Вртењето на круто тело околу фиксна оска е такво движење во кое две точки на телото остануваат неподвижни за цело време на движење. Во овој случај, сите точки на телото лоцирани на права линија што минува низ неговите фиксни точки, исто така, остануваат неподвижни. Оваа линија се нарекува оска на ротација на телото .
Нека точките A и B се неподвижни. Ајде да ја насочиме оската долж оската на ротација. Преку оската на ротација цртаме неподвижна рамнина и подвижна, прикачена на ротирачко тело (на ).
Положбата на рамнината и самото тело се определува со диедралниот агол помеѓу рамнините и. Ајде да го означиме. Аголот се нарекува агол на ротација на телото .
Положбата на телото во однос на избраниот референтен систем е уникатно одредена во секое време ако е дадена равенката, каде што е која било двојно диференцијабилна функција на времето. Оваа равенка се нарекува равенка на ротација на круто тело околу фиксна оска .
Тело што ротира околу фиксна оска има еден степен на слобода, бидејќи неговата положба се одредува со наведување само еден параметар - агол.
Аголот се смета за позитивен ако е поставен спротивно од стрелките на часовникот, а негативен во спротивна насока. Траекториите на точките на телото за време на неговото ротирање околу фиксна оска се кругови лоцирани во рамнини нормални на оската на ротација.
Да се карактеризира ротационото движење солиднаоколу фиксна оска ги воведуваме концептите аголна брзинаи аголно забрзување.
Алгебарска аголна брзина на телото во секој момент во времето се нарекува прв извод во однос на времето на аголот на ротација во овој момент, т.е.
Аголната брзина е позитивна кога телото ротира спротивно од стрелките на часовникот, бидејќи аголот на ротација се зголемува со времето, а негативна кога телото се ротира во насока на стрелките на часовникот, бидејќи аголот на ротација се намалува.
Димензијата на аголната брзина по дефиниција:
Во инженерството, аголната брзина е ротационата брзина изразена во вртежи во минута. За една минута телото ќе ротира низ агол , каде n е бројот на вртежи во минута. Поделувајќи го овој агол со бројот на секунди во минута, добиваме
Алгебарско аголно забрзување на телото се нарекува прв извод во однос на времето на аголната брзина, односно вториот дериват на аголот на ротација, т.е.
Димензијата на аголното забрзување по дефиниција:
Да ги воведеме концептите на вектори на аголна брзина и аголно забрзување на телото.
И, каде е единечниот вектор на оската на ротација. Вектори и може да се прикажат во која било точка на оската на ротација тие се лизгачки вектори.
Алгебарската аголна брзина е проекција на векторот на аголната брзина на оската на ротација. Алгебарското аголно забрзување е проекција на векторот на аголното забрзување на брзината на оската на ротација.
Ако во , тогаш алгебарската аголна брзина се зголемува со времето и, според тоа, телото ротира забрзано во разгледуваниот момент во времето во позитивна страна. Насоките на векторите и се совпаѓаат, и двете се насочени во позитивна насока на оската на ротација.
Кога и телото брзо се ротира во негативна насока. Насоките на векторите и се совпаѓаат, и двете се насочени кон негативната страна на оската на ротација.
Движењето на круто тело се нарекува ротационо ако за време на движењето, сите точки на телото лоцирани на одредена права линија, наречена оска на ротација, остануваат неподвижни.(Сл. 2.15).
Позицијата на телото за време на ротационото движење обично се одредува агол на ротацијатело , кој се мери како диедрален агол помеѓу неподвижните и подвижните рамнини кои минуваат низ оската на ротација. Покрај тоа, подвижната рамнина е поврзана со ротирачко тело.
Да ги земеме предвид подвижните и фиксните координатни системи, чие потекло ќе биде поставено во произволна точка О на оската на ротација. Оската Оз, заедничка за подвижните и фиксните координатни системи, ќе биде насочена долж оската на ротација, оската Она фиксниот координатен систем, го насочуваме нормално на оската Оз така што лежи во фиксната рамнина, оската О 1Да го насочиме подвижниот координатен систем нормално на оската Оз така што тој лежи во подвижната рамнина (сл. 2.15).
Ако земеме дел од телото со рамнина нормална на оската на ротација, тогаш аголот на ротација φ може да се дефинира како агол помеѓу фиксната оска Ои подвижна оска О 1, непроменливо поврзано со ротирачко тело (сл. 2.16).
Прифатена е референтната насока за аголот на ротација на телото φ спротивно од стрелките на часовникот се смета за позитивно кога се гледа од позитивната насока на оската Оз.
Еднаквост φ = φ(t), опишувајќи ја промената на аголот φ во времето се нарекува закон или равенка на ротационо движење на круто тело.
Брзината и насоката на промена на аголот на ротација на круто тело се карактеризираат со аголна брзина.Апсолутната вредност на аголната брзина обично се означува со буквата Грчка азбука ω (омега). Алгебарската вредност на аголната брзина обично се означува со . Алгебарската вредност на аголната брзина е еднаква на првиот извод во однос на времето на аголот на ротација:
. (2.33)
Единиците за аголна брзина се еднакви на единиците за агол поделени со единицата за време, на пример, deg/min, rad/h. Во системот SI, мерната единица за аголна брзина е rad/s, но почесто името на оваа мерна единица се пишува како 1/s.
Ако > 0, тогаш телото ротира спротивно од стрелките на часовникот кога се гледа од крајот на координатната оска порамнета со оската на ротација.
Ако< 0, то тело вращается по ходу часовой стрелки, если смотреть с конца оси координат, совмещенной с осью вращения.
Брзината и насоката на промена на аголната брзина се карактеризираат со аголно забрзување. Апсолутната вредност на аголното забрзување обично се означува со буквата од грчката азбука e (епсилон). Алгебарската вредност на аголното забрзување обично се означува со . Алгебарската вредност на аголното забрзување е еднаква на првиот извод во однос на времето на алгебарската вредност на аголната брзина или вториот извод на аголот на ротација:
Единиците за аголно забрзување се еднакви на единиците за агол поделени со единицата за време на квадрат. На пример, deg/s 2, rad/h 2. Во системот SI, мерната единица за аголно забрзување е rad/s 2, но почесто името на оваа мерна единица се пишува како 1/s 2.
Ако алгебарските вредности на аголната брзина и аголното забрзување имаат ист знак, тогаш аголната брзина се зголемува во големината со текот на времето, а ако е различна, се намалува.
Ако аголната брзина е константна ( ω = const), тогаш вообичаено е да се каже дека ротацијата на телото е рамномерна. Во овој случај:
φ = t + φ 0, (2.35)
Каде φ 0 - почетен агол на ротација.
Ако аголното забрзување е константно (e = const), тогаш вообичаено е да се каже дека ротацијата на телото е подеднакво забрзана (еднакво бавна). Во овој случај:
Каде 0 - почетна аголна брзина.
Во други случаи, за да се утврди зависноста φ од И потребно е да се интегрираат изразите (2.33), (2.34) под дадени почетни услови.
На цртежите, насоката на ротација на телото понекогаш е прикажана со заоблена стрелка (сл. 2.17).
Често во механиката, аголната брзина и аголното забрзување се сметаат како векторски величини
И .
И двата вектори се насочени долж оската на ротација на телото. Покрај тоа, векторот
насочена во една насока со единечниот вектор, кој ја одредува насоката на координатната оска што се совпаѓа со оската на ротација, ако >0,
и обратно ако
На ист начин се избира насоката на векторот (сл. 2.18).
За време на ротационото движење на телото, секоја негова точка (освен точките лоцирани на оската на ротација) се движи по траекторија, која е круг со радиус еднаков на најкраткото растојание од точката до оската на ротација (Сл. 2.19).
Бидејќи тангентата на кругот во која било точка прави агол од 90° со радиусот, векторот на брзина на точка на тело што врши ротационо движење ќе биде насочен нормално на радиусот и ќе лежи во рамнината на кругот, што е траекторија на движење на точката. Тангенталната компонента на забрзувањето ќе лежи на иста линија како брзината, а нормалната компонента ќе биде насочена радијално кон центарот на кругот. Затоа, понекогаш соодветно се нарекуваат тангентните и нормалните компоненти на забрзувањето за време на ротационото движење ротациона и центрипетална (аксијална)компоненти (сл. 2.19)
Алгебарската вредност на брзината на точката се определува со изразот:
, (2.37)
каде R = OM е најкраткото растојание од точката до оската на ротација.
Алгебарската вредност на тангенцијалната компонента на забрзувањето се одредува со изразот:
. (2.38)
Модулот на нормалната компонента на забрзување се одредува со изразот:
. (2.39)
Векторот на забрзување на точка за време на ротационото движење се определува со правилото на паралелограм како геометриски збир на тангентите и нормалните компоненти. Според тоа, модулот на забрзување може да се одреди со помош на Питагоровата теорема:
Ако аголната брзина и аголното забрзување се дефинираат како векторски величини , , тогаш векторите на брзината, тангенцијалните и нормалните компоненти на забрзувањето може да се одредат со формулите:
каде е нацртан векторот на радиусот до точката М од произволна точка на оската на ротација (сл. 2.20).
Решавањето на проблемите кои вклучуваат ротационо движење на едно тело обично не предизвикува никакви тешкотии. Користејќи ги формулите (2.33)-(2.40), можете лесно да одредите кој било непознат параметар.
Одредени тешкотии се јавуваат при решавање на проблеми поврзани со проучувањето на механизмите што се состојат од неколку меѓусебно поврзани тела кои вршат и ротациони и движење напред.
Општиот пристап за решавање на ваквите проблеми е дека движењето од едно тело до друго се пренесува преку една точка - точката на допир. Згора на тоа, контактните тела имаат еднакви брзини и компоненти на тангенцијално забрзување на точката на допир. Нормалните компоненти на забрзувањето за телата кои се во допир на точката на допир се различни, тие зависат од траекторијата на точките на телата.
При решавање на проблеми од овој тип, погодно е, во зависност од специфичните околности, да се користат и формулите дадени во дел 2.3 и формулите за одредување на брзината и забрзувањето на точката кога се одредува нејзиното движење како природно (2.7), (2.14). ) (2.16) или координатни (2.3), (2.4), (2.10), (2.11) методи. Освен тоа, ако движењето на телото на кое му припаѓа точката е ротационо, траекторијата на точката ќе биде круг. Ако движењето на телото е праволиниско преводно, тогаш траекторијата на точката ќе биде права линија.
Пример 2.4.Телото ротира околу фиксна оска. Аголот на ротација на телото се менува според законот φ = π t 3мило. За точка лоцирана на растојание OM = R = 0,5 m од оската на ротација, определете ја брзината, тангентата, нормалните компоненти на забрзувањето и забрзувањето во моментот на времето. т 1= 0,5 с. Покажете ја насоката на овие вектори на цртежот.
Да разгледаме дел од тело со рамнина што минува низ точката О нормална на оската на ротација (сл. 2.21). На оваа слика, точката О е пресечната точка на оската на ротација и рамнината на сечење, точка М оИ М 1- соодветно почетен и моменталната состојбаточките M. Преку точките O и М онацртајте фиксна оска О, и преку точките О и М 1 -подвижна оска О 1.Аголот помеѓу овие оски ќе биде еднаков на
Го наоѓаме законот за промена на аголната брзина на телото со диференцирање на законот за промена на аголот на ротација:
Во моментот т 1аголната брзина ќе биде еднаква
Го наоѓаме законот за промена во аголното забрзување на телото со диференцирање на законот за промена на аголната брзина:
Во моментот т 1аголното забрзување ќе биде еднакво на:
1/s 2,
Ги наоѓаме алгебарските вредности на векторите на брзината, тангенцијалната компонента на забрзувањето, модулот на нормалната компонента на забрзувањето и модулот на забрзување користејќи формули (2.37), (2.38), (2.39), (2.40):
М/с 2 ;
m/s 2 .
Од аголот φ 1>0, тогаш ќе го поместиме од оската Ox спротивно од стрелките на часовникот. И бидејќи > 0, потоа вектори ќе бидат насочени нормално на радиусот ОМ 1така што ги гледаме како ротираат спротивно од стрелките на часовникот. Вектор ќе бидат насочени по радиусот ОМ 1до оската на ротација. Вектор Да градиме според правилото за паралелограм на вектори τ И .
Пример 2.5.Од страна на дадена равенкаправолиниско преведувачко движење на товарот 1 x = 0,6т 2 - 0,18 (m) ја одредува брзината, како и тангенцијалната, нормална компонента на забрзувањето и забрзувањето на точката М на механизмот во моментот на времето т 1, кога патеката што ја минува оптоварувањето 1 е s = 0,2 m При решавањето на проблемот, ќе претпоставиме дека нема лизгање на точката на допир на телата 2 и 3. R 2= 1,0 m, r 2 = 0,6 m, R 3 = 0,5 m (сл. 2,22).
Законот за праволиниско преводно движење на товарот 1 е даден во координатна форма. Да го одредиме моментот во времето т 1, за кој патеката што ја минува товарот 1 ќе биде еднаква на s
s = x(t l)-x(0),
од каде добиваме:
0,2 = 0,18 + 0,6т 1 2 - 0,18.
Оттука,
Откако ја диференциравме равенката на движење во однос на времето, ги наоѓаме проекциите на брзината и забрзувањето на оптоварувањето 1 на оската Ox:
m/s 2 ;
Во моментот t = t 1 проекцијата на брзината на оптоварувањето 1 ќе биде еднаква на:
односно ќе биде поголемо од нула, како што е проекцијата на забрзувањето на оптоварувањето 1. Затоа, оптоварувањето 1 ќе биде во моментот t 1 движете се надолу подеднакво забрзано, соодветно, телото 2 ќе се ротира подеднакво забрзано во насока спротивно од стрелките на часовникот, а телото 3 во насока на стрелките на часовникот.
Телото 2 е доведено во ротација од телото 1 преку конец намотан на барабанот. Според тоа, модулите на брзините на точките на телото 1, конецот и површината на барабанот на телото 2 се еднакви, а модулите на забрзување на точките на телото 1, навојот и тангенталната компонента на забрзувањето од точките на површината на барабанот на телото 2, исто така, ќе бидат еднакви. Следствено, модулот на аголната брзина на телото 2 може да се дефинира како
Модулот на аголното забрзување на телото 2 ќе биде еднаков на:
1/s 2 .
Дозволете ни да ги одредиме модулите за брзина и тангенцијалната компонента на забрзување за точката К на телото 2 - точката на допир на телата 2 и 3:
m/s, m/s 2
Бидејќи телата 2 и 3 ротираат без меѓусебно лизгање, величините на брзината и тангенцијалната компонента на забрзувањето на точката К - допирната точка за овие тела ќе бидат еднакви.
да го насочиме нормално на радиусот во насока на ротација на телото, бидејќи телото 3 ротира рамномерно забрзаноИ Савељева.
За време на движењето на телото напред (§ 60 во учебникот на Е. М. Никитин), сите негови точки се движат по идентични траектории и во секој даден момент имаат еднакви брзинии еднакви забрзувања.
Затоа, преводното движење на телото се одредува со движењето на која било точка, обично движењето на центарот на гравитација.
Кога го разгледуваме движењето на автомобил (проблем 147) или дизел локомотива (проблем 141) во кој било проблем, ние всушност го земаме предвид движењето на нивните центри на гравитација.
Ротационото движење на телото (Е.М. Никитин, § 61) не може да се идентификува со движењето на која било од неговите точки. Оската на кое било ротирачко тело (дизел замаец, ротор на електромотор, вретено на машината, сечила на вентилаторот итн.) за време на движењето зафаќа простор во однос на околината неподвижни телаистото место.
Движење на материјална точка или движење напредтелата се карактеризираат во зависност од времето линеарни величини s (пат, растојание), v (брзина) и a (забрзување) со неговите компоненти a t и a n.
Ротационо движењетела во зависност од времето t карактеризираат аголни вредности: φ (агол на ротација во радијани), ω (аголна брзина во рад/сек) и ε (аголно забрзување во рад/сек 2).
Законот за ротационо движење на телото се изразува со равенката
φ = f(t).
Аголна брзина- величината што ја карактеризира брзината на ротација на телото е дефинирана во општ случај како дериват на аголот на ротација во однос на времето
ω = dφ/dt = f" (t).
Аголно забрзување- количината што ја карактеризира брзината на промена на аголната брзина е дефинирана како дериват на аголната брзина
ε = dω/dt = f"" (t).
Кога започнуваме да решаваме проблеми за ротационото движење на телото, неопходно е да се има предвид дека во техничките пресметки и проблеми, по правило, аголното поместување се изразува не во радијани φ, туку во вртежи φ околу.
Затоа, неопходно е да може да се движи од бројот на вртежи до радијанското мерење на аголното поместување и обратно.
Од еден целосен пресвртодговара на 2π rad, тогаш
φ = 2πφ околу и φ околу = φ/(2π).
Аголната брзина во техничките пресметки многу често се мери во вртежи произведени во минута (вртежи во минута), па затоа е неопходно јасно да се разбере дека ω rad/sec и n rpm го изразуваат истиот концепт - брзината на ротација на телото (аголна брзина) , но во различни единици - во рад/сек или во вртежи во минута.
Преминот од една единица за аголна брзина во друга се врши според формулите
ω = πn/30 и n = 30ω/π.
За време на ротационото движење на телото, сите негови точки се движат во кругови, чии центри се наоѓаат на една фиксна права линија (оската на ротирачкото тело). При решавањето на задачите дадени во ова поглавје, многу е важно јасно да се разбере односот помеѓу аголните величини φ, ω и ε, кои го карактеризираат ротационото движење на телото, и линеарните величини s, v, a t и an, кои ги карактеризираат движењето на различни точки на ова тело (сл. 205).
Ако R е растојанието од геометриската оска на ротирачкото тело до која било точка A (на сл. 205 R=OA), тогаш односот помеѓу φ - аголот на ротација на телото и s - растојанието поминато од точка од телото во исто време се изразува на следниов начин:
s = φR.
Односот помеѓу аголната брзина на телото и брзината на точка во секој даден момент се изразува со еднаквоста
v = ωR.
Тангенцијалното забрзување на точка зависи од аголното забрзување и се одредува со формулата
a t = εR.
Нормалното забрзување на точка зависи од аголната брзина на телото и се одредува според односот
a n = ω 2 R.
При решавање на проблемот даден во ова поглавје, потребно е јасно да се разбере дека ротацијата е движење на круто тело, а не на точка. Една материјална точка не ротира, туку се движи во круг - прави криволинеарно движење.
§ 33. Еднообразно ротационо движење
Ако аголната брзина е ω=const, тогаш ротационото движење се нарекува еднообразно.
Равенката за еднообразна ротација ја има формата
φ = φ 0 + ωt.
Во конкретниот случај кога почетниот агол на ротација φ 0 =0,
φ = ωt.
Аголна брзина на рамномерно ротирачко тело
ω = φ/t
може да се изрази вака:
ω = 2π/T,
каде што Т е периодот на ротација на телото; φ=2π - агол на ротација за еден период.
§ 34. Еднообразно ротационо движење
Ротационото движење со променлива аголна брзина се нарекува нерамномерно (види подолу § 35). Ако аголното забрзување ε=const, тогаш се повикува ротационото движење подеднакво променлива. Така, рамномерна ротација на телото е посебен случајнерамномерно ротационо движење.
Равенка на рамномерна ротација
(1) φ = φ 0 + ω 0 t + εt 2 /2
и равенката што ја изразува аголната брзина на телото во секое време,
(2) ω = ω 0 + εt
претставуваат збир на основни формули за ротационо еднообразно движење на телото.
Овие формули вклучуваат само шест величини: три константи за даден проблем φ 0, ω 0 и ε и три променливи φ, ω и t. Следствено, состојбата на секој проблем за рамномерна ротација мора да содржи најмалку четири специфицирани количини.
За погодност за решавање на некои проблеми, може да се добијат уште две помошни формули од равенките (1) и (2).
Да го исклучиме аголното забрзување ε од (1) и (2):
(3) φ = φ 0 + (ω + ω 0)t/2.
Да го исклучиме времето t од (1) и (2):
(4) φ = φ 0 + (ω 2 - ω 0 2)/(2ε).
Во конкретниот случај на рамномерно забрзана ротација почнувајќи од состојба на мирување, φ 0 =0 и ω 0 =0. Затоа, горенаведените основни и помошни формули ја имаат следната форма:
(5) φ = εt 2 /2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω 2 /(2ε).
§ 35. Нерамномерно ротационо движење
Да разгледаме пример за решавање на проблем во кој е одредено нерамномерно ротационо движење на тело.
Ротационатие го нарекуваат такво движење во кое две точки поврзани со телото, според тоа, правата линија што минува низ овие точки, остануваат неподвижни за време на движењето (сл. 2.16). Фиксна права линија А Бповикани оска на ротација.
Ориз. 2,1 V. Кон дефиницијата на ротационото движење на телото
Положбата на телото за време на ротационото движење го одредува аголот на ротација φ, rad (види Сл. 2.16). При движење, аголот на ротација се менува со текот на времето, т.е. законот за ротационо движење на телото е дефиниран како закон за промена на времето на вредноста на диедралниот агол Ф = Ф(/) помеѓу фиксна полурамнина ДО () ,минува низ оската на ротација, и подвижен n 1полурамнина поврзана со телото и исто така минува низ оската на ротација.
Траекториите на сите точки на телото за време на ротационото движење се концентрични кругови лоцирани во паралелни рамнинисо центри на оската на ротација.
Кинематички карактеристики на ротационото движење на телото. На ист начин како што се воведени кинематички карактеристики за точка, се воведува кинематички концепт кој ја карактеризира брзината на промена на функцијата φ(c), која ја одредува положбата на телото при ротационо движење, т.е. аголна брзина ко = f = s/f/s//, димензија на аголна брзина [co] = рад /Со.
Во техничките пресметки, често се користи изразот на аголна брзина со различна димензија - во однос на бројот на вртежи во минута: [i] = вртежи во минута и односот помеѓу nа co може да се претстави како: co = 27w/60 = 7w/30.
Општо земено, аголната брзина варира со времето. Мерката на брзината на промена на аголната брзина е аголно забрзување e = c/co/c//= co = f, димензијата на аголното забрзување [e] = rad/s 2 .
Воведените аголни кинематички карактеристики се целосно определени со специфицирање на една функција - аголот на ротација наспроти времето.
Кинематички карактеристики на точките на телото при ротационо движење. Размислете за поентата Мтело кое се наоѓа на растојание p од оската на ротација. Оваа точка се движи по круг со радиус p (сл. 2.17).
Ориз. 2.17.
точки на телото за време на неговата ротација
Должина на лакот М П Мкруг со радиус p е дефиниран како с= ptp, каде f е аголот на ротација, rad. Ако законот за движење на телото е даден како φ = φ(g), тогаш законот за движење на точка Мпо должината на траекторијата се одредува со формулата С= рф(7).
Користејќи ги изразите на кинематичките карактеристики со природниот метод за одредување на движењето на точката, добиваме кинематички карактеристики за точки на ротирачко тело: брзина според формулата (2.6)
В= 5 = rf = rso; (2.22)
тангенцијално забрзување според изразот (2.12)
i t = K = sor = er; (2.23)
нормално забрзување според формулата (2.13)
a„ =И 2 /р = с 2 р 2 /р = ogr; (2.24)
вкупно забрзување со користење на израз (2.15)
А = -] А + a] = px/e 2 + co 4. (2.25)
Карактеристиката на насоката на вкупното забрзување се зема како p - аголот на отстапување на векторот на вкупното забрзување од радиусот на кругот опишан со точката (сл. 2.18).
Од Сл. 2.18 добиваме
tgjLi = aja n=re/pco 2 =g/(o 2. (2.26)
Ориз. 2.18.
Забележете дека сите кинематички карактеристики на точките на ротирачкото тело се пропорционални на растојанијата до оската на ротација. Ве-
Нивните идентитети се одредуваат преку дериватите на истата функција - аголот на ротација.
Векторски изрази за аголни и линеарни кинематички карактеристики. За аналитички опис на аголните кинематички карактеристики на ротирачкото тело, заедно со оската на ротација, концептот вектор на агол на ротација(Сл. 2.19): φ = φ(/)A:, каде На- јадете
вектор на оската на ротација
1; На=sop51 .
Векторот f е насочен по оваа оска така што може да се види од „крајот“
ротација се случува спротивно од стрелките на часовникот.
Ориз. 2.19.
карактеристики во векторска форма
Ако векторот φ(/) е познат, тогаш сите други аголни карактеристики на ротационото движење може да се претстават во векторска форма:
- вектор на аголна брзина co = f = f На.Насоката на векторот на аголната брзина го одредува знакот на дериватот на аголот на ротација;
- вектор на аголно забрзување є = сo = Ф На.Насоката на овој вектор го одредува знакот на дериватот на аголната брзина.
Воведените вектори с и є ни овозможуваат да добиеме векторски изрази за кинематичките карактеристики на точките (види Сл. 2.19).
Забележете дека модулот на векторот на брзината на точката се совпаѓа со модулот векторски производвектор на аголна брзина и вектор на радиус: |sokh Г= sogvіpa = ѓубре. Земајќи ги предвид насоките на векторите с и r и правилото за насоката на векторскиот производ, можеме да напишеме израз за векторот на брзина:
В= ко xg.
Слично на тоа, лесно е да се покаже тоа
- ? X
- - egBіpa= єр = а тИ
Сосор = ко p = и.
(Покрај тоа, векторите на овие кинематички карактеристики се совпаѓаат во насока со соодветните векторски производи.
Според тоа, тангентите вектори и нормално забрзувањеможе да се претстави како векторски производи:
- (2.28)
- (2.29)
a x = g X Г
А= ко х В.
Оваа статија опишува важен дел од физиката - „Кинематика и динамика на ротационото движење“.
Основни концепти на кинематика на ротационо движење
Ротациско движење на материјална точка околу фиксна оска е такво движење, чија траекторија е круг лоциран во рамнина нормална на оската, а неговиот центар лежи на оската на ротација.
Ротационо движење на круто тело е движење во кое сите точки на телото се движат по концентрични (чии центри лежат на иста оска) кругови во согласност со правилото за ротационо движење на материјална точка.
Нека произволно круто тело Т ротира околу оската O, која е нормална на рамнината на цртежот. Дозволете ни да ја избереме точката M на ова тело Кога ќе се ротира, оваа точка ќе опише круг со радиус околу оската O р.
По некое време, радиусот ќе се ротира во однос на неговата првобитна положба за агол Δφ.
Насоката на десната завртка (во насока на стрелките на часовникот) се зема како позитивна насока на ротација. Промената на аголот на ротација со текот на времето се нарекува равенка на ротационо движење на круто тело:
φ = φ(t).
Ако φ се мери во радијани (1 rad е аголот што одговара на лак со должина еднаков на неговиот радиус), тогаш должината на кружниот лак ΔS, кој материјалната точка M ќе го помине во време Δt, е еднаква на:
ΔS = Δφr.
Основни елементи на кинематиката на еднообразно ротационо движење
Мерка за движење на материјална точка во краток временски период dtслужи како елементарен вектор на ротација dφ.
Аголната брзина на материјална точка или тело е физичката количина, што се одредува со односот на векторот на елементарната ротација со времетраењето на оваа ротација. Насоката на векторот може да се определи со правилото на десната завртка долж оската О во скаларна форма:
ω = dφ/dt.
Ако ω = dφ/dt = const,тогаш таквото движење се нарекува еднообразно ротационо движење. Со него, аголната брзина се одредува со формулата
ω = φ/t.
Според прелиминарната формула, димензијата на аголната брзина
[ω] = 1 рад/с.
Рамномерното ротационо движење на телото може да се опише со периодот на ротација. Периодот на ротација Т е физичка величина која го одредува времето во кое телото прави една целосна вртење околу оската на ротација ([T] = 1 s). Ако во формулата за аголна брзина земеме t = T, φ = 2 π (една целосна револуција со радиус r), тогаш
ω = 2π/T,
Затоа, го дефинираме периодот на ротација на следниов начин:
Т = 2π/ω.
Бројот на вртежи што телото ги прави по единица време се нарекува фреквенција на ротација ν, што е еднакво на:
ν = 1/Т.
Фреквентни единици: [ν]= 1/s = 1 s -1 = 1 Hz.
Споредувајќи ги формулите за аголна брзина и фреквенција на ротација, добиваме израз што ги поврзува овие величини:
ω = 2πν.
Основни елементи на кинематиката на нерамномерно ротационо движење
Нерамномерното ротационо движење на круто тело или материјална точка околу фиксна оска се карактеризира со неговата аголна брзина, која се менува со текот на времето.
Вектор ε , карактеризирајќи ја брзината на промена на аголната брзина, се нарекува вектор на аголно забрзување:
ε = dω/dt.
Ако телото ротира, забрзувајќи, т.е dω/dt > 0, векторот има насока по оската во иста насока како ω.
Ако ротационото движење е бавно - dω/dt< 0 , тогаш векторите ε и ω се обратно насочени.
Коментар. Кога се случува нерамномерно ротационо движење, векторот ω може да се промени не само во големината, туку и во насоката (кога оската на ротација се ротира).
Врска помеѓу величините што го карактеризираат преводното и ротационото движење
Познато е дека должината на лакот со аголот на ротација на радиусот и неговата вредност се поврзани со односот
ΔS = Δφ r.
Потоа линеарната брзина на материјална точка која врши ротационо движење
υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.
Нормалното забрзување на материјална точка што врши ротационо преводно движење се определува на следниов начин:
a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.
Значи, во скаларна форма
a = ω 2 r.
Тангенцијална забрзана материјална точка која врши ротационо движење
a = ε r.
Моментум на материјална точка
Векторскиот производ на векторот на радиусот на траекторијата на материјална точка со маса m i и нејзиниот моментум се нарекува аголен моментум на оваа точка околу оската на ротација. Насоката на векторот може да се одреди со користење на правото правило за завртка.
Моментум на материјална точка ( Л и) е насочена нормално на рамнината извлечена низ r i и υ i, и со нив формира десна тројка вектори (т.е. кога се движи од крајот на векторот r iНа υ јас десната завртка ќе ја покаже насоката на векторот Лз).
Во скаларна форма
L = m i υ i r i sin(υ i, r i).
Имајќи предвид дека при движење во круг, векторот на радиусот и векторот на линеарна брзина за i-ти материјалмеѓусебно нормални точки,
sin(υ i, r i) = 1.
Значи, аголниот моментум на материјална точка за ротационо движење ќе добие форма
L = m i υ i r i .
Моментот на сила што делува на i-тата материјална точка
Векторскиот производ на векторот на радиус, кој е повлечен до точката на примена на силата, а оваа сила се нарекува момент на силата што делува на i-ти материјалточка во однос на оската на ротација.
Во скаларна форма
M i = r i F i sin(r i, F i).
Со оглед на тоа r i sinα = l i,M i = l i F i.
Магнитуда л i, еднаква на должината на нормалната спуштена од точката на ротација до насоката на дејството на силата, се нарекува рака на силата F i.
Динамика на ротационо движење
Равенката за динамиката на ротационото движење е напишана на следниов начин:
M = dL/dt.
Формулацијата на законот е како што следува: брзината на промена на аголниот момент на тело што ротира околу фиксна оска е еднаква на добиениот момент во однос на оваа оска на сите надворешни сили, прикачен на телото.
Момент на импулс и момент на инерција
Познато е дека за i-та материјална точка аголниот моментум во скаларна форма е даден со формулата
L i = m i υ i r i .
Ако наместо линеарна брзина го замениме нејзиниот израз преку аголна брзина:
υ i = ω или i,
тогаш изразот за аголниот моментум ќе добие форма
L i = m i r i 2 ω.
Магнитуда I i = m i r i 2наречен моментот на инерција околу оската iматеријална точка на апсолутно цврсто тело што минува низ неговиот центар на маса. Потоа го запишуваме аголниот момент на материјалната точка:
L i = I i ω.
Аголниот импулс на апсолутно круто тело го запишуваме како збир на аголниот момент материјални точкисоставување на ова тело:
L = Iω.
Момент на сила и момент на инерција
Законот за ротационо движење вели:
M = dL/dt.
Познато е дека аголниот моментум на телото може да се претстави преку моментот на инерција:
L = Iω.
M = Idω/dt.
Имајќи предвид дека аголното забрзување се определува со изразот
ε = dω/dt,
добиваме формула за моментот на сила, претставен преку моментот на инерција:
M = Iε.
Коментар.Моментот на сила се смета за позитивен ако аголното забрзување што го предизвикува е поголемо од нула, и обратно.
Штајнерова теорема. Закон за собирање моменти на инерција
Ако оската на ротација на телото не минува низ неговиот центар на маса, тогаш во однос на оваа оска може да се најде неговиот момент на инерција користејќи ја теоремата на Штајнер:
I = I 0 + ма 2,
Каде јас 0- почетен момент на инерција на телото; м- телесна тежина; а- растојание помеѓу оските.
Ако системот кој ротира околу фиксна оска се состои од nтела, тогаш вкупниот момент на инерција на овој тип на систем ќе биде еднаков на збирот на моментите на неговите компоненти (законот за собирање моменти на инерција).
