Хотын төсөв боловсролын байгууллага

Савинская дундаж иж бүрэн сургууль

Судалгаа

Параллелограмм ба түүний шинэ шинж чанарууд

Гүйцэтгэсэн: 8Б ангийн сурагч

MBOU Савинская дунд сургууль

Кузнецова Светлана, 14 настай

Удирдагч: математикийн багш

Тулчевская Н.А.

Савино

Иваново муж, Орос

2016 он

I. Танилцуулга ______________________________________________________ хуудас 3

II. Параллелограммын түүхээс ___________________________________хуудас 4

III Параллелограммын нэмэлт шинж чанарууд ______________________хуудас 4

IV. Үл хөдлөх хөрөнгийн баталгаа ______________________________________ хуудас 5

В. Нэмэлт шинж чанарыг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх __________хуудас 8

VI. Параллелограммын шинж чанарыг амьдралд хэрэглэх ___________________хуудас 11

VII. Дүгнэлт ______________________________________________________хуудас 12

VIII. Уран зохиол _________________________________________________13-р хуудас

Танилцуулга

"Тэнцүү оюун санааны дунд

цагт бусад нөхцлийн ижил төстэй байдал

геометр мэддэг хүмүүсээс илүү"

(Блэйз Паскаль).

Бид геометрийн хичээл дээр "Параллелограмм" сэдвийг судлахдаа параллелограммын хоёр шинж чанар, гурван шинж чанарыг харгалзан үзсэн боловч бодлого шийдэж эхлэхэд энэ нь хангалтгүй байсан.

Параллелограмм өөр шинж чанартай юу, тэд асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн туслах вэ гэсэн асуулт надад байсан.

Мөн би параллелограммын нэмэлт шинж чанаруудыг судалж, тэдгээрийг асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглаж болохыг харуулахаар шийдсэн.

Судалгааны сэдэв : параллелограмм

Судалгааны объект : параллелограммын шинж чанарууд
Зорилго:

сургуульд судлагдаагүй параллелограммын нэмэлт шинж чанаруудын томъёолол, нотолгоо;

асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд эдгээр шинж чанаруудыг ашиглах.

Даалгаварууд:

Параллелограммын түүх, түүний шинж чанарын хөгжлийн түүхийг судлах;

Судалж буй асуудлын талаар нэмэлт ном зохиол хайх;

Параллелограммын нэмэлт шинж чанарыг судалж, батлах;

Асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд эдгээр шинж чанаруудын хэрэглээг харуулах;

Параллелограммын шинж чанарыг амьдралд хэрхэн ашиглах талаар авч үзье.
Судалгааны аргууд:

Боловсролын болон шинжлэх ухааны - алдартай уран зохиол, интернетийн эх сурвалжтай ажиллах;

Онолын материалыг судлах;

Параллелограммын нэмэлт шинж чанарыг ашиглан шийдэж болох олон тооны даалгавруудыг сонгох;

Ажиглалт, харьцуулалт, дүн шинжилгээ, аналоги.

Суралцах хугацаа : 3 сар: 2016 оны 1-3 сар

1. Параллелограммын түүхээс

Геометрийн сурах бичигт бид параллелограммын дараах тодорхойлолтыг уншина. Параллелограмм нь эсрэг талууд нь хос хосоороо параллель байдаг дөрвөн өнцөгт юм.

"Параллелограмм" гэдэг үгийг "параллель шугамууд" гэж орчуулдаг Грек үгс Parallelos - зэрэгцээ ба грамм - шугам), энэ нэр томъёог Евклид нэвтрүүлсэн. Евклид "Элементүүд" номондоо параллелограммын дараах шинж чанаруудыг нотолсон: параллелограммын эсрэг талууд ба өнцөг нь тэнцүү бөгөөд диагональ нь түүнийг хоёр хуваадаг. Евклид параллелограммын огтлолцлын цэгийг дурдаагүй. Зөвхөн Дундад зууны эцэс гэхэд параллелограммын бүрэн онол гарч ирсэн бөгөөд зөвхөн 17-р зуунд параллелограммын теоремууд сурах бичигт гарч ирсэн бөгөөд тэдгээр нь параллелограммын шинж чанарын тухай Евклидийн теоремоор батлагдсан байдаг.

III Параллелограммын нэмэлт шинж чанарууд

Геометрийн сурах бичигт параллелограммын зөвхөн 2 шинж чанарыг өгсөн болно.

Эсрэг өнцөг ба талууд тэнцүү байна

Параллелограммын диагональууд огтлолцож, огтлолцох цэгийг хоёр хуваасан

Геометрийн янз бүрийн эх сурвалжаас дараахь нэмэлт шинж чанаруудыг олж болно.

Параллелограммын зэргэлдээх өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 0 байна

Параллелограммын өнцгийн биссектриса нь түүнээс таслагдана тэгш өнцөгт гурвалжин;

Параллелограммын эсрэг өнцгүүдийн биссектриса нь параллель шулуунууд дээр байрладаг;

Параллелограммын зэргэлдээх өнцгүүдийн биссектрис нь зөв өнцгөөр огтлолцдог;

Параллелограммын бүх өнцгийн биссектриса нь огтлолцохдоо тэгш өнцөгт үүсгэдэг;

Параллелограммын эсрэг талын булангаас нэг диагональ хүртэлх зай тэнцүү байна.

Хэрэв та параллелограммын эсрэг талын оройг эсрэг талуудын дунд цэгүүдтэй холбовол өөр параллелограмм гарч ирнэ.

Параллелограммын диагональуудын квадратуудын нийлбэр нь түүний зэргэлдээх талуудын квадратуудын нийлбэрээс хоёр дахин их байна.

Хэрэв бид параллелограммын эсрэг хоёр өнцгөөс өндрийг зурвал тэгш өнцөгтийг авна.

IV Параллелограммын шинж чанарын баталгаа

Параллелограммын зэргэлдээх өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 байна 0

Өгсөн:

ABCD нь параллелограмм юм

Нотлох:

A+
B=

Нотолгоо:

А ба
B - МЭӨ параллель шулуун шугам бүхий дотоод нэг талын булангууд AD ба секант AB, тиймээс
A+
B=

2

Өгөгдсөн: A B C D - параллелограмм,

АК - биссектрис
ГЭХДЭЭ.

Нотлох: AVK - тэгш өнцөгт

Нотолгоо:

1)
1=
3 (МЭӨ-тэй хөндлөн хэвтэх AD ба секант АК),

2)
2=
3 учир нь АК нь биссектриса,

1= гэсэн үг
2.

3) Гурвалжны 2 өнцөг тэнцүү тул ABK нь ижил өнцөгт байна

. Параллелограммын өнцгийн биссектриса нь түүнээс тэгш өнцөгт гурвалжинг таслав

3

Өгөгдсөн: ABCD нь параллелограмм юм

АК нь А-ийн биссектрис,

SR нь C-ийн биссектрис юм.

Нотлох:АК ║ SR

Нотолгоо:

1) АК-биссектрисаас хойш 1=2

2) 4=5 учир нь SR - биссектрис

3) 3=1 (хөндлөн хэвтэх өнцөг

МЭӨ ║ МЭ ба АК-секант),

4) A \u003d C (параллелограммын шинж чанараар), энэ нь 2 \u003d 3 \u003d 4 \u003d 5 гэсэн үг юм.

4) 3 ба 4-р зүйлээс харахад 1 = 4, эдгээр өнцгүүд нь AK ба SR шулуун шугамууд ба BC секанттай тохирч байна.

Тиймээс AK ║ SR (зэрэгцээ шугамын үндсэн дээр)

. Параллелограммын эсрэг өнцгүүдийн биссектриса нь параллель шулуунууд дээр байрладаг

Параллелограммын зэргэлдээх өнцгүүдийн биссектриса нь зөв өнцгөөр огтлолцоно

Өгөгдсөн: ABCD - параллелограмм,

Хувьсах гүйдлийн биссектрис А,

АН-биссектриц Д

Нотлох:АН АК.

Нотолгоо:

1) 1=2, учир нь АК - биссектрис

1=2=x, тэгвэл A=2x,

2) 3=4, учир нь D P - биссектриса

3=4=y, тэгвэл D=2y

3) A + D \u003d 180 0, учир нь параллелограммын зэргэлдээх өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 байна

2) авч үзэх ОД

1+3=90 0
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Параллелограммын бүх өнцгийн биссектриса нь огтлолцохдоо тэгш өнцөгт үүсгэдэг.

Өгөгдсөн: ABCD - параллелограмм, АК биссектрис А,

DP-биссектрис D,

CM нь C-ийн биссектрис,

BF -B-ийн биссектрис.

Нотлох: KRNS -тэгш өнцөгт

Нотолгоо:

Өмнөх шинж чанарт үндэслэн 8=7=6=5=90 0 ,

KRNS нь тэгш өнцөгт гэсэн үг.

Параллелограммын эсрэг талын булангаас нэг диагональ хүртэлх зай тэнцүү байна.

Өгөгдсөн: ABCD-параллелограмм, АС-диагональ.

ВК AU, Д.П. АС

Нотлох: BK=DP

Нотолгоо: 1) DCP \u003d KAB, дотоод хөндлөн AB ║ CD ба AC гүйдлийн хөндлөн огтлолцол дээр байрладаг.

2) AKB= CDP (хажуугийн дагуу ба түүний хажуугийн хоёр булан AB=CD CD P=AB K).

Тэнцүү гурвалжинд харгалзах талууд тэнцүү тул DP \u003d BK.

Хэрэв та параллелограммын эсрэг талын оройг эсрэг талуудын дунд цэгүүдтэй холбовол өөр параллелограмм гарч ирнэ.

Өгөгдсөн: ABCD параллелограмм.

Нотлох: VKDP бол параллелограмм юм.

Нотолгоо:

1) BP=KD (AD=BC, K ба P цэгүүд

эдгээр талыг хоёр хуваах)

2) АД ║ KD (AD дээр хэвтэх МЭӨ)

Хэрэв дөрвөлжингийн эсрэг талууд тэнцүү бөгөөд параллель байвал энэ дөрвөлжин параллелограмм болно.

Хэрэв бид параллелограммын эсрэг хоёр өнцгөөс өндрийг зурвал тэгш өнцөгтийг авна.

Параллелограммын диагональуудын квадратуудын нийлбэр нь түүний зэргэлдээх талуудын квадратуудын нийлбэрээс хоёр дахин их байна.

Өгөгдсөн: ABCD нь параллелограмм юм. BD ба АС нь диагональ юм.

Нотлох: АС 2 + BD 2 =2(AB 2 + МЭ 2 )

Нотолгоо: 1)АСУУ: АС ²=
+

2)Б РД : Б.Д 2 = Б Р 2 + ПД 2 (Пифагорын теоремын дагуу)

3) АС ²+ Б.Д ²=SC²+А K²+Б Р²+РД ²

4) SK = АД = H(өндөр )

5) АС 2 +VД 2 = Х 2 + А руу 2 + Х 2 +ПД 2

6) Байцгаая Д K=А P=x, дараа нь C рууД : Х 2 = CD 2 - X 2 Пифагорын теоремын дагуу )

7) AC²+BД ² = CД 2 - x²+ АК 1 ²+ CD 2 -Х 2 +ПД 2 ,

AC²+VД ²=2СД 2 -2х 2 + А руу 2 +ПД 2

8) А руу=AD+ X, РD=AD- X,

AC²+VД ² =2CD 2 -2х 2 +(МЭ +x) 2 +(МЭ -X) 2 ,

АС²+ ATD²=2 -тайD²-2 X²+AD 2 +2МЭ X+ X 2 + МЭ 2 -МЭ 2 X+ X 2 ,
АС²+ ATD²=2CD 2 +2МЭ 2 =2(CD 2 + МЭ 2 ).

В . Эдгээр шинж чанаруудыг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх

Нэг талтай зэргэлдээ орших параллелограммын хоёр өнцгийн биссектрисийн огтлолцлын цэг нь эсрэг талд хамаарна. Параллелограммын богино тал нь 5 . Түүний том талыг ол.

Өгөгдсөн: ABCD нь параллелограмм,

АК - биссектрис
ГЭХДЭЭ,

D K - биссектриса
D, AB=5

Олох: нар

шийдэл

Шийдвэр

Учир нь АК - биссектрис
A, тэгвэл ABC нь тэгш өнцөгт болно.

Учир нь D K - биссектриса
D, тэгвэл DCK - ижил хажуу тал

DC \u003d C K \u003d 5

Дараа нь VS=VK+SK=5+5 = 10

Хариулт: 10

2. Параллелограммын аль нэг өнцгийн биссектриса нь параллелограммын талыг 7 см ба 14 см хэрчмүүдэд хуваавал түүний периметрийг ол.

1 тохиолдол

Өгөгдсөн:
ГЭХДЭЭ,

VK=14см, KS=7см

Олох: R параллелограмм

Шийдвэр

BC=VK+KS=14+7=21 (см)

Учир нь АК - биссектрис
A, тэгвэл ABC нь тэгш өнцөгт болно.

AB=BK=14см

Дараа нь P \u003d 2 (14 + 21) \u003d 70 (см)

болж байна

Өгөгдсөн: ABCD нь параллелограмм,

D K - биссектриса
D,

VK=14см, KS=7см

Олох: R параллелограмм

Шийдвэр

BC=VK+KS=14+7=21 (см)

Учир нь D K - биссектриса
D, тэгвэл DCK - ижил хажуу тал

DC \u003d C K \u003d 7

Дараа нь P \u003d 2 (21 + 7) \u003d 56 (см)

Хариулт: 70см эсвэл 56см

3. Параллелограммын талууд 10см ба 3см.Том талтай зэргэлдээх хоёр өнцгийн биссектриса нь эсрэг талыг гурван хэрчим болгон хуваана. Эдгээр сегментүүдийг ол.

1 тохиолдол:биссектрис параллелограммын гадна огтлолцоно

Өгөгдсөн: ABCD - параллелограмм, АК - биссектрис
ГЭХДЭЭ,

D K - биссектриса
D , AB=3 см, ВС=10 см

Олох: BM, MN, NC

Шийдвэр

Учир нь AM - биссектрис
Тэгээд AVM бол хоёр талт өнцөг юм.

Учир нь DN - биссектриса
D, тэгвэл DCN - ижил хажуу тал

DC=CN=3

Дараа нь MN \u003d 10 - (BM + NC) \u003d 10 - (3 + 3) \u003d 4 см

2 тохиолдол:биссектрис параллелограмм дотор огтлолцоно

Учир нь AN - биссектрис
A, тэгвэл ABN нь тэгш өнцөгт байна.

AB=BН = 3 Д

Мөн гүйдэг сараалж - хаалганы үүдэнд шаардлагатай зайд шилжинэ

Параллелограммын механизм- дөрвөн холбоосын механизм, холбоосууд нь параллелограмм үүсгэдэг. Энэ нь нугастай механизмын орчуулгын хөдөлгөөнийг хэрэгжүүлэхэд ашиглагддаг.

Тогтмол холбоос бүхий параллелограмм- нэг холбоос нь хөдөлгөөнгүй, эсрэгээр нь ганхах хөдөлгөөн хийж, хөдөлгөөнгүйтэй зэрэгцээ хэвээр байна. Нэг нэгээр нь холбосон хоёр параллелограммууд нь эцсийн холбоосыг хоёр градусын эрх чөлөөг өгч, тогтмол холбоостой зэрэгцээ үлдээдэг.

Жишээ нь: автобусны шил арчигч, өргөгч, tripod, өлгүүр, машины өлгүүр.

Тогтмол нугастай параллелограмм- параллелограммын шинж чанарыг гурван цэгийн хоорондох зайны тогтмол харьцааг хадгалахад ашигладаг. Жишээ нь: зургийн пантограф - зургийн масштабыг нэмэгдүүлэх төхөөрөмж.

Ромб- бүх холбоосууд ижил урттай, эсрэг талын нугасны хосын ойртох (агшилт) нь бусад хоёр нугасыг өргөтгөхөд хүргэдэг. Бүх холбоосууд шахалтаар ажилладаг.

Жишээ нь, машины алмазан домкрат, трамвайн пантограф юм.

хайчэсвэл X хэлбэрийн механизм, мөн гэж нэрлэдэг Нюрнберг хайч- ромбын хувилбар - дундуур нь нугасаар холбосон хоёр холбоос. Механизмын давуу тал нь нягтрал, энгийн байдал, сул тал нь хоёр гулсах хос байх явдал юм. Цуваа холбосон хоёр (эсвэл түүнээс дээш) ийм механизм нь дунд хэсэгт ромб (үүд) үүсгэдэг. Энэ нь өргөгч, хүүхдийн тоглоомонд ашиглагддаг.

VII Дүгнэлт

Бага наснаасаа математикийн хичээлд хамрагдсан хүн,

тэр анхаарлыг хөгжүүлж, тархиа сургаж,

өөрийн хүсэл эрмэлзэл, тэсвэр тэвчээрийг төлөвшүүлдэг

мөн зорилгодоо хүрэхийн тулд тууштай байх

А.Маркушевич

Ажлын явцад би параллелограммын нэмэлт шинж чанарыг нотолсон.

Эдгээр шинж чанаруудыг ашигласнаар та асуудлыг илүү хурдан шийдэж чадна гэдэгт би итгэлтэй байсан.

Би эдгээр шинж чанаруудыг хэрхэн ашиглаж байгааг тодорхой асуудлыг шийдвэрлэх жишээн дээр харуулав.

