Речиси секоја квадратна равенка \ може да се претвори во форма \ Сепак, ова е можно ако првично го поделите секој член со коефициент \пред \ Покрај тоа, можете да воведете нова нотација:

\[(\frac (b)(a))= p\] и \[(\frac (c)(a)) = q\]

Поради ова, ќе имаме равенка \ наречена во математиката намалена квадратна равенка. Корените на оваа равенка и коефициентите се меѓусебно поврзани, што е потврдено со теоремата на Виета.

Теорема на Виета: Збир на корените на даденото квадратна равенка\ е еднаков на вториот коефициент \ земен со спротивен знак, а производот на корените е слободниот член \

За јасност, да ја решиме следнава равенка:

Ајде да ја решиме оваа квадратна равенка користејќи ги напишаните правила. Откако ги анализиравме првичните податоци, можеме да заклучиме дека равенката ќе има два различни корени, бидејќи:

Сега, од сите фактори на бројот 15 (1 и 15, 3 и 5), ги избираме оние чија разлика е еднаква на 2. Броевите 3 и 5 спаѓаат под овој услов број. Така, ги добиваме корените на равенката \

Одговор: \[ x_1= -3 и x_2 = 5\]

Каде можам да решам равенка користејќи ја теоремата на Виета на интернет?

Равенката можете да ја решите на нашата веб-страница https://site. Бесплатниот онлајн решавач ќе ви овозможи да решавате онлајн равенки од секаква сложеност за неколку секунди. Сè што треба да направите е едноставно да ги внесете вашите податоци во решавачот. Можете исто така да гледате видео инструкции и да научите како да ја решите равенката на нашата веб-страница. И ако сè уште имате прашања, можете да ги поставите во нашата група VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Придружете се на нашата група, ние секогаш сме среќни да ви помогнеме.

Постојат голем број на врски во квадратните равенки. Главните се односите помеѓу корените и коефициентите. Исто така, во квадратните равенки има голем број на врски кои се дадени со теоремата на Виета.

Во оваа тема ќе ја претставиме самата теорема на Виета и нејзиниот доказ за квадратна равенка, теоремата инверзна на теоремата на Виета и ќе анализираме голем број примери за решавање проблеми. Во материјалот посебно внимание ќе посветиме на разгледувањето на формулите на Виета, кои ја дефинираат врската помеѓу вистинските корени алгебарска равенкастепени nи неговите коефициенти.

Формулација и доказ на теоремата на Виета

Формула за корените на квадратна равенка a x 2 + b x + c = 0од формата x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a, каде што D = b 2 − 4 a c, воспоставува односи x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a. Ова е потврдено со теоремата на Виета.

Теорема 1

Во квадратна равенка a x 2 + b x + c = 0, Каде x 1И x 2– корени, збирот на корените ќе биде еднаков на односот на коефициентите бИ а, кој е земен со спротивен знак, а производот на корените ќе биде еднаков на односот на коефициентите вИ а, т.е. x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a.

Доказ 1

Ви ја нудиме следната шема за извршување на докажувањето: земете ја формулата на корените, составете го збирот и производот на корените на квадратната равенка и потоа трансформирајте ги добиените изрази за да бидете сигурни дека тие се еднакви -б аИ в асоодветно.

Да го направиме збирот на корените x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a. Да ги намалиме дропките на заеднички именител- b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a . Да ги отвориме заградите во броителот на добиената дропка и да претставиме слични поими: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . Да ја намалиме дропката за: 2 - b a = - b a.

Така ја докажавме првата релација на теоремата на Виета, која се однесува на збирот на корените на квадратна равенка.

Сега да преминеме на втората врска.

За да го направите ова, треба да го составиме производот од корените на квадратната равенка: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.

Да се ​​потсетиме на правилото за множење дропки и да го запишеме последниот производ на следниов начин: - b + D · - b - D 4 · a 2.

Ајде да помножиме една заграда со заграда во броителот на дропката или да ја користиме формулата за разлика на квадрати за да го трансформираме овој производ побрзо: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .

Ајде да ја искористиме дефиницијата квадратен коренсо цел да се направи следниот премин: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2. Формула D = b 2 − 4 a cодговара на дискриминантата на квадратна равенка, затоа, во дропка наместо во Дможе да се замени b 2 − 4 a c:

b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

Да ги отвориме заградите, да додадеме слични поими и да добиеме: 4 · a · c 4 · a 2 . Ако го скратиме на 4 а, тогаш она што останува е c a . Така ја докажавме втората релација на теоремата на Виета за производот на корените.

Доказот за теоремата на Виета може да се напише во многу лаконска форма ако ги испуштиме објаснувањата:

x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a , x 1 x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .

Кога дискриминантата на квадратна равенка е еднаква на нула, равенката ќе има само еден корен. За да можеме да ја примениме теоремата на Виета на таква равенка, можеме да претпоставиме дека равенката, со дискриминанта еднаква на нула, има два идентични корени. Навистина, кога D=0коренот на квадратната равенка е: - b 2 · a, потоа x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a и x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 , и бидејќи D = 0, односно б 2 - 4 · a · c = 0, од ​​каде b 2 = 4 · a · c, потоа b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a.

Најчесто во пракса, теоремата на Виета се применува на намалената квадратна равенка на формата x 2 + p x + q = 0, каде водечкиот коефициент a е еднаков на 1. Во овој поглед, теоремата на Виета е формулирана специјално за равенки од овој тип. Ова не ја ограничува општоста поради фактот што секоја квадратна равенка може да се замени со еквивалентна равенка. За да го направите ова, треба да ги поделите двата негови делови со број различен од нула.

Да дадеме уште една формулација на теоремата на Виета.

Теорема 2

Збир на корени во дадената квадратна равенка x 2 + p x + q = 0ќе биде еднаков на коефициентот x, кој се зема со спротивен знак, производот од корените ќе биде еднаков на слободниот член, т.е. x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q.

Теоремата е во спротивност со теоремата на Виета

Ако внимателно ја погледнете втората формулација на теоремата на Виета, можете да видите дека за корените x 1И x 2намалена квадратна равенка x 2 + p x + q = 0ќе важат следните релации: x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q. Од овие релации x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q следува дека x 1И x 2се корените на квадратната равенка x 2 + p x + q = 0. Така, доаѓаме до изјава која е обратна од теоремата на Виета.

Сега предлагаме да ја формализираме оваа изјава како теорема и да го спроведеме неговото докажување.

Теорема 3

Доколку бројките x 1И x 2се такви што x 1 + x 2 = − стрИ x 1 x 2 = q, Тоа x 1И x 2се корените на намалената квадратна равенка x 2 + p x + q = 0.

Доказ 2

Замена на шансите стрИ qна нивното изразување преку x 1И x 2ви овозможува да ја трансформирате равенката x 2 + p x + q = 0во еквивалент .

Ако го замениме бројот во добиената равенка x 1наместо x, тогаш ја добиваме еднаквоста x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Ова е еднаквост за секој x 1И x 2се претвора во вистинска нумеричка еднаквост 0 = 0 , бидејќи x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Ова значи дека x 1– корен на равенката x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, Па што x 1е и коренот на еквивалентната равенка x 2 + p x + q = 0.

Замена во равенка x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0броеви x 2наместо x ни овозможува да добиеме еднаквост x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Оваа еднаквост може да се смета за вистинита, бидејќи x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Излегува дека x 2е коренот на равенката x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, па оттука и равенките x 2 + p x + q = 0.

Спротивното на теоремата на Виета е докажано.

Примери за користење на теоремата на Виета

Ајде сега да почнеме да анализираме најмногу типични примерина темата. Да почнеме со анализа на проблемите кои бараат примена на теоремата инверзна на теоремата на Виета. Може да се користи за проверка на броеви произведени со пресметки за да се види дали тие се корени на дадена квадратна равенка. За да го направите ова, треба да го пресметате нивниот збир и разлика, а потоа да ја проверите валидноста на односите x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = a c.

Исполнувањето на двете релации укажува дека бројките добиени при пресметките се корени на равенката. Ако видиме дека барем еден од условите не е исполнет, тогаш овие бројки не можат да бидат корени на квадратната равенка дадена во исказот на проблемот.

Пример 1

Кој од паровите броеви 1) x 1 = − 5, x 2 = 3, или 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3, или 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 е пар корени на квадратна равенка 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?

