи се содржани во општиот одговор.

1. Алгебра и почеток на анализа, одделение 10 (во два дела). Упатство за образовните институции(ниво на профил) ед. А.Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2009 година.

2. Алгебра и почеток на анализа, одделение 10 (во два дела). Проблемска книга за образовни институции (ниво на профил), ед. А.Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2007 година.

3. Виленкин Н.Ја., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математичка анализаза 10 одделение ( прирачник за обуказа учениците од училиштата и паралелките со длабинска студијаматематика).-М.: Образование, 1996 г.

4. Галицки М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Продлабочено проучување на алгебрата и математичката анализа.-М.: Образование, 1997 г.

5. Збирка задачи по математика за апликанти на високообразовни институции (уреди М.И. Сканави - М.: Виша школа, 1992 година).

6. Мерзљак А.Г., Полонски В.Б., Јакир М.С. Алгебарски симулатор.-К.: А.С.К., 1997 г.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chikinina Algebra и почетоците на анализата. 8-11 одделение: Прирачник за училишта и паралелки со продлабочено изучување на математиката (дидактички материјали) - М.: Бастард, 2002 година.

8. Сахакјан С.М., Голдман А.М., Денисов Д.В. Проблеми за алгебра и принципи на анализа (прирачник за ученици од 10-11 одделение на општообразовните институции - М.: Просвешчение, 2003 година).

9. Карп А.П. Збирка задачи по алгебра и принципи на анализа: учебник. додаток за 10-11 одделение. со длабочина студирал Математика.-М.: Образование, 2006 г.

10. Глејзер Г.И. Историја на математиката на училиште. 9-10 одделение (прирачник за наставници).-М.: Образование, 1983 г

Дополнителни веб-ресурси

2. Портал Природни науки ().

Направете го дома

Бр. 45.7, 45.10 (Алгебра и почетоците на анализата, одделение 10 (во два дела). Проблемска книшка за општообразовни институции (ниво на профил) уредена од A. G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2007.)

Задачата е: да се спроведе целосна студијафункција и да се изгради неговиот график.

Секој ученик помина низ слични задачи.

Понатамошната презентација претпоставува добро познавање. Ви препорачуваме да се повикате на овој дел доколку имате какви било прашања.

Алгоритмот за истражување на функциите се состои од следните чекори.

Наоѓање на доменот на дефинирање на функција.

Ова е многу важен чекор во проучувањето на функцијата, бидејќи сите понатамошни дејства ќе бидат извршени во доменот на дефиниција.

Во нашиот пример, треба да ги најдеме нулите на именителот и да ги исклучиме од регионот на реални броеви.



(Во други примери може да има корени, логаритми итн. Да потсетиме дека во овие случаи доменот на дефиниција се пребарува на следниов начин:
за корен од парен степен, на пример, доменот на дефиниција се наоѓа од нееднаквоста ;
за логаритам - доменот на дефиниција се наоѓа од неравенката ).

Проучување на однесувањето на функцијата на границата на доменот на дефиниција, наоѓање вертикални асимптоти.

На границите на доменот на дефиниција, функцијата има вертикални асимптоти, ако на овие гранични точки се бесконечни.

Во нашиот пример, граничните точки на доменот на дефиниција се .

Да го испитаме однесувањето на функцијата при приближување на овие точки од лево и десно, за што наоѓаме еднострани граници:


Бидејќи едностраните граници се бесконечни, правите линии се вертикални асимптоти на графикот.

Испитување на функција за парност или непарност.

Функцијата е дури, Ако . Паритетот на функцијата ја означува симетријата на графикот за ординатата.

Функцијата е чудно, Ако . Чудноста на функцијата ја покажува симетријата на графикот во однос на потеклото.

Ако ниедна од еднаквостите не е задоволена, тогаш имаме функција на општа форма.

Во нашиот пример, еднаквоста важи, затоа, нашата функција е изедначена. Ова ќе го земеме предвид при конструирањето на графикот - тој ќе биде симетричен во однос на оската oy.

