Дефиниција 1

Ако за секој пар $(x,y)$ вредности на две независни променливи од некој домен е поврзана одредена вредност $z$, тогаш се вели дека $z$ е функција од две променливи $(x,y) $. Нотација: $z=f(x,y)$.

Во однос на функцијата $z=f(x,y)$, да ги разгледаме концептите на општи (вкупни) и парцијални зголемувања на функцијата.

Нека е дадена функција $z=f(x,y)$ од две независни променливи $(x,y)$.

Забелешка 1

Бидејќи променливите $(x,y)$ се независни, едната од нив може да се промени, додека другата останува константна.

Да и дадеме на променливата $x$ зголемување од $\Delta x$, додека вредноста на променливата $y$ ќе остане непроменета.

Тогаш функцијата $z=f(x,y)$ ќе добие инкремент, кој ќе се нарече делумно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$ во однос на променливата $x$. Ознака:

Слично на тоа, ќе и дадеме на променливата $y$ зголемување од $\Delta y$, додека вредноста на променливата $x$ ќе остане непроменета.

Тогаш функцијата $z=f(x,y)$ ќе добие инкремент, кој ќе се нарече делумно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$ во однос на променливата $y$. Ознака:

Ако на аргументот $x$ му е даден инкрементот $\Delta x$, а на аргументот $y$ е даден инкрементот $\Delta y$, тогаш добиваме целосен прираст дадена функција$z=f(x,y)$. Ознака:

Така имаме:

$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - делумно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$ за $x$;

$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - делумно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$ за $y$;

$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - вкупно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$.

Пример 1

Решение:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - делумно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$ над $x$;

$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - делумно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$ во однос на $y$.

$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - вкупно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$.

Пример 2

Пресметајте го делумното и вкупното зголемување на функцијата $z=xy$ во точката $(1;2)$ за $\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1$.

Решение:

По дефиниција за делумно зголемување наоѓаме:

$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - делумно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$ над $x$

$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - делумно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$ за $y$;

По дефиниција за вкупен прираст наоѓаме:

$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - вкупно зголемување на функцијата $z=f(x,y)$.

Оттука,

\[\Делта _(x) z=(1+0,1)\cточка 2=2,2\] \[\Делта _(y) z=1\cdot (2+0,1)=2,1 \] \[\Делта z= (1+0,1)\cточка (2+0,1)=1,1\cточка 2,1=2,31.\]

Забелешка 2

Вкупниот пораст на дадена функција $z=f(x,y)$ не е еднаков на збирот на нејзините парцијални зголемувања $\Delta _(x) z$ и $\Delta _(y) z$. Математичка нотација: $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$.

Пример 3

Проверете ги наводните забелешки за функцијата

Решение:

$\Делта _(x) z=x+\Делта x+y$; $\Делта _(y) z=x+y+\Делта y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (добиено во пример 1)

Да го најдеме збирот на парцијални зголемувања на дадена функција $z=f(x,y)$

\[\Делта _(x) z+\Делта _(y) z=x+\Делта x+y+(x+y+\Делта y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]

\[\Делта _(x) z+\Делта _(y) z\ne \Делта z.\]

Дефиниција 2

Ако за секоја тројна $(x,y,z)$ од вредностите на три независни променливи од некој домен е поврзана одредена вредност $w$, тогаш се вели дека $w$ е функција од три променливи $(x, y,z)$ во оваа област.

Нотација: $w=f(x,y,z)$.

Дефиниција 3

Ако за секое множество $(x,y,z,...,t)$ вредности на независни променливи од одреден регион е поврзана одредена вредност $w$, тогаш се вели дека $w$ е функција од променливите $(x,y, z,...,t)$ во оваа област.

Нотација: $w=f(x,y,z,...,t)$.

За функција од три или повеќе променливи, на ист начин како и за функција од две променливи, се одредуваат парцијални зголемувања за секоја од променливите:

$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - делумно зголемување на функцијата $w=f(x,y,z,... ,t )$ од $z$;

$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - делумно зголемување на функцијата $w =f (x,y,z,...,t)$ од $t$.