Манай геометрийн сурах бичигт байдаггүй параллелограммын талаар би маш их зүйлийг сурсан

Параллелограммын шинж чанарыг ашиглах жишээнүүдээс харахад геометрийн мэдлэг нь амьдралд маш чухал гэдэгт би итгэлтэй байсан.

Миний судалгааны ажлын зорилго биеллээ.

Насан туршдаа математикийн тусламжгүйгээр амьдарсан хүний ​​тухай ном хэвлүүлсэн хүнд шагнал олгосон нь математикийн мэдлэгийн ач холбогдлын нотолгоо юм. Одоогоор хэн ч энэ шагналыг аваагүй байна.

VIII Уран зохиол

1. Погорелов А.В. Геометр 7-9: Ерөнхий боловсролын сурах бичиг. байгууллагууд-М.: Боловсрол, 2014

   Л.С.Атанасян ба бусад.Геометр. Нэмэх. Сурах бичгийн бүлгүүд 8 нүд: сурах бичиг. гүнзгийрүүлсэн сургууль, ангийн сурагчдын тэтгэмж. математикийн судалгаа. - М.: Вита-пресс, 2003 он

   Интернет нөөц

   Википедийн материал

Параллелограмм нь эсрэг талууд нь хос параллель байдаг дөрвөн өнцөгт юм. Дараах зурагт ABCD параллелограммыг үзүүлэв. Энэ нь AB тал нь CD талтай, BC тал нь AD талтай параллель байна.

Таны таамаглаж байсанчлан параллелограмм нь гүдгэр дөрвөн өнцөгт юм. Параллелограммын үндсэн шинж чанаруудыг авч үзье.

Параллелограммын шинж чанарууд

1. Параллелограммын эсрэг өнцөг ба эсрэг талууд тэнцүү байна. Энэ өмчийг баталъя - дараах зурагт үзүүлсэн параллелограммыг авч үзье.

Диагональ BD нь үүнийг хоёр тэнцүү гурвалжинд хуваадаг: ABD ба CBD. Эдгээр нь BD тал ба түүнтэй зэргэлдээх хоёр өнцөгт тэнцүү байна, учир нь BD-ийн огтлолцол дээр байрлах өнцөг нь BC ба AD ба AB ба CD параллель шулуунууд юм. Тиймээс AB = CD ба
МЭӨ=МЭ. Мөн 1, 2,3, 4 өнцгүүдийн тэгш байдлаас үзэхэд A өнцөг А = өнцөг1 + өнцөг3 = өнцөг2 + өнцөг4 = өнцөг С болно.

2. Параллелограммын диагональууд нь огтлолцох цэгээр хуваагдана. O цэгийг ABCD параллелограммын АС ба BD диагональуудын огтлолцох цэг гэж үзье.

Дараа нь AOB гурвалжин ба COD гурвалжин нь хажуугийн дагуу болон түүний хажуугийн хоёр өнцгийн дагуу бие биетэйгээ тэнцүү байна. (Эдгээр нь параллелограммын эсрэг талууд тул AB=CD. Мөн өнцөг1 = өнцөг2 ба өнцөг3 = өнцөг4 нь AB ба CD шулуунуудын огтлолцол дээр AC ба BD зүсэлтээр тус тус хөндлөн хэвтэх өнцөг болно.) Эндээс AO = OC ба OB = OD, үүнийг батлах шаардлагатай.

Бүх үндсэн шинж чанаруудыг дараах гурван зурагт үзүүлэв.

Па-рал-ле-ло-грам-ма шинж тэмдэг

1. Параллелограммын тодорхойлолт ба үндсэн шинж чанарууд

Па-рал-ле-ло-грам-ма гэсэн тодорхойлолтыг санаж байгаагаас эхэлцгээе.

Тодорхойлолт. Параллелограмм- дөрвөн-та-rekh-нүүрсний-ник, хэн нэгэн-ро-го хоёр дэмжсэн-Ти-д-нд-худал пара-рал-lel-ny тал байна (Зураг. нэгийг үзнэ үү.).

Цагаан будаа. 1. Па-рал-ле-ло-грамм

Санах pa-ral-le-lo-gram-ma-ийн үндсэн шинэ шинж чанарууд:

Эдгээр бүх шинж чанарыг ашиглах боломжтой байхын тулд та fi-gu-ra, өө хэн нэгэн -Рой асуултанд, - pa-ral-le-lo-gram гэдэгт итгэлтэй байх хэрэгтэй. Үүний тулд па-рал-ле-ло-грам-магийн шинж тэмдэг гэх мэт баримтуудыг мэдэх шаардлагатай. Тэдний эхний хоёрыг бид өнөөдөр харж байна.

2. Параллелограммын эхний тэмдэг

Теорем. Па-рал-ле-ло-грам-магийн анхны шинж тэмдэг.Хэрэв дөрвөн чи-рекх-нүүрс-ни-ке-д хоёр про-ти-ин-худал тал тэнцүү ба пар-рал-лэл-на бол энэ дөрвөн-та-рекх-нүүрсний хоч - параллелограмм. .

Цагаан будаа. 2. Па-рал-ле-ло-грам-ма-ийн анхны шинж тэмдэг

Баталгаа. We-we-we-dem in four-rekh-coal-ni-ke dia-go-nal (2-р зургийг үз), тэр үүнийг хоёр гурвалжин-но-ка болгон хуваасан. Эдгээр гурвалжны талаар бидний мэддэг зүйлийг бичнэ үү.

гурвалжингийн тэгш байдлын эхний тэмдгийн дагуу.

Заасан гурвалжнуудын тэгш байдлаас харахад шулуун шугамын пар-рал-лел-но-сти тэмдгийн дагуу дахин се-че-ни тэдний се-ку-schey байна. Бидэнд ийм байна:

Өмнө-for-гэхдээ.

3. Параллелограммын хоёр дахь тэмдэг

Теорем. Хоёр дахь сүрэг нь па-рал-ле-ло-грам-магийн шинж тэмдэг юм.Хэрэв дөрвөн чи-рекх-коал-ни-ке-д хоёр про-ти-ин-худал тал бүр тэнцүү бол энэ дөрвөн-та-рекх-нүүрс-ник - параллелограмм. .

Цагаан будаа. 3. Хоёр дахь сүргийн тэмдэг па-рал-ле-ло-грам-ма

Баталгаа. We-we-we-dem-д four-yo-rekh-coal-ni-ke dia-go-nal (3-р зургийг үз), тэр үүнийг хоёр гурвалжин-но-ка болгон хуваадаг. Бид эдгээр гурвалжны талаар мэддэг зүйлээ for-mu-li-ditch-ki theo-re-we-ээс үндэслэн бичдэг.

гурвалжны тэгш байдлын гурав дахь тэмдгийн дагуу.

Гурвалжны тэгш байдлаас харахад шулуун шугамын пар-рал-лел-но-сти тэмдгийн дагуу тэдгээрийг се-ку-schey дахин се-че-инг хийх үед гарч ирнэ. Би-лу-ча-идэх:

па-рал-ле-ло-грамм тодорхойлолт-де-ле-ни дагуу. Q.E.D.

Өмнө-for-гэхдээ.

4. Параллелограммын эхний шинж чанарыг ашиглах жишээ

Рас-па-рал-ле-ло-грам-ма шинж тэмдгүүдийн хэрэглээний жишээг харна уу.

Жишээ 1. You-far-scrap-che-you-rex-coal-no-ke-д Олно: a) дөрвөн та-рекс-коал-но-ка-ийн булангуудыг; б) зуун-ро-худаг.

Шийдвэр. Зураг-ra-өвөл Зураг. 4.

Эхний тэмдгийн дагуу па-рал-ле-ло-грамм-ку па-рал-ле-ло-грам-ма.

ГЭХДЭЭ. про-ти-д-худал-өнцгийн тухай para-le-lo-gram-ma-ийн өмчийн дагуу, пара-ле-ло-грам-ма-ийн өмчийн дагуу өнцгийн нийлбэрийн тухай, нэгд орших тал.

Б. худал хуурмаг талуудын тэгш байдлын өмчөөр.

дахин тэмдэг Па-рал-ле-ло-грам-ма

5. Давталт: параллелограммын тодорхойлолт ба шинж чанарууд

Үүнийг сануулъя параллелограмм- энэ бол дөрвөн та-rekh-coal-nick байна, хэн нэгэн нь хос-бат-па-рал-lel-na-д pro-ti-in-on-худал талуудтай. Энэ нь хэрэв - па-рал-ле-ло-грам, тэгвэл (1-р зургийг үз).

Па-рал-ле-лограмм нь бүхэл бүтэн шинж чанартай байдаг: про-ти-ин-худал өнцөг нь тэнцүү (), pro-ti-in-on-худал зуун-ro - бид тэнцүү ( ). Нэмж дурдахад, диа-го-он-эсвэл пар-рал-ле-ло-грам-ма цэгт re-se-che-niya de-lyat-by-lam, өнцгийн нийлбэр, at-le- па-рал-ле-ло-грам-ма, аль ч талтай тэнцүү, тэнцүү гэх мэт.

Гэхдээ эдгээр бүх шинж чанаруудыг ашиглахын тулд ri-va-e-my che-you-rekh-coal-nick - па-рал-ле- уралдаанууд гэдэгт итгэлтэй байх хэрэгтэй. ло-грамм. Үүний тулд пар-рал-ле-ло-грам-ма шинж тэмдгүүд байдаг: өөрөөр хэлбэл, нэг үнэ цэнэтэй дүгнэлт гаргах боломжтой эдгээр баримтууд нь che-you-rekh-coal-nick yav-la-et юм. -ся па-рал-ле-ло-грам-ээж. Өмнөх хичээл дээр бид хоёр тэмдгийг аль хэдийн авч үзсэн. Энэ цагт бид гурав дахь цагийг харж байна.

6. Параллелограммын гурав дахь шинж чанар ба түүний баталгаа

Хэрэв дөрвөн та-рех-нүүрс-ни-ке диа-го-на-ли цэг дээр ре-се-че-ния де-лят-бы-лам, дараа нь энэ дөрвөн та-рех-нүүрс-ник яв-ла-эт-ся па-рал-ле-ло-грам-ээж.

Өгөгдсөн:

Che-you-reh-coal-nick; ; .

Нотлох:

Параллелограмм.

Нотолгоо:

Энэ баримтыг батлахын тулд па-рал-ле-ло-грам-ма-гийн талуудын пара-рал-лель байдлыг батлах шаардлагатай. Шулуун шугамын пар-рал-lel-ness нь ихэвчлэн эдгээр шулуунууд дээрх тэдгээрийн дотоод өнцгүүдийн хөндлөн огтлолын тэгшитгэлээр дамжуулан-ка-зы-ва-эт-ся хүртэл байдаг. . Ийм байдлаар, на-пра-ши-ва-эт-ся дараагийн-ду-у-sche арга нь-ка-фор-тел-ства гурав дахь тэмдэг-ийн-па-рал -le-lo-gram- ма: гурвалжин-ни-ковын тэгшитгэлээр дамжуулан .

Эдгээр гурвалжнуудын тэгш байдлыг хүлээцгээе. Үнэн хэрэгтээ, нөхцөлөөс дараах байдалтай байна:. Үүнээс гадна, өнцөг нь босоо байдаг тул тэдгээр нь тэнцүү байна. өөрөөр хэлбэл:

(тэгш байдлын анхны шинж тэмдэггурвалжин-ни-ков- хоёр зуун-ро-ус ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг).

Гурвалжны тэгш байдлаас: (загалмай дээрх дотоод өнцөг нь эдгээр шулуун шугамууд болон се-ку-schey дээр тэнцүү байдаг тул). Нэмж дурдахад гурвалжны тэгш байдлаас үзэхэд ийм байна. Энэ нь бид чи-ли гэсэн үг юм, дөрвөн-yo-rekh-coal-ni-ke-д хоёр тал тэнцүү, пар-рал-лэл-на. Эхний тэмдгийн дагуу па-рал-ле-ло-грам-ма: - па-рал-ле-ло-грамм.

Өмнө-for-гэхдээ.

7. Параллелограммын гуравдахь шинж чанар, ерөнхий дүгнэлтийн талаархи бодлогын жишээ

Рас-пара-рал-ле-ло-грам-ма-ийн гурав дахь тэмдгийн хэрэглээний жишээг хараарай.

Жишээ 1

Өгөгдсөн:

- параллелограмм; . - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (2-р зургийг үз).

Нотлох:- па-рал-ле-ло-грамм.

Нотолгоо:

Тиймээс, дөрвөн чи-рекх-нүүрсний-но-ке диа-го-на-ли цэгт дахин-се-че-ния де-лят-ся-бы-лам. Гурав дахь тэмдгийн дагуу па-рал-ле-ло-грам-ма, үүнээс үүдэн - па-рал-ле-ло-грамм.

Өмнө-for-гэхдээ.

Хэрэв бид па-рал-ле-ло-грам-ма-ийн гурав дахь тэмдгийг задлан шинжилж үзвэл энэ тэмдэг нь ко-от-reply- пар-рал-ле-ло-грам-ма шинж чанартай болохыг анзаарч болно. Өөрөөр хэлбэл, диа-го-на-тэд де-лят-б-лам, ис-ла-эт-ся гэдэг нь зөвхөн па-рал-ле-ло-грам-магийн өмч биш бөгөөд түүний -li-chi-tel-nym, ha-rak-te-ri-sti-che-sky өмч, зарим-ро-му дагуу энэ нь олон тооны che-you-reh-coal-no- цутгаж болно. ков.

ЭХ СУРВАЛЖ

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://www.tepka.ru/geometriya/16.1.gif

Хичээлийн сэдэв

• Параллелограммын диагональуудын шинж чанарууд.

Хичээлийн зорилго

• Шинэ тодорхойлолтуудтай танилцаж, аль хэдийн судлагдсан заримыг эргэн сана.
• Параллелограммын диагональуудын шинж чанарыг томьёолон батал.
• Бодлого шийдвэрлэхдээ дүрсийн шинж чанарыг ашиглаж сурах.
• Хөгжиж байна - оюутнуудын анхаарал, тэсвэр тэвчээр, тэсвэр тэвчээр, логик сэтгэлгээ, математикийн яриаг хөгжүүлэх.
• Боловсрол - хичээлээр дамжуулан бие биедээ анхааралтай хандах хандлагыг төлөвшүүлэх, нөхдүүдийг сонсох, харилцан туслалцаа үзүүлэх, бие даасан байдлыг бий болгох.

Хичээлийн зорилго

• Сурагчдын асуудлыг шийдвэрлэх чадварыг шалгах.

Хичээлийн төлөвлөгөө

1. Танилцуулга.
2. Өмнө нь сурсан материалыг давтах.
3. Параллелограмм, түүний шинж чанар, тэмдэг.
4. Даалгаврын жишээ.
5. Өөрийгөө шалгах.

Танилцуулга

"Шинжлэх ухааны томоохон нээлт нь томоохон асуудлын шийдлийг өгдөг, гэхдээ аливаа асуудлын шийдэлд нээлтийн үр тариа байдаг."

Параллелограммын эсрэг талуудын шинж чанарууд

Параллелограмм нь эсрэг талуудтай тэнцүү.

Баталгаа.

ABCD нь өгөгдсөн параллелограмм байг. Мөн түүний диагональуудыг О цэг дээр огтолцгооё.
Гурвалжны тэгш байдлын эхний тэмдгээр Δ AOB = Δ COD (∠ AOB = ∠ COD, босоо байдлаар, AO=OC, DO=OB, параллелограммын диагональуудын шинж чанараар) тул AB=CD болно. Үүний нэгэн адил BOC ба DOA гурвалжнуудын тэгшитгэлээс BC=DA гэж гарна. Теорем нь батлагдсан.

Параллелограммын эсрэг талын өнцгийн шинж чанар

Параллелограмм нь эсрэг өнцөгтэй.

Баталгаа.

ABCD нь өгөгдсөн параллелограмм байг. Мөн түүний диагональуудыг О цэг дээр огтолцгооё.
Параллелограммын эсрэг талуудын шинж чанаруудаас теоремоор батлагдсан Δ ABC = Δ CDA гурван талдаа (AB=CD, BC=DA батлагдсанаас, АС нь ерөнхий). Гурвалжны тэгш байдлаас ∠ABC = ∠CDA болно.
Мөн ∠ DAB = ∠ BCD болох нь батлагдсан бөгөөд энэ нь ∠ ABD = ∠ CDB-ээс үүсэлтэй. Теорем нь батлагдсан.

Параллелограммын диагональуудын шинж чанар

Параллелограммын диагональууд огтлолцох ба огтлолцлын цэгийг хоёр хуваасан.

Баталгаа.

ABCD нь өгөгдсөн параллелограмм байг. АС диагональ зуръя. Үүн дээр бид дунд О-г тэмдэглэнэ.DO сегментийн үргэлжлэл дээр бид DO-тэй тэнцүү OB 1 сегментийг хойш нь тавьдаг.
Өмнөх теоремоор AB 1 CD нь параллелограмм юм. Тиймээс AB 1 шугам нь DC-тэй параллель байна. Гэхдээ А цэгээр дамжуулан зөвхөн нэг шулуун гүйдэлтэй параллель зурж болно. Тиймээс AB 1 шугам нь AB шугамтай давхцаж байна.
Мөн МЭӨ 1 нь МЭӨ-тэй давхцаж байгаа нь батлагдсан. Тэгэхээр С цэг нь С 1-тэй давхцаж байна. ABCD параллелограмм AB 1 CD параллелограммтай давхцаж байна. Тиймээс параллелограммын диагональууд огтлолцож, огтлолцлын цэгийг хоёр хуваана. Теорем нь батлагдсан.

Энгийн сургуулийн сурах бичигт (жишээлбэл, Погореловт) үүнийг дараах байдлаар нотолсон: диагональууд нь параллелограммыг 4 гурвалжинд хуваадаг. Нэг хосыг авч үзээд олж мэдээрэй - тэдгээр нь тэнцүү байна: тэдгээрийн суурь нь эсрэг тал, түүнтэй зэргэлдээх харгалзах өнцгүүд нь зэрэгцээ шугамуудтай босоо адил тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл диагональуудын сегментүүд хосоороо тэнцүү байна. Бүх зүйл.

Ингээд л болоо юу?
Хэрэв байгаа бол огтлолцох цэг нь диагональуудыг хоёр хуваадаг болохыг дээр дурдсан. Дээрх үндэслэл нь түүний оршин байгааг ямар ч байдлаар нотлохгүй. Өөрөөр хэлбэл, теоремын "параллелограмын диагональ огтлолцдог" хэсэг нь батлагдаагүй хэвээр байна.

Энэ хэсгийг батлахад илүү хэцүү байгаа нь инээдтэй юм. Дашрамд хэлэхэд, энэ нь илүү ерөнхий үр дүнгээс харагдаж байна: аливаа гүдгэр дөрвөлжингийн хувьд диагональууд огтлолцох болно, гүдгэр биш бол огтлолцохгүй.

Хажуугийн дагуух гурвалжны тэгш байдал ба түүнтэй зэргэлдээх хоёр өнцөгт (гурвалжны тэгш байдлын хоёр дахь тэмдэг) болон бусад.

Хажуугийн дагуух хоёр гурвалжин ба түүнтэй зэргэлдээх хоёр өнцгийн тэгш байдлын тухай теорем нь практикийн чухал хэрэглээг олсон. Милетийн боомтод далай дахь хөлөг онгоц хүртэлх зайг тодорхойлдог зай хэмжигчийг барьсан. Энэ нь гурван хөтлөгчтэй A, B, C (AB = BC) ба CA-д перпендикуляр SK шулуун шугамаас бүрдсэн байв. Усан онгоц SC шулуун дээр гарч ирэхэд D, .B, E цэгүүд нэг шулуун дээр байхаар D цэг олдсон. Зураг дээр тодорхой байгаагаар газар дээрх CD зай нь хөлөг онгоц хүртэлх хүссэн зай юм.

Асуултууд

1. Квадрат диагональууд нь огтлолцох цэгээр хуваагдсан уу?
   
2. Параллелограммын диагональууд тэнцүү юу?
3. Параллелограммын эсрэг өнцөг нь тэнцүү үү?
4. Параллелограммын тодорхойлолт юу вэ?
5. Параллелограммын хэдэн шинж чанар вэ?
   
6. Ромб параллелограмм байж чадах уу?
   

Ашигласан эх сурвалжуудын жагсаалт

1. Кузнецов А.В., математикийн багш (5-9-р анги), Киев
2. “Улсын нэгдсэн шалгалт 2006. Математик. Оюутнуудыг бэлтгэх боловсрол, сургалтын материал / Рособрнадзор, ISOP - М .: Оюуны төв, 2006 "
3. Mazur K. I. "М. И. Сканавигийн найруулсан цуглуулгын математикийн өрсөлдөөнт гол асуудлуудыг шийдвэрлэх нь"
4. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Е.Г.Позняк, И.И.Юдина "Геометр, 7-9: боловсролын байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг"

Хичээл дээр ажиллаж байна

Кузнецов А.В.

Потурнак С.А.

Евгений Петров

Та орчин үеийн боловсролын талаар асуулт тавьж, санал бодлоо илэрхийлэх эсвэл яаралтай асуудлаа шийдвэрлэх боломжтой Боловсролын форумшинэ бодол санаа, үйл ажиллагааны боловсролын зөвлөл олон улсын хэмжээнд хуралддаг. Бүтээсэн блог,Та чадварлаг багшийн статусаа ахиулахаас гадна ирээдүйн сургуулийн хөгжилд жинтэй хувь нэмэр оруулах болно. Боловсролын удирдагчдын холбоошилдэг мэргэжилтнүүдэд үүд хаалгыг нээж, дэлхийн шилдэг сургуулиудыг бий болгох чиглэлээр хамтран ажиллахыг урьж байна.

Сэдвүүд > Математик > Математик 8-р анги

Энэ сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэхэд, үүнээс гадна үндсэн шинж чанарууд параллелограммболон харгалзах томъёоны хувьд та дараах зүйлийг санаж, хэрэглэж болно.

1. Параллелограммын дотоод өнцгийн биссектриса нь түүнээс тэгш өнцөгт гурвалжинг таслав
2. Параллелограммын аль нэг талын хажуугийн дотоод өнцгийн биссектриса нь харилцан перпендикуляр байна.
3. Параллелограммын эсрэг талын дотоод өнцгөөс ирж буй, бие биентэйгээ параллель буюу нэг шулуун дээр орших биссектрисүүд
4. Параллелограммын диагональуудын квадратуудын нийлбэр нь түүний талуудын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.
5. Параллелограммын талбай нь диагональуудыг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусын үржвэрийн тал хувь юм.

Эдгээр шинж чанаруудыг шийдвэрлэхэд ашигладаг ажлуудыг авч үзье.

Даалгавар 1.

ABCD параллелограммын С өнцгийн биссектриса нь M цэг дээр AD тал ба А цэгээс цааш AB талын өргөтгөлтэй Е цэгт огтлолцоно. AE \u003d 4, DM \u003d 3 бол параллелограммын периметрийг ол.

Шийдвэр.

1. Гурвалжин CMD тэгш өнцөгт. (1-р өмч). Тиймээс CD = MD = 3 см.

2. Гурвалжин EAM нь тэгш өнцөгт юм.
Тиймээс AE = AM = 4 см.

3. AD = AM + MD = 7 см.

4. Периметр ABCD = 20 см.

Хариулах. 20 см

Даалгавар 2.

Диагональуудыг ABCD гүдгэр дөрвөлжин хэлбэрээр зурсан. ABD, ACD, BCD гурвалжны талбайнууд тэнцүү гэдгийг мэддэг. Өгөгдсөн дөрвөлжин параллелограмм гэдгийг батал.

Шийдвэр.

1. ABD гурвалжны өндрийг BE, ACD гурвалжны өндрийг CF гэж үзье. Бодлогын нөхцлийн дагуу гурвалжны талбайнууд тэнцүү бөгөөд тэдгээр нь нийтлэг AD суурьтай тул эдгээр гурвалжны өндөр нь тэнцүү байна. BE = CF.

2. BE, CF нь AD-д перпендикуляр байна. В ба С цэгүүд нь AD шугамын нэг талд байрлана. BE = CF. Тиймээс BC шугам || МЭ. (*)

3. ACD гурвалжны өндрийг AL, BCD гурвалжны өндрийг BK гэж үзье. Бодлогын нөхцлийн дагуу гурвалжны талбайнууд тэнцүү бөгөөд тэдгээр нь нийтлэг CD-тэй тул эдгээр гурвалжны өндөр нь тэнцүү байна. AL = BK.

4. AL ба BK нь CD-д перпендикуляр байна. В ба А цэгүүд CD шулуун шугамын нэг талд байрлана. AL = BK. Тиймээс AB || шугам CD (**)

5. Нөхцөл (*), (**) нь ABCD нь параллелограмм болохыг харуулж байна.

Хариулах. Батлагдсан. ABCD нь параллелограмм юм.

Даалгавар 3.

ABCD параллелограммын BC ба CD талууд дээр M ба H цэгүүдийг тус тус тэмдэглэсэн бөгөөд ингэснээр BM ба HD хэрчмүүд О цэг дээр огтлолцоно;<ВМD = 95 о,

Шийдвэр.

1. DOM гурвалжинд<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. DHC тэгш өнцөгт гурвалжинд
(

Дараа нь<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Тэгш өнцөгт гурвалжинд 30 o өнцгийн эсрэг байрлах хөл нь гипотенузын хагастай тэнцүү байдаг).

Гэхдээ CD = AB. Дараа нь AB: HD = 2: 1.

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

Хариулт: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

Даалгавар 4.

4√6 урттай параллелограммын диагональуудын нэг нь суурьтай 60°, хоёр дахь диагональ нь ижил суурьтай 45° өнцөг үүсгэнэ. Хоёр дахь диагональыг ол.

Шийдвэр.

1. AO = 2√6.

2. AOD гурвалжинд синусын теоремыг хэрэглээрэй.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Хариулт: 12.

Даалгавар 5.

5√2 ба 7√2 талуудтай параллелограммын хувьд диагональуудын хоорондох жижиг өнцөг нь параллелограммын жижиг өнцөгтэй тэнцүү байна. Диагональуудын уртын нийлбэрийг ол.

Шийдвэр.

Параллелограммын диагональ d 1, d 2, диагональ ба параллелограммын жижиг өнцгийн хоорондох өнцөг φ байна.

1. Хоёр өөр тоолъё
түүний нутаг дэвсгэрийн арга замууд.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Бид 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f буюу тэгш байдлыг олж авна.

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Параллелограммын талууд ба диагональ хоорондын харьцааг ашиглан тэгш байдлыг бичнэ

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Системийг хийцгээе:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг 2-оор үржүүлж, эхнийх нь дээр нэмнэ.

Бид (d 1 + d 2) 2 = 576 болно. Тиймээс Id 1 + d 2 I = 24.

d 1 тул d 2 нь параллелограммын диагональуудын урт бөгөөд d 1 + d 2 = 24 болно.

Хариулт: 24.

Даалгавар 6.

Параллелограммын талууд нь 4 ба 6. Диагональуудын хоорондох хурц өнцөг нь 45 o. Параллелограммын талбайг ол.

Шийдвэр.

1. AOB гурвалжнаас косинусын теоремыг ашиглан параллелограммын тал ба диагональуудын хоорондын хамаарлыг бичнэ.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2/2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. Үүнтэй адилаар бид AOD гурвалжны хамаарлыг бичнэ.

Бид үүнийг анхаарч үздэг<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Бид d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144 тэгшитгэлийг авна.

3. Бид системтэй
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Хоёр дахь тэгшитгэлээс эхнийхийг хасвал 2d 1 d 2 √2 = 80 буюу

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 АС BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Жич:Энэ болон өмнөх асуудалд энэ асуудалд талбайг тооцоолоход диагональуудын үржвэр хэрэгтэйг урьдчилан тооцоолж системийг бүрэн шийдэх шаардлагагүй болно.

Хариулт: 10.

Даалгавар 7.

Параллелограммын талбай нь 96, талууд нь 8 ба 15. Жижиг диагональ квадратыг ол.

Шийдвэр.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Томъёонд орлуулалт хийцгээе.

Бид 96 = 8 15 нүгэл VAD авна. Тиймээс нүгэл VAD = 4/5.

2. cos BAD гэж олоорой. нүгэл 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 MAD = 1. cos 2 MAD = 9/25.

Асуудлын нөхцлийн дагуу бид жижиг диагональ уртыг олдог. BAD өнцөг хурц байвал диагональ BD нь бага байх болно. Дараа нь cos MAD = 3/5.

3. ABD гурвалжнаас косинусын теоремыг ашиглан BD диагональ квадратыг олно.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos MAD.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Хариулт: 145.

Танд асуух зүйл байна уу? Геометрийн асуудлыг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!

сайт, материалыг бүрэн буюу хэсэгчлэн хуулсан тохиолдолд эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.