Наоѓање интервали на функции за зголемување и намалување, екстремни точки.

Интервалите на зголемување и намалување се решенија за неравенките и, соодветно.

Се нарекуваат точките на кои избришал изводот стационарни.

Критични точки на функцијатаТие ги нарекуваат внатрешните точки од доменот на дефиниција во кои изводот на функцијата е еднаков на нула или не постои.

КОМЕНТАР(дали да се вклучат критичните точки во интервалите на зголемување и намалување).

Критичните точки ќе ги вклучиме во интервалите за зголемување и намалување доколку припаѓаат на доменот на функцијата.

Така, да се определат интервалите на функциите на зголемување и намалување

• прво, го наоѓаме изводот;
• второ, наоѓаме критични точки;
• трето, доменот на дефиниција го делиме со критични точки во интервали;
• четврто, го одредуваме знакот на дериватот на секој од интервалите. Знакот плус ќе одговара на интервалот на зголемување, знакот минус на интервалот на намалување.

Ајде да одиме!

Го наоѓаме изводот на доменот на дефиниција (ако се појават потешкотии, видете го делот).


За ова наоѓаме критични точки:

Ги исцртуваме овие точки на бројната оска и го одредуваме знакот на изводот во секој добиен интервал. Алтернативно, можете да земете која било точка во интервалот и да ја пресметате вредноста на изводот во таа точка. Ако вредноста е позитивна, тогаш ставаме знак плус над оваа празнина и преминуваме на следната, ако е негативна, тогаш ставаме знак минус итн. На пример, , затоа, ставаме плус над првиот интервал лево.


Заклучуваме:

Шематски, плус/минусите ги означуваат интервалите каде што изводот е позитивен/негативен. Стрелките за зголемување/опаѓање ја покажуваат насоката на зголемување/намалување.

Екстремни точки на функцијатасе точките во кои е дефинирана функцијата и минува низ кои изводот го менува знакот.

Во нашиот пример, екстремната точка е x=0. Вредноста на функцијата во овој момент е . Бидејќи изводот го менува знакот од плус во минус кога минува низ точката x=0, тогаш (0; 0) е точка на локален максимум. (Ако изводот го смени знакот од минус во плус, тогаш би имале локална минимална точка).

Наоѓање на интервали на конвексност и вдлабнатина на функција и точки на флексија.

Интервалите на конкавност и конвексност на функција се наоѓаат со решавање на неравенките и соодветно.

Понекогаш конкавноста се нарекува конвексна надолу, а конвексната се нарекува конвексна нагоре.

Овде важат и забелешките слични на оние од ставот за интервали на зголемување и намалување.

Така, да се определат интервалите на конкавност и конвексност на функцијата:

• прво, го наоѓаме вториот извод;
• второ, ги наоѓаме нулите на броителот и именителот на вториот извод;
• трето, доменот на дефиниција го делиме со добиените точки во интервали;
• четврто, го одредуваме знакот на вториот дериват на секој од интервалите. Знакот плус ќе одговара на интервалот на вдлабнатина, знакот минус на конвексниот интервал.

Ајде да одиме!

Вториот извод го наоѓаме на доменот на дефиниција.


Во нашиот пример, нема нули во броителот, туку нули во именителот.

Ги исцртуваме овие точки на бројната оска и го одредуваме знакот на вториот извод во секој добиен интервал.



Заклучуваме:

Точката се нарекува точка на флексија, ако во дадена точка има тангента на графикот на функцијата и вториот извод на функцијата го промени знакот при минување низ .

Со други зборови, точките на флексија можат да бидат точки преку кои вториот извод го менува знакот во самите точки или е нула или не постои, но овие точки се вклучени во доменот на дефиниција на функцијата.

Во нашиот пример, нема точки на флексија, бидејќи вториот извод го менува знакот при минување низ точките и тие не се вклучени во доменот на дефинирање на функцијата.

Наоѓање хоризонтални и коси асимптоти.

Хоризонталните или коси асимптоти треба да се бараат само кога функцијата е дефинирана на бесконечност.