Пример 4

Напишете парцијални и вкупни функции за зголемување

Решение:

По дефиниција за делумно зголемување наоѓаме:

$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - делумно зголемување на функцијата $w=f(x,y,z)$ над $x$

$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - делумно зголемување на функцијата $w=f(x,y,z)$ над $y$;

$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - делумно зголемување на функцијата $w=f(x,y,z)$ над $z$;

По дефиниција за вкупен прираст наоѓаме:

$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - вкупно зголемување на функцијата $w=f(x,y,z)$.

Пример 5

Пресметајте го делумното и вкупното зголемување на функцијата $w=xyz$ во точката $(1;2;1)$ за $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, \, \Делта z=0,1$.

Решение:

По дефиниција за делумно зголемување наоѓаме:

$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - делумно зголемување на функцијата $w=f(x,y,z)$ над $x$

$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - делумно зголемување на функцијата $w=f(x,y,z)$ за $y$;

$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - делумно зголемување на функцијата $w=f(x,y,z)$ над $z$;

По дефиниција за вкупен прираст наоѓаме:

$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - вкупно зголемување на функцијата $w=f(x,y,z)$.

Оттука,

\[\Делта _(x) w=(1+0,1)\cточка 2\cточка 1=2,2\] \[\Делта _(y) w=1\cdot (2+0,1)\ cdot 1=2,1\] \[\Делта _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0.1)=2.2\] \[\Delta z=(1+0.1) \cdot (2+0.1)\cdot (1+0.1) =1,1\cточка 2,1\cточка 1,1=2,541.\]

СО геометриска точкаВо однос на погледот, вкупниот пораст на функцијата $z=f(x,y)$ (по дефиниција $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$) е еднаков на зголемувањето на апликацијата на графикот на функцијата $z =f(x,y)$ кога се движи од точка $M(x,y)$ во точка $M_(1) (x+\Delta x,y+ \Делта y)$ (сл. 1).

Слика 1.

Во животот не сме секогаш заинтересирани за точните вредности на која било количина. Понекогаш е интересно да се знае промената во оваа количина, на пример, просечна брзинаавтобус, односот на количината на движење со временскиот период итн. За да се спореди вредноста на функцијата во одредена точка со вредностите на истата функција во други точки, погодно е да се користат концепти како што се „прираст на функцијата“ и „прираст на аргументот“.

Концептите на „инкремент на функција“ и „прираст на аргументи“

Да речеме дека x е некоја произволна точка што лежи во некое соседство на точката x0. Зголемувањето на аргументот во точката x0 е разликата x-x0. Инкрементот е означен на следниов начин: ∆х.

• ∆x=x-x0.

Понекогаш оваа големина се нарекува и зголемување на независната променлива во точката x0. Од формулата следува: x = x0+∆x. Во такви случаи велат дека почетната вредност на независната променлива x0 добила инкремент ∆x.

Ако го смениме аргументот, тогаш ќе се промени и вредноста на функцијата.

• f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆х) - f(x0).

Зголемување на функцијата f во точката x0,соодветниот прираст ∆х е разликата f(x0 + ∆х) - f(x0). Зголемувањето на функцијата се означува на следниов начин: ∆f. Така, по дефиниција добиваме:

• ∆f= f(x0 +∆x) - f(x0).

Понекогаш, ∆f се нарекува и зголемување на зависната променлива и ∆у се користи за да се означи ако функцијата била, на пример, y=f(x).

Геометриско значење на инкрементот

Погледнете ја следната слика.

Како што можете да видите, зголемувањето ја покажува промената на ординатата и апсцисата на точка. И односот на зголемувањето на функцијата со зголемувањето на аргументот го одредува аголот на наклонетост на секантата што минува низ почетната и крајната положба на точката.

Ајде да погледнеме примери за зголемување на функција и аргумент

Пример 1.Најдете го зголемувањето на аргументот ∆x и зголемувањето на функцијата ∆f во точката x0, ако f(x) = x 2, x0=2 а) x=1,9 б) x =2,1

Ајде да ги користиме формулите дадени погоре:

а) ∆х=х-х0 = 1,9 - 2 = -0,1;

• ∆f=f(1,9) - f(2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39;

б) ∆x=x-x0=2,1-2=0,1;

• ∆f=f(2.1) - f(2) = 2.1 2 - 2 2 = 0.41.

