7.1. Концептот на стабилност на самоодни пиштоли

Концептот на стабилност е најважната квалитативна проценка на динамичките својства на системот за автоматска контрола. Стабилноста на ACS е поврзана со природата на неговото однесување по престанокот на надворешното влијание, што може да се процени со одлука диференцијална равенка, опишувајќи ја работата на системот. Општа теоријаодржливост развиена од А.М. Љапунов. Линеарен системсе нарекува стабилна ако нејзината излезна координата останува ограничена под какви било влезни влијанија ограничени во апсолутна вредност. Стабилноста на линеарниот систем се одредува според неговите карактеристики и не зависи од постојните влијанија.
Во општ случај, решението на равенката има форма: y(t)= y B (t) + y n (t)
каде y B (t) е решението хомогена равенка(минлива или слободна компонента); y n (t) - стабилна вредност на контролираната променлива (присилна компонента) - решение на равенката со десната страна. Стабилноста на системот е одредена од минливата компонента. Ако преодната компонента на контролниот процес се стреми кон нула по престанокот на надворешното влијание, тогаш таквиот систем е стабилен. Со други зборови, стабилноста на системот е слабеење на неговите минливи процеси.
Ако слободната компонента се стреми кон конечна вредност или има форма на хармонски осцилации со постојана амплитуда, тогаш системот се смета за неутрален. Ако слободната компонента се зголемува без ограничување или има форма на хармонски осцилации со зголемена амплитуда, тогаш системот се смета за нестабилен.
Проценката на стабилноста е направена врз основа на резултатите од студијата за слободната компонента, која е решение за хомогена диференцијална равенка (карактеристична равенка): D(p) = a 0 p n + a 1 p n-1 + ... + a n = 0 (4.1)
Преодната компонента на решението кон равенката во општ поглед y ni (t) = A i e α i t * sin(β i t + φ i), каде α i ± jβ i се корените на карактеристичната равенка; A i, Φ i се константи.
Во овој случај, преодната компонента се стреми кон нула со зголемување на времето ако реалните делови на корените α i се негативни, во спротивно се зголемува амплитудата на осцилациите на преодната компонента (сл. 4.1).

Сл.4.1. Графикони на преодни компоненти

Пар имагинарни корени (α i =0) од карактеристичната равенка ни овозможува да добиеме преодна компонента во форма на самоосцилации со постојана амплитуда:

Добиените корени на карактеристичната равенка може да се претстават како точки на сложената рамнина (сл. 4.2.).

Сл.4.2. Локација на ACS корените на сложената коренска рамнина

За стабилни системи, потребно е и доволно сите корени на карактеристичната равенка да лежат лево од имагинарната оска на сложената рамнина на корените. Ако барем еден вистински корен или пар сложени конјугирани корени се наоѓа десно од имагинарната оска, тогаш системот е нестабилен. Ако има нула корен или пар чисто имагинарни корени, тогаш системот се смета за неутрален (се наоѓа на границата на стабилност и нестабилност). Така, имагинарната оска на сложената рамнина е границата на стабилноста.

Со цел да се поедностави анализата на стабилноста на системот, голем број на специјални методи, кои се нарекуваат критериуми за стабилност. Критериумите за стабилност се поделени на два вида: алгебарски (критериум Гурвица) и фреквенција (критериуми МихајловаИ Никвист). Алгебарските критериуми се аналитички, а критериумите за фреквенција се графичко-аналитички. Критериумите за стабилност исто така овозможуваат да се процени влијанието на системските параметри врз стабилноста.

Алгебарскиот критериум Хурвиц е широко користен во анализата на АТС. Првично, матрицата на главната детерминанта е составена од коефициентите на равенката (4.1):

По дијагоналата на матрицата од горниот лев агол, сите коефициенти на равенката (4.1.) се напишани по редослед, почнувајќи од a1. Потоа секоја колона од матрицата се надополнува на таков начин што индексите на коефициентите се зголемуваат нагоре од дијагоналата и се намалуваат надолу.
За стабилноста на системот потребно е и доволно за a0>0 сите аголни детерминанти (минори) да бидат исто така позитивни, т.е.

итн.

Последната Hurwitz детерминанта, како што може да се види од матрицата погоре, е еднаква на Δ n =a n *Δ n-1. Затоа, неговата позитивност се намалува за Δ n-1 >0 до услов a n >0. За системи од прв и втор ред, критериумот Хурвиц едноставно се сведува на позитивноста на коефициентите ai. Ако детерминантата Δ n =0, тогаш системот е на границата на стабилност. Од условот Δ n-1 =0, можно е да се одредат параметрите на кои системот се наоѓа на границата на стабилност, на пример, критичната добивка на автоматскиот контролен систем со отворен циклус K cr.

Критериумот Михајлов вклучува изградба на ходограф на сложена рамнина. За да се конструира ходограф од карактеристичната равенка на затворен систем (4.1), со замена на p=jω се добива аналитичко изразувањевектор M(jω):
M(jω)=a 0 (jω) n +a 1 (jω) n-1 +...+a n (4.2)
Равенката (4.2) е сложена и може да се претстави како:

Ходографот е конструиран со помош на векторската равенка M(jω) додека фреквенцијата се менува од 0 на +. Стабилноста на системот се проценува со аголот на ротација на ходографот кога фреквенцијата се менува за 0<ω< , т.е. по приращению Δ аргумента M(jω)

, (4.3)

каде m е бројот на десни корени на карактеристичниот полином; n е редот на карактеристичната равенка на системот.
Тогаш, за стабилност на линеарен систем од n-ти ред, потребно е и доволно промената на ходографскиот аргумент M(jω) при промена од 0 во + да биде еднаква на n, бидејќи m=0 за да се обезбеди стабилност на систем.
Критериумот Михајлов е формулиран на следниов начин: системот е стабилен ако ходографот Михајлов M(jω), кога се менува од 0 во +, почнувајќи од позитивниот дел од реалната оска, се поминува последователно во позитивна насока (спротивно од стрелките на часовникот) n квадранти и во n-ти квадрант отиде во .
Ако ходографот започнува од нултата точка на сложената рамнина или поминува низ оваа точка со одредена фреквенција, тогаш системот се смета за неутрален. Во овој случај, P(ω) = 0 и Q(ω) = 0.
Од овие равенки е можно да се одредат вредностите на параметрите на кои системот се наоѓа на границата на стабилност (критични вредности). Слика 4.3 ги прикажува ходографите на Михаилов за стабилни и нестабилни самоодни пиштоли.

Сл.4.3. Ходографи на Михајлов

Постои втора формулација на критериумот Михајлов: за стабилноста на системот потребно е и доволно корените на равенките P(ω) = 0 и Q(ω) = 0 да се менуваат (наизменично), т.е. Ходографот постојано ги пресекува оските на сложената рамнина. Оваа формулација е погодна за употреба за проучување на стабилноста на системите до петтиот ред инклузивно. Со помош на равенката (4.3), може да се одреди бројот на десните корени во нестабилните системи.

7.4. Фреквенција Nyquist критериум за стабилност

Критериумот Nyquist е критериум за фреквенција што овозможува да се процени стабилноста на системот со затворена јамка според типот на амплитудно-фазен фреквентен одговор на систем со отворен циклус. AFC може да се добие експериментално или аналитички. Аналитичката конструкција на AFC се изведува со користење на конвенционални методи. Nyquist критериумот е различно формулиран во зависност од тоа дали системот со отворен циклус е стабилен или не.
Ако системот со отворен циклус е стабилен, тогаш за стабилноста на системот со затворена јамка потребно е и доволно AFC одговорот на системот со отворен циклус, кога фреквенцијата се менува од 0 до, да не ја покрива точката со координати. -Јас, j0. Ако AFC одговорот на систем со отворен циклус минува низ точката со координати -I, j0, тогаш системот ќе биде неутрален. Слика 4.4 ги прикажува карактеристиките на AFC на статичките системи со отворен циклус. Критериумот Nyquist ви овозможува јасно да го следите ефектот на промена на параметрите на функцијата за пренос врз стабилноста на системот.

Сл.4.4. AFC на самоодни пиштоли со отворена јамка

AFC на астатички систем, почнувајќи од вистинската позитивна полуоска, на ω->0 се движи со лак со бескрајно голем радиус до агол еднаков на -ν, каде ν е редот на ататизам. Слика 4.5 го прикажува фазно-фреквентниот одговор на астатички систем од прв ред кој е стабилен во затворена состојба.

Сл.4.5. AFFC на астатички самоодни пиштоли од прв ред

Ако системот со отворен циклус е нестабилен, тогаш за стабилноста на системот со затворена јамка потребно е и доволно AFC одговорот на системот со отворен циклус да покрива точка со координати (-1, j0) и кога фреквенцијата се менува од 0 во, се врти околу него во спротивна насока од стрелките на часовникот m пати, каде што m е бројот на десни полови систем со отворен циклус.
Постојат две класи на самоодни пиштоли: апсолутно стабилни и условно стабилни. Во првата класа на системи, само зголемувањето на засилувањето на системот со отворен циклус може да доведе до губење на стабилноста, а условно стабилен систем може да стане нестабилен и со зголемување и со намалување на засилувањето.
За апсолутно стабилни системи, воведен е концептот на маргина на стабилност во амплитуда (модул) и маргина на стабилност во фаза. Маргините на стабилност се одредуваат на граничната фреквенција ω cf, на која A(ω cf)=1.
Маргината на стабилноста на амплитудата е поставена со одредена вредност 1/a (сл. 4.6), што покажува колку пати може да се зголеми засилувањето на системот со отворен циклус, така што ACS е на границата на стабилност.

Сл.4.6. AFC на апсолутно стабилен систем

Маргината на фазната стабилност е поставена со одреден агол φ (сл. 4.6). Во добро придушените системи, маргината на амплитудата е приближно 6-20 dB, што е 2÷10 на линеарна скала, а фазната маргина е од 30 до 60 °.
Најзгодно е да се проучува стабилноста користејќи го конструираниот L.A.H. и l.f.h., ставајќи ги една под друга така што оските на ординатите се порамнети и избирајќи ја истата скала на оската на апсцисата (сл. 4.7).

Сл.4.7. LFC на апсолутно стабилен систем

Од LFC на систем со отворен циклус, можно е да се одредат маргините на стабилност: фазната маргина φ zap се брои според l.f.h. на граничната фреквенција ω avg и е еднаква на φ zap =π - φ(ω avg), а амплитудната резерва L zap одговара на вредноста на l.a.h. на фреквенцијата на која л.ф.х. еднакво на -π (сл. 4.7). Ако φ(ω av)=-&pi, тогаш системот е на границата на стабилност. Критичното засилување на системот со отворен циклус K cr се одредува од изразот 20*lg(K cr)=20*lg(K пати) + L app.
Nyquist критериумот е погоден за користење за проучување на стабилноста на системите со задоцнување. Во овој случај, се конструира LFC на ACS со отворен циклус со задоцнување W τ (jω) = W(jω) * e -jωτ. Не се менува логаритамскиот фреквентен одговор, но l.f.h. се поместува надолу за износот -ω i τ, каде што ω i е вредноста на фреквенцијата во одредена точка. Критичната вредност на чистото време на доцнење τ cr, во кое ACS ќе биде на границата на стабилност, се наоѓа со формулата: .
За да се дизајнира систем со дадени индикатори за квалитет, се гради забранет регион околу точка со координати (-1, j0), во која AFC на системот со отворен циклус не треба да влегува, како што е прикажано на сл. 4.8.

7.5. Тест за логаритамска фреквенција.

Логаритамскиот критериум е критериум за фреквенција што овозможува да се процени стабилноста на ACS со затворена јамка според типот на логаритамска карактеристика на систем со отворен циклус. Овој критериум се заснова на недвосмислена врска помеѓу системите LPFC и AFC автоматска контрола. Во исто време, се разгледуваат системи за автоматска контрола врз основа на употреба на стабилни системи со отворен циклус. Дополнително, се разгледуваат системи со астатизам не повисок од втор ред.

Како што следува од Nyquist критериумот за стабилност во стабилните системи за автоматска контрола, фазното поместување може да достигне вредност само кога модулите на комплексната преносна функција се помали од единството. Ова го олеснува одредувањето на стабилноста според типот на LFC и LFFC.

Формулирање на критериумот: за стабилност на системот во затворена состојба, потребно е и доволно во фреквентниот опсег каде што LFC на системот со отворен циклус е поголем од нула, бројот на премини на фазата карактеристика на права линија од дното до врвот го надминува бројот на транзиции од врвот до дното, каде што a е бројот на корените на карактеристичната равенка на системот со отворен циклус што лежи во десната полурамнина .

Во конкретниот случај на стабилен систем со отворен циклус (a=0), неопходен и доволен услов за систем со затворена јамка е потребата да се задоволи следниот услов. Во опсегот на фреквенција каде што , фазниот фреквентен одговор не треба да ја преминува правата линија или да ја премине истиот број пати од дното кон врвот и од врвот до дното.

Ориз. 6. LFCH на стабилни и нестабилни самоодни пиштоли

Критичната вредност на коефициентот на конверзија е неговата вредност во која AFC поминува низ точката (-1, j0) и системот е на границата на стабилност.

Маргината на модулот е вредноста во децибели со која треба да се промени коефициентот на конверзија на ACS за да се доведе до границата на стабилност.

,

каде е фреквенцијата на која фазната карактеристика е еднаква на .

Маргината на стабилноста на фазата е аголот со кој амплитудно-фазната карактеристика на системот со отворен циклус мора да се ротира така што контролниот систем со затворена јамка е на границата на стабилност.

,

каде е вредноста на фазниот одзив на граничната фреквенција на системот за кој условот е задоволен.

Овој дел ги разгледува најважните карактеристики на квалитетот на управуваните системи. Овие карактеристики се стабилност на системот, точност и отпорност на бучава.

Концептот на стабилност се однесува на ситуација кога влезните сигнали на системот се нула, т.е. нема надворешни влијанија. Во овој случај, правилно конструираниот систем треба да биде во состојба на рамнотежа (одмор) или постепено да се приближува до оваа состојба. Во нестабилните системи, дури и со нула влезни сигнали, се појавуваат природни осцилации и, како резултат на тоа, се случуваат неприфатливо големи грешки.

Концептот на точност е поврзан со квалитетот на работата на контролираните системи со менување на влезните сигнали. Во правилно дизајнирани контролни системи, големината на неусогласеноста помеѓу наведениот контролен закон g(t) и излезниот сигнал x(t) треба да биде мала.

Конечно, за да се карактеризира ефектот на пречки врз контролните системи, се користи варијансата или стандардното отстапување на компонентата за грешка поради ефектот на пречки.

Концепт на одржливост

Едно од првите прашања што се наметнува при истражување и дизајнирање на линеарни контролни системи е прашањето за нивната стабилност. Линеарниот систем се нарекува одржлив, ако, кога надворешните влијанија го отстрануваат од состојба на рамнотежа (одмор), таа се враќа во неа по престанокот на надворешните влијанија. Ако по престанокот на надворешното влијание, системот не се врати во состојба на рамнотежа, тогаш е нестабилна. За нормално функционирање на контролниот систем, потребно е тој да биде стабилен, бидејќи во спротивно се појавуваат големи грешки во него.

Одредувањето на стабилноста обично се врши на почетна фазасоздавање на систем за управување. Ова се должи на две причини. Прво, анализата на стабилноста е прилично едноставна. Второ, нестабилните системи може да се коригираат, т.е. претворени во стабилни со додавање на специјални корективни врски.

Анализа на стабилност со помош на алгебарски критериуми

Стабилноста на системот е поврзана со природата на сопствените осцилации. За да се илустрира ова, да претпоставиме дека системот е опишан со диференцијалната равенка

или, по Лапласовата трансформација,

каде g(p) е влезно дејство.

Стабилен систем се враќа во состојба на мирување ако влезното дејство g(p) 0. Така, за стабилен систем, решението на хомогена диференцијална равенка мора да се стреми кон нула како што t се стреми кон бесконечност.

Ако се најдат корените p1, p2, ... , pn на карактеристичната равенка, тогаш решението на хомогената равенка ќе се запише во форма .

Во кои случаи системот е стабилен?

Да претпоставиме дека pk = ak е вистински корен.

Терминот ck одговара на тоа. Кога ак< 0 это слагаемое будет стремиться к нулю, если t стремится к бесконечности. Если же ak >0, потоа x(t) кога t се стреми кон бесконечност; . Конечно, во случај кога ak = 0, терминот што се разгледува не се менува дури и кога t се стреми кон бесконечност,

Сега да претпоставиме дека тоа е сложениот корен на карактеристичната равенка. Забележете дека во овој случај тоа ќе биде и коренот на карактеристичната равенка. Два сложени конјугирани корени ќе одговараат на поимите од формата, .

Згора на тоа, ако ак< 0, то в системе имеются затухающие колебания. При ak >0 – осцилации со зголемена амплитуда, а при ak = 0 – осцилации со константна амплитуда сk.

Така, системот е стабилен ако реалните делови од сите корени на карактеристичната равенка се негативни. Ако барем еден корен има реален дел ak ³ 0, тогаш системот е нестабилен. Се вели дека системот е на границата на стабилноста ако барем еден корен од карактеристичната равенка има нула реален дел, а реалните делови од сите други корени се негативни.

Оваа дефиниција е добро илустрирана геометриски. Да ги претставиме корените на карактеристичната равенка како точки на сложената рамнина (сл. 15).

Ако сите корени лежат во левата полурамнина на сложената променлива, тогаш системот е стабилен. Ако барем еден корен лежи во десната полурамнина на сложена променлива, системот е нестабилен. Ако корените се на замислената оска и во левата полурамнина, тогаш се вели дека системот е на границата на стабилноста.

Да разгледаме, како пример, систем за контрола на затворена јамка со една интегрирана врска. Во овој случај, H(p) = , , и функцијата за пренос на системот со затворена јамка

.

Системски излез x(p) = W(p)g(p) или . Забележете дека карактеристичната равенка p+k=0 се запишува со поставување на именителот на функцијата за пренос на контролниот систем со затворена јамка на нула. Во овој случај има еден корен p1= -k< 0 и поэтому система управления всегда устойчива. Предположим теперь, что . Тогда . Карактеристичната равенка е p2 + + k = 0. Затоа p1,2=. Системот е на граница на стабилност. Во него има непридушени осцилации.

Анализа на стабилност користејќи критериуми за фреквенција

Главниот недостаток на разгледуваниот алгебарски пристап за анализа на стабилноста е тоа што во комплексни системиконтрола, тешко е да се воспостави врска помеѓу корените на именителот pk, k=1, 2, ..., n и параметрите на елементарните врски што го сочинуваат контролниот систем. Ова доведува до потешкотии во корекција на нестабилните системи. За да се поедностави анализата на стабилноста, пожелно е оваа анализа да се изврши со користење на функцијата за пренос H(p) на контролниот систем со отворен циклус.

Во 1932 година се разви американскиот научник Никвист ефективен методанализа на стабилноста на засилувачите со повратна информација. Во 1938 година, советскиот научник А.В. Михајлов го генерализираше Nyquist методот на системи за автоматска контрола со затворена јамка.

Nyquist критериумот се заснова на конструирање ходограф на функцијата за пренос H(jw) на контролен систем со отворен циклус. Ходограф на преносната функција H(jw) е кривата нацртана до крајот на векторот H(jw) =|H(jw)|ejj(w) на сложената рамнина при мерење на фреквенцијата w од 0 до бесконечност.

Наједноставно е формулиран критериумот за стабилност Nyquist: контролниот систем со затворена јамка е стабилен ако ходографот на преносната функција H(jw) на системот со отворен циклус не покрива точка со координати (-1, j0) на комплексот. авион. На сликите се прикажани примери на ходографи на стабилни (сл. 16, а) и нестабилни (сл. 16, б) контролни системи.

Ако ходографот минува низ точката -1, тогаш се вели дека системот е на границата на стабилноста. Во овој случај, на одредена фреквенција H(jw0)= -1, во системот може да постојат непригушени осцилации на фреквенцијата w0. Во нестабилните системи, нивото на сигнал x(t) ќе се зголемува со текот на времето. Кај стабилните - намалување.

Маржа на стабилност

Друга предност на критериумот што се разгледува е способноста да се одреди маргината на стабилност на контролниот систем. Маргината на стабилност се карактеризира со два индикатора: маргина на стабилност за засилувањеИ маргина на фазна стабилност.

Маргина на стабилност на засилувањесе определува со вредноста g =1/|H(jw0)|, каде што w0 е фреквенцијата на која (Сл. 17, а). Маргината на стабилност g покажува колку пати модулот на функцијата за пренос на контролниот систем со отворен циклус мора да се промени (зголеми) за системот со затворена јамка да биде на границата на стабилност. Потребната маржа на стабилност зависи од тоа колку може да се зголеми коефициентот на пренос на системот за време на работата во споредба со пресметаниот.

Маргина на фазна стабилностсе проценува со аголот , каде што се нарекува фреквенцијата wсp фреквенција на прекин, се одредува со условот |H(jwcp)|=1 (сл. 17, б).

Вредноста на Dj покажува колку фазната карактеристика на контролниот систем со отворен циклус мора да се промени за системот со затворена јамка да биде на границата на стабилност. Маргината на стабилноста на фазата обично се смета за доволна ако
|Dj| ³ 30o.

Анализа на стабилност користејќи логаритамски амплитудно-фреквентни карактеристики

Во многу случаи, контролниот систем со отворен циклус може да се претстави како сериско поврзување од n типични врски со функции за пренос . Во овој случај, функцијата за пренос на системот со отворен циклус се одредува од производот . Логаритамски амплитудно-фреквентен одговор ќе биде еднаков на збирот на LAX на поединечни врски:

.

Бидејќи LAC на многу елементарни врски може да се приближи со сегменти на права линија, LAC на контролниот систем со отворен циклус исто така ќе биде претставен во форма на сегменти на права линија со наклони кон оската на фреквенцијата кои се множители од 20 децибели по деценија.

Пример.Нека функцијата за пренос на системот со отворен циклус ја има следната форма

.

Таквиот систем содржи два интегратори, присилна врска со преносна функција и апериодична врска со преносна функција . Дозволете ни да го претставиме LAC на поединечни врски на таков систем во форма на графикони на сл. 18, а. Сумирајќи ги презентираните графикони, го добиваме LAC на системот со отворен циклус (слика 18, б).

Како што следува од дадените бројки, конструкцијата на вкупниот LAC е прилично едноставна. Потребно е само да се земе предвид промената на наклонот на LAC во точките и што одговара на конјугираните фреквенции на принудните и апериодични врски.

За да се проверат условите за стабилност на автоматскиот контролен систем со затворена јамка, неопходно е да се конструира карактеристика на фазна фреквенција на истата логаритамска скала долж оската на фреквенцијата . Сепак, искуството од инженерските пресметки покажува дека системот за автоматска контрола со затворена јамка е, по правило, стабилен и има маргина на стабилност ако LAC на системот со отворен циклус е блиску до фреквенцијата

Пресекот има наклон од –20 dB/дек. Во овој случај, колку е поголема должината на овој дел од LAR, толку е поголема маргината на стабилност. Обично се верува дека должината на делот со наклон од 20 dB/dec треба да биде најмалку 1 деценија. Постојат стабилни самоодни пиштоли со наклон LAC поголем од -20 dB/dec, но за такви системи, по правило, маргината на стабилност е многу мала.

Да претпоставиме дека ACS што се испитува има наклон околу прекинувачката фреквенција поголема од - 20 dB/dec (сл. 19)

Имајќи предвид дека кога врските на ACS се поврзани во серија, нивните LAC се сумираат, неопходно е во ACS да се вклучи врска која ќе обезбеди стабилност на системот. Во случајот што се разгледува, таква врска може да биде врската со LAC прикажана на сл. 20.

Навистина, по собирањето на LAC на контролниот систем (сл. 19) и дополнителната врска, добиваме LAC со постојан наклон од 20 dB/dec на сите фреквенции, вклучително и

фреквенција на прекин. Во разгледуваниот пример, функцијата за пренос на дополнителната корективна врска е Hф(jw) =1+jwTф, а w1 = 1/Tф. Се нарекува воведување на дополнителни врски за да се обезбеди стабилност на контролните системи корекцијаСамоодни пиштоли и самите единици - корективни.

Овој дел ги дискутираше методите на истражување за еден од најважните индикаториквалитет на контролните системи - стабилност на линеарни системи. Примената на овие методи за анализа на специфични системи обично се изведува на следниов начин. Прво, се гради LAC на контролниот систем со отворен циклус. Ако системот е нестабилен, тогаш корективните елементи се избираат и се внесуваат во него на таков начин што наклонот на LAC на прекинната фреквенција е 20 dB/dec и се обезбедува потребната маргина на стабилност. По ова, неопходно е да се проучи стабилноста на прилагодениот систем користејќи го критериумот Nyquist-Mikhailov и да се утврдат точните вредности на маргините на стабилност во однос на добивката и фазата. Доколку е потребно, параметрите на контролниот систем потоа се менуваат за да се обезбеди одредената маргина на стабилност.

10.1. Концептот на структурна стабилност. AFFC на астатички самоодни пиштоли

ACS може да биде нестабилен поради две причини: несоодветен состав на динамички врски и несоодветни вредности на параметрите на врската.

Се нарекуваат самоодни пиштоли кои се нестабилни поради првата причина структурно нестабилен.

На пример, ако ACS се состои од кој било број на инерцијални и осцилаторни врски, тој ја има формата прикажана на Сл. 72. Како што се зголемува засилувањето на ACS K, секоја точка од нејзиниот AFC се оддалечува од потеклото на координатите, додека не дојде до одредена вредност К критАФЦ нема да ја помине точката ( -1, j0). Со дополнително зголемување К, самоодниот пиштол ќе биде нестабилен. КИ обратно, кога се намалува Во принцип, таков ACS може да се направи стабилен, поради што се нарекува.

структурно стабилен Ако ACS е астатички, тогаш кога ќе се отвори, карактеристичната равенка може да се претстави како: pD 1 p(p) = 0 , Каде - nред на астатизам 0 , еднаков на бројот на интегратори поврзани во серија. Оваа равенка има нула корени, па кога , AFC има тенденција да (сл. 71c и 71d). На пример, нека W p (p) = = 1 , Еве

, потоа AFC на ACS со отворен циклус: W(j) =

= P() + jQ(). 0 Бидејќи редот на именителот е поголем од редот на броителот, тогаш кога имаме, P() - П()- ј

. Сличен AFC е прикажан на Сл. 73. Бидејќи АФЦ е дисконтинуиран, тешко е да се каже дали ја покрива поентата(-1,j0) 0 .

Во овој случај, користете ја следнава техника: ако AFC претрпи пауза, оди до бесконечност во = 2 , ментално се надополнува со полукруг со бесконечен радиус, почнувајќи од позитивната реална полуоска и продолжувајќи кон АФЦ во негативна насока. По ова може да се примени Nyquist критериумот. Како што може да се види од сликата, системот за автоматска контрола со една интегрирана врска е структурно стабилен. Ако самоодниот пиштол има две интегрирани врски (астатизам), нејзиниот AFC оди до бесконечност во вториот квадрант (сл. 74). На пример, нека

W p (p) =

, потоа самоодни пиштоли AFCH: 0 W(j) = = P() + jQ(). Наимаме

P() -, Q() + j.

Таквиот систем за автоматска контрола нема да биде стабилен за никакви вредности на параметрите, односно е структурно нестабилен.

Структурно нестабилен систем за автоматска контрола може да се направи стабилен со вклучување на корективни врски во него (на пример, диференцирање или принудување) или со промена на структурата на системот за автоматска контрола, на пример, користејќи локални врски за повратни информации. 10.2. Концептот на маржа на стабилност.

Во услови на работа, параметрите на системот поради една или друга причина може да се променат во одредени граници (стареење, температурни флуктуации итн.). Овие флуктуации на параметрите може да доведат до губење на стабилноста на системот ако работи во близина на границата на стабилност. Затоа, тие се стремат да го дизајнираат системот за автоматска контрола така што тој да работи далеку од границата на стабилноста. Степенот на ова отстранување се нарекуваго карактеризира растојанието на AFC ходографот на отворен ACS од критичната точка во насока на вистинската оска и се одредува со растојанието чод критичната точка до точката каде што ходографот ја пресекува оската на апсцисата (сл. 75).

Маргина на фазна стабилностго карактеризира растојанието на ходографот од критичната точка по кружен лак со единечен радиус и се одредува со аголот помеѓу негативната насока на реалната полуоска и зракот извлечен од потеклото на координатите до точката на пресек на ходографот. со единечниот круг.

Како што веќе беше забележано, со зголемување на коефициентот на пренос на системот за автоматска контрола со отворен циклус, модулот на секоја точка од фазно-фреквентниот одговор се зголемува и со одредена вредност К = К кр AFC ќе помине низ критичната точка (сл. 76) и ќе стигне до границата на стабилноста, и кога К > К крзатворен самоодни пиштол ќе стане нестабилен. Меѓутоа, во случај на AFC во форма на „клун“ (добиени поради присуството на внатрешни повратни информации), не само зголемување, туку и намалување Кможе да доведе до губење на стабилноста на затворените самоодни пиштоли (сл. 77). Во овој случај, маргината на стабилност се одредува со два сегменти ч 1И ч 2, склучен помеѓу критичната точка и АФЦ.

Вообичаено, кога се создаваат самоодни пиштоли, се наведуваат потребните маргини на стабилност чи, подалеку од која не треба да оди. Овие граници се поставени во форма на сектор нацртан околу критичната точка, во која AFC на отворен ACS не треба да влегува (сл. 78).

10.3. Анализа на стабилност со LFC

Попогодно е да се процени стабилноста користејќи го критериумот Nyquist користејќи LFC на автоматски контролен систем со отворен циклус. Очигледно, секоја точка на AFC ќе одговара на одредени точки на LFC и LPFC.

Нека се познати карактеристиките на фреквенцијата на два автоматски контролни системи со отворен циклус (1 и 2), кои се разликуваат едни од други само во коефициентот на преносот К 1 2. Нека првиот ACS е стабилен во затворена состојба, вториот не е (сл. 79).

Ако W 1(p)е преносната функција на првиот ACS, потоа трансфер функцијата на вториот ACS W 2 (p) = KW 1 (p), Каде K = K 2 / K 1. W 1(p)Вториот ACS може да се претстави како секвенцијален синџир од две врски со преносни функции K (врска без инерција) и

, затоа, добиените LFC се конструирани како збир на LFC на секоја од врските. Затоа, LAC на вториот самоодни пиштол:,

L 2 () = 20 lgK + L 1 () 2 () = 1 () .

и LFCHH: = - Пресеците на карактеристиките на фазен одговор на реалната оска одговараат на фазната вредност = - . Ова одговара на пресечната точка на LFCH мрежни линии. Во овој случај, како што може да се види во AFC, амплитудитеА 1 () 2 () > 1 , што одговара на вредностите на SAFC.

Споредувајќи ги AFC и LFFC, можеме да заклучиме дека системот во затворена состојба ќе биде стабилен ако вредноста на LFFC = - ќе одговара негативни вредности LACHH и обратно. Модул за маргините на стабилност ч 1И ч 2, определени од AFC одговараат на растојанијата од оската на апсцисата до AFC во точките каде што = - , но на логаритамска скала.

Еднина точки се точките на пресек на AFC со единечната кружница. Фреквенции c1И в2, на кој тоа се случува се нарекува прекинувачки фреквенции.

На раскрсниците A() = 1 = > L() = 0- LAC ја преминува хоризонталната оска. Ако на граничната фреквенција фазата на фазен одговор c1> - (Сл. 79а крива 1), тогаш затворениот ACS е стабилен. На сл. 79б изгледа дека пресекот на LFC на хоризонталната оска одговара на точката LFC која се наоѓа над линијата = - . И обратно за нестабилен систем за автоматска контрола со затворена јамка (сл. 79а, крива 2) в2-, затоа кога = c2 LFCH поминува под линијата = - . Катче 1 = c1 -(-)е маргината на фазна стабилност. Овој агол одговара на растојанието од линијата = - до LFCHH.

Во кој квадрант AFC одговорот на автоматскиот контролен систем со отворен циклус оди до бесконечност ако редот на астатизам е три? Дали таков систем за автоматска контрола е структурно стабилен во затворена состојба:

Како да се направи стабилен структурно нестабилен самоодни пиштол?

Што се нарекува маргина на стабилност на модулот?

Како се нарекува маргината на стабилноста на фазата?

Што е посебно за одредување на маргините на стабилност за самоодни пиштоли во облик на клун?

Како засилувањето на самоодните пиштоли влијае на маргините на стабилност?

На што одговара пресекот на LFC на оската w во AFC?

На што соодветствуваат пресеците на вредностите на LFCH j = -p на AFC?

Која е прекината фреквенција?

Формулирајте го Nyquist критериумот за логаритамски карактеристики.

Која е особеноста на логаритамските карактеристики ако AFC е во облик на клун?

СТРАНИЦА \* СПОЈУВАЊЕ 14

Предавање бр.4

Стабилност на самоодни пиштоли

Својството на системот да се врати во првобитната состојба откако ќе се отстрани нарушувањето се нарекува стабилност.

Дефиниција.

Кривите 1 и 2 карактеризираат стабилен систем, кривите 3 и 4 карактеризираат нестабилни системи.ε

Системите 5 и 6 на границата на стабилност 5 - неутрален систем, 6 - граница на осцилаторна стабилност.

Нека диференцијалната равенка на ACS во форма на оператор ја има формата

Тогаш решението на диференцијалната равенка (системско движење) се состои од два дела Присилно движење од ист тип како и влезното дејство.

Во отсуство на повеќе корени каде Вјас - константи на интеграција утврдени од почетните услови,

 1 ,  2 …,  n корените на карактеристичната равенка

Локација на корените на карактеристиката

равенки на системот на сложената рамнина

Корените на карактеристичната равенка не зависат ниту од видот на нарушување ниту од

почетните услови, а се одредуваат само со коефициентите a 0 , a 1 , a 2 ,…, a n , односно параметрите и структурата на системот.

1-root реален, поголем од нула;

2-root реален, помалку од нула;

3-root е нула;

4-два нула корени;

5-два сложени конјугирани корени чијшто реален дел е

Позитивни;

6-два сложени конјугирани корени, чиј реален дел е негативен;

7-два имагинарни конјугирани корени.

Методи за анализа на стабилност:

1. Директно (врз основа на решавање диференцијални равенки);
2. Индиректни (критериуми за стабилност).

Теоремите на А.М. Љапунова.

Теорема 1.

Теорема 2.

Забелешки:

1. Ако меѓу корените на карактеристичната равенка има два или повеќе нула корени, тогаш системот е нестабилен.
2. Ако еден корен е нула, а сите други се во левата полурамнина, тогаш системот е неутрален.
3. Ако 2 корени се замислени конјугирани, а сите останати се во левата полурамнина, тогаш системот е на осцилаторната граница на стабилност.

Критериуми за стабилност на ACS.

Критериумот за стабилност е правило кое овозможува да се одреди стабилноста на системот без да се пресметаат корените на карактеристичната равенка.

Во 1877 г Инсталиран рут:

1. Критериум за стабилност на Хурвиц

Критериумот беше развиен во 1895 година.

Нека се дефинира карактеристичната равенка на затворен систем: ја намалуваме равенката на формата така штоа 0 > 0.

Да ја составиме главната детерминанта Хурвиц според следново правило:

По главната дијагонала се запишуваат коефициентите на равенката, почнувајќи од втората до последната, колоните нагоре од дијагоналата се пополнуваат со коефициенти со зголемени индекси, а колоните надолу од дијагоналата се пополнуваат со коефициенти со опаѓачки индекси. Во отсуство на кој било коефициент во равенката и наместо коефициенти со индекси помали од 0 и повеќе n напишете нула.

Да ги истакнеме дијагоналните минори или наједноставните детерминанти во главната детерминанта Хурвиц:

Формулирање на критериумот.

За системи повисок од втор ред, покрај позитивноста на сите коефициенти на карактеристичната равенка, мора да се задоволат и следните неравенки:

1. За системи од трет ред:
2. За системи од четврти ред:
3. За системи од петти ред:

1. За системи од шести ред:

Пример. Дадена е карактеристична равенка за проучување на стабилноста на системот според Хурвиц.

За стабилни системи потребно е и

2. Критериум за рут

Критериумот Routh се користи за проучување на стабилноста на системите од висок ред.

Формулација на критериум:

Рутна маса.

Алгоритам за пополнување на табелата: првата и втората линија ги содржат коефициентите на равенката со парни и непарни индекси; елементите од останатите редови се пресметуваат според следново правило:

Предноста на критериумот: може да се проучува стабилноста на системите од кој било ред.

2. Никвист критериум за стабилност

Принцип на аргумент

Фреквентистичките методи се засноваат на принципот на аргументација.

Да ги анализираме својствата на полиномот на формата:

Каде што fi - корени на равенката

На сложената рамнина, секој корен одговара на добро дефинирана точка. Геометриски, секој корен јас може да се претстави како вектор извлечен од потеклото до точката јас : |  јас | - векторска должина, арг јас - агол помеѓу векторот и позитивна насокаоска на апсциса. Дозволете ни да го мапираме D(p) во просторот на Фурие, тогаш каде j -  i - елементарен вектор.

Краевите на елементарните вектори се на имагинарната оска.

Големината на векторот и аргументот (фаза)

Правецот на ротација на векторот спротивно од стрелките на часовникот се зема како ПОЗИТИВ. Потоа при менување од до секој елементарен вектор ( j  -  i ) ќе се сврти за агол + ако  i лежи во левата полурамнина.

Нека D ( )=0 има m корени во десната полурамнина и n - m корени во левата страна, а потоа со зголемување од за промена на аргументот на векторот D(j ) (агол на ротација D(j ), еднаков на збирот на промените во аргументите на елементарните вектори) ќе биде

Принцип на аргумент:

Критериумот Nyquist се заснова на фреквентните карактеристики на отвореното коло на ACS, бидејќи типот на фреквентни карактеристики на отвореното коло може да се користи за да се процени стабилноста на затворениот систем.

Критериумот Nyquist е широко користен во инженерската практика од следниве причини:

1. Стабилноста на системот во затворена состојба се проучува со функцијата за пренос на фреквенција на неговото отворено коло, а оваа функција најчесто се состои од едноставни фактори. Коефициентите се реални параметрисистеми, што овозможува нивно избирање од условите на стабилност.
2. За да ја проучувате стабилноста, можете да користите експериментално добиени карактеристики на фреквенција на најсложените елементи на системот (контролен објект, извршно тело), ​​што ја зголемува точноста на добиените резултати.
3. Стабилноста може да се проучува со користење на LFC, чија конструкција е едноставна.
4. Удобно е да се одредат маргините на стабилност.

1. Систем стабилен во отворена состојба

Дозволете ни да воведеме помошна функција и да замениме p  j  , тогаш

Според принципот на аргумент, менување на аргументот D(j ) и D з (j  ) на 0<  <  е еднакво Тогаш тоа е ходографот W 1 (j  ) не смее да го опфаќа потеклото.

За да ја поедноставиме анализата и пресметките, да го префрлиме потеклото на векторот на радиусот од потеклото на координатите до точката (-1,ј 0), и наместо помошната функција W 1 (j  ) користиме AFC на систем со отворен циклус W (j  ).

Формулација на критериум бр.1

Примери.

Забележете дека разликата во бројот на позитивни и негативни транзиции на АФЦ лево од точката (-1, j 0) е еднакво на нула.

2. Систем кој има столбови на имагинарната оска во отворена состојба

За да се анализира стабилноста на системот AFC, тие се дополнети со круг со бескрајно голем радиус во 0 спротивно од стрелките на часовникот до позитивната реална полуоска на нула полови, а во случај на чисто имагинарни корени - со полукруг во насока на стрелките на часовникот во точката на дисконтинуитет на AFC.

Формулација на критериум бр.2

1. Систем со интермитентно отворено коло

Поопшт случај - именителот на функцијата за пренос на систем со отворен циклус содржи корени што лежат во десната полурамнина. Појавата на нестабилност во системот со отворен циклус е предизвикана од две причини:

1. Последица на присуството на нестабилни врски;
2. Последица на губење на стабилноста на врските покриени со позитивни или негативни повратни информации.

X Иако теоретски целиот систем во затворена состојба може да биде стабилен во присуство на нестабилност во локалното коло за повратни информации, во пракса таков случај е непожелен и треба да се избегнува со обид да се користат само стабилни локални повратни информации. Ова се објаснува со присуството на непожелни својства, особено со појавата на условна стабилност, која, со оглед на нелинеарностите што обично се присутни во системот, во некои режими може да доведе до губење на стабилноста и појава на самоосцилации. Затоа, по правило, при пресметувањето на системот се избираат такви локални повратни информации кои би биле стабилни кога главната повратна информација е отворена.

Нека карактеристичниот полиномД(стр ) системот со отворен циклус имам корени со позитивен реален дел.

Потоа

Функција за помош за замена p  j  според принципот на аргумент за стабилни затворени системи треба да ја имаат следната промена на аргументот кај

Формулација на критериум бр.3

Формулација од Ya.Z. Ципкина

Nyquist критериум за LFC

Забелешка: фазната карактеристика на LFC на астатични системи е дополнета со монотон пресек + /2 на  0.

Пример 1. Овде m =0  системот е стабилен, но со опаѓањек системот може да биде нестабилен, затоа таквите системи се нарекуваат условно стабилни.

Пример 2. 20 лг 1/ Т 0 Еве За било кој к системот е нестабилен. Таквите системи се нарекуваат структурно нестабилни.

Пример 3. AFH покрива точка со координати (-1,ј 0) 1/2 пати, затоа затворениот систем е стабилен.

Пример 4. на  0 AFC има дисконтинуитет и затоа мора да биде дополнет со лак со бескрајно голем радиус од негативната реална полуоска. Во областа од -1 до - има една позитивна транзиција и една и пол негативни. Разликата помеѓу позитивните и негативните транзиции е -1/2, а за стабилност на систем со затворена јамка е потребен +1/2, бидејќи карактеристичниот полином на системот со отворен циклус има еден позитивен корен - системот е нестабилен.

Апсолутно одржливоТие нарекуваат систем кој останува стабилен за секое намалување на засилувањето на отворено коло, инаку системот е условно стабилен.

Се нарекуваат системи кои можат да се направат стабилни со промена на нивните параметриструктурно стабилен, инаку структурно нестабилен.

Маргини на стабилност

За нормално функционирање, секој ACS мора да се отстрани од границата на стабилност и да има доволна маргина на стабилност. Потребата за ова се должи на следниве причини:

1. Равенките на елементите на ACS, по правило, се идеализираат секундарните фактори при нивното составување;
2. При линеаризирање на равенките, грешките при приближување дополнително се зголемуваат;
3. Параметрите на елементите се одредуваат со одредена грешка;
4. Параметрите на елементите од ист тип имаат технолошка варијација;
5. За време на работата, параметрите на елементите се менуваат поради стареење.

Во практиката на инженерски пресметки, најкористеното определување на маргината на стабилност се заснова на критериумот NYQVIST, врз основа на растојанието на AFC на систем со отворен циклус од критичната точка со координати (-1,ј 0), што се оценува со два индикатора: маргина на стабилност на фазата и маргина на стабилност во модул (во амплитуда)Х.

Со цел АТС да има маргини на стабилност од најмалку и Х , AFC на неговото отворено коло, доколку е задоволен критериумот за стабилност, не треба да влегува во делот од прстенот засенчен на сл. 1, кадеХ се определува со релацијата

Ако стабилноста е одредена од LFC на условно стабилните системи, тогаш да се обезбедат маргини на стабилност од најмалку и h е неопходно за да:

а) за h  L  - ч фазно-фреквентната карактеристика ги задоволи нееднаквоститеθ > -180  +  или θ< -180  -  , т.е. не влезе во засенчената област 1 на сл. 2;

б) на -180  +   θ  -180  -  амплитудно-фреквентната карактеристика ги задоволи нееднаквоститеЛ< - h или L >ч , т.е. не влезе во засенчените области 2" и 2" на слика 2.

За апсолутно стабилен систем, маргините на стабилноста и h се одредуваат како што е прикажано на сл. 3:

1. Маргина на фаза

1. Маргина на модулот h =- L (ω -π), каде што ω -π фреквенција на која θ=-180˚ .

Потребните вредности на маргините на стабилност зависат од класата на ATS и барањата за квалитетот на регулацијата. Приближно треба да биде =30  60  и h =6  20dB.

Минималните дозволени маргини на стабилност во амплитудата не смеат да бидат помали од 6 dB (односно, коефициентот на пренос на системот со отворен циклус е половина од критичната вредност), а во фаза не помал од 25 30  .

Стабилност на систем со чиста врска за одложување

Ако AFC на систем со отворен циклус минува низ точката (-1,ј 0), тогаш системот е на работ на стабилност.

Систем со чисто доцнење може да се направи стабилен ако во колото е вклучена врска без инерција со коефициент на пренос помал од 1.

Структурно стабилни и структурно нестабилни системи

Еден начин да се промени квалитетот на системот (во смисла на стабилност) е да се промени коефициентот на пренос на системот со отворен циклус.

Кога k L ( ) ќе се издигне или ќе падне. Ако k зголемување, L ( ) се зголемува и  средна ќе се зголеми, но системот ќе остане нестабилен. Акок се намали, тогаш системот може да се направи стабилен. Ова е еден од начините за корекција на системот.

Системите кои можат да се направат стабилни со менување на параметрите на системот се нарекуваат СТРУКТУРНО ОДРЖЛИВИ.

За овие системи постои критичен сооднос на пренос на отворен циклус.К крит. ова е коефициентот на пренос кога системот е на работ на стабилност.

Постојат СТРУКТУРАЛНО НЕСТАБИЛНИ системи - тоа се системи кои не можат да се направат стабилни со менување на параметрите на системот, но за стабилност потребно е да се промени структурата на системот.

Пример.

Да разгледаме три случаи:

1. Нека

Потоа

Ајде да го провериме системот за стабилност.

Δ = a 3 Δ 2 >0.

Да се ​​определи к рс.кр. да се изедначиме со нула 2 .

Потоа

Кога кога

Системот што се разгледува е СТРУКТУРНО СТАБИЛЕН, бидејќи може да се стабилизира со менување на параметрите на врските.

1. Нека бидат исти како во првиот случај.

Сега нема статичка грешка на контролниот канал.

Услови за стабилност на Хурвиц:

Нека  2 =0, тогаш ако системот е нестабилен.

Овој системсо астатизам од 1 ред СТРУКТУРНО СТАБИЛНИ.

1. Нека

Системот е секогаш нестабилен. Овој систем е СТРУКТУРНО НЕСТАБИЛЕН.

Стабилност на самоодни пиштоли, општи концептиодржливост

Име на параметарот	Значење
Тема на статијата:	Стабилност на самоодни пиштоли, општи концепти на стабилност
Рубрика (тематска категорија)	Математика

Стабилноста на системот за автоматска контрола е една од најважните карактеристикисистеми, бидејќи перформансите на системот зависи од тоа. Систем кој нема стабилност не може ефикасно да го реши контролниот проблем. Недостатокот на стабилност, исто така, може да доведе до уништување на самиот систем за време на контролниот процес или уништување на контролниот објект затоа, употребата на нестабилни системи е несоодветна.

Стабилност на системот за автоматска контрола - ова е својство на воздушниот систем

ротираат до почетната состојба на рамнотежа по престанокот на влијанието што го доведе системот до состојба на почетна рамнотежа.

Пример за стабилни и нестабилни системи се системи на топка лоцирани на вдлабнати и конвексна површина, претставено на Слика 60.

Сл.60. Примери на системи: а) стабилни; б) нестабилна

На слика 60а, топката сместена на конкавна површина и поместена на страна со одредена сила ќе се врати во првобитната положба на рамнотежа по завршувањето на надворешното влијание. Во отсуство на триење на површината или нејзината минимална вредност, топката ќе врши кратки осцилации околу положбата на рамнотежа додека не се врати во првобитната положба на рамнотежа (крива 1 - придушена осцилаторен процес). Со големо триење, топката ќе се врати во почетната положба на рамнотежа без осцилации (крива 2 - апериодичен процес). На многу големо значењетриење, топката може да не се врати во почетната рамнотежна положба (крива 3), но ќе се врати во регион блиску до положбата на рамнотежа. Во разгледуваниот случај, постои стабилен систем. Во стабилните системи за автоматска контрола се случуваат слични минливи процеси (придушени осцилаторни и апериодични).

На слика 60б, топката сместена на конвексна површина и поместена на страна со одредена сила нема да се врати во почетната рамнотежна положба (крива 4), и затоа системот е нестабилен. Во нестабилните системи, минливите процеси се случуваат во форма на дивергентни осцилации (крива 5) или апериодични (крива 4).