Коси асимптотисе пребаруваат во вид на прави линии, каде и .

Ако k=0 и b не е еднаква на бесконечноста, тогаш косата асимптота ќе стане хоризонтална.

Кои се овие асимптоти?

Тоа се линиите до кои графикот на функцијата се приближува во бесконечност. Така, тие се многу корисни во графиконот на функцијата.

Ако нема хоризонтални или коси асимптоти, но функцијата е дефинирана на плус бесконечност и (или) минус бесконечност, тогаш треба да ја пресметате границата на функцијата на плус бесконечност и (или) минус бесконечност за да имате идеја за ​однесувањето на графикот на функцијата.

За нашиот пример

- хоризонтална асимптота.

Ова го заклучува проучувањето на функцијата, продолжуваме со исцртување на графикот.

Ги пресметуваме вредностите на функциите во средните точки.

За попрецизно исцртување, препорачуваме да пронајдете неколку функционални вредности во средните точки (т.е. во која било точка од доменот на дефинирање на функцијата).

За нашиот пример, ќе ги најдеме вредностите на функцијата во точките x=-2, x=-1, x=-3/4, x=-1/4. Поради парноста на функцијата, овие вредности ќе се совпаѓаат со вредностите во точките x=2, x=1, x=3/4, x=1/4.


Изградба на графикон.

Прво, конструираме асимптоти, ги исцртуваме точките на локалните максимални и минимуми на функцијата, точките на флексија и средните точки. За погодност да се конструира график, можете исто така шематски да ги одредите интервалите на зголемување, намалување, конвексност и конкавност, не е за ништо што ја проучувавме функцијата =).


Останува да се исцртаат линиите на графиконот низ означените точки, приближувајќи се до асимптотите и следејќи ги стрелките.


Ова ремек дело ликовната уметностзавршена е задачата за целосно испитување на функцијата и исцртување на графикот.

Некои графикони елементарни функцииможе да се конструира со користење на графикони на основни елементарни функции.

Решавач Кузњецов.
III графикони

Задача 7. Направете целосна студија за функцијата и конструирајте ја нејзината графика.

        Пред да започнете со преземање на вашите опции, обидете се да го решите проблемот според примерот даден подолу за опцијата 3. Некои од опциите се архивирани во .rar формат

        7.3 Направете целосна студија за функцијата и нацртајте ја

Решение.

        1) Опсег на дефиниција:         или        , тоа е        .
.
Така:         .

        2) Нема точки на пресек со оската Ox. Навистина, равенката         нема решенија.
Нема точки на пресек со оската Oy, бидејќи        .

        3) Функцијата не е ниту парна ниту непарна. Нема симетрија околу оската на ординатите. Исто така, нема симетрија за потеклото. Бидејќи
.
Гледаме дека         и        .

        4) Функцијата е континуирана во доменот на дефиниција
.

; .

; .
Следствено, точката         е точка на дисконтинуитет од вториот вид (бесконечен дисконтинуитет).

5) Вертикални асимптоти:       

Ајде да ја најдеме косата асимптота        . Еве

;
.
Следствено, имаме хоризонтална асимптота: y=0. Нема коси асимптоти.

        6) Да го најдеме првиот извод. Прв дериват:
.
А еве зошто
.
Ајде да најдеме неподвижни точки каде што изводот е еднаков на нула, т.е
.

        7) Да го најдеме вториот извод. Втор дериват:
.
И ова е лесно да се потврди, бидејќи

Ако проблемот бара целосно проучување на функцијата f (x) = x 2 4 x 2 - 1 со конструкција на нејзиниот график, тогаш детално ќе го разгледаме овој принцип.

За да решите проблем од овој тип, треба да ги користите својствата и графиконите на основните елементарни функции. Алгоритмот за истражување ги вклучува следните чекори:

Наоѓање на доменот на дефиниција

Бидејќи се врши истражување на доменот на дефинирање на функцијата, неопходно е да се започне со овој чекор.