Пример 2.Пресметај го инкрементот ∆f за функцијата f(x) = 1/x во точката x0 ако зголемувањето на аргументот е еднакво на ∆x.

Повторно, ќе ги користиме формулите добиени погоре.

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).

во медицинската и биолошката физика

ПРЕДАВАЊЕ бр.1

ДЕРИВАТИВНИ И ДИФЕРЕНЦИЈАЛНИ ФУНКЦИИ.

ДЕЛУМНИ ДЕРИВАТИ.

1. Концептот на дериват, неговото механичко и геометриско значење.

А ) Зголемување на аргументот и функцијата.

Нека е дадена функција y=f(x), каде x е вредноста на аргументот од доменот на дефиниција на функцијата. Ако изберете две вредности на аргументот x o и x од одреден интервал на доменот на дефинирање на функцијата, тогаш разликата помеѓу двете вредности на аргументот се нарекува зголемување на аргументот: x - x o = ∆x.

Вредноста на аргументот x може да се определи преку x 0 и неговиот прираст: x = x o + ∆x.

Разликата помеѓу две функциски вредности се нарекува функционален прираст: ∆y =∆f = f(x o +∆x) – f(x o).

Зголемувањето на аргументот и функцијата може да се прикаже графички (сл. 1). Зголемувањето на аргументот и зголемувањето на функцијата може да биде позитивно или негативно. Како што следува од сл. 1, геометриски, зголемувањето на аргументот ∆х е претставено со зголемувањето на апсцисата, а зголемувањето на функцијата ∆у со зголемувањето на ординатата. Зголемувањето на функцијата треба да се пресмета по следниот редослед:

на аргументот му даваме инкремент ∆x и ја добиваме вредноста – x+Δx;

2) најдете ја вредноста на функцијата за вредноста на аргументот (x+∆x) – f(x+∆x);

3) најдете го прирастот на функцијата ∆f=f(x + ∆x) - f(x).

Пример:Да се ​​определи зголемувањето на функцијата y=x 2 ако аргументот се променил од x o =1 во x=3. За точка x o вредноста на функцијата f(x o) = x² o; за точката (x o +∆x) вредноста на функцијата f(x o +∆x) = (x o +∆x) 2 = x² o +2x o ∆x+∆x 2, од каде ∆f = f(x o + ∆x)–f(x o) = (x o +∆x) 2 –x² o = x² o +2x o ∆x+∆x 2 –x² o = 2x o ∆x+∆x 2; ∆f = 2x o ∆x+∆x 2 ;

∆х = 3–1 = 2; ∆f =2·1·2+4 = 8.б)

Проблеми кои водат до концептот на дериват. Дефиниција на дериват, неговото физичко значење.

Концептот на зголемување на аргументот и функцијата е неопходен за воведување на концептот на извод, кој историски настанал врз основа на потребата да се одреди брзината на одредени процеси.

За наизменично движење, вредноста ∆Ѕ/∆t ја одредува вредноста  ag. , т.е. просечно. =∆S/∆t Но, просечната брзина не овозможува да се одразат карактеристиките на движењето на телото и да се даде идеја за вистинската брзина во времето t. Кога временскиот период се намалува, т.е. при ∆t→0 просечната брзина се стреми кон својата граница – моментална брзина:

 инстант =
 просечно. =
∆S/∆t.

Моменталната брзина на хемиска реакција се одредува на ист начин:

 инстант =
 просечно. =
∆х/∆t,

каде што x е количината на супстанција формирана за време на хемиска реакција за време t. Слични проблеми за одредување на брзината на различни процеси доведоа до воведување во математиката на концептот на деривативна функција.

Нека се даде континуирана функција f(x), дефиниран на интервалот ]a, во[т.е. неговиот прираст ∆f=f(x+∆x)–f(x). Релација
е функција од ∆x и ја изразува просечната брзина на промена на функцијата.

Ограничување на соодносот , кога ∆х→0, под услов да постои оваа граница, се нарекува извод на функцијата :

y" x =

.

Дериватот е означен:
– (жолт удар на x); " (x) – (eff удар на x) ; y" – (грчки удар); dy/dх – (де игрек од де х); - (грчки со точка).

Врз основа на дефиницијата за извод, можеме да кажеме дека моменталната брзина на праволиниското движење е временскиот дериват на патеката:

 инстант = S" t = f " (т).

Така, можеме да заклучиме дека изводот на функцијата во однос на аргументот x е моменталната брзина на промена на функцијата f(x):

y" x =f " (x)= инстант.

Ова е физичкото значење на дериватот. Процесот на наоѓање на изводот се нарекува диференцијација, така што изразот „диференцирај функција“ е еквивалентен на изразот „најди го изводот на функцијата“.

V)Геометриско значење на дериватот.

П
изводот на функцијата y = f(x) има едноставно геометриско значење поврзано со концептот на тангента на крива линија во одредена точка М. Во исто време, тангента, т.е. права линија аналитички се изразува како y = kx = tan· x, каде што – аголот на наклонетост на тангентата (права) кон оската X Да замислиме непрекината крива како функција y = f(x), да земеме точка M1 на кривата и точка M1 блиску до неа и да нацртаме секант. преку нив. Нејзиниот наклон кон сек =tg β = .Ако точката M 1 ја доближиме до M, тогаш зголемувањето на аргументот ∆x ќе се стреми кон нула, а секантата на β=α ќе заземе позиција на тангента. Од сл.2 следува: tgα =
tgβ =
=y" x. Но, tgα е еднаква на наклонот на тангентата на графикот на функцијата:

k = tgα =
=y" x = f " (Х). Значи, аголниот коефициент на тангента на графикот на функцијата во дадена точка е еднаков на вредноста на неговиот извод во точката на тангенција. Ова е геометриското значење на дериватот.

G)Општо правило за наоѓање на изводот.

Врз основа на дефиницијата на изводот, процесот на диференцирање на функцијата може да се претстави на следниов начин:

f(x+∆x) = f(x)+∆f;

најдете го прирастот на функцијата: ∆f= f(x + ∆x) - f(x);

формирајте го односот на зголемувањето на функцијата со зголемувањето на аргументот:

;

Пример: f(x)=x2; " ѓ

(x)=?. Сепак, како што може да се види дури и од оваедноставен пример , примената на наведената низа при земање на деривати е трудоинтензивен и сложен процес. Затоа, за различни функции воведувамеопшти формули

диференцијација, кои се претставени во форма на табела на „Основни формули за диференцијација на функции“.

Многу лесно се памети. Па, да не одиме далеку, да го погледнеме веднашинверзна функција . На која функција е инверзнаекспоненцијална функција

? Логаритам:

Во нашиот случај, основата е бројот:

Таквиот логаритам (т.е. логаритам со основа) се нарекува „природен“ и користиме посебна нотација за него: наместо тоа пишуваме.

На што е еднакво? Се разбира.

Дериватот на природниот логаритам е исто така многу едноставен:

1. Примери:
2. Најдете го изводот на функцијата.

Кој е изводот на функцијата? Одговори: Излагач иприроден логаритам

- функциите се уникатно едноставни во однос на деривати. Експоненцијалните и логаритамските функции со која било друга основа ќе имаат различен извод, кој ќе го анализираме подоцна, откако ќе ги поминеме правилата за диференцијација.

Правила на диференцијација

Правила за што? Пак нов мандат, пак?!...Диференцијација

е процес на пронаоѓање на дериватот.

Тоа е се. Како друго можете да го наречете овој процес со еден збор? Не извод... Диференцијалот на математичарите е исто зголемување на функцијата во. Овој термин доаѓа од латинскиот диференција - разлика. Еве.

Кога ги изведуваме сите овие правила, ќе користиме две функции, на пример, и. Ќе ни требаат и формули за нивните зголемувања:

Има вкупно 5 правила.

Константата се вади од дериватниот знак.

Ако - некој константен број (константа), тогаш.

Очигледно ова правило работи и за разликата: .

Да го докажеме тоа. Нека биде, или поедноставно.

Примери.

1. Најдете ги изводите на функциите:
2. Најдете ги изводите на функциите:
3. Најдете ги изводите на функциите:
4. во точка;

во точката.

1. Решенија: (изводот е ист во сите точки, бидејќи овалинеарна функција

, се сеќаваш?);

Дериват на производот

Сè е слично овде: да воведеме нова функција и да го најдеме нејзиниот прираст:

Дериватот на природниот логаритам е исто така многу едноставен:

1. Дериват:
2. Најди ги изводите на функциите и;

во точката.

Најдете го изводот на функцијата во точка.

Сега вашето знаење е доволно за да научите како да го пронајдете изводот на која било експоненцијална функција, а не само на експоненти (сè уште сте заборавиле што е тоа?).

Значи, каде е некој број.

Веќе го знаеме изводот на функцијата, па ајде да се обидеме да ја доведеме нашата функција во нова база:

За ова ќе користиме едноставно правило: . Потоа:

Па, успеа. Сега обидете се да го пронајдете изводот и не заборавајте дека оваа функција е сложена.

Дали тоа функционираше?

Еве, проверете сами:

Се покажа дека формулата е многу слична на изводот на експонент: како што беше, таа останува иста, се појави само фактор, кој е само број, но не и променлива.

Дериватот на природниот логаритам е исто така многу едноставен:
Најдете ги изводите на функциите:

Кој е изводот на функцијата?

Ова е само бројка што не може да се пресмета без калкулатор, односно не може да се запише повеќе во едноставна форма. Затоа, го оставаме во оваа форма во одговорот.

Забележете дека тука е количникот на две функции, така што го применуваме соодветното правило за диференцијација:

Во овој пример, производ на две функции:

Извод на логаритамска функција

Слично е овде: веќе го знаете дериватот на природниот логаритам:

Затоа, да се најде произволен логаритам со различна основа, на пример:

Треба да го намалиме овој логаритам на основата. Како се менува основата на логаритам? Се надевам дека се сеќавате на оваа формула:

Само сега наместо тоа ќе напишеме:

Именителот е едноставно константа (константен број, без променлива). Дериватот се добива многу едноставно:

Деривати на експоненцијални и логаритамски функции речиси никогаш не се наоѓаат во унифицираниот државен испит, но нема да биде излишно да ги знаеме.

Извод на сложена функција.

што се случи“ комплексна функција"? Не, ова не е логаритам, ниту арктангенс. Овие функции може да бидат тешки за разбирање (иако ако ви е тежок логаритмот, прочитајте ја темата „Логаритми“ и ќе бидете во ред), но од математичка гледна точка, зборот „комплекс“ не значи „тешко“.

Замислете мала подвижна лента: две лица седат и прават некои активности со некои предмети. На пример, првиот завиткува чоколадна лента во обвивка, а втората ја врзува со лента. Резултатот е композитен предмет: чоколадна лента завиткана и врзана со лента. За да јадете чоколадна лента, треба да ги направите обратните чекори во обратен редослед.

Ајде да создадеме сличен математички цевковод: прво ќе го најдеме косинусот на некој број, а потоа ќе го квадратиме добиениот број. Значи, ни се дава број (чоколадо), јас го наоѓам неговиот косинус (обвивка), а потоа го квадрирате она што го добив (врзете го со лента). Што се случи? Функција. Ова е пример за сложена функција: кога, за да ја пронајдеме нејзината вредност, го извршуваме првото дејство директно со променливата, а потоа второто дејство со она што произлегло од првото.

Со други зборови, комплексна функција е функција чиј аргумент е друга функција: .

За нашиот пример,.

Можеме лесно да ги правиме истите чекори во обратен редослед: прво го квадратите, а потоа го барам косинусот на добиениот број: . Лесно е да се погоди дека резултатот скоро секогаш ќе биде различен. Важна карактеристика на сложените функции: кога се менува редоследот на дејствата, функцијата се менува.

Втор пример: (истото). .

Дејството што го правиме последно ќе се вика „надворешна“ функција, и дејството извршено прво - соодветно „внатрешна“ функција(ова се неформални имиња, ги користам само за да го објаснам материјалот на едноставен јазик).

Обидете се сами да одредите која функција е надворешна, а која внатрешна:

Кој е изводот на функцијата?Одвојувањето на внатрешните и надворешните функции е многу слично на менувањето на променливите: на пример, во функција

1. Која акција прво ќе ја извршиме? Прво, да го пресметаме синусот, па дури потоа да го коцкаме. Тоа значи дека тоа е внатрешна функција, но надворешна.
   А оригиналната функција е нивниот состав: .
2. Внатрешна: ; надворешен: .
   Испитување: .
3. Внатрешна: ; надворешен: .
   Испитување: .
4. Внатрешна: ; надворешен: .
   Испитување: .
5. Внатрешна: ; надворешен: .
   Испитување: .

Ги менуваме променливите и добиваме функција.

Па, сега ќе ја извадиме нашата чоколадна лента и ќе го бараме дериватот. Постапката е секогаш обратна: прво го бараме изводот на надворешната функција, а потоа резултатот го множиме со изводот на внатрешната функција. Во однос на оригиналниот пример, тоа изгледа вака:

Друг пример:

Значи, конечно да го формулираме официјалното правило:

Алгоритам за наоѓање извод на сложена функција:

Се чини едноставно, нели?

Ајде да провериме со примери:

во точката.

1) Внатрешна: ;

Надворешен: ;

2) Внатрешна: ;

(само не се обидувајте да го пресечете досега! Ништо не излегува од косинусот, се сеќавате?)

3) Внатрешна: ;

Надворешен: ;

Веднаш е јасно дека ова е сложена функција на три нивоа: на крајот на краиштата, ова е веќе сложена функција сама по себе, а ние исто така го извлекуваме коренот од него, односно го извршуваме третото дејство (ставете го чоколадото во обвивка и со лента во актовката). Но, нема причина да се плашиме: ние сепак ќе ја „отпакуваме“ оваа функција по истиот редослед како и обично: од крајот.

Односно, прво го разликуваме коренот, па косинусот, па дури потоа изразот во загради. И тогаш сето тоа го множиме.

Во такви случаи, погодно е да се нумерираат дејствата. Односно, да замислиме што знаеме. По кој редослед ќе извршиме дејства за да ја пресметаме вредноста на овој израз? Ајде да погледнеме на пример:

Колку подоцна се изврши дејството, толку „понадворешна“ ќе биде соодветната функција. Редоследот на дејствата е ист како и претходно:

Овде гнездењето е генерално на 4 нивоа. Ајде да го одредиме редоследот на дејствување.

1. Радикално изразување. .

2. Корен. .

3. Синус. .

4. Плоштад. .

5. Спојување на сето тоа заедно:

ДЕРИВАТИВ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНИТЕ РАБОТИ

Извод на функција- односот на зголемувањето на функцијата со зголемувањето на аргументот за бесконечно мало зголемување на аргументот:

Основни деривати:

Правила за диференцијација:

Константата се вади од дериватниот знак:

Извод на збирот:

Дериват на производот:

Извод на количникот:

Извод на сложена функција:

Алгоритам за наоѓање извод на сложена функција:

1. Ја дефинираме „внатрешната“ функција и го наоѓаме нејзиниот дериват.
2. Ја дефинираме функцијата „надворешна“ и го наоѓаме нејзиниот дериват.
3. Ги множиме резултатите од првата и втората точка.

Нека X– аргумент (независна променлива); y=y(x)– функција.

Да земеме фиксна вредност на аргументот x=x 0 и пресметај ја вредноста на функцијата y 0 =y(x 0 ) . Сега произволно да поставиме зголемување (промена) на аргументот и означете го  X ( Xможе да биде од кој било знак).

Аргументот за зголемување е точка X 0 +  X. Да речеме дека содржи и вредност на функцијата y=y(x 0 +  X)(види слика).

Така, со произволна промена на вредноста на аргументот, се добива промена на функцијата, која се нарекува зголемување вредности на функции:

и не е произволна, туку зависи од видот на функцијата и вредноста
.

Аргументи и функционални зголемувања може да бидат конечна, т.е. изразени како константни броеви, во кој случај тие понекогаш се нарекуваат конечни разлики.

Во економијата, конечните зголемувања се разгледуваат доста често. На пример, табелата покажува податоци за должината на железничката мрежа на одредена држава. Очигледно, зголемувањето на должината на мрежата се пресметува со одземање на претходната вредност од следната.

Должината на железничката мрежа ќе ја разгледаме како функција, чиј аргумент ќе биде времето (години).

	Должина на пругата од 31 декември, илјада км.	Зголемување	Просечен годишен раст

Само по себе, зголемувањето на функцијата (во овој случај, должината на железничката мрежа) не ја карактеризира добро промената на функцијата. Во нашиот пример, од фактот дека 2,5>0,9 не може да се заклучи дека мрежата пораснала побрзо во 2000-2003 години отколку во 2004 е., бидејќи прирастот 2,5 се однесува на тригодишен период, и 0,9 - за само една година. Затоа, сосема е природно зголемувањето на функцијата да доведе до промена на единицата во аргументот. Зголемувањето на аргументот овде е периоди: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

Го добиваме она што се нарекува во економската литература просечен годишен раст.

Можете да ја избегнете операцијата за намалување на зголемувањето на единицата за промена на аргументот ако ги земете вредностите на функциите за вредностите на аргументите кои се разликуваат за еден, што не е секогаш можно.

Во математичката анализа, особено во диференцијалното сметање, се разгледуваат бесконечно мали (IM) зголемувања на аргументот и функцијата.

Диференцијација на функција од една променлива (дериват и диференцијал) Извод на функција

Зголемување на аргументот и функцијата во точка X 0 може да се сметаат за споредливи бесконечно мали величини (види тема 4, споредба на BM), т.е. БМ од истиот редослед.

Тогаш нивниот сооднос ќе има конечна граница, која се дефинира како извод на функцијата во т X 0 .

Граница на односот на зголемувањето на функцијата со зголемувањето на BM на аргументот во точка x=x 0 повикани дериват функционира во дадена точка.

Симболичкото означување на дериват со удар (или подобро, со римски број I) беше воведено од Њутн. Можете исто така да користите подлога, која покажува со која променлива се пресметува изводот, на пример, . Друга нотација предложена од основачот на пресметката на деривати, германскиот математичар Лајбниц, исто така е широко користен:
. Ќе дознаете повеќе за потеклото на оваа ознака во делот Диференцијал на функции и диференцијал на аргументи.

Оваа бројка проценува брзинапромени во функцијата што минува низ точка
.

Ајде да инсталираме геометриско значењеизвод на функција во точка. За таа цел, ќе ја нацртаме функцијата y=y(x)и на него означете ги точките што ја одредуваат промената y(x)помеѓу

Тангента на графикот на функција во точка М 0
ќе ја разгледаме ограничувачката положба на секантата М 0 Мсо оглед на тоа
(точка Мсе лизга по графикот на функцијата до точка М 0 ).

Ајде да размислиме
. Очигледно,
.

Ако точката Мдиректно по графикот на функцијата кон точката М 0 , потоа вредноста
ќе се стреми кон одредена граница, која ја означуваме
. Во исто време.

Ограничи агол  се совпаѓа со аголот на наклонетост на тангентата нацртана на графикот на функцијата вкл. М 0 , па дериватот
нумерички еднакви тангентен наклон во наведената точка.

-

геометриско значење на изводот на функцијата во точка.

Така, можеме да ги напишеме тангентите и нормалните равенки ( нормално - ова е права линија нормална на тангентата) на графикот на функцијата во одреден момент X 0 :

Тангента - .

Нормално -
.

Од интерес се случаите кога овие линии се наоѓаат хоризонтално или вертикално (види Тема 3, посебни случаи на положба на права на рамнина). Потоа,

Ако
;

Ако
.

Дефиницијата за извод се нарекува диференцијација функции.

 Ако функцијата е во точка X 0 има конечен извод, тогаш се нарекува диференцијабилнаво овој момент. Функцијата што е диференцијабилна во сите точки на одреден интервал се нарекува диференцијабилна на овој интервал.

 Теорема . Доколку функцијата y=y(x)диференцијабилна вкл. X 0 , тогаш тоа е континуирано во овој момент.

Така, континуитет– неопходен (но не доволен) услов за диференцијабилност на функцијата.