Нека правата поминува низ точките M 1 (x 1; y 1) и M 2 (x 2; y 2). Равенката на права линија што минува низ точката M 1 има форма y-y 1 = к (x - x 1), (10,6)

Каде к - сеуште непознат коефициент.

Бидејќи правата линија минува низ точката M 2 (x 2 y 2), координатите на оваа точка мора да ја задоволат равенката (10.6): y 2 -y 1 = к (x 2 - x 1).

Од тука наоѓаме Замена на пронајдената вредност к во равенката (10.6), ја добиваме равенката на права линија што минува низ точките M 1 и M 2:

Се претпоставува дека во оваа равенка x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ако x 1 = x 2, тогаш правата линија што минува низ точките M 1 (x 1,y I) и M 2 (x 2,y 2) е паралелна со оската на ординатите. Нејзината равенка е x = x 1 .

Ако y 2 = y I, тогаш равенката на правата може да се запише како y = y 1, правата линија M 1 M 2 е паралелна со оската на апсцисата.

Равенка на права во отсечки

Нека правата ја пресекува оската Ox во точката M 1 (a;0), и оската Oy во точката M 2 (0;b). Равенката ќе ја има формата:
тие.
. Оваа равенка се нарекува равенка на права линија во отсечки, бидејќи броевите a и b покажуваат кои отсечки ги отсекува правата на координатните оски.

Равенка на права што минува низ дадена точка нормална на даден вектор

Да ја најдеме равенката на правата линија што минува низ оваа точка Mo (x O; y o) е нормално на дадениот ненулти вектор n = (A; B).

Да земеме произволна точка M(x; y) на правата и да го разгледаме векторот M 0 M (x - x 0; y - y o) (види слика 1). Бидејќи векторите n и M o M се нормални, нивниот скаларен производ е еднаков на нула: т.е.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Се повикува равенката (10.8). равенка на права линија што минува низ дадена точка нормална на даден вектор .

Векторот n= (A; B), нормално на правата, се нарекува нормален нормален вектор на оваа линија .

Равенката (10.8) може да се преработи како Ах + Ву + С = 0 , (10.9)

каде A и B се координатите на нормалниот вектор, C = -Ax o - Vu o е слободниот член. Равенка (10.9) Постои општа равенкадиректно(види Сл. 2).

Сл.1 Сл.2

Канонски равенки на правата

,

Каде
- координати на точката низ која минува правата и
- вектор на насока.

Криви од втор ред Круг

Круг е збир на сите точки на рамнината еднакво оддалечени од дадена точка, која се нарекува центар.

Канонска равенка на круг со радиус Р центриран во точка
:

Особено, ако центарот на влогот се совпаѓа со потеклото на координатите, тогаш равенката ќе изгледа вака:

Елипса

Елипса е збир на точки на рамнина, збир на растојанија од кои секоја до две дадени точки И , кои се нарекуваат фокуси, е константна количина
, поголемо од растојанието помеѓу фокусите
.

Канонската равенка на елипса чии фокуси лежат на оската Ox, а потеклото на координатите во средината помеѓу фокусите има форма
Г деа должина на полу-главна оска;б – должина на полуминорната оска (сл. 2).

Зависност помеѓу параметрите на елипсата
И се изразува со односот:

(4)

Елипса ексцентричностнаречен однос меѓуфокално растојание2сдо главната оска2а:

Директорки елипса се прави линии паралелни со оската Oy, кои се наоѓаат на растојание од оваа оска. Директни равенки:
.

Ако во равенката на елипсата
, тогаш фокусите на елипсата се на оската Oy.

Значи,

Нека се дадат два поени М(X 1 ,У 1) и Н(X 2,y 2). Да ја најдеме равенката на правата што минува низ овие точки.

Бидејќи оваа линија минува низ точката М, тогаш според формулата (1.13) нејзината равенка ја има формата

У – Y 1 = К(X–x 1),

Каде К– непознат аголен коефициент.