Пример 1

Дадениот пример вклучува наоѓање на нулите на именителот со цел да се исклучат од ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Како резултат на тоа, можете да добиете корени, логаритми итн. Тогаш ODZ може да се бара за корен од парен степен од типот g (x) 4 со неравенката g (x) ≥ 0, за логаритамот log a g (x) со неравенката g (x) > 0.

Проучување на границите на ОДЗ и наоѓање вертикални асимптоти

Постојат вертикални асимптоти на границите на функцијата, кога едностраните граници во таквите точки се бесконечни.

Пример 2

На пример, земете ги граничните точки еднакви на x = ± 1 2.

Тогаш е неопходно да се проучи функцијата за да се најде едностраната граница. Тогаш добиваме дека: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Ова покажува дека едностраните граници се бесконечни, што значи дека правите x = ± 1 2 се вертикални асимптоти на графикот.

Проучување на функција и дали е парна или непарна

Кога условот y (- x) = y (x) е исполнет, функцијата се смета за парна. Ова сугерира дека графикот се наоѓа симетрично во однос на Oy. Кога условот y (- x) = - y (x) е исполнет, функцијата се смета за непарна. Ова значи дека симетријата е релативна со потеклото на координатите. Ако барем една неравенка не е задоволена, добиваме функција од општ облик.

Равенството y (- x) = y (x) покажува дека функцијата е парна. При конструирањето потребно е да се земе предвид дека ќе има симетрија во однос на Ој.

За да се реши неравенството, се користат интервали на зголемување и намалување со условите f " (x) ≥ 0 и f " (x) ≤ 0, соодветно.

Дефиниција 1

Стационарни точки- тоа се точките што го претвораат изводот на нула.

Критични точки- тоа се внатрешни точки од доменот на дефиниција каде што изводот на функцијата е еднаков на нула или не постои.

При донесување одлука, мора да се земат предвид следните забелешки:

• за постоечки интервали на зголемување и намалување на неравенки од формата f " (x) > 0, критичните точки не се вклучени во решението;
• точките во кои функцијата е дефинирана без конечен извод мора да бидат вклучени во интервалите на зголемување и намалување (на пример, y = x 3, каде што точката x = 0 ја прави функцијата дефинирана, изводот има вредност на бесконечност на ова точка, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 е вклучена во растечкиот интервал);
• За да се избегнат несогласувања, се препорачува да се користи математичка литература препорачана од Министерството за образование.

Вклучување на критичните точки во интервали на зголемување и намалување доколку тие го задоволуваат доменот на дефинирање на функцијата.

Дефиниција 2

За одредувајќи ги интервалите на зголемување и намалување на функцијата, потребно е да се најдат:

• дериват;
• критични точки;
• поделете го доменот на дефиниција во интервали користејќи критични точки;
• определи го знакот на изводот на секој од интервалите, каде што + е зголемување, а - е намалување.

Пример 3

Најдете го изводот на доменот на дефиниција f " (x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1" (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2.

Решение

За да го решите потребно е:

• најдете стационарни точки, овој пример има x = 0;
• најдете ги нулите на именителот, примерот ја зема вредноста нула при x = ± 1 2.

Поставуваме точки на бројната оска за да го одредиме изводот на секој интервал. За да го направите ова, доволно е да земете која било точка од интервалот и да ја извршите пресметката. Ако резултатот е позитивен, ние прикажуваме + на графиконот, што значи дека функцијата се зголемува и - значи дека се намалува.

На пример, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, што значи дека првиот интервал лево има знак +. Размислете за бројната права.

Одговор:

• функцијата се зголемува на интервалот - ∞; - 1 2 и (- 1 2 ; 0 ] ;
• има намалување на интервалот [0; 1 2) и 1 2 ; + ∞ .

На дијаграмот, користејќи + и -, се прикажани позитивноста и негативноста на функцијата, а стрелките укажуваат на намалување и зголемување.

Екстремните точки на функцијата се точки каде што е дефинирана функцијата и преку кои изводот го менува знакот.

Пример 4

Ако земеме пример каде x = 0, тогаш вредноста на функцијата во неа е еднаква на f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Кога знакот на изводот се менува од + во - и поминува низ точката x = 0, тогаш точката со координати (0; 0) се смета за максимална точка. Кога знакот се менува од - во +, добиваме минимална точка.

Конвексноста и конкавноста се одредуваат со решавање на неравенки од формата f "" (x) ≥ 0 и f "" (x) ≤ 0. Поретко се користи името конвексност надолу наместо конкавност и конвексност нагоре наместо конвексност.

Дефиниција 3

За одредување на интервалите на конкавност и конвексностнеопходно:

• најдете го вториот извод;
• најдете ги нулите на втората изводна функција;
• поделете ја областа за дефиниција во интервали со точките што се појавуваат;
• определи го знакот на интервалот.

Пример 5

Најдете го вториот извод од доменот на дефиниција.

Решение

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2" (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Ги наоѓаме нулите на броителот и именителот, каде во нашиот пример имаме дека нулите на именителот x = ± 1 2

Сега треба да ги нацртате точките на бројната права и да го одредите знакот на вториот извод од секој интервал. Го добиваме тоа

Одговор:

• функцијата е конвексна од интервалот - 1 2 ; 1 2 ;
• функцијата е конкавна од интервалите - ∞ ; - 1 2 и 1 2; + ∞ .

Дефиниција 4

Точка на флексија– ова е точка од формата x 0 ; f (x 0) . Кога има тангента на графикот на функцијата, тогаш кога поминува низ x 0 функцијата го менува знакот на спротивното.

Со други зборови, ова е точка низ која поминува вториот извод и го менува знакот, а во самите точки тој е еднаков на нула или не постои. Сите точки се сметаат за домен на функцијата.

Во примерот, беше јасно дека нема точки на флексија, бидејќи вториот извод го менува знакот додека минува низ точките x = ± 1 2. Тие, пак, не се вклучени во опсегот на дефиницијата.

Наоѓање хоризонтални и коси асимптоти

Кога дефинирате функција на бесконечност, треба да барате хоризонтални и коси асимптоти.

Дефиниција 5

Коси асимптотисе прикажани со помош на прави линии, дадена со равенката y = k x + b, каде k = lim x → ∞ f (x) x и b = lim x → ∞ f (x) - k x.

За k = 0 и b не еднакви на бесконечност, откриваме дека косата асимптота станува хоризонтална.

Со други зборови, асимптоти се сметаат за линии до кои графикот на функцијата се приближува во бесконечност. Ова го олеснува брзото градење на графикот на функции.

Ако нема асимптоти, но функцијата е дефинирана на двете бесконечности, потребно е да се пресмета границата на функцијата на овие бесконечности за да се разбере како ќе се однесува графикот на функцијата.

Пример 6

Да го разгледаме како пример тоа

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

е хоризонтална асимптота. Откако ќе ја испитате функцијата, можете да започнете да ја конструирате.

Пресметување на вредноста на функцијата во средни точки

За да се направи графикот попрецизен, се препорачува да се најдат неколку функционални вредности на средни точки.

Пример 7

Од примерот што го разгледавме, неопходно е да се најдат вредностите на функцијата во точките x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Бидејќи функцијата е рамна, добиваме дека вредностите се совпаѓаат со вредностите во овие точки, односно добиваме x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Ајде да напишеме и да решиме:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

За да се одредат максимумите и минимумите на функцијата, точките на флексија и средните точки, неопходно е да се конструираат асимптоти. За практично означување, се запишуваат интервали на зголемување, намалување, конвексност и конкавност. Ајде да ја погледнеме сликата подолу.

Потребно е да се исцртаат линии на графиконот низ означените точки, што ќе ви овозможи да им пристапите на асимптотите следејќи ги стрелките.

Ова го завршува целосното истражување на функцијата. Има случаи на конструирање на некои елементарни функции за кои се користат геометриски трансформации.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter