Што е дефиниција на паралелограм. Теореми за паралелограм

Паралелограм е четириаголник чии спротивни страни се паралелни во парови.

Оваа дефиниција е веќе доволна, бидејќи од неа произлегуваат преостанатите својства на паралелограмот и се докажуваат во форма на теореми.

Главните својства на паралелограмот се:
паралелограм е конвексен четириаголник;
Паралелограмот има спротивни страни кои се еднакви во парови;
Во паралелограм, спротивните агли се еднакви во парови;

Дијагоналите на паралелограмот се делат на половина со точката на пресек.

Паралелограм - конвексен четириаголник Прво да ја докажеме теоремата декапаралелограм е конвексен четириаголник

. Многуаголникот е конвексен ако од која страна и да се прошири на права линија, сите други страни на многуаголникот ќе бидат на истата страна од оваа права линија.

Нека е даден паралелограм ABCD, во кој AB е спротивна страна за CD, а BC е спротивна страна за AD. Тогаш од дефиницијата на паралелограм произлегува дека AB || ЦД, п.н.е. || А.Д. Нема паралелни линиизаеднички точки

, тие не се вкрстуваат. Ова значи дека ЦД лежи на едната страна од AB. Бидејќи отсечката BC ја поврзува точката B од отсечката AB со точката C од отсечката CD, а отсечката AD ги поврзува другите точки AB и CD, отсечките BC и AD исто така лежат на истата страна од правата AB каде што лежи CD. Така, сите три страни - CD, BC, AD - лежат на истата страна на AB.

Слично, се докажува дека во однос на другите страни на паралелограмот, другите три страни лежат на истата страна.

Спротивните страни и агли се еднакви Едно од својствата на паралелограмот е тоаВо паралелограм, спротивните страни и спротивните агли се еднакви во парови

. На пример, ако е даден паралелограм ABCD, тогаш тој има AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Оваа теорема се докажува на следниов начин.

Паралелограм е четириаголник. Ова значи дека има две дијагонали. Бидејќи паралелограмот е конвексен четириаголник, кој било од нив го дели на два триаголници. Во паралелограмот ABCD, разгледајте ги триаголниците ABC и ADC добиени со цртање на дијагоналата AC.

Во овие триаголници, страната AB одговара на страната CD, а страната BC одговара на AD. Затоа, AB = CD и BC = AD.

Аголот B одговара на аголот D, т.е. ∠B = ∠D. Аголот А на паралелограмот е збир на два агли - ∠BAC и ∠CAD. Аголот C е еднаков на ∠BCA и ∠ACD. Бидејќи паровите агли се еднакви еден на друг, тогаш ∠A = ∠C.

Така, докажано е дека во паралелограм спротивните страни и аглите се еднакви.

Дијагоналите се поделени на половина

Бидејќи паралелограмот е конвексен четириаголник, тој има две дијагонали и тие се сечат. Нека е даден паралелограм ABCD, неговите дијагонали AC и BD се сечат во точката E. Размислете за триаголниците ABE и CDE формирани од нив.

Овие триаголници имаат страни AB и CD еднакви на спротивните страни на паралелограмот. Аголот ABE е еднаков на аголот CDE како вкрстено лежи со паралелни прави AB и CD. Од истата причина, ∠BAE = ∠DCE. Тоа значи ∆ABE = ∆CDE под два агли и страната меѓу нив.

Можете исто така да забележите дека аглите AEB и CED се вертикални и затоа исто така се еднакви еден на друг.

Бидејќи триаголниците ABE и CDE се еднакви еден на друг, тогаш сите нивни соодветни елементи се еднакви. Страната AE на првиот триаголник одговара на страната CE од вториот, што значи AE = CE. Слично БЕ = ДЕ. Секој пар на еднакви отсечки сочинува дијагонала на паралелограм. Така се докажува дека Дијагоналите на паралелограмот се преполовуваат со нивната пресечна точка.

Паралелограм е четириаголник чии спротивни страни се паралелни во парови. Плоштината на паралелограм е еднаква на производот на неговата основа (а) и висината (h). Неговата површина можете да ја најдете и преку две страни и агол и преку дијагонали.

Својства на паралелограм

1. Спротивните страни се идентични

Прво, да ја нацртаме дијагоналата $AC$ . Добиваме два триаголници: $ABC$ и $ADC$.

Бидејќи $ABCD$ е паралелограм, следново е точно:

$АД || п.н.е. \Десна стрелка \агол 1 = \агол 2$како да лежи вкрстено.

$AB || ЦД \Десна стрелка \агол3 = \агол 4$како да лежи вкрстено.

Затоа, (според вториот критериум: и $AC$ е вообичаено).

И тоа значи $\триаголник ABC = \триаголник ADC$, потоа $AB = CD$ и $AD = BC$ .

2. Спротивните агли се идентични

Според доказот својства 1го знаеме тоа $\агол 1 = \агол 2, \агол 3 = \агол 4$. Така, збирот на спротивните агли е: $\агол 1 + \агол 3 = \агол 2 + \агол 4$. Со оглед на тоа $\триаголник ABC = \триаголник ADC$добиваме $\агол A = \агол C $ , $\агол B = \агол D $ .

3. Дијагоналите се делат на половина со пресечната точка

Од страна на имот 1знаеме дека спротивните страни се идентични: $AB = CD$ . Уште еднаш, забележете ги вкрстените еднакви агли.

Така е јасно дека $\триаголник AOB = \триаголник COD$според вториот знак за еднаквост на триаголниците (два агли и страната меѓу нив). Тоа е, $BO = OD$ (спроти аглите $\агол 2$ и $\агол 1$ ) и $AO = OC$ (спроти аглите $\агол 3$ и $ \агол 4$ соодветно).

Знаци на паралелограм

Ако во вашиот проблем е присутна само една карактеристика, тогаш фигурата е паралелограм и можете да ги користите сите својства на оваа фигура.

За подобро меморирање, забележете дека знакот паралелограм ќе одговори на следново прашање - "Како да дознаете?". Односно, како да дознаеме дека дадената фигура е паралелограм.

1. Паралелограм е четириаголник чии две страни се еднакви и паралелни

$AB = CD$ ; $AB || ЦД \Десна стрелка ABCD$- паралелограм.

Ајде да погледнеме подетално. Зошто $АД || п.н.е. $ ?

$\триаголник ABC = \триаголник ADC$Од страна на имот 1: $AB = CD $ , $\агол 1 = \агол 2 $ лежи попречно кога $AB $ и $CD $ и секантата $AC $ се паралелни.

Но, ако $\триаголник ABC = \триаголник ADC$, потоа $\агол 3 = \агол 4 $ (лежи спроти $АД || п.н.е. $ ($\агол 3 $ и $\агол 4 $ - оние што лежат попречно се исто така еднакви).

Првиот знак е точен.

2. Паралелограм е четириаголник чии спротивни страни се еднакви

$AB = CD $ , $AD = BC \Десна стрелка ABCD $ е паралелограм.

Ајде да го разгледаме овој знак. Ајде повторно да ја нацртаме дијагоналата $AC$.

Од страна на имот 1$\триаголник ABC = \триаголник ACD$.

Од ова произлегува дека: $\агол 1 = \агол 2 \Десна стрелка AD || п.н.е. $И $\агол 3 = \агол 4 \Десна стрелка AB || ЦД$, односно $ABCD$ е паралелограм.

Вториот знак е точен.

3. Паралелограм е четириаголник чии спротивни агли се еднакви

$\агол A = \агол C$ , $\агол B = \агол D \Десна стрелка ABCD$- паралелограм.

$2 \алфа + 2 \бета = 360^(\circ) $(бидејќи $\агол A = \агол C$ , $\агол B = \агол D$ по услов).

Излегува,. Но, $\алфа $ и $\beta $ се внатрешни еднострани во секантата $AB $ .

И што $\алфа + \бета = 180^(\circ) $исто така вели дека $АД || п.н.е. $ .

1. Дефиниција на паралелограм.

Ако пресечеме пар паралелни прави со друг пар паралелни прави, добиваме четириаголник чии спротивни страни се паралелни во парови.

Кај четириаголниците ABDC и EFNM (сл. 224) ВD || AC и AB || ЦД;

EF || MN и EM || FN.

Четириаголник чии спротивни страни се паралелни во парови се нарекува паралелограм.

2. Својства на паралелограм.

Теорема. Дијагоналата на паралелограм го дели на два еднакви триаголници.

Нека има паралелограм ABDC (сл. 225), во кој AB || CD и AC || ВД.

Треба да докажете дека дијагоналата ја дели на два еднакви триаголници.