Вредноста на овој коефициент се одредува од условот саканата права линија да минува низ точката Н, што значи дека неговите координати ја задоволуваат равенката (1.13)

Y 2 – Y 1 = К(X 2 – X 1),

Од тука можете да го најдете наклонот на оваа линија:

,

Или по конверзија

(1.14)

Формулата (1.14) одредува Равенка на права што минува низ две точки М(X 1, Y 1) и Н(X 2, Y 2).

Во посебниот случај кога поени М(А, 0), Н(0, Б), А ¹ 0, Б¹ 0, лежи на координатните оски, равенката (1.14) ќе има поедноставна форма

Равенка (1.15)повикани Равенка на права линија во отсечки, Еве АИ Бозначете ги сегментите отсечени со права линија на оските (слика 1.6).

Слика 1.6

Пример 1.10. Напишете равенка за права што минува низ точките М(1, 2) и Б(3, –1).

. Според (1.14), равенката на саканата линија ја има формата

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Пренесувајќи ги сите членови на левата страна, конечно ја добиваме саканата равенка

3X + 2Y – 7 = 0.

Пример 1.11. Напишете равенка за права што минува низ точка М(2, 1) и точката на пресек на линиите X+ Y - 1 = 0, X – y+ 2 = 0.

. Координатите на точката на пресек на правите ќе ги најдеме така што заедно ќе ги решаваме овие равенки

Ако ги собереме овие равенки по член, ќе добиеме 2 X+ 1 = 0, од ​​каде . Заменувајќи ја пронајдената вредност во која било равенка, ја наоѓаме вредноста на ординатата У:

Сега да ја напишеме равенката на правата линија што минува низ точките (2, 1) и:

или .

Оттука или -5( Y – 1) = X – 2.

Конечно ја добиваме равенката на саканата линија во форма X + 5Y – 7 = 0.

Пример 1.12. Најдете ја равенката на правата што минува низ точките М(2.1) и Н(2,3).

Користејќи ја формулата (1.14), ја добиваме равенката

Нема смисла бидејќи вториот именител е нула. Од условите на проблемот јасно се гледа дека апсцисите на двете точки имаат иста вредност. Ова значи дека саканата права линија е паралелна со оската OYа нејзината равенка е: x = 2.

Коментар . Ако, при пишување на равенката на линијата со помош на формулата (1.14), еден од именителот се испостави дека е еднаков на нула, тогаш саканата равенка може да се добие со изедначување на соодветниот броител на нула.

Ајде да разгледаме други начини за дефинирање на линија на рамнина.

1. Нека вектор кој не е нула е нормален на дадената права Л, и точка М 0(X 0, Y 0) лежи на оваа линија (слика 1.7).

Слика 1.7

Да означиме М(X, Y) која било точка на правата Л. Вектори и Ортогонална. Користејќи ги условите на ортогоналност на овие вектори, добиваме или А(X – X 0) + Б(Y – Y 0) = 0.

Добивме равенка на права што минува низ точка М 0 е нормално на векторот. Овој вектор се нарекува Нормален вектор до права линија Л. Добиената равенка може да се препише како

О + Ву + СО= 0, каде СО = –(АX 0 + Од страна на 0), (1.16),

Каде АИ ВО– координати на нормалниот вектор.

Општата равенка на правата ја добиваме во параметарска форма.

2. Права линија на рамнина може да се дефинира на следниов начин: нека вектор кој не е нула е паралелен на дадената права линија Ли период М 0(X 0, Y 0) лежи на оваа линија. Ајде повторно да земеме произволна точка М(X, y) на права линија (слика 1.8).

Слика 1.8

Вектори и колинеарна.

Да го запишеме условот за колинеарност на овие вектори: , каде Т– произволен број наречен параметар. Ајде да ја напишеме оваа еднаквост во координати:

Овие равенки се нарекуваат Параметриски равенки Директно. Да го исклучиме параметарот од овие равенки Т:

Овие равенки инаку може да се напишат во форма

. (1.18)

Добиената равенка се нарекува Канонската равенка на правата. Векторот се нарекува Векторот на насоката е правилен .

Коментар . Лесно е да се види дека ако е нормалниот вектор на правата Л, тогаш неговиот вектор на насока може да биде векторот бидејќи , т.е.

Пример 1.13. Напишете ја равенката на права што минува низ точка М 0(1, 1) паралелно со правата 3 X + 2У– 8 = 0.

Решение . Векторот е нормален вектор на дадените и посакуваните линии. Да ја користиме равенката на права линија што минува низ точка М 0 со даден нормален вектор 3( X –1) + 2(У– 1) = 0 или 3 X + 2у– 5 = 0. Ја добивме равенката на саканата линија.

Оваа статија открива како да се добие равенката на права линија што минува низ два дадени поениВ правоаголен системкоординати лоцирани на авионот. Да ја изведеме равенката на права линија што минува низ две дадени точки во правоаголен координатен систем. Јасно ќе покажеме и решиме неколку примери поврзани со опфатениот материјал.

Пред да се добие равенката на права што минува низ две дадени точки, потребно е да се обрне внимание на некои факти. Постои аксиома која вели дека преку две дивергентни точки на рамнина е можно да се повлече права линија и само една. Со други зборови, две дадени точки на рамнината се дефинирани со права линија што минува низ овие точки.

Ако рамнината е дефинирана со правоаголниот координатен систем Oxy, тогаш секоја права линија прикажана во неа ќе одговара на равенката на права линија на рамнината. Постои и врска со насочувачкиот вектор на правата линија Овој податок е доволен за да се состави равенката на права линија што минува низ две дадени точки.

Ајде да погледнеме пример за решавање на сличен проблем. Потребно е да се создаде равенка за права линија a што минува низ две дивергентни точки M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2), лоцирани во Декартовиот координатен систем.

Во канонската равенка на права на рамнина, со форма x - x 1 a x = y - y 1 a y, правоаголен координатен систем O x y е наведен со права што се вкрстува со неа во точка со координати M 1 (x 1, y 1) со водич вектор a → = (a x , a y) .

Неопходно е да се подготви канонска равенкаправа а, која ќе помине низ две точки со координати M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2).

Правото a има вектор на насока M 1 M 2 → со координати (x 2 - x 1, y 2 - y 1), бидејќи ги пресекува точките M 1 и M 2. Ги добивме потребните податоци за да ја трансформираме канонската равенка со координатите на векторот на насока M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) и координатите на точките M 1 што лежат на нив (x 1, y 1) и M 2 (x 2 , y 2) . Добиваме равенка од формата x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 или x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Размислете за сликата подолу.

Следејќи ги пресметките, ги запишуваме параметарските равенки на права на рамнина што минува низ две точки со координати M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2). Добиваме равенка од формата x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ или x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Да разгледаме подетално решавање на неколку примери.

Пример 1

Запишете ја равенката на права линија што минува низ 2 дадени точки со координати M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Решение

Канонската равенка за права што се вкрстува во две точки со координати x 1, y 1 и x 2, y 2 ја добива формата x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Според условите на задачата, имаме дека x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Неопходно е да се заменат нумеричките вредности во равенката x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Од тука добиваме дека канонската равенка има форма x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Одговор: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Ако треба да решите проблем со различен тип равенка, тогаш прво можете да отидете на канонската, бидејќи е полесно да се дојде од него до која било друга.

Пример 2

Составете ја општата равенка на права линија што минува низ точки со координати M 1 (1, 1) и M 2 (4, 2) во координатниот систем O x y.

Решение

Прво, треба да ја запишете канонската равенка на дадена права што минува низ дадени две точки. Добиваме равенка од формата x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Ајде да ја доведеме канонската равенка до саканата форма, тогаш добиваме:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Одговор: x - 3 y + 2 = 0 .

Примери за такви задачи беа дискутирани во училишни учебницина часовите по алгебра. Училишни задачисе разликуваше по тоа што беше позната равенката на права линија со аголен коефициент, со форма y = k x + b. Ако треба да ја пронајдете вредноста на наклонот k и бројот b, за кои равенката y = k x + b дефинира права во системот O x y што поминува низ точките M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2) , каде што x 1 ≠ x 2. Кога x 1 = x 2 , тогаш аголниот коефициент ја зема вредноста на бесконечноста, а правата линија M 1 M 2 е дефинирана со општата нецелосна равенкаод формата x - x 1 = 0 .

Бидејќи точките М 1И М 2се на права линија, тогаш нивните координати ја задоволуваат равенката y 1 = k x 1 + b и y 2 = k x 2 + b. Потребно е да се реши системот на равенки y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b за k и b.

За да го направите ова, наоѓаме k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 или k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Со овие вредности на k и b, равенката на права што минува низ дадените две точки станува y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 или y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Невозможно е да се запамети толку огромен број формули одеднаш. За да го направите ова, неопходно е да се зголеми бројот на повторувања во решавањето на проблемите.

Пример 3

Запишете ја равенката на права линија со аголен коефициент што минува низ точки со координати M 2 (2, 1) и y = k x + b.

Решение

За да го решиме проблемот, користиме формула со наклон, која има форма y = k x + b. Коефициентите k и b мора да имаат таква вредност што оваа равенка одговара на права линија што минува низ две точки со координати M 1 (- 7, - 5) и M 2 (2, 1).

Поени М 1И М 2се наоѓаат на права линија, тогаш нивните координати мора да ја направат равенката y = k x + b вистинска равенка. Од ова добиваме дека - 5 = k · (- 7) + b и 1 = k · 2 + b. Ајде да ја споиме равенката во системот - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b и да решиме.

По замена го добиваме тоа

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Сега вредностите k = 2 3 и b = - 1 3 се заменети во равенката y = k x + b. Откриваме дека бараната равенка што минува низ дадените точки ќе биде равенка од формата y = 2 3 x - 1 3 .

Овој метод на решение предодредува губење на многу време. Постои начин на кој задачата се решава буквално во два чекори.

Да ја напишеме канонската равенка на правата што минува низ M 2 (2, 1) и M 1 (- 7, - 5), со форма x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Сега да преминеме на равенката на наклонот. Добиваме дека: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Одговор: y = 2 3 x - 1 3 .

Доколку во тродимензионален просторпостои правоаголен координатен систем O x y z со две дадени точки кои не се совпаѓаат со координати M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2), права линија M 1 M 2 поминувајќи низ нив, потребно е да се добие равенката на оваа линија.

Имаме дека канонски равенки од формата x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z и параметарски равенки од формата x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ се способни да дефинираат права во координатниот систем O x y z, која минува низ точки со координати (x 1, y 1, z 1) со вектор на насока a → = (a x, a y, a z).

Директно М 1 М 2 има вектор на насока од формата M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), каде што правата линија минува низ точката M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2), па оттука канонската равенка може да биде од формата x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 или x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, за возврат параметарски x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ или x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Размислете за цртеж кој покажува 2 дадени точки во просторот и равенката на права линија.

Пример 4

Напишете ја равенката на права дефинирана во правоаголен координатен систем O x y z од тродимензионален простор, кој минува низ дадени две точки со координати M 1 (2, - 3, 0) и M 2 (1, - 3, - 5).

Решение

Неопходно е да се најде канонската равенка. Бидејќи ние зборуваме заоколу тродимензионален простор, што значи дека кога права линија минува низ дадени точки, саканата канонска равенка ќе ја има формата x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

По услов имаме дека x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Следи дека потребните равенки ќе бидат напишани на следниов начин:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Одговор: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter