1 Дополнителна конструкција што води до теорема на средната линија на триаголникот, својства на трапез и сличност на триаголниците.

И таа еднаква на половина од хипотенузата.
Заклучок 1.
Заклучок 2.

2 Сите правоаголни триаголници со ист остар агол се слични. Поглед на тригонометриските функции.

3 Пример за дополнителна конструкција е висината спуштена до хипотенузата. Изведување на Питагоровата теорема врз основа на сличноста на триаголниците.

Од ова е јасно дека

1 Сите правоаголни триаголници со ист остар агол се слични. Поглед на тригонометриските функции.

Триаголниците со шрафчени и неповлечени страни се слични по тоа што нивните два агли се еднакви. Затоа каде

Ова значи дека овие односи зависат само од акутен аголправоаголен триаголник и суштински дефинирајте го. Ова е една од причините за изгледот тригонометриски функции:

Честопати пишувањето тригонометриски функции на аглите во слични правоаголни триаголници е појасно од пишувањето односи на сличност!

2 Пример за дополнителна конструкција е висината спуштена до хипотенузата. Изведување на Питагоровата теорема врз основа на сличноста на триаголниците.

Да ја спуштиме висината CH на хипотенузата AB. Имаме три слични триаголници ABC, AHC и CHB. Ајде да запишеме изрази за тригонометриски функции:

Од ова е јасно дека . Со собирање, ја добиваме Питагоровата теорема, бидејќи:

За уште еден доказ за Питагоровата теорема, видете го коментарот на задача 4.
3 Важен пример за дополнителна конструкција е изградбата на агол еднаков на еден од аглите на триаголникот.

Од темето на правиот агол цртаме права отсечка која формира агол со кракот CA еднаков на аголот CAB на дадениот правоаголен триаголник ABC. Како резултат на тоа, добиваме рамнокрак триаголник ACM со основни агли. Но, другиот триаголник што произлегува од оваа конструкција, исто така, ќе биде рамнокрак, бидејќи секој од неговите агли во основата е еднаков (по својството на аглите на правоаголен триаголник и според конструкцијата - аголот беше „одземен“ од правиот агол). Поради тоа што триаголниците BMC и AMC се рамнокраки со заедничка страна MC, имаме еднаквост MB=MA=MC, т.е. М.Ц. медијана нацртана на хипотенузата на правоаголен триаголники таа еднаква на половина од хипотенузата.
Заклучок 1.Средината на хипотенузата е центарот на кругот опкружен околу овој триаголник, бидејќи излегува дека средната точка на хипотенузата е подеднакво оддалечена од темињата на правоаголен триаголник.
Заклучок 2. Средна линијаправоаголен триаголник, кој ги поврзува средината на хипотенузата и средината на кракот, е паралелен со спротивната катета и е еднаков на неговата половина.

Во рамнокракните триаголници BMC и AMC, да ги спуштиме висините MH и MG до основите. Откако во рамнокрак триаголник, висината спуштена до основата е исто така медијана (и симетра), потоа MH и MG се линиите на правоаголен триаголник што ја поврзува средината на хипотенузата со средните точки на катетите. По конструкција, тие излегуваат дека се паралелни со спротивните краци и еднакви на нивните половини, бидејќи триаголниците се еднакви MHC и MGC се еднакви (а MHCG е правоаголник). Овој резултат е основа за докажување на теоремата за средната линија на произволен триаголник и понатаму, средната линија на трапезот и својството на пропорционалност на отсечените отсечки со паралелни линии на две прави што ги сечат.

Задачи
Користење на својства на сличност -1
Користење на основни својства - 2
Користење на дополнителна формација 3-4

1 2 3 4

Висината испуштена од темето на прав агол на правоаголен триаголник е еднаква на квадратниот корен на должините на отсечките на кои ја дели хипотенузата.

Решението изгледа очигледно ако го знаете изведувањето на Питагоровата теорема од сличноста на триаголниците:

\(\mathrm(tg)\beta=\frac(h)(c_1)=\frac(c_2)(h)\),
од каде \(h^2=c_1c_2\).