Да ја нацртаме дијагоналата CB во паралелограмот ABDC. Дозволете ни да докажеме дека $\Delta$CAB = $\Delta$СДВ.

НЕ страната е заедничка за овие триаголници; ∠ABC = ∠BCD, како внатрешни попречни агли со паралелни AB и CD и секантна CB; ∠ACB = ∠СВD, исто така како внатрешни попречни агли со паралелни AC и BD и секантна CB.

Оттука $\Delta$CAB = $\Delta$СДВ.

На ист начин, може да се докаже дека дијагоналата AD ќе го подели паралелограмот на два еднакви триаголници ACD и ABD.

Последици:

1 . Спротивните агли на паралелограм се еднакви еден на друг.

∠A = ∠D, ова произлегува од еднаквоста на триаголниците CAB и CDB.

Исто така, ∠C = ∠B.

2. Спротивните страни на паралелограмот се еднакви една на друга.

AB = CD и AC = BD, бидејќи тоа се страни на еднакви триаголници и лежат спроти еднакви агли.

Теорема 2. Дијагоналите на паралелограмот се делат на половина на местото на нивното вкрстување.

Нека BC и AD се дијагоналите на паралелограмот ABC (сл. 226). Да докажеме дека AO = OD и CO = OB.

За да го направите ова, споредете пар спротивно лоцирани триаголници, на пример $\Delta$AOB и $\Delta$СOD.

Во овие триаголници AB = CD, како спротивни страни на паралелограм;

∠1 = ∠2, како внатрешни агли кои лежат попречно со паралелни AB и CD и секанта AD;

∠3 = ∠4 од истата причина, бидејќи AB || ЦД и СВ се нивни секанти.

Следи дека $\Delta$AOB = $\Delta$СOD. И во еднакви триаголницилежат спротивни еднакви агли еднакви страни. Затоа, AO = OD и CO = OB.

Теорема 3. Збирот на аглите во непосредна близина на едната страна на паралелограмот е еднаков на 180°.

Во паралелограмот ABCD ја цртаме дијагоналата AC и добиваме два триаголници ABC и ADC.

Триаголниците се еднакви, бидејќи ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (попречни агли за паралелни прави), а страната AC е заедничка.
Од еднаквоста $\Delta$ABC = $\Delta$ADC следува дека AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.

Збирот на аглите соседни на едната страна, на пример аглите A и D, е еднаков на 180° како еднострани агли за паралелни прави.

Дефиниција

Паралелограме четириаголник чии спротивни страни се паралелни во парови.

Точката на пресек на дијагоналите на паралелограм се нарекува центар.

Својства на паралелограм:

Збирот на кои било два соседни агли на паралелограм е $180^(\circ)$, а спротивните агли се еднакви.
Спротивните страни на паралелограмот се еднакви.
Дијагоналите на паралелограмот се сечат и пресечат на пресечната точка.

Доказ

Нека е даден паралелограм $ABCD$.

1. Забележете дека соседните агли $A$ и $B$ на паралелограм се еднострани внатрешни агли со паралелни прави $AD$ и $BC$ и секанта $AB$, односно нивниот збир е еднаков на $180^ \circ$. Исто и за други парови агли.

Ако $\агол A + \агол B=180^\circ$ и $\агол C + \агол B=180^\circ$, тогаш $\агол A = \агол C$. Слично на тоа, $\агол B = \агол D$.

2. Размислете за триаголниците $ABC$ и $CDA$. Од паралелизмот на спротивните страни на паралелограмот следува дека $\агол BAC=\агол DCA$ и $\агол BCA=\агол DAC$. Бидејќи $AC$ е вообичаен, тогаш триаголниците $ABC$ и $CDA$ се еднакви според вториот критериум. Од еднаквоста на триаголниците произлегува дека $AB=CD$ и $BC=AD$.

3. Бидејќи паралелограмот е конвексен четириаголник, неговите дијагонали се сечат. Нека $O$ е пресечната точка. Од паралелизмот на страните $BC$ и $AD$ на паралелограмот следува дека $\агол OAD=\агол OCB$ и $\агол ODA=\агол OBC$. Земајќи ја предвид еднаквоста $BC=AD$, добиваме дека триаголниците $AOD$ и $COB$ се еднакви според вториот критериум. Затоа, $AO=CO$ и $DO=BO$, по потреба.