Нестабилноста на ACS, како по правило, се јавува поради многу силен ефект на повратни информации. Причините за динамичка нестабилност обично се значајни инерцијални карактеристики на врските на системот со затворена јамка, поради што сигналот за повратна информација во режимот на осцилација толку заостанува зад влезниот сигнал што е во фаза со него. Излегува дека природата на негативните повратни информации го зема ликот

позитивен.

Ајде да создадеме математички опис на стабилноста и нестабилноста. Бидејќи стабилноста на системот зависи само од природата на неговото слободно движење, ова слободно движење на системот може да се опише со хомогена диференцијална равенка:

карактеристична равенка, која ќе биде претставена со следниот израз:

Општо решениеДа ја претставиме хомогената диференцијална равенка (2.19.) во следнава форма:

Каде C k - константи во зависност од почетните услови, стр к се корените на карактеристичната равенка.

Корените на карактеристичната равенка можат да бидат сложени ( p k = α k ± jβ k ), валиден ( p k = α k ) или имагинарен ( стр к = jβ k ). Сложените корени секогаш се спојуваат во пар еден со друг, ᴛ.ᴇ. ако има корен на равенка со позитивен имагинарен дел, тогаш сигурно ќе постои корен со иста апсолутна вредност, но негативен имагинарен дел. y(t) на т → ∞ од (2.21.) ќе има тенденција на нула само кога секој член С к е п к т → 0. Природата на оваа функција ќе зависи од типот на коренот. Можни случаи на локација на коренот стр к на сложената рамнина и нивните соодветни функции y(t) = C k e p k t се претставени на слика 61. Изгледот на функциите е прикажан во внатрешноста на елипсите.

Сл.61. Влијанието на локацијата на корените на карактеристичната равенка на

компоненти на слободното движење на системот

Слика 61 покажува дека ако секој реален корен стр к= α k за изразот (2.21.) терминот ќе одговара:

y k (t) = C k eα k t(2.22.)

потоа во α до< 0 (корен стр 1) функција на т→ ∞ ќе има тенденција на нула кога α k > 0 (корен стр 3 ) функцијата ќе се зголеми без ограничување и кога α k = 0 (корен стр 2) функцијата ќе остане константна.

Ако карактеристичната равенка има комплексни корени, потоа секој пар на конјугирани комплексни корени p k, k+1 = α k ± jβ k , ќе има два поими кои одговараат на нив, кои може да се комбинираат и да се претстават како следниов израз:

Оваа функција е синусоид со експоненцијално различна амплитуда и фреквенција β k . За негативен реален дел од два сложени корени α k, k+1< 0 , (корени стр 4 И стр5 ) осцилаторната компонента на функцијата ќе се распадне и со позитивен реален дел α k, k+1 > 0 , (корени стр 8 И стр 9 ) амплитудата на осцилациите ќе се зголемува без ограничување. Во отсуство на реален дел од сложени корени α k, k+1 = 0 (корени стр 6 И стр7 ), ᴛ.ᴇ. во присуство на само имагинарни корени, функцијата ќе биде континуиран синусоид со фреквенција β k .

Врз основа на дефиницијата за стабилност, ако почетната позиција на рамнотежа се земе нула, тогаш за стабилни системи вредноста на излезниот параметар треба да се стреми кон нула со текот на времето, ᴛ.ᴇ. системот сам ќе се врати во својата рамнотежна положба. Неопходен и доволен услов за тоа е сите членови од решението на диференцијалната равенка (2.21.) да се стремат кон нула со текот на времето, што треба да се постигне со негативни реални корени на равенката, а сложените корени да имаат негативен реален дел. Постоењето на барем еден позитивен реален корен или пар сложени корени со позитивен реален дел ќе резултира со тоа што вредноста на излезниот параметар на системот не се враќа на неговата првобитна вредност, ᴛ.ᴇ. системот ќе биде нестабилен.

Анализирајќи ја локацијата на корените на карактеристичната равенка на сложената рамнина, претставена на Слика 62, може да се забележи дека ACS е стабилен ако сите корени на карактеристичната равенка се во левата полурамнина и сите се негативни реални или комплекс со негативен реален дел. Присуството на најмалку еден корен во десната полурамнина ќе ја карактеризира нестабилноста на системот.

Стабилноста на системот е внатрешно својство на системот, зависи само од типот на корените на карактеристичната равенка која ги опишува својствата на системот и не зависи од надворешни влијанија. Неопходен и доволен услов за стабилноста на системот е положбата на сите корени на равенката во левата (негативна) полурамнина.

Позитивните и негативните полурамнини, во кои се наоѓаат позитивните или негативните корени на карактеристичната равенка, обезбедувајќи стабилност или нестабилност на системот, се одделени со имагинарната оска ± jβ . Оваа оска е граница на стабилност, затоа, ако карактеристичната равенка има еден пар чисто имагинарни корени p k, k+1 =± jβ k , а другите корени се во негативна полурамнина, тогаш системот се карактеризира со присуство на непридушени осцилации со фреквенција ω = β k. Општо е прифатено дека во овој случај системот е на граница на осцилаторна стабилност .

Точка β = 0 на имагинарната оска одговара на нултиот корен. Равенката која има еден нула корен се смета дека е во апериодична граница на стабилност , а во присуство на два нула корени системот е нестабилен.

Сл.62. Локацијата на корените на карактеристичната равенка на стабилен систем на

комплексен авион

Не заборавајте дека равенките на речиси сите реални системи за автоматска контрола не се линеарни, туку се сведени на линеарни равенки користејќи линеаризација, затоа, претпоставките направени за време на линеаризацијата може да влијаат на исправноста на стабилноста на системот за дефиниција.

А. М. Љапунов во 1892 година. во своето дело ʼʼ Општа задачаза стабилноста на движењето, тој даде доказ за теоремата во која беа направени следните заклучоци за линеаризирани равенки:

1. Ако сите реални корени на карактеристичната равенка на системот се негативни, тогаш системот се смета за стабилен.

2. Ако барем еден реален корен од карактеристичната равенка на системот е позитивен, тогаш системот се смета за нестабилен.

3. Ако карактеристичната равенка на линеаризиран систем има барем еден нула корен или еден пар имагинарни корени, тогаш невозможно е да се процени стабилноста на реалниот систем користејќи ја линеаризираната равенка.

Следствено, од исклучително значење е да се извлече заклучок за стабилноста на реалните системи врз основа на анализата на првобитната нелинеарна равенка, а за да се одреди нестабилноста или стабилноста на системот, доволно е да се идентификува позитивноста (негативноста) на реални корени на карактеристичната равенка.

Критериуми за одржливост наведете одредени правила со кои во теоријата на автоматско управување се одредуваат знаците на корените на карактеристичната равенка без да се реши. Постојат алгебарски и фреквентни критериуми за стабилност.

Алгебарски критериуми стабилноста на системот се нарекува исклучително важна и доволна состојбанегативноста на корените за одредени вредности на коефициентите во карактеристичната равенка.

Критериуми за фреквенција стабилност на системот, воспоставена е зависноста на стабилноста на системот од обликот на фреквентните карактеристики на системот.

Стабилност на самоодни пиштоли, општи концепти за стабилност - концепт и типови. Класификација и карактеристики на категоријата „Стабилност на самоодни пиштоли, општи концепти на стабилност“ 2017, 2018 година.