Анхандаа шоо тоглоомын талаарх мэдээлэл, эмпирик ажиглалтын цуглуулга байсан тул магадлалын онол нь нарийн шинжлэх ухаан болжээ. Математикийн тогтолцоог анх өгсөн нь Фермат, Паскаль нар юм.

Мөнхийн тухай бодохоос эхлээд магадлалын онол хүртэл

Магадлалын онолын үндсэн томьёодоо өртэй хоёр хүн болох Блэйз Паскаль, Томас Бэйс нар гүн шүтлэгтэй хүмүүс гэдгээрээ алдартай бөгөөд сүүлчийнх нь Пресвитериан сайд байсан. Энэ хоёр эрдэмтний өөрийн дуртай хүмүүст аз өгдөг гэсэн бодлын бурууг нотлохыг хүссэн нь энэ чиглэлээр судалгаа хийхэд түлхэц өгсөн бололтой. Эцсийн эцэст, ямар ч хожил, хожигдолтой мөрийтэй тоглоом бол зүгээр л математикийн зарчмуудын симфони юм.

Мөрийтэй тоглоомчин, шинжлэх ухаанд хайхрамжгүй ханддаг Шевалье де Мерегийн хүсэл тэмүүллийн ачаар Паскаль магадлалыг тооцоолох аргыг олохоос өөр аргагүй болжээ. Де Мере "12 оноо авах магадлал 50%-иас хэтрэхийн тулд хэдэн удаа хоёр шоо шидэх шаардлагатай вэ?" гэсэн асуултыг сонирхож байв. Ноёнтны сонирхлыг татсан хоёр дахь асуулт: "Дуусаагүй тоглолтын оролцогчдын хооронд бооцоог хэрхэн хуваах вэ?" Мэдээжийн хэрэг, Паскаль магадлалын онолыг хөгжүүлэх санаачлагч болсон де Мерегийн хоёр асуултад амжилттай хариулав. Де Мерегийн хүн уран зохиолд биш харин энэ чиглэлээр алдартай хэвээр байгаа нь сонирхолтой юм.

Өмнө нь ямар ч математикч үйл явдлын магадлалыг тооцоолох гэж оролдож байгаагүй, учир нь энэ нь зөвхөн таамаглах шийдэл гэж үздэг байв. Блэйз Паскаль аливаа үйл явдлын магадлалын анхны тодорхойлолтыг өгч, энэ нь математикийн үндэслэлтэй тодорхой тоо гэдгийг харуулсан. Магадлалын онол нь статистикийн үндэс болж орчин үеийн шинжлэх ухаанд өргөн хэрэглэгдэж байна.

Санамсаргүй байдал гэж юу вэ

Хэрэв бид хязгааргүй олон удаа давтагдах тестийг авч үзвэл санамсаргүй үйл явдлыг тодорхойлж болно. Энэ бол туршилтын үр дүнгийн нэг юм.

Туршлага гэдэг нь тодорхой үйлдлүүдийг тогтмол нөхцөлд хэрэгжүүлэх явдал юм.

Туршилтын үр дүнтэй ажиллахын тулд үйл явдлуудыг ихэвчлэн A, B, C, D, E... үсгээр тэмдэглэдэг.

Санамсаргүй тохиолдлын магадлал

Магадлалын математик хэсгийг эхлүүлэхийн тулд түүний бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тодорхойлох шаардлагатай.

Үйл явдлын магадлал гэдэг нь туршлагын үр дүнд ямар нэгэн үйл явдал (А эсвэл В) тохиолдох боломжийн тоон хэмжүүр юм. Магадлалыг P(A) эсвэл P(B) гэж тэмдэглэнэ.

Магадлалын онолоор тэд дараахь зүйлийг ялгадаг.

• найдвартай P(Ω) = 1 туршлагын үр дүнд үйл явдал тохиолдох нь баталгаатай;
• боломжгүйүйл явдал хэзээ ч тохиолдохгүй P(Ø) = 0;
• санамсаргүйүйл явдал найдвартай ба боломжгүй хоёрын хооронд оршдог, өөрөөр хэлбэл түүний тохиолдох магадлал боломжтой боловч баталгаатай биш (санамсаргүй үйл явдлын магадлал үргэлж 0≤Р(А)≤ 1 мужид байдаг).

Үйл явдлын хоорондын харилцаа

Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн ядаж нэг нь болох А эсвэл В, эсвэл А ба В хоёулаа биелсэн тохиолдолд үйл явдлыг тоолох үед нэг болон A+B үйл явдлын нийлбэрийг хоёуланг нь авч үзнэ.

Бие биетэйгээ холбоотой үйл явдлууд нь дараахь байж болно.

• Үүнтэй адил боломжтой.
• Тохиромжтой.
• Тохиромжгүй.
• Эсрэгээр (бие биенээ үгүйсгэдэг).
• Хамааралтай.

Хэрэв хоёр үйл явдал ижил магадлалтай тохиолдож болох юм бол тэдгээр нь адил боломжтой.

Хэрэв А үйл явдал тохиолдсон нь В үйл явдал тохиолдох магадлалыг тэглэхгүй бол тэдгээр нь нийцтэй.

Хэрэв А ба В үйл явдлууд хэзээ ч нэгэн зэрэг тохиолдохгүй бол тэдгээрийг дуудна нийцэхгүй. Зоос шидэх нь сайн жишээ юм: толгойн харагдах байдал автоматаар толгой харагдахгүй байна.

Ийм үл нийцэх үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь үйл явдал тус бүрийн магадлалын нийлбэрээс бүрдэнэ.

P(A+B)=P(A)+P(B)

Хэрэв нэг үйл явдал тохиолдоход нөгөө үйл явдал тохиолдох боломжгүй бол тэдгээрийг эсрэг гэж нэрлэдэг. Дараа нь тэдгээрийн нэгийг нь A гэж, нөгөөг нь - Ā ("А биш" гэж уншина уу). А үйл явдал тохиолдсон нь Ā болоогүй гэсэн үг. Эдгээр хоёр үйл явдал нь магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцэх бүрэн бүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг.

Хамааралтай үйл явдлууд бие биедээ нөлөөлж, бие биенийхээ магадлалыг бууруулж эсвэл нэмэгдүүлдэг.

Үйл явдлын хоорондын харилцаа. Жишээ

Жишээнүүдийг ашигласнаар магадлалын онол ба үйл явдлын хослолын зарчмуудыг ойлгоход илүү хялбар болно.

Хийх туршилт нь хайрцагнаас бөмбөг гаргаж авахаас бүрдэх бөгөөд туршилт бүрийн үр дүн нь энгийн үр дүн юм.

Үйл явдал бол туршилтын боломжит үр дүнгийн нэг юм - улаан бөмбөг, цэнхэр бөмбөг, зургаа дахь бөмбөг гэх мэт.

Туршилтын дугаар 1. Үүнд 6 бөмбөг оролцдог бөгөөд тэдгээрийн гурав нь цэнхэр, сондгой тоотой, үлдсэн гурав нь тэгш тоотой улаан өнгөтэй байна.

Туршилтын дугаар 2. Нэгээс зургаа хүртэлх тоотой 6 цэнхэр бөмбөг байна.

Энэ жишээн дээр үндэслэн бид хослолуудыг нэрлэж болно:

• Найдвартай үйл явдал.Испани хэлээр 2-р "Цэнхэр бөмбөг авах" үйл явдал нь найдвартай, учир нь түүний тохиолдох магадлал нь 1-тэй тэнцүү, учир нь бүх бөмбөг цэнхэр өнгөтэй бөгөөд алдах боломжгүй юм. Харин "1-ийн тоотой бөмбөг авах" үйл явдал санамсаргүй байдлаар явагддаг.
• Боломжгүй үйл явдал.Испани хэлээр Цэнхэр, улаан бөмбөгтэй №1, "ягаан бөмбөг авах" үйл явдал боломжгүй, учир нь түүний тохиолдох магадлал 0 байна.
• Үүнтэй адил боломжтой үйл явдлууд.Испани хэлээр 1-р "2-р тоотой бөмбөг авах", "3-ын тоотой бөмбөг авах" үйл явдлууд адилхан боломжтой бөгөөд "тэгш тоотой бөмбөг авах", "2-р тоотой бөмбөг авах" үйл явдлууд ижил боломжтой. ” өөр өөр магадлалтай.
• Тохиромжтой үйл явдлууд.Шууд шидэж байхдаа зургаа дараалан хоёр удаа авах нь таарч тохирох үйл явдал юм.
• Тохиромжгүй үйл явдлууд.Үүнтэй ижил испани хэлээр №1, "улаан бөмбөг авах" болон "сондгой тоотой бөмбөг авах" үйл явдлуудыг нэг туршлагад нэгтгэж болохгүй.
• Эсрэг үйл явдлууд.Үүний хамгийн тод жишээ бол зоос шидэх бөгөөд толгой зурах нь сүүлээ зурахгүй байхтай тэнцэх бөгөөд тэдгээрийн магадлалын нийлбэр нь үргэлж 1 (бүтэн бүлэг) байдаг.
• Хамааралтай үйл явдлууд. Тиймээс испани хэлээр №1, та улаан бөмбөгийг хоёр удаа дараалан зурах зорилго тавьж болно. Эхний удаа олж авсан эсэх нь хоёр дахь удаагаа олгогдох магадлалд нөлөөлдөг.

Эхний үйл явдал нь хоёр дахь (40% ба 60%) магадлалд ихээхэн нөлөөлдөг болохыг харж болно.

Үйл явдлын магадлалын томъёо

Мөрөөдөхөөс нарийн өгөгдөл рүү шилжих нь сэдвийг математикийн хавтгайд орчуулах замаар явагддаг. Өөрөөр хэлбэл, "өндөр магадлал" эсвэл "хамгийн бага магадлалтай" гэх мэт санамсаргүй үйл явдлын талаархи дүгнэлтийг тодорхой тоон өгөгдөл болгон хөрвүүлж болно. Ийм материалыг үнэлэх, харьцуулах, илүү төвөгтэй тооцоололд оруулахыг аль хэдийн зөвшөөрсөн.

Тооцооллын үүднээс авч үзвэл үйл явдлын магадлалыг тодорхойлох нь энгийн эерэг үр дүнгийн тоог тодорхой үйл явдлын талаархи туршлагын бүх боломжит үр дүнгийн тоонд харьцуулсан харьцаа юм. Магадлалыг P(A) гэж тэмдэглэсэн бөгөөд P нь франц хэлнээс "магадлал" гэж орчуулагдсан "магадлал" гэсэн үг юм.

Тиймээс, үйл явдлын магадлалын томъёо нь:

Энд m нь А үйл явдлын таатай үр дүнгийн тоо, n нь энэ туршлагын боломжтой бүх үр дүнгийн нийлбэр юм. Энэ тохиолдолд үйл явдлын магадлал үргэлж 0-1 хооронд байна.

0 ≤ P(A)≤ 1.

Үйл явдлын магадлалын тооцоо. Жишээ

Испани хэлийг авч үзье. Өмнө дурьдсан бөмбөгтэй №1: 1/3/5 тоотой 3 цэнхэр бөмбөг, 2/4/6 тоотой 3 улаан бөмбөг.

Энэ тест дээр үндэслэн хэд хэдэн өөр өөр асуудлыг авч үзэж болно:

• A - улаан бөмбөг унаж байна. 3 улаан бөмбөлөг байх ба нийтдээ 6 сонголт байна. Энэ бол үйл явдлын магадлал P(A) = 3/6 = 0.5-тай тэнцүү байх хамгийн энгийн жишээ юм.
• B - тэгш тоог өнхрүүлэх. 3 тэгш тоо (2,4,6) байх ба боломжит тоон хувилбаруудын нийт тоо 6. Энэ үйл явдлын магадлал P(B)=3/6=0,5.
• C - 2-оос их тооны тохиолдох. Нийт боломжтой 6 үр дүнгээс 4 ийм хувилбар (3,4,5,6) байна. С үйл явдлын магадлал P(C)=4-тэй тэнцүү байна. /6=0.67.

Тооцооллоос харахад эерэг үр дүнгийн магадлал нь А ба В-ээс их байгаа тул С үйл явдлын магадлал өндөр байна.

Тохиромжгүй үйл явдлууд

Ийм үйл явдлууд нэг туршлагад нэгэн зэрэг гарч ирэх боломжгүй. Испани хэл дээрх шиг №1 Цэнхэр, улаан бөмбөгийг нэгэн зэрэг авах боломжгүй. Өөрөөр хэлбэл, та цэнхэр эсвэл улаан бөмбөг авах боломжтой. Үүний нэгэн адил тэгш, сондгой тоо шоонд нэгэн зэрэг гарч болохгүй.

Хоёр үйл явдлын магадлалыг тэдгээрийн нийлбэр эсвэл бүтээгдэхүүний магадлал гэж үзнэ. Ийм A+B үзэгдлүүдийн нийлбэрийг А эсвэл В үйл явдлаас бүрдэх үйл явдал гэж үзэх ба тэдгээрийн АВ үржвэр нь хоёулангийнх нь тохиолдох явдал юм. Жишээлбэл, нэг шидэхэд хоёр шооны нүүрэн дээр нэгэн зэрэг хоёр зургаа гарч ирэх.

Хэд хэдэн үйл явдлын нийлбэр нь тэдгээрийн дор хаяж нэг нь тохиолдохыг таамагласан үйл явдал юм. Хэд хэдэн үйл явдлыг бүтээх нь бүгд хамтдаа тохиолдох явдал юм.

Магадлалын онолд дүрмээр бол "ба" холбоосыг ашиглах нь нийлбэрийг, "эсвэл" гэсэн холбоос нь үржүүлэхийг илэрхийлдэг. Жишээ бүхий томьёо нь магадлалын онол дахь нэмэх, үржүүлэх логикийг ойлгоход тусална.

Тохиромжгүй үйл явдлын нийлбэрийн магадлал

Хэрэв үл нийцэх үйл явдлын магадлалыг авч үзвэл үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь тэдгээрийн магадлалыг нэмсэнтэй тэнцүү байна.

P(A+B)=P(A)+P(B)

Жишээ нь: Испани хэл дээрх магадлалыг тооцоолъё. Цэнхэр, улаан бөмбөлгүүдтэй №1, 1-ээс 4 хүртэлх тоо гарч ирнэ, бид нэг үйлдэлд биш, харин энгийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн магадлалын нийлбэрээр тооцоолно. Тиймээс, ийм туршилтанд зөвхөн 6 бөмбөг буюу бүх боломжит үр дүнгийн 6 нь л байдаг. Нөхцөлийг хангасан тоонууд нь 2 ба 3. 2 авах магадлал 1/6, 3 авах магадлал мөн 1/6. 1-ээс 4 хүртэлх тоог авах магадлал нь:

Бүрэн бүлгийн үл нийцэх үйл явдлын нийлбэрийн магадлал 1 байна.

Тиймээс, хэрэв бид кубтай туршилт хийхдээ бүх тоо гарч ирэх магадлалыг нэгтгэвэл үр дүн нь нэг болно.

Энэ нь эсрэг талын үйл явдлуудын хувьд ч мөн адил, жишээлбэл, зоосны туршилтанд нэг тал нь А үйл явдал, нөгөө тал нь эсрэг талын Ā үйл явдал байдаг.

P(A) + P(Ā) = 1

Тохиромжгүй үйл явдал тохиолдох магадлал

Нэг ажиглалтад хоёр буюу түүнээс дээш үл нийцэх үйл явдал тохиолдохыг авч үзэх үед магадлалын үржүүлгийг ашигладаг. Үүнд А ба В үйл явдлууд нэгэн зэрэг гарч ирэх магадлал нь тэдгээрийн магадлалын үржвэртэй тэнцүү буюу:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Жишээлбэл, Испани хэл дээрх магадлал №1, хоёр оролдлогын үр дүнд цэнхэр бөмбөг хоёр удаа гарч ирнэ, тэнцүү

Өөрөөр хэлбэл, бөмбөг гаргаж авах гэсэн хоёр оролдлогын үр дүнд зөвхөн цэнхэр бөмбөг гаргаж авсан тохиолдолд тохиолдох магадлал 25% байна. Энэ асуудал дээр практик туршилт хийж, энэ нь үнэн эсэхийг шалгах нь маш хялбар юм.

Хамтарсан арга хэмжээ

Аль нэг нь тохиолдох нь нөгөө нь тохиолдохтой давхцаж байвал үйл явдлуудыг хамтарсан гэж үзнэ. Тэд хамтарсан боловч бие даасан үйл явдлын магадлалыг харгалзан үздэг. Жишээлбэл, хоёр шоо шидэх нь хоёуланд нь 6 тоо гарч ирэхэд үр дүнг өгч болно. Хэдийгээр үйл явдлууд давхцаж, нэгэн зэрэг гарч ирсэн боловч тэдгээр нь бие биенээсээ хамааралгүй байдаг - зөвхөн нэг зургаа унах боломжтой, хоёр дахь үхэлд байхгүй. түүнд нөлөөлөх.

Хамтарсан үйл явдлын магадлалыг тэдгээрийн нийлбэрийн магадлал гэж үзнэ.

Хамтарсан үйл явдлын нийлбэрийн магадлал. Жишээ

Бие биетэйгээ холбоотой хамтарсан А ба В үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь тухайн үйл явдлын магадлалын нийлбэрээс тэдгээрийн тохиолдох магадлалыг хассантай тэнцүү байна (өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн хамтарсан тохиолдлын):

R хамтарсан (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Нэг сумаар бай онох магадлалыг 0.4 гэж үзье. Дараа нь А үйл явдал эхний оролдлого, B - хоёр дахь оролдлого дээр онож байна. Эхний болон хоёр дахь буудлагаар байг онох боломжтой тул эдгээр үйл явдлууд хамтарсан байна. Гэхдээ үйл явдлууд нь хамааралгүй. Байгаа хоёр сумаар (дор хаяж нэгээр) онох үйл явдлын магадлал хэд вэ? Томъёоны дагуу:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Асуултын хариулт нь: "Хоёр сумаар бай онох магадлал 64% байна."

Үйл явдлын магадлалын энэхүү томьёог үл нийцэх үйл явдлуудад мөн хэрэглэж болно, үүнд үйл явдлын хамтдаа тохиолдох магадлал P(AB) = 0. Энэ нь үл нийцэх үйл явдлын нийлбэрийн магадлалыг онцгой тохиолдол гэж үзэж болно гэсэн үг юм. санал болгож буй томъёоны.

Тодорхой болгох үүднээс магадлалын геометр

Сонирхолтой нь, хамтарсан үйл явдлуудын нийлбэрийн магадлалыг бие биетэйгээ огтлолцдог А ба В хоёр талбар хэлбэрээр илэрхийлж болно. Зургаас харахад тэдгээрийн нэгдлийн талбай нь уулзварын талбайгаас хасагдсан нийт талбайтай тэнцүү байна. Энэхүү геометрийн тайлбар нь логикгүй мэт санагдах томьёог илүү ойлгомжтой болгодог. Магадлалын онолд геометрийн шийдлүүд ховор биш гэдгийг анхаарна уу.

Олон (хоёроос дээш) хамтарсан үйл явдлын нийлбэрийн магадлалыг тодорхойлох нь нэлээд төвөгтэй юм. Үүнийг тооцоолохын тулд та эдгээр тохиолдлуудад өгөгдсөн томъёог ашиглах хэрэгтэй.

Хамааралтай үйл явдлууд

Хэрэв тэдгээрийн нэг (А) тохиолдох нь нөгөө (B) тохиолдох магадлалд нөлөөлж байвал үйл явдлуудыг хамааралтай гэж нэрлэдэг. Түүнчлэн, А үйл явдал тохиолдох, үүсэхгүй байх хоёрын нөлөөг харгалзан үздэг. Тодорхойлолтоор үйл явдлыг хамааралтай гэж нэрлэдэг ч тэдгээрийн зөвхөн нэг нь хамааралтай (B). Энгийн магадлалыг P(B) буюу бие даасан үйл явдлын магадлал гэж тэмдэглэв. Хамааралтай үйл явдлын хувьд шинэ ойлголтыг нэвтрүүлсэн - нөхцөлт магадлал P A (B), энэ нь түүний хамааралтай А үйл явдал (таамаглал) үүсэхэд хамаарах хамааралтай В үйл явдлын магадлал юм.

Гэхдээ А үйл явдал нь бас санамсаргүй байдаг, тиймээс энэ нь бас шаардлагатай бөгөөд гүйцэтгэсэн тооцоололд тооцож болох магадлалтай байдаг. Дараах жишээ нь хамааралтай үйл явдал болон таамаглалтай хэрхэн ажиллахыг харуулах болно.

Хамааралтай үйл явдлын магадлалыг тооцоолох жишээ

Хамааралтай үйл явдлуудыг тооцоолох сайн жишээ бол картуудын стандарт тавцан байж болно.

Жишээ болгон 36 картын тавцан ашиглан хамааралтай үйл явдлуудыг харцгаая. Эхний сугалсан карт нь дараах тохиолдолд тавцангаас авсан хоёр дахь карт нь очир алмааз байх магадлалыг тодорхойлох шаардлагатай.

1. Бубновая.
2. Өөр өнгө.

Мэдээжийн хэрэг, хоёр дахь В үйл явдлын магадлал нь эхний А-аас хамаарна. Тэгэхээр хэрэв эхний сонголт үнэн бол тавцан дээр 1 хөзөр (35) ба 1 алмааз (8) бага байгаа бол B үйл явдлын магадлал:

R A (B) =8/35=0.23

Хэрэв хоёр дахь сонголт нь үнэн бол тавцан нь 35 карттай бөгөөд бүтэн тооны алмааз (9) хадгалагдсаар байвал дараах B үйл явдлын магадлал:

R A (B) =9/35=0.26.

Хэрэв А үйл явдал нь эхний хөзөр алмаз байхаар болзолдвол В үйл явдлын магадлал буурч, эсрэгээр нь харагдана.

Хамааралтай үйл явдлуудыг үржүүлэх

Өмнөх бүлгийг удирдан чиглүүлснээр бид эхний үйл явдлыг (A) баримт гэж хүлээн зөвшөөрдөг боловч үндсэндээ энэ нь санамсаргүй шинж чанартай байдаг. Энэ үйл явдлын магадлал, тухайлбал хөзрийн тавцангаас алмаз зурах нь дараахтай тэнцүү байна.

P(A) = 9/36=1/4

Онол нь дангаараа байдаггүй, харин практик зорилгод зориулагдсан тул хамааралтай үйл явдлуудыг бий болгох магадлал нь хамгийн их хэрэгцээтэй байдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Хамааралтай үйл явдлуудын магадлалын үржвэрийн тухай теоремын дагуу хамтарсан хамааралтай А ба В үйл явдлууд үүсэх магадлал нь нэг А үйл явдлын магадлалыг В үйл явдлын нөхцөлт магадлалаар үржүүлсэнтэй тэнцүү (А-аас хамааралтай):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Дараа нь тавцангийн жишээн дээр очир эрдэнийн костюмтай хоёр карт зурах магадлал нь:

9/36*8/35=0.0571 буюу 5.7%

Эхлээд алмаз биш, дараа нь алмаз олборлох магадлал дараах байдалтай тэнцүү байна.

27/36*9/35=0.19 буюу 19%

Очир алмаазаас бусад костюмны эхний хөзрийг зурсан тохиолдолд В үйл явдал болох магадлал өндөр байгааг харж болно. Энэ үр дүн нь нэлээд логик бөгөөд ойлгомжтой юм.

Үйл явдлын нийт магадлал

Нөхцөлт магадлал бүхий асуудал олон талт болж хувирвал түүнийг уламжлалт аргаар тооцоолох боломжгүй. A1,A2,…,A n, .. гэх хоёроос олон таамаглал байгаа тохиолдолд өгөгдсөн үйл явдлын бүрэн бүлгийг бүрдүүлнэ.

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Тэгэхээр санамсаргүй A1, A2,..., A n үйл явдлуудын бүрэн бүлэгтэй В үйл явдлын нийт магадлалын томьёо нь:

Ирээдүй рүү харж байна

Санамсаргүй тохиолдлын магадлал нь эконометрик, статистик, физик гэх мэт шинжлэх ухааны олон салбарт нэн шаардлагатай байдаг. Зарим үйл явцыг тодорхойлон тайлбарлах боломжгүй, тэдгээр нь өөрөө магадлалын шинж чанартай байдаг тул тусгай ажлын аргууд шаардлагатай байдаг. Аливаа үйл явдлын магадлалын онолыг технологийн аль ч салбарт алдаа, доголдол гарах магадлалыг тодорхойлох арга болгон ашиглаж болно.

Бид магадлалыг таньж мэдсэнээр ирээдүй рүү ямар нэгэн байдлаар онолын алхмыг хийж, томьёоны призмээр хардаг гэж хэлж болно.

Санамсаргүй байдлаар тохиолдсон үйл явдлуудыг тооцоолох боломжтой эсэх талаар олон хүн бодох нь юу л бол. Энгийнээр хэлбэл, дараагийн удаа кубын аль тал гарч ирэхийг мэдэх боломжтой юу? Үйл явдлын магадлалыг нэлээд өргөнөөр судалдаг магадлалын онол гэх шинжлэх ухааны үндэс суурийг тавьсан хоёр том эрдэмтэн яг ийм асуултыг өөрөөсөө тавьжээ.

Гарал үүсэл

Хэрэв та ийм ойлголтыг магадлалын онол гэж тодорхойлохыг оролдвол дараахь зүйлийг олж авна: энэ бол санамсаргүй үйл явдлын тогтмол байдлыг судалдаг математикийн нэг салбар юм. Мэдээжийн хэрэг, энэ ойлголт нь мөн чанарыг бүхэлд нь илчлэхгүй байгаа тул үүнийг илүү нарийвчлан авч үзэх шаардлагатай.

Би онолыг бүтээгчдээс эхэлмээр байна. Дээр дурдсанчлан эдгээр нь хоёр байсан бөгөөд тэд томьёо, математикийн тооцоолол ашиглан энэ эсвэл тэр үйл явдлын үр дүнг тооцоолохыг оролдсон анхны хүмүүсийн нэг байв. Ерөнхийдөө энэ шинжлэх ухааны эхлэл нь Дундад зууны үед бий болсон. Тухайн үед янз бүрийн сэтгэгчид, эрдэмтэд рулет, крапс гэх мэт мөрийтэй тоглоомын тоглоомд дүн шинжилгээ хийх гэж оролдсон бөгөөд ингэснээр тодорхой тооны унасан хэв маяг, хувь хэмжээг тогтоохыг оролдсон. Үндэс суурийг нь XVII зуунд дээр дурдсан эрдэмтэд тавьжээ.

Эхэндээ тэдний бүтээлийг энэ салбарын томоохон амжилт гэж үзэх боломжгүй байсан, учир нь тэдний хийсэн бүх зүйл бол зүгээр л эмпирик баримтууд байсан бөгөөд туршилтуудыг томьёо ашиглахгүйгээр нүдээр хийдэг байв. Цаг хугацаа өнгөрөхөд шоо шидэлтийг ажигласны үр дүнд гарч ирсэн гайхалтай үр дүнд хүрэх боломжтой болсон. Анхны ойлгомжтой томьёог гаргаж авахад энэ хэрэгсэл тусалсан юм.

Ижил бодолтой хүмүүс

“Магадлалын онол” хэмээх сэдвийг судлах явцад Кристиан Гюйгенс шиг хүнийг дурдахгүй байхын аргагүй (үйл явдлын магадлалыг энэ шинжлэх ухаанд яг таг тусгасан). Энэ хүн их сонирхолтой. Тэрээр дээр дурдсан эрдэмтдийн нэгэн адил санамсаргүй үйл явдлын хэв маягийг математикийн томъёо хэлбэрээр гаргаж авахыг оролдсон. Тэр үүнийг Паскаль, Фермат нартай хамт хийгээгүй, өөрөөр хэлбэл түүний бүх бүтээлүүд эдгээр оюун ухаантай огтлолцоогүй нь анхаарал татаж байна. Гюйгенс гаргасан

Сонирхолтой баримт бол түүний бүтээл нээлтийн ажлын үр дүнгээс хамаагүй өмнө, эс тэгвээс хорин жилийн өмнө гарч ирсэн явдал юм. Тодорхойлогдсон ойлголтуудын дотроос хамгийн алдартай нь:

• боломжийн үнэ цэнэ болох магадлалын тухай ойлголт;
• салангид тохиолдлуудын математикийн хүлээлт;
• магадлалыг үржүүлэх, нэмэх теоремууд.

Асуудлыг судлахад хэн чухал хувь нэмэр оруулсныг санахгүй байхын аргагүй юм. Хэнээс ч хамааралгүй өөрийн туршилтыг хийж, олон тооны хуулийн нотолгоог гаргаж чадсан. Хариуд нь XIX зууны эхээр ажиллаж байсан эрдэмтэд Пуассон, Лаплас нар анхны теоремуудыг баталж чадсан юм. Энэ мөчөөс эхлэн ажиглалтын алдааг шинжлэхэд магадлалын онолыг ашиглаж эхэлсэн. Оросын эрдэмтэд, эс тэгвээс Марков, Чебышев, Дяпунов нар энэ шинжлэх ухааныг үл тоомсорлож чадахгүй байв. Тэд агуу суут хүмүүсийн хийсэн бүтээлд тулгуурлан энэ хичээлийг математикийн салбар болгон бий болгосон. Эдгээр тоо баримтууд XIX зууны төгсгөлд аль хэдийн ажиллаж байсан бөгөөд тэдний оруулсан хувь нэмэрийн ачаар дараахь үзэгдлүүд нотлогдсон.

• их тооны хууль;
• Марковын гинжин хэлхээний онол;
• төв хязгаарын теорем.

Тэгэхээр шинжлэх ухаан үүсч хөгжсөн түүх, түүнд нөлөөлсөн гол хүмүүстэй холбоотойгоор бүх зүйл багагүй тодорхой болсон. Одоо бүх баримтыг тодруулах цаг иржээ.

Үндсэн ойлголтууд

Хууль, теоремуудын талаар ярихаасаа өмнө магадлалын онолын үндсэн ойлголтуудыг судлах нь зүйтэй. Үйл явдал нь үүнд тэргүүлэх үүрэг гүйцэтгэдэг. Энэ сэдэв нь нэлээд том боловч үүнгүйгээр бусад бүх зүйлийг ойлгох боломжгүй юм.

Магадлалын онол дахь үйл явдал нь туршилтын үр дүнгийн аливаа багц юм. Энэ үзэгдлийн талаар нэлээд хэдэн ойлголт байдаг. Тиймээс, энэ чиглэлээр ажиллаж буй эрдэмтэн Лотман хэлэхдээ, энэ тохиолдолд бид "болоогүй байсан ч юу болсон" талаар ярьж байна.

Санамсаргүй үйл явдлууд (магадлалын онол тэдэнд онцгой анхаарал хандуулдаг) нь тохиолдох боломжтой аливаа үзэгдлийг илэрхийлдэг ойлголт юм. Эсвэл эсрэгээр, олон нөхцөл хангагдсан тохиолдолд энэ хувилбар тохиолдохгүй байж магадгүй юм. Энэ нь тохиолдсон үзэгдлийн хэмжээг бүхэлд нь хамарсан санамсаргүй үйл явдлууд гэдгийг мэдэх нь зүйтэй. Магадлалын онол нь бүх нөхцөлийг байнга давтаж болно гэдгийг харуулж байна. Тэдний зан үйлийг "туршлага" эсвэл "туршилт" гэж нэрлэдэг.

Найдвартай үйл явдал нь тухайн сорилтод тохиолдох 100 хувь магадлалтай үзэгдэл юм. Үүний дагуу боломжгүй үйл явдал бол тохиолдохгүй үйл явдал юм.

Хос үйлдлүүдийн хослол (нөхцөлөөр, А тохиолдол ба Б тохиолдол) нь нэгэн зэрэг тохиолддог үзэгдэл юм. Тэдгээрийг AB гэж тодорхойлсон.

А ба В хос үйл явдлуудын нийлбэр нь С, өөрөөр хэлбэл, тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдвол (А эсвэл В) С нь дараах байдлаар бичигдэнэ: C = A + Б.

Магадлалын онол дахь үл нийцэх үйл явдлууд нь хоёр тохиолдол нь бие биенээ үгүйсгэдэг гэсэн үг юм. Ямар ч тохиолдолд тэд нэгэн зэрэг тохиолдож болохгүй. Магадлалын онол дахь хамтарсан үйл явдлууд нь тэдний эсрэг тал юм. Энд юу гэсэн үг вэ гэвэл, хэрэв А нь тохиолдсон бол энэ нь Б-д ямар ч саад болохгүй.

Эсрэг үйл явдлууд (магадлалын онол нь тэдгээрийг нарийвчлан авч үздэг) ойлгоход хялбар байдаг. Тэднийг ойлгох хамгийн сайн арга бол харьцуулах явдал юм. Эдгээр нь магадлалын онолын хувьд үл нийцэх үйл явдлуудтай бараг ижил юм. Гэхдээ тэдний ялгаа нь олон үзэгдлийн нэг нь ямар ч тохиолдолд тохиолдох ёстой гэдэгт оршино.

Ижил магадлалтай үйл явдлууд нь давталт нь тэнцүү үйлдлүүд юм. Үүнийг илүү ойлгомжтой болгохын тулд та зоос шидэж байна гэж төсөөлж болно: түүний нэг талыг алдах нь нөгөө тал нь унах магадлалтай.

Өшигтэй үйл явдлыг жишээгээр авч үзэх нь илүү хялбар байдаг. Б бүлэг ба А анги байна гэж бодъё. Эхнийх нь сондгой тоо гарч ирэх шоо шидэлт, хоёр дахь нь талбар дээр тавын тооны харагдах байдал. Тэгвэл А нь Б-г илүүд үздэг болж таарч байна.

Магадлалын онолын бие даасан үйл явдлууд нь зөвхөн хоёр буюу түүнээс дээш тохиолдлоор төсөөлөгддөг бөгөөд аливаа үйлдлээс бие даасан байдлыг илэрхийлдэг. Жишээлбэл, А нь зоос шидэх үед толгойгоо алдах, Б нь тавцангаас үүрний зураг зурах явдал юм. Эдгээр нь магадлалын онолын хувьд бие даасан үйл явдлууд юм. Энэ үед илүү тодорхой болсон.

Магадлалын онолын хувьд хамааралтай үйл явдлуудыг зөвхөн тэдгээрийн багцад л зөвшөөрдөг. Эдгээр нь нэг нь нөгөөгөөсөө хамаарлыг илэрхийлдэг, өөрөөр хэлбэл В үзэгдэл нь зөвхөн А аль хэдийн тохиолдсон эсвэл эсрэгээр болоогүй тохиолдолд л тохиолдож болно, энэ нь Б-ийн гол нөхцөл юм.

Нэг бүрэлдэхүүн хэсгээс бүрдсэн санамсаргүй туршилтын үр дүн нь энгийн үйл явдлууд юм. Магадлалын онол үүнийг ганц удаа тохиолдсон үзэгдэл гэж тайлбарладаг.

Үндсэн томъёо

Тиймээс "үйл явдал" ба "магадлалын онол" гэсэн ойлголтуудыг дээр дурдсан бөгөөд энэ шинжлэх ухааны үндсэн нэр томъёоны тодорхойлолтыг өгсөн болно. Одоо чухал томьёотой шууд танилцах цаг болжээ. Эдгээр илэрхийлэл нь магадлалын онол гэх мэт нарийн төвөгтэй сэдвээр бүх үндсэн ойлголтыг математикийн хувьд баталж байна. Үйл явдлын магадлал энд бас асар их үүрэг гүйцэтгэдэг.

Үндсэн зүйлээс эхлэх нь дээр бөгөөд тэд юу болохыг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Комбинаторик нь үндсэндээ математикийн нэг салбар бөгөөд энэ нь маш олон тооны бүхэл тоо, түүнчлэн тоонуудын өөр өөр өөрчлөлтүүд, тэдгээрийн элементүүд, янз бүрийн өгөгдөл гэх мэтийг судалдаг бөгөөд энэ нь хэд хэдэн хослол үүсэхэд хүргэдэг. Энэ салбар нь магадлалын онолоос гадна статистик, компьютерийн шинжлэх ухаан, криптограф зэрэгт чухал ач холбогдолтой.

Тиймээс, одоо бид томьёо өөрөө болон тэдгээрийн тодорхойлолтыг танилцуулж болно.

Тэдгээрийн эхнийх нь сэлгэлтийн тооны илэрхийлэл байх болно, энэ нь дараах байдалтай байна.

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Элементүүд нь зөвхөн тэдгээрийн байршлын дарааллаар ялгаатай тохиолдолд л тэгшитгэлийг хэрэглэнэ.

Одоо байршлын томъёог авч үзэх болно, энэ нь дараах байдалтай байна.

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - м)!

Энэ илэрхийлэл нь зөвхөн элементийн байршлын дараалалд төдийгүй түүний найрлагад хамаарна.

Комбинаторикийн гурав дахь тэгшитгэл, мөн энэ нь сүүлчийнх нь хослолын тооны томъёо гэж нэрлэгддэг.

C_n^m = n! : ((n - м))! :м!

Хослол нь зохих ёсоор эрэмблэгдээгүй сонголтуудыг хэлнэ, энэ дүрэм тэдэнд хамаарна.

Комбинаторын томъёог ойлгоход хялбар байсан; одоо та магадлалын сонгодог тодорхойлолт руу шилжиж болно. Энэ илэрхийлэл дараах байдлаар харагдаж байна.

Энэ томьёоны хувьд m нь А үйл явдалд таатай нөхцөлүүдийн тоо, n нь бүгд адил боломжтой, энгийн үр дүнгийн тоо юм.

Өгүүлэлд олон тооны илэрхийлэл байдаг, гэхдээ эдгээрийг бүгдийг нь багтаахгүй, жишээлбэл, үйл явдлын нийлбэрийн магадлал гэх мэт хамгийн чухал зүйлийг хөндөх болно.

P(A + B) = P(A) + P(B) - энэ теорем нь зөвхөн үл нийцэх үйл явдлуудыг нэмэхэд зориулагдсан;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - ба энэ нь зөвхөн тохирохыг нэмэхэд зориулагдсан.

Үйл явдал болох магадлал:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - энэ теорем нь бие даасан үйл явдлуудад зориулагдсан;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - мөн энэ нь хамааралтай хүмүүст зориулагдсан.

Үйл явдлын жагсаалтыг үйл явдлын томьёогоор бөглөнө. Магадлалын онол нь Бэйсийн теоремын тухай өгүүлдэг бөгөөд энэ нь дараах байдалтай байна.

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

Энэ томьёонд H 1, H 2, ..., H n нь таамаглалын бүрэн бүлэг юм.

Жишээ

Хэрэв та математикийн аль нэг хэсгийг сайтар судалж үзвэл энэ нь дасгал, жишээ шийдэлгүйгээр бүрэн дүүрэн биш юм. Магадлалын онол ч мөн адил: энд байгаа үйл явдлууд, жишээнүүд нь шинжлэх ухааны тооцоог батлах салшгүй бүрэлдэхүүн хэсэг юм.

Сэлгээний тооны томъёо

Нэгийн үнэ цэнээр эхэлсэн хөзрийн тавцанд гучин карт байна гэж бодъё. Дараагийн асуулт. Нэг ба хоёр гэсэн утгатай хөзрүүдийг бие биенийхээ хажууд байлгахгүйн тулд тавцангаа давхарлах хэдэн арга байдаг вэ?

Даалгавар тавигдсан, одоо үүнийг шийдвэрлэхээр явцгаая. Эхлээд та гучин элементийн сэлгэцийн тоог тодорхойлох хэрэгтэй, үүний тулд бид дээр дурдсан томъёог авч, P_30 = 30 болж байна!.

Энэ дүрэмд үндэслэн бид тавцанг янз бүрийн аргаар нугалах хэдэн сонголт байгааг олж мэдэх боловч эхний болон хоёр дахь картууд бие биенийхээ хажууд байгаа хувилбаруудыг хасах хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд эхнийх нь хоёр дахь нь дээр байх үед сонголтоос эхэлье. Эхний карт нь эхнийхээс хорин ес, хоёр дахь карт нь хоёроос гуч хүртэл хорин есөн байрыг эзэлдэг бөгөөд энэ нь хос картанд нийт хорин есөн байрыг эзэлдэг. Хариуд нь бусад нь ямар ч дарааллаар хорин найман байрыг хүлээн авах боломжтой. Өөрөөр хэлбэл, хорин найман картыг дахин зохион байгуулахын тулд P_28 = 28 гэсэн хорин найман сонголт байна!

Үүний үр дүнд, хэрэв бид эхний карт хоёр дахь картаас дээш байх үед шийдлийг авч үзэх юм бол 29 ⋅ 28 нэмэлт боломж байх болно! = 29!

Үүнтэй ижил аргыг ашиглан эхний карт хоёр дахь картын доор байгаа тохиолдолд илүү олон сонголтуудын тоог тооцоолох хэрэгтэй. Энэ нь бас 29 ⋅ 28 болж хувирав! = 29!

Үүнээс үзэхэд 2 ⋅ 29 нэмэлт сонголт байгаа бол тавцан угсрах шаардлагатай арга нь 30 байна! - 2 ⋅ 29!. Зөвхөн тоолох л үлдлээ.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Одоо та нэгээс хорин ес хүртэлх бүх тоог үржүүлээд эцэст нь бүгдийг 28-аар үржүүлэх хэрэгтэй. Хариулт нь 2.4757335 ⋅〖10〗^32

Жишээ шийдэл. Байршлын дугаарын томъёо

Энэ асуудалд арван таван ботийг нэг тавиур дээр байрлуулах хэдэн арга байгааг олж мэдэх хэрэгтэй, гэхдээ нийт гучин боть байгаа тохиолдолд.

Энэ асуудлыг шийдэх арга нь өмнөхөөсөө арай хялбар юм. Аль хэдийн мэдэгдэж байсан томъёог ашиглан арван таван гучин боть зохион байгуулалтын нийт тоог тооцоолох шаардлагатай.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 720703

Үүний дагуу хариулт нь 202,843,204,931,727,360,000 болно.

Одоо арай илүү хэцүү даалгавар авч үзье. Нэг тавиурт арван таван боть л багтах боломжтойг харгалзан гучин номыг хоёр тавиур дээр байрлуулах хэдэн арга байгааг олж мэдэх хэрэгтэй.

Шийдвэрийг эхлүүлэхийн өмнө зарим асуудлыг хэд хэдэн аргаар шийдэж болох бөгөөд энэ нь хоёр аргатай боловч хоёулаа ижил томъёог ашигладаг гэдгийг тодруулахыг хүсч байна.

Энэ асуудалд та өмнөх хувилбараас хариулт авч болно, учир нь бид арван таван номоор тавиурыг хэдэн удаа дүүргэхийг янз бүрийн аргаар тооцоолсон. A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16 болсон.

Бид хоёр дахь тавиурыг солих томьёо ашиглан тооцоолох болно, учир нь арван таван номыг дотор нь байрлуулж болох бөгөөд ердөө арван таван нь үлдсэн. Бид P_15 = 15 томъёог ашигладаг!

Нийт нь A_30^15 ⋅ P_15 арга байх болно, гэхдээ үүнээс гадна гучаас арван зургаа хүртэлх бүх тооны үржвэрийг нэгээс арван тав хүртэлх тооны үржвэрээр үржүүлэх шаардлагатай болно, эцэст нь та нэгээс гуч хүртэлх бүх тооны үржвэрийг авах болно, өөрөөр хэлбэл хариулт нь 30-тай тэнцүү байна!

Гэхдээ энэ асуудлыг өөр аргаар шийдэж болно - илүү хялбар. Үүнийг хийхийн тулд гучин номын нэг тавиур байна гэж төсөөлж болно. Бүгдийг нь энэ хавтгайд байрлуулсан боловч нөхцөл нь хоёр тавиуртай байхыг шаарддаг тул бид нэг уртыг хагасаар нь харсан тул тус бүр хоёр арван тав авдаг. Эндээс харахад зохион байгуулах P_30 = 30 сонголт байж болно!.

Жишээ шийдэл. Хосолсон тооны томъёо

Одоо бид комбинаторикийн гурав дахь бодлогын хувилбарыг авч үзэх болно. Та яг адилхан гучин номноос сонгох шаардлагатай бол арван таван номыг зохион байгуулах хэдэн арга зам байгааг олж мэдэх шаардлагатай.

Шийдвэрлэхийн тулд мэдээжийн хэрэг, хослолын тооны томъёог ашиглана. Нөхцөл байдлаас харахад ижил арван таван номын дараалал чухал биш юм. Тиймээс, та эхлээд арван таван гучин номыг нэгтгэсэн нийт тоог олж мэдэх хэрэгтэй.

C_30^15 = 30! : ((30-15)) ! : 15! = 155 117 520

Ингээд л болоо. Энэ томъёог ашиглан бид энэ асуудлыг хамгийн богино хугацаанд шийдэж чадсан бөгөөд үүний дагуу 155,117,520 байна.

Жишээ шийдэл. Магадлалын сонгодог тодорхойлолт

Дээрх томъёог ашигласнаар та энгийн асуудлын хариултыг олох боломжтой. Гэхдээ энэ нь үйл ажиллагааны явцыг тодорхой харж, хянахад тусална.

Асуудал нь саванд яг адилхан арван бөмбөг байгааг харуулж байна. Үүнээс дөрөв нь шар, зургаа нь цэнхэр. Нэг бөмбөгийг савнаас авдаг. Та хөх өнгөтэй болох магадлалыг олж мэдэх хэрэгтэй.

Асуудлыг шийдэхийн тулд цэнхэр бөмбөг авахыг А үйл явдал гэж тодорхойлох шаардлагатай. Энэ туршилт нь арван үр дүнтэй байж болох бөгөөд энэ нь эргээд энгийн бөгөөд адил боломжтой юм. Үүний зэрэгцээ, араваас зургаа нь А үйл явдалд таатай байна. Бид дараах томъёог ашиглан шийддэг.

P(A) = 6: 10 = 0.6

Энэ томьёог ашигласнаар цэнхэр бөмбөг авах магадлал 0.6 болохыг олж мэдсэн.

Жишээ шийдэл. Үйл явдлын нийлбэрийн магадлал

Үйл явдлын нийлбэр магадлалын томьёог ашиглан шийдэгдсэн хувилбарыг одоо танилцуулах болно. Тэгэхээр хоёр хайрцагтай, эхнийх нь нэг саарал, таван цагаан бөмбөлөг, хоёр дахь нь найман саарал, дөрвөн цагаан бөмбөгтэй байх нөхцөлийг өгсөн. Үүний үр дүнд тэд нэг, хоёрдугаар хайрцагнаас нэгийг нь авав. Таны авсан бөмбөг саарал, цагаан өнгөтэй байх магадлал хэр байгааг олж мэдэх хэрэгтэй.

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд үйл явдлыг тодорхойлох шаардлагатай.

• Тиймээс, А - эхний хайрцгаас саарал бөмбөг авав: P (A) = 1/6.
• A’ - эхний хайрцагнаас цагаан бөмбөг авсан: P(A") = 5/6.
• B - саарал бөмбөгийг хоёр дахь хайрцагнаас гаргаж авсан: P (B) = 2/3.
• B’ - хоёр дахь хайрцагнаас саарал бөмбөг авав: P(B") = 1/3.

Асуудлын нөхцлийн дагуу AB' эсвэл A'B гэсэн үзэгдлүүдийн аль нэг нь тохиолдох шаардлагатай. Томьёог ашиглан бид дараахийг авна: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Одоо магадлалыг үржүүлэх томъёог ашигласан. Дараа нь хариултыг олохын тулд та тэдгээрийн нэмэлтийн тэгшитгэлийг ашиглах хэрэгтэй.

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Томьёог ашиглан ижил төстэй асуудлыг ингэж шийдэж болно.

Доод шугам

Уг нийтлэлд үйл явдлын магадлал нь чухал үүрэг гүйцэтгэдэг "Магадлалын онол" сэдвээр мэдээлэл өгсөн. Мэдээжийн хэрэг, бүх зүйлийг анхаарч үзээгүй боловч танилцуулсан текст дээр үндэслэн та математикийн энэ хэсэгтэй онолын хувьд танилцаж болно. Энэ шинжлэх ухаан нь зөвхөн мэргэжлийн асуудалд төдийгүй өдөр тутмын амьдралд хэрэгтэй байж болно. Түүний тусламжтайгаар та аливаа үйл явдлын ямар ч боломжийг тооцоолж болно.

Уг зохиолд магадлалын онол шинжлэх ухаан болж үүссэн түүхэн дэх чухал он сар өдөр, түүнд хөрөнгө оруулалт хийсэн хүмүүсийн нэрсийг хөндсөн. Ингэж хүний ​​сониуч зан нь санамсаргүй үйл явдлыг хүртэл тооцоолж сурсан. Нэгэн цагт тэд үүнийг зүгээр л сонирхож байсан бол өнөөдөр хүн бүр энэ талаар мэддэг болсон. Ирээдүйд биднийг юу хүлээж байгааг, хэлэлцэж буй онолтой холбоотой өөр ямар гайхалтай нээлтүүдийг хийх талаар хэн ч хэлэхгүй. Гэхдээ нэг зүйл тодорхой байна - судалгаа зогсохгүй байна!

Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавруудад магадлалын (бидний 1-р хэсэгт авч үзсэнээс) илүү төвөгтэй асуудлууд байдаг бөгөөд үүнд бид нэмэх, магадлалыг үржүүлэх дүрмийг хэрэглэх, нийцтэй ба үл нийцэх үйл явдлуудыг ялгах ёстой.

Тэгэхээр онол.

Хамтарсан болон хамтарсан бус арга хэмжээ

Хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдоход бусад нь тохиолдохгүй бол үйл явдлыг үл нийцэх гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, зөвхөн нэг тодорхой үйл явдал тохиолдож болно.

Жишээлбэл, үхэл шидэхдээ тэгш тоо, сондгой тооны оноо авах зэрэг үйл явдлуудыг ялгаж болно. Эдгээр үйл явдлууд хоорондоо нийцэхгүй байна.

Хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдоход нөгөө нь тохиолдохыг үгүйсгэхгүй бол үйл явдлуудыг хамтарсан гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, үхэл шидэх үед сондгой тооны оноо өнхрөх, гурвын үржвэртэй олон тооны оноо өнхрүүлэх зэрэг үйл явдлуудыг ялгаж чадна. Гурвыг эргэлдүүлэхэд хоёр үйл явдал тохиолддог.

Үйл явдлын нийлбэр

Хэд хэдэн үйл явдлын нийлбэр (эсвэл хослол) нь эдгээр үйл явдлын дор хаяж нэг тохиолдсон үйл явдлуудаас бүрдэх үйл явдал юм.

Үүний зэрэгцээ хоёр үл нийцэх үйл явдлын нийлбэр нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэр юм:

Жишээлбэл, нэг шидэлтээр 5 эсвэл 6 оноо авах магадлал нь байх болно, учир нь хоёр үйл явдал (өнхрөх 5, өнхрөх 6) зөрчилтэй бөгөөд нэг юмуу өөр үйл явдал тохиолдох магадлалыг дараах байдлаар тооцоолно.

магадлал хоёр хамтарсан үйл явдлын нийлбэр Эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь тэдгээрийн хамтарсан тохиолдлыг харгалзахгүйгээр тэнцүү байна.

Жишээлбэл, худалдааны төвд хоёр ижил машин кофе зардаг. Өдрийн эцэс гэхэд машинд кофе дуусах магадлал 0.3 байна. Хоёр машин хоёуланд нь кофе дуусах магадлал 0.12 байна. Өдрийн эцэс гэхэд ядаж нэг машинд кофе дуусах магадлалыг олцгооё.

Нөхцөлийн дагуу эхний "эхний машинд кофе дуусах" магадлал, мөн хоёр дахь үйл явдлын "хоёр дахь машинд кофе дуусах" магадлал 0.3 байна. Үйл явдал нь хамтын ажиллагаа юм.

Нөхцөл байдлын дагуу эхний хоёр үйл явдлын хамт тохиолдох магадлал 0.12 байна.

Энэ нь өдрийн эцэс гэхэд ядаж нэг машинд кофе дуусах магадлал өндөр байна гэсэн үг юм.

Хамааралтай, бие даасан үйл явдлууд

Хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдоход нөгөө нь тохиолдох магадлалыг өөрчлөхгүй бол А ба В хоёр санамсаргүй үйл явдлыг бие даасан гэж нэрлэдэг. Үгүй бол А ба В үйл явдлуудыг хамааралтай гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, хоёр шоо зэрэг шидэхэд тэдгээрийн нэг нь 1, нөгөө нь 5 нь бие даасан үйл явдал юм.

Магадлалын бүтээгдэхүүн

Хэд хэдэн үйл явдлын бүтээгдэхүүн (эсвэл огтлолцол) нь эдгээр бүх үйл явдлын хамтарсан тохиолдлуудаас бүрдсэн үйл явдал юм.

Хэрэв хоёр тохиолдвол бие даасан үйл явдлууд P(A) ба P(B) тус тусын магадлал бүхий A ба B ба A ба B үйл явдлууд нэгэн зэрэг тохиолдох магадлал нь магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

Жишээлбэл, бид зургаа дараалан хоёр удаа үхсэн дээр гарч ирэхийг сонирхож байна. Хоёр үйл явдал хоёулаа бие даасан бөгөөд тус бүр нь тус тусад нь тохиолдох магадлал нь . Эдгээр хоёр үйл явдал тохиолдох магадлалыг дээрх томъёогоор тооцоолно: .

Сэдвийг дадлагажуулах даалгаврын сонголтыг харна уу.

Эдийн засагт хүний ​​үйл ажиллагааны бусад салбарууд эсвэл байгальд байдаг шиг бид үнэн зөв урьдчилан таамаглах боломжгүй үйл явдлуудтай байнга тулгардаг. Тиймээс, бүтээгдэхүүний борлуулалтын хэмжээ нь ихээхэн ялгаатай байж болох эрэлт хэрэгцээ болон бусад хэд хэдэн хүчин зүйлээс хамаардаг бөгөөд үүнийг анхаарч үзэх нь бараг боломжгүй юм. Тиймээс үйлдвэрлэл, борлуулалтыг зохион байгуулахдаа та өөрийн өмнөх туршлага, бусад хүмүүсийн ижил төстэй туршлага, зөн совингийн үндсэн дээр ийм үйл ажиллагааны үр дүнг урьдчилан таамаглах ёстой бөгөөд энэ нь ихэвчлэн туршилтын өгөгдөлд тулгуурладаг.

Тухайн үйл явдлыг ямар нэгэн байдлаар үнэлэхийн тулд энэ үйл явдлыг бүртгэх нөхцөлийг харгалзан үзэх эсвэл тусгайлан зохион байгуулах шаардлагатай.

Тухайн үйл явдлыг тодорхойлох тодорхой нөхцөл, арга хэмжээг хэрэгжүүлэх гэж нэрлэдэг туршлагаэсвэл туршилт.

Үйл явдал гэж нэрлэдэг санамсаргүй, хэрэв туршлагын үр дүнд энэ нь тохиолдож болох эсвэл тохиолдохгүй.

Үйл явдал гэж нэрлэдэг найдвартай, хэрэв энэ нь өгөгдсөн туршлагын үр дүнд зайлшгүй гарч ирвэл, мөн боломжгүй, хэрэв энэ туршлагад харагдахгүй бол.

Жишээлбэл, 11-р сарын 30-нд Москвад цас орох нь санамсаргүй үйл явдал юм. Өдөр бүр нар мандахыг найдвартай үйл явдал гэж үзэж болно. Экваторт цас орох нь боломжгүй үйл явдал гэж үзэж болно.

Магадлалын онолын гол ажлуудын нэг бол үйл явдал тохиолдох магадлалын тоон хэмжүүрийг тодорхойлох ажил юм.

Үйл явдлын алгебр

Нэг туршлагаар хамтдаа ажиглах боломжгүй бол үйл явдлыг үл нийцэх гэж нэрлэдэг. Тиймээс нэг дэлгүүрт хоёр, гурван машин нэгэн зэрэг худалдаалагдаж байгаа нь хоёр үл нийцэх үйл явдал юм.

Дүнүйл явдал нь эдгээр үйл явдлын дор хаяж нэг нь тохиолдсон үйл явдал юм

Үйл явдлын нийлбэрийн жишээ бол дэлгүүрт хоёр бүтээгдэхүүний дор хаяж нэг нь байгаа явдал юм.

ажилүйл явдал нь эдгээр бүх үйл явдлууд нэгэн зэрэг тохиолдохоос бүрдсэн үйл явдал юм

Дэлгүүрт хоёр барааны нэгэн зэрэг харагдахаас бүрдэх үйл явдал нь үйл явдлын бүтээгдэхүүн юм: - нэг бүтээгдэхүүний харагдах байдал, - өөр бүтээгдэхүүний харагдах байдал.

Үйл явдлууд нь туршлагаасаа дор хаяж нэг нь тохиолдох нь гарцаагүй бол үйл явдлуудын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг.

Жишээ.Боомт нь хөлөг онгоц хүлээн авах хоёр зогсоолтой. Гурван үйл явдлыг авч үзэж болно: - зогсоол дээр хөлөг онгоц байхгүй, - нэг зогсоол дээр нэг хөлөг онгоц байгаа, - хоёр зогсоол дээр хоёр хөлөг онгоц байгаа. Эдгээр гурван үйл явдал нь үйл явдлын бүхэл бүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг.

ЭсрэгБүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг хоёр өвөрмөц боломжит үйл явдлуудыг нэрлэнэ.

Эсрэг үйл явдлын аль нэгийг -ээр тэмдэглэвэл эсрэг үйл явдлыг ихэвчлэн -ээр тэмдэглэнэ.

Үйл явдлын магадлалын сонгодог болон статистик тодорхойлолтууд

Туршилтын (туршилтын) адил боломжтой үр дүн бүрийг энгийн үр дүн гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг ихэвчлэн үсгээр тэмдэглэдэг. Жишээлбэл, үхэгсдийг шиддэг. Хажуугийн цэгүүдийн тооноос хамааран нийт зургаан үндсэн үр дүн байж болно.

Анхан шатны үр дүнгээс та илүү төвөгтэй үйл явдлыг үүсгэж болно. Тиймээс тэгш тооны онооны үйл явдлыг 2, 4, 6 гэсэн гурван үр дүнгээр тодорхойлно.

Тухайн үйл явдал тохиолдох боломжийн тоон хэмжүүр нь магадлал юм.

Үйл явдлын магадлалын хамгийн өргөн хэрэглэгддэг тодорхойлолтууд нь: сонгодогТэгээд статистик.

Магадлалын сонгодог тодорхойлолт нь таатай үр дүн гэсэн ойлголттой холбоотой байдаг.

Үр дүн гэж нэрлэдэг таатайтухайн үйл явдал нь энэ үйл явдал тохиолдоход хүргэсэн бол тухайн үйл явдалд.

Дээрх жишээн дээр тухайн үйл явдал буюу өнхрөх тал дээр тэгш тоотой оноо гурван таатай үр дагавартай байна. Энэ тохиолдолд генерал
боломжит үр дүнгийн тоо. Энэ нь үйл явдлын магадлалын сонгодог тодорхойлолтыг энд ашиглаж болно гэсэн үг юм.

Сонгодог тодорхойлолттаатай үр дүнгийн тоог боломжит үр дүнгийн нийт тоонд харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна

үйл явдлын магадлал хаана байна, тухайн үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоо, боломжит үр дүнгийн нийт тоо.

Санасан жишээнд

Магадлалын статистик тодорхойлолт нь туршилт дахь үйл явдлын харьцангуй давтамжийн тухай ойлголттой холбоотой юм.

Үйл явдлын харьцангуй давтамжийг томъёогоор тооцоолно

цуврал туршилт (туршилт) дахь үйл явдлын тохиолдлын тоо хаана байна.

Статистикийн тодорхойлолт. Үйл явдлын магадлал нь туршилтын тоог хязгааргүй нэмэгдүүлэх замаар харьцангуй давтамж тогтворжсон (багц) тоо юм.

Практик асуудлуудад үйл явдлын магадлалыг хангалттай олон тооны туршилтын харьцангуй давтамж гэж үздэг.

Үйл явдлын магадлалын эдгээр тодорхойлолтоос тэгш бус байдал үргэлж хангагддаг нь тодорхой байна

Томъёо (1.1) дээр үндэслэн үйл явдлын магадлалыг тодорхойлохын тулд комбинаторик томъёог ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд тэдгээр нь таатай үр дүнгийн тоо болон боломжит үр дүнгийн нийт тоог олоход ашиглагддаг.

Практик талаас нь авч үзвэл, үйл явдлын магадлалЭнэ нь тухайн үйл явдал болсон ажиглалтын тоог нийт ажиглалтын тоонд харьцуулсан харьцаа юм. Энэ тайлбарыг хангалттай олон тооны ажиглалт, туршилт хийсэн тохиолдолд хүлээн зөвшөөрнө. Жишээлбэл, гудамжинд тааралдсан хүмүүсийн тал орчим хувь нь эмэгтэйчүүд байвал гудамжинд тааралдсан хүн эмэгтэй байх магадлал 1/2 гэж хэлж болно. Өөрөөр хэлбэл, тохиолдлын магадлалын тооцоолол нь санамсаргүй туршилтын бие даасан давталтын урт цувралд тохиолдох давтамж байж болно.

Математик дахь магадлал

Орчин үеийн математикийн хандлагад сонгодог (өөрөөр хэлбэл квант биш) магадлалыг Колмогоровын аксиоматикаар өгдөг. Магадлал бол хэмжүүр юм П, энэ нь багц дээр тодорхойлогддог X, магадлалын орон зай гэж нэрлэдэг. Энэ арга хэмжээ нь дараахь шинж чанартай байх ёстой.

Эдгээр нөхцлөөс харахад магадлалыг хэмждэг Пбас өмчтэй нэмэлт чанар: тохируулсан бол А 1 ба А 2 огтлолцохгүй, тэгвэл . Нотлохын тулд та бүх зүйлийг оруулах хэрэгтэй А 3 , А 4 , ... хоосон олонлогтой тэнцүү ба тоолох нэмэлтийн шинж чанарыг хэрэглэнэ.

Магадлалын хэмжүүр нь олонлогийн бүх дэд олонлогт тодорхойлогдоогүй байж болно X. Үүнийг олонлогийн зарим дэд олонлогоос бүрдэх сигма алгебр дээр тодорхойлоход хангалттай X. Энэ тохиолдолд санамсаргүй үйл явдлуудыг хэмжигдэхүйц орон зайн дэд олонлогууд гэж тодорхойлдог X, өөрөөр хэлбэл, сигма алгебрын элементүүд.

Магадлалын мэдрэмж

Боломжит зарим нэг баримтын шалтгаан нь эсрэг шалтгаанаас давж байгааг олж мэдээд бид үүнийг анхаарч үздэг. магадлалтай, эс бөгөөс - итгэмээргүй. Эерэг суурь нь сөрөг үндэслэлээс давамгайлж, эсвэл эсрэгээр нь тодорхойгүй зэрэглэлийн багцыг илэрхийлж болох бөгөөд үүний үр дүнд магадлал(Мөн магадлалгүй) Энэ нь тохиолддог илүүэсвэл бага .

Нарийн төвөгтэй бие даасан баримтууд нь тэдний магадлалын зэргийг нарийн тооцоолох боломжийг олгодоггүй, гэхдээ энд ч гэсэн зарим томоохон дэд хэсгүүдийг бий болгох нь чухал юм. Тиймээс, жишээлбэл, хуулийн салбарт, шүүх хуралдаанд хамаарах хувийн баримтыг гэрчийн мэдүүлгийн үндсэн дээр тогтооход энэ нь үргэлж, хатуухан хэлэхэд зөвхөн магадлалтай хэвээр үлддэг бөгөөд энэ магадлал хэр чухал болохыг мэдэх шаардлагатай; Ромын хуульд дөрвөлсөн хуваалтыг энд баталсан. probatio plena(магадлал нь практик болж хувирдаг найдвартай байдал), цааш нь - probatio хасах плена, дараа нь - probatio semiplena majorтэгээд эцэст нь probatio semiplena minor .

Хэргийн магадлалын тухай асуултаас гадна хууль, ёс суртахууны талбарт аль алинд нь (ёс суртахууны тодорхой үзэл баримтлалтай) өгөгдсөн тодорхой баримт нь гэмт хэргийн шинж чанартай байх магадлал хэр өндөр вэ гэсэн асуулт гарч ирж болно. ерөнхий хуулийг зөрчсөн. Талмудын шашны хууль зүйн гол сэдэл болсон энэ асуулт нь Ромын католик шашны ёс суртахууны теологид (ялангуяа 16-р зууны сүүлчээс) маш нарийн төвөгтэй системчилсэн бүтэц, асар том догматик, полемик уран зохиолыг бий болгосон. Магадлалыг үзнэ үү).

Магадлалын тухай ойлголт нь зөвхөн тодорхой нэг төрлийн цувралын нэг хэсэг болох ийм баримтуудад хэрэглэсэн тохиолдолд тодорхой тоон илэрхийлэлийг зөвшөөрдөг. Тиймээс (хамгийн энгийн жишээнд) хэн нэгэн зоосыг дараалан зуун удаа шидэх үед бид эндээс нэг ерөнхий эсвэл том цувралыг (зоосны бүх уналтын нийлбэр) олдог бөгөөд энэ тохиолдолд тоон хувьд хоёр хувийн буюу түүнээс бага хэмжээтэй байна. тэнцүү, цуврал (унадаг "толгой" болон унасан "сүүл"); Энэ удаад зоос унах магадлал, өөрөөр хэлбэл ерөнхий цувралын энэ шинэ гишүүн нь хоёр жижиг цувралд хамаарах магадлал нь энэ жижиг цуврал болон том цувралын тоон хамаарлыг илэрхийлсэн бутархайтай тэнцүү байна. тухайлбал 1/2, өөрөөр хэлбэл ижил магадлал нь тодорхой хоёр цувралын аль нэг эсвэл нөгөөд хамаарна. Энгийн жишээн дээр дүгнэлтийг тухайн асуудлын өгөгдлөөс шууд гаргаж болохгүй, харин өмнөх индукцийг шаарддаг. Жишээлбэл, нярай хүүхэд 80 наслах магадлал хэд вэ? Энд ижил төстэй нөхцөлд төрж, янз бүрийн насны нас барж буй тодорхой тооны хүмүүсийн ерөнхий буюу том цуврал байх ёстой (энэ тоо нь санамсаргүй хазайлтыг арилгах хангалттай том, цувралын нэгэн төрлийн байдлыг хадгалах хангалттай бага байх ёстой. Жишээлбэл, Санкт-Петербург хотод чинээлэг, соёлтой гэр бүлд төрсөн хүний ​​хувьд хотын бүх сая хүн амтай, тэдний нэлээд хэсэг нь цаг бусаар үхэж болзошгүй янз бүрийн бүлгийн хүмүүсээс бүрддэг - цэргүүд, сэтгүүлчид, аюултай мэргэжлээр ажилладаг ажилчид - магадлалыг бодитоор тодорхойлоход хэтэрхий олон төрлийн бус бүлгийг илэрхийлдэг); энэ ерөнхий цуврал арван мянган хүний ​​амьдралаас бүрдэх болтугай; тодорхой нас хүртэл амьдарч буй хүмүүсийн тоог харуулсан жижиг цувралуудыг багтаасан болно; Эдгээр жижиг цувралуудын нэг нь 80 хүртэлх насны хүмүүсийн тоог илэрхийлдэг. Гэхдээ энэ жижиг цувралын тоог тодорхойлох боломжгүй (бусад шиг) априори; Үүнийг статистик мэдээллээр дамжуулан цэвэр индуктив байдлаар хийдэг. Петербургийн 10,000 дундаж давхаргын оршин суугчдаас ердөө 45 нь л 80 насалдаг болохыг статистик судалгаагаар тогтоосон гэж бодъё; Иймд энэ жижиг цуваа 45 нь 10,000-тай томтой холбоотой бөгөөд тухайн хүн энэ жижиг цувралд хамаарах, өөрөөр хэлбэл 80 наслах магадлалыг 0.0045-ын бутархайгаар илэрхийлнэ. Математикийн үүднээс магадлалыг судлах нь тусгай салбар болох магадлалын онолыг бүрдүүлдэг.

Мөн үзнэ үү

Тэмдэглэл

Уран зохиол

Викимедиа сан.

Синоним:

Бусад толь бичгүүдэд "Магадлал" гэж юу болохыг хараарай.

Ерөнхий шинжлэх ухаан, гүн ухааны. Тогтмол ажиглалтын нөхцөлд масс санамсаргүй үйл явдал тохиолдох боломжийн тоон түвшинг илэрхийлдэг ангилал, тэдгээрийн харьцангуй давтамжийн тогтвортой байдлыг тодорхойлдог. Логикийн хувьд семантик зэрэг ...... Философийн нэвтэрхий толь бичиг

МАГАДЛАЛ, өгөгдсөн үйл явдал тохиолдох боломжийг илэрхийлсэн тэгээс нэг хүртэлх муж дахь тоо. Үйл явдлын магадлалыг тухайн үйл явдал тохиолдох магадлалыг нийт боломжит... ... тоонд харьцуулсан харьцаагаар тодорхойлогддог. Шинжлэх ухаан, техникийн нэвтэрхий толь бичиг

Бүх магадлалтай.. Орос хэлний ижил утгатай үгсийн толь бичиг ба түүнтэй төстэй хэллэгүүд. доор. ed. Н.Абрамова, М.: Орос хэлний толь бичиг, 1999. магадлалын боломж, магадлал, боломж, объектив боломж, маза, зөвшөөрөгдөх байдал, эрсдэл. Шоргоолж. боломжгүй ...... Синонимын толь бичиг

магадлал- Аливаа үйл явдал тохиолдох магадлалтай хэмжүүр. Тэмдэглэл Магадлалын математик тодорхойлолт нь "санамсаргүй үйл явдалтай холбоотой 0-ээс 1 хүртэлх бодит тоо" юм. Энэ тоо нь цуврал ажиглалтын харьцангуй давтамжийг тусгаж болно... ... Техникийн орчуулагчийн гарын авлага

Магадлал- "тодорхой тодорхой нөхцөлд, хязгааргүй олон удаа давтаж болох аливаа үйл явдал тохиолдох магадлалын түвшний математик, тоон шинж чанар." Энэхүү сонгодог зохиол дээр тулгуурлан...... Эдийн засаг, математикийн толь бичиг

- (магадлал) Аливаа үйл явдал эсвэл тодорхой үр дүн гарах магадлал. Үүнийг 0-ээс 1 хүртэлх хуваалт бүхий хуваарь хэлбэрээр үзүүлж болно. Хэрэв үйл явдлын магадлал тэг байвал түүний үүсэх боломжгүй юм. Магадлал 1-тэй тэнцүү бол эхлэх нь... Бизнесийн нэр томъёоны толь бичиг