Знаци на паралелограм:

Ако во четириаголник збирот на кои било два соседни агли е $180^(\circ)$, тогаш овој четириаголник е паралелограм.
Ако во четириаголник спротивните агли се еднакви во парови, тогаш овој четириаголник е паралелограм.
Ако во четириаголник спротивните страни се еднакви во парови, тогаш овој четириаголник е паралелограм.
Ако две страни на четириаголник се еднакви и паралелни, тогаш четириаголникот е паралелограм.
Ако дијагоналите на четириаголник се пресечени со нивната пресечна точка, тогаш четириаголникот е паралелограм.

Доказ

Нека $ABCD$ е четириаголник.

1. Забележете дека соседните агли $A$ и $B$ се еднострани внатрешни агли со прави линии $AD$ и $BC$ и трансверзална $AB$. Бидејќи нивниот збир е $180^\circ$, тогаш линиите $AD$ и $BC$ се паралелни. Слично на друг пар линии, односно $ABCD$ е паралелограм по дефиниција.

2. Забележете дека $\агол A + \агол B + \агол C + \агол D=360^\circ$. Ако $\агол A = \агол C$, и $\агол B = \агол D$, тогаш $\агол A + \агол B=180^\circ$ и слично за други парови соседни агли. Следно го користиме претходниот знак.

3. Размислете за триаголниците $ABC$ и $CDA$. Бидејќи $AC$ е вообичаено, од еднаквоста на спротивните страни на паралелограмот произлегува дека триаголниците $ABC$ и $CDA$ се еднакви според третиот критериум. Според тоа, $\агол BAC=\агол DCA$ и $\агол BCA=\агол DAC$, што подразбира паралелизам на спротивните страни.

4. Нека $BC$ и $AD$ се еднакви и паралелни. Размислете за триаголниците $ABC$ и $CDA$. Од паралелизмот на правите произлегува дека $\агол BCA=\агол DAC$. Бидејќи $AC$ е општо и $BC=AD$, тогаш триаголниците $ABC$ и $CDA$ се еднакви според првиот критериум. Затоа, $AB=CD$. Следно го користиме претходниот знак.

5. Нека $O$ е пресечната точка на дијагоналите и $AO=CO$, а $DO=BO$ Земајќи ја предвид еднаквоста на вертикалните агли, добиваме дека триаголниците $AOD$ и $COB$ се. еднакви според првиот критериум. Затоа, $\angle OAD=\angle OCB$, што подразбира паралелизам на $BC$ и $AD$. Исто и за другиот пар страни.

Дефиниција

Се нарекува четириаголник кој има три прави агли правоаголник.

Карактеристики на правоаголник:

Дијагоналите на правоаголникот се еднакви.

Доказ

Нека е даден правоаголник $ABCD$. Бидејќи правоаголникот е паралелограм, неговите спротивни страни се еднакви. Потоа правоаголни триаголници$ABD$ и $DCA$ се еднакви на две краци, што значи дека $BD=AC$.

Карактеристики на правоаголник:

Ако паралелограмот има прав агол, тогаш овој паралелограм е правоаголник.
Ако дијагоналите на паралелограмот се еднакви, тогаш овој паралелограм е правоаголник.

Доказ

1. Ако еден од аглите на паралелограмот е правилен, тогаш, имајќи предвид дека збирот на соседните агли е $180^(\circ)$, добиваме дека и останатите агли се прави.

2. Нека дијагоналите $AC$ и $BD$ се еднакви во паралелограмот $ABCD$. Земајќи ја предвид еднаквоста на спротивните страни $AB$ и $DC$, добиваме дека триаголниците $ABD$ и $DCA$ се еднакви според третиот критериум. Затоа, $\angle BAD=\angle CDA$, односно тие се прави. Останува да се користи претходниот знак.

Дефиниција

Се нарекува четириаголник во кој сите страни се еднакви дијамант

Својства на ромб:

Дијагоналите на ромбот се меѓусебно нормални и се симетрали на неговите агли.

Доказ

Нека дијагоналите $AC$ и $BD$ во ромбот $ABCD$ се сечат во точката $O$. Бидејќи ромбот е паралелограм, $AO=OC$. Ајде да размислиме рамнокрак триаголник$ABC$. Со оглед на тоа што $AO$ е средната вредност што се влече до основата, тоа е симетралата и висината, што се бараше.