Најдете го локусот на точки (GMT) на пресекот на медијаните на сите можни правоаголни триаголници чија хипотенуза AB е фиксна.

Точката на вкрстување на средината на кој било триаголник отсекува една третина од средната, сметајќи од точката на нејзиното вкрстување со соодветната страна. ВО правоаголен триаголникМедијаната нацртана од прав агол е еднаква на половина од хипотенузата. Затоа, саканиот GMT е круг со радиус еднаков на 1/6 од должината на хипотенузата, со центар во средината на оваа (фиксна) хипотенуза.

Средната линија на трапезоидот, а особено неговите својства, многу често се користат во геометријата за решавање проблеми и докажување на одредени теореми.

е четириаголник со само 2 страни паралелни една на друга. Паралелните страни се нарекуваат основи (на слика 1 - АДИ п.н.е.), другите две се странични (на сликата АБИ ЦД).

Средината на трапезоидоте сегмент што ги поврзува средните точки на неговите страни (на слика 1 - КЛ).

Својства на средната линија на трапез

Доказ за теоремата на средната линија на трапезоидот

Докажидека средната линија на трапезоидот е еднаква на половина од збирот на неговите основи и е паралелна со овие основи.

Даден трапез ABCDсо средна линија КЛ. За да се докажат особините што се разгледуваат, неопходно е да се повлече права линија низ точките БИ Л. На слика 2 ова е права линија BQ. И, исто така, продолжи со основата АДдо пресекот со линијата BQ.

Размислете за добиените триаголници Л.Б.Ц.И LQD:

1. По дефиниција на средната линија КЛточка Ле средната точка на сегментот ЦД. Оттука произлегува дека сегментите Ц.Л.И LDсе еднакви.
2. ∠BLC = ∠QLD, бидејќи овие агли се вертикални.
3. ∠BCL = ∠LDQ, бидејќи овие агли лежат попречно на паралелни прави АДИ п.н.е.и секант ЦД.

Од овие 3 еднаквости произлегува дека претходно разгледаните триаголници Л.Б.Ц.И LQDеднакви на 1 страна и два соседни агли (види слика 3). Оттука, ∠ЛБЦ = ∠ LQD, BC=DQи што е најважно - BL=LQ => КЛ, што е средната линија на трапезоидот ABCD, исто така е средната линија на триаголникот ABQ. Според својството на средната линија на триаголникот ABQдобиваме.

\[(\Large(\text(Сличност на триаголници)))\]

Дефиниции

Два триаголници се нарекуваат слични ако нивните агли се соодветно еднакви, а страните на едниот триаголник се пропорционални на сличните страни на другиот
(страните се нарекуваат слични ако лежат спроти еднакви агли).

Коефициентот на сличност на (слични) триаголници е број еднаков на односот на сличните страни на овие триаголници.

Дефиниција

Периметарот на триаголникот е збир од должините на сите негови страни.

Теорема

Односот на периметрите на два слични триаголници е еднаков на коефициентот на сличност.

Доказ

Размислете за триаголниците \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) со страни \(a,b,c\) и \(a_1, b_1, c_1\) соодветно (види слика погоре).

Потоа \(P_(ABC)=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cdot P_(A_1B_1C_1)\)

Теорема

Односот на плоштините на два слични триаголници е еднаков на квадратот на коефициентот на сличност.

Доказ

Нека триаголниците \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) се слични, и \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1) = k\). Со буквите \(S\) и \(S_1\) да ги означиме плоштините на овие триаголници, соодветно.

Бидејќи \(\агол A = \агол A_1\) , тогаш \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)(со теоремата за односот на плоштините на триаголниците кои имаат еднакви агли).

Бидејќи \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = k\), Тоа \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\cdot\dfrac(AC)(A_1C_1) = k\cdot k = k^2\), што требаше да се докаже.

\[(\Large(\text(Знаци на сличност на триаголници)))\]

Теорема (првиот знак за сличност на триаголниците)

Ако два агли на еден триаголник се соодветно еднакви на два агли на друг триаголник, тогаш таквите триаголници се слични.

Доказ

Нека \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) се триаголници така што \(\агол A = \агол A_1\) , \(\агол B = \агол B_1\) . Потоа, според теоремата за збирот на аглите на триаголникот \(\агол C = 180^\circ - \агол A - \агол B = 180^\circ - \агол A_1 - \агол B_1 = \агол C_1\), односно, аглите на триаголникот \(ABC\) се соодветно еднакви на аглите на триаголникот \(A_1B_1C_1\) .

Бидејќи \(\агол A = \агол A_1\) и \(\агол B = \агол B_1\) , тогаш \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)И \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot BC)(A_1B_1\cdot B_1C_1)\).

Од овие еднаквости произлегува дека \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1)\).

Слично, се докажува дека \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\)(користејќи еднаквости \(\агол B = \агол B_1\) , \(\агол C = \агол C_1\) ).

Како резултат на тоа, страните на триаголникот \(ABC\) се пропорционални со сличните страни на триаголникот \(A_1B_1C_1\), што е она што треба да се докаже.

Теорема (втор критериум за сличност на триаголници)

Ако две страни на еден триаголник се пропорционални на две страни на друг триаголник и аглите меѓу овие страни се еднакви, тогаш триаголниците се слични.

Доказ

Размислете за два триаголници \(ABC\) и \(A"B"C"\) такви што \(\dfrac(AB)(A"B")=\dfrac(AC)(A"C)\), \(\агол BAC = \агол A"\) Да докажеме дека триаголниците \(ABC\) и \(A"B"C"\) се слични. Земајќи го предвид првиот знак за сличност на триаголниците, доволно е да се покаже дека \(\агол B = \агол B"\) .

Размислете за триаголник \(ABC""\) со \(\агол 1 = \агол А"\) , \(\агол 2 = \агол Б"\) . Триаголниците \(ABC""\) и \(A"B"C"\) се слични според првиот критериум за сличност на триаголниците, тогаш \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC"")(A"C")\).

Од друга страна, по услов \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C)\). Од последните две еднаквости следува дека \(AC = AC""\) .

Триаголниците \(ABC\) и \(ABC""\) се еднакви на две страни и аголот меѓу нив, затоа, \(\агол B = \агол 2 = \агол Б"\).

Теорема (трет знак за сличност на триаголниците)

Ако трите страни на еден триаголник се пропорционални на три страни на друг триаголник, тогаш триаголниците се слични.

Доказ

Нека страните на триаголниците \(ABC\) и \(A"B"C"\) се пропорционални: \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C) = \dfrac(BC)(B"C")\). Да докажеме дека триаголниците \(ABC\) и \(A"B"C"\) се слични.

За да го направите ова, земајќи го предвид вториот критериум за сличност на триаголниците, доволно е да се докаже дека \(\агол BAC = \агол A"\) .

Размислете за триаголник \(ABC""\) со \(\агол 1 = \агол А"\) , \(\агол 2 = \агол Б"\) .

Триаголниците \(ABC""\) и \(A"B"C"\) се слични според првиот критериум за сличност на триаголниците, затоа, \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(BC"")(B"C) = \dfrac(C""A)(C"A")\).

Од последниот синџир на еднаквости и услови \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C) = \dfrac(BC)(B"C")\)следува дека \(BC = BC""\) , \(CA = C""A\) .

Триаголниците \(ABC\) и \(ABC""\) се еднакви на три страни, затоа, \(\агол BAC = \агол 1 = \агол А"\).

\[(\Large(\text(Талесовата теорема)))\]

Теорема

Ако означите еднакви отсечки на едната страна од аголот и повлечете паралелни прави линии низ нивните краеви, тогаш овие прави линии исто така ќе отсечат еднакви отсечки од другата страна.

Доказ

Прво да докажеме лема:Ако во \(\триаголникот OBB_1\) се повлече права линија \(a\паралелно BB_1\) низ средината \(A\) на страната \(OB\), тогаш ќе ја пресече и страната \(OB_1\) во средината.

Преку точката \(B_1\) цртаме \(l\паралелно OB\) . Нека \(l\cap a=K\) . Тогаш \(ABB_1K\) е паралелограм, затоа \(B_1K=AB=OA\) и \(\агол A_1KB_1=\агол ABB_1=\агол OAA_1\); \(\агол AA_1O=\агол KA_1B_1\)како вертикална. Значи, според вториот знак \(\триаголник OAA_1=\триаголник B_1KA_1 \Десна стрелка OA_1=A_1B_1\). Лемата е докажана.

Да продолжиме со докажувањето на теоремата. Нека \(OA=AB=BC\) , \(a\паралелно b\паралелно c\) и треба да докажеме дека \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\) .

Така, според оваа лема \(OA_1=A_1B_1\) . Да докажеме дека \(A_1B_1=B_1C_1\) . Да повлечеме права \(d\паралелно OC\) низ точката \(B_1\), и нека \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\) . Тогаш \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) се паралелограми, затоа, \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\) . Така, \(\агол A_1B_1D_1=\агол C_1B_1D_2\)како вертикална \(\агол A_1D_1B_1=\агол C_1D_2B_1\)лежи како крстови, и, според тоа, според вториот знак \(\триаголник A_1B_1D_1=\триаголник C_1B_1D_2 \Десна стрелка A_1B_1=B_1C_1\).

Теорема на Талес

Паралелните линии ги отсекуваат пропорционалните сегменти на страните на аголот.

Доказ

Нека паралелни линии \(p\паралелно q\паралелно r\паралелно s\)подели една од линиите на отсечки \(a, b, c, d\) . Тогаш втората права линија треба да се подели на отсечки \(ka, kb, kc, kd\), соодветно, каде што \(k\) е одреден број, истиот коефициент на пропорционалност на отсечките.

Дозволете ни да повлечеме низ точката \(A_1\) права \(p\паралелно OD\) (\(ABB_2A_1\) е паралелограм, според тоа, \(AB=A_1B_2\) ). Потоа \(\триаголник OAA_1 \sim \триаголник A_1B_1B_2\)на два агли. Оттука, \(\dfrac(OA)(A_1B_2)=\dfrac(OA_1)(A_1B_1) \Десна стрелка A_1B_1=kb\).

Слично, повлекуваме права линија низ \(B_1\) \(q\паралелно OD \Десна стрелка \триаголник OBB_1\sim \триаголник B_1C_1C_2 \Десна стрелка B_1C_1=kc\)итн.

\[(\Large(\text(Средна линија на триаголникот)))\]

Дефиниција

Средната линија на триаголникот е отсечка што ги поврзува средните точки на кои било две страни на триаголникот.

Теорема

Средната линија на триаголникот е паралелна со третата страна и еднаква на половина од неа.

Доказ

1) Паралелизмот на средната линија со основата следи од она што беше докажано погоре леми.

2) Да докажеме дека \(MN=\dfrac12 AC\) .

Преку точката \(N\) повлекуваме права паралелна на \(AB\) . Нека оваа линија ја пресекува страната \(AC\) во точката \(K\) . Тогаш \(AMNK\) е паралелограм ( \(AM\паралелно NK, MN\паралелно AK\)според претходната точка). Значи, \(MN=AK\) .

Бидејќи \(NK\паралелно AB\) и \(N\) се средната точка на \(BC\), потоа според теоремата на Талес \(K\) е средната точка на \(AC\) . Затоа, \(MN=AK=KC=\dfrac12 AC\) .

Последица

Средната линија на триаголникот отсекува од него триаголник сличен на дадениот со коефициент \(\frac12\) .

Средна линијафигури во планиметријата - отсечка што ги поврзува средните точки на две страни на дадена фигура. Концептот се користи за следните фигури: триаголник, четириаголник, трапез.

Енциклопедиски YouTube

1 / 3

✪ 8 одделение, час 25, Средна линија на триаголник

✪ геометрија СРЕДНА ЛИНИЈА НА ТРИАГОЛНИК Атанасјан 8-мо одделение

✪ Средна линија на триаголник | Геометрија 7-9 одделение #62 | Инфо лекција

Преводи

Средна линија на триаголникот

Својства

• средната линија на триаголникот е паралелна со основата и еднаква на половина од неа.
• кога се сечат сите три средни линии, се формираат 4 еднаков триаголник, сличен (дури и хомотетички) на оригиналниот со коефициент 1/2.
• средната линија отсекува триаголник што е сличен на овој, а неговата површина е еднаква на една четвртина од површината на оригиналниот триаголник.
• Трите средни линии на триаголникот го делат на 4 еднакви (идентични) триаголници, слични на оригиналниот триаголник. Сите 4 такви идентични триаголници се нарекуваат медијални триаголници. Централниот од овие 4 идентични триаголници се нарекува комплементарен триаголник.

Знаци

• ако отсечката е паралелна на една од страните на триаголникот и ја поврзува средната точка на едната страна од триаголникот со точка што лежи на другата страна на триаголникот, тогаш тоа е средна линија.

Средна линија на четириаголник

Средна линија на четириаголник- отсечка што ги поврзува средните точки на спротивните страни на четириаголник.

Својства

Првата линија поврзува 2 спротивни страни. Вториот ги поврзува другите 2 спротивни страни. Третиот ги поврзува центрите на две дијагонали (не во сите четириаголници дијагоналите се поделени на половина во точката на пресек).

• Ако во конвексен четириаголник средната линија формира еднакви агли со дијагоналите на четириаголникот, тогаш дијагоналите се еднакви.
• Должината на средната линија на четириаголник е помала од половина од збирот на другите две страни или е еднаква на неа ако овие страни се паралелни и само во овој случај.
• Средните точки на страните на произволен четириаголник се темиња на паралелограм. Неговата површина е еднаква на половина од површината на четириаголникот, а неговиот центар лежи на местото на пресекот на средните линии. Овој паралелограм се нарекува Варињонов паралелограм;
• Последната точка значи следново: Во конвексен четириаголник можете да нацртате четири средни линии од втор вид. Средни линии од втор вид- четири отсечки во четириаголник што минуваат низ неговите средни точки соседните странипаралелно со дијагоналите. Четири средни линии од втор видод конвексен четириаголник, пресечете го на четири триаголници и еден централен четириаголник. Овој централен четириаголник е Варињонов паралелограм.
• Точката на пресек на средните линии на четириаголник е нивната заедничка средна точка и ја преполовува отсечката што ги поврзува средните точки на дијагоналите. Покрај тоа, таа е

Се прашувате како можете да пресметате и да ја пронајдете средната линија на триаголникот. Тогаш да се фатиме за работа.

Наоѓањето на должината на средната линија на триаголникот е прилично едноставно. Бидејќи триаголникот има три страни, има соодветно три агли, а можно е тоа при конструирање три средни линии.

Што е триаголник?

Три страни (рамностран, рамнокрак)

Три агли (остри, тапи, правоаголни триаголници, соодветно)

Која е средната линија на триаголникот

Ова е сегмент. Линиска отсечка ја поврзува средната точка на двете страни на триаголникот. Секој триаголник има три средни линии.

Својство 1: Средната линија на триаголникот е паралелна со страната на триаголникот и еднаква на неговата половина. Затоа, за да се одреди средната линија на триаголникот, доволно е да се знае должината на третата страна.

Пример: да триаголник ABC, познато е дека средната страна KN е паралелна со AC. Должина AC = 8 cm, AB = 4 cm, BC = 4 cm Затоа, за да се најде средната линија на триаголникот, AC/2 е доволно за да се добие средната линија на триаголникот. Одговор: 4 cm средна линија во даден триаголник според постоечките параметри.

Својство 2: Ако во триаголник се нацртани три средни линии, тогаш се формираат четири еднакви слични триаголници. Коефициентот е ½.

Својство 3: Средна линија рамностран триаголникго дели триаголникот на трапез и триаголник.

Пример за решавање на проблем: Ако нацртаме триаголник, ќе видиме дека на врвот на триаголникот има фигура со три агли. На дното на четириаголникот е фигура со два спротивни страни, кои се паралелни едни со други.