Решение

Да ги најдеме коефициентите на квадратната равенка 4 x 2 − 16 x + 9 = 0.Ова е a = 4, b = − 16, c = 9. Според теоремата на Виета, збирот на корените на квадратната равенка мора да биде еднаков на -б а, односно, 16 4 = 4 , а производот на корените мора да биде еднаков в а, односно, 9 4 .

Да ги провериме добиените броеви со пресметување на збирот и производот на броевите од три дадени парови и споредувајќи ги со добиените вредности.

Во првиот случај x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2. Оваа вредност е различна од 4, затоа, проверката не треба да се продолжи. Според теоремата обратна на теоремата на Виета, веднаш можеме да заклучиме дека првиот пар на броеви не се корените на оваа квадратна равенка.

Во вториот случај, x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Гледаме дека првиот услов е исполнет. Но, вториот услов не е: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3. Вредноста што ја добивме е различна од 9 4 . Ова значи дека вториот пар на броеви не се корените на квадратната равенка.

Ајде да продолжиме да го разгледуваме третиот пар. Тука x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 и x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. И двата услови се исполнети, што значи x 1И x 2се корени на дадена квадратна равенка.

Одговор: x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2

Можеме да ја искористиме и обратната страна на теоремата на Виета за да ги најдеме корените на квадратната равенка. Наједноставниот начин е да се изберат целобројни корени од дадените квадратни равенки со целобројни коефициенти. Може да се разгледаат и други опции. Но, ова може значително да ги комплицира пресметките.

За да избереме корени, го користиме фактот дека ако збирот на два броја е еднаков на вториот коефициент на квадратна равенка, земен со знак минус, а производот од овие броеви е еднаков на слободниот член, тогаш овие броеви се корените на оваа квадратна равенка.

Пример 2

Како пример, ја користиме квадратната равенка x 2 − 5 x + 6 = 0. Броеви x 1И x 2може да бидат корените на оваа равенка ако се задоволени две еднаквости x 1 + x 2 = 5И x 1 x 2 = 6. Ајде да ги избереме овие бројки. Ова се броевите 2 и 3, бидејќи 2 + 3 = 5 И 2 3 = 6. Излегува дека 2 и 3 се корените на оваа квадратна равенка.

Спротивното на теоремата на Виета може да се користи за да се најде вториот корен кога првиот е познат или очигледен. За да го направите ова, можеме да ги користиме односите x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a.

Пример 3

Размислете за квадратната равенка 512 x 2 − 509 x − 3 = 0. Неопходно е да се најдат корените на оваа равенка.

Решение

Првиот корен на равенката е 1, бидејќи збирот на коефициентите на оваа квадратна равенка е нула. Излегува дека x 1 = 1.

Сега да го најдеме вториот корен. За ова можете да ја користите врската x 1 x 2 = c a. Излегува дека 1 x 2 = − 3.512, каде x 2 = - 3.512.

Одговор:корените на квадратната равенка наведени во изјавата за проблемот 1 И - 3 512 .

Можно е да се изберат корени користејќи ја теоремата инверзна на теоремата на Виета само во едноставни случаи. Во други случаи, подобро е да се пребарува користејќи ја формулата за корените на квадратната равенка преку дискриминатор.

Благодарение на обратната страна на теоремата на Виета, можеме да конструираме и квадратни равенки користејќи ги постоечките корени x 1И x 2. За да го направите ова, треба да го пресметаме збирот на корените, што го дава коефициентот за xсо спротивен знак од дадената квадратна равенка, и производ од корените, кој го дава слободниот член.

Пример 4

Напиши квадратна равенка чии корени се броеви − 11 И 23 .

Решение

Да претпоставиме дека x 1 = − 11И x 2 = 23. Збирот и производот на овие броеви ќе бидат еднакви: x 1 + x 2 = 12И x 1 x 2 = − 253. Ова значи дека вториот коефициент е 12, слободниот член − 253.

Ајде да направиме равенка: x 2 − 12 x − 253 = 0.

Одговори: x 2 − 12 x − 253 = 0.

Можеме да ја користиме теоремата на Виета за да ги решиме проблемите што ги вклучуваат знаците на корените на квадратните равенки. Врската помеѓу теоремата на Виета е поврзана со знаците на корените на намалената квадратна равенка x 2 + p x + q = 0како што следува:

• ако квадратната равенка има реални корени и ако членот за пресек qе позитивен број, тогаш овие корени ќе го имаат истиот знак „+“ или „-“;
• ако квадратната равенка има корени и ако членот за пресек qе негативен број, тогаш еден корен ќе биде „+“, а вториот „-“.

И двете од овие изјави се последица на формулата x 1 x 2 = qи правила за множење позитивни и негативни броеви, како и броеви со различни знаци.

Пример 5

Дали се корените на квадратна равенка x 2 − 64 x − 21 = 0позитивно?

Решение

Според теоремата на Виета, корените на оваа равенка не можат да бидат позитивни, бидејќи тие мора да ја задоволат еднаквоста x 1 x 2 = − 21. Ова е невозможно со позитивно x 1И x 2.

Одговор:Бр

Пример 6

На кои параметри вредности рквадратна равенка x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0ќе има два вистински корени со различни знаци.

Решение

Да почнеме со наоѓање на чии вредности р, за што равенката ќе има два корени. Ајде да го најдеме дискриминаторот и да видиме што рќе бидат потребни позитивни вредности. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Вредност на изразување r 2 + 8позитивно за секој вистински р, според тоа, дискриминаторот ќе биде поголем од нула за секој реален р. Ова значи дека оригиналната квадратна равенка ќе има два корени за сите реални вредности на параметарот р.

Сега да видиме кога корените ќе се вкорени различни знаци. Ова е можно ако нивниот производ е негативен. Според теоремата на Виета, производот од корените на намалената квадратна равенка е еднаков на слободниот член. Средства, правилна одлукаќе ги има тие вредности р, за кој слободниот член r − 1 е негативен. Ајде да одлучиме линеарна нееднаквост r − 1< 0 , получаем r < 1 .

Одговор:на р< 1 .

Формулите на Виета

Постојат голем број на формули кои се применливи за извршување на операции со корени и коефициенти на не само квадратни, туку и кубни и други видови равенки. Тие се нарекуваат формули на Виета.

За алгебарска равенка на степен nод формата a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 се смета дека равенката има nвистински корени x 1 , x 2 , ... , x n, меѓу кои може да биде истото:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = - a 1 a 0, x 1 · x 2 + x 1 · x 3 +. . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0, x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 +. . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0

Дефиниција 1

Формулите на Виета ни помагаат да добиеме:

• теорема за разложување на полином на линеарни множители;
• определување на еднакви полиноми преку еднаквост на сите нивни соодветни коефициенти.

Така, полиномот a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n и негово проширување во линеарни фактори од формата a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) се еднакви.

Ако ги прошириме заградите во последната работаи изедначете ги соодветните коефициенти, ги добиваме формулите на Виета. Земајќи n = 2, можеме да ја добиеме формулата на Виета за квадратната равенка: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0.

Дефиниција 2

Виета формула за кубна равенка:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

Левата страна на формулата Виета ги содржи таканаречените елементарни симетрични полиноми.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Во математиката постојат посебни техники со кои многу квадратни равенки може да се решат многу брзо и без никакви дискриминатори. Покрај тоа, со соодветна обука, многумина почнуваат да ги решаваат квадратните равенки усно, буквално „на прв поглед“.

За жал, во модерен курсВо училишната математика, таквите технологии речиси никогаш не се изучуваат. Но, треба да знаете! И денес ќе разгледаме една од овие техники - теоремата на Виета. Прво, да воведеме нова дефиниција.

Квадратна равенка од формата x 2 + bx + c = 0 се нарекува намалена. Ве молиме имајте предвид дека коефициентот за x 2 е 1. Нема други ограничувања за коефициентите.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 е намалена квадратна равенка;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - исто така намалена;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - но тоа воопшто не е дадено, бидејќи коефициентот x 2 е еднаков на 2.

Се разбира, секоја квадратна равенка од формата ax 2 + bx + c = 0 може да се намали - само поделете ги сите коефициенти со бројот a. Секогаш можеме да го направиме ова, бидејќи дефиницијата за квадратна равенка имплицира дека ≠ 0.

Точно, овие трансформации нема секогаш да бидат корисни за наоѓање корени. Подолу ќе се погрижиме тоа да се направи само кога во крајната равенка дадена со квадратот сите коефициенти се цели броеви. Засега, да ги погледнеме наједноставните примери:

Задача. Претворете ја квадратната равенка во намалената равенка:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0.

Да ја поделиме секоја равенка со коефициентот на променливата x 2. Добиваме:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - подели сè со 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - поделено со −4;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - поделено со 1,5, сите коефициенти станаа цели броеви;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 - поделено со 2. Во овој случај се појавија фракциони коефициенти.

Како што можете да видите, горенаведените квадратни равенки може да имаат целобројни коефициенти дури и ако првобитната равенка содржела фракции.

Сега да ја формулираме главната теорема, за која, всушност, беше воведен концептот на намалена квадратна равенка:

Теорема на Виета. Размислете за намалената квадратна равенка од формата x 2 + bx + c = 0. Да претпоставиме дека оваа равенка има реални корени x 1 и x 2. Во овој случај, следните изјави се вистинити:

1. x 1 + x 2 = −b. Со други зборови, збирот на корените на дадената квадратна равенка е еднаков на коефициентот на променливата x, земен со спротивен знак;
2. x 1 x 2 = в. Производот на корените на квадратната равенка е еднаков на слободниот коефициент.

Примери. За едноставност, ќе ги разгледаме само горенаведените квадратни равенки кои не бараат дополнителни трансформации:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; корени: x 1 = 4; x 2 = 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = −15; корени: x 1 = 3; x 2 = −5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; корени: x 1 = −1; x 2 = −4.

Теоремата на Виета ни дава дополнителни информации за корените на квадратната равенка. На прв поглед, ова може да изгледа тешко, но дури и со минимална обука ќе научите да ги „гледате“ корените и буквално да ги погодувате за неколку секунди.

Задача. Решете ја квадратната равенка:

1. x 2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 − 12x + 27 = 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0.

Ајде да се обидеме да ги напишеме коефициентите користејќи ја теоремата на Виета и да ги „погодиме“ корените:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 е намалена квадратна равенка.
   Со теоремата на Виета имаме: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Лесно е да се види дека корените се броевите 2 и 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - исто така намален.
   Со теорема на Виета: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Оттука корените: 3 и 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - оваа равенка не е намалена. Но, ова ќе го поправиме сега со делење на двете страни на равенката со коефициентот a = 3. Добиваме: x 2 + 11x + 10 = 0.
   Решаваме користејќи ја теоремата на Виета: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ корени: −10 и −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - повторно коефициентот за x 2 не е еднаков на 1, т.е. равенката не е дадена. Сè делиме со бројот a = −7. Добиваме: x 2 − 11x + 30 = 0.
   Со теорема на Виета: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; Од овие равенки лесно е да се погодат корените: 5 и 6.

Од горенаведеното расудување е јасно како теоремата на Виета го поедноставува решението на квадратните равенки. Без комплицирани пресметки, без аритметички корени или фракции. И не ни требаше ниту дискриминатор (види лекција „Решавање квадратни равенки“).

Се разбира, во сите наши размислувања излеговме од две важни претпоставки, кои, генерално кажано, не секогаш се исполнуваат во реалните проблеми:

1. Квадратната равенка е намалена, т.е. коефициентот за x 2 е 1;
2. Равенката има два различни корени. Од алгебарска гледна точка, во овој случај дискриминаторот е D > 0 - всушност, првично претпоставуваме дека оваа неравенка е вистинита.

Сепак, во типични математички проблемиах, овие услови се исполнети. Ако пресметката резултира со „лоша“ квадратна равенка (коефициентот x 2 е различен од 1), ова може лесно да се коригира - погледнете ги примерите на самиот почеток на лекцијата. Генерално молчам за корените: каков проблем е ова што нема одговор? Секако дека ќе има корени.

Така, општа шемаРешавањето квадратни равенки со помош на теоремата на Виета изгледа вака:

1. Намали ја квадратната равенка на дадената, ако тоа веќе не е направено во изјавата за проблемот;
2. Ако коефициентите во горната квадратна равенка се фракционо, решаваме со помош на дискриминантата. Можете дури и да се вратите на првобитната равенка за да работите со повеќе „практични“ броеви;
3. Во случај на целобројни коефициенти, ја решаваме равенката користејќи ја теоремата на Виета;
4. Ако не можете да ги погодите корените во рок од неколку секунди, заборавете на теоремата на Виета и решете ја со помош на дискриминаторот.

Задача. Решете ја равенката: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Значи, пред нас имаме равенка која не е намалена, бидејќи коефициент a = 5. Поделете сè со 5, добиваме: x 2 − 7x + 10 = 0.

Сите коефициенти на квадратна равенка се цели броеви - ајде да се обидеме да го решиме користејќи ја теоремата на Виета. Имаме: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. Во овој случај, корените лесно се погодуваат - тие се 2 и 5. Нема потреба да се брои со помош на дискриминаторот.

Задача. Решете ја равенката: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.

Да погледнеме: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 - оваа равенка не е намалена, да ги поделиме двете страни со коефициентот a = −5. Добиваме: x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 - равенка со дробни коефициенти.

Подобро е да се вратиме на првобитната равенка и да броиме преку дискриминантата: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; x 2 = 0,4.

Задача. Решете ја равенката: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Прво, да поделиме сè со коефициентот a = 2. Ја добиваме равенката x 2 + 5x − 300 = 0.

Ова е намалената равенка, според теоремата на Виета имаме: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300. Тешко е да се погодат корените на квадратната равенка во овој случај - лично, сериозно бев заглавен кога го решавав овој проблем.

Ќе треба да барате корени преку дискриминаторот: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Ако не се сеќавате на коренот на дискриминаторот, само ќе забележам дека 1225: 25 = 49. Затоа, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.

Сега кога е познат коренот на дискриминаторот, решавањето на равенката не е тешко. Добиваме: x 1 = 15; x 2 = −20.

Теоремата на Виета често се користи за проверка на веќе пронајдените корени. Ако сте ги нашле корените, можете да ги користите формулите \(\begin(scases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(scases)\) за да ги пресметате вредностите на \(p \) и \(q\ ). И ако испаднат дека се исти како во оригиналната равенка, тогаш корените се наоѓаат правилно.

На пример, со помош на , да ја решиме равенката \(x^2+x-56=0\) и да ги добиеме корените: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Ајде да провериме дали сме направиле грешка во процесот на решавање. Во нашиот случај, \(p=1\), и \(q=-56\). Според теоремата на Виета имаме:

\(\почеток(случаи)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(случаи)\) \(\Леводесната стрелка\) \(\почеток(случаи)7+(-8)=-1 \\ 7\cdot(-8)=-56\end (scases)\) \(\Leftright arrow\) \(\begin(scases)-1=-1\\-56=-56\end (scases)\ )

И двете тврдења се споија, што значи дека правилно ја решивме равенката.

Оваа проверка може да се направи орално. Ќе ви бидат потребни 5 секунди и ќе ве спаси од глупави грешки.

Конверзна теорема на Виета

Ако \(\почеток(случаи)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(случаи)\), тогаш \(x_1\) и \(x_2\) се корените на квадратната равенка \ (x^ 2+px+q=0\).

Или на едноставен начин: ако имате равенка од формата \(x^2+px+q=0\), тогаш ќе го решите системот \(\begin(scases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(scases)\) ќе ги најдете неговите корени.

Благодарение на оваа теорема, можете брзо да ги најдете корените на квадратната равенка, особено ако овие корени се . Оваа вештина е важна бидејќи заштедува многу време.

Пример . Решете ја равенката \(x^2-5x+6=0\).

Решение : Користејќи ја инверзната теорема на Виета, откриваме дека корените ги задоволуваат условите: \(\почеток(случаи)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end (случаи)\).
Погледнете ја втората равенка на системот \(x_1 \cdot x_2=6\). На кои два може да се разложи бројот \(6\)? На \(2\) и \(3\), \(6\) и \(1\) или \(-2\) и \(-3\), и \(-6\) и \(- 1\). Првата равенка на системот ќе ви каже кој пар да го изберете: \(x_1+x_2=5\). \(2\) и \(3\) се слични, бидејќи \(2+3=5\).
Одговори : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Примери . Користејќи го обратната страна на теоремата на Виета, пронајдете ги корените на квадратната равенка:
а) \(x^2-15x+14=0\); б) \(x^2+3x-4=0\); в) \(x^2+9x+20=0\); г) \(x^2-88x+780=0\).

Решение :
а) \(x^2-15x+14=0\) – на кои фактори се разложува \(14\)? \(2\) и \(7\), \(-2\) и \(-7\), \(-1\) и \(-14\), \(1\) и \(14\ ). Кои парови броеви се собираат до \(15\)? Одговор: \(1\) и \(14\).

б) \(x^2+3x-4=0\) – на кои фактори се разложува \(-4\)? \(-2\) и \(2\), \(4\) и \(-1\), \(1\) и \(-4\). Кои парови броеви се собираат до \(-3\)? Одговор: \(1\) и \(-4\).

в) \(x^2+9x+20=0\) – во кои фактори се проширува \(20\)? \(4\) и \(5\), \(-4\) и \(-5\), \(2\) и \(10\), \(-2\) и \(-10\ ), \(-20\) и \(-1\), \(20\) и \(1\). Кои парови броеви се собираат до \(-9\)? Одговор: \(-4\) и \(-5\).

г) \(x^2-88x+780=0\) – на кои фактори се разложува \(780\)? \(390\) и \(2\). Дали тие ќе се соберат до \(88\)? бр. Кои други множители има \(780\)? \(78\) и \(10\). Дали тие ќе се соберат до \(88\)? Да. Одговор: \(78\) и \(10\).

Не е неопходно последниот термин да се прошири на сите можни фактори (како во последниот пример). Можете веднаш да проверите дали нивниот збир дава \(-p\).

важно!Теоремата на Виета и конверзна теорематие работат само со , односно оној чиј коефициент пред \(x^2\) е еднаков на еден. Ако првично ни беше дадена ненамалена равенка, тогаш можеме да ја намалиме со едноставно делење со коефициентот пред \(x^2\).

На пример, нека биде дадена равенката \(2x^2-4x-6=0\) и сакаме да користиме една од теоремите на Виета. Но, не можеме, бидејќи коефициентот на \(x^2\) е еднаков на \(2\). Ајде да се ослободиме од него со делење на целата равенка со \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Подготвени. Сега можете да ги користите двете теореми.

Одговори на најчесто поставуваните прашања

Прашање: Користејќи ја теоремата на Виета, можете да решите кој било ?
Одговор: За жал не. Ако равенката не содржи цели броеви или равенката воопшто нема корени, тогаш теоремата на Виета нема да помогне. Во овој случај треба да користите дискриминаторски . За среќа, 80% од равенките во училишен курсматематиката има цели решенија.

При проучување на методите за решавање равенки од втор ред во училишен курс за алгебра, се земаат предвид својствата на добиените корени. Моментално се познати како теорема на Виета. Примери за неговата употреба се дадени во овој напис.

Квадратна равенка

Равенката од втор ред е еднаквоста прикажана на фотографијата подолу.

Овде симболите a, b, c се некои броеви наречени коефициенти на равенката што се разгледува. За да решите еднаквост, треба да пронајдете вредности на x што ја прават вистина.

Забележете дека со оглед на тоа што максималната моќност до која може да се подигне x е два, тогаш бројот на корени во општиот случај е исто така два.

Постојат неколку начини за решавање на овој тип на еднаквости. Во оваа статија ќе разгледаме еден од нив, кој вклучува употреба на таканаречената теорема Виета.

Формулирање на теоремата на Виета

На крајот на 16 век, познатиот математичар Франсоа Виете (Француски) забележал, додека ги анализирал својствата на корените на различните квадратни равенки, дека одредени комбинации од нив задоволуваат специфични односи. Особено, овие комбинации се нивниот производ и збир.

Теоремата на Виета го утврдува следново: корените на квадратната равенка, кога се собираат, го даваат односот на линеарните и квадратните коефициенти земени со спротивен знак, а кога ќе се помножат, тие водат до односот на слободниот член со квадратниот коефициент. .

Ако општ погледравенката е напишана како што е прикажано на фотографијата во претходниот дел од статијата, тогаш математички оваа теорема може да се напише во форма на две еднаквости:

• r2 + r1 = -b / a;
• r 1 x r 2 = c / a.

Каде што r 1, r 2 е вредноста на корените на равенката за која станува збор.

Горенаведените две еднаквости може да се користат за решавање на голем број различни математички задачи. Употребата на теоремата на Виета во примери со решенија е дадена во следните делови од статијата.