Знаци на дијамант:

Ако дијагоналите на паралелограмот се меѓусебно нормални, тогаш овој паралелограм е ромб.
Ако дијагоналата на паралелограмот е симетрала на неговиот агол, тогаш овој паралелограм е ромб.

Доказ

Нека паралелограмот $ABCD$ има дијагонали $AC$ и $BD$ кои се сечат во точката $O$. Размислете за триаголникот $ABC$.

1. Ако дијагоналите се нормални, тогаш $BO$ е средина и висина на триаголникот.

2. Ако дијагоналата $BD$ ја содржи симетралата на аголот $ABC$, тогаш $BO$ е медијаната и симетралата во триаголникот.

Во двата случаи, откриваме дека триаголникот $ABC$ е рамнокрак, а во паралелограм соседните страни се еднакви. Затоа, тоа е ромб, што и се бараше.

Дефиниција

Се вика правоаголник чии две соседни страни се еднакви квадрат.

Знаци на квадрат:

Ако ромб има прав агол, тогаш тој ромб е квадрат.
Ако ромбот има еднакви дијагонали, тогаш ромбот е квадрат.

Доказ

Ако паралелограмот има прав агол или еднакви дијагонали, тогаш тој е правоаголник. Ако четириаголник е правоаголник и ромб, тогаш тоа е квадрат.

Дефиниција

Паралелограме четириаголник чии спротивни страни се паралелни во парови.

Слика 1 го прикажува паралелограмот $A B C D, A B\|C D, B C\| A D$.

Својства на паралелограм

Во паралелограм, спротивните страни се еднакви: $A B=C D, B C=A D$ (Слика 1).
Во паралелограм, спротивните агли се еднакви на $\агол A=\агол C, \агол B=\агол D$ (Слика 1).
Дијагоналите на паралелограмот на пресечната точка се поделени на половина $A O=O C, B O=O D$ (слика 1).
Дијагоналата на паралелограмот го дели на два еднакви триаголници.

Збирот на аглите на паралелограм во непосредна близина на едната страна е $180^(\circ)$:

$$\агол A+\агол B=180^(\circ), \агол B+\агол C=180^(\circ)$$

$$\агол C+\агол D=180^(\circ), \агол D+\агол A=180^(\circ)$$

Дијагоналите и страните на паралелограмот се поврзани со следнава врска:

$$d_(1)^(2)+d_(2)^(2)=2 a^(2)+2 b^(2)$$

Во паралелограм, аголот помеѓу висините е еднаков на неговиот остар агол: $\агол K B H=\агол A$.
Симетралите на аглите во непосредна близина на едната страна на паралелограмот се меѓусебно нормални.
Симетралите на два спротивни агли на паралелограм се паралелни.

Знаци на паралелограм

Четириаголникот $ABCD$ е паралелограм ако

$A B=C D$ и $A B \| C D$
$A B=C D$ и $B C=A D$
$A O=O C$ и $B O=O D$
$\агол A=\агол C$ и $\агол B=\агол D$

Површината на паралелограм може да се пресмета со помош на една од следниве формули:

$S=a \cdot h_(a), \quad S=b \cdot h_(b)$

$S=a \cdot b \cdot \sin \alpha, \quad S=\frac(1)(2) d_(1) \cdot d_(2) \cdot \sin \phi$

Примери за решавање проблеми

Пример

Вежбајте.Збирот на два агли на паралелограм е $140^(\circ)$. Најдете го најголемиот агол на паралелограмот.

Решение.Во паралелограм, спротивните агли се еднакви. Да го означиме поголемиот агол на паралелограмот како $\alpha$ и помалиот агол како $\beta$. Збирот на аглите $\alpha$ и $\beta$ е $180^(\circ)$, така што дадената сума еднаква на $140^(\circ)$ е збир на два спротивни агли, потоа $140^(\circ) : 2=70 ^(\circ)$. Така помалиот агол е $\beta=70^(\circ)$. Го наоѓаме поголемиот агол $\alpha$ од релацијата:

$\alpha+\beta=180^(\circ) \Rightarrow \alpha=180^(\circ)-\beta \Rightarrow$

$\Rightarrow \alpha=180^(\circ)-70^(\circ) \Rightarrow \alpha=110^(\circ)$

Одговори.$\алфа=110^(\circ)$

Пример

Вежбајте.Страните на паралелограмот се 18 cm и 15 cm, а висината нацртана на пократката страна е 6 cm.

Решение.Ајде да направиме цртеж (сл. 2)